Cpiolul 3 Filre cu răpun fini l impul 69 CAPITOLUL 3 FILTRE CU RĂSPUNS INFINIT LA IMPULS 3 Să e proieceze un FTJ numeric, cre lucreză l frecvenţ de eşnionre FS Hz, pornind de l filrul nlogic cu funcţi de rnfer: ( H H (3 + şi uilizând rnformre biliniră Se cer: H fel încâ filrul ă ibă un câşig de db l frecvenţe joe b fel încâ frecvenţ de ăiere normă filrului digil ă fie f c Funcţi de rnfer H ( z filrului numeric d Clculţi câşigul filrului digil l frecvenţele F Hz, F Hz şi F Hz 3 5 H ( H (3 b În czul rnformării bilinire: ω π 4 g Fg 35 65 rd/ (33 T c Funcţi de rnfer filrului digil e obţine făcând chimbre de vribilă: z F (34 + z H H( z ( + z z F ( ( z + + z F + + z (35 F g( π ( + z 35( + z 45( + z F ( ( ( 35 675z 59z + g π + g π z 7 Prelucrre numerică emnlelor Probleme d Se poe clcul direc în exprei obţinuă penru H ( z u e poe foloi relţi: ( ( F g H e H j (36 ω Penru F Hz: j 45 H H( e u H ( (37 59 Penru F Hz, ω π π jπ 45, ( + e j π H( e (38 jπ 59e u e obervă c F Hz ee chir frecvenţ de ăiere nenormă filrului digil ( f cărei îi corepunde în domeniul nlogic H( e H( j 77 (39 j+ Se obervă c F3 5 Hz F /, ω3 π j 45 H( e π (3 59( π u clculând câşigul filrului nlogic l 3 g : H j+ T ( j (3 3 Converiţi filrul nlogic d de + (3 ( + + 6 înr-un filru digil RII foloind rnformre biliniră Se şie că T 5 : Avem deci z 4 + z (33 8+ 6z - z Hz ( + 6 z + 975 z (34
Cpiolul 3 Filre cu răpun fini l impul 7 7 Prelucrre numerică emnlelor Probleme 33 Fie filrul nlogic defini de + (35 ( + + b Deerminţi prin clcul nliic filrul numeric corepunzăor, foloind meod invrinţei răpunului l impul unir, penru o periodă de eşnionre T 5 5 H ( + + + jb + jb (36 5 5 H( z + jbt jbt e z e z (37 T e co( bt z H( z T T e co bt z + e z (38 deci ( ( ( 34 Reluţi problem nerioră penru funcţi de rnfer 5 (39 3 4 5 + 5 + 45 + + în iuţiile: frecvenţ de eşnionre ee 8 rd/ b frecvenţ de eşnionre ee 6 rd/ c Reprezenţi grfic crceriicile mpliudine-frecvenţă în cele două iuţii şi comprţi-le cu crceriic filrului nlogic Ce obervţi? Ce concluzie pueţi rge în legăur cu frecvenţ de eşnionre? Indicţie Polii funcţiei de rnfer un: * * p, p 89 + j86, p, p + j65 (3 64z+ 6z 83z6z T Hd ( z + 5z+ z 3 + 8z+ z (3 b 3z+ 3z 37z3z T Hd ( z + 6z+ z 9 44z (3 c Frecvenţ de eşnionre mi mre conduce l o crceriică mi propiă de cee filrului nlogic penru că erorile provenind din fenomenul de liere un mi puţin pronunţe 35 Deerminţi ordinul şi polii unui FTJ nlogic Buerworh ce re bnd l 3 db de 5 Hz şi enure de 4 db l Hz : Aenure de 4dB înemnă δ Deci log ( δ N 664 (33 log Se lege N 7 Polii normţi un dţi de relţi: j π /+( + π /4 j( + π /4 e je,,,,6 (34 Pulţi nlogică de ăiere l 3dB ee: π 5 rd / (35 Polii nenormţi un dţi de relţi: j( + π /4 π je,,,,6 (36 36 Să e proieceze foloind meod invrinţei răpunului l impul, pornind de l un filru nlogic Buerworh, un filru digil rece-jo, cre îndeplineşe condiţiile: - l frecvenţ F Hz, enure filrului ee mi mică de db; - l frecvenţ F 4Hz, enure filrului ee de cel puţin db; - period de eşnionre ee T,5m - câşigul l frecvenţe joe egl cu unu Răpunul în frecvenţă l unui filru nlogic prooip de ip Buerworh de ordin N ee: H H ( j (37 N + (
Cpiolul 3 Filre cu răpun fini l impul 73 74 Prelucrre numerică emnlelor Probleme Funcţi de rnfer H ( e deermină din formul: H ( ( ( N N H H H j (38 + ( ( Polii e deermină din ecuţi: N j( + N π e (39 Rezulă: π + j + π N e,,,n (33 Polii un loclizţi în plnul pe un cerc de rză unu Penru c filrul ă fie bil rebuie c oţi polii lui H ( ă fie în emiplnul âng Eviden, ceillţi poli corepund funcţiei H ( Rezulă: π + j + π N e,,, N (33 Funcţi de rnfer e obţine imedi: H H ( (33 N ( Penru c filrul nlogic ă ibă câşig unir l frecvenţe joe e impune H Ordinul filrului e obţine din formulele: lg δ e b δ N, f, (333 lg f b δ + δ δ ( ( Dcă e du enuările în db: m db şi M db, formul penru devine: M - - 589 696 (334 m 9 - - Penru meod invrinţei răpunului l impul pulţi nlogică corepunzăore frecvenţei nenorme penru filrul digil e clculeză direc: ωf π( F/ F F πf (335 Rezulă: e π F f,5 (336 b π F lg Rezulă N 5597 Se lege N 3 lg f b Pulţi nlogică de ăiere l 3 db e clculeză cu formul: b π 4 4 45rd/ (337 M N 9 Funcţi de rnfer filrului nlogic Buerworh de ordinul rei ee: H ( ( ( ( (338 Penru obţinere funcţiei de rnfer filrului digil prin meod invrinţei răpunului l impul rebuie ă decompunem H ( în frcţii imple: N A H ( (339 unde A un reziduurile în polii Polii filrului de ordin 3 un: + + in π + jco π, N N,, (34 π π 3 in + jco + j 6 6 3π 3π in + jco 6 6 (34 5π 5π 3 in + jco j 6 6 Reziduurile în ceşi poli un: A lim ( H( lim ( ( ( ( (34 3 j A 5 + j 3 j 3 3+ j 3 3 ( ( ( A ( ( 5 ( j 3( + j 3 3+ j A 5 3 3 3 j 3 3 ( ( ( j ( j (343
