ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών Θεµατική Ενότητα ιοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισµών ΕΟ Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος 006-7 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (Κυριακή, 7-06-007,.0-7:00) Να απαντηθούν τα 6 θέµατα του µέρους Α και από τα 6 θέµατα του µέρους Β Όλα τα θέµατα είναι ισότιµα και το κάθε θέµα αντιστοιχεί στο,% του τελικού βαθµού Η τελική βαθµολογία της εξέτασης δίδεται µε άριστα το 0, µε ένα δεκαδικό ψηφίο. Η σχετική βαρύτητα κάθε υπο-ερώτησης, δίνεται ως ποσοστό (επί του θέµατος). Η χρήση παραδειγµάτων και διαγραµµάτων συνιστάται ακόµη και όπου δεν απαιτείται ρητά. Η συνεργασία ή/και αντιγραφή επισύρουν µηδενισµό των γραπτών των εµπλεκοµένων. ΑΠΑΓΟΡΕΥΟΝΤΑΙ ΤΑ ΚΙΝΗΤΑ ΤΗΛΕΦΩΝΑ Λοιπές παρατηρήσεις
Μέρος Α Υποχρεωτικά θέµατα (,% ανά θέµα) Θέµα Α. Η συνάρτηση ζήτησης και η συνάρτηση προσφοράς ενός αγαθού, που ως γνωστόν είναι φθίνουσα και αύξουσα αντίστοιχα, δίνονται από τις πιο κάτω σχέσεις: 0, 4 Q= P + 4P+ 0 Q =, P + 0 όπου PQ>, 0 Να προσδιορισθεί:. Ποια από τις παραπάνω συναρτήσεις είναι η συνάρτηση ζήτησης και ποια η συνάρτηση προσφοράς. Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.... (%). Η τιµή και η ποσότητα ισορροπίας... (%). Οι ελαστικότητες ζήτησης και προσφοράς στο σηµείο ισορροπίας.... (0%) ΛΥΣΗ. Για να δούµε ποια είναι η συνάρτηση ζήτησης και ποια η συνάρτηση προσφοράς εκ των δυο αυτών συναρτήσεων, θα µελετήσουµε την πρώτη παράγωγό τους. dq Για την πρώτη συνάρτηση έχουµε Q= 0, 4P + 4P+ 0 = 4 + 0,8P> 0, δεδοµένου dp ότι P > 0. ηλαδή, η πρώτη της παράγωγος είναι θετική, άρα η καµπύλη είναι αύξουσα και εποµένως η συνάρτηση Q= 0,4P + 4P + 0 είναι η συνάρτηση προσφοράς. dq Για τη δεύτερη συνάρτηση έχουµε Q=, P + 0 = *,P < 0 δεδοµένου dp ότι P > 0. ηλαδή, η πρώτη της παράγωγος είναι αρνητική, άρα η καµπύλη είναι φθίνουσα και εποµένως η συνάρτηση Q=, P + 0 είναι η συνάρτηση ζήτησης.. Για να υπάρχει ισορροπία στην αγορά θα πρέπει η ζητούµενη ποσότητα να ισούται µε την προσφερόµενη ποσότητα, δηλαδή Q = Qs. Όταν Οι ρίζες της εξίσωσης είναι s + 0 d Q = Q 0, 4P + 4P+ 0 =, P, 6P + 4P 0 = 0 d β ± β 4αγ 4± 4 4*,6*( 0) 4± 44 4± P, = = = = α *,6,, Άρα P = (απορρίπτεται) και P =, (δεκτή) Άρα, η τιµή ισορροπίας είναι P =,. Θέτοντας την τιµή ισορροπίας στη συνάρτηση προσφοράς ή στη συνάρτηση ζήτησης, λαµβάνουµε τις ποσότητες ισορροπίας. Συγκεκριµένα,
Q= 0, P = 0, *(,) = 0 7, Q=, Άρα η ποσότητα ισορροπίας είναι Q =,.. Η ελαστικότητα ζήτησης δίδεται από τον τύπο ε d = dq P dp Q dq Στο ερώτηµα. βρέθηκε ότι *,P dp =, άρα dq P P,, εd = = ( *, P) = ( *,*, ) = 6 0,667 dp Q Q,, Η ελαστικότητα προσφοράς δίδεται από τον τύπο ε s = dq P dp Q dq Στο ερώτηµα. βρέθηκε ότι 4 0,8P dp = +, άρα dq P P,, εs = = ( 4+ 0,8P) = ( 4+ 0,8*,) = 6 0,667 dp Q Q,,
Θέµα Α. Μια επιχείρηση, η οποία παράγει ένα προϊόν, έχει συνάρτηση οριακού κόστους MC = 0 Q, και συνάρτηση ζήτησης Q = 00 P, όπου Q το επίπεδο παραγωγής και P η τιµή του προϊόντος. Επιπλέον δίνεται ότι το συνολικό κόστος της επιχείρησης για την παραγωγή 00 µονάδων προϊόντος είναι 0 νοµισµατικές µονάδες (ν.µ.).. Να προσδιορισθεί η συνάρτηση συνολικού κόστους και η συνάρτηση µέσου κόστους της επιχείρησης... (40%). Να προσδιορισθεί η συνάρτηση κέρδους της επιχείρησης (ως συνάρτηση της ποσότητας) και να προσδιορισθούν η ποσότητα και η τιµή που µεγιστοποιούν τα κέρδη της επιχείρησης.... (40%). Αν η επιχείρηση µπορεί να παράγει το πολύ 0 µονάδες προϊόντος, να προσδιορισθεί η τιµή που µεγιστοποιεί τα κέρδη της.... (0%) ΛΥΣΗ Q Q. TC( Q) MC dq = = 0 dq = 0Q + c 0 Όπου c η σταθερά ολοκλήρωσης.. 00 TC(00) = 0*00 + c = 0 c = 0. 0 Άρα η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι: Q TC( Q) = 0Q + 0. 0 TC Q 0 Μέσο Κόστος: AC = 0 Q = + 0 Q.. Συνάρτηση Κέρδους: Q Q Q Π ( Q) = P Q TC = 0 Q 0Q + 0 = + 0Q 0 0 Μεγιστοποίηση Κέρδους: 4Q Συνθήκες πρώτης τάξης: Π '( Q) = 0. Άρα Π '( Q) = 0 Q= 0. 4 Συνθήκες δεύτερης τάξης: Π ''( Q) = < 0. Άρα η ποσότητα Q max = 0 µεγιστοποιεί τα κέρδη. Η τιµή η οποία µεγιστοποιεί τα κέρδη είναι: Qmax P max = 0 = 7 ν.µ.
