Vaja : Račuaje z apakami Matej Bažec 9. oktober 25 Povzetek Spozali bomo osove račuaja z apakami. Obovili bomo zaje o absolutih i relativih apakah, smiselosti zapisa decimalih mest i pravila račuaja z aritmetičimi operacijami. Zaje bomo adgradili z račuajem apak poljube fukcijske odvisosti. Naučili se bomo, kaj je to sistematiča i kaj statističa apaka. Sledji bomo posvetili ekaj več pozorosti i se aučili ekaj praktičih posledic cetralega limitega izreka. Uvod Velika večia meritev - izjema so tiste, kjer je rezultat diskreta vredost - je obremejeih z apakami, ki pa lahko imajo različe izvor. Lahko izvirajo iz eatačosti samega ištrumeta, zuajih motej, apake merske metode, račuskih postopkov.... Navajaje apak Recimo, da am ekdo pove, da je dolžia palice cm ±5mm. To am pove, da lahko z veliko gotovostjo trdimo, da je dolžia palice med 99, 5cm i, 5cm. Mar to pomei, če je dejaska dolžia palice 99, 4cm, da se am ta meritev e sklada z realostjo? Odviso. Če bi vam policist a radarju izmeril 5km/h, čeprav veste, da ste vozili 5km/h, bi vam bilo v bolj slabo tolažbo, da je sicer atačost merilca,5km/h, ampak je vaša meritev padla ve iz območja velike gotovosti. Podobo bi se ajbrž pritožili v trgovii, če bi trgovec jamčil, da je palica metrska zotraj območja 5mm. Če pa vam merska aprava z atačostjo 5mm izmeri cm palico, ki je sicer 99, 4cm dolga, po avadi i s tem ič arobe. Zakaj? Kot smo že prej povedali, je apaka meritve območje, zotraj katerega se z veliko gotovostjo ahaja pravi rezultat. Pri meritvah je lahko velika gotovost že 6%, kar pomei dokaj veliko verjetost, da bodo ekatere meritve izve avedeega območja. Pomembo je torej, da se zavedamo, da apaka meritve e pomei ujo jamstva, da je merjei rezultat zotraj območja apake. Če bomo torej želeli jamčiti, da je dolžia palice zotraj območja 5mm, jo bomo morali izmeriti z apravo, ki bo, recimo, a mm atača. Zato je esmiselo podajati apako več kot a velikosti red atačo i jo vedo podamo a eo decimalo mesto atačo. Napake tipa ±4, 62 so esmisele! Iz istega razloga ikoli e avajamo rezultata a tista decimala mesta, ki so majša od apake. Zato je zapis pr. 9, 563 ±, 3 esmisel i zavajujoč. Take rezultate moramo smiselo zaokrožiti. Torej bi bil pravile zapis 9, 6 ±, 3. Prav tako e smemo po drugi strai preveč zaokroževati. Rezultat 2 bi bil pregroba zaokrožitev tega rezultata. Nekateri študeti imajo po avadi težave pri smiselem zaokroževaju velikih i majhih števil. Nakažimo to a primeru človeške višie. Deimo, da smo osebo izmerili, da je 79cm visoka a cm atačo, kar je precej smisel rezultat. Tako, da temu rezultatu i kaj za dodati, iti za odvzeti. Ampak ta isti rezultat lahko po drugi strai podamo v km, m ali µm pustimo ob strai smiselost tega početja). Torej dobimo, da je oseba visoka, 79km,, 79m ali 79µm. V vseh štirih primerih Napaka je območje, zotraj katerega je velika verjetost, da se vredost ahaja. Nikakor pa i zagotovilo, da se v jem zares ahaja. Napako vedo podajamo a eo decimalo mesto atačo. Npr. ±4, ±3, ±, 2 itd. Rezultat smiselo zaokrožimo a velikosti red apake.
