Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 81
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 8 Α. Ν ποδείξετε ότι ν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ισχύει: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος)κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. Αν ημ = ημθ, τότε = κπ θ ή = κπ + π + θ, κ β. Αν > y με 0 < <1, τότε >y γ. συν =1 ημ δ. Αν >0, με 1, τότε γι οποιουσδήποτε θ 1, θ >0 ισχύει: log (θ θ ) = logθ logθ 1 1 ε. Αν >0, με 1, τότε log 1= 0, log =1 Θέμ ο. Ν ποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( β ) + συν ( + β) συν β συν + β = εφ εφβ συν β. Ν λυθεί η εξίσωση: συν = 1+ ημ. Ν λύσετε την εξίσωση: 9 3 +1 3 + 3 = 0 β. Ν λύσετε την νίσωση: log ( +1 ) + log 5 < 4 3 P() = + 6 + β + β 3 +1 Δίνετι το πολυώνυμο: ( ) πράγοντ το 1, το οποίο έχει. Ν βρείτε τις τιμές των κι β Μονάδες 8 β. Ν λύσετε την εξίσωση Ρ() = 0 Μονάδες 9 γ. Ν λύσετε την νίσωση Ρ() <0 Μονάδες 8
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 83 Α. Αν + β,, β π κπ +, κ Z ν δειχθεί ότι εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε Σωστές (Σ), ή Λνθσμένες (Λ) τις προτάσεις: Μονάδες 13. Αν 0 < 1 κι θ 1, θ >0, τότε ισχύει log (θθ ) = log θ + log θ 1 1 β. Αν pπράγοντς του πολυωνύμου Ρ() τότε το p είνι ρίζ του Ρ() γ., β R ισχύει συν( + β) = συν συνβ + ημ ημβ δ. Η συνάρτηση f() = με 0 < <1 έχει σύνολο τιμών το (0, + ) Θέμ ο Αν π + β = 4 κι εφ( + β) = Μονάδες 1. Ν δείξετε ότι 1 εφ = 3 β. Ν λυθεί η εξίσωση ημ( + ) ημ( ) = 0 Δίνετι το πολυώνυμο 4 3 Ρ() = ( 3) + β. Αν +1 είνι πράγοντς του p() κι p(1) = 4, ν βρεθούν τ κι β β. Ν γράψετε το p() ως γινόμενο πργόντων, ν = 4 κι β = 1 Μονάδες 9 Μονάδες 8 γ. Ν λυθεί η νίσωση p() >0 Μονάδες 8 Δίνετι η συνάρτηση f() = ln e 1 e+ 5. Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της Μονάδες 5 β. Ν λυθεί η εξίσωση f() = ln γ. Ν λυθεί η νίσωση f() >0
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 84 Α. Πότε η συνάρτηση f() =, R είνι γνησίως ύξουσ ; k Β. Ν δείξετε ότι log = k log γι κάθε > 0 κι > 0 Μονάδες 5 Μονάδες 1 Γ. Κάθε στοιχείο της στήλης Α είνι ίσο με έν κι μόνο στοιχείο της στήλης Β. Συνδέστε κτάλληλ τ στοιχεί των δύο στηλών συμπληρώνοντς τον πίνκ που κολουθεί φού τον μετφέρετε στο τετράδιο σς ΠΙΝΑΚΑΣ στήλη Α 1. συν (β ). ημ ( + β) 3. συν ( + β) 4. ημ ( β) στήλη Β. συνσυνβ ημημβ β. ημβσυν ημσυνβ γ. ημβσυν + ημσυνβ δ. ημβημ συνσυνβ ε. ημσυνβ + ημβσυν στ. συνσυνβ + ημβημ Αντιστοίχιση 1.. 3. 4. Θέμ ο Ν λύσετε την Δίνετι η εξίσωση ημ + συν = 1(1) Α. Ν δείξετε ότι η (1) είνι ισοδύνμη με την εξίσωση Μονάδες 8 συν συν 1= 0 Β. Ν λύσετε την εξίσωση (1) Α. N βρεθούν οι ριθμοί, β ώστε το πολυώνυμο P() = 4 5 3 + + β 6 ν έχει πράγοντ το 1 κι ρίζ το Μονάδες 13 Β. Αν = 5 κι β = 5 ν λύσετε την νίσωση P() > 0 Μονάδες 1 Δίνοντι οι συνρτήσεις f() = ln e e κι g() = ln(e +1) Α. Ν βρείτε τ πεδί ορισμού των πρπάνω συνρτήσεων Β. Ν λύσετε την εξίσωση f() g() = ln
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 85 ΘΕΜΑTA Α. Με τη προϋπόθεση ότι συν(+β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ν ποδείξετε ότι: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε στην κόλλ σς τους πρκάτω τύπους ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). ημ = ημσυν β. συν = ημ 1 1 + συν γ. συν = δ. ημ( β) = ημβσυν ημσυνβ Μονάδες 4 Γ. Ν συμπληρώσετε στην κόλλ σς του πρκάτω τύπους :. log10 =.. β. e lnθ = ( θ > 0) γ. log(θ 1 θ ) =.., θ 1, θ > 0 θ1 δ. log( θ ) =., θ 1, θ > 0 ε. lnθ κ =, θ > 0, κ R στ. Αν ρ πράγοντς του πολυωνύμου P() τότε P(ρ) =. Μονάδες 6 Θέμ ο Α. Ν δείξετε ότι : 1 + συνθ + ημθ = σφθ 1 συνθ + ημθ Μονάδες 1 Β. Ν λύσετε την εξίσωση: Δίνετι το πολυώνυμο 4ημ = συν 3 Ρ() = + ( + β) + β + 3 Μονάδες 13 Α. Ν βρείτε τις τιμές των, β R ν : Ρ(1) = 13 κι Ρ( )=1 Μονάδες 8 Β. Αν = κι β =3 τότε :. Ν κάνετε τη διίρεση του P() με το ( +3)( κι ν γράψετε την τυτότητ της διίρεσης. Μονάδες 9 β. Ν λύσετε την νίσωση: ln(3 11) Α. Δίνετι η συνάρτηση f() = ln( 5) Ρ() +15 0 Μονάδες 8 3. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της. Μονάδες 8 β. Ν λύσετε την εξίσωση f() = Μονάδες 7 y 3 3 = 43 Β. Ν λύσετε το σύστημ: ln lny = ln3
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 86 Α. Αν θ 1, θ θετικοί ριθμοί κι 0 < 1, ν ποδείξετε ότι: log (θ θ ) = log θ + log θ 1 1 Μονάδες 13 Β. Ν χρκτηρίσετε στη κόλ σς κάθε μί πό τις επόμενες προτάσεις με το Σ ή το Λ, ν η πρότση είνι σωστή ή λνθσμένη ντίστοιχ. 1. συν( + β) = συνσυνβ + ημημβ.. ημ = 1 + συν 3. Αν ο ριθμός ρ είνι ρίζ του πολυωνύμου Ρ(), τότε το πολυώνυμο Ρ() διιρείτι κριβώς με το ρ. 4. Ισχύει η ισοδυνμί: log > 0 > 1. Θέμ ο Μονάδες 1 π Α. Ν δείξετε ότι: συν 6 συν π + = ημ. Μονάδες 1 6 π Β. Ν λύσετε την εξίσωση: συν 6 συν π + = συν. Μονάδες 13 6 Δίνετι το πολυώνυμο Ρ() = 3 + + ( ) + β + 5. Α. Ν βρείτε τ, β R, ώστε το πολυώνυμο Ρ() ν έχει πράγοντ το 1 κι διιρούμενο με το + ν φήνει υπόλοιπο 9. Μονάδες 1 Β. Γι = 3 κι β = ν λύσετε την νίσωση Ρ() 0. Μονάδες 13 Δίνετι η συνάρτηση f() = log(4 8) log log7. Α. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Μονάδες 6 4 8 Β. Ν δείξετε ότι f() = log. 7 Μονάδες 9 Γ. Ν λύσετε την εξίσωση: f() = 0.
