Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier.

6 Σειρές Fourier Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier Mια συνάρτηση f : R καλείται περιοδική µε περίοδο >, αν ισχύει f ( x) = f( x+ ) για κάθε x R και ο είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οποίο ισχύει αυτή η σχέση Μια περιοδική συνάρτηση αρκεί να µελετηθεί σε οποιοδήποτε διάστηµα µήκους ίσο µε την περίοδό της Παράδειγµα Οι συναρτήσεις si x,cos x είναι περιοδικές µε περίοδο π, ενώ οι συναρτήσεις ta x,cot x είναι περιοδικές µε περίοδο π Οι συναρτήσεις si x, cos x, ( N ) είναι περιοδικές µε περίοδο π / Ορισµός 6 Εστω f : R είναι µια -περιοδική και απόλυτα /, / Ο χώρος ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο διάστηµα [ ] αυτών των συναρτήσεων συµβολίζεται µε L Ορισµός 6 Έστω f L Τότε η σχέση πix / ˆ f = f ( x) e, (6) / ορίζει µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε συνάρτηση f L να f ˆ, η { } αντιστοιχεί µοναδική ακολουθία µιγαδικών αριθµών οποία καλείται ακολουθία (µιγαδικών) συντελεστών Fourier της f Η τριγωνοµετρική σειρά (αν έχει νόηµα) f ˆ = πiπ x = S x = f e, (6) καλείται σειρά Fourier (σε µιγαδική µορφή) της συνάρτησης f Από την (6) έχουµε 6

/ πix ˆ / πx πx f = f( x) e f( x) cos isi = / / a ib =, όπου / a = f( x) / / π x a = f( x)cos,,, / = / π x b = f( x)si / (63) Θέτοντας όπου το βρίσκουµε ˆ a ib a + ib f ( ) = =, οπότε από τη σχέση (6) σε συνδυασµό µε την (63) παίρνουµε f πiπx πiπx πiπx = ˆ = ˆ + ˆ + ˆ S x f e f e f f e = = = ˆ ˆ = f + f e fˆ + e = πiπx πiπx a ib x x a + π π = + cos isi = a ib πx πx + cos isi + και µετά από στοιχειώδεις πράξεις προκύπτει µια ισοδύναµη µορφή του αναπτύγµατος Fourier της f (σε πραγµατική µορφή): 7

πx πx Sf ( x) = a + acos + bsi =, (64) όπου οι συντελεστές a, b, =,, είναι όπως στην (63) και καλούνται επίσης συντελεστές Fourier της f Το άθροισµα ή N πx πx SN, f( x) = a + acos + bsi = = N / SN, f( x) = f e π N ix καλείται N -οστό µερικό άθροισµα της σειράς Fourier S f x της συνάρτησης f στο σηµείο x σε πραγµατική ή µιγαδική µορφή Σηµειώνουµε ότι η σειρά Fourier (6) (ή (64)) δεν συγκλίνει απαραίτητα και όταν συγκλίνει δεν συγκλίνει υποχρεωτικά στη συνάρτηση f Παρ όλα αυτά έχουµε: Πρόταση 6 Αν f, g είναι συνεχείς περιοδικές συναρτήσεις, τότε fˆ = gˆ f = g Οσον αφορά τη συµπεριφορά της ακολουθίας των συντελεστών Fourier ισχύει το ακόλουθο: Λήµµα 6 (Riema-Lebesgue) Αν f L, τότε η ακολουθία των συντελεστών Fourier της f είναι µηδενική, δηλαδή ή ισοδύναµα lim f ˆ =, + lim a + = limb = + Οσον αφορά τη σηµειακή σύγκλιση της σειράς Fourier έχουµε το ακόλουθο: Θεώρηµα 6 (Dirichlet) Εστω f L είναι τµηµατικά συνεχής και έχει πεπερασµένο πλήθος µέγιστα και ελάχιστα στο [ /, /], 8

τότε lim S N N, f ( x) + + f x f x = Υπενθυµίζουµε ότι οι αριθµοί f ( x + ), f ( x ) είναι το εκ δεξιών και εξ αριστερών όριο της f στο σηµείο x αντιστοίχως Παράδειγµα Η -περιοδική συνάρτηση x / f( x) = / < x < ικανοποιεί τις συνθήκες Dirichlet στο διάστηµα [, ] υστυχώς δεν είναι αληθές ότι κάθε µηδενική ακολουθία µπορεί να γραφεί ως ακολουθία συντελεστών Fourier µιας απόλυτα ολοκληρώσιµης συνάρτησης Τότε όµως πως µπορούµε να ξεχωρίσουµε πότε µια τριγωνοµετρική σειρά είναι σειρά Fourier µιας συνάρτησης; Μια ικανή συνθήκη µας δίνει το ακόλουθο Θεώρηµα 6 (Riesz-Fischer) Εστω { } c είναι µια = τετραγωνικά αθροίσιµη ακολουθία (µιγαδικών) αριθµών, δηλαδή ισχύει c < = Τότε υπάρχει τετραγωνικά ολοκληρώσιµη περιοδική / συνάρτηση f (δηλαδή f () t dt < ) τέτοια ώστε / c = f ˆ Ο διανυσµατικός χώρος των τετραγωνικά ολοκληρώσιµων περιοδικών συναρτήσεων συµβολίζεται µε L και είναι πολύ σηµαντικός Κατ αρχήν περιέχεται στον L Στο χώρο L µπορούµε να ορίσουµε ένα εσωτερικό γινόµενο ως εξής: / / f, g = f x g ( x ) 9

