Paula Raica Departamentul de Automatică Str. Dorobanţilor 7, sala C2, tel: 0264-40267 Str. Bariţiu 26, sala C4, tel: 0264-202368 email: Paula.Raica@aut.utcluj.ro http://rocon.utcluj.ro/ts Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca
Analiza sistemelor Determinarea unui model matematic Metode diferite sunt disponibile pentru analiză Performanţa se analizează pe baza semnalelor de test Scopul analizei: studiul comportamentului sistemului în regim tranzitoriu şi regim staţionar când modelul sistemului şi intrarea sunt cunoscute Semnale de test: treaptă, rampă, impuls, sinusoidal
Analiza sistemelor Sistemul se descompune în elemente simple de ordinul cel mult 2 şi efectele fiecărui element sunt analizate Comportamentul elementelor simple se poate studia utilizând parametri caracteristici: Constante de timp, T Timp mort, T m Factor de amortizare, ζ Pulsaţia naturală ω n Constanta de proporţionalitate (câştig), K
Sisteme de ordinul Funcţia de transfer: H(s) = C(s) R(s) = K Ts + K - factor de proporţionalitate (câştig) T - constanta de timp, T > 0 Se analizează răspunsul sistemului la intrare treaptă unitară, rampă unitară şi impuls. Condiţiile iniţiale se presupun zero.
Sistem de ordinul. Exemplu. Sistem mecanic O maşină cu masa m care se mişcă într-o singură direcţie u(t) o forţă externă = semnalul de intrare y(t) viteza maşinii = semnalul de ieşire Există forţă de frecare: b = coeficient de frecare Ecuaţia diferenţială care leagă intrarea de ieşire: m dy(t) +by(t) = u(t) dt Funcţia de transfer: H(s) = Y(s) U(s) = ms +b = b m b s + Factorul de proporţionalitate K = /b, constanta de timp T = m/b.
Răspunsul la treaptă unitară r(t) =, R(s) = s, C(s) = K Ts +s [ K c(t) = L [C(s)] = L s KT ] = K( e t/t ), (t 0) Ts + La t = T valoarea lui c(t) este 0.632K, sau răspunsul a ajuns la 63.2% din valoarea finală: c(t) = K( e ) = 0.632K Panta tangentei la t = 0 este /T: dc(t) dt = K T e t/t t=0 = K T La t = 4T răspunsul a ajuns la 98% din valoarea finală: c(4t) = K( e 4T/T ) = 0.982K
Răspunsul la treaptă unitară Pentru t 4T răspunsul rămâne într-un interval de 2% din valoarea sa finală. Timpul de răspuns este: t s = 4T
Răspunsul la treaptă unitară Pentru constante de timp mici - răspuns mai rapid. c(t) 0.8 0.6 0.4 0.2 T= T=2 T=3 T=4 T=5 0 0 5 0 5 20 25 30 t (sec) Figura: Răspunsul sistemelor de ordinul pentru diferite valori ale constantei de timp
Răspunsul la rampă unitară r(t) = t, R(s) = K s2, C(s) = Ts + Dezvoltând C(s) în fracţii simple se obţine: c(t) = L [C(s)] = L [K = K(t T +Te t/t ), (t 0) s 2 ( s 2 T )] s + T2 Ts + Dacă timpul tinde la infinit t, sistemul va urmări asimptotic o dreaptă cu ecuaţia: c(t) = K (t T)
Răspunsul la rampă unitară e 4T/T = e 4 = 0.083, t s = 4T
Răspunsul la impuls ideal r(t) = δ(t), R(s) =, C(s) = K Ts +, c(t) = K T e t/t, (t 0)
Factorul de proporţionalitate. Exemplu Se consideră un sistem de ordinul cu funcţia de transfer: H(s) = K s + T = şi t s = 4T = 4sec, pentru orice valoare a lui K. Valoarea de regim staţionar a ieşirii, pentru intrare treaptă unitară este K. Răspunsul pentru diferite valori ale lui K: 4 3 K= K=2 K=3 K=4 2 0 0 2 3 4 5 6 t (sec)
Influenţa factorului de proporţionalitate Se consideră: orice sistem liniar cu factorul de proporţionalitate K = şi o funcţie de transfer H(s), şi un sistem cu fnucţia de transfer H k (s) = kh(s) Răspunsurile la treaptă unitară sunt: for H(s): for H k (s): c(t) = L [H(s)R(s)] = L [ H(s) ] s c k (t) = L [H k (s) R(s)] = L [ K H(s) s ] = K L [ H(s) ] = K c(t) s
Sisteme de ordinul 2 R(s) H(s) C(s) H(s) = C(s) R(s) = s 2 + 2ζ ω n s + = ω 2 n ω2 n s 2 +2ζω n s +ω 2 n ω n - pulsaţia naturată, ζ - factorul de amortizare, factorul de proporţionalitate K =. Exemplu. ω n > 0, ζ 0 H(s) = s 2 +s +, ω 2 n = ; 2ζ ω n = ; ω n = ; ζ = 2
Sisteme de ordinul 2 Rădăcinile ecuaţiei caracteristice (polii sistemului) s 2 +2ζω n s +ω 2 n = 0 sunt: s,2 = ζω n ±ω n ζ 2 Polii sunt: complex conjugaţi pentru 0 < ζ < şi se află în semiplanul stâng al planului s. Sistemul se numeşte subamortizat şi răspunsul în regim tranzitoriu este oscilant complex conjugaţi pe axa imaginară pentru ζ = 0. Sistemul este neamortizat şi răspunsul în regim tranzitoriu este oscilant întreţinut. reali pentru ζ şi sistemul se numeşte supraamortizat. Dacă ζ = sistemul este critic amortizat. Răspunsul în regim tranzitoriu nu oscilează.