gre za e i isti rezultat. Zaima as, kakše lok bo ta oseba arisala, če jo zavrtimo za 6. To izračuamo tako, da pomožimo jeo višio s π/3 =, 4797552. Vstavimo v kalkulator i dobimo 87, 44836664cm. Po drugi strai je to lahko, 8744836664km,, 8744836664m ali 874483, 6664µm. Kako te rezultate smiselo zaokrožimo? Jaso je, da bo tudi ta rezultat imel atačost cm. Torej je smiseli odgovor 87cm. Kako pa je to pri drugih eotah? Pri kilometrih moramo prvih pet mest za decimalo vejico pustiti a miru, pri metrih dve, pri mikroih pa lahko zaemarimo kar štiri mesta pred jo:, 87km,, 87m i 87µm. Kakše lok bi arisal s svojo višio? Smiselo zapiši rezultat v sledečih eotah: cm km m mm µm.2 Absoluta i relativa apaka V dozdajših primerih smo apako avajali s kokretim odstopajem od verjete vredosti. Tako podai apaki pravimo absoluta. Alterativo lahko apako podamo z deležem odstopaja prave vredosti. Tako podai apaki pravimo relativa. V prejšjem primeru je bila meritev 79cm ±cm podaa z absoluto apako cm). Kakše delež predstavlja cm glede a celoto vredost 79cm? cm =, 55866 ) 79cm Relativa apaka je torej,6%. Tudi,5% bi bil pravile rezultat, ikakor pa e,56%. Razmisli zakaj. Celota meritev podaa z relativo apako bi potem bila 79cm ±, 6%). Če je torej prava vredost x, izmerjea vredost x, absoluta apaka pa δx, je relativa apaka δx/x. Popol merski rezultat lahko zapišemo z absoluto apako kot x = x ± δx 2) ali z relativo kot x = x ± δx ). 3) Medtem ko je rezultat poda z absoluto apako vedo smisel, pri relativi i vedo tako. Relativa apaka i smisela pri količiah, ki se podajajo s skalo. Tipiča primera sta podajaje smeri v stopijah ali temperature v celzijevi skali. Nakažimo to a primeru. Recimo, da lahko določimo ladji smer plutja a atačo. Če bi ladja plula v smeri, bi bila relativa apaka %, če pa bi plula v smeri, pa bi bila %. V še večjo zagato bi prišli, če bi želeli a podobe ači dobiti relativo apako za ladjo, ki pluje proti severu. Pomisli zakaj. Ker gre v vseh primerih za isto atačost, je seveda podajaje relative apake esmiselo. Podobe razmislek velja za termometre a celzijevo skalo. Če je ta občutljiv a C, bi bila relativa apaka tik ad lediščem zelo velika pri vrelišču pa komaj %. Mimogrede, za termometre, ki merijo absoluto temperaturo, ta razmislek e velja. Kljub temu to e pomei, da ko gre za kote i stopije celzija, da je relativa apaka vedo esmisela. Če rečemo, da smo izmerili temperaturo razliko 2 C z atačostjo 5%, je rezultat smisel. Prav tako, če rečemo, da smo spremeili kot plutja za 5 z atačostjo %. Zakaj? x Relativo apako dobimo iz absolute tako, da jo delimo s pričakovaim rezultatom; absoluto iz relative pa, da pomožimo relativo apako s pričakovaim rezultatom. 2
.3 Implicito podaa apaka Kljub temu, da imamo pri podaih količiah skoraj vedo opravka z apakami, jih v fiziki i tehiki pogosto e zapisujemo eposredo. Raje uporabljamo dogovor, da je rezultat atače a toliko decimalih mest, kolikor jih je podaih. Če imamo torej zapisa rezultat 2,7 je s tem mišljeo, da je rezultat atače a,. Predvsem zato je pomembo, da smiselo zaokrožujemo. Če račuamo kvadrati kore od 2,7, je torej arobe, če zapišemo 2, 7 = 4, 65832587954. Čeprav je rezultat umeričo toče, se da iz zapisa razbrati, da je jegova atačost,, kar pa i res. Pravilo je torej 2, 7 = 4, 7 i obee decimalke več ali maj). Iz istega razloga e smemo opuščati decimalih ičel. 2, 2, i 2, so umeričo iste vredosti. Toda iz zapisa sklepamo, da so apake,, i, po istem vrstem redu. Zato moramo te ičle obvezo pisati če je seveda to utemeljeo z atačostjo). Narobe je torej zapis, 233 +, 767 = 3, ker smo pri rezultatu opustili preveč ičel. Pravilo bi bilo, 233 +, 767 = 3,. 