ότε, σε αναλογία µε την ευκλείδια γεωµετρία ορίζεται µια νόρµα f στον L έτσι ώστε / f f, f f x = = / Με χρήση αυτής της νόρµας, λέµε ότι τα στοιχεία f, g L είναι κάθετα αν και µόνον αν f, g = Αποδεικνύεται δε ότι το σύνολο e πix = είναι µια βάση του χώρου αυτού, άρα για κάθε { } f L υπάρχει µοναδική ακολουθία συντελεστών c ( f ) ώστε πix πimx πix πimx,, = = f = c f e f e = c f e e πimx ˆ f, e = c f c f = f m m m = έτσι Eπιπλέον ισχύει το ακόλουθο: Θεώρηµα 63 (Ταυτότητα του Parseval) Αν f L,τότε όπου { },{ } ( ), (65) / f ( x) = a / + a + b = a b είναι όπως στην (63) Ισοδύναµα / f ( x) = f / = Απόδειξη Η απόδειξη που θα δούµε δεν είναι αυστηρή εχόµενοι ότι τα σύµβολα της ολοκλήρωσης και της άθροισης µπορούν να εναλλαχθούν ως προς τη σειρά εφαρµογής τους και κάνοντας χρήση των τύπων υπολογισµού τριγωνοµετρικών ολοκληρωµάτων, για a, b έχουµε

/ / πx πx f ( x) a / / acos bsi = + + = / x x a / acos π π = bsi + + = πx πx + a acos + bsi = / πx πx = a + a cos si / b + = / πx πx = a + a cos si / b + = / πx πx + a cos + b si / = m> mπx mπx amcos + bmsi / πx πx = a + a cos si / b + = = a + ( a + b) = Σηµείωση (i) Aν η f είναι πραγµατική συνάρτηση, τότε c = c (ii) Υπενθυµίζουµε ότι µια περιοδική συνάρτηση f καλείται άρτια αν ισχύει f ( x) = f( x) για κάθε x,, ενώ καλείται περιττή αν f ( x) = f( x) για κάθε x,

Αν λοιπόν η f είναι µια περιοδική και άρτια συνάρτηση, τότε η σειρά Fourier της f παίρνει τη µορφή cos π x Sf x = a + a = και µιλούµε για τη σειρά συνηµιτόνων της f Αν η f είναι µια περιοδική και περιττή συάρτηση, τότε η σειρά Fourier της f παίρνει τη µορφή π x Sf ( x) = bsi = και µιλούµε για σειρά ηµιτόνων της f (iii) Aς υποθέσουµε ότι ισχύει το Θεώρηµα 6 Τότε η σειρά Fourier είναι ένας µετασχηµατισµός που αναλύει µια περιοδική συνάρτηση στο φάσµα συχνοτήτων της (διακριτών) ηλαδή από µια (συνεχή) συνάρτηση f προκύπτει µια διακριτή ακολουθία fˆ, Το είναι η συχνότητα που µετρά το πλήθος των ταλαντώσεων ανά περίοδο Eτσι ο αριθµός ˆf µας δίνει ένα µέτρο του κατά πόσο η -ιοστή συχνότητα είναι ουσιώδης στην αναπαράσταση της συνάρτησης µέσω της σειράς Fourier Με f ˆ, το Θεώρηµα { } γνώση µόνον της διακριτής ακολουθίας 7 µας δείχνει τον τρόπο ανακατασκευής της f Παράδειγµα Αν η συνάρτηση f είναι άρτια δείξτε ότι 4 / π x a = f( x)cos, ( N ) b = Λύση Από τον ορισµό έχουµε / π x a = f( x)cos /

πx / πx = f ( x)cos f( x)cos / + Mε αλλαγή µεταβλητής x = u στο πρώτο ολοκλήρωµα και λόγω αρτιότητας έχουµε: πu / πx a = f( u)cos du f( x)cos / + / πu / πx = f ( u)cos du f( x)cos + 4 / π x = f ( x)cos Για το υπολογισµό του b έχουµε: / π x b = f( x)si / πx / πx = f ( x)si f( x)si / + Οπως και στον υπολογισµό των a έτσι και εδώ κάνουµε την αλλαγή µεταβλητής x = u στο πρώτο ολοκλήρωµα και επειδή η συνάρτηση είναι άρτια έχουµε: πu / πx b = f( u)si du f( x)si / + / πu / πx = f( u)si du f( x)si + = Παράδειγµα ίνεται η συνάρτηση < x < f( x) =, < x < 3

