CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 207 ETAPA JUDEȚEANĂ profilul tehnic Clasa a IX-a. Se consideră funcția f : R R, f(x) = x 2 +mx+207, unde m R. a) Determinați valoarea lui m știind că f( ), f() și f(2) sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. b) Dacă f() = f(4), să se demonstreze că f(2) = f(3). c) Dacă m este un număr întreg impar, să se demonstreze că ecuația f(x) = 0 nu are rădăcini întregi. 2. Se consideră triunghiul ABC, punctele M, N și P astfel încât #» BM = #» MC, #» AN = 2 #» NC, #» AP = 3 #» PB și Q mijlocul segmentului [PM]. a) Demonstrați că BN #» = 2 #» BC + #» BA și BQ #» = #» BC + #» BA. 3 3 4 8 b) Demonstrați că punctele B, Q, N sunt coliniare. c) Calculați valoarea raportului BQ QN. 3. a) Pentru q R se consideră numerele a = q 2 q + și b = q 2 +q +. Să se demonstreze că a b, oricare ar fi q R. b) Determinați primul termen și rația unei progresii geometrice crescătoare (b n ) n, având termeni pozitivi, știind că b +b 2 +b 3 = 7 și b 2 +b2 2 +b2 3 = 2 (utilizând, eventual, identitatea obținută la punctul anterior). 4. Patru persoane A, B, C, D au primit împreună pentru efectuarea unei lucrări suma de 207 lei. Știind că A a primit cel mai mult, fiecare a primit mai mult de 00 de lei și A împreună cu D au primit cu 537 de lei mai puțin decât B împreună cu C, să se determine ce sumă a primit A? (sumele primite sunt numere naturale)
Clasa a X-a. Se consideră numerele reale x și y astfel încât 2 x = 3 și 3 y = 4. a) Arătați că x y = 2. ( ) 3 b) Demonstrați că x 2,. ( c) Arătați că y, 3 ) și deduceți că x > y. 2 2. a) Verificați egalitatea a+a 2 +a 3 3 = (a )(a 2 +2a+3), a R. b) Rezolvați în R ecuația 2 x +4 x +8 x = 3. c) Să se rezolve ecuația 4log 2 x+8log 2 4x+27log 3 8x = 24, x (0, ). 3. Se consideră numărul complex z = +i 3+m( +i 3), unde m R\{ }. a) Demonstrați că z = 2 m 2 +m+. b) Să se determine m astfel încât modulul numărului z să fie minim. c) Dacă z 3 R, demonstrați că z 3 = 8. 4. Doi frați au în proprietate comună un teren în forma trapezului ABCD. Ei hotărăsc să împartă terenul în două părți cu aceeași suprafață și să le separe printr-un gard MN. a) Justificați dacă punctele M și N pot fi alese ca mijloace ale bazelor trapezului. b) Justificați dacă punctele M și N pot fi dispuse în altă poziție pe cele două baze. 2
Clasa a XI-a. Să se calculeze: 3 +2x a) lim ; x 0 3x e 2x (+x) 2 b) lim. x 0 x 2. O echipă de cercetători constată că starea calorică a unei anumite substanțe se modifică în timp după legea: T(t) = t 2 +at+b ct+5, unde a, b, c R sunt constante ce trebuie determinate și în care T(t) este temperatura, măsurată în grade, înregistrată la momentul t 0 ce reprezintă numărul de secunde scurs de la începutul experimentului. a) Determinați a, b, c R, știind că T() = 7 și lim T(t) = 8. x t b) Cu a, b, c astfel determinați, stabiliți dacă este posibil ca la un moment al experimentului temperatura substanței să fie de 0. 2 3 3. Fie matricea A = 2 3, A M 3 (R). 2 3 a) Demonstrați că A 2 = 6A. b) Determinați a R astfel încât matricea Y = aa I 3 să fie inversa matricei X = A I 3. c) Demonstrați că I 3 +A+A 2 +A 3 + +A 207 = 6208 5 6 207 A+I 3 5 ( ) 0 4. Se dă matricea A = 2 M 2 (R). Demonstrați că: 3 a) det(a xi 2 ) > 0, x R. b) det(a+i 2 )+det(a I 2 ) N. c) Ecuația X A A X = A nu are soluții în M 2 (R). 3
