Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul care uneşte punctele cu + i. Metoda calculul integralei curbilinii complexe folosind parametriarea curbei ). Dacă este o curbă de clasă C dată parametric de t), t [a, b], atunci f ) d b Curba are repreentarea parametrică a f t)) d t) x t) t b y t) t, t [, ], a f t)) t) dt. : t) x t) + i y t) t + i ), t [, ]. Înlocuind obţinem Im ) d + i ) 3 3 + 3 i i + 3 t + i t 3 dt ) i 3 ) + ) ) t [ d t + i )] + i ) 3 ) + 3i 3 i 8 ) + i. Metoda calculul integralei curbilinii complexe prin reducerea la două integrale curbilinii reale). Are loc scrierea f ) d u x, y) + iv x, y)) d x + iy) u x, y) dx v x, y) dy) + i v x, y) dx + u x, y) dy), integrala curbilinie complexă se poate reduce la calculul a două integrale curbilinii reale. În caul nostru obţinem Im ) d x y + ixy ) y d x + iy) [ x y y 3) dx xy dy ] + i [ xy dx + x y y 3) dy ],

unde are repreentarea parametrică x t) t y t) t, t [, ]. Calculăm şi Deci [ I x y y 3) dx xy dy ] [ t t ) ) 3 t t [ ) ] t 3 t3 t3 t 3 dt 8 8 dt ) 8 t ) ] dt [ I xy dx + x y y 3) dy ] [ ) t t + t t ) ) ] 3 t dt [ )] t 3 t 3 + t3 dt 6 6 t3 dt ) 6. Im ) d + i.. Să se calculee d, unde :. Curba este un cerc cu centrul O, ) şi de raă. Folosind parametriarea cercului { x θ) xo + ρ cos θ obţinem Înlocuind obţinem i y θ) y O + ρ sin θ, ρ, θ [, π], : θ) x θ) + i y θ) cos θ + i sin θ e iθ, θ [, π]. d π π e iθ dθ i eiθ i e iθ e iθ d e iθ) xπ x 3. Să se calculee unde este: a) segmentul [ i, i] ; d, π e iθ cos θ + sin θ e iθ idθ e iπ e ). b) semicercul cu extremităţile i şi i astfel încât Re ). a) Curba are parametriarea { x t) y t) t, t [, ],

b) Curba are parametriarea { x θ) cos θ : t) i t, t [, ]. y θ) sin θ, θ [ π/, π/], : θ) e iθ, θ [ π/, π/]. Menţionăm că valoarea integralei va depinde de drumul ales care uneşte punctele i cu i.. Să se calculee 3 d, unde este segmentul care uneşte punctele cu i. Curba are repreentarea parametrică { x t) y t) t, t [, ], Înlocuind obţinem : t) x t) + i y t) it, t [, ]. 3 d it) 3 d it) i t 3 dt. 5. Să se calculee Curba este dată parametric, d d, unde : t) e πi t), t [, π/]. π/ πi eπi t) πi e πi t) d e πi t) ) πi π/ xπ e πi e iπ / ) e iπ /, x deoarece e πi t) cos π t)) + sin π t)). 6. Să se calculee d, unde este segmentul care uneşte punctele i cu i. Curba are repreentarea parametrică { x t) y t) t, t [, ], e πi t) dt 3

Înlocuind obţinem : t) x t) + i y t) it, t [, ]. d it) d it) i ) ). 7. Să se calculee d, unde : t) t + it parcursă de la la + i. Curba are repreentarea parametrică d t + it d t + it ) : t) t + it, t [, ], t it ) t + i) dt t 3 it + it i t ) dt t 3 + t it ) dt 8. Să se calculee d, ) t + t i t3 x i 8 3 x 3. unde este segmentul care uneşte punctele şi i reunit cu segmentul care uneşte punctele i şi + i. Curba OA AB, unde A i) A, ) iar B + i) B, ), OA : { x t) y t) t, t [, ], şi AB : { x t) t y t), t [, ], adică Metoda. Obţinem iar Metoda. OA : t) it, t [, ] şi OA AB d d d OA AB : t) t + i, t [, ]. d + d AB it d it) i t dt, t + i d t + i) Să observăm că putem calcula integrala şi astfel: d x iy) d x + iy) d 8i. t i) dt 8 8i, xdx + ydy) + i xdy ydx).