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 87 ΘΕΜΑTA Α. Ν δείξετε ότι: εφ( + β) = εφ + εφβ. 1 εφ εφβ Ν γράψετε τους κτάλληλους περιορισμούς. Μονάδες 1 Β. Ν δείξετε ότι: συν = συν ημ. Μονάδες 5 Γ. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λνθσμένη (Λ) κθεμί πό τις ισότητες που κολουθούν:. log =. β. log 1 = 1 γ. log10 = lne δ. log (θ 1 +θ 1 ) = log θ 1 + log θ Μονάδες 8 Θέμ ο Δίνετι το πολυώνυμο Ρ( ) = 4 (λ 1) 3 λ 4, λ R Α. Ν βρείτε τις τιμές του λ ώστε το πολυώνυμο Ρ( ) ν έχει πράγοντ το + 1. Μονάδες 1 Β. Γι λ = νά λύσετε την εξίσωση Ρ( ) = 0. Μονάδες 13 Α. Ν δείξετε ότι: ημ + ημ = εφ Μονάδες 1 1+ συν + συν Β. Αν (0, π ) ν λύσετε την εξίσωση: ημ + ημ 1+ συν + συν = εφ Μονάδες 13 A. Ν λύσετε την εξίσωση: +5 + 5 + = 5 +3 + +4 Μονάδες 13 Β. Ν λύσετε την εξίσωση: log(4 1) = log + log( 1) Μονάδες 1
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 88 Α. Ν μελετηθεί κι ν πρστθεί γρφικά η συνάρτηση f() = ημ στο διάστημ [0, π]. Β. Ν συμπληρωθούν τ κενά στις πρκάτω προτάσεις: i) Αν 3π > > β > π τότε συν.. συνβ Μονάδες 3 ii) εφ( β) =. Μονάδες Γ. Ν λυθεί η τριγωνομετρική εξίσωση: ημ + 3συν = 0 Θέμ ο Α. Ν γράψετε το θεώρημ: τυτότητ της διίρεσης. Μονάδες 8 Β. Ν βρείτε τ κι β ώστε το πολυώνυμο Ρ() = 3 + β + ν έχει πράγοντ το + κι το υπόλοιπο της διίρεσης του Ρ() με το + 1 ν είνι 3. Μονάδες 1 Γ. Ν δείξετε ότι το πολυώνυμο Q() = 6 + 7 + 3 δεν έχει πράγοντ της μορφής ρ. Μονάδες 5 Α. Αν οι ριθμοί 4,, είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ν βρείτε το. Μονάδες 5 Β. Σε μί ριθμητική πρόοδο ο πρώτος όρος είνι, ο τελευτίος 98 κι το άθροισμ όλων των όρων 1650. Ν βρείτε: i. το πλήθος των όρων Μονάδες 5 ii. τη διφορά Μονάδες 5 iii. το άθροισμ 13 + 14 +. + 3 Α. Γι τις συνρτήσεις f() = με > 1 κι g() = log β με 0 < β < 1 ν γράψετε: i. το πεδίο ορισμού Μονάδες ii. το σύνολο τιμών Μονάδες iii. τη μονοτονί Μονάδες iv. τις σύμπτωτους των γρφικών τους πρστάσεων. Μονάδες Β. Ν λυθεί η πρκάτω λογριθμική εξίσωση: ln( 1) 1 ln9 = ln( 1) + ln( + 1) Μονάδες 1 Γ. Ν λυθεί η εκθετική νίσωση: 4 9. + 8 < 0 Μονάδες 5
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 89 A.. Ν ποδείξετε ότι: ημ = ημ συν Μονάδες 5 β. Ν ποδείξετε ότι: συν =1 ημ Μονάδες 5 Β. Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω προτάσεις:. ημ ( β) = Μονάδες ( ) β. συν β = Μονάδες θ1 γ. Αν >0, με 1 κι θ 1, θ >0 είνι log =... θ Μονάδες δ. Αν >0, 1, θ >0, κ R είνι log θ κ =... Μονάδες ε. Αν >0, 1, είνι log =... Μονάδες Γ. Ν γράψετε το άθροισμ των ν πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου ( ν ) με λόγο λ 1 κι πρώτο όρο 1. Μονάδες 5 Θέμ ο. Δίνετι πολυώνυμο 3 Ρ() = + κ + Ν υπολογίσετε το κ R ν ο ριθμός είνι ρίζ του πολυωνύμου β. Ν λύσετε την εξίσωση 3 + = 0. Ν λύσετε την εκθετική εξίσωση +1 = 4 β. Γι ποιες τιμές του R οι ριθμοί log ( +1 ), log 3, log ( ) είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου Ο ρχικός μισθός ενός υπλλήλου είνι 800. Κάθε χρόνο γίνετι ύξηση στο μισθό του 30.. Ν υπολογίσετε το μισθό του υπλλήλου κτά τη διάρκει του δέκτου πέμπτου χρόνου της εργσίς του. β. Σε πόσ χρόνι ο μισθός του υπλλήλου θ γίνει 1370.
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 90 Θέμ 1 o A. Πότε μι κολουθί λέγετι ριθμητική πρόοδος ; B. Χρκτηρίστε ως σωστό (Σ) ή λάθος ( Λ) κθεμιά πό τις επόμενες προτάσεις :. Σε μι ριθμητική πρόοδο ισχύει ν = 1 + (ν 1)ω, όπου ν ν - οστός όρος 1 1 ος όρος ω διφορά της προόδου. β. Σε μι γεωμετρική πρόοδο, ν, β, γ διδοχικοί όροι ισχύει: β = + γ δ. To άθροισμ των ν πρώτων όρων ριθμητικής προόδου είνι: Σ ν = ν( + ) 1 ν. ε. Σε μι γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο 1 = 100 κι λόγο λ = 1 ο 5ος ορός είνι 5 = 6,5 Θέμ o 3 Δίνετι το πολυώνυμο Ρ() = 5 + κ Α. Αν το 1 είνι ρίζ του Ρ(), ν δείξετε ότι το κ = 6. Β. Γι κ = 6 ν πργοντοποιήσετε το Ρ() κι ν λύσετε την εξίσωση Ρ() = 0 Α. Ν ποδείξετε ότι συνημ 1+συν Β. Ν λύσετε την εξίσωση = ημ Α. Ν ποδείξετε ότι: log 6 log0,6 = 1 συνφημφ ημ φ + 1= 0 (γι συνφ 1) 1+συνφ Β. Ν λύσετε την εξίσωση: log( 1) + log + log5 = log 6 log0,6 Γ. Ν λύσετε την νίσωση : log( 1) + log + log5 > log 6 log0,6
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 91 Α. Αν > 0, 1 τότε γι οποιδήποτε θ 1, θ > 0 ισχύει: log (θ θ ) = log θ + log θ 1 1 Β. Ν συμπληρώσετε στις πρκάτω ισότητες τ κενά που σημειώνοντι με «..». συν( + β) = β. log θ κ =. γ. εφ... εφ( β) =... δ. Το άθροισμ των πρώτων ν όρων μις γεωμετρικής προόδου ( ν ) με λόγο λ 1 είνι :... S= ν 1... δ. ημ = ημθ =... ή =... Θέμ ο Οι ριθμοί = 3 3, β = 11, γ = 5 +1 με τη σειρά που δίνοντι είνι οι τρεις πρώτοι όροι ριθμητικής προόδου.. Ν βρεθεί το. β. Γι = 3 ν βρεθεί ο 0 ος όρος ( 0 ) της ριθμητικής προόδου. Δίνετι το πολυώνυμο P() = 3 κ (κ + 1) + 6. Αν είνι P() = 4 ν βρείτε το κ. β. Γι κ = ν ποδείξετε ότι το P() έχει πράγοντ το ( + ). γ. Ν λύσετε την νίσωση P() >0, γι κ =. Δίνετι η συνάρτηση f() = log(10 11 10 +10). Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f φού λύσετε την νίσωση ω 11ω + 10 > 0 β. Ν λύσετε την εξίσωση f() = 1 γ. Ν εξετάσετε ν οι λύσεις της f() = 1 είνι δεκτές.
