5 Όριο συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση (δηλαδή όταν το βρίσκεται πολύ κοντά στο ) ή στο + ή στο Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο : f( ), Η παραπάνω συνάρτηση ενώ δεν ορίζεται για, όμως μπορούμε να βγάλουμε κάποια συμπεράσματα για τη συμπεριφορά της γύρω και πολύ κοντά στη θέση Παρατηρούμε ότι : Αν το πλησιάζει το απο τα αριστερά, το f( ) πλησιάζει τον αριθμό με f( ) < Αν το πλησιάζει το απο τα δεξιά,το f( ) πλησιάζει πάλι τον αριθμό με f( ) > Λέμε τότε ότι το όριο της f όταν το τείνει στο είναι το, και συμβολικά γράφουμε: f Γενικότερα, ο συμβολισμός f ( ) τότε το f() παίρνει τιμές κοντά στο σημαίνει ότι όταν το παίρνει τιμές κοντά στο R Παρατήρηση : Απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι φανερό οποιοδήποτε όριο της Για παράδειγμα στο διπλανό σχήμα παρατηρήστε ότι: f, f, f, f Παρατηρήστε ότι τα -,-, ανήκουν στο πεδίο ορισμού Α της f, ενώ το δεν ανήκει στο Α, αλλά υπάρχουν σημεία του Α κοντά στο
74 Όριο συνάρτησης Όρια όπως f ( ), f ( ) 4,δεν έχουν νόημα, αφού για τους αριθμούς και 4 που δεν ανήκουν στο Α δεν υπάρχουν και σημεία του Α κοντά σ αυτά Επομένως: Αν f είναι συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α τότε το όριο της f στο έχει νόημα αν : το ανήκει στο Α και υπάρχουν σημεία του Α κοντά στο το δεν ανήκει στο Α αλλά υπάρχουν σημεία του Α κοντά στο Τα παραπάνω συμβαίνουν αν το είναι τουλάχιστον ανοικτό άκρο του πεδίου ορισμού της f Θεωρούμε τη συνάρτηση f με f( ) Αν το βρίσκεται πολύ κοντά στο ( ο παρονομαστής είναι ένας αριθμός κοντά στο ) τότε η f θα λαμβάνει οπωσδήποτε πολύ μεγάλες τιμές κατ άπόλυτη τιμή Ειδικότερα,αν το βρίσκεται πολύ κοντά στο και είναι > ( ο παρονομαστής είναι ένας αριθμός κοντά στο θετικός), τότε οι τιμές της f θα είναι πάρα πολύ μεγάλοι θετικοί αριθμοί Λέμε τότε ότι : η f έχει όριο το + όταν το τείνει στο απο τα δεξιά και γράφουμε : + + Αν το βρίσκεται πολύ κοντά στο και είναι < ( ο παρονομαστής είναι ένας αριθμός αρνητικός ), τότε οι τιμές της f θα είναι αρνητικές Λέμε τότε ότι : η f έχει όριο το όταν το τείνει στο απο τα αριστερά και γράφουμε : f, f ονομάζονται πλευρικά όρια της f στη θέση Τα όρια + Αν ένα τουλάχιστον απο τα πλευρικά όρια μιας συνάρτησης στη θέση είναι άπειρο η γραφική παράσταση της f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση Για τη συνάρτηση f( ) που έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία, τα πλευρικά όρια ερμηνεύονται γραφικά στο διπλανό σχήμα Αν τα πλευρικά όρια μιας συνάρτησης f σε κάποια θέση είναι ίσα τότε λέμε ότι υπάρχει το όριο της f στη f θέση το οποίο συμβολίζουμε με Τότε ισχύει : f ( ) f ( ) f ( ) + ± τότε Αν τα πλευρικά όρια μιας συνάρτησης f σε κάποια θέση δεν είναι ίσα τότε λέμε ότι δεν υπάρχει το όριο της f στη θέση της f στη θέση δεν υπάρχει Για τη συνάρτηση f( ) ισχύει f ( ) f ( ) +,οπότε συμπεραίνουμε ότι το όριο