Parametriarea segmentului OA implică x, dx, iar pe AB avem Deci Obţinem OA d OA OA AB ydy d d şi dy. AB tdt, tdt i d d 8i. AB xdx i ydx. AB dt 8 8i, 9. Să se calculee n d, n N, unde este curba care mărgineşte domeniul D { x, y) : x + y a, y > }. Curba, unde {x, y) : x [ a, a], y }, { x, y) : x + y a, y }. Avem parametriările { x t) t y t), t [ a, a], şi { x θ) a cos θ y θ) a sin θ, θ [, π], : t) t, t [ a, a] şi : θ) ae iθ, θ [, π]. Înlocuind obţinem n d n d + n d tn+ ta π n + t a ian+ an+ n + an+ n + a a e n+)iθ dθ tn+ n + ) n+) + e an+ n+)iπ e ) n + ) n+) + an+ n + deoarece cos kπ) ) k, pentru orice k Z. π t n dt + a n e niθ d ae iθ) ta en+)iθ + ian+ t a n + ) i cos n + ) π) ), θπ θ. Să se calculee i ) d, unde este o curbă care uneşte punctele + i şi + 3i. Metoda integrala curbilinie complexă în caul unui integrand olomorf este independentă de drum). 5

Să observăm că în caul general al integralei f ) d, unde este o curbă dată de clasă C care uneşte punctele A x A, y A ) cu B x B, y B ) iar f este o funcţie olomorfă de un domeniu D care conţine curba avem f ) d u x, y) + iv x, y)) d x + iy) u x, y) dx v x, y) dy) + i Deoarece funcţia f satisface condiţiile Cauchy-Riemann u v x, y) x, y), x y v x, y) dx + u x, y) dy). u v x, y) x, y), x, y) D, y x obţinem, echivalent, că au loc condiţiile specifice ca cele două integrale curbilinii reale să fie independente de drum: u x, y)) v x, y)), y x Deci există primitivele F şi F astfel încât F x, y) u x, y), x F x, y) v x, y) y iar integrala devine v x, y)) u x, y)), x, y) D. y x f ) d F x, y) x B,y B ) x A,y A ) şi + i F x, y) F x, y) v x, y), x F x, y) u x, y), y x B,y B ) x A,y A ) [F x B, y B ) F x A, y A )] + i [F x B, y B ) F x A, y A )]. Deci, în caul unei funcţii olomorfe, integrala curbilinie complexă este independentă de drum. Evident, în caul unei curbe închise, integrala curbilinie complexă dintr-o funcţie olomorfă este nulă am obţinut astfel un ca particular al Teoremei Fundamentale a lui Cauchy ). Teorema Fundamentală a lui Cauchy. Fie D un domeniu deschis şi mărginit cu frontiera dată de curba care este formată dintr-un număr finit de curbe simple, închise şi netede. Presupunem că funcţia f este olomorfă de D D. Atunci f ) d. Observaţie. Uneori Teorema Fundamentală a lui Cauchy este enunţată separat pentru domenii simplu conexe şi domenii multiplu conexe. Definiţie. Reamintim că un domeniu D C se numeşte simplu conex dacă orice curbă simplă închisă D are proprietatea că domeniul mărginit de este tot în D. Un domeniu care nu este simplu conex se numeşte multiplu conex. Exemple de mulţimi simplu conexe: mulţimile convexe de exemplu, discul B a, r) { a < r} şi semiplanul {Re > }) şi mulţimile stelate de exemplu, R din care se elimină o semidreaptă). Exemple de mulţimi multiplu conexe: exteriorul unui disc R \B a, r) { a ) > r}, coroana circulară {r < a < r }, un disc din care se scot două discuri interioare B a, r) \ B a, r ) B a, r ). 6

