Kefˆlio 8 IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Σημειώσεις Γ. Γεωργίου, ΜΑΣ. 8. iplˆ oloklhr mt 8.. iplì olokl rwm se orjog nio Ορίζουμε πρώτα το διπλό ολοκλήρωμα (double integrl), R[,b]X[,d] d f(, ) da R πάνω σ ένα ορθογώνιο R [, b] [, d] b το οποίο ϕαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ορισμός - Διπλό ολοκλήρωμα πάνω σε ορθογώνιο Εστω η συνάρτηση f : R R, όπου R[, b] [, d]. Θεωρούμε μια διαμέριση του R τάξης n: < < < n b, < < < n d ms/notes/ch8integrls/hp8.te
KEFŸALAIO 8. IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA με j+ j και το αντίστοιχο άθροισμα Riemnn: b n, k+ k d n, S n f( jk ), n n j k όπου jk R jk [ j, j+ ] [ k, k+ ]. Αν η ακολουθία {S n } συγκλίνει σε ένα όριο S όταν n και το όριο S είναι το ίδιο για οποιαδήποτε επιλογή σημείων jk στα ορθογώνια R jk, τότε λέμε ότι η f είναι ολοκληρώσιμη πάνω στο R και γράϕουμε R f(, ) dd lim f( jk ) S. (8.) n n n j k Θεώρημα Fubini Εστω f συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R[, b] [, d]. Τότε ισχύει b d f(, ) dd d b f(, ) dd R f(, ) da. (8.) Απόδειξη Θα δείξουμε μόνο τη μια ισότητα, I b d αϕού η άλλη αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο. f(, ) dd R f(, ) da, Εστω < < < n d μια κανονική διαμέριση του [, d]. Εχουμε τότε: [ b ] d [ b n ] k+ I f(, ) d d f(, ) d d. Επειδή η f είναι συνεχής, από την ολοκληρωτική εκδοχή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, υπάρχει Y k () [ k, k+ ] τέτοιο ώστε k+ k f(, ) d f(, Y k ()) ( k+ k ). Άρα I [ b n k k ] f(, Y k ()) ( k+ k ) d. Εκϕράζοντας το τελευταίο ολοκλήρωμα ως όριο αθροίσματος Riemnn, έχουμε I lim n k f(p j, Y k (P j )) ( k+ k ) ( j+ j ) n n j k
8.. IPLŸA OLOKLHRŸWMATA όπου < < < n b μια διαμέριση του [, b] και P j [ j, j+ ]. Θέτοντας jk (P j, Y k (P j )) R jk όπου R jk [ j, j+ ] [ k, k+ ], έχουμε I lim n f( jk ) ( k+ k ) ( j+ j ) n n j k R f(, ) da. Παρατήρηση: Το Θεώρημα του Fubini μας επιτρέπει να αλλάξουμε τη σειρά ολοκλήρωσης. Αυτό, σε αρκετές περιπτώσεις, διευκολύνει τον υπολογισμό του ολοκληρώματος. Παράδειγμα Υπολογίστε το ολοκλήρωμα όπου R[, ] [, ]. R 4 da R 4 da 4 d d 4 d [ d 4 ] [ ] 8 9 Παράδειγμα Δείξτε ότι Θεωρούμε τη συνάρτηση lim n n n n j k e j + k n (e ) f(, ) e + στο τετράγωνο R[, ] [, ] και την κανονική διαμέριση του R σε n n τετράγωνα: < < < n, < < < n, Εχουμε τότε j j n, k k n, n, n. Επιλέγοντας το jk ( j, k ) R jk [ j, j+ ] [ k, k+ ] έχουμε το άθροισμα Riemnn: S n f( jk ) n n j k n n j k e j + n k n n n n j k e j + k n. Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι lim S n e + dd n R e + dd e d e d [ e ] [ e ] (e ).