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 9 Α. Αν >0 με 0 κι ν ποδείξετε ότι: 1 θ > 0, θ > 0, ( ) log θ θ = log θ + log θ. 1 1 Μονάδες 1 Β. Τι ονομάζουμε ριθμητική τιμή ενός πολυωνύμου; Μονάδες 5 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν γράφοντς στο γρπτό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό ή Λάθος. 1. e = θ lnθ =, θ > 0.. Αν έν πολυώνυμο P() έχει πράγοντ το ρ, τότε ο βθμός του υπολοίπου της διίρεσης του P() με το ρ είνι μηδέν. εφ 3. εφ =. 1 + εφ 4. ημ = Θέμ ο 1 - συν. Μονάδες 8 Δίνετι η πράστση A=συν + 5συν+3.. Ν ποδείξετε ότι A=συν +5συν+. Μονάδες 1 β. Ν λύσετε την εξίσωση συν + 5συν+3=0 Μονάδες 13 Το πολυώνυμο φήνει υπόλοιπο υ= 4. 3 P() = + + 11 + β διιρούμενο δι ( 1)( ) δίνει πηλίκο π() κι Α. Ν ποδείξετε ότι = 6 κι β = Μονάδες 8 Β. Γι = 6 κι β = i. Ν βρεθεί το πηλίκο π(). Μονάδες 8 ii. Ν λυθεί η νίσωση P() 4. Μονάδες 9 Δίνετι η συνάρτηση ( ) ( ) f = log e e + β με ( ) f 0 = log κι ( ) f ln6 = log1. Α. Ν ποδείξετε ότι = 5 κι β = 6 Μονάδες 6 Β. Γι = 5 κι β= 6 i. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Μονάδες 6 ii. Ν λύσετε την εξίσωση f ( ) + log ( e +1 ) = 1. Μονάδες 8 iii. Ν ποδείξετε ότι οι ριθμοί f( ln5) f( 0), f( ln5 ), ( ) f ln6 είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. Μονάδες 5
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 93 Α. Ν ποδείξετε ότι: ( ). log θ θ = log θ + log θ εάν θ 1, θ >0 κι > 0, 1 1 1 β. k logθ = klog θ Β. Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω σχέσεις κι προτάσεις:. συν ( + β ) =... β. εφ( + β ) =... γ. Έν πολυώνυμο P() έχει πράγοντ το ρ εάν κι μόνο εάν το ρ είνι..του πολυωνύμου P(). δ. Το άθροισμ των ν πρώτων όρων μις ριθμητικής προόδου με πρώτο όρο 1 κι διφορά ω είνι ε. Έστω η συνάρτηση y = f() = με 0 < <1 κι R. Η συνάρτηση είνι γνησίως + 5 + 10 Θέμ ο Έστω η πράστση:. Ν ποδείξετε ότι: Α = συν π π π π Α = ημ συν + + συν ημ + 4 4 4 4 β. Ν λύσετε την εξίσωση: Α 3 = ημ στο διάστημ [ 0, π ] + 15 Έστω το πολυώνυμο 3 P() = + 3 + β με, β R. Ν υπολογίσετε τις τιμές των, β R ούτως ώστε το P() ν έχει ρίζες τους ριθμούς 1, β. Γι τις τιμές = 3 κι β = ν λύσετε την νίσωση P() >0 +15. Ν ποδείξετε ότι: ln = ln εάν >0 β. Ν λύσετε την νίσωση: ln ln <1 +15
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 Θέμ 1 o Ν ποδείξετε ότι :. ημ = ημσυν 94 β. γ. συν = συν -1 συν = 1-ημ δ. ε. 1 - συν ημ = 1+συν συν = Θέμ o Ν λύσετε τις εξισώσεις : Μονάδες 5-1 +1 Α. 3 + 3 = 54 Β. log (1+) = 1 + log(1 ) Α. Ν λύσετε την εξίσωση : ημ = συν - 1 Β. Ν ποδείξετε ότι : Θέμ 4 o Δίνετι το πολυώνυμο εφ + σφ = ημ 3 P() = + + (β + ) + 4 Α. Ν προσδιοριστούν τ κι β, έτσι ώστε το P() ν έχει ως πράγοντ το + κι ρίζ το 1. Β. Γι = 1 κι β = 6ν λυθεί η νίσωση : P() ( )
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 95 εφ + εφβ A. Ν ποδειχθεί ότι: εφ ( + β) = 1 εφεφβ Β. Σε κάθε συνάρτηση της στήλης Α, ν ντιστοιχίσετε την γρφική της πράστση πό την στήλη Β : ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β : y. f() = ημ 1. y β. g() = ln. y γ. h() = συν 3. y y δ. σ() = e 4. y y y y ε. φ() = εφ 5. 6. Θέμ ο Δίνετι το πολυώνυμο Ρ () = 3 3 + Α. Ν λυθεί η εξίσωση Ρ() = 0 Μονάδες 1 Β. Ν βρεθεί γι ποι єr η γρφική πράστση της p() είνι πάνω πό τον άξον. Μονάδες 13 Α. Ν λυθεί η εξίσωση : ln + 3 ln (+1) = 0 Μονάδες 1 Β. Ν λυθεί η νίσωση : log ( + 3) < log 4 Μονάδες 13 Ότν κάνουμε την διίρεση Ρ() : ( 6 ) βρίσκουμε έν πηλίκο Π() κι έν υπόλοιπο που είνι :. c (ριθμός) β. + β γ. + β + γ. Ποι πό τις πρπάνω μορφές πολυωνύμων, έχει το υπόλοιπο υ(). N δικιολογήσετε την πάντηση σς κι ν γρφτεί η τυτότητ της διίρεσης. Μονάδες 8 β. Αν το 3 είνι ρίζ του Ρ() κι η διίρεση Ρ(): (+) δίνει υπόλοιπο 5, ν βρεθεί το υπόλοιπο της διίρεσης Ρ(): ( 6) γ. Ν βρείτε ρίζες της εξίσωσης Ρ() = +3 Μονάδες 7 y y y
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 96 Α. Ν δείξετε ότι:το υπόλοιπο της διίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ() με το ρ είνι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου γι = ρ δηλ υ = Ρ(ρ) B. Τι ονομάζετι Αριθμητική πρόοδος; Μονάδες 6 Γ. Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω προτάσεις:. Αν > 0 με 1 κι θ 1, θ > 0 τότε: log (θ 1 θ ) =. β. Αν, β, γ διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε ισχύει: γ. O ν ος όρος μις ριθμητικής προόδου με πρώτο όρο 1 κι διφορά ω είνι: Μονάδες 9 Θέμ ο Α. Αριθμητική πρόοδος έχει 1 = κι 3 = 8.. Ν βρεθούν κι ω. β. Ν βρεθούν 0 κι S 0 Δίνετι το πολυώνυμο Ρ() = 3 + 4 (6 + λ) 10 = 0 όπου R κι λ R. Α. Aν είνι πράγοντς του Ρ() τότε ν δείξετε ότι λ = 1 Μονάδες 8 Β. Γι λ=1ν λυθούν:. H εξίσωση Ρ()=0 β. Η νίσωση Ρ() <0 Μονάδες 8 Δίνετι η συνάρτηση f()= + ln(e 1). Α. N βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Μονάδες 5 Β. Ν λυθεί η εξίσωση f()=ln Γ. Ν λυθεί η νίσωση: f()<.
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 97 A. Ν ποδειχθεί ότι: εφ + εφβ εφ( + β ) =,ν συν 0, συνβ 0 κι συν( + β) 0 1 εφ εφβ B. N γρφεί η τυτότητ της διίρεσης πολυωνύμων Δ() κι δ(), με δ() 0. Γ. Τι ονομάζουμε ρίζ ρ ενός πολυωνύμου Ρ(); Δ. Ν συμπληρωθούν οι ισότητες:. log = β. log 1= γ. κ log θ = δ. log θ + log θ = 1 ε. log θ log θ = 1 όπου θ, θ 1, θ > 0, >0, 1, κ R Θέμ ο log + logy = log6 Ν λυθεί το σύστημ: Μονάδες 5 y =1 Δίνετι η εξίσωση: συν 7συν = 0 με π < <. Ν δειχθεί ότι 1 συν = 4 β. Ν υπολογιστεί το συν Μονάδες 5 γ. Ν υπολογιστεί το ημ Μονάδες 5 Δίνετι το πολυώνυμο ( ) 4 3 P() = 3 + β 3π. Αν το + 1 είνι πράγοντς του Ρ() κι η ριθμητική τιμή του πολυωνύμου γι = 1 είνι ίση με 4, ν βρείτε τ, β. β. Αν = 4 κι β = 1ν λυθεί η εξίσωση: Ρ() = 0 Μονάδες 8 γ. Αν = 4 κι β = 1ν λυθεί η νίσωση Ρ() <0 Μονάδες 7