. Η συνάρτηση κέρδους Π ( Q) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα Q [0,0]. Στο διάστηµα αυτό η συνάρτηση κέρδους δεν έχει τοπικό µέγιστο, έχει όµως ολικό µέγιστο για Q = 0. Άρα η τιµή που αντιστοιχεί στο ολικό µέγιστο είναι Q P = 0 = 90 ν.µ.
Θέµα Α. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι παρατηρήσεις που αφορούν τις ετήσιες πωλήσεις του 006 οκτώ οµοειδών προϊόντων σε χιλιάδες τεµάχια και τις αντίστοιχες διαφηµιστικές δαπάνες για τα προϊόντα αυτά σε χιλιάδες νοµισµατικές µονάδες (ν.µ.). Υ (πωλήσεις σε χιλιάδες τεµάχια) Χ (διαφηµιστικές δαπάνες σε χιλιάδες ν.µ.) 4 6 9 0 8 0 4 7 8 6 9 ίνεται ότι ο αριθµητικός µέσος της µεταβλητής Χ είναι ίσος µε, χιλ. ν.µ.και η τυπική απόκλιση της µεταβλητής Υ είναι ίση µε,47 χιλ. τεµάχια.. Να συγκριθεί η µεταβλητότητα των δύο µεταβλητών Χ και Υ µε τον υπολογισµό των κατάλληλων µέτρων... (0%). Να υπολογιστεί ο συντελεστής συσχέτισης των δύο µεταβλητών Χ και Υ, και να ερµηνευθεί η τιµή του.... (%). Να υπολογιστούν οι συντελεστές α και β του µοντέλου απλής γραµµικής παλινδρόµησης Y = α + β X... (%) v. Να υπολογισθεί ο συντελεστής προσδιορισµού και να ερµηνευθεί η τιµή του....... (0%) ΛΥΣΗ Για την σύγκριση της µεταβλητότητας των δύο µεταβλητών θα πρέπει να υπολογίσουµε τους συντελεστές µεταβλητότητας των µεταβλητών αυτών. Για τον υπολογισµό αυτό απαιτείται ο υπολογισµός της µέσης τιµής και της τυπικής απόκλισης της µεταβλητής Χ. Υπολογισµός αριθµητικού µέσου Y = n = n Y = 90 8 =, Υπολογισµός τυπικής απόκλισης Υπολογίζουµε κατ αρχήν τη διασπορά. Η διασπορά είναι S n X nx = 84 8, 4 X = = = = 6 n 7 7 Εποµένως η τυπική απόκλιση υπολογίζεται ως εξής:
S X =+ S =.44949 X Προχωρούµε τώρα στον υπολογισµό των συντελεστών µεταβλητότητας CV και CV X Y S X, 44949 = 00 = *00 = 44,6% X, SY,47 = 00 = *00 = 48, 6% Y, Από τα παραπάνω συµπεραίνουµε ότι η µεταβλητότητα της Υ είναι µεγαλύτερη από τη µεταβλητότητα της Χ. Πίνακας X Y X - X ( X - X ) Y -Y ( Y -Y ) ( X - X )*( Y -Y )( X - X ) Y 4 -,, -7,,6,7-4 4 6 8 X Y X * Y 6 -, 6, -, 7,6, - 9 6 8 4 9 -,, -,,06,7 -, 6 8 6 7,, 0,7 0,6, 8 49 44 84 0-0, 0, -,,6 0,6-00 0 8 8, 6, 6,7 4,6 6,87 4 64 4 44 6 0, 0, -0, 0,06-0,, 6 66 9 0,, 8,7 76,6 0,6 70 8 400 80 44 90 0 4 0 09, 9 9 84 86 Υπολογισµός βοηθητικών στοιχείων 44 90 X = = 0,, Y = =, 8 8 S = (X -X) = 4 XX S = (Y -Y ) = 09, YY S =S = (X -X)*(Y-Y) = 9 XY YX Εναλλακτικά:
( X ) ( 44) S XX = X - =84 - = 84-4 = 4 n 8 ( Y ) ( ) 90 SYY = Y - = - = - 0, = 09, n 8 ( X)( Y ) ( 44) * ( 90) SXY = SYX = XY - = 86 - = 86-49 = 9 n 8 () Ο συντελεστής συσχέτισης είναι: S XY 9 9 9 r = = = = = 097, S *S 4* 09, 8799 94, 0 XX YY Άρα συµπεραίνουµε ότι υπάρχει ισχυρή θετική συσχέτιση µεταξύ της τιµών και ποσοτήτων. () Η ευθεία παλινδρόµησης της Υ πάνω στη Χ είναι Y = α+ βx S XY 9 a = Y - * X = (, ) - *(, ) a = 0, 667 S 4 XX S XY 9 β = = β =, 67 S 4 XX Άρα, Y = 0, 667 +, 67X (v) Ο συντελεστής προσδιορισµού είναι: SXY 9 R = β * =, 67* =, 67* 0, 446 = 0, 94 S 09, YY Άρα συµπεραίνουµε ότι οι διαφηµιστικές δαπάνες ερµηνεύουν το 94,% της µεταβλητότητας των πωλήσεων.