την οποία την επεκτείνουµε περιοδικά µε περίοδο 4 (i) Να βρεθούν οι συντελεστές Fourier της f (ii) Να γραφεί η σειρά Fourier της f (iii) Να ορίσετε τη συνάρτηση κατάλληλα στα σηµεία x =,, έτσι ώστε η σειρά να συγκλίνει στη συνάρτηση για x Λύση (i) Από τον ορισµό έχουµε Για =,, έχουµε: Η γραφική παράσταση της f a = f( x) = = 4 4 π x a = f( x)cos 4 cos π x π x = = si = π Επίσης: π x b = f( x)si 4 si π x = π x = cos = cos π π ( ( π ) ) (ii) Από την (i) προκύπτει ότι η σειρά Fourier της f είναι η S f ( ( π ) ) cos π x ( x) = + si = π 4

( ) π x = + si = π 4 πx 3πx 5πx = + si si si π + + + 3 5 (iii) Η συνάρτηση ικανοποιεί τις συνθήκες Dirichlet, άρα η σειρά συγκλίνει στην τιµή f ( x ) στα σηµεία συνέχειας αυτής και στο ηµιάθροισµα + f ( x ) + f( x ) που πρέπει να έχει στο x = είναι είναι + f () = = και στο x = είναι Παράδειγµα ίνεται η συνάρτηση για x =,, Κατά συνέπεια, η τιµή + f ( ) = =, στο x = + f () = = f( x) = x, < x< π την οποία επεκτείνουµε περιοδικά µε περίοδο π (i) Να βρεθούν οι συντελεστές Fourier αυτής (ii) Να γραφεί η σειρά Fourier της f (iii) είξτε ότι π = 6 = (iv) Κάνοντας χρήση της ταυτότητας του Parseval δείξτε ότι π 4 = 4 = 9 Η γραφική παράσταση της f 5

Σηµειώνουµε εδώ ότι λόγω περιοδικότητας ισχύει πάντοτε = + = ( + ) + / / / f x f x f x f x f x / / / / + = f x f x f x / Λύση (i) Λόγω της παραπάνω έχουµε π x π a = f ( x) cos = x cos( x) π π π π π Κάνοντας ολοκλήρωση κατά παράγοντες για παίρνουµε άρα: si x cosx = x + xcosx si x, 3 π si x 4 a = x + xcosx si x 3 = π Για = έχουµε a 3 π π x 4π x π π 3 3 = = = Oµοίως υπολογίζουµε π b = x si x π cosx = + + π x xsi x cosx 3 π 4π = (ii) Η σειρά Fourier είναι 4π 4 4π Sf ( x) = + cosx six 3 = Μπορούµε επιπλέον να παρατηρήσουµε ότι από το θεώρηµα του 6

Dirichlet ισχύει S ( x) = f( x), x,π f (iii) Για x = η σειρά Fourier είναι ίση µε S f () 4π 4 = + 3 = Τότε σύµφωνα µε το Θεώρηµα του Dirichlet η σειρά S f () συγκλίνει στο + f + f π =, άρα π π 3 4 4 = + = Από την παραπάνω προκύπτει ότι 4π π = π = 4 3 6 = (iv) Εφαρµόζουµε την ταυτότητα Parseval (65) ( ) / f ( x) = f( x) a / a b = + + = Εχουµε: 4 π 4 6π f ( x ) = x = π 5 Aπ την άλλη µεριά έχουµε 6π 6 6π 6π 8 8π a + a + b = + + = + + 4 4 = 9 = 9 = = Αρα: 4 4 ( ) ( ) f ( x) a a b = + + = 7

6π 6π 8 8π π π π = + + = 5 9 5 9 4 4 4 4 4 4 = = = = π π π π = = 4 4 4 4 4 = 5 9 6 9 Ασκήσεις ίνεται η συνάρτηση f ( x) περιοδικά µε περίοδο π (i) Να βρεθούν οι συντελεστές Fourier αυτής (ii) Να γραφεί η σειρά Fourier της f (iii) είξτε ότι π = = 8 = x την οποία επεκτείνουµε Απ (i) a a 4 =, = περιττος (ii) π b = = π x π = ( ) ( ) 4cos = π x Aν f, f L [,π ] δείξτε ότι ( f ) ( ) i fˆ ( ) = 3 Aν f L [ π ] δείξτε ότι π x + π f () t dt = (), 4 Aν f, g [,π ] L έστω είναι η συνέλιξη των, f t dt x π f g x = f t g x t dt f g είξτε ότι ( f g) f g = 5 Υπολογίστε τη σειρά συνηµιτόνων της συνάρτησης f ( x) = si x την οποία επεκτείνουµε περιοδικά µε περίοδο π π 4 Απ si x = π π = cos ( x) 4 8