4 KEFŸALAIO 8. IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Από τις πιο πάνω σχέσεις έχουμε τελικά: lim n n n n j k e j + k n lim n S n (e ) Παράδειγμα Δείξτε ότι Θεωρούμε τη συνάρτηση lim n n n n sin j n sin k ( os ) n j k f(, ) sin sin στο τετράγωνο R[, ] [, ] και την κανονική διαμέριση του R σε n n τετράγωνα: < < < n, < < < n, Εχουμε τότε j j n, k k n, n, n. Επιλέγοντας το jk ( j, k ) R jk [ j, j+ ] [ k, k+ ] έχουμε το άθροισμα Riemnn: S n f( jk ) n n j k sin j n sin k n n n j k n n sin j n sin k n. n n j k Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι lim S n n R sin sin dd sin d Από τις πιο πάνω σχέσεις έχουμε τελικά: lim n n n n sin sin dd sin d [ os ] [ os ] ( os ). sin j n sin k n j k lim S n ( os ) n
8.. IPLŸA OLOKLHRŸWMATA 5 8.. iplˆ oloklhr mt se pio genikˆ qwrð Από τις σημειώσεις του μαθήματος, διακρίνουμε τα χωρία τύπου, τύπου και τύπου. Τα τελευταία είναι αυτά που είναι και τύπου και τύπου. Παράδειγμα Υπολογίστε τον όγκο που βρίσκεται κάτω από το γράϕημα της και πάνω από το ορθογώνιο R[, ] [, ]. f(, ) + 4 V ( +4 )dd ] ( [ + 4 d + ) [ d + ] 68 Παράδειγμα Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα: + d d. ή Το αρχικό χωρίο ολοκλήρωσης είναι τύπου :,. Επειδή δεν είναι εύκολο να ολοκληρώσουμε, αλλάζουμε τη σειρά ολοκλήρωσης και θεωρούμε το χωρίο ως χωρίο τύπου :,. Εχουμε λοιπόν για το ολοκλήρωμά μας: I + d d + d d + [] d + d( + ) + d [( + ) /] 9 ( )
6 KEFŸALAIO 8. IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Παράδειγμα Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα όπου I { (, ) R +, dd } + b, >, > b > b b Το χωρίο είναι το χωρίο που περιέχεται μεταξύ της έλλειψης και του κύκλου Ψ () b Ψ () με. Εχουμε λοιπόν ένα χωρίο τύπου. I dd [ ( b ) ] b 5 ( b ) Ψ() d Ψ () d d [ ( ) ( ) d ( b ) b ( ] ) d ] [ 5 5 Παράδειγμα 4 (α) Σχεδιάστε το χωρίο (β) (γ) Υπολογίστε το { (, ) R [, π/], sin }. π/ sin sin dd Υπολογίστε το πιο πάνω ολοκλήρωμα αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης. Βοηθητικά ολοκληρώματα sin sin d + 4 και d + sin
8.. IPLŸA OLOKLHRŸWMATA 7 (α) { (, ) R [, π/], sin }. sin π/ (β) Το λαμβάνεται σαν χωρίο τύπου. I π/ sin [ os + sin dd sin 4 π/ ] π/ π/ [sin ] sin d ( sin sin ) d π 4 (γ) Θεωρούμε τώρα το σαν χωρίο τύπου : Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης παίρνουμε: { (, ) R [, ], sin }. I sin sin dd [ ] d [ os ] sin [ d os(sin ) + os ] d [ ] sin π 4
8 KEFŸALAIO 8. IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Παράδειγμα 5 Βρείτε τον όγκο του στερεού που βρίσκεται κάτω από το παραβολοειδές z + και πάνω από το χωρίο που περικλείεται από τις και -. Βρίσκουμε τα σημεία τομής των και - : } Οι καμπύλες τέμνονται στα και. Το είναι χωρίο τύπου : { (, ) R [, ], }. Επειδή z + για όλα τα και, έχουμε για τον ζητούμενο όγκο: V ( + ) dd [ ( ) ( ) ] d [ 7 7 + 6 4 5 5 + 4 ] 44 5 [ + ] d ( 6 + 5 4 4 + 4 ) d Δίνουμε τώρα το θεώρημα μέσης τιμής για διπλά ολοκληρώματα. Θεώρημα Μέσης Τιμής για Διπλά Ολοκληρώματα Υποθέτουμε ότι η f : R είναι συνεχής και το είναι ένα στοιχειώδες χωρίο στο επίπεδο. Τότε για κάποιο σημείο (, ) ισχύει f(, ) da f(, ) A(), (8.) όπου A() το εμβαδόν του : A() da.