Θέµα Α.4 Σε ένα super market έχει αποδειχτεί ότι το ύψος των λογαριασµών που πληρώνουν οι πελάτες του ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή,4 ευρώ και τυπική απόκλιση ευρώ. (α) Να υπολογιστεί η πιθανότητα ένας πελάτης που ψώνισε από το super market και έδωσε στο ταµείο 00 ευρώ να πήρε ρέστα από 0 µέχρι 60 ευρώ... (60%) (β) Το super market θέλει να προσφέρει ένα δώρο στους «καλούς» πελάτες του, δηλ. στους πελάτες που οι αγορές τους ξεπερνούν ένα ποσό. Ποιο πρέπει να είναι το ποσό αυτό, αν το super market θέλει να προσφέρει το δώρο αυτό µόνο στο 4% των πελατών του;... (40%) ΛΥΣΗ (α) Έστω Χ η τ.µ. που εκφράζει το ύψος του λογαριασµού ενός πελάτη. Τότε X N(, 4, ). Για να υπολογιστεί η πιθανότητα να πάρει ρέστα από 0 µέχρι 60 ευρώ θα πρέπει να βρεθεί η πιθανότητα το ύψος του λογαριασµού που θα κάνει να είναι από 40 έως 70 ευρώ. 40, 4 70, 4 P(40 X 70) = P Z = P(, 06 < Z < 0,97) = 0,84 0, = 0, 68. β. Έστω Χ η τ.µ. που εκφράζει το ύψος του λογαριασµού ενός πελάτη. Τότε X N(, 4, ). Ζητάµε να βρούµε το ποσό x 0 για το οποίο ισχύει X µ x0,4 x0,4 P( X x0 ) = 0,04 P = 0,04 P Z = 0,04 σ, όπου Z N(0, ). Όµως από τον πίνακα της τυπικής κανονικής κατανοµής x0 βρίσκουµε ότι PZ (,7) = 0,04, συνεπώς,4 =,7 x 8,6 0 =.
Θέµα Α. Ένα στέλεχος πωλήσεων προγραµµατίζει τον αριθµό των επισκέψεων που πρέπει να πραγµατοποιήσει τον επόµενο µήνα για την προώθηση δύο προϊόντων Α και Β. Τα δεδοµένα που έχει στη διάθεσή του είναι τα ακόλουθα: Η προµήθεια του για κάθε επίσκεψη για την προώθηση του προϊόντος Α είναι 0, ενώ η αντίστοιχη προµήθεια του για την προώθηση του προϊόντος Β είναι. Η επίσκεψη για την προώθηση του προϊόντος Α απαιτεί ώρες, ενώ η αντίστοιχη επίσκεψη για την προώθηση του προϊόντος Β απαιτεί ώρα. Το στέλεχος έχει στη διάθεσή του τον επόµενο µήνα συνολικά 7 ώρες για την προώθηση των προϊόντων Α και Β. Σύµφωνα µε την πολιτική της εταιρείας θα πρέπει να γίνουν τουλάχιστον 0 αλλά όχι περισσότερες από 00 επισκέψεις το µήνα για την προώθηση κάθε προϊόντος. (α) (β) Να διατυπωθεί το µοντέλο γραµµικού προγραµµατισµού που προσδιορίζει τη µέγιστη δυνατή προµήθεια για τον πωλητή και να εξηγηθούν µε σαφήνεια τα στοιχεία του.... (0%) Να χρησιµοποιηθεί η γραφική µέθοδος επίλυσης προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού για να βρεθεί η άριστη λύση και η άριστη τιµή στο παραπάνω πρόβληµα. Να διατυπωθούν τα αποτελέσµατα µε όρους της εκφώνησης του προβλήµατος....(0%) ΛΥΣΗ (α) Σύµφωνα µε την περιγραφή του προβλήµατος, το ζητούµενο είναι ο προσδιορισµός του αριθµού των επισκέψεων που πρέπει να κάνει ο πωλητής για την προώθηση των προϊόντων Α και Β (µεταβλητές απόφασης), έτσι ώστε να µεγιστοποιηθεί η συνολική προµήθεια του (στόχος), λαµβάνοντας υπόψη τις απαιτήσεις σε χρόνο για την προώθηση κάθε προϊόντος και τον διαθέσιµο χρόνο του, καθώς και τα όρια που θέτει η επιχείρηση σε σχέση µε τον αριθµό των επισκέψεων που µπορούν να γίνουν για κάθε προϊόν (περιορισµοί). Για να διατυπώσουµε το µαθηµατικό µοντέλο του προβλήµατος, θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε συµβολικά τις µεταβλητές απόφασης και στη συνέχεια να καταγράψουµε, ως συναρτήσεις των µεταβλητών, το στόχο και τους περιορισµούς. Μεταβλητές. Σύµφωνα µε τα ανωτέρω, µεταβλητές απόφασης είναι ο αριθµός των επισκέψεων x, που πρέπει να κάνει ο πωλητής για την προώθηση του προϊόντος Α x, που πρέπει να κάνει ο πωλητής για την προώθηση του προϊόντος Β Στόχος (αντικειµενική συνάρτηση). Επειδή η προµήθεια του πωλητή για κάθε επίσκεψη για την προώθηση του προϊόντος Α είναι 0 Ευρώ, η συνολική προµήθεια από x επισκέψεις ανέρχεται σε 0x. Όµοια, επειδή η προµήθεια του πωλητή για κάθε επίσκεψη για την προώθηση του προϊόντος Β είναι Ευρώ, η συνολική προµήθεια από x τηλεφωνικές επαφές ανέρχεται σε x.
Συµβολίζοντας µε το Z τη συνολική προµήθεια του πωλητή, στόχος του µοντέλου είναι η εύρεση εκείνων των τιµών x, x οι οποίες επιτυγχάνουν να το µεγιστοποιήσουν, δηλαδή: maxmze Z = 0x + x σύµφωνα µε τους περιορισµούς που επιβάλλονται σε αυτές. Περιορισµοί. Οι περιορισµοί αφορούν τις απαιτήσεις σε χρόνο για την προώθηση κάθε προϊόντος και τον διαθέσιµο χρόνο του πωλητή, καθώς και τα όρια που θέτει η επιχείρηση σε σχέση µε τον αριθµό των επισκέψεων που µπορούν να γίνουν για κάθε προϊόν. x + x 7 (διαθέσιµος χρόνος του πωλητή) x 0 (κάτω όρια επιχείρησης για το Α) x 0 (κάτω όρια επιχείρησης για το Β) x 00 (άνω όρια επιχείρησης για το Α) x 00 (άνω όρια επιχείρησης για το Β) Για το συγκεκριµένο πρόβληµα, ισχύει προφανώς και ο περιορισµός της µη αρνητικότητας των µεταβλητών x, x 0 Συνοψίζοντας, το µαθηµατικό µοντέλο για το πρόβληµα βελτιστοποίησης της συνολικής προµήθειας του πωλητή έχει ως ακολούθως: maxmze Z = 0x + x κάτω από τους περιορισµούς x + x 7 (διαθέσιµος χρόνος του πωλητή) x > 0 (κάτω όρια επιχείρησης για το Α) x > 0 (κάτω όρια επιχείρησης για το Β) x 00 (άνω όρια επιχείρησης για το Α) x 00 (άνω όρια επιχείρησης για το Β) x, x 0 (β) Αφού χαράξουµε τις περιοριστικές ευθείες που αντιστοιχούν στους επτά περιορισµούς του προβλήµατος, παρατηρούµε ότι ο 4ος περιορισµός είναι πλεονάζων και δεν συµµετέχει στο σχηµατισµό της εφικτής περιοχής του προβλήµατος. Η ευθεία που αντιστοιχεί στον ο περιορισµό τέµνει τους περιορισµούς και στα σηµεία (0,0) και (0,00) αντίστοιχα, προσδιορίζοντας δύο από τις κορυφές της περιοχής των εφικτών λύσεων. Ο πρώτος περιορισµός τέµνει τους περιορισµούς και στα σηµεία (/,0) και (,00) προσδιορίζοντας δύο ακόµα κορυφές της περιοχής των εφικτών λύσεων. Οι συντεταγµένες των σηµείων αυτών βρίσκονται από την επίλυση του συστήµατος x + x = 7 και x = 0 αφενός και αφετέρου από την επίλυση του συστήµατος x + x = 7 και x = 00.