6 Υπολογίστε τη σειρά ηµιτόνων της συνάρτησης f ( x) = x την οποία επεκτείνουµε περιοδικά µε περίοδο π + ηµ ( x) Απ x = 7 Υπολογίστε τη σειρά Fourier της 4-περιοδικής συνάρτησης = f ( x) x < x< = 4 x < x < 4 Στη συνέχεια µε χρήση της ταυτότητας Parseval δείξτε ότι 4 = 4 = 96 ( ) π Απ S ( x) f 8 = π = cos ( ) ( ) π x 8 Aν f, g είναι οι µιγαδικοί συντελεστές Fourier των περιοδικών συναρτήσεων f, g L (, ) δείξτε ότι ( fg) ( ) = f ( k ) g ( k ) k= 9

6 o ολοκλήρωµα Fourier Ορισµός 63 Εστω f : συνάρτηση στο, συµβολικά τελεστής είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη f L : = L Τότε ο γραµµικός πix γ Sf γ = f x e είναι καλά ορισµένος Η εικόνα Sf καλείται µετασχηµατισµός Fourier της f Για απλότητα χρησιµοποιούµε και το συµβολισµό f ˆ : = Sf k = k, k =,,, για τους χώρους των k παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε συνεχή k -παράγωγο (για C : = C είναι ο χώρος των συνεχών συναρτήσεων) Στο εξής θα γράφουµε C : C k = Αρχικά αναφέρουµε χρήσιµες ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier: Πρόταση 6 F Για κάθε f, g L ισχύει af + bg = afˆ + bgˆ, a, b (γραµµικότητα) F Αν f f ( τ ) τ =, τότε F3 Για ω ισχύει: ˆ i f f e πγτ τ γ = γ (µετάθεση στο χρόνο) πω i i e f ( γ ) = fˆ ( γ ω) (µετάθεση στις συχνότητες) F4 Για a { } ισχύει: f ˆ γ = a a (διαστολή) f ( a ) ( γ ) 3

γ = ˆ γ, γ F5 f f F6 Εστω f L x Αν F( x) ( γ ) = f t dt και F L, τότε ˆ ˆ f F ( γ) =, γ {} (αντιπαράγωγος στο χρόνο) πγ i και ( k ) F7 Αν f, f,, f L f f f x, τότε: ( k ),,,, ( k ) k f ( γ ) ( πγ i ) fˆ ( γ) = (παράγωγοι στο χρόνο) F8 Αν f L ( ) και xf ( x) L και: ( i) xf f τότε η f είναι παραγωγίσιµη π γ = γ (παράγωγος στις συχνότητες) F9 Εστω f g x = f x t g t dt είναι η συνέλιξη δυο συναρτήσεων f, g L Τότε Λήµµα 6 Αν f, g L f g γ = f( γ) g( γ), γ (συνέλιξη στο χρόνο), τότε = f x g x f x g x Aπόδειξη Αµεση, χρησιµοποιώντας τον ορισµό 63 Παράδειγµα Εστω f χ[ ] ( A ) είξτε ότι f ( γ ) ( A ) ηµ π γ = πγ Λύση Αµεση µε χρήση του ορισµού 63 [ ], x A/, A/, αλλου = > A/, A/ = 3

( Ax) ηµ π Σηµείωση Αν f ( x) = A>, τότε χρησιµοποιώντας τη π x θεωρία ολοκληρωτικών υπολοίπων παίρνουµε f ( γ ) χ[ ]( γ) = x A A/, A/ Παράδειγµα Εστω f = [ ] ( A> ) f ( γ ) χ AA, ( πγ ) ηµ πaγ = A είξτε ότι Λύση Ισχύει f = [ A/, A/ ] [ A/, A/] A χ χ Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε το θεώρηµα συνέλιξης F9 και το προηγούµενο παράδειγµα Παράδειγµα Εστω f ( x) = e x είξτε ότι f ( γ ) = + ( πγ ) Λύση Απευθείας υπολογισµός µε χρήση του ορισµού 63 Παράδειγµα Εστω f ( x) = e π x είξτε ότι f ( γ ) Λύση Εχουµε: ( γ) ( γ ) df π x π i γ x π f e e i xe x π e i γ = = x dγ π = e πγ x i x x i x π π γ π π γ π x ( π i γ x ) = i e e = ie e i e e x i x e π π γ e f = πγ = πγ γ Kαταλήγουµε στην επίλυση µιας οµογενούς γραµµικής διαφορικής εξίσωσης ης τάξης df ( γ ) + πγ f ( γ ) =, dγ x 3

η λύση της οποίας είναι η Αλλά: π γ γ πγ f = f e = f e d γ πx π ( x + y ) ( ) π r f = e = e dy = π lim e rdrdθ =, r και εφόσον f > τελικά παίρνουµε f f ( γ ) Θεώρηµα 64 Εστω Fourier της f Τότε: f L = e πγ r = και και f είναι ο µετασχηµατισµός (α) Η f είναι (οµοιόµορφα) συνεχής συνάρτηση στο (β) (αντιστροφή µετασχηµατισµού): Aν f L, τότε σε κάθε σηµείο συνέχειας της f πγ γ i x f x = f e dγ (γ) (Μοναδικότητας): Aν f ( γ) = γ, τότε f = παντού εκτός πεπερασµένου πλήθους σηµείων (δ) (Riema-Lebesgue): f ˆ ( γ ) lim = γ Πρόταση 63 Για κάθε f, g L ( ) (δηλαδή f ( x) <, g( x) < ισχύει η ταυτότητα Parseval και = f x g x f γ g γ dγ 33