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 98 Α. Αν θ 1, θ > 0 κι IR με 0 < 1, ν δείξτε ότι log (θ 1 θ ) = log θ 1 + log θ Β. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ).. log 1= 0 γι κάθε > 0 κι 1 β. Αν ημ = 1 τότε = κπ, κ Ζ γ. Αν IR κι e = θ τότε = lnθ δ. Αν, β, γ διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε β = γ ε. Αν το πολυώνυμο P() είνι 3 ου βθμού κι το πολυώνυμο Q() είνι ου βθμού τότε το πολυώνυμο P() Q() είνι 6 ου βθμού. Θέμ ο Α. Ν δείξετε ότι συν( π 3 ) + ημ( π ) = 3 ημ Μονάδες 1 6 Β. Ν λύσετε την εξίσωση συν( π 3 ) + ημ( π 6 ) = 3 Μονάδες 13 Δίνετι το πολυώνυμο P() = 4 + 3 + 9 + β 1, με, β IR. Ποιος είνι ο βθμός του πολυωνύμου κι ποιος ο στθερός του όρος. Μονάδες 4 β. Αν είνι γνωστό ότι το + 1 είνι πράγοντς του P() κι το είνι ρίζ του πολυωνύμου P(), ν δείξετε ότι = 6 κι β = 4 Μονάδες 9 γ. Γι τις τιμές = 6 κι β = 4, ν λύσετε την εξίσωση P() = 0. Μονάδες 1 Δίνετι η γεωμετρική πρόοδος ν με λόγο λ = κι 1 =1.. Ν δείξετε ότι = κι 3 = 4 κι ν βρεθούν οι όροι: 4, 7, 11 Μονάδες 8 β. Ν υπολογίσετε το άθροισμ S 11 = 1 + + + 11 γ. Ν λυθεί η εξίσωση e 3 e + e + = 0 Μονάδες 7
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 99 π εφ + εφβ Α. Αν, β, + β κπ +, κ Z, ν ποδείξετε ότι: εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν με τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη logθ. Αν 0 < 1 κι 0 <β 1, τότε γι κάθε θ >0 ισχύει: log θ = β log β β. Η συνάρτηση φ() = με 0 < <1 είνι γνησίως φθίνουσ γ. Γι οποιεσδήποτε γωνίες κι β ισχύει: συν( β) = συν συνβ + ημ ημβ δ. Το υπόλοιπο της διίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ() με το +ρ είνι ίσο με Ρ(ρ) θ log θ 1 1 ε. Γι οποιουσδήποτε θετικούς ριθμούς θ 1, θ κι 0 < 1 ισχύει: log = θ log θ Θέμ ο Δίνοντι τ πολυώνυμ Ρ() = + 4 3 + + β κι Q() = +. Ν βρείτε το πηλίκο π() κι το υπόλοιπο υ() της διίρεσης Ρ():Q() κι ν γράψετε την τυτότητ της Ευκλείδεις διίρεσης Μονάδες 13 β. Ν βρείτε τ κι β ώστε η πρπάνω διίρεση ν είνι τέλει Μονάδες 7 γ. Ν λύσετε την εξίσωση: Ρ() = υ() Μονάδες 5. Ν λύσετε την εξίσωση: συν συν +1= 0 β. Αν 1 συν = κι Δίνοντι οι συνρτήσεις: φ() = e 1 e 3π 4κπ + < <4κπ + π, κ Z, ν υπολογίσετε το 3 g() = ln10 log φ() + log φ() + ln φ() +1 κι ( )( ) ( ) π συν + 6. 1 Ν ποδείξετε ότι: φ() >0 Δ = ln, + Μονάδες 9 β. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g κι ν ποδείξετε ότ ( ln10) g() = ( ln φ() ) 3 + ( ln φ() ) + ( ln10) ( ln φ() +1) Μονάδες 8 γ. Ν βρείτε γι ποιες τιμές του η γρφική πράστση της g βρίσκετι κάτω πό τον άξον Μονάδες 8
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 300 Α. Ν δειχθεί ότι γι κάθε θ>0 κι 1 >0 ισχύει: κ log θ = κlog θ, με κ R Β. Έστω η κολουθί ( ν ) των πργμτικών ριθμών:,,,...,,,... 1 3 ν ν + 1 Πότε η κολουθί υτή ονομάζετι ριθμητική πρόοδος; Μονάδες 5 Γ. Ν χρκτηρίσετε κθεμί πό τις πρκάτω προτάσεις ως σωστή (Σ) ή λνθσμένη Λ) εφ εφβ εφ + β = 1+ εφ εφβ. ( ) Μονάδες β. ημ = ημ συν Μονάδες θ 1 γ. log = log θ log θ θ 1 με θ 1, θ θετικοί κι 1 >0 Μονάδες δ. Το μηδενικό πολυώνυμο έχει βθμό 0 Μονάδες ε. Αν 0< <1 τότε log <0 Μονάδες Θέμ ο Δίνετι το πολυώνυμο 3 Ρ() = 5 + λ + 9. Τίνος βθμού είνι το Ρ(); Μονάδες 5 β. Αν Ρ(1) = 8 ν βρεθεί το λ R γ. Γι λ = 3 ν λυθεί η εξίσωση Ρ() = 0 Σε ριθμητική πρόοδο είνι: 8 = 13 κι 0 = 49. Ν βρεθεί ο 8 β. Ν βρεθεί το άθροισμ των 10 πρώτων όρων Θεωρούμε την εξίσωση: 1 + log ( +1 ) =1. Γι ποιες τιμές του R ορίζετι ο log ( +1 ) ; Μονάδες 5 β. Ν λυθεί η πρπάνω εξίσωση γ. Γι ποιες τιμές του R ορίζετι η πράστση log ( 1+ log ( +1) )
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 301 Θέμ 1 o. Με την προϋπόθεση ότι συν(+β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ν ποδείξετε ότι: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ β. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με (Σ), ν είνι ληθείς ή με (Λ), ν είνι ψευδείς : 1 3 εφ εφ = 1 εφ συν = 1 εφ = 1 συν συν 1 + συν 4 ημ( + β) = ημ συνβ + συν ημβ 9 5 Το υπόλοιπο της διίρεσης ενός πολυώνυμου Ρ() με το ρ, 10 είνι ίσο με P(0) 6 7 Έν πολυώνυμο Ρ() έχει πράγοντ το ρ, ν κι μόνο ν Ρ(ρ) = 0 Η συνάρτηση f() =, με >0 κι 1 είνι γνησίως φθίνουσ, ν > 1 log (θ + θ ) = log 8 1 1 θ 1 1 log = log θ θ log θ κ log (θ ) = κ logθ θ log θ Στο ερώτημ β. ν μετφέρετε στην κόλ σς μόνο τις πντήσεις Θέμ o ημ + ημ Ν ποδείξετε ότι : 1 + συν + συν = εφ Μονάδες 5 Θέμ 3 o Ν λύσετε την εξίσωση : Θέμ 4 o 8 3 4 3 1 9 + 6 3 +1 3 7 = 0 Ν ποδείξετε ότι : log(11 + 6 ) + log(3 ) = log 7 Μονάδες 5 Μονάδες 5
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 30 Θέμ 1 o. Ν ποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ() με το ρ είνι ίσο με Ρ(ρ). Μονάδες 1 β. Ποιο είνι το πεδίο ορισμού κι ποιο το σύνολο τιμών της εκθετικής συνάρτησης f() =, με > 0 κι 1. γ. Γράψτε στην κόλλ σς τη σωστή πάντηση πό τις πρκάτω i. Το ημ είνι ίσο με: Α. 1 συν 1+ συν 1 συν 1 + συν Β. Γ. Δ. ii. Η πράστση ημβσυν συνβημ είνι ίση με: Α. ημ(β ) Β. ημ( β) Γ. ημ( + β) Δ. συν( + β) Μονάδες 8 Θέμ o 1 ημθ. Ν ποδειχθεί ότι: =1. (ημθ+συνθ) Μονάδες 1 β. Ν λυθεί η εξίσωση: συνσυν π 8 ημημ π 8 = συν 1 Μονάδες 13 Αν το πολυώνυμο: Ρ() = 4 + 3 + + β +, έχει πράγοντες το ( ) κι το (+1) τότε:. Ν ποδειχθεί ότι: = 5, β = 3. β. Ν βρεθεί το πηλίκο της: Ρ(): ( ) Θέμ 4 o Έστω η συνάρτηση: f() = log(1 1 ).. Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της. β. Ν λυθεί η εξίσωση: f(3 +4 ) = f(8)
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 303 Α. Αν >0 με 1, τότε γι οποιδήποτε θ > 0 κι κ R ισχύει log θ κ = κ log θ. Β. Γι τη συνάρτηση f() = με >1 ν γράψετε:. Tο πεδίο ορισμού β. Tο σύνολο τιμών γ. Tη μονοτονί δ. T σημεί τομής με τους άξονες ε. Tις σύμπτωτες της γρφικής της πράστσης Μονάδες 5 Γ. Τι ονομάζουμε πολυώνυμο του κι τι ρίζ του πολυωνύμου Μονάδες 4 Δ. Ν συμπληρώσετε στο γρπτό σς τ κενά ώστε ν προκύψουν ληθείς προτάσεις:. lnθ = θ =.. β. e lnθ =. γ. ln1 =. δ. συν συνβ ημ ημβ =... ε. εφ( β ) =... στ. εφ = εφθ =.. Μονάδες 6 Θέμ ο Δίνετι η εξίσωση 3συν +10συν 1= 0. Ν βρείτε την τιμή του συν. Μονάδες 13 1 β. Αν συν = κι ημ >0 ν υπολογίσετε το ημ κι το συν. Μονάδες 1 3 Δίνετι το πολυώνυμο Ρ() = διίρεσης του Ρ() με το 7 + + 3 + β,, β R. Αν το υπόλοιπο της 4 3 4είνι το υ() = 5 + 8. Ν βρείτε τ κι β Μονάδες 13 β. Αν = 11 κι β = 8, ν βρείτε το πηλίκο της διίρεσης του Ρ() με το Δίνετι η συνάρτηση f() = log ( 3 4 + 5 + κ), κ R 4 Μονάδες 1 Α. Ν βρείτε το κ ώστε f(3) = log Μονάδες 7 B. Αν κ =,. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f β. ν δείξετε ότι f() = log ( 1 ) +log ( ) Μονάδες 8