Cpiolul 3 Filre cu răpun fini l impul 75 76 Prelucrre numerică emnlelor Probleme Rezulă urmăore decompunere lui H ( în frcţii imple: 3 j 3+ j H ( + + (344 + 3 5( + j 3 3 5( j 3 Penru obţinere unui FTJ nlogic denormre în frecvenţă e fce cu formul 3 j 3+ j H ( + + (345 + 3 5 ( 3 3 + j 5( j 3 Am obţinu funcţi de rnfer denormă, decompuă în frcţii imple: N A H ( (346 unde şi A A Funcţi de rnfer filrului digil proiec prin invrinţ răpunului l impul ee dă de: N A H( z T (347 T e z Se obţine: TA TA TA 3 H( z + + (348 T 3 3 e z + j T j T e z e z După efecure clculelor rezulă: 75 75+ 9z Hz ( + (349 484z 69z + 484z 37 Proiecţi un filru digil rece jo pornind de l un filru nlogic Buerworh de ordinul, foloind rnformre biliniră Se impun: - frecvenţ de ăiere filrului digil l 3 db, F3 db Hz - frecvenţ de eşnionre, F Hz - mplificre uniră l frecvenţe joe Penru filrul digil obţinu clculţi câşigul l frecvenţele Hz şi 5Hz Funcţi de rnfer unui filru prooip, Buerworh de ordin, nlogic ee dă de: Hn ( (35 ( Polii normţi un dţi de relţi: + + in π + jco π, N N, (35 π π in + jco + j 4 4 3π 3π in + jco j 4 4 (35 Funcţi de rnfer normă devine: Hn ( ( ( ( + + + + (353 Penru obţinere unui FTJ nlogic denormre în frecvenţă e fce cu formul: (354 unde ee frecvenţ de ăiere l 3 db Funcţi de rnfer denormă ee: H H ( (355 + + unde H ee câşigul l frecvenţă joă Pulţi de ăiere normă filrului digil ee: F3dB ω3db π,π (356 F Penru proiecre filrului digil prin rnformre bilinră, frecvenţ de ăiere filrului nlogic e clculeză cu: ω g 3dB F g (, π 65rd/ (357 T Câşigul filrului nlogic l frecvenţe joe e deermină din: H H ( H (358
Cpiolul 3 Filre cu răpun fini l impul 77 78 Prelucrre numerică emnlelor Probleme Funcţi de rnfer H ( z filrului digil e obţine plicând rnformre biliniră: z, unde T T z (359 + F şi rezulă: ( + z ( 4F ( z + F( z ( + z + ( + z 4F g ( π ( + z ( + ( π( ( + + ( π( + H z 4F z 4F g, z z 4F g, z În czul numeric,,56( + z + z H( z z + z +,4596( z +,56( + z + z (36,675 +,35z +,675z,49z +,48z Câşigul filrului digil l frecvenţ F Hz F3dB corepunde câşigului filrului nlogic l frecvenţ: π F F g Fg(,π (36 F Înlocuind în exprei lui H ( j : H( j,77 (363 + j + Câşigul filrului digil l frecvenţ F 5 Hz F / corepunde câşigului filrului nlogic l frecvenţ: π F π Fg Fg (364 F Înlocuind în exprei lui H ( j : H j (365 ( (36 38 Proiecţi un filru digil rece u pornind de l un filru nlogic Buerworh de ordinul Se impun: frecvenţ de ăiere l 3dB, F3 db 6Hz, frecvenţ de eşnionre ee de Hz şi mplificre uniră l frecvenţ Hz Proiecţi filrul numeric prin meod rnformei bilinire b Puem proiec filrul numeric corepunzăor foloind meod răpunului l impul? Dcă d, proiecţi filrul Dcă nu, juificţi Denormre în frecvenţă în czul unui FTS nlogic e fce cu formul: (366 unde ee frecvenţ de ăiere l 3 db cre e clculeză penru rnformre bilinră: ω g 3dB F g (,3 π 5555rd/ (367 T Funcţi de rnfer denormă ee în ce cz: H ( (368 + + Funcţi de rnfer H ( z filrului digil e obţine plicând rnformre biliniră: ( H z ( z ( z + g(,3π( z + g (,3π( + z (369 b În principiu, un două moive penru cre nu e poe foloi meod invrinţei răpunului l impul penru obţine un FTS digil dinr-un FTS nlogic: - eşnionre funcţiei pondere filrelor rece-u produce fenomenul de liere, din cuz fpului că un fel de filru, nevând bnd limiă, nu îndeplineşe condiţi Nyqui cu privire l eşnionre corecă unui emnl (penru o nediorionre crceriicii şi penru o refcere idelă eoreică emnlului nlogic din eşnionele le, în plu frecvenţ de eşnionre rebuie ă fie mi mre decâ dublul frecvenţei mxime din pecrul emnlului - Nici un filru fizic relizbil (chir FTJ nu re bnd perfec limiă Din ce moiv, după eşnionre răpunului l impul (din cdrul meodei invrinţei răpunului l impul, v păre oricum fenomenul