2 Račuaje z apakami 2. Osove aritmetiče operacije Recimo, da smo izmerili dve količii x = x ± δx i y = y ± δy. Radi bi dobili oceo apake za vsoto obeh. Ker se x z veliko verjetostjo ahaja med x δx i x + δx i podobo tudi y, se bo vsota z veliko verjetostjo ahajala med x δx) + y δy) i x + δx) + y + δy). Torej bo absoluta apaka δx + δy. Izpeljimo to še s formulo. Pri seštevaju i odštevaju se absolute apake seštevajo x + y = x ± δx) + y ± δy) = x + y ) ± δx + δy) 4) Tukaj je a mestu še odstavek za zahtevejše bralce. Verjetost, da je x ad izmerjeo vredostjo x je 5% i 5% pod jo. Isto velja za y. Zdaj pa se postavi vprašaje, kako sta meritvi x i y povezai - pri meritvah rečemo korelirai, ker je to dobro defiiraa matematiča količia, v katero pa se a tem mestu e bomo spuščali. Če merimo dve dolžii s koviskim metrom, ki je pred tem bil izpostavlje moči vročii, lahko upravičeo sklepamo, da smo obe dolžii izmerili prekratki ker se je meter a vročii raztegil). Torej sta apaki v tem primeru med seboj povezai. Če pa merimo maso dveh vijakov v škatli, imamo obeega razloga, da bi sklepali, da sta oba vijaka težja ali lažja) od povprečja v škatli. Torej sta meritvi ekorelirai. Verjetost, da sta oba težja oziroma lažja)od povprečja je tedaj 25%. V 5% pa bo e vijak težji, drugi pa lažji. Torej se bo pri seštevaju ekoreliraih količi apaka v povprečju popravljala. Za korelirae apake bomo torej uporabljali eačbo 4), za ekorelirae pa δ x+y = δx 2 + δy 2. 5) Zadje eačbe e bomo izpeljevali, ker presega aše zaimaje[2]. Zaradi arave apak, ki se zaokrožujejo le a prvo decimalo mesto, je prazaprav vseeo, katero od obeh eačb uporabljamo, dokler seštevamo samo dve količii. Če pa seštevamo ali več količi, pa je razlika občuta. Pri odštevaju postopamo podobo kot pri seštevaju: x y = x ± δx) y ± δy) = x y ) ± δx + δy). 6) Razmisli, zakaj je v zadjem oklepaju plus amesto miusa. Torej tudi pri odštevaju seštevamo absolute apake. Vedar za biti odštevaje s stališča apak problematičo. Zakaj? Recimo, da se odločite, da boste za asledje prazike pekli potico. Recept zahteva,5kg moke. Najprej bomo stehtali skledo - pr. 7g. Nato bomo vsuli oter toliko moke, da bo tehtica pokazala 67g. Tehtica ima 5g atačost, Odštevaje dveh količi, ki sta si podobi, je s stališča apak problematičo. 3
torej boste lahko upravičeo sklepali, da je v skledi 5g ± g moke, pri čemer je bila atačost tehtice kar 3. Kaj pa če se vam je pokvarila kuhijska tehtica? Stopili boste a tehtico za spremljaje telese teže i izmerili 82,4kg. Ta tehtica je atača a,2kg. Nato boste vzeli v aročje toliko moke, da bo tehtica pokazala 83,9kg. Torej imate a sebi 5g ± 4g moke. V tem primeru predstavlja apaka že skoraj tretjio izmerjee vredosti, tudi če je atačost tehtice 2. Vidimo, da odštevaje količi samo po sebi i problematičo, lahko pa povzroča težave, če sta si odštevai količii preblizu. Takrat bo tudi rezultat blizu i relativa apaka bo poskočila. Pri možeju bomo raje uporabili zapis z relativo apako. xy = x ± δx ) y x ± δy y ) = x y ± δx ± δy ± δx ) δy x y x y 7) Pri možeju i deljeju seštevamo relative apake. Zadji čle v oklepaju lahko zaemarimo - pravzaprav ga moramo zaemariti, saj apake