8.. IPLŸA OLOKLHRŸWMATA 9 Παράδειγμα Δείξτε ότι 6 da + 4, όπου το τρίγωνο με κορυϕές (, ), (, ) και (, ). (, ) (, ) Η συνάρτηση f(, ) + ορίζει μια επίπεδη επιϕάνεια και παίρνει τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της στις κορυϕές του τριγώνου. Επειδή, f(, ) στο ισχύει f(, ) f(, ) f(, ). Άρα f(, ) Επειδή A()/, έχουμε τελικά A() da da + da da + A(). 6 da + 4. Παράδειγμα Δείξτε ότι Είναι ϕανερό ότι στο [, ] [, 4] η 4e 5 [,] [,4] e + da 4e 5 f(, ) e + παίρνει την ελάχιστή της τιμή στο (, ) και την μέγιστή της στο (, 4). Άρα e 5 e + e 5 e 5 da e + da αϕού [,] [,4] 4e 5 [,] [,4] A([, ] [, 4]) [,] [,4] e + da 4e 5 [,] [,4] da 4. [,] [,4] e 5 da
KEFŸALAIO 8. IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Τα παραδείγματα που ακολουθούν είναι πιο θεωρητικά. Παράδειγμα Δείξτε ότι d d d f(,, z) dzd d f(,, z) dz + d f (,, z) dzd. (8.4) ος τρόπος Χρησιμοποιούμε τον κανόνα της αλυσίδας και το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού. Θεωρούμε τη συνάρτηση F (, w) d f(w,, z) dzd όπου ww(). Από τον κανόνα της αλυσίδας έχουμε df d F + F dw w d d d d f(w,, z) dzd d d f(w,, z) dzd + f(w,, z) dz + d w d f w (w,, z) dzd dw d f(w,, z) dzd dw d Θέτοντας w βρίσκουμε τη ζητούμενη σχέση. ος τρόπος Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της παραγώγου. d d d f(,, z) dzd lim [ + d f( +,, z) dzd d f(,, z) dzd ].
8.. IPLŸA OLOKLHRŸWMATA Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι >, οπότε d A d f(,, z) dzd d [ d lim f( +,, z) dzd + [ lim d lim d Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι + + d d + d f( +,, z) dzd {f( +,, z) f(,, z)} dzd f( +,, z) dzd f( +,, z) f(,, z) dzd + lim f (,, z) dzd + + d lim + d ] d f( +,, z) dzd f(,, z) dzd f( +,, z) dzd ] I lim + d f( +,, z) dzd Από το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει ξ [, + ] τέτοιο ώστε d f(,, z) dz + d f( +,, z) dzd Επειδή ξ καθώς βρίσκουμε ότι d f( +, ξ, z) dz ( ) I lim και η πρόταση έχει αποδειχθεί. d f( +, ξ, z) dz ( ) d f(,, z) dz
KEFŸALAIO 8. IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Παράδειγμα Αν η F είναι συνεχής στο [, ) δείξτε ότι [ t ] F (u)du dt ( u) F (u)du (8.5) u ut Το δοσμένο ολοκλήρωμα, I [ t ] F (u)du dt, u t είναι ολοκλήρωμα πάνω σε χωρίο τύπου όπως ϕαίνεται στο σχήμα. u tu t t Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης θεωρούμε το χωρίο ως χωρίο τύπου και έχουμε [ ] I F (u)dt du [F (u)t] u du u [ t ] F (u)du dt ( u) F (u)du
8.. TRIPLŸA OLOKLHRŸWMATA 8. Triplˆ oloklhr mt 8.. Triplì olokl rwm se orjog nio prllhlepðpedo Ορίζουμε πρώτα το τριπλό ολοκλήρωμα (triple integrl), f(, ) dv πάνω σ ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο B [, b] [, d] [u, v]. B Ορισμός - Τριπλό ολοκλήρωμα πάνω σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Εστω η συνάρτηση f : B R, όπου B[, b] [, d] [u, v]. Θεωρούμε μια διαμέριση του B τάξης n: με < < < n b, < < < n d, u z < z < < z n v, j+ j και το αντίστοιχο άθροισμα Riemnn: b n, k+ k d n, z z i+ z i u v, n S n f( ijk ) z, n n n i j k όπου ijk B ijk [ j, j+ ] [ k, k+ ] [z i, z i+ ]. Αν η ακολουθία {S n } συγκλίνει σε ένα όριο S όταν n και το όριο S είναι το ίδιο για οποιαδήποτε επιλογή σημείων ijk στα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα B ijk, τότε λέμε ότι η f είναι ολοκληρώσιμη πάνω στο B και γράϕουμε B f(,, z) dddz n lim n i n n f( ijk ) z S. (8.6) j k Παράδειγμα Αν οι f, g και h είναι συνεχείς στα [, b], [, d] και [u, v] αντίστοιχα, δείξτε ότι b d [ v ] [ b d f() g() h(z) dzdd f() d g() d u ] [ v u ] h(z) dz. (8.7) Αν F, G και H είναι οι αντιπαράγωγοι των f, g και h αντίστοιχα, από το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού έχουμε: b f() d F (b) F (), d g() d G(d) G(), v u h(z) dz H(v) H(u).