Cpiolul 3 Filre cu răpun fini l impul 79 8 Prelucrre numerică emnlelor Probleme de liere înr-o măură reduă, cee ce nu v grn în nici un cz conervre unei numie vlori mplificării filrului nlogic, l o numiţă frecvenţă, ş cum e cere în problemă (mplificre uniră l o numiă frecvenţă Ignorând ce de- dou problemă, vom lege o cle modifică de proiecre FTS-ului Penru ce reminim epele din proiecre unui filru digil IIR, indice în figur 3 Figur 3 Epele de proiecre unui filru digil IIR Din figură, rezulă că proiecre unui FTS digil poe fi reliză şi pe cle b, unde filrul nlogic denorm ee un FTJ Filrele de ip rece-u nlogice nu u în mod eviden bnd limiă, moiv penru cre nu e poe plic meod invrinţei răpunului l impul direc upr crceriicii în denorme Vom plec de l filrul rece-jo prooip pe cre îl vom rece în plnul Z, după cre vom plic o denormre în plnul Z Penru filrul rece-jo norm de ordinul, vem H ( j (37 N + 3π ± j 4 Polii ceui filru un, e ± j Su H ( j + j Prin decompunere în frcţii imple, rezulă j j ( (37 H (37 j + j Denormând în plnul H ( H (373 şi T T e ( j in z j HFTJ ( z T T T T e co z + e z (374 În finl HFTJ ( z ω ω e in z ω ω ω ω e co z + e z (375 ee funcţi de rnfer unui filru digil rece-jo vând frecvenţ de ăiere normă ω T Dcă H FTJ ( z ee un filru rece-jo vând frecvenţ unghiulră de ăiere l ω, unci obţinere unui filru rece-u H FTS ( z cu frecvenţ unghiulră de ăiere ω ' e fce cu rnformre de frecvenţă în plnul Z: zfts β zftj β zfts (376 unde ' ω + ω co β ' ω ω co (377
Cpiolul 3 Filre cu răpun fini l impul 8 8 Prelucrre numerică emnlelor Probleme Penru filrul rece-u pe cre dorim ă-l proiecăm e clculeză: ' F 3π ω π (378 F 5 Prcic, puem lege orice frecvenţă unghiulră de ăiere l ω filrului rece jo ' 3π Dcă legem ω ω vem: 5 co ( ω 3π β co (379 co ( 5 ' π Puem înă ă legem ω π ω şi vem: 5 co ( π β (38 co ( π ω ' cz în cre chimbre de vribilă în plnul Z devine o expreie implă: zftj zfts (38 şi funcţi de rnfer filrului digil ee uşor de clcul: ω ω e in z HFTS ( z ω (38 ω ω ω + e co z + e z O vlore câ mi mică frecvenţei de ăiere impuă upr filrului nlogic rece-jo duce l o liere mi puţin pronunţă Touşi, dcă ceă frecvenţă ee leă pre mică, puem ve un β fore propi de, cre în precizie finiă r pue fi reprezen cu erori mri π De exemplu penru ω enure l frecvenţ normă FTJ şi l frecvenţ normă 5 FTS ee de 7dB Nu e repecă prin urmre cerinţ de igurre unui câşig unir l frecvenţe înle, cee ce er de nicip prin foloire ceei meode Siuţi e poe îmbunăăţi dcă e cde frecvenţ de ăiere filrului π nlogic rece-jo, de exemplu ω Se obţine un câşig l Hz de 79dB Îmbunăăţire e obţine penru că efecul lierii ee mi redu 39 Să e re că e poe proiec un filru rece-u digil, cu frecvenţ de ăiere F, l frecvenţ de eşnionre F şi câşig de 6dB l F /, foloind meod invrinţei răpunului l impul plecând de l un filru nlogic de ip rece-bndă, vând frecvenţele de ăiere F F + F, repeciv F F F şi câşig unir (db în cenrul benzii de recere Vom conider penru exemplificre czul unui FTS idel, cu F 8F Conform ipoezei, filrul rece-bndă nlogic de l cre e plecă v ve şi el o crceriică idelă şi re frecvenţele de ăiere F 9F şi F 5F Meod invrinţei răpunului l impul obţine funcţi pondere filrului digil în urm eşnionării cu T răpunului l impul l filrului nlogic Prin urmre hn ( Th ( nt (383 Aceă eşnionre v ve c efec periodizre pecrului lui h ( cu F Aş cum e şie, dcă ee repecă condiţi Nyqui de eşnionre ( F Fmx, nu pre fenomenul de liere şi crceriic filrului digil v fi în concordnţă cu ce filrului nlogic În czul prezen, ceă condiţie nu ee repecă deorece F > F, cee ce v conduce l priţi fenomenului de liere şi deci filrul digil rezul nu v mi fi un FTB cu crceriic doriă Rămâne ă demonrăm că priţi fenomenului de liere re c efec obţinere unui FTS cu cerinţele din ipoeză F, F F, F Penru ce ţinem con că benzile de frecvenţă [ ] [ ] e periodizeză cu F De exemplu bnd [ F, F] v păre l[ F + F, F+ F], ir bnd [ F, F ] l [ F+ F, F + F], cu înreg Înre [ F, F ], vom ve benzi de frecvenţă l [ F + F, F] provenind din [ F + F, F+ F], şi din [ F+ F, F + F],, precum şi l [ F, F F], provenind de l [ F + F, F+ F], şi din [ F + F, F + F ], Specrul norm rezul ee prezen în figur 3 Se poe uşor remrc fpul că în bnd de recere câşigul ee (6dB, deorece e dună conribuţiile din două părţi