Όριο συνάρτησης 75 Παρατήρηση : Τα σύμβολα + και μπορούμε να τα χειριζόμαστε σε αρκετές περιπτώσεις ως αριθμούς με τα πρόσημά τους να παίζουν τον ίδιο ρόλο με αυτά των αριθμών Όλες οι πράξεις μεταξύ του ± και πραγματικών αριθμών ( εκτός του μηδενός ) ορίζονται με τον προφανή τρόπο Ισχύει για παράδειγμα, + + + + + +, 96, ( ),, Υπάρχουν όμως και πράξεις που δεν είναι επιτρεπτές Αυτές είναι οι :, αποτελούν τις απροσ- ±, ( + ) ( + ), ( ± ), ( + ) +,, οι οποίες μαζί με τις ± διόριστες μορφές που θα μελετήσουμε σε επόμενα κεφάλαια Θεωρούμε τη συνάρτηση f με f( ) Όταν ο παρονομαστής είναι μεγάλος κατ απόλυτη τιμή, δηλαδή όταν το τείνει στο + ή στο, τότε η τιμή της f βρίσκεται πολύ κοντά στο Γράφουμε τότε:, + Γραφικά αυτό σημαίνει ότι η C f έχει στο + και στο, οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y ( βλ σχήμα ) Επειδή f() > όταν τείνει στο +, η καμπύλη προσεγγίζει την y απο πάνω στο + Ομοίως επειδή f() < όταν τείνει στο, η καμπύλη προσεγγίζει την y απο κάτω στο Γενικότερα, αν για μια συνάρτηση f ισχύει : f k R η f k R τότε η + C f έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y k στο + ή στο αντίστοιχα Σχόλιο Αν f ( ) ± η f ( ) ± τότε η C f δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + ή στο +, αντίστοιχα Είναι δυνατόν μια συνάρτηση να έχει οριζόντια ασύμπτωτη μόνο στο + ή μόνο στο ή να έχει διαφορετικές ασύμπτωτες στο + και στο ή και την ίδια Απο τον παραπάνω ορισμό συμπεραίνουμε ότι αναζητούμε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες συναρτήσεων στα ανοικτά άκρα του πεδίου ορισμού εκτός των ± πχ Για τη συνάρτηση f( ) ( )( + ), έχουμε :
76 Όριο συνάρτησης f και f ( ) +, f ( ) + και f ( ) + + Άρα οι ευθείες και - είναι κατακόρυφες ασύμπτωτες της C f f και συνεπώς η ευθεία y είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο Επίσης είναι ± + και στο Με τη βοήθεια και μόνο των παραπάνω ορίων κάνουμε μια αρκετά ικανοποιητική προσέγγιση της γραφικής παράστασης της f όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια f () και g() υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί τότε : f() + g() f() + g() k f () k f (), k R f() g() f() g() ν ( ) f () f (), ν Νμε v f f (), g() g g() f () f () ν f () ν f () με f() ν κοντά στο, v Nμε v
Όριο συνάρτησης 77 Πρόσημο του ορίου μιας συνάρτησης Αν μια συνάρτηση έχει στο όριο έστω, τότε σε μια περιοχή ( αρκετά κοντά ) του οι τιμές της f έχουν το πρόσημο του ορίου της Δηλαδή : f > f > κοντά στο Αν Αν f < τότε τότε f < κοντά στο Προσοχή!! Το αντίστροφο δεν ισχύει Διότι μπορεί μια συνάρτηση να είναι θετική κοντά στο και το όριό της να είναι μηδέν ή άπειρο Δηλαδή ισχύουν : Αν f( ) >, κοντά στο τότε Αν f( ) <, κοντά στο τότε f ή το + f ή το B ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κατηγορία Μέθοδος Υπολογισμός ορίου στη θέση με να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης Παράδειγμα Να υπολογιστεί το f ( ), αν f( ) e + ( ) ( ) 998 Είναι : + + e e e ( ) Κατηγορία Μέθοδος Αν η συνάρτηση είναι ρητή και μηδενίζεται ο παρονομαστής στη θέση ενώ δεν μηδενίζεται ο αριθμητής, τότε το όριο είναι + ή ή δεν υπάρχει Εξετάζουμε το πρόσημο της συνάρτησης γύρω απο τη θέση Αν το πρόσημο του παρονομαστή αλλάζει γύρω απο τη θέση, τότε πρέπει να θεωρήσουμε οπωσδήποτε τα πλευρικά όρια Αποδεικνύεται ότι : Αν f και f > για κάθε κοντά στο τότε f και f < για κάθε κοντά στο τότε Αν f + f