4 KEFŸALAIO 8. IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Θα δείξουμε λοιπόν ότι I b d v u Ολοκληρώνοντας διαδοχικά έχουμε: f() g() h(z) dzdd [F (b) F ()] [G(d) G()] [H(v) H(u)]. I b d b d [H(v) H(u)] [H(v) H(u)] [f() g() H(z)] v u dd f() g() [H(v) H(u)] dd b b [f() G()] d d [G(d) G()] [H(v) H(u)] f() [G(d) G()] d b f() d [F (b) F ()] [G(d) G()] [H(v) H(u)]. Παράδειγμα e sin z dzdd [ ] [ e d ] [ sin d [ z 4 ] h(z)z ] [e ] [ os ] 4 ( e e ) ( ) 8 ( os + os ) 4 (e ) (os os ).
8.. TRIPLŸA OLOKLHRŸWMATA 5 8.. Triplˆ oloklhr mt se pio genikˆ qwrð Από τις σημειώσεις του μαθήματος, διακρίνουμε τα χωρία τύπου, τύπου και τύπου. Παράδειγμα Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού που περικλείεται από τον κύλινδρο + 9 και τα επίπεδα z και + z5. z +z5 + 9 Το στερεό Ω καθώς και η προβολή του στο επίπεδο ϕαίνονται στο διπλανό σχήμα. z + 9 Για τον όγκο του στερεού έχουμε: V (Ω) 4 dv 9 9 9 5 9 9 dd dzdd 9 9 (4 ) dd 9 dd 4 A() 6π Χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι το δεύτερο ολοκλήρωμα μηδενίζεται λόγω συμμετρίας. Αν δεν δούμε τη συμμετρία, μπορούμε να το υπολογίσουμε εύκολα εργαζόμενοι σε πολικές συντεταγμένες με r os θ και r sin θ: I 9 9 dd π r os θ r drdθ π os θ [ r ] dθ 8 [sin θ]π
6 KEFŸALAIO 8. IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Παράδειγμα Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα: όπου S το χωρίο που ορίζεται από τις: S z d d dz,,, z, + + z. z z Το χωρίο S είναι τύπου και ορίζεται από τις: z Εχουμε λοιπόν για το ολοκλήρωμά μας: I S z d d dz z dz d d ] [ z d d ( ) d d [ ( ) ] d d ( ) ] d 4 8 [ ( ) ( ) ] [( ) 4 4 ( ) d d 6 ( ) d( ) 6 [ ( ) ] 48.
8.. TRIPLŸA OLOKLHRŸWMATA 7 Παράδειγμα : (α) Σχεδιάστε πρόχειρα το χωρίο ολοκλήρωσης και υπολογίστε το ολοκλήρωμα ( + ) dd (β) Σχεδιάστε πρόχειρα το χωρίο ολοκλήρωσης και υπολογίστε το ολοκλήρωμα ( + ) dd (γ) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα στο (β) αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης. (α) I ( + ) dd ] [ + 4 d ( ) + d [ 5 5/ + 6 ] 7 (β) I ( + ) dd ] [ + 4 d ( + 4 [ ] 5 5/ 6 5 5 ) d (γ)
8 KEFŸALAIO 8. IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Αντιμετωπίζουμε τώρα το χωρίο σαν τύπου : και Εχουμε τώρα για το ολοκλήρωμά μας: I [ ( + ) dd [ ] + d ( + ) 4 5 d 6 + 5 6 ] 5
8.. ALLAGŸH TWN METABLHTŸWN 9 8. Allg twn metblht n Ορισμός: Ιακωβιανή στον R Εστω T : W R R μια C συνάρτηση που ορίζεται από τις (u, v, w), (u, v, w), z z(u, v, w). (8.8) Η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού T είναι η ορίζουσα: u (,, z) (u, v, w) u z u v v z v w w z w (8.9) Μετασχηματισμός από κυλινδρικές σε καρτεσιανές συντεταγμένες Γνωρίζουμε ότι r os θ, r sin θ, z z, οπότε Επειδή (,, z) (r, θ, z) έχουμε επίσης r r z r θ θ z θ z z z z (,, z) (r, θ, z) os θ r os θ sin θ r os θ (r, θ, z) (,, z) (r, θ, z) (,, z) r. r (os θ + sin θ) r. Θεώρημα αλλαγής των μεταβλητών για διπλά ολοκληρώματα Εστω και στοιχειώδη χωρία στο επίπεδο τέτοια ώστε T ( ), όπου