În caul exemplului nostru avem i ) d x y + ixy ) i x + iy) ) d x + iy) [ x y + y ) + i xy x) ] d x + iy) x y + y ) dx xy x) dy ) + i xy x) dx + x y + y ) dy ). Am obţinut două integrale curbilinii şi observăm că fiecare dintre ele este independentă de drum, deoarece x y + y ) y + xy x)) y x iar xy x) x x y + y ). y x Prin urmare x y + y ) dx xy x) dy ) + i xy x) dx + x y + y ) dy ) F x, y),3),) + if x, y),3),), unde primitivele sunt date de calculul standard de la integrale curbilinii reale: F x x, y) x y + y, F x, y) xy x) y şi F x, y) x 3 xy + xy + C, C R, F x, y) xy x, x F y x, y) x y + y, F x, y) x y x y 3 + y + C, C R, adică o primitivă integrandului i ) este x 3 xy + xy ) + i x y x y 3 + y ) + C, C C. ) Integrala din enunţ devine i ) d F, 3) F, ) + i F, 3) F, )). Metoda integrala curbilinie complexă calculată cu ajutorul primitivei). Funcţia f ) i este olomorfă pe C, f admite primitive pe C. Dacă este curba care uneşte punctele + i şi + 3i, atunci i ) d 3 i ) + 3i) 3 i + 3i) + i) 3 + i + i) 56 + 38i. Făcând calculele observăm că primitiva precedentă coincide cu cea dată de relaţia ), adică 3 i x 3 xy + xy ) + i x y x y 3 + y ) + C, C C. Teoremă. Orice funcţie olomorfă pe un domeniu simplu conex D admite primitive pe D. 7

. Să se calculee i ) d, unde este o elipsă de semiaxe şi 3. Să observăm că domeniul mărginit de elipsa este un domeniu simplu conex. Metoda. Se poate aplica Teorema Fundamentală a lui Cauchy deoarece funcţia f ) i este olomorfă pe C iar curba este închisă. Obţinem i ) d. Metoda. Folosind parametriarea elipsei : x + y 3 avem Înlocuind obţinem π Metoda 3. i ) d π { x θ) xo + cos θ y θ) y O + 3 sin θ, θ [, π], : θ) cos θ + i 3 sin θ, θ [, π]. ) cos θ + i 3 sin θ) i cos θ + i 3 sin θ) d cos θ + i 3 sin θ) cos θ 9 sin θ ) + sin θ cos θ i cos θ + 3 sin θ ) sin θ + 3i cos θ) dθ. Funcţia f ) i este olomorfă pe C, f admite primitive pe C. Având în vedere că este o o curbă închisă capătul iniţial coincide cu capătul final ) obţinem:. Să se calculee i ) d 3 unde este un cerc de centru a şi de raă r. 3 i a) n d, n Z, ). Să observăm că domeniul mărginit de cercul este un domeniu simplu conex. Metoda. Curba este dată de a r, are repreentarea parametrică { x θ) xa + ρ cos θ şi obţinem y θ) y a + ρ sin θ, ρ r, θ [, π] : θ) x θ) + i y θ) x a + r cos θ + i y a + i r sin θ, θ [, π]. adică cercul a r are repreentarea parametrică : θ) a + re iθ, θ [, π]. 8