Cpiolul 3 Filre cu răpun fini l impul 83 84 Prelucrre numerică emnlelor Probleme 3 Să e ineizeze un filru digil rece-jo, vând o crceriică MLA (mxim de linirie mpliudinii Se precizeză că: - l frecvenţ F Hz, enure filrului ee mi mică de db; - l frecvenţ F 4Hz, enure filrului ee mi mică de db; - frecvenţ de eşnionre ee F Hz Se v uiliz meod rnformării bilinire Câ ee lărgime benzii de recere l 3 db? Figur 3 Penru verificre, fcem pel l Mlb Vom proiec filrul nlogic rece-bndă de ordin 3, cu frecvenţele de ăiere Hz, 3Hz şi vom foloi meod invrinţei răpunului l impul cu F 8Hz [b,]buer(3,[*pi*e3,*pi*3e3],''; %FTB nlogic [bz,z]impinvr(b,,8e3; %invrin l impul %crceriic de mpliudine FTB nlogic [H,w]freq(b,; figure,plo(w//pi,*log(b(h,grid % crceriic de mpliudine FTS digil [Hd,wd]freqz(bz,z; figure,plo(wd//pi,*log(b(hd,grid Figur 33 FTB nlogic bfts digil Crceriic mpliudine-frecvenţă obţinuă prin rnformre biliniră plică crceriicii unui filru nlogic Buerworh ee: H H ( e (384 N ω g + g ω Penru ve câşig unir l frecvenţe joe e impune H Penru clculul prmerilor N şi ω e pun condiţiile j lg H ( e ω (385 j lg H ( e ω (386 de unde rezulă N Alegem N 3 şi e clculeză ω 46π Acee vlori ifc condiţiile de proiecre Lărgime benzii de recere l 3 db ee: F 46Hz πt ω (387 Filrul nlogic Buerworh, de ordinul rei, re funcţi de rnfer 3 ( H H (388 ( + ( + + Mărime ee frecvenţ limiă uperioră, l 3 db, filrului nlogic dă de ω g 63 rd / (389 T Se obţine: 3 35( + z H( z (39 ( 4 z ( 6z + 48 z
Cpiolul 3 Filre cu răpun fini l impul 85 86 Prelucrre numerică emnlelor Probleme 3 Să e proieceze un filru digil rece jo, cu T, pornind de l un filru nlogic Buerworh şi foloind Meod invrinţei răpunului l impul unir penru cre log H (j π (39 log H (j3 π 5 (39 b Trnformre biliniră, cu π log H jg (393 3 π log H jg 5 (394 c Reprezenţi, foloind mediul MATLAB, crceriicile mpliudinefrecvenţă şi fză-frecvenţă penru cele două iuţii d Deerminţi vlorile câşigului (în db penru frecvenţele π şi 3π e Reluţi puncul foloind procedur impinvr din mediul MATLAB Verificţi îndeplinire condiţiilor impue f Reluţi puncul b foloind procedur biliner din mediul MATLAB Verificţi îndeplinire condiţiilor impue Avem deci H j + N ( N (395,π,,3π,5 + şi + (396 Din ce iem rezulă N 588 şi 747 Alegem N 6 şi Avem rei perechi de poli, deci funcţi de rnfer ee obţinem 73 H şi ( 93 (397 ( + 364 + 4945( + 9945 + 4945( + 3585 + 4945 N 87 4466z H( z + 97z + 6949z (398 48 + 454z 8558 634z + + 69z + 3699z 997z + 57z b Avem N N g( π g(5 π 5 + şi + (399 c Din ce iem cu două necunocue vem N 53 Alegem N 6 Obţinem imedi c 766 Avem rei perechi de poli, deci funcţi de rnfer ee 38 (3 ( + 396 + 587( + 83 + 587( + 48 + 587 şi plicând rnformre biliniră e obţine H( z 6 7378( + z ( 68z + 75 z ( z + 358 z ( 94z + 5 z (3 3 Să e ineizeze un filru rece-jo digil, cu o crceriică de mpliudine de ip Cebâşev în bnd de recere, vând: - o ondulţie de db - lărgime de bndă în en Cebâşev, normă, ω p π - o enure de cel puţin 5 db, l frecvenţ ω 3π Se v uiliz rnform biliniră Vlore lui ε e v deermin impunând enure mximă în bnd de recere de db mx lg( + ε db (3 Rezulă ε 588 Frecvenţele limiă penru filrul nlogic un: ω p p g 35, g ω 59 (33 T T T T