η απεικόνιση T : είναι C και ένα-προς-ένα στο. Για κάθε ολοκληρώσιμη συνάρτηση f : R ισχύει f(, ) dd f((u, v), (u, v)) (, ) (u, v) dudv (8.) Θεώρημα αλλαγής των μεταβλητών για τριπλά ολοκληρώματα Εστω W και W στοιχειώδη χωρία στο χώρο τέτοια ώστε T (W )W, όπου η απεικόνιση T : W W είναι C και ένα-προς-ένα στο W. Για κάθε ολοκληρώσιμη συνάρτηση f : W R ισχύει f(,, z) dddz f((u, v, w), (u, v, w), z(u, v, w)) (,, z) (u, v, w) dudvdw (8.) W
KEFŸALAIO 8. IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Παράδειγμα Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις με τη χρήση διπλού ολοκληρώματος. + 4, + 4, θ π/ + 4 r 4 osθ θ + 4 4 Το χωρίο ολοκλήρωσης ϕαίνεται στο σχήμα. Θα εργαστούμε σε πολικές συντεταγμένες. Βρίσκουμε το σημείο τομής των δύο κύκλων: 4 4 και. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, το σημείο τομής είναι λοιπόν το (, ). (r, θ), αυτό γίνεται (, π/). Τα όρια της ολοκλήρωσης είναι Σε πολικές συντεταγμένες θ π και r r(θ). Το r(θ) μπορούμε να το βρούμε με τον νόμο των ημιτόνων: r(θ) sin(π θ) sin θ r(θ) sin θ sin θ r(θ) 4 os θ Για το εμβαδόν του χωρίου έχουμε A() dd π/ r drdθ (6 os θ 4) dθ [θ + sin θ] π/ π/ 4 os θ π/ ( π + sin π r drdθ π/ [ r ] 4 os θ π/ (4 os θ ) dθ ( + os θ) dθ ) ( ) π + (π + ). dθ
8.. ALLAGŸH TWN METABLHTŸWN Παράδειγμα (α) Σχεδιάστε το τρισδιάστατο χωρίο (β) T { (,, z) R : + + z 9,,, z } Σχεδιάστε το χωρίο T που προκύπτει μετασχηματίζοντας το T σε σϕαιρικές συντεταγμένες με (γ) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα r os θ sin ϕ, r sin θ sin ϕ, z r os ϕ. T ( + ) dddz (α) Το T είναι το μέρος σϕαίρας με κέντρο την αρχή και ακτίνα ίση με το οποίο βρίσκεται στο πρώτο οκτημόριο, όπως ϕαίνεται στο σχήμα. z ϕ + + z 9 π/ T T π/ θ r (β) Τα όρια των r, θ και ϕ είναι r, θ π, ϕ π. Το T είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο όπως ϕαίνεται στο σχήμα. (γ) I ( + ) dddz [(r, θ, ϕ) + (r, θ, ϕ)] J drdθdϕ T T π/ π/ π/ π/ [ r 4 4 8 4 ] [ ϕ (r os θ sin ϕ + r sin θ sin ϕ) r sin ϕ dθdϕdr r sin ϕ (os θ + sin θ) dθdϕdr sin ϕ 4 ] π/ π 4 ( + ) 4 6 π [sin θ os θ] π/
KEFŸALAIO 8. IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Παράδειγμα (α) Σχεδιάστε το τρισδιάστατο χωρίο T {(,, z) R : + + z 9, z + } (β) Σχεδιάστε το χωρίο T που προκύπτει μετασχηματίζοντας το T σε σϕαιρικές συντεταγμένες με r os θ sin ϕ, r sin θ sin ϕ, z r os ϕ. (γ) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα T ( + ) dddz (α) Το T ϕράσσεται από σϕαίρα με κέντρο την αρχή και ακτίνα ίση με και τον κώνο z + όπως ϕαίνεται στο σχήμα: z + + z 9 ϕ π/4 T ϕ θ z + T π θ r (β) Είναι ϕανερό ότι το r παίρνει τιμές από το (κορυϕή του κώνου) μέχρι (ακτίνα της σϕαίρας) και ότι το θ παίρνει τιμές από έως π. Επειδή η γενέτειρα του κώνου z + σχηματίζει ως γνωστό γωνία π/4 με τον άξονα των z, η γωνία ϕ παίρνει τιμές από έως π/4. Άρα τα όρια των r, θ και ϕ είναι: r, θ π, ϕ π 4. Το T είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο όπως ϕαίνεται στο σχήμα.