zaokrožujemo a eo decimalo mesto. Recimo, da sta obe relativi apaki δx/x = δy/y = %. Potem je ju produkt δx/x )δy/y ) = %. Zadosti je torej, da upoštevamo tiste prispevke, ki so lieari v apakah. Zato je produkt dveh merjeih količi eak δx xy = x y ± + δy )) 8) x y Torej se pri možeju relative apake seštevajo. Podobo je pri deljeju. Upoštevamo liearo aproksimacijo za / + h): h. 9) + h Relativa apaka je amreč vedo majša od, v asprotem primeru lahko govorimo le o ocei i ikakor e o meritvi. Torej lahko uporabljamo liearo aproksimacijo za relativo apako. Pravzaprav je esmiselo uporabiti karkoli atačejšega. Razmisli zakaj. Zato lahko tudi /y zapišemo kot y = y ± δy = y y ± δy y Kvociet x/y ato obravavamo kot produkt x i /y. ). ) x y = x δx ± + δy )). ) y x y Vpiši rezultate račuov, ki jih dobiš a http://vaje.fpp.ui-lj.si/ tm, vaja, aloga...:. 2.:. 3.:. 4.:. 5.: 2.2 Napaka sploše fukcije Včasih lahko astopa pri pretvorbi iz meritve v rezultat kakša zahtevejša operacija. Lep primer je fukcija sius. Recimo torej, da potrebujemo si θ v rezultatu, izmerili pa smo kot θ, ki je eak 3. Če je θ atača a, a koliko je atače izraz si θ? Ea možost je, da izračuamo vredost siusa pri 29 i pri 3 si 29 =, 4848 i si 3 =, 55). Obe vredosti odstopata za približo,5, torej je apaka,2. 4
Obstaja tudi elegatejši i bolj sploše) ači, kako apako izračuamo. Podobo kot pri deljeju si lahko tudi tukaj izposodimo liearo aproksimacijo. Za splošo fukcijo f velja fx + x) fx ) + xf x ). 2) Če je x toča vredost x i x odstopaje aše meritve od prave vredosti i je torej istega velikostega reda kot apaka meritve), potem lahko dobimo apako količie f iz velikostega reda razlike fx + x) fx ). Torej je apaka f ozačimo jo z ɛ f ) ɛ f = f x )ɛ x, 3) kjer je ɛ x apaka merjeja količie x. Vrimo se a aš primer. Izračuamo odvod siusa i dobimo apako meritve cos3 ), 7 =, 5, 2. Razmisli, zakaj smo uporabili ɛ x =, 7 i e ɛ x =. Odkod,7 sploh pride? Napaka količie, ki je v fukcijski zvezi z merjeo količio, je eaka produktu odvoda fukcije i apake merjee količie. Vpiši rezultate račuov, ki jih dobiš a http://vaje.fpp.ui-lj.si/ tm, vaja, aloga 2. 2..: 2. 2.: 2. 3.: 3 Sistematiča i statističa apaka 3. Izvori apak Napake lahko imajo različe izvore, ampak v grobem jih delimo v dve skupii: sistematiče i statističe. Sistematiče so tiste, ki se s poavljajem meritve e spremijajo. Tisti del, ki se spremija pa je statističa apaka. Sistematiča apaka je tipičo apaka merske aprave. Razlogov za to je lahko več. Do apake lahko pride pri umeritvi kalibraciji) ištrumeta, lahko pa je sama merska metoda eatača. Do sledjega pride ajvečkrat zaradi uporabe liearih zvez za količie, ki iso v lieari odvisosti. Lep primer je raztegje meter. Vedo bo kazal majšo dolžio, kot je pravila. Po drugi strai pa lahko meritev motijo pojavi, ki so bolj kot e aključi. Največkrat je to električi šum. Lahko pa so to glede a tip meritve mehaske vibracije, radioaktivi razpad, elieari pojavi pri pretakaju fluidov... Ker se tovrste motje pojavljajo časovo aključo, lahko upravičeo pričakujemo, da bomo s poavljajem meritev izboljšali merski rezultat. Statističo apako torej lahko dobimo tako, da meritev večkrat poovimo, iz odstopaja pa določimo statističo apako. S sistematičo apako pa i tako eostavo. Nekega splošega pravila, kako jo dobimo, i. Največkrat se poslužujemo specifikacije ištrumeta, kjer je tipičo avedea atačost. Če tega imamo, oceimo atačost ištrumeta tako, da opravimo meritev že zae količie, vedar to i vedo eostavo. Sistematiče apake e popravimo s poavljajem meritve, statističo lahko. 