Cpiolul 3 Filre cu răpun fini l impul 87 88 Prelucrre numerică emnlelor Probleme Având în vedere că enure unui filru Cebâşev ee dă de ( lg( + ε ch ( Nrgch (34 rezulă că ordinul filrului e poe clcul cu, / min N rgch mx rgch p (35 5 / N rgch 3 7 59 rgch 35 Se lege deci N 4, cu polii, ( 395 ± j9834 p (36 3,4 ( 3369 ± j473 p Funcţi de rnfer filrului nlogic ee dă de (37 4 3 ε ( Rezulă i 4 P p p p (38 4 7( + 79 + 9865 ( + 6738 + 794 După efecure rnformei bilinire, e obţine 4 836( +z Hz ( (39 ( 4996z + 848 z ( 5548z + 6493 z i Şim că H( j (34 N + ε CN c Impunând vlore în π e obţin c 7474rd/ şi ε 5885 Penru N 3 lg H( j3 π 3489 (35 şi penru N 4 Alegem N 4 Obţinem funcţi de rnfer lg H( j3 π 5834 (36 3886 ( + 433+ 3( + 753+ 3894 (37 şi 837 + 39z 837 + 46z H( z 5658z + 6549z 4934z + 839z (38 b c g( π /, ε 5885, N 4 (39 438 ( + 84+ 466( + 4378+ 89 (3 4 836( +z H( z ( 4996z + 848 z ( 5548z + 6493 z (3 33 Dorim proiecre unui filru digil, cu T, pornind de l un filru nlogic Cebâşev de ipul şi foloind Meod invrinţei răpunului l impul unir în condiţiile lg H (j π (3 lg H (j3 π 5 (3 b Trnformre biliniră, în condiţiile ( jπ H e j3π H( e lg (3 lg 5 (33 c Reprezenţi, foloind mediul MATLAB crceriicile mpliudinefrecvenţă şi fză-frecvenţă penru cele două iuţii Deerminţi vlorile câşigului (în db penru frecvenţele π şi 3π 34 Dorim proiecre unei filru digil, crceriz prin: ( jπ ( ( j3π ( lg H e (3 lg H e 5 (33 pornind de l un filru nlogic elipic, şi uilizând rnformre biliniră, cu T Deerminţi funcţiile de rnfer penru filrul nlogic şi penru cel numeric b Deerminţi şi reprezenţi crceriicile mpliudine-frecvenţă şi fzăfrecvenţă c Deerminţi vlorile corepunzăore penru frecvenţele,π şi,3π Se v uiliz mediul Mlb
Cpiolul 3 Filre cu răpun fini l impul 89 9 Prelucrre numerică emnlelor Probleme Se deduce N 3, pornind de l 3 π lg H jg 5 (34 π lg H jg (35 Funcţiile de rnfer un 46( + 34 (36 ( 6498 + 448( + 5 + 433 şi 5634( +z ( - 66 z +z H( z (37 ( 683 z ( 446z + 7957 z 35 Fie filrul numeric cu funcţi de rnfer 45( +z Hz ( (38-59 z Arăţi că ee un FTJ cu frecvenţ de ăiere l 3 db, ωc π b Trnformţi-l înr-un FTB cu frecvenţ de ăiere uperioră de ωu 3 π /5 şi inferioră de ω π / 5 unde l Se verifică implu că ( b Trnformre doriă ee z π H şi H ( e + + z z z + z + j u- l c K cg ω ω g ω ωu + ωl co α K K α,, ωu ωl co K + K + (39 (33 (33 Subiuind 45( ( z H( z (33 + 59 59 z + ( + 59 z deci K,, şi 45( z H( z (333 + 59z 36 Fie ecvenţ x( n cu primele 6 vlori de de x [, 5, 75, 375, 875, 938] T (334 Modelţi ceă ecvenţă c răpun l impulul unie l unui filru RII, foloind proximţi Pde Se impun ordinele numărăorului şi numiorului, M şi N M, N (doi poli; b M, N (două zerouri; c M, N ( un pol şi un zero Avem de rezolv iemul de ecuţii x ( b( x ( x ( ( (335 x ( x ( x( ( unde b( x( Soluţi ee ( 5, ( 5, deci Hz ( (336 5 z + 5 z Funcţi pondere ee dă de h [,5,75, - 5, - 8, - 53,] T (337 Se obţin în mod exc numi primele 3 vlori Mi depre, pr diferenţe mri, modelul fiind de fp inbil b In ce cz numiorul ee egl cu unie Siemul de ecuţii ee imedi d de b( ( b( (338 ( b( H ( z + 5 z + 75 z (339
Cpiolul 3 Filre cu răpun fini l impul 9 9 Prelucrre numerică emnlelor Probleme Funcţi pondere ee dă de h [,5,75,,] T (34 Aproximţi nu ee uficien de bună decâ penru primele 3 vlori c Modelul ee de form b ( +b( Hz ( z (34 +( z Avem de rezolv iemul de ecuţii x ( b( x ( x ( b( ( (34 x ( x( Deci +z Hz ( (343 5z Clculând funcţi de pondere, e conă c e obţin în mod exc primele 6 vlori 37 Deerminţi prmerii filrului cu funcţi de rnfer b+bz Hz ( (344 +z foloind proximţi Pde, dcă vlore doriă răpunului iemului l impul ee: n hd ( n u( n (345 Relizţi o implemenre ceei meode în MATLAB Comprţi rezulele eoreice cu cele obţinue în urm plicării procedurii Obervăm că puem obţine direc, fără nici o proximţie, b, b, 5 Dcă foloim proximţi Pde cu δ ( n drep inrre lui H ( z, vem: Penru n > u echivlen hn ( hn ( + bδ ( n + bδ ( n (346 hn ( hn ( (347 hd( n h d( n (348 Foloind h d din ex obţinem 5 Penru obţine b şi b foloim, din eorie, cu hn ( hd ( n relţiile hn ( 5 hn ( + bn, n, (349 Penru n rezulă b, penru n obţinem b Deci H ( z H ( z 38 Fie ecvenţ x( n cu primele 5 vlori de de x [, 4,,, 3] T (35 Foloind proximţi Pde ă e deermine un filru RII cărui funcţie pondere ă proximeze ecvenţ x, penru N M Avem de rezolv iemul de ecuţii b( 4 b( 4 ( b( (35 4 ( 3 Din ulimele două ecuţii vem 4 ( ( 3 (35 Ace iem ee incompibil, dică nu exiă o pereche (, ( cre ă ifcă iemul de mi u In concluzie preupunere ( ee incorecă Preupunem ( şi vem 4 ( ( (353 Soluţiile un (, ( Revenind în prim ecuţie rezolvării, penru deermin coeficienţii b (,,, vem b( b( 4 (354 b ( 4 7 d