8.. ALLAGŸH TWN METABLHTŸWN (γ) I ( + ) dddz T π/4 π [ r 5 π 5 ] T [r os θ sin ϕ + r sin θ sin ϕ] J drdθdϕ r sin ϕ r sin ϕ dθdϕdr [ osϕ + os ϕ ] π/4 π/4 π 8π (8 5 ) r 4 ( os ϕ) sin ϕ dθdϕdr Παράδειγμα 4 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα όπου Ω το χωρίο που ορίζεται από τις z / R R Ω z dddz, + + z, + + z z, >. + + (z ) Το χωρίο Ω περικλείεται από δύο σϕαίρες με α- κτίνα και κέντρα τα (,, ) και (,, ), όπως ϕαίνεται στο σχήμα. Οι σϕαίρες τέμνονται στο επίπεδο z/ και η τομή τους είναι περιϕέρεια κύκλου με ακτίνα ( ) R. Τα όρια της ολοκλήρωσης σε καρτεσιανές συντεταγμένες είναι: R R, R R, + + z z. Είναι όμως προτιμότερο να εργαστούμε σε κυλινδρικές συντεταγμένες αϕού στο επίπεδο η ολοκλήρωση γίνεται σε κύκλο. Σε κυλινδρικές συντεταγμένες, τα όρια της ολοκλήρωσης είναι: θ π, r R, r z r.
4 KEFŸALAIO 8. IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Εχουμε λοιπόν I z dddz z J dθdrdz Ω Ω R r R [ z π r dr z dz π r [ ( ) π r ( ) ] r r dr R π R r ] r r r r dr zr dθdrdz Με τον μετασχηματισμό u r r dr u du και τα όρια ολοκλήρωσης γίνονται u για r και u/ για rr /(). Ετσι, I π / [ u ( u) ] u du π π 4 ( 4 + 8 ) 5π4 4 / [ u (u ) u du π ] u / Παράδειγμα 5 (α) Να βρεθεί ο όγκος του χωρίου R που ϕράσσεται από τις επιϕάνειες z 4 ( + ) και z + (β) Υπολογίστε το R ( + ) dv (γ) Να βρεθεί ο όγκος του χωρίου R που ϕράσσεται από τις επιϕάνειες z 4 ( + ), z + και + 4 (α)
8.. ALLAGŸH TWN METABLHTŸWN 5 Βρίσκουμε την τομή των δύο επιϕανειών: z z4 - ( + ) z + 4 ( + ) + ( + ) + + 4 ( + + 4) ( + ) +. Το στερεό που σχηματίζεται ϕαίνεται στο διπλανό σχήμα. Εργαζόμενοι σε κυλινδρικές συντεταγμένες έχουμε: + V (R) π 4 r π π r r dz dr dθ r (4 r r) dr dθ [r r4 4 r ] π (β) R Εργαζόμαστε πάλι σε κυλινδρικές συντεταγμένες: ( + )dv π 4 r r r rdzdrdθ π ] r (4 r r)drdθ π [r 4 r6 6 r5 7π 5 5 (γ) z z4 - ( + ) Το στερεό που σχηματίζεται ϕαίνεται στο διπλανό σχήμα. + 4 z + V (R ) π / 4 r π π r r dz dr dθ r (4 r r) dr dθ [r r4 4 r ] / 7π
6 KEFŸALAIO 8. IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Στα παραδείγματα που ακολουθούν χρησιμοποιούμε ειδικούς μετασχηματισμούς συντετατγμένων ανάλογα με την περίπτωση. Παράδειγμα Να υπολογισθεί το διπλό ολοκλήρωμα όπου ο ελλειπτικός τόπος Λύση : e b dd, + b,, b >. b θ π * r Θεωρούμε τον μετασχηματισμό: η Ιακωβιανή του οποίου είναι η J Με τον πιο πάνω μετασχηματισμό r os θ, b r sin θ, (, ) (r, θ) os θ b sin θ r sin θ b r os θ b r. + b r (os θ + sin θ) r. Οπως ϕαίνεται και στο σχήμα, τα όρια ολοκλήρωσης στις πολικές συντεταγμένες (r, θ) είναι: Για το ολοκλήρωμά μας έχουμε τώρα e b dd θ π και r. π e r b r drdθ b b π [ e r] b π π ( e ) dθ e r dr
8.. ALLAGŸH TWN METABLHTŸWN 7 Παράδειγμα Αν το χωρίο στο πρώτο τεταρτημόριο που ορίζεται από τις υπολογίστε το ολοκλήρωμα: Θεωρούμε τον μετασχηματισμό: οπότε, 9,, 4, ( + ) dd. u, v u 9 και v 4. Ετσι, το χωρίο του επιπέδου απεικονίζεται στο χωρίο του επιπέδου uv. - - 9 4 v 4 * 9 u Για την Ιακωβιανή του μετασχηματισμού έχουμε u u (u, v) (, ) v v οπότε Για το ολοκλήρωμα έχουμε: ( + ) dd ( + ) / (, ) (u, v) (u, v) (, ) ( + ). ( + ) (, ) 4 (u, v) dudv 9 dudv 8
8 KEFŸALAIO 8. IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Παράδειγμα Εστω το χωρίο στο πρώτο τεταρτημόριο που ορίζεται από τις καμπύλες (α) Υπολογίστε το εμβαδόν A() το χωρίου. (β) Υπολογίστε τη μέση τιμή της στο χωρίο. Θεωρούμε τον μετασχηματισμό: οπότε, b, b > >, d, d > >. f(, ) u, v u b και v d. Ετσι, το χωρίο του επιπέδου απεικονίζεται στο χωρίο του επιπέδου uv. b d v d * b u Για την Ιακωβιανή του μετασχηματισμού έχουμε u u (u, v) (, ) v v u οπότε (, ) (u, v) / (u, v) (, ) u.
