Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 13 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1
Περιεχόμενα Iδιότητες Ιδιοανυσμάτων Συστήματα χωρίς απόσβεση Ιδιοανυσματικός Μετασχηματισμός Συστήματα χωρίς απόσβεση 2
Αναλυτική Λύση σε Συστήματα Ν Β.Ε. Παραδοχές: Γραμμικά (ή γραμμικοποιημένα) συστήματα Το μητρώο απόσβεσης C αμελείται: Μητρώο αδράνειας M q + K q = ξ = G f(t) Μητρώο ελαστικότητας Γενικευμένες δυνάμεις Η χρονική απόκριση στην πιο γενική περίπτωση είναι η λύση του προβλήματος αρχικών συνθηκών M q + K q = G f(t) q 0 = q 0 q 0 = q 0 Εξωτερικές δυνάμεις 3
Ιδιοσυχνότητες και Ιδιοανύσματα Για την ομογενή λύση, αναζητούνται λύσεις της μορφής q h t = φe λt Οι 2Ν ιδιοτιμές λ υπολογίζονται από την εξίσωση λ 2 M + K = 0 Η λύση της εξίσωσης δίνει Ν ζεύγη φανταστικών ιδιοτιμών: λ = ± i ωj, i = 1, 2,, N όπου i ω είναι η i-ιοστή ιδιοσυχνότητα του συστήματος Για κάθε ιδιοσυχνότητα i ω (ισοδύναμα, για κάθε ζεύγος ιδιοτιμών ± i ωj ) το αντίστοιχο ιδιάνυσμα i φ υπολογίζεται από τo σύστημα εξισώσεων: ( i ω 2 M + K) i φ = 0 4
Ιδιοσυχνότητες και Ιδιοανύσματα H (ομογενής) απόκριση μπορεί να γραφτεί ως: q h t = {c i i φ οι άγνωστοι παράμετροι c i και φ i είναι πραγματικοί αριθμοί. Ή ισοδύναμα σε μητρωϊκή μορφή : q h t = Φ diag(cos ( i ω N i=1 cos ( i ω t + φ i )} t + φ i )) c όπου diag(cos ( i ω t + φ i )) είναι διαγώνιος πίνακας του οποίου το i-ιοστό διαγώνιο στοιχείο είναι cos ( i ω t + φ i ), και Φ = 1 φ Ν φ c = c 1 c T N 5
Ιδιότητες Ιδιοανυσμάτων Κάθε ιδιοάνυσμα i φ αντιστοιχεί σε μια ιδιοσυχνότητα i ω Τα ιδιοανύσματα δεν είναι μοναδικά Αν i φ είναι ένα ιδιάνυσμα, τότε κ i φ είναι επίσης ιδιοάνυσμα Σημασία δεν έχουν οι απόλυτες τιμές των στοιχείων του i φ. Σημασία έχει η αναλογία μεταξύ των στοιχείων του i φ Τα ιδιοανύσματα συνήθως κανονικοποιούνται ώστε να έχουν μοναδιαίο μέτρο (βλέπε παράρτημα στο τέλος) Διαφορετικά ιδιοανύσματα είναι πάντα κάθετα μεταξύ τους: iφ T j φ = 0, όταν i j Τα Ν ιδιοανύσματα i φ ορίζουν μια βάση του Ν-διάστατου διανυσματικού χώρου 6
Ιδιότητες Ιδιοανυσμάτων Άν τα ιδιοανύσματα κανονικοποιηθούν ώστε να έχουν μοναδιαίο μέτρο, τότε ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: iφ T j 1, i = j φ = Φ 0, i j Τ Φ = Ι όπου Φ = 1 φ Ν φ είναι το ορθοκανονικό μητρώο ιδιοανυσμάτων. Επίσης ισχύουν: iφ T Μ j φ = μ ii, i = j Φ 0, i j Τ M Φ = diag μ ii iφ T K j φ = κ ii, i = j Φ 0, i j Τ K Φ = diag(κ ii ) όπου τα κ ii, μ ii είναι σταθερές. Για το i-ιοστό ιδιοάνυσμα, ο λόγος κ ii προς μ ii ισούται με το τετράγωνο της αντίστοιχης ιδιοσυχνότητας: i ω 2 = κ ii μ ii 7