Răspunsul la treaptă al sistemelor subamortizate r(t) =, R(s) = s, C(s) = ω 2 n s(s 2 +2ζω 2 ns +ω 2 n) Sistem subamortizat: 0 < ζ <. Polii sunt complecşi s,2 = ζω n ±ω n j ζ 2 C(s) = s s +ζω n (s +ζω n ) 2 +ωd 2 ζω n (s +ζω n ) 2 +ωd 2 unde ω d = ω n ζ 2 - pulsaţia de oscilaţie. ) L [C(s)] = c(t) = e ζωnt ζ (ω sin 2 d t +arctan ζ 2 ζ
Răspunsul la treaptă al sistemelor subamortizate.4.2 0.8 0.6 0.4 0.2 ω n = ω n =2 ω =3 n ω n =7 0 0 2 4 6 8 0 2 t (sec) Figura: Răspunsul la treaptă al unui sistem subamortizat pentru ζ - constant şi diferite valori ale luiω n
Răspunsul la treaptă al sistemelor subamortizate.8.6.4.2 0.8 0.6 0.4 0.2 ζ=0. ζ=0.2 ζ=0.5 ζ=0.7 ζ=0.9 0 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 20 t (sec) Figura: Răspunsul la treaptă al unui sistem subamortizat pentru ω n constant şi diferite valori ale lui ζ
Răspunsul la treaptă al sistemelor neamortizate Sistem neamortizat: ζ = 0. Poli imaginaris,2 = ±jω n H(s) = ω2 n s 2 +ωn 2, R(s) = s, C(s) = ωn 2 s(s 2 +ωn 2) = s s s 2 +ωn 2 Răspunsul la treaptă: c(t) = cosω n t, (t 0) 2.5 0.5 0 0 2 4 6 8 0 2 t (sec) Figura: Răspunsul la treaptă al unui sistem de ordinul 2 neamortizat pentru diferite valori ale lui ω n ω n = ω n =2 ω n =4
Răspunsul la treaptă al sistemelor critic amortizate Sistem critic amortizat: ζ =. Polii sunt reali şi egali: s,2 = ω n H(s) = Răspunsul la treaptă: ω 2 n (s +ω n ) 2, R(s) = s, C(s) = ω 2 n (s +ω n ) 2 s c(t) = e ωnt ( ω n t),,(t 0) 0.8 0.6 0.4 0.2 ω n = ω n =2 ω n =4 0 0 2 3 4 5 6 7 8 t (sec) Figura: Răspunsul la treaptă al sistemelor de ordinul 2 critic amortizate pentru diferite valori ale lui ω n
Răspunsul la treaptă al sistemelor supra-amortizate Sistem supraamortizat: ζ >. Polii sunt reali şi negativi: s,2 = ζω n ±ω n ζ 2. Răspunsul la treaptă: C(s) = c(t) = + ω 2 n s(s s )(s s 2 ) ( ω n e s 2 ) t es2t ζ 2 s s 2 0.8 0.6 0.4 0.2 ζ=2 ζ=4 ζ=6 ζ=8 0 0 5 0 5 20 25 30 t (sec) Figura: Răspunsul la treaptă al unui sistem de ordinul 2 supraamortizate pentru diferite valori ale lui ζ
Răspunsul la treaptă al sistemelor de ordinul 2 2.8.6.4.2 ζ=0 ζ=0. ζ=0.5 ζ=0.7 ζ= ζ=2 ζ=3 imag 0.8 0.6 0.4 0.2 0 ζ=0 ζ=0. ζ=0.5 ζ=0.7 ζ= ζ=2 ζ=3 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 0 5 20 t (sec) 0.2 0.4 0.6 0.8 6 5 4 3 2 0 real Figura: Răspunsul la treaptă al sistemelor de ordinul 2pentru diferite valori ale lui ζ şi polii sistemului
Specificaţiile răspunsului tranzitoriu al sistemelor Timp de creştere, timpul răspunsului maxim, suprareglaj, timp de răspuns
Răspunsul tranzitoriu al sistemelor de ordinul 2. Timpul de creştere, t r : timpul necesare răspunsului să crească de la 0% la 90%, sau de la 0% la 00% din valoarea finală. 2. Timpul răspunsului maxim, t p : timpul necesar răspunsului să atingă primul vârf al răspunsului (sau valoarea maximă). 3. Suprareglajul M p : valoarea maximă a răspunsului măsurată de la valoarea staţionară a răspunsului. Suprareglajul în procente este (M p% ): M p% = c(t p) c( ) c( ) 00% unde c( ) este valoarea finală (în regim staţionar) a ieşirii. 4. Timpul de răspuns, t s : timpul necesar ieşirii să ajungă şi să rămână într-un interval din jurul valorii de regim staţionar, de obicei 2% sau 5% din valoarea finală.