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 304 Α. Με δεδομένο ότι ορίζοντι οι εφπτόμενες των γωνιών, β κι + β ν ποδείξετε ότι: εφ + εφβ εφ( + β ) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε ως Σ (Σωστό) ή ως Λ(Λάθος) τις πρκάτω προτάσεις:. Ισχύει: ( ) β. Ισχύει: συν + β = ημ ημβ συν συνβ συν = ημ 1 γ. Έν πολυώνυμο Ρ() έχει πράγοντ το ρ ν κι μόνο ν το ρ είνι ρίζ του Ρ() δ. Σε μι ριθμητική πρόοδο ισχύει: = + ν 1 ( ν +1) ω θ ε. Ισχύει: log θ = = Μονάδες 5 = 10 Θέμ ο. Ν ποδείξετε ότι: 1 συν + ημ = εφ 1 + συν + ημ β. Ν λύσετε την εξίσωση: συν + συν = 0 Δίνετι το πολυώνυμο ( ) 3 P() = +β 1 3 β + 6,, β R Μονάδες 1 Μονάδες 13. Ν βρείτε γι ποιες τιμές των, β το πολυώνυμο Ρ() έχει ρίζ τον ριθμό 1 κι το υπόλοιπο της διίρεσης του Ρ() δι του +1 είνι ίσο με τον ριθμό Μονάδες 13 β. Γι τις τιμές των κι β που βρήκτε στο ερώτημ (Α) ν λύσετε την εξίσωση Ρ() = 0 Δίνετι η συνάρτηση: f() = ln ( e 1) Μονάδες 1. Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Μονάδες 5 β. Ν βρείτε τ διστήμτ στ οποί η γρφική πράστση της f βρίσκετι πάνω πό τον άξον Μονάδες 5 γ. Ν συγκρίνετε τους ριθμούς f(ln) κι f(1) Μονάδες 5 δ. Ν λύσετε την εξίσωση: f() f() = ln3
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 305 ΘΕΜΑTA Α. Ν γράψετε τον τύπο που δίνει το νιοστό όρο ( ν ) ριθμητικής προόδου που έχει πρώτο όρο τον 1 κι διφορά ω. Μονάδες 5 Β. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λνθσμένη (Λ) κάθε μι πό τις προτάσεις που κολουθούν:. Το ημ είνι ίσο με ημ συν β. Τ πολυώνυμ Ρ( ) = 3 β + 5 κι Q() = 3 + β +5 β β R, είνι ίσ ν β = 0 γ. Αν οι ριθμοί 3κ, κ + 4, κ 1 είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου τότε ο κ είνι ίσος με δ. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f() =, είνι το R ε. Η λογριθμική συνάρτηση f() = log με > 1 είνι γνησίως ύξουσ Γ. Αν 0< 1 κι θ 1, θ 1 > 0 ν δειχτεί ότι: log (θ 1 θ 1 ) = log θ 1 + log θ Θέμ ο Ν δειχτεί ότι με τη σειρά που δίνοντι οι ριθμοί συν( β), ημ ημβ, συν( + β) είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου, ενώ οι ριθμοί συν, ημ 1, ημ δεν είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. Μονάδες 5 Δίνετι η εκθετική συνάρτηση f() = ( > 0, 1).. Ν βρεθεί ο, ν γνωρίζουμε ότι f (3) = 8 Μονάδες 5 β. Αν = ν λύσετε την εξίσωση: f( +1) + f( +) + f( 1) + f( ) = 54 Μονάδες 0 Δίνετι το πολυώνυμο Ρ() = 4 3 3 + +. Ν δειχτεί ότι έχει πράγοντ το ( +1) Μονάδες 9 β. Ν λυθεί η νίσωση Ρ() 0 Μονάδες 9 γ. Ν βρεθούν τ κ κι λ ώστε: 3 7 + 6 p() = κ + 1 + λ ( + 1) Μονάδες 7
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 306 Α. Ν ποδείξετε ότι ( ) εφ + εφβ εφ + β =, με συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 1 εφ εφβ Β. Ν μετφέρετε στην κόλλ σς, το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση στ πρκάτω. 1. Γι το συν ισχύει:. συν = ημ β. συν = συν γ. συν =1 ημ δ. συν = συν ημ Μονάδες 5. Αν Ρ() είνι πολυώνυμο, τέτοιο ώστε ν ισχύει Ρ() = 0, τότε το πολυώνυμο έχει πράγοντ:. + β. γ. +ρ δ. ρ Θέμ ο 1 συν Α. Ν ποδείξετε ότι: = εφ ημ + ημ Μονάδες 5 Β. Ν λύσετε την εξίσωση: ημ 3συν = 0 Έστω το πολυώνυμο 3 P() = + β 1, με, β R, το οποίο έχει πράγοντ το κι το υπόλοιπο της διίρεσής του με το + 1 είνι 3.. Ν βρεθούν οι ριθμοί κι β β. Γι β = 1 κι = ν βρείτε το πηλίκο της διίρεσης Ρ() : ( +1) κι ν γράψετε την τυτότητ της πρπάνω Ευκλείδεις Διίρεσης γ. Γι β = 1 κι = ν λύσετε την νίσωση Ρ() 3 Μονάδες 5 Δίνετι η συνάρτηση f() = log(4 8) log log7. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της πρπάνω συνάρτησης Μονάδες 5 4 8 β. Ν ποδείξετε ότι f() = log 7 γ. Ν λύσετε την εξίσωση f() = 0
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 307 Α. Ν γράψετε τους ορισμούς:. της ριθμητικής προόδου Μονάδες 5 β. της γεωμετρικής προόδου Μονάδες 5 Β. Ν ποδείξετε ότι το άθροισμ των πρώτων ν όρων μις γεωμετρικής προόδου ( ν ) με λόγο λ 1 είνι S ν = Θέμ ο ν λ 1 1 λ 1 Α. Ν δειχθεί ότι ημ + ημ 1+ συν + συν = εφ Β. Ν λυθεί η εξίσωση: συν = 4ημ 1 +1 Ν λυθεί η εξίσωση 3 + 9 = 11 4 + 4 Μονάδες 5 3 Α. Αν το πολυώνυμο P() = + + β + 4 διιρείτι κριβώς με το κι Ρ(1) = 8, ν βρεθούν τ, β R Μονάδες 1 Β. Ν λυθεί η εξίσωση + 4 3 3 4 4 = 0 Μονάδες 13
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 308 1 1 Α. Ν ποδείξετε ότι ν > 0 με 1 τότε γι οποιουσδήποτε θ 1, θ > 0 ισχύει: ( ) log θ θ = log θ + log θ Β. Ν χρκτηρίσετε με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις πρκάτω προτάσεις. συν=1 συν β. Ο ριθμός 1 είνι ρίζ της εξίσωσης γ. Το μηδενικό πολυώνυμο έχει βθμό μηδέν 3 + 3 + +1= 0 δ. Γι οποιουσδήποτε θ 1, θ > 0 ισχύει log ( θ : θ ) = log ( θ θ ) 1 1 ε. Αν 1, > 0 με 1 < τότε log 1 < log Θέμ ο Α. Ν λυθεί η εξίσωση: συν ημ = 0 Β. Ν ποδείξετε ότι: 1 συν + ημ = εφ 1 + συν + ημ (με τους πιτούμενους περιορισμούς ν θεωρούντι δεδομένοι) Δίνετι το πολυώνυμο ( ) P() = + + β 1 3με, β πργμτικούς ριθμούς Α. Ν βρεθούν τ, β ν γνωρίζουμε ότι το B. Αν = 3 κι β = ν βρεθούν οι τιμές του ώστε 1 είνι πράγοντς του P() P() 0 4 + 1 Έστω c πργμτικός ριθμός κι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R γι την οποί ισχύει f(0) = 0 κι 1 f() e = e + c γι κάθε που νήκει στο R. Ν βρείτε την τιμή του c β. Αν 1 c = ν δείξετε ότι ο τύπος της f είνι γ. Ν λυθεί η εξίσωση: f ( ) = 3 ( ) e +1 f() = ln δ. Αν g ( ) = ln e 1 ν βρείτε το πεδίο ορισμού της g ε. Ν λύσετε την εξίσωση f() = g() Μονάδες 5 5 = 5