Ασκήσεις είξτε τις ιδιότητες F-F9 της πρότασης 63 Εστω ( ) f L, f > είξτε ότι η f είναι φραγµένη k 3 Αν < =,,, t f t dt k δείξτε ότι (α) f είναι φορές παραγωγίσιµη στο k (β) ( k k πi t f t dt = f ) k =,,, 4 είξτε ότι δεν υπάρχει g L ( ) { } µε f g = f f L 5 Υπολογίστε το όριο λ ηµ ax i x lim e πγ, ( a λ > σταθερά) λ x 6 είξτε ότι π συν π ( x /) ( πγ ) συν πγ γ < /4 συν x = x γ > /4 Υπόδειξη: Εφαρµόστε θεώρηµα αντιστροφής 7 Για a >, δείξτε χρησιµοποιώντας ιδιότητες του at f t = e + at έχει µετασχηµατισµού Fourier ότι η συνάρτηση µετασχηµατισµό Fourier f ( γ ) = 3 4a 8 aπ iγ ( a + ( πγ ) ) 8 Υπολογίστε την οικογένεια συναρτήσεων f a ( γ) ( ax) e = ηµ π πx + ( πx) > πγ i x, a, γ Υπόδειξη: Συνέλιξη κάποιων (γνωστών) συναρτήσεων π 9 είξτε ότι =, ab, >, a> b x + a x + b ab a + b 34

63 Εφαρµογές των σειρών Fourier στην επίλυση µερικών διαφορικών εξισώσεων Ορισµός 63 αλούµε µερική διαφορική εξίσωση (µδε) ή διαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους (δεµπ) µια εξίσωση που περιέχει µια άγνωστη συνάρτηση δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών και τουλάχιστον µια από τις µερικές παραγώγους της Ορισµός 64Τάξη µιας µερικής διαφορικής εξίσωσης καλείται η τάξη της µεγαλύτερης παραγώγου που περιέχεται στη διαφορική εξίσωση Παράδειγµα Αν u u( x, y) =, τότε η εξίσωση u = ( x+ y) xy είναι µια µδε δεύτερης τάξης Η συνάρτηση u είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή και τα x, y είναι οι ανεξάρτητες µεταβλητές Ορισµός 65Λύση µιας µδε καλείται οποιαδήποτε συνάρτηση που ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση Ορισµός 66Γενική λύση µιας µδε καλείται µια οικογένεια λύσεων αυτής που περιέχει αυθαίρετες συναρτήσεις, το πλήθος των οποίων είναι ίσο µε την τάξη της Ορισµός 67 Μερική λύση µιας µδε καλείται κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τη µδε και η οποία προκύπτει από τη γενική λύση µε συγκεκριµένη επιλογή των αυθαίρετων συναρτήσεων Παράδειγµα Η µδε uxy = ( x+ y) µπορεί να επιλυθεί µε δυο απευθείας ολοκληρώσεις: uxy = ( x+ y) uy = ( x+ y) = x + xy+ a y ( ) u = x + xy + a y dy = x y + xy + a y dy + b x u = x y+ xy + a ( y) + b( x) Για ευκολία στο εξής θα θεωρούµε u u( x, y) των µδε ης τάξης είναι = Τότε η γενική µορφή 35

Για παράδειγµα ( x y) F xyuxy,,,, u xy,, u xy, = u + u = x+ y+ x y u + u u = x y x + u u + x y u xyu = x + y x y είναι µδε ης τάξης Yπάρχουν δυο βασικές κατηγορίες µδε: οι γραµµικές και οι µη γραµµικές Υπενθυµίζουµε ότι ένας τελεστής L :V V όπου V είναι ένας πραγµατικός ή µιγαδικός διανυσµατικός χώρος) είναι γραµµικός αν,,,, L au + bv = al u + bl v a b u v V Αν λοιπόν θεωρήσουµε µια µδε ης τάξης της µορφής A x, y u + B( x, y) u +Γ x, y u = x τότε αυτή είναι µια οµογενής γραµµική δε ης τάξης, διότι αν θεωρήσουµε το αριστερό µέλος της παραπάνω ισότητας ως ένα τελεστή L ( u) = Axyu (, ) x + Bxyu (, ) y +Γ( xyu, ), τότε L au + bv = al u + bl v Υπενθυµίζουµε ότι αν uv, είναι δυο λύσεις της οµογενούς µδε τότε και ο γραµµικός συνδυασµός τους είναι επίσης µια λύση της µδε Γενικότερα οποιοσδήποτε γραµµικός συνδυασµός λύσεων µιας οµογενούς γραµµικής δε αποτελεί επίσης λύση Με την ίδια λογική όπως στις συνήθεις δε, κάθε µερική διαφορική εξίσωση της µορφής (, ) + (, ) +Γ (, ) = (, ) A xyu Bxyu xyu f xy x y καλείται µη οµογενής γραµµική δε ης τάξης Στην περίπτωση αυτή αν αθροίσουµε τη γενική λύση της οµογενούς µδε και µια µερική λύση της µη οµογενούς, παίρνουµε τη γενική λύση της µη οµογενούς µδε y 36