Οι τιµές της αντικειµενικής συνάρτησης ( 0x x ) + για τις τέσσερις κορυφές της εφικτής περιοχής, µία εκ των οποίων ως γνωστό είναι η βέλτιστη λύση του προβλήµατος, δίνονται στον κατωτέρω πίνακα. ΚΟΡΥΦΗ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΤΙΜΗ Ζ Α (0, 0) 00 Β (0, 00) 700 Γ (, 00) 70 (/, 0) 66,67 Συνεπώς, βέλτιστη λύση του προβλήµατος είναι η κορυφή Γ δηλαδή επισκέψεις για το προϊόν Α: x = και επισκέψεις για το προϊόν Β: x = 00 µε αναµενόµενη συνολική προµήθεια 70 ευρώ. Η βέλτιστη λύση θα µπορούσε να βρεθεί επίσης µε παράλληλη µετατόπιση των ευθειών ίσου κέρδους της αντικειµενικής συνάρτησης προς την κατεύθυνση αύξησης οπότε θα εντόπιζε την κορυφή Γ ως άριστη πριν την αποχώρηση από την εφικτή περιοχή.
Θέµα Α.6 Ένα σταθµός αυτοκινήτων διαθέτει πλυντήριο που µπορεί να εξυπηρετεί ένα αυτοκίνητο κάθε φορά. Το πλυντήριο λειτουργεί ώρες κάθε µέρα από τις 8 το πρωί µέχρι τις 8 το βράδυ. Οι πελάτες (τα αυτοκίνητα για πλύσιµο) καταφθάνουν τυχαία ακολουθώντας κατανοµή Posson µε µέση τιµή 4 αυτοκίνητα ανά ώρα. Ο χρόνος που χρειάζεται ένα αυτοκίνητο για να πλυθεί δεν είναι σταθερός αλλά ακολουθεί εκθετική κατανοµή µε µέση τιµή 0 λεπτά. Τα αυτοκίνητα που περιµένουν, παρκάρουν στο χώρο στάθµευσης του πλυντηρίου και σε περίπτωση που είναι γεµάτος, στην άκρη του δρόµου (δηλαδή υπάρχει δυνατότητα αναµονής άπειρων αυτοκινήτων). Επιπλέον θεωρούµε ότι η πηγή των πελατών είναι τα διερχόµενα από την περιοχή αυτοκίνητα (µεγάλο πλήθος). (α) Με βάση τα παραπάνω στοιχεία να υπολογισθούν:. Ο µέσος αριθµός των αυτοκίνητων που περιµένουν στην ουρά για να πλυθούν... (0%). Ο µέσος χρόνος που περιµένουν τα αυτοκίνητα µέχρι να µπουν στο πλυντήριο... (0%). Το ηµερήσιο κόστος του πλυντηρίου αν το ωριαίο λειτουργικό κόστος του είναι ευρώ και το ωριαίο κόστος παραµονής ενός αυτοκινήτου στο σύστηµα είναι ευρώ.... (0%) v. Η πιθανότητα ένα αυτοκίνητο που φτάνει για πλύσιµο να βρει τουλάχιστον ένα αυτοκίνητο στο σύστηµα... (%) (β) Αν γνωρίζουµε ότι ο υπεύθυνος του σταθµού έχει ξεκινήσει µια διαφηµιστική εκστρατεία η οποία αναµένεται να αυξήσει τη ζήτηση για πλύσιµο αυτοκινήτων κατά 0% να εξετασθεί αν το πλυντήριο, µε την παρούσα δυναµικότητά του µπορεί να καλύψει τη ζήτηση αυτή.... (%) Σηµείωση: Να χρησιµοποιήσετε ως στοιχειώδη µονάδα µέτρησης του χρόνου την µία ώρα και να διατηρήσετε στις πράξεις τουλάχιστον τρία δεκαδικά ψηφία. ΛΥΣΗ (α) Πρόκειται για ένα σύστηµα Μ/Μ// / µε ρυθµό εισόδου λ = 4 αυτοκίνητα/ ώρα και ρυθµό εξυπηρέτησης µ = 6 αυτοκίνητα/ ώρα.. Ζητείται το L q (µέσο πλήθος πελατών αυτοκινήτων στην ουρά) L q = λ 4 6, µµ ( λ) = 6(6 4) = = αυτοκίνητα. Ζητείται το W q (µέσος χρόνος αναµονής στην ουρά) W q λ 4 4 = = = = 0, µµ ( λ) 6(6 4) ώρας (0 ). Είναι TC = WC + SC = c w L + c s s.