Cpiolul 3 Filre cu răpun fini l impul 93 94 Prelucrre numerică emnlelor Probleme Obţinem z + 7z Hz ( z z (355 Obervăm că m obţinu un model în cre N M în loc de N M Clculând rnform inveră lui H ( z vem 3n hn ( δ ( n + un ( (356 Primele 5 vlori un x [,4,,,5] T (357 Aproximţi nu ee bună decâ penru primele 4 vlori 39 Fiind dă pre relă rnformei Fourier în imp dicre penru o ecvenţă cuzlă x( n coω XR( e, < (358 coω + deerminţi X( z, x( n şi părţile pră şi impră le lui x( n, x ( n şi x ( n e ( e + XR( e ( e ( e (359 ( v v + XR( v ( v( v (36 v ( v + z + v v z + v v R (36 d d X( z X ( v π j z v v j v v z v v C π C ( ( {, } C v v (36 După cum ee cunocu, inegrl e rezolvă prin meod reziduurilor Penru z în domeniul de convergenţă, z > (363 în ineriorul conurului de inegrre C e flă numi polii v şi v p i ( + / ( z + z z + z X( z + + z ( ( z z z Penru deerminre lui x( n vem unde un ( ee rep unie Deci z x n Z u n z n ( ( (364 (365 n n xp( n ( x( n + x( n ( u( n + u( n (366 n n xi ( n ( x( n x( n ( u( n u( n (367 3 Penru o ecvenţă cuzlă x( n, e cunoşe pre imginră rnformei Fourier X ( e inω, <, x( (368 Deerminţi X( z şi x( n X ( e I + co e e ( j ω ω ( e ( e I j j ω ( (, X ( v z + z I v v ( j ( v( v (369 z + v dv X( z XI ( v x( π + z v v C v z + v dv x( π j + (37 v v z v v C + ( z z z n x( n Z u( n z (37
Cpiolul 3 Filre cu răpun fini l impul 95 96 Prelucrre numerică emnlelor Probleme Probleme propue 3 Fie filrul nlogic defini de (37 ( + ( + + Sineizţi nliic filrele numerice corepunzăore penru o frecvenţ de eşnionre de rd/, uilizând: meod invrinţei răpunului l impul unir b rnformre biliniră c Reluţi şi b foloind mediul Mlb d Comprţi câşigurile ceor filre l frecvenţele şi 5F e Comprţi frecvenţ de ăiere l 3 db filrului nlogic cu cee filrului obţinu l puncul b (nliic f Comprţi frecvenţ de ăiere filrului nlogic cu cee filrului obţinu l puncul (uilizând mediul Mlb 3 Fie filrul nlogic defini de (373 + Sineizţi filrele numerice corepunzăore penru o frecvenţă de eşnionre de rd/, uilizând: Meod invrinţei răpunului l impul unir Comprţi frecvenţ de ăiere filrului nlogic cu cee filrului obţinu (uilizând mediul MATLAB b Trnform biliniră Comprţi frecvenţ de ăiere filrului nlogic cu cee filrului obţinu (nliic c Reluţi şi b foloind mediul MATLAB d Comprţi câşigurile ceor filre l frecvenţele şi 5F 33 Se doreşe proiecre unui filru numeric, cu frecvenţ de eşnionre de Hz, pornind de l filrul nlogic cu funcţi de rnfer -3+ 3 (374 + 3 + 3 Puem proiec filrul numeric corepunzăor foloind meod invrinţei răpunului l impul? Dcă d, proiecţi filrul Dcă nu, juificţi b Proiecţi filrul numeric prin meod rnformării bilinire Verificţi că filrul obţinu ee de celşi ip (din puncul de vedere l crceriicii mpliudine - frecvenţă, cu filrul iniţil Indicţie: Filrul ee de ip rece o; de cee rezulele de de plicre meodei răpunului l impul un neifăcăore 34 Proiecţi un filru rece jo pornind de l un filru nlogic Buerworh de ordinul Se impun: frecvenţ de ăiere l 3dB, F3 db Hz, frecvenţ de eşnionre ee de Hz şi mplificre uniră l frecvenţe joe Puem proiec filrul numeric corepunzăor foloind meod invrinţei răpunului l impul? Dcă d, proiecţi filrul Dcă nu, juificţi b Proiecţi filrul numeric prin meod rnformei bilinire Penru filrele obţinue clculţi câşigul l frecvenţele Hz şi Hz 35 Proiecţi un filru digil rece jo pornind de l un filru nlogic Buerworh de ordinul foloind meod invrinţei l impul unir Se impun: - frecvenţ de ăiere l 3dB, F3 db 4Hz - frecvenţ de eşnionre ee de Hz Penru filrul obţinu clculţi câşigul l frecvenţele 4Hz şi Hz 36 Să e ineizeze un filru rece-jo digil, cu o crceriică de mpliudine de ip Cebâşev în bnd de recere, vând: - o ondulţie de db în bnd de recere - lărgime de bndă în en Cebâşev, normă, ω p,4π - o enure de cel puţin db, l frecvenţ ω,36π - period de eşnionre T Se v uiliz rnform biliniră 37 Proiecţi un FTJ cu urmăorele pecificţii: enure în bnd de recere cel mul db, frecvenţ limiă uperioră benzii de recere 4 Hz, enure în bnd de oprire mi mre de 4 db, frecvenţ limiă inferioră benzii de recere 6 Hz, r de eşnionre 4 Hz Se v uiliz rnform biliniră pornind de l un filru de ip Buerworh, Cebâşev şi elipic