Clasa a XII-a. a) Să se determine funcția f : (0, ) (0, ) care admite primitive astfel încât f() = și f(x)dx = x 2 f(x)+c. cosx sinx b) Să se calculeze integrala I(x) = e x dx, x < 0. +cosx 2. Se dă funcția f : R R, f(x) = e2x e+e 2x. a) Arătați că f(x)+f( x) =, x R. b) Determinați primitiva F a funcției f pentru care F(0) = 0. c) Calculați I = 0 f(x)sin(πx)dx. 3. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție prin x y = 4(x+)(y +), x, y R. a) Demonstrați că legea de compoziție este asociativă și determinați elementul neutru. ( b) Calculați 207 ) ( 206 ) (... ). 008 008 008 c) Determinați numerele reale x care sunt egale cu simetricele lor față de legea. 4. Pe mulțimea numerelor reale definim legea de compoziție prin x y = 3 xy, x, y R. a) Demonstrați că legea nu este asociativă. b) Fie H = {, 0, }. Demonstrați că H este parte stabilă a mulțimii R în raport cu legea și că operația indusă de pe H este asociativă. 4
CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 207 ETAPA JUDEȚEANĂ profilul real, specializarea științele naturii Clasa a IX-a. a) Determinați numerele întregi x pentru care fracția 3x+2 este număr întreg. 2x b) Determinați numerele raționale x pentru care fracția 3x+2 este număr întreg. 2x 2. Demonstrați că, oricare ar fi numărul natural nenul n, are loc inegalitatea: 2 < n+ + n+2 + + 2n+ < 5 6. 3. a) Demonstrați că suma inverselor lungimilor a două înălțimi ale unui triunghi este mai mare decât inversul lungimii celei de-a treia înălțimi a triunghiului. b) Un triunghi neisoscel are două înălțimi de lungimi 2 respectiv 5. Determinați lungimea celei de-a treia înălțimi, știind că este tot un număr natural. 4. La ora 4:30, din Iași pleacă un tren care ajunge la București la ora 22:00. În aceeași zi și pe același traseu, la ora 6:00, din București pleacă un tren care ajunge la Iași la ora 23:00. Presupunem că fiecare dintre cele două trenuri parcurge traseul cu viteză constantă. Stabiliți, cu eroare de cel mult un minut, care este ora întâlnirii celor două trenuri. 5
Clasa a X-a. Se dau numerele reale x, y, z (0, ). Demonstrați că: a) 3 (2x+y)(2y+z)(2z +x) x+y +z. b) 3 (2x+y)(x+2y)(2y+z)(y +2z)(2z +x)(z +2x) (x+y +z) 2. 2. Fie a, b, c C, cu a = b = c. Demonstrați că ecuația az 2 +bz +c = 0 are cel puțin o rădăcină de modul dacă și numai dacă b 2 = ac. x x 3. Rezolvați ecuația = lgx. 2 2 4. Avem la dispoziție un număr n 2000 de saci goi. Alegem 0 dintre aceștia. În unii dintre cei 0 saci aleși s-au pus câte 9 saci goi, apoi în unii dintre toți sacii goi s-au pus câte 9 saci goi, etc. După câteva operații de acest fel, numărul sacilor care nu sunt goi este 223. Care este numărul total de saci pe care îi avem la dispoziție? 6
Clasa a XI-a ( ) a b. Fie A =, a, b R. c d a) Calculați det(a 2 ). (a+b) n +(a b) n (a+b) n (a b) n b) Demonstrați că A n = 2 2 (a+b) n (a b) n (a+b) n +(a b) n, n N. 2 2 ( ) c) Rezolvați în M 2 (R) ecuația X 207 2 (folosiți, eventual, faptul că X X 207 = X 207 X). 2 2. Considerăm mulțimea M formată din toate matricele cu trei linii și trei coloane și care au elemente din mulțimea { ; }. a) Aflați cardinalul mulțimii M. b) Dacă A M, demonstrați că 4 det(a). c) Dacă A M, argumentați că det(a) { 4; 0; 4}. d) Demonstrați că A M, matricea A 207 are toate elementele nenule. 