Tο L= λ*w όπου W = = = 0, της ώρας. µ λ 6 4 Άρα L= λ*w = 4*0. =. Οπότε έχουµε ότι TC = * + * = 9 ευρώ το ωριαίο κόστος. Άρα το ηµερήσιο κόστος είναι *9 = 08 ευρώ. v. Η πιθανότητα ένας πελάτης (αυτοκίνητο) που φτάνει να βρει τουλάχιστον έναν στο σύστηµα να πλένει το δικό του είναι η πιθανότητα να χρειαστεί να περιµένει και είναι το ρ = - Ρ 0 = 4/6. (β) Αφού ο ρυθµός άφιξης αυξάνεται κατά 0%, αυτό σηµαίνει ότι το λ γίνεται ίσο µε 6 αυτοκίνητα την ώρα. Οπότε λ/µ = και κατά συνέπεια δεν υπάρχει ισορροπία. Πρακτικά η ουρά τείνει στο άπειρο και το πλυντήριο δεν θα είναι σε θέση να εξυπηρετήσει τα αυτοκίνητα που έρχονται για πλύσιµο.
Μέρος Β Επιλογή από τα 6 θέµατα (,% ανά θέµα) Θέµα Β. (α) Ο ρυθµός µεταβολής του οριακού κόστους µιας επιχείρησης, η οποία παράγει ένα dmc( Q) προϊόν, δίνεται από τη σχέση = e Q. Επιπλέον δίνεται ότι το συνολικό dq κόστος της επιχείρησης για µηδενικό επίπεδο παραγωγής είναι ίσο µε νοµισµατικές µονάδες (ν.µ.) ενώ το συνολικό κόστος της για την παραγωγή µιας µονάδας προϊόντος είναι ίσο µε e + ν.µ.. Να προσδιορισθεί η συνάρτηση συνολικού κόστους της επιχείρησης.... (70%) (β) Η συνάρτηση του µέσου κόστους µιας επιχείρησης, η οποία παράγει ένα προϊόν. είναι AC = Q 8Q + 7 +, όπου Q το επίπεδο παραγωγής. Να Q προσδιορισθεί η ποσότητα που ελαχιστοποιεί το οριακό κόστος της επιχείρησης.... (0%) ΛΥΣΗ (α) (Βλ. Παράδειγµα, σελ. 60 Τόµος Α σχετικά µε ολοκλήρωση εκθετικής συνάρτησης). Ολοκληρώνουµε την παράγωγο του οριακού κόστους για να βρούµε τη συνάρτηση οριακού κόστους ( ) ( ) Q Q MC Q = MC QdQ= e dq= e + c Ολοκληρώνουµε τη συνάρτηση οριακού κόστους ώστε να ανακτήσουµε τη συνάρτηση συνολικού κόστους ( ) ( ) Q Q TC Q MC Q dq e = = + c dq = e + c Q + c ( ) Ο υπολογισµός των σταθερών ολοκλήρωσης c, c γίνεται µέσω των συνθηκών TC (0) = και TC() = +. Έχουµε TC(0) = + c*0 + c = (Α) και TC() e = + c + c = e + (Β) Από την εξίσωση (Α) η c = 0 και αντικαθιστώντας στην εξίσωση (Β) η σταθερά e c =. Άρα η συνάρτηση συνολικού κόστους δίνεται από την Q TC( Q) = e + Q
(β) Η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι TC = AC Q = Q 8Q + 7Q + Η συνάρτηση οριακού κόστους είναι: dtc MC = = Q 6Q + 7. dq Ελαχιστοποίηση οριακού κόστους: 8 Συνθήκη πρώτης τάξης: MC '( Q) = 6Q 6 = 0 Q = Συνθήκη δεύτερης τάξης: MC ''( Q ) = 6 > 0. 8 Άρα η ποσότητα Q = ελαχιστοποιεί το οριακό κόστος.
Θέµα Β. (α) Η συνάρτηση του στιγµιαίου ρυθµού εισροής ποσότητας νερού σε µια δεξαµενή, όταν ανοίγει η βρύση που τη γεµίζει. είναι V ( t ) = 000 + 0 t. Η αντίστοιχη συνάρτηση του στιγµιαίου ρυθµού εκροής ποσότητας νερού από τη δεξαµενή όταν ανοίγει η βρύση που την αδειάζει, είναι V ( t) 900 8t = +. Σηµειώνεται ότι ο χρόνος t εκφράζεται σε ώρες και οι ποσότητες νερού V και V σε λίτρα. Οι δύο βρύσες ανοίγουν την ίδια χρονική στιγµή και λειτουργούν παράλληλα για ώρες. Αν τη χρονική στιγµή που ανοίγουν ( t = 0 ) η δεξαµενή περιέχει 00 λίτρα νερό, να υπολογισθεί η ποσότητα του νερού που θα περιέχει µετά από ώρες... (60%) (β) Να υπολογισθεί η παράγωγος dz των συναρτήσεων dx. z = ln(y+ ) και y = x + x. z = y( y ), y = t+ και t = x e x... (40%) ΛΥΣΗ (α) Επειδή η βρύση που τη γεµίζει έχει µεγαλύτερη ροή από την βρύση που την αδειάζει, η συνολική ροή µε την οποία γεµίζει η δεξαµενή είναι V () t = V () t V () t ( ) V ( t) = 000 + 0 t 900 + 8 t = 00 + t 4 Vt ( ) = 00 + tdt= 00t+ t + c Άρα, ( ) Τη χρονική στιγµή t = 0 η ποσότητα του νερού είναι V (0) = 00 άρα από την πιο πάνω σχέση έχουµε ότι c=00. Μετά από ώρες η ποσότητα νερού θα είναι: 4 V () = 00* + + 00 = 04,9
(β). dz ( ) ( ) = dz dy = * [ x ] x x dx dy dx y + = + = + + y + ( x + x) +. dz dz dy dt e = = [( y ) + y] [ ] x x x dx dy dt dx e e x x = [ y ] x e e x x = [ ( t + ) ] x e x x = [ t + ] x e x x x x x x = + x x e e = x ( x + e )( x x ) e x