Înlocuind obţinem, în caul n, a) n d i r n+ π În caul n : Metoda. i π re iθ ) n d re iθ ) π r n e niθ re iθ idθ e n+)iθ n+ en+)iθ dθ i r xπ rn+ n + ) i x n + a) n d π dθ πi. π a d re iθ d re iθ) π e i n+) π e ). re iθ reiθ idθ Să observăm că în caul n se poate aplica Teorema Fundamentală a lui Cauchy deoarece funcţia f ) a) n este olomorfă pe C iar curba este închisă. Obţinem a)n d, n. Pentru n se poate aplica Formula Integrală a lui Cauchy 3. Într-adevăr, dacă notăm f ), atunci pentru n d πi f a) πi a iar pentru n sau echivalent k : n πi d k a) k )! f k ) a). 3. Să se calculee unde : r, cu a r. d a, Să observăm că în caul a > r se poate aplica Teorema Fundamentală a lui Cauchy deoarece funcţia f ) a este olomorfă pe C\ {a}, şi pe interiorul cercului care este curbă închisă. Obţinem d a. Dacă a < r, atunci se poate aplica Formula Integrală a lui Cauchy. Într-adevăr, d πi f a) πi, a unde f ). 3 Formula Integrală a lui Cauchy. Fie D un domeniu deschis şi mărginit cu frontiera dată de curba care este formată dintr-un număr finit de curbe simple, închise şi netede. Presupunem că funcţia f este olomorfă de D D. Atunci f a) f ) d, a D. πi a Observaţie. Se poate arăta că dacă f este olomorfă de D, atunci f este de clasă C pe D. În condiţiile de mai sus are loc şi formula f n) a) n! f ) πi a) n+ d, a D, n N. 9

. Să se calculee e d, unde : 3. + ) Putem aplica Formula Integrală a lui Cauchy, deoarece punctul a se află în interiorul cercului f) 3 iar integrandul este de tipul, unde f ) e. Deci a) 5. Să se calculee f ) πi d + ) 3! f 3) ) 8πi 3 e. sh ) d, unde : i. πi) Putem aplica Formula Integrală a lui Cauchy, deoarece punctul a πi se află în interiorul cercului f) de centru A i) A, ) şi raă R iar integrandul este de tipul, unde f ) a) sh ) : e e. Deci f ) πi d f 3) πi) πi ch πi) πi e πi + e πi πi) 3! 3! 3! πi 6 cos π + i sin π + cos π) + i sin π)) πi 3. deoarece sh ) ch ) : e + e, sh ) sh ), sh ) ch ). 6. Să se calculee unde : + i. ch ) π + i) d, Se aplică Formula Integrală a lui Cauchy deoarece punctul a i aparţine interiorului cercului f) cu centrul C i) C, ) şi de raă R ) iar integrandul este de tipul, unde +i) π ) f ) ch este olomorfă în interiorului curbei. În concluie ch ) π πi [ π )] 3) d ch + i) 3! i πi π ) 3 sh i π ) π i e π/ e π/ π i 3! i). 7. Să se calculee sin π ) + cos π ) d, unde : 3. ) ) Putem aplica Formula Integrală a lui Cauchy, deoarece punctele a şi a se află în interiorul cercului 3 iar integrandul este de tipul f) a k. Deoarece putem descompune în două fracţii simple ) ),

obţinem scrierea sin π ) + cos π ) d ) ) sin π ) + cos π ) sin π ) + cos π ) d d. Dacă notăm cu f ) sin π ) + cos π ), atunci f ) d πi f ) iar f ) d πi f ), sin π ) + cos π ) d πi f ) f )) ) ) πi sin π) + cos π) sin π) cos π)) πi. 8. Să se calculee, unde : a a, cu a R +\ {/}. Dacă a, /), atunci se poate aplica Teorema Fundamentală a lui Cauchy deoarece funcţia f ) este olomorfă pe C\ {±, ±i}, şi pe interiorul cercului care este o curbă închisă ce nu conţine punctele ±, ±i ). Obţinem. Dacă a /, + ), atunci se poate aplica Formula Integrală a lui Cauchy deoarece punctul aparţine interiorului cercului. Deci, notând cu f ) +) +), obţinem 9. Să se calculee f ) πi d πi f ). n d, n N, a, unde :. a Dacă a >, atunci se poate aplica Teorema Fundamentală a lui Cauchy deoarece funcţia f ) n a este olomorfă pe C\ {a}, şi pe interiorul cercului care este o curbă închisă ce nu conţine n punctul a ). Obţinem d. a Dacă a <, atunci se poate aplica Formula Integrală a lui Cauchy deoarece punctul a aparţine interiorului cercului. Deci, notând cu f ) n, obţinem f ) a d πi f a) πi an.. Să se calculee d + ) n, n N, unde : x + y λy, cu λ >. Curba : x + y λ/) λ/) este cercul cu centrul C, λ/) şi raă R λ/.

