Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure. Za vsak v vzorec izbran izdelek zberemo podatke z ustreznimi meritvami. Na osnovi teh podatkov izračunamo vrednost izbrane vzorčne statistike, npr. vzorčne aritmetične sredine. Izračunane vrednosti vzorčne statistike sprotno rišemo v kontrolno karto. Kontrolna karta ima na osi x zaporedno številko doblenega vzorca (to e v bistvu časovna skala), na osi y pa skalo za vrednosti vzorčne statistike. Oglemo si kontrolno karto na primeru. Primer: kontrolna karta za povpreče številske spremenlivke X V vsaki časovni enoti izberemo vzorec, ki ima n enot in iz pripadaočih vrednosti spremenlivke X izračunamo vzorčno aritmetično sredino, ki ocenue povpreče v proizvodnem procesu n x = x i n i= Ta postopek ponavlamo vsako časovno enoto. Izračunane vrednosti vzorčnih aritmetičnih sredin sprotno rišemo v kontrolno karto, ki ima na osi y skalo za vrednosti vzorčne aritmetične sredine. Na določen način (to bo razloženo kasnee) izračunamo tri kontrolne črte (zgorna UCL, spodna LCL in sredna CL) in ih vrišemo v kontrolno karto. Ka lahko ugotovimo iz kontrolne karte? stane proizvodnega procesa e spreemlivo; stane proizvodnega procesa ni spreemlivo. Potrebno e ukrepati.
Kontrolne karte 2 proizvodni proces e znotra kontrolnih črt, stane e spreemlivo Slika: Kontrolna karta za povpreče proizvodni proces ni znotra kontrolnih črt, stane ni spreemlivo
Kontrolne karte 3 proizvodni proces e znotra kontrolnih črt, vendar stane ni spreemlivo, ker e opazen linearni trend vrednosti vzorčnih aritmetičnih sredin. se vrednosti vzorčnih aritmetičnih sredin ciklično spreminao Ogledali si bomo izdelavo kontrolne karte za povpreče in za variaciski razmik. Oznake: n število enot v posameznem vzorcu m število vzorcev velikosti n
Kontrolne karte 4. KONTROLNA KARTA ZA POVPREČJE Izrek: Na za številsko spremenlivko X vela: E (X ) = µ, σ (X ) = σ. Vzorčne aritmetične sredine vzorcev velikosti n so porazdelene po normalni porazdelitvi: σ X : N E( X ) = µ, σ ( X ) =. n če e n dovol velik, n > 30. Primer : spremlamo spremenlivko X, za katero vela: E ( X ) = 00, σ ( X ) = 0. Vsako časovno enoto izberemo vzorec velikosti n = 36. Potem e porazdelitev vzorčnih aritmetičnih sredin normalna: σ X : N 00, = n 0 6 5 =. 3 Posledica: σ σ Na intervalu µ 3, µ + 3 n n e približno 99,7% vrednosti vzorčnih aritmetičnih sredin x. Ločimo dve različni situacii: a) µ in σ poznamo. To e izemno redko v praksi. b) µ in σ ne poznamo. To e običano stane.