3. Pe o insulă trăiesc 2 cameleoni. La un moment dat, trei dintre ei au culoarea roșie, patru au culoarea galbenă, iar ceilalți cinci au culoarea verde. Se știe că, dacă se întâlnesc doi cameleoni de culori diferite, atunci ambii își schimbă culoarea în cea de-a treia culoare, în rest ei nu își schimbă culoarea. Demonstrați că: a) Este posibil ca, la un moment dat, niciun cameleon să nu aibă culoarea verde. b) Nu este posibil ca, la un moment dat, toți cameleonii să aibă culoarea verde. 4. Fie f : R R o funcție astfel încât f(x) x 2 2 x, x R. a) Arătați că f(0) = 0. b) Dați un exemplu de funcție care să îndeplinească inegalitatea din enunț. c) Justificați continuitatea funcției f în origine. 7
Clasa a XII-a. Două lentile având distanțele focale f, respectiv f 2 sunt situate la distanța d > 0 una față de cealaltă; în această situație, distanța focală f a sistemului de lentile este dată de legea de compoziție f = f f 2 = f f 2. Considerând legea de compoziție definită pe G = (0, ), se cere: f +f 2 d a) Să se demonstreze că legea este asociativă. b) Să se studieze dacă legea admite element neutru. d c) Să se calculeze 207 d 206... d 2d 3d 4d... 207d. 2. Se consideră funcțiile f, g : R R, f(x) = x +x 2 și g(x) = x(x 2 +). a) Să se calculeze b) Calculați lim x 0x c) Să se demonstreze că 0 f(x)dx. G(x), unde G este primitiva lui g care se anulează în x =. tanx f(t)dt+ 3. Se consideră funcția f : R R, f(x) = e x2. a) Să se calculeze 0 xf(x)dx. cotx b) Să se demonstreze că funcția F : R R, F(x) = [0, ]. c) Demonstrați că 0 f(x)dx (, 2). g(t)dt = 0, x x 3 0 ( 0, π ). 2 f(t) dt este strict crescătoare pe intervalul { ( ) } 2 k 2 k 4. Fie G = A(k) = 2 k 2 k k Z. Pentru fiecare t Z, notăm H t = {A(kt ) k Z}. Se admite faptul că (G, ) este un grup, unde este înmulțirea matricelor. Demonstrați că: a) Pentru orice n, p Z, A(n) A(p) = A(n+p+). b) Pentru orice t Z, H t este un subgrup al grupului (G, ). c) Grupurile (G, ) și (Z, +) sunt izomorfe. 8
CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 207 ETAPA JUDEȚEANĂ filiera tehnologică: profilul servicii, resurse naturale și protecția mediului Clasa a IX-a. Un joc de calculator se desfășoară după regula următoare: la fiecare rundă, jucătorul alege un număr a N, după care calculatorul alege la întâmplare un număr x R și dacă 5 3x a sau x+25 a, 7 atunci jucătorul câștigă a puncte. a) Stabiliți dacă, pentru a = 2 și x = 24, jucătorul câștigă 2 puncte. b) Demonstrați că pentru alegerea a = 2 jucătorul poate să nu câștige 2 puncte. c) Demonstrați că se pot alege numere a N încât la orice x R ales de calculator, jucătorul să câștige a puncte și aflați numărul maxim de puncte pe care le poate câștiga la o rundă a jocului. 2. a) Arătați că 2 + 2 3 + 3 4 + + (n )n =, pentru orice n N, n 2. n b) Determinați numerele naturale nenule x și y, care verifică xy = y. c) Determinați funcția f : N N care, pentru orice n N, n 2, verifică relația: f() f(2) + f(2) f(3) + f(3) f(4) + + f(n )f(n) = f(n). 3. Fie triunghiul ABC și punctele M, N, P astfel încât #» BN = 3 #» AN, #» CM = 3 #» AM și #» BP = #» PC. a) Demonstrați că M N BC. b) Dacă BM CN = {Q}, demonstrați că A este centrul de greutate al triunghiului QBC și #» AB + AC #» + AQ #» = #» 0. c) Demonstrați că triunghiurile QBC și MNP au același centru de greutate. 4. Fie mulțimea tuturor funcțiilor de gradul al doilea f m : R R, de forma f m (x) = x 2 +2(m )x+ 4m, m R și considerăm familia parabolelor asociate acestor funcții. a) Arătați că există m R pentru care punctul A(, 3) este pe parabola asociată funcției f m. b) Arătați că există un punct situat pe toate parabolele familiei. c) Arătați că punctul B(2, 3) nu este situat pe niciuna dintre parabolele familiei și determinați mulțimea tuturor punctelor cu această proprietate. 9