Θέµα Β. Ένα κατάστηµα χρησιµοποιεί τρεις υπαλλήλους κατά την περίοδο των Χριστουγέννων για τη συσκευασία των δώρων: τη Μαρία, την Κατερίνα και τη Γεωργία. Σύµφωνα µε τα στοιχεία που τηρεί η εταιρεία η Μαρία συσκευάζει το % των δώρων, η Κατερίνα το % των δώρων και η Γεωργία τα υπόλοιπα. Επίσης, είναι γνωστό ότι η Μαρία ξεχνά να σβήσει την τιµή στο 4% των δώρων που συσκευάζει και η Κατερίνα στο %. Το αντίστοιχα ποσοστό για τη Γεωργία ισούται µε το άθροισµα των ποσοστών των δύο άλλων.. Αν ένας παραλήπτης δώρου βρει την τιµή πάνω στο αντικείµενο που του δωρίζεται να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι το συσκεύασε η Μαρία.... (60%). Αν ένας πελάτης αγόρασε από το κατάστηµα αυτό 7 δώρα να υπολογισθεί η πιθανότητα να έµεινε η τιµή σε τουλάχιστον ένα από αυτά.... (40%) ΛΥΣΗ Ορίζω τα ενδεχόµενα: Μ: το δώρο τυλίχτηκε από τη Μαρία Κ: το δώρο τυλίχτηκε από την Κατερίνα Γ: το δώρο τυλίχτηκε από τη Γεωργία και Τ: η τιµή παρέµεινε πάνω στο δώρο. Παρατηρούµε ότι τα ενδεχόµενα Μ, Κ και Γ αποτελούν διαµέριση του δειγµατικού χώρου S (όλα τα τυλιγµένα δώρα) και έχουµε PM ( ) = 0., PK ( ) = 0. και P( Γ ) = 0.4. Ακόµη µας δίνεται ότι PTM ( ) = 0.04, PTK ( ) = 0.0, PTΓ ( ) = 0.07. () Η ζητούµενη πιθανότητα είναι η: PTM ( ) PM ( ) PMT ( ) = PT ( ) Όµως, PT ( ) = PTM ( ) PM ( ) + PTK ( ) PK ( ) + PT ( Γ) P( Γ ) = 0,049 0,0 Άρα, PTM ( ) PM ( ) PMT ( ) = =0,8 PT ( ) () Έστω η τ.µ. Υ η οποία εκφράζει το πλήθος των δώρων του εν λόγω πελάτη από τα οποία δε σβήστηκε η τιµή. Προφανώς η Υ µπορεί να πάρει τις τιµές 0,,...,7 και ισχύει Y B(7, p), όπου p=p(t) 0.0. Η ζητούµενη πιθανότητα είναι
7 PY = = = = = 0 0 7 ( ) PY ( 0) (0, 0) ( 0, 0) 0, 0698 0,07 (από τη διωνυµική κατανοµή).
Θέµα Β.4 (α) Σε ένα τµήµα του ΕΑΠ που αποτελείται από 0 φοιτητές και φοιτήτριες πρόκειται να δοθούν υπολογιστές. Αν τα άτοµα που θα πάρουν υπολογιστή επιλεγούν τυχαία να υπολογισθεί η πιθανότητα στην τριάδα αυτή να µετέχει το πολύ µία φοιτήτρια.... (0%) (β) Από τον ποιοτικό έλεγχο της παραγωγής µιας µηχανής διαπιστώνεται ότι κατά µέσο όρο µια µονάδα προϊόντος στις 0.000 µονάδες που παράγει η µηχανή είναι ελαττωµατική. Εκτιµάται ότι η µηχανή αυτή παράγει σε µια µέρα 0.000 µονάδες του προϊόντος. Αν η πολιτική της εταιρίας καθορίζει ότι µια µηχανή αποσύρεται από την παραγωγή, όταν η πιθανότητα, να παράγει περισσότερες από ελαττωµατικές µονάδες σε δύο µέρες, ξεπερνά το 70%, να εξετασθεί αν θα αποσυρθεί ή όχι η συγκεκριµένη µηχανή...(0%) ΛΥΣΗ (α) Κατά τη δηµιουργία της τριάδας δεν µας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής των ατόµων που θα την απαρτίζουν και κατά συνέπεια θα χρησιµοποιήσουµε τους τύπους των συνδυασµών. Ζητάµε την πιθανότητα το πολύ µία φοιτήτρια να είναι στην τριάδα, δηλαδή, Ρ(καµία φοιτήτρια ή µία φοιτήτρια στην τριάδα)=ρ(τρεις φοιτητές ή µία φοιτήτρια και δύο φοιτητές στην τριάδα) = + Πλήθος (τριών φοιτητών από 0) Πλήθος (επιλογή τριών φοιτητών από τους ) Πλήθος (επιλογή µιας φοιτήτριας από και επιλογή δύο φοιτητών από 0) Πλήθος (επιλογή τριών φοιτητών από τους ) C C * C 0 0 = + = + = C C 0!! 0! *!(0 )!!( )!!(0 )!!!!( )!!( )! 0!! 0! 8*9* 0 9* 0 * * =!7! +!4!!8! = * * + * =!! * 4* * 4*!!!! * * * * 4 **0 *9 * 0 67 = + = + = 0,4 *4* * 4 * 00 00
(β) Έστω Χ ο αριθµός των ελαττωµατικών µονάδων του βιοµηχανικού προϊόντος που παράγει η µηχανή. Η Χ ακολουθεί την κατανοµή Posson µε λ=νρ=40 000*(/0 000)=4 PX ( = x) = e x! 4 x 4 Η πιθανότητα ο αριθµός των ελαττωµατικών να υπερβαίνει τις µονάδες στις δύο ηµέρες είναι [ ] PX ( > ) = PX ( ) = PX ( = 0) + PX ( = ) + PX ( = ) e 4 e 4 e 4 e 4 = = + + x= 0 x! 0!!! 4 x 4 0 4 4 Άρα η µηχανή θα αποσυρθεί = (0, 08 + 0, 07 + 0,46) = 0, 8 = 0, 76
Θέµα Β. Μία εταιρία µεταφορών έχει αναλάβει τη µετακόµιση της οικοσκευής µιας οικογένειας από την πόλη που έµενε µέχρι τώρα, η οποία παριστάνεται µε τον κόµβο του παρακάτω δικτύου, στη νέα της κατοικία σε µια άλλη πόλη, η οποία παριστάνεται µε τον κόµβο 9 του δικτύου. Οι ενδιάµεσοι κόµβοι είναι άλλες πόλεις και οι ακµές είναι οι δυνατές διαδροµές µέσω του εθνικού οδικού δικτύου. Οι τιµές στις ακµές του δικτύου παριστάνουν διάρκεια του ταξιδιού σε ώρες. Όπως είναι φυσικό, η οικογένεια θέλει να ολοκληρώσει τη µετακόµιση όσο γίνεται συντοµότερα. Με βάση τα στοιχεία αυτά να χρησιµοποιήσετε την κατάλληλη µέθοδο της θεωρίας δικτύων για να λύσετε το πρόβληµα. Να αναφέρετε µε σαφήνεια τη µέθοδο που θα εφαρµόσετε και να περιγράψετε επαρκώς τη διαδικασία επίλυσης.... (00%) 6 9 7 9 6 8 8 9 4 6 7 7 4 9 ΛΥΣΗ Πρόκειται για πρόβληµα εύρεσης της συντοµότερης διαδροµής. Πρώτος λυµένος κόµβος καθίσταται η αφετηρία µε απόσταση 0 (από τον εαυτό της). Κόµβοι µε προσωρινές διαδροµές: κόµβος, µε απόσταση ώρες από την αφετηρία απευθείας, κόµβος, µε απόσταση ώρες οµοίως και κόµβος 4, µε απόσταση 4 ώρες οµοίως. Στο σύνολο των µονίµων κόµβων εισέρχεται ο κόµβος µε ελάχιστη απόσταση ώρες οπότε το σύνολο των µονίµων κόµβων γίνεται {, }. Αναπροσαρµόζουµε τις µεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόµβου στους µόνιµους.