Iδιοανύσματα Περιγράφουν τον χαρακτηριστικό τρόπο με τον οποίο ταλαντώνεται ένα σύστημα στις διάφορες ιδιοσυχνότητες: Η ομογενής απόκριση είναι μια επαλληλία από ιδιοανύσματα που ταλαντώνονται στις αντίστοιχες ιδιοσυχνότητες Όλοι οι Β.Ε. είναι μια επαλληλία στοιχειωδών ταλαντώσεων στις ίδιες ιδιοσυχνότητες. Η συνεισφορά της i-ιοστής ιδιοσυχνότητας στον v-ιοστό Β.Ε. περιγράφεται από το v-ιοστό στοιχείο του i φ N q h t = {c i i φ i=1 Ν 1 διάνυσμα ομογενής απόκρισης Β.Ε. Σταθερές, εξαρτώνται από Α.Σ. cos ( i ω t + φ i )} Ν 1 i-ιοστό ιδιοάνυσμα i-ιοστή ιδιοσυχνότητα 8
Ιδιοανύσματα: Παράδειγμα Ταλάντωση μιας μακρυάς εύκαμπτης δοκού στο διάστημα 9
Ιδιοανύσματα: Παράδειγμα Μέσω της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (βλέπε παρακάτω διάλεξη), οι εξισώσεις κίνησης μπορούν να εκφραστούν ως: M q + K q = 0 όπου οι Β.Ε. q = U 1 U Τ N είναι οι μετατοπίσεις της δοκού σε Ν σημεία U 1 U 2 U 7 U 8 U 9 U 3 U 4 U 5 U 6 U 10 Παράδειγμα: μοντελοποίηση δοκού με 10 Β.Ε. 10
Ιδιοανύσματα: Παράδειγμα Τα ιδιοανύσματα της δοκού μπορούν να υπολογιστούν από τα μητρώα M και K (για Ν=10) 1 3 φ = φ = 0.541 0.263 0.004 0.200 0.314 0.314 0.200 0.004 0.263 0.541 0.522 0.079 0.346 0.089 0.305 0.305 0.089 0.346 0.079 0.522 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 φ = φ = 0.532 0.078 0.262 0.345 0.155 0.155 0.345 0.262 0.078 0.532 0.524 0.204 0.245 0.260 0.257 0.257 0.260 0.245 0.204 0.524 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
U Ιδιοανύσματα: Παράδειγμα Τα 4 πρώτα ιδιοανύσματα της δοκού 0.15 0.1 0.05 mode shape 1 mode shape 2 mode shape 3 mode shape 4 mode shape 0 0-0.05-0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x/l 12
Ιδιοανύσματα: Παράδειγμα Ταλάντωση του 1 ου ιδιοανύσματος 0.1 0.05 t=0 0-0.05 t=0.5*2* / 1-0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 13
Ιδιοανύσματα: Παράδειγμα Ταλάντωση του 2 ου ιδιοανύσματος 0.1 0.05 t=0 0-0.05 t=0.5*2* / 2-0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 14
Ιδιοανυσματικός Μετασχηματισμός Έστω ορθοκανονική επιλογή για τα ιδιοανύσματα του συστήματος M q + K q = 0 Επειδή τα Ν ιδιοανύσματα i φ ορίζουν μια βάση του διανυσματικού χώρου διάστασης N, το διάνυσμα q(t) μπορεί να εκφραστεί σαν: q(t) = Φ η(t) = Ν i=1 { i φ η i (t)} Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός του q. H απόκριση q(t) εκφράζεται σαν μια επαλληλία των Ν ιδιοανυσμάτων. Οι συντελεστές συνησφοράς η i (t) των Ν ιδιοανυσμάτων είναι συναρτήσεις του χρόνου 15
Ιδιοανυσματικός Μετασχηματισμός Αντικαθιστώντας την σχέση q(t) = Φ η(t) στην M q + K q = G f(t) και πολλαπλασιάζοντας από αριστερά με Φ Τ : Φ Τ M Φ η + Φ Τ K Φ η = Φ Τ G f t λόγω των ιδιοτήτων (slide 7) του πίνακα Φ προκύπτει: η + diag( i ω 2 ) η = diag(μ 1 ii ) Φ Τ G f t 16
Ιδιοανυσματικός Μετασχηματισμός Oπότε το σύστημα Ν Β.Ε. M q + K q = G f(t) αντιστοιχεί σε Ν ανεξάρτητα συστήματα 1 Β.Ε.: i η i + i ω 2 φ T G η i = iφ T Μ i f t = i γ f t φ του οποίου οι αρχικές συνθήκες υπολογίζονται ως: q 0 = Φ η 0 η 0 = Φ Τ q 0 η i 0 = i φ T q 0 q 0 = Φ η 0 η 0 = Φ Τ q 0 η i 0 = i φ T q 0 17