Clasa a X-a. Pe un cerc cu raza de metri se deplasează doi melci, notați A și B, plecând în același moment, din 2π același loc și în sensuri diferite. Se știe că în fiecare a n-a secundă de la începutul deplasării lor, melcul A parcurge metri, în timp ce melcul B parcurge doar 2n 4 n metri. a) Arătați că distanța parcursă de melcul A în primele n secunde este egală cu 2 n metri. b) Determinați după câte secunde distanța parcursă de melcul B este egală cu 3 din distanța parcursă 8 de melcul A. c) Aflați de câte ori se întâlnesc cei doi melci, considerând că după fiecare întâlnire ei își continuă deplasarea după aceleași reguli. 2. a) Demonstrați că 4 < 4log 7 0 < 5. b) Calculați log 3 256. c) Comparați numerele a = log 7 0 și b = log 3 4. 3. Considerăm ε = +i 3, cu i 2 =. 2 a) Arătați că ε 2 +ε+ = 0 și ε 3 =. b) Demonstrați că pentru orice x, y R are loc x 2 +xy +y 2 = x εy 2. c) Dacă x, y, z R și a = x 2 y+y 2 z +z 2 x, respectiv b = xy 2 +yz 2 +zx 2, calculați în funcție de a și b expresia E = (x 3 y 3 )(y 3 z 3 )(z 3 x 3 ). 2 x, dacă x Q 4. Fie f : R R, f(x) =. 3 x, dacă x R\Q a) Arătați că log 3 2 R\Q. b) Arătați că f(log 3 2) Q. c) Demonstrați că ecuația f(x) = 3 nu are soluție în R. d) Demonstrați că funcția f nu este nici injectivă și nici surjectivă. 0
Clasa a XI-a 0. Fie matricea A = 0. 0 a) Rezolvați ecuația det(i 3 +xa) = 0. b) Demonstrați că A 2 = A+2I 3. c) Demonstrați că matricea B = 2A+I 3 este inversabilă și inversa ei este matricea C = 2 5 A 3 5 I 3. d) Matricea B o transformăm în 207 pași, în felul următor: la fiecare pas, în mod aleator, elementele de pe diagonala principală se măresc toate deodată sau se micșorează toate deodată cu, iar toate celelalte elemente se măresc toate deodată sau se micșorează toate deodată cu 3. Aflați dacă este posibil ca după parcurgerea celor 207 pași matricea B să se transforme într-o matrice cu determinantul egal cu 207. ( ) ( ) 6 2 2. Considerăm matricele A =, B = și mulțimea G = {X M 2 (R) A X = X A}. 0 6 0 2 a) Demonstrați că B G. ( ) b) Dacă X G, demonstrați că există x, y R asfel încât X = x y. 0 x c) Matricea X M 2 (R) verifică egalitatea X 3 X = A. Demonstrați că X G și determinați toate matricele X cu această proprietate. 3. a) Fie a, b, c numere reale strict pozitive și funcția f : R R, f(x) = ax+ bx 2 +cx+. Determinați f(x) a, b, c, știind că lim = 4 și lim x x f(x) = x 4. b) Determinați ecuațiile asimptotelor la graficul funcției f : R R, f(x) = 2x+ 4x 2 +x+. 3t 2 0t+a 4. Funcția f : [0, 2] R, f(t) = t 2, t [0, 3) 2t 3 determină temperatura unui corp, măsurată b log 2 (t 2), t [3, 2] pe parcursul a 2 ore. a) Știind că la momentul t = temperatura corpului este de C, iar la momentul t = 2 temperatura este de 2 C, aflați temperatura corpului la momentul t = 0. b) Determinați a, b R în cazul în care f are limită în t = 3. c) În cazul a = 3 și b = 2, arătați că f este continuă pe intervalul [0, 2] și determinați intervalele pe care f(t) > 0.