3.2 Statističa apaka Medtem ko je sistematiča apaka odvisa od same meritve i jo moramo določiti za vsako meritev posebej, veljajo za statističo apako določea račuska pravila. Najprej si bomo pogledali, kako lahko zmajšamo statističo apako meritve s poavljajem. Recimo, da merimo količio x. Njea prava vredost aj bo x. Odstopaje aše meritve x od prave aj bo δx i aj ima statističo apako σ jeo točo defiicijo si bomo pogledali kaseje). Torej morata biti δx i σ istega velikostega razreda i x = x + δx. Pozor: δx je odstopaje meritve od pravega rezultata, torej 5
je lahko pozitivo ali egativo, σ pa am pove širio itervala v katero bo večji del teh meritev padel i je vedo pozitive. Opravimo sedaj takih meritev. i-to meritev bomo ozačili z x i i jeo odstopaje od x z δx i. Ker so meritve iste imajo vse isto apako σ. Privzeli bomo tudi, da so meritve med seboj ekorelirae. Zaima as, kakša bo apaka povprečja takih meritev. Ozačimo z A povprečje količie A. Ločiti moramo povprečje količie, ki je eodviso od kokrete meritve, od povprečja kokrete serije meritev. Jaso je, da je x i = x i je torej δx i =. Statističo apako σ defiiramo kot kore povprečja kvadratov odstopaj σ 2 = δx 2 i. Povprečje povprečja bo eako x : x i = x i = x = x, 4) kar je pričakova rezultat. Izračuajmo statističo apako σ povprečja meritev. σ 2 = ) 2 x i x = Kvadrat vsote razvijemo po dvoji vsoti. ) 2 δx i 5) Statističa apaka je defiiraa kot kore povprečja kvadratov odstopaj σ = δx 2. Statističa apaka pada z iverzom korea števila poovitev meritve σ = σ. σ 2 = ) 2 x i x = 2 δx i δx j = j= 2 δx i δx j 6) j= Ustavimo se malo pri produktu δx i δx j. Če sta meritvi ekorelirai med sabo, je δx i δx j = δx i δx j raze, ko je i = j, ker gre takrat za eo i isto meritev). Toda povprečje odmika je eako ič. Torej bo δx i δx j eak za vse vredosti raze za tiste z i = j. Torej lahko seštevaje po j opustimo. σ 2 = 2 Koreimo levo i deso stra, pa dobimo δx 2 i = 2 σ 2 = σ2 7) σ = σ. 8) Iz tega rezultata lepo vidimo, da statističa apaka pada s poalvjajem meritev. Vedar je to padaje koresko. To pomei, da bomo z malim številom meritev bistveo izboljšali apako, za večjo atačost pa bomo morali meritev poavljati velikokrat. Tako s štirimi meritvami apako razpolovimo, če pa jo želimo zmajšati za -krat, pa moramo opraviti meritev. Tudi sicer je zmajšaje statističe apake pod velikosti red sistematiče esmiselo. 3.3 Cetrali limiti izrek Še ea lepa lastost odlikuje statističo apako, izvira pa iz cetralega limitega izreka, ki velja za temelji izrek statistike. Da se amreč pokazati, da gre porazdelitev povprečja statističo ekoreliraih dogodkov v ašem primeru meritev) proti ormali reče se ji tudi Gaussova) porazdelitvi P x), ko gre število dogodkov proti eskočosti: P x) = e x x )2 2σ 2, 9) 2πσ Povprečje več meritev kovergira h Gaussovi porazdelitvi. kjer je x povprečje porazdelitve, σ pa stadarda deviacija v ašem primeru je to statističa apaka). Odstavek za zahtevejše bralce: kovergeca pri cetralem limitem izreku je mišljea kot kovergeca po distribuciji meri) i e kot kovergeca po točkah. 6