Cpiolul 3 Filre cu răpun fini l impul 97 98 Prelucrre numerică emnlelor Probleme 38 Fie un iem coninuu decri prin ecuţi N M d y ( d x ( c d (375 d d Se proximeză ce iem nlogic, cu un iem dicre în imp, penru cre x( n x( nt şi yn ( y( nt, înlocuind derivele cu diferenţele finie definie mi jo ( yn ( + yn ( D { y( n } (376 T ( + ( ( ( D y n D D y( n (377 Noăm : Deerminţi: fel încâ b Reprezenţi în plnul z funcţi φ ( z { } { } { } ( D { yn ( } yn ( (378 Y ( X ( şi Y( z H( z (379 X( z φ ( z (38 ( φ H ( z H ( z (38 39 Fie H ( de form r A H ( +G( ( (38 unde ee un pol de ordinul r şi G ( re dor poli de ordinul Deerminţi o formulă penru clcul A din H ( b Deerminţi o expreie penru h ( în funcţie de şi g(, rnform Lplce inveră lui G ( c Definim hn ( h ( nt răpunul l impul l filrului digil Foloind puncul b deerminţi H ( z 33 Fie un filru nlogic bil cu funcţi de pondere h ( Ae u( (383 unde u ( ee funcţi repă unie şi hn ( funcţi de pondere filrului numeric, proiec pornind de l filrul nlogic prin rnform biliniră cu o frecvenţ de eşnionre F / T Demonrţi că dcă F >> mx (384 unci hn ( Th( nt, penru n (385 33 Se poe formul o meodă invrinţei răpunului l impul repă penru recere de l filrul nlogic l cel digil Fie filrul nlogic vând funcţi de rnfer N A (386 Se noeză cu y( răpunul l impul repă unie l filrului Sineizţi un filru numeric l cărui răpun l repă, yn, ( ee yn ( y( nt (387 unde T ee period de eşnionre Deduceţi exprei funcţiei de rnfer H ( z b Demonrţi că j H(e H ( (388 (invrinţ câşigului l frecvenţe joe Comprţi din ce punc de vedere ceă meodă cu meod invrinţei răpunului l impul unir c Demonrţi că dcă T <<,,, N, înre funcţiile pondere exiă relţi hn ( Th( nt (389 33 Fie filrul nlogic vând ( α H, α > (39 + α Pornind de l ce conruiţi două filre numerice, uilizând meod invrinţei l impul unir şi meod invrinţei l impul repă unie (vezi problem nerioră Reprezenţi crceriicile mpliudine-frecvenţă Comprţi câşigurile celor două filre cu cel l filrului nlogic l frecvenţele,,5f,,5f
Cpiolul 3 Filre cu răpun fini l impul 99 Prelucrre numerică emnlelor Probleme 333 Fie un filru nlogic bil cu funcţi de rnfer H ( Demonrţi că dcă oţi polii ifc condiţiile: T <<,,, N (39 ir diferenţ dinre grdul numiorului şi l numărăorului ee de cel puţin, unci filrul digil H ( z obţinu prin meod invrinţei răpunului l impul unir îndeplineşe relţiile: j H(e H ( (39 jπ H(e H (j (393 334 Reformulţi problem nerioră penru czul când filrul digil ee ineiz uilizând meod invrinţei răpunului l impul repă unie (vezi şi problem 8 338 Proiecţi, foloind procedur buer, un FTJ RII de ordinul 5 cu frecvenţ de eşnionre Hz şi o enure de 3 db l frecvenţ de 6 Hz Reprezenţi crceriic mpliudine-frecvenţă şi crceriic fz-frecvenţă foloind procedur freqz Reprezenţi poziţi polilor şi zerourilor uilizând funcţi zplne Foloind procedur filer reprezenţi pre emnificivă răpunului l impul (circ de eşnione 339 Proiecţi, foloind procedur cheby din mediul MATLAB, un FTJ RII de ordinul cu frecvenţ de eşnionre de Hz, cu o enure de 3 db l frecvenţ de 6 Hz şi riplul de 5 db Reprezenţi crceriic mpliudine-frecvenţă şi crceriic fză-frecvenţă foloind procedur freqz Reprezenţi poziţi polilor şi zerourilor uilizând procedur zplne 335 Ce fel de filru ee H ( z dcă: z+ H( z H (394 z unde H ( z ee un FTJ digil idel? Deerminţi elemenele ce crcerizeză noul filru (frecvenţă de ăiere ec 336 Fie un FTJ Buerworh cu un ingur pol d de funcţi de rnfer: 5( + z H( z (395 5 z Deerminţi frecvenţ de ăiere Trnformţi ce filru înr-un FTB cu frecvenţ de ăiere uperioră de ω 3 π /5 şi inferioră de ω π / 5 u 337 Deerminţi ordinele filrelor digile rece jo de ip Buerworh, Cebâşev, Cebâşev şi elipic ce îndeplinec condiţiile: - o enure de cel mul 5 db până l frecvenţ de Hz; - o enure mi mre de 4 db penru frecvenţe mi mri de Hz; - frecvenţ de eşnionre ee Hz Se po uiliz procedurile buord, chebord, chebord şi ellipord din MATLAB Comprţi rezulele Reluţi problem penru o frecvenţă de eşnionre de 5 Hz Ce concluzie