Clasa a XII-a. Definim pe mulțimea numerelor întregi legea de compoziție x y = 3xy + 3x + 3y + 2, x, y Z. a) Verificați că x y = 3(x+)(y +), x, y Z. b) Arătați că legea este comutativă și asociativă. c) Stabiliți dacă structura (Z, ) are element neutru. d) Dacă d, d 2, d 3,..., d 4034 sunt divizorii întregi ai numărului 2 207, calculați d d 2 d 3... d 4034. 2. Consumul de energie electrică realizat de familia Popescu, pe durata a 24 ore, este modelat de o funcție K : [0, 24] R +, cu K(0) = 0 și care este derivabilă și verifică relația: K (t) = (t+)e t, t [0, 24], unde K(t) reprezintă cantitatea de energie electrică consumată în intervalul de timp [0, t], exprimată în Kw/h. a) Demonstrați că F(t) = (t+)e t, t R, este o primitivă a funcției f : R R, f(t) = te t. b) Demonstrați că K(t) = 2e (t+2)e t, t [0, 24]. c) Verificați că, în prima oră, familia Popescu consumă mai puțin de 2,5 Kw/h. d) Considerând, pe parcursul unei zile, intervalele orare [0, ], [, 2], [2, 3],..., [23, 24], arătați că cel mai mare consum de energie electrică se realizează în intervalul orar [0, ]. {( ) } a b 3. Se consideră mulțimea G = b a a, b Z 6. a) Determinați numărul elementelor mulțimii G. b) Arătați că (G, +) este grup abelian. c) Calculați suma elementelor mulțimii G. 4. Fie funcția f : R R, f(x) = x 2 +4. a) Demonstrați că b) Calculați c) Calculați lim x 0 x 4 0 f 2 (x)dx = 3 3. 2 3 5 x f(x) dx. x 0 t 3 f(t)dt. 2
CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 207 ETAPA JUDEȚEANĂ profilul filologie / științe sociale Clasa a IX-a. Se consideră funcțiile f m (x) = (m )x 2 +2(m 2)x 3+m, m R, m. a) Să se determine m astfel încât G fm să intersecteze axa Ox în două puncte separate de axa Oy. b) Să se demonstreze că parabolele asociate funcțiilor f m trec printr-un punct fix (cu coorodonatele independente de m). 2. Pe latura [AB] și diagonala [AC] a paralelogramului ABCD se iau punctele M și respectiv N astfel încât #» AM = #» AB și AN #» = #» AC. Demonstrați că punctele M, N și D sunt coliniare. 5 6 3. Să se determine patru numere reale în progresie geometrică știind că suma termenilor extremi este egală cu triplul mediei aritmetice a termenilor egal depărtați de cei extremi, iar primul termen este a R. 4. a) Media vârstelor persoanelor dintr-o cameră este egală cu numărul lor. În cameră intră un bărbat de 29 de ani. Surprinzător, media vârstelor persoanelor rămâne egală cu numărul lor. Câte persoane erau inițial în cameră? b) Un elev a ales un număr întreg, l-a înmulțit cu 0,42 și rezultatul l-a aproximat cu cel mai apropiat întreg. După aceasta a înmulțit numărul astfel obținut cu 0, 42 și rezultatul l-a aproximat din nou cu cel mai apropiat întreg, ultimul fiind egal cu 8. Ce număr a ales elevul? 3
Clasa a X-a. Rezolvați în R ecuațiile: a) log 2 (log 2 (5x 4)) +log 2 (log 2 x); b) 2 log2 (x+) 2 = 2 (x+) logx+ 2. 2. Se consideră funcția f : R R, f(x) = x + x. a) Să se demonstreze că funcția f este strict crescătoare pe R. b) Să se rezolve în R ecuația f(x) = m, m R. Discuție după valorile parametrului m. 3. a) Să se demonstreze că 3 20+4 2+ 3 20 4 2 = 4. b) Să se rezolve ecuația 7 x+ x 5 = 2. 