Οµοίως, κάθε µδε ης τάξης της µορφής Axyu, + Bxyu (, ) +Γ xyu, + xyu, + Exyu, + Z xyu, = xx xy yy x y είναι οµογενής γραµµική δε ης τάξης, ενώ η A xyu, + Bxyu (, ) +Γ xyu, + xyu, + E xyu, + Z xyu, = f( xy, ) xx xy yy x y είναι µια µη οµογενής γραµµική δε ης τάξης Στις παραπάνω ισότητες οι A, B,, Z και f είναι γνωστές συναρτήσεις δυο µεταβλητών Μια γραµµική δε ης τάξης ταξινοµείται σε Ελλειπτική, αν 4 A B Γ >, Υπερβολική, 4 A B Γ <, Παραβολική, αν 4 A B Γ = Η ταξινόµηση αυτή µας θυµίζει την ταξινόµηση δευτεροβάθµιων καµπύλων στο επίπεδο Χαρακτηριστικές περιπτώσεις µδε ης τάξης είναι οι u= u + u = (Εξίσωση Laplace ή δυναµικού), xx u ku ( k ) t xx yy = > (διάδοση θερµότητας σε µια διάσταση), utt uxx = (εξίσωση κύµατος σε µια διάσταση) Όταν σε µια µδε µας ζητούνται λύσεις που ικανοποιούν κάποιες συνθήκες πάνω στο σύνορο µιλούµε για ένα πρόβληµα συνοριακών συνθηκών Παράδειγµα ίνεται λεπτή ράβδος µε συντελεστή διάδοσης θερµότητας k > και άκρα τα σηµεία x = και x = L στον άξονα των x Η επιφάνεια είναι µονωµένη ώστε να µην µπορεί να δεχθεί ή να αποβάλλει θερµότητα στο περιβάλλον παρά µόνον από τα f x και το άκρο άκρα της Εάν η αρχική θερµοκρασία ( t = ) είναι 37

x = διατηρείται σε µηδενική θερµοκρασία διατυπώστε το πρόβληµα συνοριακών τιµών αν (i) και το άκρο x = L διατηρείται σε µηδενική θερµοκρασία, (ii) τo άκρο x = L είναι µονωµένο Εχουµε ένα πρόβληµα διάδοσης θερµότητας σε µια διάσταση οπότε έχουµε τη µδε ( ) u,,,, t = k uxx u= u x t < x< L t (i) Στην περίπτωση αυτή και τα δύο άκρα είναι σε θερµοκρασία, οπότε u, t = u L, t =, t > Η αρχική θερµοκρασία είναι f ( x ), άρα ux (,) = f( x), < x< L Προφανώς η συνάρτηση u πρέπει να είναι φραγµένη άρα (, ) (, ) u x t < M < x< L t (ii) Επειδή το δεξί άκρο x = L είναι µονωµένο, η ροή θερµότητας στο σηµείο x = L θα είναι ίση µε µηδέν, άρα θα ισχύει ότι και στην προηγούµενη περίπτωση µε τη συνθήκη στη θέση της u( L, t ) = u L, t = x 63 Η µέθοδος χωρισµού των µεταβλητών Ενας τρόπος επίλυσης κάποιων µδε είναι η µέθοδος χωρισµού των µεταβλητών Με αυτή την τεχνική ψάχνουµε για λύσεις ειδικής µορφής εχόµαστε ότι µια λύση µπορεί να εκφραστεί σαν γινόµενο αγνώστων συναρτήσεων, η κάθε µια εκ των οποίων εξαρτάται από µια µόνο µεταβλητή Πιο συγκεκριµένα αναζητούµε λύσεις της µορφής uxt (, ) = XxYt 38

για καθορισµένες συναρτήσεις XY, Υποθέτοντας ότι µπορούµε να βρούµε µια λύση της µδε αυτής της µορφής αντικαθιστούµε τη λύση αυτή στη µδε και καταλήγουµε σε συνήθη δε Με τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών παίρνουµε µόνο µερικές λύσεις Παράδειγµα Να λυθεί το πρόβληµα των συνοριακών τιµών ux = uy u(, y) = e Θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών Υποθέτουµε ότι η ζητούµενη λύση γράφεται στη µορφή Παραγωγίζοντας έχουµε 5 y uxt (, ) = XxYt και u (, ) x x y = X x Y y u (, ) y x y = X x Y y Στη συνέχεια αντικαθιστούµε στη µδε και παίρνουµε X ( x) Y( y) = X( x) Y ( y) Για να ισχύει αυτή η σχέση θα πρέπει να έχουµε X ( x) Y ( y) = = λ X( x) Y( y) για κάποια αυθαίρετη σταθερά λ Αν λοιπόν υπάρχει τέτοια λύση θα πρέπει X ( x) λ X( x) = Y ( y) λy( y) = Οι παραπάνω είναι γραµµικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως µε γενική λύση 39