Deoarece λ > obţinem că punctul a i aparţine interiorului cercului. Deci putem aplica Formula Integrală a lui Cauchy deoarece integrandul este de tipul f) i), unde f ) n + i) n este olomorfă în interiorului cercului. În concluie d +i) + ) n n i) n d πi n )! f n ) i) πi n )! )n n n + )... n ) + i) n+ πi n n + )... n ) i n )! n.. Să se calculee unde : x + y λx, cu λ R + \ {}. cos π) ) d, Curba : x λ/) + y λ/) este cercul cu centrul C λ/, ) şi raă R λ/. Dacă λ <, atunci a este în afara domeniului mărginit de cercul, se poate aplica Teorema Fundamentală a lui Cauchy şi se obţine că integrala este nulă. Dacă λ >, atunci a este în interiorul cercului, se poate aplica Formula Integrală a lui Cauchy: cosπ) [ ] cos π) ) d +) πi cos π) d )! + ).. Să se calculee i) 3 d, unde este dată de t) cos t + i sin t), cu t [, π]. Deoarece a i este în interiorul cercului, se poate aplica Formula Integrală a lui Cauchy: πi 3 d i)! 3. Să se calculee unde :. + i d, [ ] i. Deoarece a i este în interiorul cercului, se poate aplica Formula Integrală a lui Cauchy: + i d πi i π.. Să se calculee unde : i /. e i + ) d,

Deoarece a i este în interiorul cercului, se poate aplica Formula Integrală a lui Cauchy: e i + ) d 5. Să se calculee e i [ +i) πi e i ] d i)! + i) e d, :. n Deoarece a este în interiorul cercului, se poate aplica Formula Integrală a lui Cauchy: e n d πi n )! [e ] n ) πi n )!.. i 6. Să se calculee Observăm că + e sin d + e sin d + d, unde :. e sin d Pentru prima integrală folosim parametriarea cercului : θ) e iθ, d π e iθ d e iθ) i π e sin d + d. e iθ e iθ dθ πi. unde θ [, π]. Deci Pentru a doua integrală putem aplica Formula Integrală a lui Cauchy, deoarece punctul a se află în interiorul cercului iar integrandul este de tipul f) a, unde f ) e sin. Deci f ) d πi f ). 7. Să se calculee d e π, unde :. ) Să observăm că e π, dacă, π se poate aplica Formula Integrală a lui Cauchy deoarece punctul a aparţine interiorului cercului iar f ) este olomorfă pe interiorul curbei. Obţinem e π, dacă < <,, π dacă. f ) d πi! f ). 3

8. Să se calculee, unde este elipsa de semiaxe a şi b din primul cadran. Metoda. Curba AB { } x, y) : x a + y b, x, y are parametriarea Înlocuind obţinem d π/ π/ π/ π/ Metoda. π/ { x θ) a cos θ y θ) b sin θ, θ [, π/], : θ) a cos θ + i b sin θ, θ [, π/]. a cos θ + i b sin θ) d a cos θ + i b sin θ) a cos θ + i b sin θ) a sin θ + i b cos θ) dθ a sin θ cos θ b sin θ cos θ ) + i ab cos θ ab sin θ )) dθ a + b ) sin θ cos θ + i ab cos θ sin θ )) dθ a + b ) sin θ) + i ab a + b ). ) cos θ) dθ a + b ) cos θ) θπ/ sin θ) + i ab θ θπ/ θ Se poate aplica Teorema Fundamentală a lui Cauchy deoarece funcţia f ) este olomorfă pe C. Obţinem d, unde Γ este curba închisă care mărgineşte sfertul de interior de elipsă din Γ primul cadran, adică Γ, unde AB { } x, y) : x a + y b, x, y, BO este segmentul care uneşte B, b) cu O, ) iar OA este segmentul care uneşte O, ) cu A a, ). Deci avem BO : { x t) y t) t, t [b, ], şi { x t) t OA : y t), t [, a], adică BO : t) it, t [b, ] şi Conform Teoremei Fundamentale a lui Cauchy d OA : t) t, t [, a]. d d + d, unde curbele şi sunt curbele şi respectiv parcurse în sens opus, adică OB şi AO.