8.. ALLAGŸH TWN METABLHTŸWN 9 (α) Για το εμβαδόν του χωρίου έχουμε: A() dd (, ) b (u, v) dudv d u dvdu (d ) ln b. (β) Η μέση τιμή της f στο είναι f A() dd A() I. Βρίσκουμε λοιπόν το I: I dd u (, ) (u, v) dudv u u dudv b (d ) u du 4 (d ) (b ). b d u dvdu Άρα f b ln b. Παράδειγμα 4 Εστω P το παραλληλόγραμμο με κορυϕές τα σημεία: A(, ), B(4, ), C(5, ) και (, ) (α) Αν P είναι το μοναδιαίο τετράγωνο με κορυϕές τα (, ), (, ), (, ) και (, ) να βρεθεί - μετασχηματισμός T : R R τέτοιος ώστε P T (P ) (β) Υπολογίστε τη μέση τιμή της f(, ) στο χωρίο P. (α) Το παραλληλόγραμμο μετασχηματίζεται σε παραλληλόγραμμο με γραμμικό μετασχηματισμό της μορϕής T (u, v) (u + bv, u + dv) Βρίσκουμε τις σταθερές, b,, d απαιτώντας οι κορυϕές του P να απεικονίζονται στις κορυϕές του P όπως ϕαίνεται στο σχήμα.
KEFŸALAIO 8. IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA T(u,v) v A (,) C(5,) P P* B(4,) A C(,) B u A : T (, ) (, ) B : T (, ) (4, ) (, ) (4, ) 4 και : T (, ) (, ) (b, d) (, ) b και d Άρα ο ζητούμενος μετασχηματισμός είναι ο T (u, v) (4u + v, u + v), (u, v) [, ] [, ] (β) Για την Ιακωβιανή του μετασχηματισμού έχουμε u (u, v) J (, ) v u v 4 Βρίσκουμε πρώτα το εμβαδόν του χωρίου P έχουμε: A(P ) Η μέση τιμή της f στο P είναι f P dd ( ) dd A(P ) P P J dudv (5u + v) (u) dudv dudv. [ (4u + v) (u + v) ] J dudv (5u + uv) dvdu [ 5u v + uv ] v du (5u + u) du v ] [5 u + u
8.. ALLAGŸH TWN METABLHTŸWN Παράδειγμα 5 Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού που περικλείεται από την επιϕάνεια z + 4 και το επίπεδο z. z z Το στερεό Ω ϕαίνεται στο διπλανό σχήμα. Για να βρούμε το επίπεδο χωρίο βρίσκουμε την τομή της επιϕάνειας z + 4 με το επίπεδο z: + 4 + 4 9. z + 4 / + 4 9 Το είναι το ελλειπτικό χωρίο που ϕαίνεται στο σχήμα. Για τον όγκο του στερεού έχουμε: V (Ω) dv Ω +4 dz da ( ) + 4 dd Το διπλό ολοκλήρωμα δεν μπορεί να υπολογιστεί εύκολα σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Θεωρούμε τον μετασχηματισμό: r os θ, / r sin θ, με Ιακωβιανή την J Με τον πιο πάνω μετασχηματισμό (, ) (r, θ) os θ r sin θ / sin θ / r os θ + 4 9r (os θ + sin θ) 9r. 9 r. / θ π * r Οπως ϕαίνεται και στο σχήμα, τα όρια ολοκλήρωσης στις πολικές συντεταγμένες (r, θ) είναι: θ π και r. Για το ολοκλήρωμά μας έχουμε τώρα V (Ω) ( r) J drdθ 7 π ( r) r drdθ 7π [ r r ] 9π
KEFŸALAIO 8. IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Παράδειγμα 6 Αν το χωρίο στο πρώτο τεταρτημόριο που ορίζεται από τις υπολογίστε το ολοκλήρωμα: Θεωρούμε τον μετασχηματισμό: οπότε +, + 4,,, ( + ) dd. u +, v u 4 και v. Ετσι, το χωρίο του επιπέδου απεικονίζεται στο χωρίο του επιπέδου uv. v * 4 u Για την Ιακωβιανή του μετασχηματισμού έχουμε u u (u, v) (, ) v v οπότε Για το ολοκλήρωμα έχουμε: ( + ) dd + / (, ) (u, v) (u, v) (, ) ( + ). ( + ) (, ) 4 (u, v) dudv 4 dvdu 4 + ( + ) dvdu v dvdu [u]4 [ln v] ln
8.. ALLAGŸH TWN METABLHTŸWN
4 KEFŸALAIO 8. IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA 8.5 Efrmogè dipl n ki tripl n oloklhrwmˆtwn 8.5. Efrmogè diploô oloklhr mto Το είναι επίπεδο χωρίο. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες (, ), f(, ) dd ενώ σε πολικές συντεταγμένες (r, θ) f((r, θ), (r, θ)) r drdθ.. Υπολογισμός όγκου στερεού που ορίζεται από την επιϕάνεια zf(, ) και βρίσκεται πάνω από το επίπεδο : z zf(,) V f(, ) dd (8.)