Timpul de creştere Timpul de creştere t r se obţine înlocuind c(t r ) = sau ) c(t r ) = e ζωntr ζ (ω sin 2 d t r +arctan = ζ 2 ζ sau ( ) ζ 2 sin ω d t r +arctan = 0 ζ ( t r = ) ζ 2 π arctan = π β ω d ζ ω d β = unghiul între axa reală negativă şi linia care leagă originea se polul s (vezi figura următoare).
Polii complecşi ai unui sistem de ordinul 2 Figură importantă!!
Timpul răspunsului maxim Se obţine derivând c(t) în raport cu timpul şi egalând derivata cu zero: dc(t) ω t=tp = sin(ω d t p ) n dt ζ 2 e ζωntp = 0 sin(ω d t p ) = 0 ω d t p = 0,π,2π,3π,..., unde: t p = π ω d ω d = ω n ( ζ 2 )
Suprareglajul M p apare la timpul t = t p = π ω d. 00 80 Mp (%) 60 40 20 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 ζ M p = c(t p ) c( ) = c(t p ) = e ζωnπ/ω d ζ 2 sin(ω dπ/ω d +β) Suprareglajul în procente: M p% = c(t p) M p = e πζ/ ζ 2 00% == e πζ/ ζ 2 00%
Timpul de răspuns c(t) = e ζωnt / ζ 2 sin(ω d t +β) Curbele înfăşurătoare: c,2 (t) = ±e ζωnt / ζ 2 c (t),c 2 (t) şi c(t) vor ajunge la 2% din valoarea finală aproximativ când e ζωnts < 0.02, sau ζω n t s = 4 t s = 4 ζω n
Exemplu Se consideră un sistem cu funcţia de transfer: Se calculează: H(s) = Polii sistemului: 25 s 2 +6s +25 = ω 2 n s 2 +2ζω n s +ω 2 n s,2 = ζω n ± ζ 2 j = 3±4j 2 Pulsaţia oscilaţiilor (partea imaginară a polilor) este: ω d = ω n ζ 2 = 5 0.6 2 = 4 şi partea reală negativă a polilor: ζω n = 3.
Exemplu t r = π β ω d β = arctan ω d ζω n = 0.93 = 3.4 0.93 4 t p = π ω d = 3.4 4 = 0.78sec = 0.55sec M p = e πζ/ ζ 2 = 0.095 M p (%) = 9.5% t s = 4 ζω n = 4 3 =.33sec
Exemplu Răspunsul la treaptă al sistemului. Valorile parametrilor sistemului se observă din figură..4 Step Response.2 Mp Amplitude 0.8 0.6 0.4 0.2 tr tp 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2.4.6.8 Time (sec) ts
Eroarea staţionară Eroarea staţionară = eroarea între intrarea de referinţă (r(t)) şi ieşirea sistemului (c(t)) în regim staţionar. e(t) = r(t) c(t), e ss = lim t e(t), e ss = lim t (r(t) c(t)) Transformata Laplace a erorii: E(s) = R(s) C(s) = ( G 0 (s))r(s) Teorema valorii finale stabileşte că: dacă lim t e(t) există, atunci: lim t e(t) = lim s 0 se(s)
Eroarea staţionară pentru sisteme cu reacţie negativă unitară Pentru un sistem în buclă închisă cu reacţie negativă unitară: eroarea este: sau E(s) = R(s) C(s) = R(s) R(s)G 0 (s) = R(s)( G 0 (s)) E(s) = R(s)( G(s) +G(s) ) = R(s) +G(s) Teorema valorii finale: e ss = lim t e(t) = lim s 0 se(s)
Eroarea staţionară pentru sisteme cu reacţie negativă unitară utilizând funcţia de transfer în buclă închisă G 0 (s): e ss = lim s 0 s( G 0 (s))r(s) utilizând funcţia de transfer în buclă deschisă G(s): ( ) e ss = lim s s 0 +G(s) R(s) Pentru o referinţa treaptă unitară: r(t) = or R(s) = /s: sau e ss = lim s 0 s( G 0 (s)) s = lim s 0 ( G 0(s)) = G 0 (0) ( e ss = lim s s 0 +G(s) )( ) = s +G(0)
Eroarea staţionară - Exemplu Se consideră un sistem în buclă închisă cu funcţia de transfer a buclei deschise: G(s) = k Ts + Pentru o intrare treaptă unitară, R(s) = /s, eroarea staţionară este: e ss = +G(0) = +k