Kontrolne karte 5 a) µ in σ poznamo in e n dovol velik Teda kontrolne črte izračunamo takole: zgorno kontrolno črto (UCL upper control line) σ UCL = µ + 3 n spodno kontrolno črto (LCL lower control line) σ LCL= µ 3 n sredno kontrolno črto (CL centerline). CL = µ Primer : LCL= 95, CL=00, UCL=05 b) µ in σ ne poznamo (običana situacia v praksi) Za vsak vzorec velikosti n izračunamo vzorčno aritmetično sredino x in o narišemo kot točko na kontrolno karto, poleg tega izračunamo še vzorčni variaciski razmik VR = max x min x, =,..., n Na osnovi vseh vzorčnih aritmetičnih sredin x, teh e m, izračunamo povprečno vzorčno povpreče x x = m m x =, na osnovi variaciskih razmikov VR pa povprečni variaciski razmik VR = m m = VR
Kontrolne karte 6 Kontrolne črte izračunamo takole (brez dokaza): zgorna kontrolna črta: UCL = 2 x + A VR spodna kontrolna črta: LCL = 2 x A VR sredna kontrolna črta: CL = x Vrednost A 2 e konstanta, ki e odvisna od števila enot v posameznem vzorcu in e podana v tabelah. n A 2 2,880 3,023 4 0,729 5 0,577 6 0,483 7 0,49 8 0,373 9 0,337 0 0,308 Pogo: število vzorcev m>25
Kontrolne karte 7 2. KONTROLNA KARTA ZA VARIACIJSKI RAZMIK Kontrolno karto za VR običano uporablamo, kadar imamo mahne vzorce ( n < 0). Če µ in σ ne poznamo, izračunamo kontrolne črte po formulah: CL = VR UCL = D4VR LCL = D3VR Vrednosti D 3 in D 4 sta konstanti, ki sta odvisni od števila enot v posameznem vzorcu. Sta v tabelah. n D 3 D 4 2 0 3,267 3 0 2,575 4 0 2,282 5 0 2,5 6 0 2,004 7 0,076,924 8 0,36,864 9 0,84,86 0 0,223,777 Vir za tabele: NIST/SEMATECH e-handbook of Statistical Methods
Podatki za maso izdelka [g]. Število izdelkov v posameznem vzorcu e 9, število vzorcev e 30. enote Sprotni izračuni za vsak vzorec vzorec 2 3 4 5 6 7 8 9 vz.arit.sredina var.razmik 0,6 06,0 99,2 97,7 0,4 99,9 96,2 02,4 02,2 00,75 9,72 2 97,3 04, 97,0 0,7 95,5 02,7 93,0 03,7 06,7 00,9 3,70 3 00, 03,3 99,5 97,6 90, 05,0 00,2 02,9 98,9 99,72 4,94 4 99,3 96,9 99,3 07,9 97, 99, 00,6 06,6 0,6 00,93 0,97 5 98,4 03,9 00,2 96,8 04,6 02,7 99,0 0,0 94,7 00,4 9,9 6 02,8 97,9 02, 97, 03,4 04,6 02,2 93,6 93,9 99,74 0,97 7 98,6 98,8 98,5 99, 02,3 02,6 97,7 99,3 98,6 99,50 4,89 8 99, 02,3 00, 93,7 00, 05,8 95,3 05, 02,4 00,44 2,8 9 98,0 02,7 97,7 99,4 94,5 02,8 97,8 04, 02,9 00,00 9,63 0 0,8 93,6 06,5 03,0 0,2 00,2 95, 98,8 00,8 00,2 2,90 02,4 00,6 03,7 99,8 03,3 0,2 0,9 00,2 00,0 0,45 3,93 2 03,9 97,5 0,8 98,7 97,2 0,5 00,3 0,2 97,2 99,92 6,76 3 04,8 00,5 00,5 99,6 97,9 02, 99,2 02,9 97, 00,5 7,66 4 00,7 99,5 02,7 00,8 