Επίλυση Συστημάτων Ν Β.Ε. Μέσω Ιδιοανυσματικού Μετασχηματισμού M q + K q = G f(t) q 0 = q 0 q 0 = q 0 η 1 + ω η 1 = γ f t η 1 0 = φ q 0 η 1 0 = φ q 0 η Ν + ω η Ν = γ f t η Ν 0 = φ q 0 η Ν 0 = φ q 0 η 1 (t) η 2 (t) η Ν (t) Ν q(t) = Φ η(t) = { i φ η i (t)} i=1 18
Επίλυση Συστημάτων Ν Β.Ε. Μέσω Ιδιοανυσματικού Μετασχηματισμού Συνήθως, η απόκριση ενός συστήματος Ν Β.Ε. καθορίζεται από την απόκριση ενός περιορισμένου αριθμού N r ιδιοανυσμάτων Τα πρώτα ιδιοανύσματα (χαμηλότερες ιδιοσυχνότητες) καθορίζουν την απόκριση σε μεγάλο βαθμό Ν N r q(t) = Φ η(t) = { i φ η i (t)} { i φ η i (t)} i=1 i=1 Η απόκριση q t προκύπτει από την επίλυση ενός περιορισμένου αριθμού συστημάτων 1 Β.Ε. η i (t) αντί για την επίλυση του πολύπλοκου και μεγάλου συστήματος Ν Β.Ε. 19
Επίλυση Συστημάτων Ν Β.Ε. Μέσω Ιδιοανυσματικού Μετασχηματισμού Η συνεισφορά του i-ιοστού ιδιοανύσματος στην συνολική απόκριση εξαρτάται από: 1. Το σημείο διέγερσης. Μέσω του G, το γ i περιγράφει πόσο η δύναμη f t θα διεγείρει την απόκριση η i του ιδιοανύσματος i. i η i + ω φ G η i = iφ T Μ f t φ = γ η i 0 = φ q 0 η i 0 = φ q 0 f t 2. Αρχικές συνθήκες: Οι αρχικές συνθήκες η i 0, η i 0 εξαρτώνται από το πόσο «μοιάζουν» τα q 0 και q 0 με το αντίστοιχο ιδιοάνυσμα i φ. Μέτρο του πόσο «μοιάζουν» 2 διανύσματα είναι το εσωτερικό τους γινόμενο 20
Επίλυση Συστημάτων Ν Β.Ε. Μέσω Ιδιοανυσματικού Μετασχηματισμού Γρηγοροτερες i ω αντιστοιχούν σε i φ που περιγράφουν ταλαντώσεις πιο υψηλής χωρικής συχνότητας Διεγείρονται πιο δύσκολα σε αρχικές συνθήκες ή εξωτερικές δυνάμεις Λιγότερη συνεισφορά στην απόκριση 21
Παράρτημα: Κανονικοποίηση Ιδιοανυσμάτων Έστω i φ ένα ιδιοάνυσμα του συστήματος M q + K q = 0 Κάθε διάνυσμα κ i φ (κ αριθμός) είναι επίσης ιδιοάνυσμα (αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοσυχνότητα i ω) Κανονικοποίηση: Επιλογή της τιμής του κ ώστε το νέο ιδιοάνυμα i φ κ i φ να έχει κάποια επιθυμητή ιδιότητα Μια συνήθης κανονικοποίηση είναι οι ιδιοτιμές να έχουν μοναδιαίο μέτρο: το κ επιλέγεται ώστε το μέτρο (η 2-νόρμα) του διάνυσματος κ i φ να ισούται με 1: Η 2-νόρμα x 2 ενός διανύσματος x, είναι η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των στοιχείων του: x 2 = x Τ x Επομένως το κ επιλέγεται ώστε: κ i φ 2 = κ i φ Τ κ i φ = κ i φ Τ i φ = 1 κ = ( i φ Τ i φ ) 1 22
Παράρτημα: Κανονικοποίηση Ιδιοανυσμάτων Παράδειγμα: Για ένα σύστημα 2 Β.Ε. τα ιδιοανύσματα υπολογίστηκαν ως 1 φ = 1 4 T και 2 φ = 8 2 T. Υπολογίστε τα κανονικοποιημένα ιδιοανύσματα μοναδιαίου μέτρου. Λύση 1 ο ιδιοάνυσμα: κ = ( 1 φ Τ 1 φ) 1 = ( 1 2 + 4 2 ) 1 = 0.242 Το αντίστοιχο κανονικοποιημένο ιδιοάνυσμα είναι 1 φ = 0.242 1 4 T = 0.242 0.970 T 2 ο ιδιοάνυσμα: κ = ( 2 φ Τ 2 φ) 1 = ( ( 8) 2 +2 2 ) 1 = 0.121 Το αντίστοιχο κανονικοποιημένο ιδιοάνυσμα είναι 2 φ = 0.121 8 2 T = 0.970 0.242 T Το ορθοκανονικό μητρώο ιδιοανυσμάτων είναι Φ = 1 φ 2 φ = 0.242 0.970 0.970 0.242. Εύκολα επιβεβαιώνεται ότι ΦΤ Φ = Φ Φ Τ = I 23