78 Όριο συνάρτησης Παράδειγμα i Να υπολογιστεί το f ( ), αν α f( ), β f( ) ii Να υπολογίσετε το συν i α Είναι + 5 4 Ωστόσο το - δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο γύρω απο το Γι αυτό θα προσδιορίσουμε τα πλευρικά όρια Αν το + τότε > δηλ - > Άρα + + Αν το τότε < δηλ - < Άρα Απο τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι το δεν υπάρχει 4 και ο παρονομαστής αλλάζει πρόσημο γύρω απο το Το όριο αν υπάρχει θα είναι οπωσδήποτε μη πεπερασμένο αφού μηδενίζεται ο παρονομαστής αλλά όχι ο αριθμητής β Είναι 5 + + + + Είναι : ( + 5) ( + ) + 4 4 + 5 ( 5) + 4 4 Επειδή τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχει το όριο της f στο συν και συν για κάθε R και συνεπώς συν >, για κάθε ii Είναι κοντά στο, άρα im + συν Άρα ( ) συν συν < Επίσης είναι Κατηγορία Μέθοδος Αν η συνάρτηση είναι ρητή και μηδενίζεται και ο αριθμητής και ο παρονομαστής στη θέση, τότε το όριο σ αυτήν την περίπτωση μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός το + ή το ή να μην υπάρχει Δηλαδή στην περίπτωση αυτή το αποτέλεσμα δεν είναι μονοσήμαντο, γι αυτό λέμε ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή Για να το προσδιορίσουμε παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή και διαγράφουμε τον παράγοντα που δημιουργεί την απροσδιοριστία, δηλαδή τον ( ) v, v N *
Όριο συνάρτησης 79 Παράδειγμα + 4 Να υπολογιστεί το 4 + 4 και 4 δηλαδή έχουμε απροσδιόριστη Είναι : μορφή Παραγοντοποιώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή έχουμε : + 4 ( + ) ( + ) + 5 4 + 6 6 8 4 Κατηγορία Μέθοδος 4 Αν στο όριο f ( ) παρουσιάζεται η απροσδιόριστη μορφή και ο τύπος της f περιέχει απόλυτο τότε : - Αν η παράσταση που βρίσκεται στο απόλυτο μηδενίζεται για απαλλασσόμαστε από το απόλυτο θεωρώντας πλευρικά όρια - Αν η παράσταση που βρίσκεται στο απόλυτο δεν μηδενίζεται για απαλλασσόμαστε από το απόλυτο υποθέτοντας ότι το είναι σε κατάληλο διάστημα αρκετά κοντά στο Παράδειγμα 4 Να υπολογίσετε τα όρια : i 4 4 6 ii 4 i Έχουμε απροσδιόριστη μορφή 4 και 6 4 4 Για να απαλλαγούμε απο το απόλυτο θεωρούμε τα πλευρικά όρια Αν 4 4 4 4 Επομένως Αν 4 + Επομένως αφού είναι : τότε είναι < 4 δηλ - 4 <, οπότε : 4 4 6 4 4 4 6 4 + 4 + 4 8 τότε είναι > 4 δηλ - 4 >, οπότε : 4 ( 4) ( 4) ( ) 4 4 6 + + + 4 4 4 6 4 + 4 + 4 8 Απο τα παραπάνω προκύπτει ότι f ( ) f ( ) όριο της f όταν το τείνει στο 4 και συνεπώς δεν υπάρχει το + 4 4