κόµβος, µε απόσταση 4 ώρες, µέσω του κόµβος 4, µε απόσταση 4 ώρες, απευθείας κόµβος, µε απόσταση 9 ώρες, µέσω του Μόνιµος καθίσταται ο κόµβος που έχει προσωρινή απόσταση από την αφετηρία 4 ώρες µέσω του κόµβου, οπότε το σύνολο των µονίµων είναι τώρα το {,, }. Εδώ θα µπορούσε να µπει ο κόµβος 4 αντί του κόµβου, αυτό όµως δεν αλλάζει το τελικό αποτέλεσµα. Αναπροσαρµόζουµε τις µεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόµβου στο σύνολο των µονίµων. κόµβος 4, µε απόσταση 4 ώρες, απευθείας κόµβος, απόσταση 9 ώρες, µέσω του κόµβου κόµβος 6, απόσταση ώρες µέσω του Από τους κόµβους µε προσωρινό µήκος διαδροµής µόνιµος γίνεται ο κόµβος 4 µε ελάχιστη απόσταση 4 ώρες. απευθείας από την αφετηρία, οπότε το σύνολο µονίµων είναι τώρα {,,, 4}. Αναπροσαρµόζουµε τις µεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόµβου 4 στο σύνολο των µονίµων. κόµβος, απόσταση 9 ώρες µέσω του κόµβος 6, απόσταση 0 ώρες µέσω του κόµβου 4 κόµβος 7, απόσταση ώρες µέσω του κόµβου 4 Μόνιµος γίνεται ο κόµβος µε απόσταση από την αφετηρία 9 ώρες µέσω του κόµβου και το σύνολο µονίµων γίνεται {,,, 4, }. Αναπροσαρµόζουµε τις µεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόµβου στο σύνολο των µονίµων. κόµβος 6, απόσταση 0 ώρες µέσω του κόµβου 4 κόµβος 7, απόσταση ώρες µέσω του κόµβου 4 κόµβος 9, απόσταση 9+9 = 8 ώρες, µέσω του κόµβου Μόνιµος γίνεται ο κόµβος 6 µε απόσταση από την αφετηρία 0 ώρες µέσω του 4 και το σύνολο µονίµων γίνεται {,,, 4,, 6}. Αναπροσαρµόζουµε τις µεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόµβου 6 στο σύνολο των µονίµων. κόµβος 7, απόσταση ώρες µέσω του κόµβου 6 κόµβος 8, απόσταση ώρες µέσω του κόµβου 6 κόµβος 9, απόσταση 8 ώρες, µέσω του κόµβου Ο κόµβος 7 εισέρχεται στους µονίµους µε ελάχιστη απόσταση ώρες, µέσω του κόµβου 6. Το σύνολο των µονίµων κόµβων γίνεται {,,, 4,, 6, 7}.
Αναπροσαρµόζουµε τις µεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόµβου 7 στο σύνολο των µονίµων. κόµβος 8, απόσταση ώρες µέσω του κόµβου 6 κόµβος 9, απόσταση 8 ώρες µέσω του κόµβου Ο κόµβος 8 εισέρχεται στους µονίµους µε ελάχιστη απόσταση ώρες, µέσω του κόµβου 6. Το σύνολο των µονίµων κόµβων γίνεται {,,, 4,, 6, 7, 8}. Αναπροσαρµόζουµε τις µεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόµβου 8 στο σύνολο των µονίµων. κόµβος 9, απόσταση 9+9 = 8 ώρες, µέσω του κόµβου κόµβος 9, απόσταση + = 8 ώρες, µέσω του κόµβου 8 Τέλος, στους µονίµους εισέρχεται ο κόµβος 9 µε ελάχιστη απόσταση 8 ώρες, µέσω του κόµβου 8 ή µέσω του κόµβου. Το σύνολο των µονίµων κόµβων γίνεται {,,, 4,, 6, 7, 8, 9}. Εποµένως το ελάχιστο µήκος διαδροµής είναι 8 ώρες. Για να βρούµε το βέλτιστο µονοπάτι ελέγχουµε οπισθοδροµικά την επίλυση, ξεκινώντας από τον κόµβο 9 ο οποίος µας παραπέµπει στον κόµβο 8 ή στον κόµβο. Από τον κόµβο 8 οδηγούµαστε στον κόµβο 6, στον κόµβο 4 και από εκεί στην αφετηρία. Ενώ µέσω του κόµβου οδηγούµαστε στον κόµβο και από εκεί στην αφετηρία. Κατά συνέπεια υπάρχουν δύο άριστες διαδροµές, µε µήκος 8 ώρες, και είναι τα µονοπάτια 4 6 8 9 και 9. Στο επόµενο σχήµα δίνουµε τα άριστα µονοπάτια µετάβασης από την αφετηρία στον κόµβο 9 µε τη µορφή έντονων γραµµών µε βέλη. 6 9 7 9 6 8 8 9 4 6 7 7 4 9
