ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5 η Ηµεροµηνί Αοστολής στον Φοιτητή: 7 Μρτίου 8 Ηµεροµηνί ράδοσης της Εργσίς: Μϊου 8 Πριν ό την λύση κάθε άσκησης κλό είνι ν µελετώντι τ ρδείγµτ κι οι λυµένες σκήσεις των υοδείξεων κι ροµών στ συγγράµµτ κι στο οηθητικό υλικό. Οι σκήσεις της έµτης εργσίς νφέροντι στ: Ενότητ 8 (Το νάτυγµ Tylor) Ενότητ 9 (Το ολοκλήρωµ) Ενότητ (Γενικευµένη ολοκλήρωση) Ενότητ (Εφρµογές ολοκληρωµάτων) του συγγράµµτος του ΕΑΠ «Λογισµός Μις Μετλητής» του Γ. άσιου. Γι την κτνόηση της ύλης υτής θ συµουλευθείτε είσης το: οηθητικό υλικό ου υάρχει στη http://edu.ep.gr/pli/pli/studets.htm ως εξής: Συνοδευτικό Εκιδευτικό Υλικό : Λογισµός : Σειρές Tylor, Ολοκληρώµτ, Ολοκληρώµτ. Πιθνότητες : Πιθνότητες ΠΛΗ-7-8 Ενδεικτικές Λύσεις Εργσίς 5

. ( µονάδες) i) ίνετι η συνάρτηση f l +, () Αοδείξτε ότι η f ντύσσετι σε σειρά Tylor κέντρου (λ. κι Ενότητ 8., Τόµου «Λογισµός Μις Μετλητής») ως εξής: l l + + () Προσδιορίστε το διάστηµ σύγκλισης της ροηγούµενης σειράς χρησιµοοιώντς το γεγονός ότι η κτίν σύγκλισης R µις δυνµοσειράς δίνετι ό τον τύο R lim, ότν τ ροηγούµεν όρι lim + υάρχουν. ii) Χρησιµοοιώντς τον ροηγούµενο τύο κθώς κι το γεγονός ότι το σφάλµ ροσέγγισης ου ροκύτει ότν ό µί συγκλίνουσ ενλλάσσουσ σειρά S χρησιµοοιηθούν οι ρώτοι όροι S k k δεν ξεερνάει, κτά k όλυτη τιµή, τον µέσως εόµενο + όρο δηλ. S S < +, ροσδιορίστε µε κρίει 5 δεκδικών ψηφίων το l(.). iii) Χρησιµοοιήστε το νάτυγµ Tylor του υοερωτήµτος (i) κθώς κι υτό του si µε κέντρο γι ν υολογίσετε το όριο: lim ( + ) ( + ) l l si ( ) Λύση ΠΛΗ-7-8 Ενδεικτικές Λύσεις Εργσίς 5

(i) () Υολογίζουµε τις ργώγους της συνάρτησης f ( ) l ( ) Γι έχουµε () f + ' + + + Πρόµοι γι, έχουµε ' ( + ) ( + ) ( + )' ( + ) f '' + (όως στην εργσί 4) ' ( + ) ( )( + ) ( + ) ( + ) f ''' ' Έστω ότι η σχέση ου ζητάµε ισχύει γι κ f ( k ) ( ) k ( ) ( k ) k ( + )! Θ δείξουµε ότι η σχέση ισχύει γι k+. Πράγµτι, k ( ) ( k ) k ( + ) ( ) ' '! k+ k k k f ( f ( ) ) ( k )!(( + ) ) k k ' ( k )! ( k)( ) ( ) + + ' k ( ) ( + ) k! Έτσι η εγωγική όδειξη έχει ολοκληρωθεί κι η ράγωγος οοισδήοτε τάξης της f δίνετι ό τη σχέση: ( ) ( ) ( ) ( + ) k +! f,. Ιδιίτερ γι έχουµε: f ( ) ( )!, Χρησιµοοιώντς εοµένως το Θεώρηµ Tylor, µορούµε ν ντύξουµε την f() σε σειρά κέντρου ως εξής: ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f ( ) f + + + + + +!!!!! ( ) f f + l( ) + +!! l + (γ) ΠΛΗ-7-8 Ενδεικτικές Λύσεις Εργσίς 5