8 Όριο συνάρτησης ii Έχουμε απροσδιόριστη μορφή 4 και Eδώ όμως η παράσταση 4 - που είναι στο απόλυτο δεν μηδενίζεται για Aν θεωρήσουμε ότι το είναι πολύ κοντά στο τότε: > 4 > 4 > 4 και συνεπώς 4 4 4 ( 4) 4+ ( )( ) Άρα ( ) αφού είναι : Κατηγορία Μέθοδος 5 Αν προκύπτει απροσδιόριστη μορφή και ο τύπος της συνάρτησης περιέχει νιοστές ρίζες τότε μετασχηματίζουμε τον τύπο πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με κατάλληλη παράσταση ώστε να εφαρμόσουμε την ταυτότητα για τη διαφορά των νιοστών δυνάμεων ν ν α β α β ν ν ν α + α β + + β Ειδικά όταν έχουμε τετραγωνικές ρίζες πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή παράσταση Η συζυγής της A B είναι η A + Bκαι της A B είναι η A + B Παράδειγμα 5 Να υπολογίσετε τα επόμενα όρια : + + 8 i ii iii 4 i Έχουμε απροσδιοριστία Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή παράσταση της + : Είναι + + + + + + + + + + + + + ii Aν θέσουμε + 8 α και 8 τότε σύμφωνα και με την ταυτότητα που αναφέραμε 8 ( + 8) ( 8) έχoυμε: ( + 8) + + 8 8+ ( 8) +
Όριο συνάρτησης 8 ( + 8) + + 8 8+ ( 8) iii Όταν έχουμε ρίζες διαφορετικής τάξης θέτουμε k λόπου k το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων Για την περίπτωσή μας θέτουμε 4 λοπότε λ, 4 λ, 6 λ και όταν το λ 6 4 4 λ λ λ λ λ λ λ+ Είναι λ 4 ( λ+ ) 4 λ λ λ λ λ λ λ λ λ Κατηγορία Μέθοδος 6 Αν ο τύπος της συνάρτησης έχει κλάδους τότε για να υπολογίσουμε το όριο της συνάρτησης στη θέση αλλαγής των κλάδων υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια στη θέση αυτή Παράδειγμα 6 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f με f ( ) + ημ( π) + 8 6, αν > 4, αν έχει όριο στο Για να υπολογίσουμε το όριο της f στη θέση, θα υπολογίσουμε τα πλευρικά όρια στο 4 Έχουμε: + + ηµ π + 8 6 ηµπ+ 8 6 f f, έχουμε ότι imf ( ) Επειδή + Κατηγορία Μέθοδος 7 Tριγωνομετρικά όρια: ηµ Μπορούμε να χρησιμοποιούμε άμεσα το βασικό όριο Πολλές φορές ο υπολογισμός ενός ορίου διευκολύνεται με αλλαγή μεταβλητής Παράδειγμα 7 ημ Να υπολογίσετε τα όρια: α, β ηµ ημ ημ ημ ημω α Είναι ω ω ηµ, γ
8 Όριο συνάρτησης (θέσαμε ω, οπότε όταν τότε ω ) ηµ ηµω β Είναι, αφού όταν το ω ω ω ηµ ηµ + ηµ γ Είναι : + + + ( )( ) + ηµ ηµ + + + Κατηγορία Μέθοδος 8 Το κριτήριο παρεμβολής Αν προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε το όριο ημ σύμφωνα με όσα έχουμε αναφέρει δεν θα τα καταφέρουμε Όρια όπως το παραπάνω υπολογίζονται έμμεσα με τη βοήθεια του επόμενου κριτηρίου: g h R g f h Αν κοντά στο, τότε f ( ) και για τις συνρτήσεις f, g, h ισχύει: Για το παραπάνω όριο είναι ημ, διότι: ημ οπότε ημ με ημ ημ, αφού Παράδειγμα 8 Αν για τη συνάρτηση f ισχύει : f Είναι f ηµ και ηµ f +, για κάθε να υπολογίσετε το + Άρα σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής, είναι και
Όριο συνάρτησης 8 Κατηγορία Μέθοδος 9 Εύρεση του ορίου με την χρήση βοηθητικής συνάρτησης της οποίας γνωρίζουμε το όριο Παράδειγμα 9 f( ) ημ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύει im + Να βρείτε το im f ( ) Θέτουμε g( ) f( ) ημ +, [,) (, + ) με img( ) + g( ) + f( ) ημ f ( ) g( ), ημ Είναι im g( ) και im ( + )( + + ) ( + + ) + im ημ ημ Για κοντά στο ισχύει + im im im > ημ ( + + ) ημ + + ημ + + Άρα το im f ( ) ( ) Κατηγορία Μέθοδος Μετατροπή