Deci OB AO d d deoarece pe OB iar pe AO Obţinem Metoda 3. OB AO x + iy) d x + iy) xdx, OB xdx ydy) + i ydx + xdy) ydy, OB x, dx y, dy. d ydy + xdx OB AO b tdt + a tdt Funcţia f ) este olomorfă pe C, f admite primitive pe C : d B,b) ib a + b ). Aa,) a 9. Să se calculee i + ) d, unde este curba care mărgineşte domeniul D { C : < < }. Să observăm că domeniul D nu este un simplu conex. Curba este o reuniune două cercuri, adică, unde a + b ). : { x θ) cos θ y θ) sin θ, θ [π, ], şi : { x θ) cos θ y θ) sin θ, θ [, π] am considerat sensul frontierei dat de convenţia ca domeniul D să rămână în stânga), Metoda. : θ) e iθ, θ [π, ] şi : θ) e iθ, θ [, π]. Înlocuind partea reală şi partea imaginară obţinem i + ) d i + ) d + i + ) d π Metoda. i cos θ sin θ + ) d cos θ + i sin θ) + π i cos θ sin θ + ) d cos θ + i sin θ). Conform Teoremei Fundamentale a lui Cauchy i + ) d, deoarece funcţia f ) i + este olomorfă pe C. Metoda 3. Funcţia f ) i + este olomorfă pe C, f admite primitive pe C : ) ) i + ) d i + ) d + i + ) d i + + i +, deoarece şi sunt curbe închise. 5

3. Să se calculee, unde : a, cu a R +\ {}. Dacă a, ), atunci se poate aplica Teorema Fundamentală a lui Cauchy deoarece funcţia f ) este olomorfă pe C\ {±}, şi pe interiorul cercului care este o curbă închisă ce nu conţine punctele ±). Obţinem. Pentru a, + ) se poate aplica Formula Integrală a lui Cauchy deoarece punctele, ± aparţin interiorului cercului. Metoda. Evident, putem descompune în fracţii simple + ) + şi obţinem d + d +, iar pentru fiecare integrală în parte aplicăm Formula Integrală a lui Cauchy şi obţinem πi + πi πi + πi πi. Metoda. Preentăm în continuare o metodă alternativă de calcul. Să considerăm două cercuri centrate în punctele ± şi de rae suficient de mici astfel încât să nu intersectee cercul a >. Deci să notăm : + r şi : r iar cu ) D : B, a) \ B, r ) B, r ) domeniul deschis care e mărginit de curba iar curbele,, sunt parcurse astfel încât domeniul D marginit de ele să rămână în stânga; prin urmare are sens direct trigonometric iar şi au sens invers trigonometric). Să observăm că domeniul D mărginit de curbele,, nu este un simplu conex. Deci conform Teoremei Fundamentale a lui Cauchy 5 + +, adică +, Această metodă de calcul repreintă, de fapt, demonstraţia Teoremei Reiduurilor. 5 Considerăm următorul ca particular al Teoremei Fundamentale a lui Cauchy: fie un domeniu deschis D care este multiplu conex) mărginit cu frontiera dată de reuniunea a trei curbe k, k, 3, simple, închise şi netede. Presupunem că funcţia f este olomorfă de D 3 ) D. Atunci f ) d + f ) d + f ) d. 3 Având în vedere că cele trei integrale curbilinii depind de sensul de parcurgere al curbei k, k, 3, preciăm că, prin convenţie, sensul de parcurgere al curbelor k care mărginesc domeniul mărginit D este luat astfel încât domeniul D să rămână în stânga. 6