4. a) Sisif duce în fiecare zi câte o piatră din vârful unui munte. În prima zi i-au fost necesare 7 ore urcând și coborând. A doua zi a petrecut 8 ore urcând și coborând. În fiecare zi urcă de două ori mai încet decât în ziua precedentă, dar coboară de două ori mai repede. Cât timp va munci în cea de-a treia zi? b) Pe cele două maluri ale unui râu se află doi palmieri înalți de 0 m, respectiv 5 m. Distanța dintre ei este de 25 m. În vârful fiecărui palmier stă câte o pasăre. La un moment dat, la suprafața râului, pe linia ce unește palmierii, apare un pește situat la distanțe egale cu cele două păsări. La ce distanță de palmierul cel mai înalt a apărut peștele? 4
Clasa a XI-a. La livrarea din fabrică către dealer, un autoturism are prețul de 7500 euro. Dealer-ul aplică un adaos comercial de 0%, iar la suma adăugată se aplică un TVA de 20%, obținându-se astfel prețul de vânzare. Un cumpărător achită un avans de 20% din prețul de vânzare, urmând ca restul să fie achitat în 24 de rate lunare egale. a) Care este prețul de vânzare, fără TVA, al autoturismului? b) Care este prețul de vânzare al autoturismului cu TVA? c) Cât este rata lunară? 2. În tabelul de mai jos este înregistrată distribuția elevilor clasei a XI-a după numărul de pagini scrise la simulare la proba de limba română: Număr de pagini Număr de pagini 0-4 0 4-8 6 8-2 5 2-6 a) Calculați media și mediana seriei statistice. b) Arătați că abaterea medie pătratică este mai mică de 3,0. c) Care este procentul elevilor care au scris mai mult de 8 pagini? 3. Dacă tatăl ar avea cu 7 ani mai mult decât are, atunci vârsta actuală fiului mai mic ar fi 6 din vârsta tatălui. Peste 5 ani, vârsta fiului mai mare va fi din vârsta tatălui. Să se determine vârsta fiecăruia, 2 dacă peste 8 ani suma vârstelor celor doi copii va fi egală cu vârsta tatălui. 4. La balul de absolvire a liceului participanții sunt așezați câte șase la fiecare masă. Să se arate că la fiecare masă există trei persoane care se cunosc între ele sau trei persoane care nu se cunosc deloc. 5
Clasa a XII-a ( ) x. Se consideră matricea A(x) =, unde x este număr real. x a) Calculați det(a). ( ) 0 b) Determinați numărul real x pentru care A(x) A( x) = I 2, unde I 2 =. 0 c) Calculați det(a()+a(2)+ +A(n)), unde n N. 0 0 0 0 2. Se consideră matricele B = 0 0, I 3 = 0 0 și A = ai 3 + bb + cb 2, unde a, b, c sunt 0 0 0 0 numere reale. a) Să se calculeze B 2 și B 3. b) Să se demonstreze că (a+b+c)det(a) 0, pentru orice a, b, c numere reale. 3. În reperul cartezian xoy se consideră punctele A n (3n+, 3n) și B n (2n, 4n 3), unde n Z. este număr natural. a) Determinați aria triunghiului A 0 A B 2. b) Demonstrați că există numerele întregi k și l astfel încât A k = B l. 4. Alin și Dan joacă următorul joc. Alin alege un număr a, apoi Dan alege un număr x. După aceasta, Alin a 0 alege un număr b și apoi Dan alege un număr y. Formăm matricea M = 0 b x, unde a, b, x, y sunt y 0 numere reale. Matricele de această formă, care au determinantul egal cu, se numesc matrice norocoase. În acest caz, Alin câștigă jocul. a) Cine câștigă jocul dacă a =, b =, x = 0, y =? 0 0 b) Fie A = 0 0, unde y este număr real. Demonstrați că A este o matrice norocoasă. y 0 c) Determinați valorile lui a și b care asigură victoria lui Alin, oricare ar fi alegerile făcute de Dan. 6