8.5. EFARMOGŸES IPLŸWN KAI TRIPLŸWN OLOKLHRWMŸATWN 5. Υπολογισμός εμβαδού επίπεδου χωρίου: A() dd (8.) O. Υπολογισμός της μέσης τιμής της f(, ) πάνω στο επίπεδο χωρίο : f(, ) dd f dd f(, ) dd (8.4) A() 4. Μάζα επίπεδου σώματος με επιϕανειακή πυκνότητα ρ(, ): M ρ(, ) dd (8.5) 5. Κέντρο μάζας K(, ȳ) επίπεδου σώματος με επιϕανειακή πυκνότητα ρ(, ): ρ(, ) dd ρ dd ρ(, ) dd (8.6) M ρ(, ) dd ȳ ρ dd ρ(, ) dd (8.7) M Σημείωση: Αν η πυκνότητα είναι σταθερή οι πιο πάνω εξισώσεις μας δίνουν το γνωστό κέντρο βάρους ή κεντροειδές. 6. Ροπή αδράνειας ως προς την αρχή O επίπεδου σώματος με επιϕανειακή πυκνότητα ρ(, ): I ( + ) ρ(, ) dd (8.8) 7. Ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες O και O επίπεδου σώματος με επι- ϕανειακή πυκνότητα ρ(, ): I ρ(, ) dd και I ρ(, ) dd (8.9) 8. Ογκομετρική παροχή ρευστού με ταχύτητα u(, ) σε αγωγό διατομής : Q u(, ) dd (8.)
6 KEFŸALAIO 8. IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA 8.5. Efrmogè tou triploô oloklhr mto Το W είναι τρισδιάστατο χωρίο. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες (,, z) f(,, z) dddz, σε κυλινδρικές συντεταγμένες (r, θ, z) W W f((r, θ), (r, θ), z) r drdθdz και σε σϕαιρικές συντεταγμένες (r, θ, ϕ): f((r, θ, ϕ), (r, θ, ϕ), z(r, θ, ϕ)) r sin ϕ drdθdϕ W. Υπολογισμός όγκου τρισδιάστατου χωρίου W : V (W ). Υπολογισμός της μέσης τιμής της f(,, z) στο W : f(,, z) dddz W f W dddz V (W ) W dddz (8.) w f(,, z) dddz (8.). Υπολογισμός μάζας σώματος με πυκνότητα ρ(,, z): M ρ(,, z) dddz (8.) W 4. Υπολογισμός κέντρου μάζας K(, ȳ, z)) σώματος με πυκνότητα ρ(,, z): ρ(,, z) dddz (8.4) M ȳ z M M W W W ρ(,, z) dddz (8.5) z ρ(,, z) dddz (8.6) 5. Ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες O, O και Oz σώματος με πυκνότητα ρ(,, z): I ( + z ) ρ(,, z) dddz (8.7) I I z W W W ( + z ) ρ(,, z) dddz (8.8) ( + ) ρ(,, z) dddz (8.9)
8.5. EFARMOGŸES IPLŸWN KAI TRIPLŸWN OLOKLHRWMŸATWN 7 6. Ροπές αδράνειας ως προς τα επίπεδα, z και z σώματος με πυκνότητα ρ(,, z): I z ρ(,, z) dddz (8.) W I z ρ(,, z) dddz (8.) W I z ρ(,, z) dddz. (8.) W