02,9 0,6 05,4 0,4 98,4 0,49 6,98 5 02,5 02,4 96,5 98,3 0,5 98,2 93,2 95,9 99,0 98,6 9,29 6 99,0 97,8 98,0 96,8 0,8 00,4 04,7 02,2 06,3 00,79 9,58 7 02,2 95,6 08,6 02,5 02,4 0,6 0,3 95,4 96,7 00,69 3,5 8 98, 96,8 99,0 0,0 06,6 95,0 97,8 02,8 98,8 99,53,67 9 97,3 97,3 05, 0,7 00,6 96,5 04,4 96,4 99,6 99,87 8,67 20 95, 97,3 98, 97,2 02,5 02,8 0,4 94,0 00,2 98,73 8,77 2 93,5 98,2 00,9 03,2 04,9 93, 92,3 98,8 98,6 98,6 2,65 22 95,2 98,6 96,0 02,3 97,2 02,5 99,0 96,5 00,7 98,67 7,32 23 97,9 02,7 02,8 97,4 00,8 98,3 0,3 97,9 03,6 00,3 6,8 24 02,8 03, 00, 05, 02,8 0,6 92,5 99,7 04, 0,3 2,52 25 96,7 96,2 99,8 00,8 03,5 99,4 96,5 96,6 04,6 99,34 8,46 26 96,9 0,4 0,5 96,6 96,6 99,4 00,2 93,8 99,8 98,47 7,77 27 04,5 0,8 99, 93,4 02,4 0,2 98,7 99,2 00,4 00,08,06 28 0,0 98,0 06,8 96,7 0,0 02,5 99,7 92,2 93,6 99,06 4,62 29 04,3 99,3 0,8 02, 98,4 00,5 97,6 97,5 96,5 99,77 7,78 30 96,5 06, 04,7 0,0 02,8 94,7 02,7 97,8 96,0 00,25,38 Kontrolna karta za povprece, n=9 povpreče 99,95 9,87 povprece 04 02 00 98 UCL = 03,27 CTR = 99,95 LCL = 96,63 Izračun kontrolnih črt za povpreče iz tabel: A2= 0,337 povp. arit. sredina = 99,95 LCL= 99,95-0,337*9,87= 96,62 UCL= 99,95+0,337*9,87= 03,3 CTR= 99,95 96 0 5 0 5 20 25 30 stevilka vzorca var_razmik 8 5 2 9 6 3 Kontrolna karta za var_razmik, n=9 UCL = 7,92 CTR = 9,87 LCL =,8 Izračun kontrolnih črt za var_razmik iz tabel: D3= 0,84 D4=,86 povp.var.razmik= 9,87 LCL= D3*9,97=,82 UCL= D4*9,97= 7,92 CTR= 9,87 0 0 5 0 5 20 25 30 stevilka vzorca
Vaa: Podatki so enote vzorec 2 3 4 5 povpreče var.razmik 24,5 25,8 24,2 24,5 25,5 2 22,8 24,0 25,8 24, 23,5 3 22, 25,3 26,6 23,6 26,6 4 25,6 24,3 25,9 24,6 25,5 5 24,7 26,8 24,8 23,5 26,2 6 24,0 23,0 23,7 23,7 25,0 7 25,0 24, 24,8 25, 24,7 8 25,7 24,2 25,3 26,0 25,0 9 25,9 25,7 24,4 24,3 26,0 0 27,2 28,0 29,0 24,5 25,4 28,0 24,9 24,5 22,4 26, 2 25,0 25, 24,7 23,6 24,7 3 24, 25,6 25,6 25,9 24,4 4 24,2 24,8 25,2 26,0 24,4 5 24,5 24,4 26,6 24, 26,2 6 24,7 25,4 23,3 25,2 26, 7 25,3 23,8 24,6 27, 26,5 8 24,8 25,3 25, 25,3 25, 9 24,9 24,6 24,6 24,6 27,6 20 28,0 26,2 26,2 28,0 25,5 2 27, 26,8 25,5 23,5 25,9 22 25,5 26,7 26,5 23,9 25, 23 25, 24,5 26,2 23,9 24,9 24 24,0 25,3 24,8 24,6 24,7 25 25,4 24,7 23,7 24,6 25,7 26 22, 25,5 23,8 25,7 24,7 27 23,7 23,7 26,7 23,5 24,2 28 24,7 24, 24,9 24,4 25,5 29 26,6 23, 25,7 24,9 24,4 30 28,0 25, 26,0 25,3 24,9 Rešitev: Mee za povpreče: UCL= 26,5702 CL=25,0893 LCL = 23,6085 2 vzorca ne ustrezata, št. 0 in št.20 Mee za var.razmik UCL=5,42827 CL= 2,56733 LCL = 0,0 vzorec ne ustreza, št. 0.