e poe rge? l 34 Sineizţi un filru numeric rece-jo, de ip Cebâşev, de ordinul 6, vând frecvenţ normă de ăiere,5 şi un riplu de, Reprezenţi crceriic mpliudine-frecvenţă şi deerminţi lărgime benzii de rnziţie, definiă l o enure de 3 db penru bnd de recere şi în en Cebâşev penru bnd de oprire Reprezenţi poziţi polilor şi zerourilor în plnul z şi explicţi efecul lor upr crceriicii de frecvenţă Reluţi problem penru ordinul 8 34 Proiecţi un filru digil rece u cu urmăorele pecificţii: enure minimă în bnd de oprire 4dB, enure mximă în bnd de recere,8 db, frecvenţ limi uperioră benzii de oprire 5 rd/, frecvenţ limiă inferioră benzii de recere 5 rd/ Frecvenţ de eşnionre ee rd/ Foloiţi proximările: Buerworh, Cebâşev, Cebâşev, elipică şi rnformre biliniră 34 Proiecţi un filru elipic rece bndă cu urmăorele pecificţii: riplul în bnd de oprire, riplul în bnd de recere, bnd de rnziţie inferioră de l 8rd/ l 9rd/ şi bnd de rnziţie uperioră de l rd/ l rd/ Frecvenţ de eşnionre ee 6 rd/
Cpiolul 3 Filre cu răpun fini l impul Prelucrre numerică emnlelor Probleme 343 Proiecţi un filru Cebâşev de ipul, opreşe bndă, cu urmăorele pecificţii: enure minimă în bnd de oprire db, enure mximă în bnd de recere db, bnd de rnziţie inferioră de l 8rd/ l 9rd/ şi bnd de rnziţie uperioră de l rd/ l rd/ Frecvenţ de eşnionre ee 8 rd/ Reluţi uilizând o proximre Cebâşev Se vor foloi procedurile corepunzăore din mediul Mlb 344 Proiecţi, foloind procedur ellip din mediul MATLAB, un FTJ elipic de ordinul 5 cu frecvenţ de eşnionre de Hz, cu o enure de 3 db l frecvenţ de 6 Hz şi riplurile de db în bnd de recere şi 4dB în bnd de oprire Reluţi poi penru ordinul 6 Reprezenţi crceriic mpliudine-frecvenţă şi crceriic fzfrecvenţă Reprezenţi poziţi polilor şi zerourilor şi explicţi pe bz ceei comporre crceriicii mpliudine-frecvenţă Deerminţi lărgime benzii de rnziţie 345 Proiecţi, foloind procedurile buord şi buer, un FTB RII cu enure minimă în bnd de oprire 4dB, enure mximă în bnd de recere db, bnd de rnziţie inferioră de l 5rd/ l 6rd/ şi bnd de rnziţie uperioră de l rd/ l rd/ Frecvenţ de eşnionre ee 6 rd/ Deerminţi ordinul filrului şi frecvenţele de ăiere l 3 db Reprezenţi crceriic mpliudine-frecvenţă şi crceriic fz-frecvenţă şi verificţi condiţiile de proiecre minimă în bnd de oprire 4dB şi bnd de rnziţie de l 9Hz l Hz Frecvenţ de eşnionre ee 4Hz Deerminţi ordinul filrului şi frecvenţ de ăiere l 3 db Reprezenţi crceriic mpliudine-frecvenţă şi crceriic fză-frecvenţă foloind procedur freqz Reprezenţi poziţi polilor şi zerourilor 348 Proiecţi, foloind procedurile ellipord şi ellip din mediul MATLAB, un FTS elipic cu enure mximă în bnd de recere db, enure minimă în bnd de oprire 3dB şi bnd de rnziţie de l 3Hz l 35Hz cu frecvenţ de eşnionre de Hz Deerminţi ordinul filrului şi frecvenţ de ăiere l 3 db Reprezenţi crceriic mpliudine-frecvenţă şi crceriic fz-frecvenţă Reprezenţi poziţi polilor şi zerourilor şi explicţi pe bz ceei comporre crceriicii mpliudine-frecvenţă 349 Fie un FTJ cu crceriic dă de -j5ω e, ω < π / H d ( e (396 in, re Deerminţi răpunul l impul Proiecţi un filru RII, vând grdele numărăorului şi numiorului M repeciv N, cre ă proximeze filrul de mi u, foloind proximţi Pde, în czurile: N, M b NM5 Reprezenţi crceriicile mpliudine-frecvenţă şi comprţi-le cu le filrului iniţil 346 Proiecţi, foloind procedurile chebord şi cheby din mediul MATLAB, un FTS cu enure minimă în bnd de oprire 4dB, enure mximă în bnd de recere db şi bnd de rnziţie de l 8Hz l 9Hz Frecvenţ de eşnionre ee 3Hz Deerminţi ordinul filrului şi frecvenţ de ăiere l 3 db Reprezenţi crceriic mpliudine-frecvenţă şi crceriic fză-frecvenţă foloind procedur freqz Reprezenţi poziţi polilor şi zerourilor 347 Proiecţi, foloind procedurile chebord şi cheby din mediul MATLAB, un FTJ cu enure mximă în bnd de recere 5dB, enure 35 Reluţi problem nerioră foloind meod Prony 35 Sineizţi prin meod Prony un filru RII cu N M cre ă proximeze funcţi pondere, n,,, N hd ( n (397, n N Evluţi erore (funcţi co minimiză Cz priculr N ; penru ceă vlore lui N reprezenţi funcţi de pondere obţinuă