4 Γι την κτίν σύγκλισης της ροηγούµενης σειράς έχουµε : R lim, όου οι συντελεστές της σειράς +. Εοµένως, ( + ) + ( ) lim + R lim lim +. Άρ ο τύος l l + +, ου οδείξµε, ισχύει ότν η f όστση της µετλητής ό το κέντρο της σειράς (µηδέν) είνι µικρότερη ό την κτίν σύγκλισης: <, ή, ισοδύνµ, ότν <<. Γι τ άκρ υτού του διστήµτος έχουµε: Γι - η σειρά γίνετι: ( ) ( ) Η τελευτί είνι η ρµονική σειρά η οοί δεν συγκλίνει. Γι η σειρά γίνετι: η οοί συγκλίνει ως ενλλάσσουσ σειρά µε κολουθί / θετική κι φθίνουσ. Συνοψίζοντς, f l + l +, < ΠΛΗ-7-8 Ενδεικτικές Λύσεις Εργσίς 5

5 (ii) Χρησιµοοιούµε τον τύο ου οδείξµε στο υοερώτηµ (i) γι,., το οοίο έι νήκει στο διάστηµ σύγκλισης (-,] : l. l +. l +. +. (.) + (.) Η ροηγούµενη σειρά είνι ενλλάσσουσ. Γι τις σειρές υτού του τύου, το ροσεγγιστικό σφάλµ ου ροκύτει ν κρτήσουµε όρους ό το νάτυγµ τους δεν ξεερνάει κτά όλυτη τιµή τον εόµενο όρο της σειράς. Στην ροκειµένη ερίτωση γι ν έχουµε κρίει 5 δεκδικών ψηφίων (δηλδή σφάλµ µικρότερο του -5 ) ρκεί ν κρτήσουµε όρους όου ( ) Αυτό ειτυγχάνετι γι, φού:. (.) < < 5 5 Έτσι,.,,45,9 < -5 4,E-7 5 4,86E-9 l (.). (.) + (.).9559 (iii) Αό τον τύο ου οδείξµε στο (i) έχουµε: () () ( ) 6 9 l + l + + ( ) 4 6 l + l + + Είσης είνι γνωστό το νάτυγµ του si σε σειρά κέντρου µηδέν: ΠΛΗ-7-8 Ενδεικτικές Λύσεις Εργσίς 5

6 ( ) ( + ) si!! 5! + 5 + Αντικθιστώντς τις σειρές υτές στο ζητούµενο όριο έχουµε: 6 9 4 6 l ( + ) l ( + ) + + lim lim si ( ) 5 +! 5! 4 6 4 + + + + + + lim lim 4 6 4 +! 5! +! 5! 4 + + + + + + lim 4 + +! 5!! 5! ΠΛΗ-7-8 Ενδεικτικές Λύσεις Εργσίς 5

7. ( 5 µονάδες) ίνετι η συνάρτηση f ( ),. () Ν υολογίσετε το εµδόν των 4 ορθογωνίων ου ρίσκοντι κάτω κι άνω ό την γρφική ράστση της f ( ) στ δύο ρκάτω σχήµτ. () Ν χωρίσετε το διάστηµ [,] σε ίσ υοδιστήµτ κι ν ξνυολογίσετε το εµδόν των ορθογωνίων ου σχηµτίζοντι κάτω κι άνω ό την γρφική ράστση της f ( ) στ δύο ντίστοιχ σχήµτ. f f f f (γ) Ν υολογίσετε το όριο των δύο θροισµάτων ου υολογίστε στο ερώτηµ () ότν το τείνει στο άειρο. (δ) Ν συγκρίνετε το οτέλεσµ ου υολογίστε στο ερώτηµ (γ) µε το ορισµένο ολοκλήρωµ d E. + + Υόδειξη. + + +. 6 ΠΛΗ-7-8 Ενδεικτικές Λύσεις Εργσίς 5

8 Λύση () Στο ρώτο σχήµ θ έχουµε E. f. +. f.4 +. f.6 +. f.8.. +.4 +.6 +.8.4 ενώ στο δεύτερο σχήµ, θ έχουµε E. f. +. f.4 +. f.6 +. f.8 +. f.. +.4 +.6 +.8 +.44 () Το άθροισµ ό τ εµδά των ορθογωνίων ου σχηµτίζοντι κάτω ό την γρφική ράστση θ είνι όµοι µε το ερώτηµ () τ εξής E f + f + + f + + + ( + + + ( ) ) ( ) + + + + ( ) + + + + ΠΛΗ-7-8 Ενδεικτικές Λύσεις Εργσίς 5 ( + )( + ) 6 6 ενώ το ντίστοιχο γι τ εµδά ου σχηµτίζοντι άνω ό την γρφική ράστση θ είνι ίσο µε E f + f + + f + f + + + + ( ) + + + + ( + )( + ) ( + )( + ) 6 6 (γ) Πρτηρούµε ότι : lim lim ( )( ) E lim 6 6 ( + )( + ) E lim 6 6