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 309 Α. Ν ποδείξετε ότι: ημ( + β) = ημ συνβ + ημβ συν Β. Τι λέγετι λογάριθμος ενός θετικού ριθμού θ ως προς βάση του ριθμό με 1 >0 Μονάδες 5 Γ.. Τι ονομάζουμε γεωμετρική πρόοδο; Μονάδες,5 β. Ν συμπληρώσετε το κενό ώστε η πρότση που κολουθεί ν είνι ληθής: «Το υπόλοιπο της διίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ() με το ρ είνι. με την τιμή του πολυωνύμου γι = ρ»,5 Θέμ ο Ν δείξετε ότι:. ημ εφ = 1+ συν, όπου κπ Μονάδες π ±, κ Z Μονάδες 7,5 β. ημ σφ =, κπ Μονάδες 7,5 1 συν γ. ημ ημ + = 1+ συν 1 συν ημ. Ν βρεθούν οι ρίζες της 3 + = 0 Μονάδες 5 3 β. Αν οι ευρεθείσες ρίζες της 3 + = 0 είνι κι ρίζες του P() = + + β ν βρείτε τ κι β γ. Γι τις ευρεθείσες τιμές των, β στο (β) ερώτημ ν δείξετε ότι το Ρ() διιρείτι δι του + 3 Μονάδες 5 Αν >1 ν δείξετε ότι:. log( +1) + log( 1) = log( + 1) ( 1) β. Ν λύσετε την εξίσωση: log( +1) + log( 1) = log( +1)
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 310 Α. Ν ποδείξετε ότι συν = συν 1 Μονάδες 9 Β. Ν πντήσετε στο τετράδιο σς χρκτηρίζοντς ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τ επόμεν:. Ο βθμός ενός πολυωνύμου είνι φυσικός ριθμός β. Κάθε πολυώνυμο ν-στου βθμού έχει τουλάχιστον ν-ρίζες γ. Το άθροισμ ή η διφορά δύο πολυωνύμων του ιδίου βθμού είνι πολυώνυμο ίδιου βθμού. δ. 10 = θ = lnθ ε. log1 = ln1 ζ. lnθ = 1 θ = e η. ln θ = lnθ θ. Ν συμπληρώσετε: e lnθ =... κι 10 log5 =... Μονάδες 16 Θέμ ο Α. Ν ποδείξετε ότι: 1 συν + ημ = εφ 1 + συν + ημ Μονάδες 1 Β. Ν λυθούν οι εξισώσεις:. συν( π ) 1 = 0 5 β. 3συν + 5 = 0 Μονάδες 3 Δίνετι το πολυώνυμο Ρ() = 4 + 3 7 (β + 11) + β. A. Γι ποιά τιμή του R, το πολυώνυμο Ρ() διιρείτι κριβώς με το + 1; Μονάδες 6 Β. Αν = 4, τότε :. Ν βρείτε το πηλίκον π() κι το υπόλοιπο υ της διίρεσης του Ρ() με το + 1. β. Ν βρείτε γι ποι τιμή του β, το Ρ() έχει γι πράγοντ το ( +1) κι ν γράψετε το Ρ() στη μορφή ( + 1 ) φ(), όπου φ() πολυώνυμο που θ βρείτε. Μονάδες 4 + 8 γ. Ν βρείτε τις υπόλοιπες ρίζες του Ρ() κι τις τιμές του που είνι Ρ() < 0. Μονάδες + 5 Δίνετι η συνάρτηση f() = ln e e +. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Μονάδες 5 β. Ν λύσετε την εξίσωση f() = 0 Μονάδες 5 γ. Ν δείξετε ότι: f( ) + f() = 0 Μονάδες 7 δ. Ν βρείτε το διάστημ, στο οποίο η γρφική πράστση της συνάρτησης f() βρίσκετι κάτω πό τον άξον. Μονάδες 8
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 311 Α. Ν ποδείξετε ότι έν πολυώνυμο Ρ() έχει πράγοντ το ρ ν κι μόνο ν το ρ είνι ρίζ του, δηλδή ν κι μόνο ν Ρ(ρ) = 0 Β. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ).. συνχ = συνθ χ = κπ + θ ή χ = κπ + (π θ) σφ σφβ + 1 β. σφ( β) = σφ σφβ γ. Το μηδενικό πολυώνυμο είνι μηδενικού βθμού δ. Η συνάρτηση y = ln έχει πεδίο ορισμού το ( 0, + ) κι σύνολο τιμών το R. ε. log θ + log θ = log ( θ θ ) με θ, θ > 0 κι 0 < 1 1 1 1 Θέμ ο. Ν ποδείξετε ότι : 1 + συν + ημ = συν ημ + συν. Ν λύσετε την εξίσωση: 1 + συν4 + ημ4 = 3 ημ + συν Δίνετι η συνάρτηση : f() = ln(e 1). Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της Μονάδες 5 β. Ν λύσετε την εξίσωση : f() = ln(e +) γ. Ν λύσετε την νισότητ f() < ln(e 1) Πολυώνυμο P() διιρούμενο με το + 1 δίνει υπόλοιπο 5, διιρούμενο με το ( 3) δίνει υπόλοιπο -7.. Αν το υπόλοιπο της διίρεσης = 3 κι β = P(): ( 3) είνι το + β, ν ποδείξετε ότι είνι Μονάδες 1 β. Αν = 3 κι β = κι π() το πηλίκο της διίρεσης του P() με το ( 3) ν γράψετε την τυτότητ της ντίστοιχης διίρεσης Μονάδες 5 γ. Αν το πηλίκο π() είνι θετικό γι κάθε R, ν λύσετε την νισότητ : P() > 3 + Μονάδες 8
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 31 Θέμ 1 o Α. Ν δείξετε ότι έν πολυώνυμο P() έχει πράγοντ το ( ρ) ν το ρ είνι ρίζ του P(). 008 004 000 Β. Δίνετι το πολυώνυμο : P() = + + Το υπόλοιπο της διίρεσης του P() με το ( + 1) είνι Α:, Β: 0, Γ:, Δ: 3 Δικιολογήστε την πάντηση σς. Μονάδες 5 Γ. Ν χρκτηρίσετε κθεμιά πό τις επόμενες προτάσεις ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ). ημ = ημθ = κπ ± θ, κ Ζ β. συν = ημ 1 γ. log (θ 1 +θ )=log θ 1 log θ δ. 0 < < 1 τότε log < 0 ε. Η συνάρτηση f() = 10 είνι γνησίως φθίνουσ, με σύνολο τιμών το διάστημ (0, + ) Θέμ o. Ν λυθεί η εξίσωση : συν 1=συν Μονάδες 1 β. Ν ποδειχθεί ότι: 1 + εφ εφ = 1 εφ Μονάδες 13 εφ + σφ Θέμ 3 o Δίνετι το πολυώνυμο P() = 4 3 + + β + 1 το οποίο διιρούμενο με το ( 1) δίνει υπόλοιπο ίσο με 1. Αν το P() διιρείτι με ( + ) τότε.. Ν βρείτε τις τιμές των κι β. β. Ν λύσετε την εξίσωση P() = 0 γι = 7 κι β = 8. Θέμ 4 o +1 + Δίνετι η συνάρτηση f() = ln + 4 4 6 + 8. Ν λυθούν οι εξισώσεις : +1 + + 4 = 0 κι 4 6 + 8 = 0 Μονάδες 9 β. Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f() Μονάδες 8 γ. Ν λυθεί η εξίσωση f() = 0 Μονάδες 8
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 313 Θέμ 1 o Α. Ν ποδείξετε ότι: Το υπόλοιπο της διίρεσης ενός πολυωνύμου P() με το -ρ είνι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου γι = ρ. Είνι δηλδή υ= P( ρ ). Β. Γι τις πρκάτω προτάσεις ν σημειώσετε στην κόλλ σς το γράμμ Σ ν είνι σωστές ή το γράμμ Λ ν είνι λνθσμένες. 1. συν( + β) =συν συνβ + ημ ημβ. συν = συν ημ log (θ θ )=logθ log θ 3. 1 1 4. Αν >1, τότε γι < έχουμε 1 < 1 5. Αν ρ πράγοντς του πολυωνύμου P( ), τότε το ρ είνι ρίζ του P( ). Θέμ o Α. Ν ποδείξετε ότι ημ( + β) = εφ + εφβ συν συνβ Β. Ν λύσετε την εξίσωση συ ν συν+1=0 Θέμ 3 o Μονάδες 1 Μονάδες 13 Δίνετι το πολυώνυμο P() = 3 β + +6. Αν το P( ) έχει πράγοντ το + 1, τότε : Α. Ν ποδείξετε ότι β = 4 Β. Ν λύσετε την εξίσωση P( ) = 0 Γ. Ν λύσετε την νίσωση P( ) > 0 Θέμ 4 o Μονάδες 8 Μονάδες 8 Μονάδες 9 Α. Ν λύσετε την εξίσωση 4 17 +8= 0 Μονάδες 13 Β. Ν λύσετε την εξίσωση log( +1) + log( 1) = log +1 Μονάδες 1