Συνεπώς X( x) = Ae Y( y) = Be λx λ y uxy (, ) ABe λ + ( x y) = Αλλά από την υπόθεση έχουµε άρα u(, y) ABe e λ y 5 y = =, AB = λ = 5 Εποµένως η ζητούµενη λύση είναι η uxy (, ) e + 5( x y) = Παράδειγµα (Παλλόµενη χορδή) Εστω ότι η συνάρτηση uxt (, ) x, χορδής τη χρονική στιγµή t δίνει τη µετατόπιση σηµείου [ ] µε ακίνητα άκρα u(, t) = u(, t) = Υποθέτουµε ότι η αρχική ταχύτητα σε κάθε σηµείο της χορδής είναι µηδέν, δηλαδή ut ( x,) = και τη χρονική στιγµή t = η θέση κάθε σηµείου της χορδής περιγράφεται από µια συνάρτηση f ( x ), άρα Να υπολογισθεί η uxt (, ) ux (,) = f( x) Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση αυτή δίνεται από τη σχέση u = c u, tt όπου c σταθερά που σχετίζεται µε την ταχύτητα διάδοσης του κύµατος Υποθέτουµε ότι η ζητούµενη λύση γράφεται στη µορφή xx uxt (, ) = XxYt 4

Παραγωγίζοντας έχουµε: uxx( x, t) = X ( x) Y( t) uyy ( x, t) = X( x) Y ( t) Αντικαθιστώντας στη µδε παίρνουµε οπότε X( x) Y ( t) = c X ( x) Y( t), Y () t X ( x) = () X( x) cy t Για να ισχύει η σχέση αυτή θα πρέπει: Y () t X ( x) = = λ () X( x) cy t για κάποια αυθαίρετη σταθερά λ Αν λοιπόν υπάρχει τέτοια λύση της διαφορικής εξίσωσης θα πρέπει οι συναρτήσεις XY, να ικανοποιούν τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις X ( x) + λ X( x) = Y () t + λc Y() t = Από τις συνοριακές συνθήκες έχουµε και άρα: u(, t) = X() Y( t) =, ut (, ) = XYt =, X() = X = Ετσι, έχουµε το πρόβληµα αρχικών τιµών: X ( x) + λ X( x) = X() = X = Η χαρακτηριστική εξίσωση αυτής είναι ( < x < ) 4

r + λ = ιακρίνουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις: (i) Εστω b, ( b ) λ = > > Τότε οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι r =± bi και άρα η γενική λύση δίνεται από τη σχέση X ( x) = Acosbx+ Bsibx Από την αρχική συνθήκη X () = προκύπτει ότι c = ενώ από την αρχική συνθήκη X = παίρνουµε και άρα Οι αριθµοί sib = π b=, =,, π λ = καλούνται ιδιοτιµές του προβλήµατος συνοριακών τιµών και οι συναρτήσεις π x B si καλούνται ιδιοσυναρτήσεις Για την εύρεση της Y (µε τα ήδη έχουµε υπολογίσει) έχουµε λ που pc pc Y() t = Ccos t+ Dsi t Αρα από την αρχή της υπέρθεσης και η pc pc π x u( x, t) = Ccos t+ Dsi t Bsi = pc pc π x = Γ cos t+ si t si = 4

αποτελεί µια λύση της µδε Παραγωγίζοντας την παραπάνω ως προς t όρο προς όρο παίρνουµε pc pc pc pc π x ut = C si t+ D cos t Bsi = και επειδή u x, = έχουµε t pc π x si t si = = Από τη θεωρία των τριγωνοµετρικών σειρών η παραπάνω υπονοεί ότι pc si t = = t, άρα pc π x u( x, t) = Γ cos tsi = Τέλος για να ισχύει η συνθήκη u( x,) f ( x) = θα πρέπει pc π x f ( x) = Γ cos tsi, = συνεπώς από τη θεωρία των σειρών Fourier θα πρέπει οι είναι οι συντελεστές Fourier της f, δηλ π x Γ = f x si (ii) Για λ καταλήγουµε σε τετριµένες λύσεις Παράδειγµα (Η εξίσωση του Laplace σε κυκλικό δίσκο) Γ να Υπενθυµίζουµε την εξίσωση Laplace σε καρτεσιανές συντ/νες: u xx + u = yy 43