9 (δ) Έχουµε d κι συνεώς ρτηρούµε ότι τ εµδά των ορθογωνίων ου ερικλείουν την γρφική ράστση της f ( ) κθώς κι υτά ου ρίσκοντι κάτω ό την γρφική ράστση συγκλίνουν στην τιµή ου τυτίζετι µε την τιµή του ορισµένου ολοκληρώµτος d. E E,,,5,65,85,585 4,88,4688 5,4,44 6,546,4 7,65,48 8,74,984 9,798,99,85,85,89,8,98,76,959,78 4,985,699 5,7,674 6,7,65 7,45,6 8,6,66 9,75,6 ΠΛΗ-7-8 Ενδεικτικές Λύσεις Εργσίς 5

. ( 5 µονάδες) (Βλέε Σ.Ε.Υ., Ολοκληρώµτ - Λυµένες σκήσεις) ίνετι το ολοκλήρωµ: Λύση ) ) Αφού υολογίσετε το ολοκλήρωµ I (si ) d, cos, την διφορά I + I. ) Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ I,I,I 5 (si ) cos d ν ρείτε, συνρτήσει του ) Έστω f ( ) l t + 4, ν δείξετε ότι η συνάρτηση f είνι µι ράγουσ της g( ) στο διάστηµ, cos. 4) Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ I,I κι I 4 + + d (si ) (si ) (si ) cos d d d + + + + + I+ I d d (si ) cos d (si) (si) (si) (si ) cos cos + + / si (cos ) cos cos ) [ ] I d d l(cos ) l l Αό την ροηγούµενη νδροµική σχέση ροκύτει I I I l, οµοίως 8 8 4 9 I5 I I5 l l 4 8 64 64 ) Γι, έχουµε / f () cos cos + t + cos + si + si + 4 4 4 4 Άρ η f είνι µι ράγουσ της g( ) στο διάστηµ cos,. ΠΛΗ-7-8 Ενδεικτικές Λύσεις Εργσίς 5

5 4) I d l t l(t ) cos + 4 κι ό την νδροµική σχέση της ης ερώτησης ροκύτει 5 I I l(t ) κι 5 5 5 I4 I l(t ) l(t ) 8 ΠΛΗ-7-8 Ενδεικτικές Λύσεις Εργσίς 5

4. (5 µονάδες) (Γεν. Μθηµ. Ι ρ. 9., Πρδείγµτ σελ. 5 κι Σ.Ε.Υ. Ολοκληρώµτ -Λυµένες σκήσεις). () Ν δείξετε ότι ν η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη ράγωγο στο R κι ν < είνι τέτοι ώστε f ( ) f '( ) f ( ) f '( ) τότε e f ''( ) d e f ( ) d. (Υόδειξη: Ολοκλήρωση κτά ράγοντες δύο φορές) () Θεωρούµε το ολοκλήρωµ I e si d. όου το είνι φυσικός ριθµός. Χρησιµοοιώντς το () (ή λλιώς) ν δείξετε ότι ( ) I I γι κάθε. + (γ) Ν υολογίσετε το Ι 8. Λύση () Εφρµόζοντς ολοκλήρωση κτά ράγοντες δύο φορές κι χρησιµοοιώντς το µηδενισµό των f,f στ, ίρνουµε e f ''( ) d e f '( ) d ( e δηλδή το ζητούµενο. e ( f ')'( ) d e f ( ) e f ( ) f '( ) e () Θεωρούµε την συνάρτηση f()si. Έχουµε f '( ) si cos, f ''( ) ( )si e f '( ) f ( ) d) cos e e si f '( ) d f ( ) d si ( )si ( si ) si ( )si si. Αφού το έετι ότι f f '() f ( ) f '( ) άρ χρησιµοοιώντς το () ίρνουµε e si d e ( ( )si si ) d ( ) I I Αό υτό έετι άµεσ η ζητούµενη σχέση. (γ) Προφνώς I e d e 8(8 ) I I 8 +. 8.7 6(6 ). I 65 6 + Άρ χρησιµοοιώντς το () ίρνουµε: 8.7.6.5 4.(4 ). I 65.7 4 + 8.7.6.5.4.. I 65.7.7 + I. 8! ( e 5.7.7.65 8 6 4 ). ΠΛΗ-7-8 Ενδεικτικές Λύσεις Εργσίς 5

