VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine, ki so vektorji, so sila (F ), moment (M), hitrost (v), pospešek (a) itd. Niso pa vse fizikalne količine vektorji: nekatere so skalarji (oziroma števila), to so na primer čas, pot, gostota, masa, delo, moč, nekatere pa tenzorji (oziroma matrike), kot so napetosti in deformacije, ali še bolj komplicirani objekti. Ponavadi si vektor predstavljamo kot usmerjeno daljico, kar pomeni, da ima dolžino in smer. Bolj pravilno kot o dolžini je govoriti o velikosti (velikost sile in ne dolžina sile). Velikost vektorja a označimo z a, pogosto pa tudi z a. Geometrijsko vektor podamo tako, da narišemo daljico s puščico, ki ima pravo smer in glede na izbrano merilo pravo dolžino. ❶ seštevanje: a + b Operacije z vektorji Na konec enega od vektorjev postavimo začetek drugega. Vsota teh dveh vektorjev je vektor od začetka prvega do konca drugega vektorja. Primer te operacije je iskanje rezultante sistema sil s skupnim prijemališčem. ❷ nasprotni vektor: a To je vektor z isto velikostjo in obratno smerjo. Ta operacija nastopa pri tretjem Newtonovem zakonu: Če telo deluje na drugo telo z neko silo, potem drugo telo deluje na prvo z nasprotno enako silo. ❸ množenje vektorja s skalarjem: ka To je vektor z isto smerjo, njegova velikost pa se pomnoži s skalarjem. Če je skalar negativen, to pomeni, da se smer obrne. Primer tega je na desni strani drugega Newtonovega zakona, kjer imamo produkt med maso (skalar) in pospeškom (vektor).
❹ skalarni produkt vektorjev: a b To je število, ki ga dobimo, če pomnožimo velikost enega vektorjev s projekcijo drugega na prvega. (Vrstni red ni pomemben.) a a = a 2 in a b = 0 a b. Če poznamo kot med vektorjema in njuno velikost, ga izračunamo po formuli a b = ab cos ϕ. Skalarni produkt nastopa v definicijah dela in moči. ❺ vektorski produkt vektorjev: a b To je vektor, ki je pravokoten na oba vektorja v produktu in kaže v tisto smer, kamor bi šel (desnosučni) vijak, če bi ga po krajši poti zavrteli od prvega do drugega vektorja v produktu. Velikost tega vektorja je ploščina paralelograma, ki ga vektorja v produktu oklepata. Velja formula a b = ab sin ϕ, kjer je ϕ kot med vektorjema, ki ju množimo. Vrstni red v vektorskem produktu je pomemben. Če gamenjamo, dobimo nasprotni vektor. Velja b a = a b in a b = 0 a b. Z vektorskim produktom je definiran moment.
Zapis vektorja Za matematični zapis vektorja potrebujemo koordinatni sistem. V smeri osi x, y in z postavimo bazne vektorje i, j in k z velikostjo (in brez enote). Te trije vektorji sestavljajo ortonormirano bazo (kar pomeni, da se dá vsak vektor na natanko en način zapisati s pomočjo teh treh vektorjev, ki imajo enotsko velikost in so med seboj pravokotni). Če vzamemo poljuben vektor a in se premaknemo od njegovegačetka do njegovega konca, smo se premaknili za nekaj v smeri osi x, za nekaj v smeri osi y in podobno v smeri osi z. Označimo te količine z,,. To so komponente vektorja a. Potem vektor lahko zapišemo na sledeče načine a = i + j + k = = (,, ) Lahko si še drugače predstavljamo. Če začetek vektorja prestavimo v izhodišče, bo njegov konec imel koordinate (,, ). Fizikalne količine imajo enote. To, da je enota silo newton, pomeni, da se komponento v newtonih, kar napišemo takole F = 5 N 2 N 2 N = Operacije z vektorji se izvedejo na naslednje načine: 5 2 2 N. ❶ seštevanje ❷ nasprotni vektor ❸ množenje s skalarjem ❹ skalarni produkt ❺ vektorski produkt + k = = = k k k + + + = + + = i j k Kako do komponent vektorja? V praksi navadno nimamo podanega vektorja po komponentah, ampak jih moramo določiti podatkov. Oglejmo si nekaj tipičnih primerov.
❶ Včasih je zapis vektorja po komponentah zelo očiten. Primer je na primer sila teže. Če koordinatni sistem kot ponavadi postavimo tako, da os z meri višino, bo sila teže nekega teles maso 0 kg imela velikost 0 kg 9,8 m = 98, N in bo kazala navzdol, torej s 2 F g = 0 0 98, ❷ Denimo, da iščemo vektor med dvema točkama A in B z znanima koordinatama. Potem iz lastnosti seštevanja vektorjev sledi N AB = AO + OB = OB OA. Vektor med dvema točkama torej dobimo tako, da od krajevnega vektorja druge točke odštejemo krajevni vektor prve točke. (Krajevni vektor točke je vektor od izhodišča do tiste točke, tako da so njegove komponente ravno koordinate točke.) Primer: Imejmo točki A(2, 3, 5) in B(3,, 4). Potem je 3 2 AB = OB OA = 4 3 = 5 ❸ Kot bo vidno iz primera, je zelo naravna naslednja situacija. Iščemo vektor F z znano velikostjo F, njegovo smer nam podaja pa nek drug vektor a. Ker ima a pravo smer, moramo le še popraviti njegovo velikost. Oglejmo si primer: Vemo, da ima sila F prijemališče v A in kaže proti B, kot je narisano na skici, velikost te sile pa je 50 N. 4. Postopek je sledeč: Najprej zapišemo tisti vektor, ki nam podaja smer, torej v tem primeru AB. Ker je A(0 mm, 0 mm, ) in B(, 360 mm, 0 mm), je 0 mm AB = 360 mm 0 mm = 360 mm. 0 mm
Vektor s pravo smerjo imamo, nima pa prave velikosti (in enote). Njegova velikost je AB = AB AB = 360 mm 360 mm = () 2 + ( 360 mm) 2 + () 2 = Če AB delimo z njegovo velikostjo (oziroma bolj pravilno pomnožimo z obratno vrednostjo njegove velikosti), dobimo vektor s pravo smerjo in velikostjo, ki nima enote. Takemu vektorju se reče smerni vektor za F (in tudi za AB). Ponavadi ga označimo z e. () 0,36 e = AB = 360 mm = ( 360 mm) = 0,48 AB 0,80 Zdaj imamo vektor s pravo smerjo in velikostjo. Če ga pomnožimo z F, bo tisti vektor imel pravo velikost in pravo smer, torej bo ravno iskani vektor F. 0,36 50 N ( 0,36) 8 N F = F e = 50 N 0,48 = 50 N ( 0,48) = 24 N 0,80 50 N 0,80 40 N ❹ Včasih imamo podan kakšen kot. V ta namen moramo poznati kotne funkcije. V pravokotnem trikotniku velja sin ϕ = cos ϕ = tg ϕ = ctg ϕ = hipotenuza hipotenuza Tako je vodoravna komponenta narisanega vektorja F cos 20, navpična pa F sin 20. Paziti je treba še na predznak, torej [ F = F cos 20 F sin 20 ]. ❺ Možna je tudi uporaba podobnih trikotnikov. Trikotnika sta podobna, če imata vse kote enake (zadostuje, da imata dva). Tedaj so razmerja istoležnih stranic enaka. Tak primer je na spodnji sliki. Spet moramo predznak komponente določiti sami.