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 314 Α. Ν γράψετε τον ορισμό του λογάριθμου ενός θετικού ριθμού θ με βάση >0, 1 Μονάδες 5 Β. Αν >0, 1, θ 1, θ >0, ν ποδείξετε ότι ισχύει: log θ θ = log θ + log θ ( ) 1 1 Γ. Ν συμπληρώσετε τ κενά, ώστε οι πρκάτω προτάσεις ή ισότητες ν είνι ληθείς:.... εφ =,...... εφ = 1... β. Ο βθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είνι ίσος με το των βθμών των πολυωνύμων υτών. γ. Η εκθετική συνάρτηση με βάση >1 έχει πεδίο ορισμού το., είνι γνησίως.., η γρφική της πράστση τέμνει τον άξον y y στο σημείο κι έχει σύμπτωτο τον ημιάξον.. δ. log =..., log =..., >0, 1, θ = e θ > 0 ε. log... log θ =, θ >0, β >0,, β 1 (τύπος λλγής βάσης λογρίθμων) β... Θέμ ο Α. Ν ποδείξετε ότι: ημ. = εφ 1 + συν π συν β. σφ = 4 1 ημ Β. Ν λύσετε: π. εφ + εφ =1 4 β. Μονάδες 1 1 συν + συν = Μονάδες 13 Α. Ν βρείτε τις τιμές των πργμτικών ριθμών, β ώστε το πολυώνυμο 3 P() = + β + β 4 ν έχει πράγοντ το 3 Β. Αν ( ) 1 = 3 κι β =, ν βρείτε: Μονάδες 13. Τ σημεί στ οποί η γρφική πράστση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ() του ) ερωτήμτος τέμνει τον άξον Μονάδες 6 β. Τ διστήμτ στ οποί η γρφική πράστση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ() του ερωτήμτος βρίσκετι πάνω πό τον άξον Μονάδες 6 Δίνετι η συνάρτηση f() = ln e 1 e+ 1. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της Μονάδες 1,5 β. Ν λύσετε την εξίσωση f() = ln Μονάδες 1,5
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 315 Θέμ 1 o. Ν ποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ() με το ρ, είνι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου γι = ρ. Είνι δηλδή υ = P(ρ). Μονάδες 9 β. Ν συμπληρώσετε τις ισότητες: ημ = συν =. =.. =.. κι ν γράψετε τους τύπους που εκφράζουν τ: ημ, συν κι εφ συνρτήσει του συν. Μονάδες 6 γ. Δίνοντι οι συνρτήσεις f() = e κι g() = ln. Ν γράψετε το πεδίο ορισμού, το σύνολο των τιμών, τη μονοτονί κι τ κοινά σημεί με τους άξονες κι yy (διτετγμέν ζεύγη), ότν υπάρχουν γι τις συνρτήσεις f() κι g( ). Θέμ o Ν λυθεί η εξίσωση: l og( 1) + log = 1 log5 Μονάδες 5 Θέμ 3 o 3 Δίνετι το πολυώνυμο P() = + k + 3 + 10.. Ν υπολογιστεί η τιμή του k R γι την οποί το +1 διιρεί το P(). β. Αν k = 6 ν βρεθούν οι τιμές του R, γι τις οποίες η γρφική πράστση του P() βρίσκετι κάτω πό τον άξον. Θέμ 4 o. Ν ποδείξετε ότι οι ριθμοί: συν, ημ συν, 3 είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου, ν κι μόνο ν συν + 3συν + 1 = 0. Μονάδες 8 β. Αν σε ριθμητική πρόοδο είνι: 1 = συν, = ημ συν, 3 = 3, με (0, π) ν ποδείξετε ότι το ισούτι με π 3, κι είνι μονδικό. Μονάδες 8 γ. Στην ριθμητική πρόοδο του (β) ερωτήμτος ν υπολογίσετε το άθροισμ: S = + + + +...+. 7 11 15 19 71 Μονάδες 9
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 316 Α. Αν >0 με 1 τότε γι οποιουσδήποτε θ 1, θ >0 ν ποδείξετε ότι ισχύει: ( ) log θ θ = log θ + log θ 1 1 Β. Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω ισότητες, ώστε ν προκύψουν ληθείς προτάσεις:. ημ ( + β ) = β. συν( β ) = γ. ημ = δ. εφ( + β ) = ε. εφ = Θέμ ο Ν υπολογίσετε την τιμή των πρστάσεων. π π π π συν συν ημ ημ 1 4 1 4 β. ημ70 συν0 + συν70 ημ0 γ. δ. ε. εφ105 εφ45 1+ εφ105 εφ45 π συν 1 1 π 1 ημ Μονάδες 5 6 Α. Αν το P() = ( 9 λ ) +λ ( + 3) ( λ 3) είνι πολυώνυμο 1 ου βθμού, τότε ο λ είνι ίσος με i. 3 ii. 3 iii. 0 iv. 1 Β. Ν βρείτε το υπόλοιπο κι το πηλίκο της διίρεσης ( 4 3 5 + 3 8 ):( + ) Ν λυθούν οι εξισώσεις:. log 7 +1 = 3 7 β. log ( 1 + ) =1 + log ( 1 )
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 317 Θέμ 1 o Α. Αν > 0, με 1, τότε γι οποιουσδήποτε θ 1, θ, > 0 ν ποδείξετε ότι ισχύει log (θ 1 θ ) = log θ 1 + log θ Β.. Ν γρφτεί η τυτότητ της διίρεσης δύο πολυωνύμων Δ() κι δ() β. Τι βθμό έχουν τ πολυώνυμ Ρ() = 9 κι Ρ() = 0 γ. Τι ονομάζουμε ρίζ ενός πολυωνύμου; Μονάδες 9 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος:. Σε κάθε ριθμητική πρόοδο η διφορά ω είνι πάντ θετικός ριθμός. β. Τρεις ριθμοί, β, γ είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου ν κι μόνο ν ισχύει: = β + γ γ. Το άθροισμ των πρώτων ν όρων ριθμητικής προόδου ( ν ) με διφορά ω δίνετι πό τον τύπο S ν = ν [ + (ν 1)ω ] Θέμ o 1 Μονάδες 6. Ν ποδείξετε ότι: 1 συν + ημ = εφ 1 + συν + ημ β. Ν λυθεί η εξίσωση: συν + 6ημ = 4 Δίνετι το πολυώνυμο: Ρ() = 4 ( 3) 3 + β. Αν το + 1 είνι πράγοντς του Ρ(), κι η ριθμητική τιμή του Ρ() γι = 1 είνι ίση με 4, ν βρείτε τ κι β. Μονάδες 1 β. Ν λυθεί η εξίσωση Ρ() = 0 ν = 4 κι β = 1 Μονάδες 13 Δίνετι η συνάρτηση f() = log (4 χ 8) log log7. Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Μονάδες 9 β. Ν ποδειχθεί ότι: f() = log 7 4 8 Μονάδες 6 γ. Ν λυθεί η εξίσωση: f() = 0
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 318 Α. Αν > 0 με 1, τότε γι οποιουσδήποτε ριθμούς θ 1, θ >0, ν ποδείξετε ότι ισχύει: log (θ θ ) = log θ + log θ Μονάδες 9 1 1 Β. Ν γράψετε στο τετράδιό σς το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση 5 3 Α 1. Το πολυώνυμο ( ) ( ) Ρ() = λ 1+λ 3λ + + λ 1είνι το μηδενικό πολυώνυμο, ότν ο πργμτικός ριθμός λ ισούτι με:. 1 β. 0 γ. 1 δ. 5 ε. 5 Β 1. Έστω Ρ() στθερό πολυώνυμο κι Ρ() = 5. Τότε Ρ( ) ισούτι με:. 5 β. 5 γ. δ. ε. 0 Μονάδες 6 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση.. Αν οι ριθμοί, β, γ είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου τότε β = + γ β. Αν σε μι γεωμετρική πρόοδο ο λόγος λ είνι θετικός, τότε όλοι οι όροι της είνι ομόσημοι. γ. Αν >1, τότε η συνάρτηση f() = είνι γνησίως ύξουσ. δ. Η συνάρτηση f() = ln έχει πεδίο ορισμού το [ 0, + ). ε. Η εξίσωση Θέμ ο. Ν λυθεί η εξίσωση: β. Ν ποδείξετε ότι: π ημ = 3 είνι δύντη ημ + 3συν = 0 Μονάδες 1 ( ημ συν)( ημ3 συν3 ) = συν ημ5 Μονάδες 13 Έστω η συνάρτηση f() = ln ( 1). Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Μονάδες 7 β. Ν λυθεί η εξίσωση f() = 0 γ. Ν λυθεί η νίσωση f() >0 Μονάδες 7 Έστω το πολυώνυμο 3 P() = + + 3 + 6. Ν λυθεί η εξίσωση Ρ() = 0 με τη βοήθει του σχήμτος Horner. Μονάδες 1 β. Αν οι 3 +, + 5 κι 3 + με τη σειρά που δίνοντι είνι οι τρεις πρώτοι όροι ριθμητικής προόδου ν δείξετε ότι = Μονάδες 6 γ. Ν βρείτε το άθροισμ των 10 πρώτων όρων της ριθμητικής προόδου του ερωτήμτος (β) Μονάδες 7