5. ( µονάδες) () Η τυχί µετλητή Χ έχει συνάρτηση υκνότητς ιθνότητς, ν f(), ν > ) Ν ρεθεί η τιµή του ργµτικού ριθµού. ) Ν ρεθούν οι ιθνότητες P > κι P < > ) Ν ρεθεί η µέση τιµή EX κι η δισορά VrX () Η οσότητ ορτοκλάδς ου εριέχει κάθε µουκάλι είνι τυχί µετλητή ου κολουθεί την κνονική κτνοµή µε µέση τιµή 5 gr κι τυική όκλιση 8gr. ) Ποι η ιθνότητ έν µουκάλι ν εριέχει τουλάχιστον 6gr ορτοκλάδς; ) Ποι η ιθνότητ τ δύο ό τ τρί µουκάλι ν εριέχουν τουλάχιστον 6gr κι το άλλο ν εριέχει το ολύ 6 gr ορτοκλάδς; ) Χρησιµοοιώντς την νργωγική ιδιότητ (λ. ΣΕΥ Πιθνότητες, σελ. 4-4) ν υολογίσετε την ιθνότητ κι τρί µουκάλι µζί ν εριέχουν οσότητ ορτοκλάδς Y έτσι ώστε 7gr Y 76gr ( ίνετι: Φ(,5),8944, Φ(,768),764, Φ(,44),95) Λύση () ) Πρέει f () κι + f ( )d d + d + d + + + P > P d + d d 4 ) P < > P < < < P < > P > 4 ΠΛΗ-7-8 Ενδεικτικές Λύσεις Εργσίς 5

όµως 4 P < < < P < + P < < (+ )d + ( )d+ d 4 Άρ η ζητούµενη ιθνότητ είνι ) P < > + EX f()d ( )d (+ )d+ ( )d + + Γνωρίζουµε ότι: VrX EX EX + 4 4 EX f ( )d (+ )d + ( )d + 4 + 4 6 Άρ VrX 6 () X 5 ) Γνωρίζουµε ότι: X N(5,8 ) Z N(,). Εοµένως 8 X 5 6 5 P( X 6) P P( Z,5) Φ(,5 ),56 8 8 ) Αν θεωρήσουµε σν «ειτυχί» το ν εριέχει έν µουκάλι τουλάχιστον 6 gr ορτοκλάδ κι W είνι ο ριθµός των ειτυχιών στις ν ενλήψεις του ειράµτος «µέτρηση εριεχοµένου» τότε το W είνι τυχί µετλητή ου κολουθεί την διωνυµική κτνοµή µε ρµέτρους ν κι p,56. Άρ P(W ) (,56 ) (,8944 ),99 ) Θέτουµε Y X+ X + X όου X i N( 5,8 ), οότε, λόγω της νργωγικής ιδιότητς, Y N(75,(8 ) ). Εοµένως 7 75 Y 75 76 75 P( 7 Y 76) P P(,44 Z,768) 8 8 8 Φ(,768 ) Φ(,44 ) Αλλά Φ(,44 ) Φ(,44 ) άρ P 7 Y 76 Φ(,768 ) + Φ(,44 ),764,749,689 ΠΛΗ-7-8 Ενδεικτικές Λύσεις Εργσίς 5

5 6. (5 µονάδες) (Βλέε Σ.Ε.Υ., Πιθνότητες - Λυµένες σκήσεις ) Έστω X ο χρόνος εκοµής του ρώτου ηλεκτρονίου ό την κάθοδο ενός ερόκενου σωλήν. Με χρήση φυσικών µεθόδων ρίσκετι ότι η τυχί µετλητή X έχει την κόλουθη συνάρτηση υκνότητς e, f(), < όου Λύση ) ) Ν εληθεύσετε την ισότητ f ()d ) Ν ρεθεί η συνάρτηση κτνοµής ) Ν ρεθεί η ιθνότητ P ( X ) 4) Ν ρεθεί η ιθνότητ P{(X )(X ) } + + + t t + t + + f ()d f()d e d lim e d lim( e ) ) Η συνάρτηση κτνοµής είνι:, < F() P(X ) X t, e dt, t t, < όµως e dt e e άρ F() X. e, t ) P( X ) F() F() e d e e X X 4) + b EX f ( )d lim b e d. e e d e ' d e + ' e d e + e d e b b b b e e e d e be + b b b e + b b EX lim e d lim( be ) ΠΛΗ-7-8 Ενδεικτικές Λύσεις Εργσίς 5