Θέµα Β.6 Οι εταιρείες «Χυµός Α.Ε.» και «Φυσικό Νερό Α.Ε.» µονοπωλούν την αγορά ενός συγκεκριµένου τύπου αναψυκτικού. Κάθε µια από τις εταιρίες σχεδιάζει µια διαφηµιστική εκστρατεία προκειµένου να αυξήσει το µερίδιό της στη συγκεκριµένη αγορά (αποσπώντας ουσιαστικά τµήµα του ποσοστού της άλλης). Η εταιρεία «Χυµός Α.Ε.» εξετάζει ως πιθανά µέσα διαφήµισης του προϊόντος της την τηλεόραση (στρατηγική Α) και το ραδιόφωνο (στρατηγική Α). Αντίστοιχα η εταιρεία «Φυσικό Νερό Α.Ε.» έκτος από την τηλεόραση και το ραδιόφωνο (στρατηγική Β και Β αντίστοιχα) εξετάζει και τη δυνατότητα διαφήµισης µέσω του περιοδικού τύπου (στρατηγική Β). Το µερίδιο αγοράς που θα κερδίσει/χάσει η κάθε εταιρεία εξαρτάται από το συνδυασµό διαφηµιστικών µέσων που θα χρησιµοποιήσει αυτή και η ανταγωνίστρια της. Συγκεκριµένα, Αν οι δύο εταιρείες επιλέξουν το ίδιο µέσο διαφήµισης τα µερίδια αγοράς τους θα µείνουν αµετάβλητα. Αν η εταιρεία «Χυµός Α.Ε.» επιλέξει την τηλεόραση τότε το µερίδιο αγοράς της θα αυξηθεί κατά εκ. λίτρα ή κατά εκ. λίτρα ανάλογα µε το αν η ανταγωνίστρια της επιλέξει ραδιόφωνο ή περιοδικό τύπο αντίστοιχα. Αν η εταιρεία «Χυµός Α.Ε.» επιλέξει το ραδιόφωνο τότε το µερίδιο αγοράς της θα µειωθεί κατά εκ. λίτρα ή κατά εκ. λίτρα ανάλογα µε το αν η ανταγωνίστριά της επιλέξει τηλεόραση ή περιοδικό τύπο αντίστοιχα. Με βάση τα στοιχεία αυτά: (α) Να κατασκευασθεί ο Πίνακας Πληρωµών για την «Χυµός Α.Ε.» και να εξετασθεί εάν υπάρχει σηµείο ισορροπίας... (0%) (β) Ας υποθέσουµε τώρα, ότι σε µία άλλη χρονική συγκυρία, ο Πίνακας Πληρωµών για την «Χυµός Α.Ε.» δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: Στρατηγικές της «Φυσικό Νερό Α.Ε.» Β Β Β Στρατηγικές της Α - «Χυµός Α.Ε.» Α - 0. Να εξετασθεί αν υπάρχει σηµείο ισορροπίας.... (0%). Να εφαρµοσθεί η κατάλληλη µεθοδολογία προκειµένου να προσδιοριστεί η άριστη στρατηγική κάθε εταιρείας και το κέρδος ή η ζηµιά που θα έχει αν την ακολουθήσει.... (60%) ΛΥΣΗ (α) Πρόκειται για ένα παίγνιο µηδενικού αθροίσµατος. Η «Χυµός Α.Ε.» έχει δύο στρατηγικές, άρα: τη στρατηγική Α σύµφωνα µε την οποία θα επιλέξει την τηλεόραση ως µέσο διαφήµισης. τη στρατηγική Α σύµφωνα µε την οποία θα επιλέξει το ραδιόφωνο ως µέσο διαφήµισης. Η «Φυσικό Νερό Α.Ε.» έχει τρεις στρατηγικές στην διάθεσή της, ήτοι:
τη στρατηγική Β σύµφωνα µε την οποία θα επιλέξει την τηλεόραση ως µέσο διαφήµισης. τη στρατηγική Β σύµφωνα µε την οποία θα επιλέξει το ραδιόφωνο ως µέσο διαφήµισης. τη στρατηγική Β σύµφωνα µε την οποία θα επιλέξει τον περιοδικό τύπο ως µέσο διαφήµισης. Σύµφωνα µε τα στοιχεία του προβλήµατος ο Πίνακας Πληρωµών για τη «Χυµός Α.Ε.» θα είναι Στρατηγικές της «Φυσικό Νερό Α.Ε.» Β Β Β Στρατηγικές της Α 0 «Χυµός Α.Ε.» Α - 0 - Υπάρχει σηµείο ισορροπίας και είναι η στρατηγική Α για την «Χυµός Α.Ε.» και η στρατηγική Β για τη «Φυσικό Νερό Α.Ε.». Το σηµείο ισορροπίας µπορεί να βρεθεί εφαρµόζοντας το κριτήριο Mnmax/Maxmn ως εξής: Β Β Β Ελάχιστο γραµµών Α 0 0 Α - 0 - - Μέγιστο Στηλών 0 Μέγιστο ελαχίστων =0 Ελάχιστο µεγίστων =0 (β). Πρόκειται για ένα παίγνιο µηδενικού αθροίσµατος. Για την εφαρµογή του κριτηρίου Mnmax/Maxmn υπολογίζουµε τα ελάχιστα των γραµµών και τα µέγιστα των στηλών του Πίνακα. ηλαδή: Β Β Β Ελάχιστο γραµµών Α - - Α - 0 - Μέγιστο Στηλών - Παρατηρούµε ότι το µέγιστο του ελάχιστου των γραµµών (-) είναι διαφορετικό από το ελάχιστο του µεγίστου των στηλών (). Εποµένως η χρήση αµιγών στρατηγικών στο παίγνιο (διαφήµιση σε ένα µόνο µέσο και από τις δύο εταιρίες) δεν οδηγεί σε κατάσταση ισορροπίας.. Όπως προκύπτει από την απάντηση στο ερώτηµα β() θα πρέπει να καθοριστούν µεικτές στρατηγικές στο παίγνιο. Έστω Α, Α οι στρατηγικές της εταιρείας «Χυµός Α.Ε.» να διαφηµίσει το αναψυκτικό σε τηλεόραση και ραδιόφωνο, αντίστοιχα. Οι