του κλάσματος σε άθροισμα δύο ή περισσότερων κλασμάτων των οποίων οι απροσδιοριστίες αντιμετωπίζονται με την τεχνική της προσθαφαίρεσης Παράδειγμα f( ) Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R και ισχύει im 4 Για ποια τιμή του f ( ) λλ λ R η συνάρτηση g( ) έχει στο όριο τον πραγματικό αριθμό 4 Θεωρούμε φ( ) f( ), im φ + 4 + Άρα Το άρα και f φ + με κοντά στο im f Θα υποστηρίξουμε ότι: Το όριο και του αριθμητή της g πρέπει να είναι αφού το όριο της g είναι πραγματικός αριθμός
84 Όριο συνάρτησης Για και im g 4 είναι im f λ λ λ λ λ + λ 4 λ ή λ4 Άρα και το Για να είναι αποδεκτές αυτές οι τιμές πρέπει να δείξουμε ότι το im g( ) f( ) Για λ img im 4 Θα αξιοποιήσουμε το im 4, R ( ) f 4 f 4 f + 4 im + im 4 4 ( ) f 4 f im + im + 4 + 4 4 + 4 Άρα το λ είναι δεκτό Για λ 4 f ( ) 4 img( ) im (το βρήκαμε προηγουμένως) Άρα και το λ 4 είναι δεκτό 4 Δ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η συνάρτηση f( ) + + α 4 να έχει + + όριο πραγματικό αριθμό όταν το τείνει στο - (Απ: α ) Να προσδιορίσετε τους α,β ώστε η συνάρτηση f με τύπο : α + ( β + ) +, < f ( ) 8 + α+ β, α + β, > να έχει όριο σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της (Απ: α β 4) Να εξετάσετε αν υπάρχει το + + 5 6 (Απ: Δεν υπάρχει) + 9 4 Να βρεθούν τα επόμενα όρια : i 5 + 7 +, ii 6 6 5 +, 4
Όριο συνάρτησης 85 iii 9 ( ) ( + ), iv + (Απ: i, ii Δεν υπάρχει, iii +, iv + ) 5 Να βρεθούν τα επόμενα όρια : i + ii 5+ 4 + (Απ: ii 6) 6 Να βρείτε το f ( ) i σε κάθε περίπτωση : f + ii f + 8 iii f 5 8 (Απ: i 7, ii -, iii 6) f 7 Aν 5 και g( )( + ) να βρείτε το ( f ( ) g( ) ) Απ : 5 ( + α)( + β) 8 Αν f( ), α,β R να βρείτε το f ( ) α+ β Απ : συν f και e g, για κάθε 9 Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύει : R, να βρεθούν τα όρια: α f ( ), β g ( ) Έστω συναρτήσεις f και g με πεδίο ορισμού R και τέτοιες ώστε να ισχύουν : f + 4 g 5 και Να βρείτε τα όρια : α f ( ) Έστω συνάρτηση f :R Rτέτοια ώστε : f 5f 5ln 4 + +,για > β ( g( ) ημ ) (Απ: α, β ) (Απ: α, β )
86 Όριο συνάρτησης i Δείξτε ότι η f είναι - στο διάστημα (, + ) ii Βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f iii Βρείτε τα όρια : f ( ), f ( ) Έστω συνάρτηση f : R R f τέτοια ώστε : Να δειχθεί: i f ( ), ii Έστω συνάρτηση f : R R Βρείτε το f ( ) + για κάθε R f + τέτοια ώστε : i ii f f f ημ 4 Δίνονται συναρτήσεις f και g με πεδίο ορισμού Α που περιέχει το 4 + + 9 g 5 Αν αf ( ) 4 ημ( α) επόμενα όρια : f ( ), g ( ), ( ) f g α + 67α και (Απ: f () ), να βρεθεί ο θετικός αριθμός α και στη συνέχεια να υπολογίσετε τα ( αν υπάρχουν ) (Απ: α 5, imf ( ), img( ) δεν υπάρχει) 5 Να προσδιορίσετε τα α, β R ώστε α β + συν (Απ: α β ) 6 Έστω συνάρτηση για την οποία ισχύει: 5 6 f ( ) Να υπολογίσετε το f ( ) 5 + + για κάθε R 8 ( Απ : imf 4) Ε ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Α Αν ημ( α) ημ( β ) + ημ( γ) Β Να υπολογίσετε το όριο των ριζών της εξίσωσης για τις διάφορες τιμές των α,β R για κάθε με α,β, γ > τότε α β+γ h + α β με h όταν h