.2 N=.3.25 N=2.5.2..5.5..5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6.5.4.3 N=5.7.6.5.4 N=.2.3..2. 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 Slika : Porazdelitev povprečja meta kocke pri eem, dveh, petih i dvajsetih metih. Zrave je prikazaa Gaussova porazdelitev z isto sredjo vredostjo 3,5) i stadardo deviacijo,78,,28,,764 i,54). Prvo pomei, da kovergira povpreča porazdelitev a poljubo majhem ampak še vedo kočem) itervalu proti eki vredosti, drugo pa, da kovergira vredost porazdelitve v posamezi točki x. Najlepše pokažemo cetrali limiti izrek a primeru meta kocke. E sam met kocke je daleč od Gaussove porazdelitve. Verjetost, da bo padla posameza številka je eako /6. Torej bo povprečje eega meta 3, 5 s stadardo deviacijo σ =, 78: σ 2 = 6 i 3, 5) 2 = 2, 97 2) 6 Sedaj pa as zaima, kako je s povprečjem več metov kocke. Kocko bomo metali večkrat i izračuali povprečje več metov. Jaso je, da je v vseh primerih e glede a število metov povprečje povpreče vredosti eako 3,5. Stadarda deviacija pa se zmajšuje s številom meteov v skladu s formulo 8). Na sliki vidimo, kako se s številom meta kock porazdelitev vse bolj približuje Gaussovi. 3.4 Pravilo dveh tretji Statističo apako σ ee meritve lahko oceimo iz odstopaja rezultatov več meritev. Če imamo N meritev količie x, pri čemer je x i i-ta meritev, lahko izračuamo povprečje teh meritev z x p = N x i. 2) N Tako izračuao povprečje x p seveda e bo eako toči vredosti x, saj je tudi samo obremejeo z apako σ N, ki pa e vemo, kolikša je. Oceo za apako lahko dobimo iz σ 2 N x i x p ) 2. 22) N Ne bomo se spuščali v razloge, zakaj je N v imeovalcu i e N, ima pa to ekaj za opraviti z dejstvom, da odštevamo x p od aših meritev i e x. Zahtevejši bralec si lahko kaj več o tem pogleda v []. S takim postopkom sicer lahko določimo statističo apako, vedar je ta ači zamude. Obstaja amreč eo pravilo, ki am delo olajša, je pa eposreda posledica cetralega limitega izreka. Najprej izračuajmo verjetost P, da je meritev 7 Statističo apako lahko dobimo tako, da poiščemo sredji iterval, v katerega bo padlo 2/3 meritev.
zotraj itervala med x σ i x + σ. To aredimo tako, da itegriramo verjetosto porazdelitev a tem itervalu. Pravo porazdelitev adomestimo z Gaussovo i dobimo izraz x +σ P = e x x )2 2σ 2 dx. 23) 2πσ x σ Itegral preuredimo z vpeljavo ove spremeljivke u = x x )/σ. Dobimo P = 2π e u2 2 du. 24) Niti tega itegrala se e da izraziti z elemetarimi fukcijami lahko ga sicer izrazimo s fukcijo erf). Vidimo pa, da izraz i odvise e od x e od σ i je eak za vse Gaussove porazdelitve. Njegova vredost je,682689. Ker se am gre pri ocei apake le za je velikosti razred, lahko to vredost zaokrožimo a dve tretjii. To pomei, da bo v ei seriji meritev približo 2/3 meritev zotraj itervala. Če bomo torej zavrgli /3 meritev, ki bodo ajbolj odstopale od povprečja, bodo preostale meritve odstopale za ajveč σ od povprečja. Poberi podatke tretje aloge s splete strai. Z eim od urejevalikov razpredelic MS Excel, LO Calc... ) izračuaj povprečje i ocei statističo apako po formulah 2) i 22). Sledjo izračuaj tudi s pravilom dveh tretji. Razpredelico atisi i jo priloži poročilu za vaje. x = σ= po formuli) σ= pravilo dveh tretji) 4 Sloviča opazka Po sloveskem pravopisu pa e samo sloveskem) se med količio i eoto piše presledek pr. 3 m i e 3m. To pravilo zavesto kršim, ker se z jim e strijam i se zavzemam za jegovo spremembo. Literatura [] I. Kuščer i A. Kodre. Matematika v fiziki i tehiki. DMFA, Ljubljaa, 994. [2] A. Likar. Osove fizikalih merjej i merilih sistemov. DMFA, Ljubljaa, 992. [3] M. Valič. Fizikale meritve. 8