unde curbele şi sunt curbele şi respectiv parcurse în sens opus, au sens direct trigonometric. Acum, pentru a calcula integralele avem două metode: fie folosind parametriarea curbelor fie cu Formula Integrală a lui Cauchy. Astfel avem: fie : θ) + r e iθ, θ [, π] şi : θ) + r e iθ, θ [, π] iar conform şi Teoremei Fundamentale a lui Cauchy) d + d + d + + d + d + π r e iθ d r e iθ) πi d + π r e iθ d r e iθ) πi fie d πi + + d πi + πi πi. 3. Să se calculee cos π) unde este o curbă închisă, simplă şi netedă pe porţiuni. Să notăm cu D domeniul dat de interiorul curbei. Dacă ± / D, atunci se aplică Teorema Fundamentală a lui Cauchy deoarece funcţia f ) cosπ) este olomorfă pe C\ {±}, şi pe interiorul curbei care este o curbă închisă ce nu conţine cos π) punctele ±). Obţinem d. Dacă D, / D, atunci se aplică Formula Integrală a lui Cauchy deoarece punctul a aparţine interiorului curbei iar integrandul este de tipul f) cos π) +, unde f ) este olomorfă în interiorului curbei. În concluie cos π) d d, cosπ) + d πi f ) πi πi. Dacă D, / D, atunci se aplică Formula Integrală a lui Cauchy deoarece punctul a aparţine interiorului curbei iar integrandul este de tipul f) cos π), unde f ) este olomorfă în interiorului curbei. În + concluie cos π) d cosπ) + d πi f ) πi πi. Dacă ± D, atunci se aplică Formula Integrală a lui Cauchy deoarece punctele ± aparţin interiorului curbei. Pentru aceasta să considerăm două cercuri centrate în punctele ± şi de rae suficient de mici astfel încât să nu intersectee curba. Deci să notăm : + r şi : r 7

iar cu ) : D \ B, r ) B, r ) domeniul deschis care e mărginit de curba iar curbele,, sunt parcurse astfel încât domeniul D marginit de ele să rămână în stânga; prin urmare are sens direct trigonometric iar şi au sens invers trigonometric). Să observăm că domeniul D mărginit de curbele,, nu este un simplu conex. Deci conform Teoremei Fundamentale a lui Cauchy cos π) d cos π) d cos π) d + cos π) d, unde curbele şi sunt curbele şi respectiv parcurse în sens opus, au sens direct trigonometric. Acum, pentru a calcula integralele folosim Formula Integrală a lui Cauchy. Astfel avem cos π) d cos π) d 3. Să se calculee cosπ) + cosπ) + cos π) d πi cos π) d πi + e iπ + d, : x + y. πi πi. Să observăm că este elipsa x + y care conţine punctele ±i. Se aplică Torema Fundamentală a lui Cauchy şi Formula Integrală a lui Cauchy vei Problema 3). Astfel putem scrie: e iπ + d πi e iπ + πi e iπ π sh π). i i + i i 33. Să se calculee d, : R. + Dacă R <, atunci se aplică Teorema Fundamentală a lui Cauchy deoarece funcţia f ) + este olomorfă pe C\ {±i}, şi pe interiorul curbei care este o curbă închisă ce nu conţine punctele ±i). Obţinem d. + Dacă R >, atunci se aplică Formula Integrală a lui Cauchy vei Problema 3): d + πi + πi. i i + i i 3. Să se calculee Să observăm că cercul conţine punctele şi. n ) m d, :. Se aplică Torema Fundamentală a lui Cauchy şi Formula Integrală a lui Cauchy vei Problema 3). Astfel putem scrie: n ) m d πi [ ] n ) n )! ) m + πi [ ] m ) m )! n. 8