Η ίδια εξίσωση σε πολικές συντεταγµένες ( r, θ ), γράφεται:ως εξής: ru + u + u = r rr r r θθ Ζητούµε τη λύση της παραπάνω µδε για κάθε < r <, όταν µια αρχική συνοριακή συνθήκη δίνεται από µια συνάρτηση f ( θ ) που ορίζεται στην µοναδιαία περιφέρεια, δηλαδή f u, θ = θ, θ [ π, π] Το πρόβληµα αυτό είναι γνωστό ως Πρόβληµα του Dirichlet H λύση u = u(, r θ ) πρέπει να ικανοποιεί τις συνθήκες: Η u είναι π-περιοδική συνάρτηση του θ, δηλαδή Η u είναι συνεχής Θα χρησιµοποιήσουµε πάλι τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών Εστω ur (, θ ) = Rr () Θ () θ Τότε µε αντικατάσταση στη µδε παίρνουµε ( θ) ( θ) ( θ) Θ + Θ + Θ =, rr r rr r Rr οπότε αν διαιρέσουµε µε R Θ έχουµε R R Θ r + r = R R Θ Παρατηρούµε ότι το πρώτο µέλος είναι ανεξάρτητο του θ και το δεύτερο είναι ανεξάρτητο του r Επειδή τα δύο µέλη είναι ίσα υπάρχει µια σταθερά c έτσι ώστε R R Θ + = =,, Θ R R Θ r r c R Έχουµε λοιπόν δύο απλές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης ως προς r και θ Υπενθυµίζουµε τώρα ότι η συνήθης διαφορική εξίσωση 44

+ + = xy axy by z λύνεται αν θέσουµε y= x και λύσουµε ως προς z Εάν z, z ( z z ) είναι λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης z + ( a ) z+ b= τότε έχουµε λύσεις της µορφής y( x)= ax + bx όπου a και b είναι αυθαίρετες σταθερές Εάν z = z = z, τότε yx =( a+ blog xx ) z Θεωρούµε τώρα την Θ + cθ= της οποίας η γενική λύση εξαρτάται από το πρόσηµο του c Είναι εύκολο να δει κανείς ότι i cθ i cθ Ae + Be c > Θ ( θ) = A+ Bθ, c= cθ cθ Ae + Be c < z z και η λύση της διαφορικής εξίσωσης από το πρόσηµο του c : + = εξαρτάται rr rr cr c c ar + br c > Rr () = a+ blog, r c= i c i c ar + br c < Ετσι, κάθε γινόµενο R() r Θ () θ που προσδιορίζεται από την ίδια τιµή του c δίνει µια λύση της µδε Υπενθυµίζουµε όµως ότι κάθε λύση πρέπει να ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες Ετσι, εφόσον η urθ (, ) είναι συνεχής συνάρτηση θα πρέπει να είναι φραγµένη Εάν λοιπόν c <, η τιµή της Θ δεν είναι φραγµένη εκτός αν Α=Β= Άρα για c < έχουµε την προφανή µηδενική λύση Όµοια, για c = πρέπει B = Οµοίως για την R έχουµε b = για c Αποµένει η περίπτωση c > Παρατηρούµε ακόµη ότι η λύση της Θ είναι π -περιοδική αν και µόνον αν η c είναι ακέραιος αριθµός, δηλαδή όταν c=, =,,, Εάν τώρα γι αυτές τις τιµές ζητήσουµε η R να είναι c φραγµένη παίρονυµε b =, γιατί εάν b τότε br +, r Συνοψίζοντας τα προηγούµενα συµπεραίνουµε ότι οι λύσεις urθ (, ) 45

που ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες εξαρτώνται από κάποιο =,,, και τις γράφουµε iθ iθ r ( Ae + Be ), > u(, r θ ) = aa, = Τότε και η = θ θ ( ) A + r Ae + B e i i είναι µια λύση της µδε Εάν τώρα θέσουµε A = f ( ) και B = f ( ) όπου f είναι ο συντελεστής Fourier της f παίρνουµε τη λύση iθ ( θ ) u r, = r e f = ηλαδή µπορούµε να επεκτείνουµε συνεχώς την urθ (, ) στον κλειστό δίσκο έτσι ώστε ur (, θ ) = f() θ στο σύνορο Η λύση urθ (, ) είναι µοναδική Το πρόβληµα που µελετήσαµε είναι γνωστό ως πρόβληµα της διάδοσης της θερµότητας στο δίσκο Εάν f ( θ ) είναι η θερµότητα στο σύνορο του δίσκου, τότε η urθ (, ) είναι η θερµότητα στο σηµείο ( r, θ ) αυτού Ασκήσεις Ταξινοµήστε τη µδε ης τάξης: 3u + u + 5u + xu = xx xy yy y Απ (Ελλειπτική) είξτε ότι λύνοντας τη µδε διάδοσης θερµότητας µε u, t = u L, t =, x, L προκύπτουν οι συνοριακές συνθήκες ακόλουθες ιδιοσυναρτήσεις πx 3πx 5πx si,si,si, L L L 3 είξτε ότι η λύση του προβλήµατος συνοριακών τιµών x 46

ut = uxx ux(, t) = ux( π, t) =, < x<, t > u( x,) = f ( x) ( π ) u x t = f x + e x f x x π π π π t είναι η (, ) συν συν = 4 Λύστε την κυµατική εξίσωση utt = uxx µε συνοριακές συνθήκες = ( π ) = u ( x,) u, t u, t u x, = ηµ x, < x< π, t > t = 5 Λύστε το συνοριακό πρόβληµα ut = 3uxx u(, t) = u(, t) =, ( < x<, t > ) ut ( x,) = x 47