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 319 Α. Ν ποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ() με το ρ είνι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου γι = ρ. Είνι δηλδή υ = Ρ( ρ). Μονάδες 9 Β. Αν 0 < 1 κι θ > 0, ν ορίσετε τον log θ. Μονάδες 6 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση.. Ισχύει ημ συν = ημ β. Αν τ πολυώνυμ Ρ() κι Q () είνι μη μηδενικά κι έχουν βθμούς μ κι ν ντίστοιχ τότε το πολυώνυμο Ρ() + Q() έχει βθμό μ + ν. γ. Αν γι την κολουθί ( ν ) είνι ν +1 ν = ω γι κάθε ν ε Ν * τότε η ( ν ) είνι ριθμητική πρόοδος. δ. Η συνάρτηση f() = e έχει σύνολο τιμών το (0, + ). ε. Η συνάρτηση f() = ln γράφετι κι f() = ln. Θέμ ο. Ν λύσετε την εξίσωση: συν + 5συν + 1= 0 Μονάδες 1 β. Γι κάθε πργμτικό ριθμό ν ποδείξετε ότι ημ + συν + ημ = συν Μονάδες 13 Δίνετι το πολυώνυμο Ρ() = ( 7β) 3 + +β 6 όπου, β πργμτικοί ριθμοί.. Αν ο ριθμός 1 είνι ρίζ του Ρ() κι το υπόλοιπο της διίρεση τ ο υ Ρ() μ ε τ ο 1 είνι ίσο με, ν ποδείξετε ότι = 1 κι β = 1 Μονάδες 1 β. Γι τις τιμές των κι β του.ερωτήμτος, ν βρείτε το ν - οστό όρο της ριθμητικής προόδου ( ν ) η οποί έχει: πρώτο όρο τη μικρότερη ρίζ της εξίσωσης Ρ() = 0 κι διφορά ω τη μεγλύτερη ρίζ. Μονάδες 13 Δίνετι η συνάρτηση f() = log(log). Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Μονάδες 8 β. Ν λύσετε την εξίσωση f() = 0 Μονάδες 8 γ. Ν βρείτε το άθροισμ των κερίων Ζ, γι τους οποίους ισχύει f() 1. Μονάδες 9
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 30 A. Αν > 0 με 1 τότε γι οποιοδήποτε θ, θ > 0 ν ποδείξετε ότι 1 log (θ θ ) = log θ + log θ 1 1 Β. Ν δοθεί ο ορισμός της εκθετικής συνάρτησης Μονάδες 5 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). log = log γι κάθε R Μονάδες 5 β. Ο βθμός του γινομένου δύο πολυωνύμων P() Q() με P() 0 κι Q() 0 είνι ίσος με το γινόμενο των βθμών των δύο πολυωνύμων γ. Το πολυώνυμο P() είνι μηδενικού βθμού δ. 1 συν = ημ γι κάθε R ε. Η συνάρτηση f() = l n είνι γνησίως ύξουσ στο (0, + ) κι έχει σύμπτωτη τον άξον y y Θέμ ο Α. Δίνετι το πολυώνυμο 3 P() = + β 1. Ν βρεθούν οι τιμές των, β ώστε ν έχει πράγοντ το χ 1 κι το υπόλοιπο της διίρεσης P():(+1) είνι Β. Γι = 1 κι β =. Ν λυθεί η νίσωση P() 0 β. Ν βρεθούν τ σημεί στ οποί η γρφική πράστση του P() τέμνει τον Δίνετι η συν + 3ημ = 1 με ημ 0, συν 0 Μονάδες 5. Ν δείξετε ότι εφ = 3 Μονάδες 8 β. Ν υπολογίσετε το συν Μονάδες 8 γ. Ν λύσετε την εξίσωση: εφ(χ ) = Μονάδες 9 Δίνοντι οι συνρτήσεις f, g με f() = ln κι g() = ln. Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων f, g β. Ν λυθεί η εξίσωση f () = g() Μονάδες 8 [ ] + g() γ. Ν λυθεί η νίσωση e f( e) Μονάδες 7
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 31 Α. Ν ποδειχτεί ότι: ΘΕΜΑ ΤΑ εφ + εφβ εφ( + β) = Μονάδες 13 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε τις επόμενες προτάσεις με τη λέξη Σωστό ή Λάθος. συν = συν + 1 β. συν( β) = συν συνβ ημ ημβ γ. Έστω πολυώνυμο Ρ() με Ρ(ρ) = 0, τότε το ρ είνι πράγοντς του Ρ() δ. Αν 0 < 1 κι θ 1, θ θετικοί πργμτικοί ριθμοί τότε log θ log θ = log (θ θ ) 1 1 ε. Το μηδενικό πολυώνυμο έχει βθμό μηδέν στ. Αν 0 < 1 < τότε log 1 < log Μονάδες 1 Θέμ ο Δίνετι το πολυώνυμο 3 Ρ() = 5. Ν πο δείξετε ότι το = είνι ρίζ του Μονάδες 6 β. Ν γίνει η διίρεση του Ρ() με το + κι ν γρφεί η τυτότητά της γ. Ν λυθεί η νίσωση Ρ() <0 Ν λυθούν οι εξισώσεις. συν +1 = 0 Μονάδες 6 β. ημ = 1 γ. e 1 Δίνετι η συνάρτηση f με f() = ln e+ 5 Μονάδες 9 Μονάδες 7 4ημ συν = 5 στο διάστημ (π, 4π) Μονάδες 1. Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της β. Ν λυθεί η εξίσωση f( ) = ln
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 3 Α. Ν ποδείξετε ότι έν πολυώνυμο P() έχει πράγοντ το ρ ν κι μόνο ν το ρ είνι ρίζ του P(), δηλδή ν κι μόνο ν P(ρ) = 0. Β. Ν χρκτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λνθσμένη (Λ) κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις :. Το υπόλοιπο της διίρεσης ενός πολυωνύμου P() με το χ είνι ίσο με μηδέν. β. Το πηλίκο της διίρεσης ενός πολυωνύμου P() με το είνι ίσο με P(). γ. Ο βθμός του υπολοίπου σε μι διίρεση πολυωνύμων που δεν είνι τέλει είνι μικρότερος πό το βθμό του πηλίκου. δ. Αν το πολυώνυμο P() είνι πράγοντς του πολυωνύμου Q(), τότε η διίρεση P():Q() είνι τέλει. ο Θέμ ης Α. Ν ντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της 1 στήλης με έν μόνο στοιχείο της ης στήλης : 1 η στήλη η στήλη 1. συν. συν 1 β. ημ - 1. ημ γ. ημ συν 3. ημ( - β) δ. συν συνβ ημ ημβ ε. ημ συνβ ημβ συν 4. συν( + β) στ. ημ συνβ + ημβ συν Μονάδες 8 Β. Ν συμληρωθο ύν οι ισότητες : i. log10 Χ =, ii. log100 Χ =, iii. log1 =, iv. log10 = Μονάδες 8 1 Γ. Ν λυθεί η εξίσωση : log(3 ) = log( + ) log50 Μονάδες 9 ο Θέμ 3 Α. Δίνετι η ριθμητική πρόοδος 45, 39, 33,. N βρείτε τη διφορά ω κι τον όρο 33. Μονάδες 4 β. Πόσοι είνι οι θετικοί όροι της ριθμητικής προόδου; Μονάδες 4 γ. Ν υπολογίσετε το άθροισμ Α = 1 + 1 3 + + 33. Μονάδες 7 3 4 Β. Ν γίνει η διίρεση του πολυωνύμου P( ) = 4 + 4 με το με το σχήμ Horner. Γράψτε ποιο είνι το πηλίκο, ποιο είνι το υπόλοιπο κι ποι η τυτότητ της διίρεσης.. ο Θέμ 4 4 3 Δίνετι το πολυώνυμοp( ) = 7 +( κ+1 ) λ 1. Ν προσδιοριστούν οι πργμτικοί ριθμοί κ, λ ώστε το πολυώνυμο P( ) ν έχει πράγοντ το ( 3 )( + 1 ). β. Γι τις τιμές των κ, λ που βρήκτε στο προηγούμενο ερώτημ ν λύσετε την εξίσωση Ρ(χ ) = 0.
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 33 Α. Αν > 0 με 1, θ >0 κι κ R ν ποδείξετε ότι ισχύει: κ log θ = κlog θ Β. Ν σημειώσετε Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) στις πρκάτω προτάσεις:. Αν <y τότε 1 5 < 1 5 y logθ β. Αν 0 < 1τότε ισχύει = θ γ. Αν θ 1, θ >0 τότε log ( θ θ ) = logθ logθ δ. Ισχύει συν = ημ συν 1 1 ε. Η συνάρτηση f() = ln έχει πεδίο ορισμού το R Θέμ ο Δίνετι η συνάρτηση f() = συν + 4συν +1. Ν πργοντοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης β. Ν λύσετε την εξίσωση f() = 0 Μονάδες 5 Δίνετι το πολυώνυμο. Ν βρείτε τις ρίζες του P() Μονάδες 6 β. Ν πργοντοποιήσετε το P() Μονάδες 4 γ. Ν λύσετε την νίσωση P() >0 Μονάδες 7 3 P() = 7 6 3log log δ. Ν λύσετε την εξίσωση: 10 7 10 6 = 0 Μονάδες 8 Δίνοντι οι συνρτήσεις ( f() = ln e e + 3) κι g() = ln3 + ln e 1. Ν βρείτε τ πιδί ορισμού των συνρτήσε ων ( ) Μονάδες 7 β. Ν λύσετε την εξίσωση f() = g() Μονάδες 8 γ. Ν λύσετε την νίσωση f() >g()
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 34