Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης

4 o Γενικό Λύκειο Χανίων 008-009 Γ τάξη Τμήμα. Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης γ Ασκήσεις για λύση Μ.. Παπαγρηγοράκης

4 ο Γενικό Λύκειο Χανίων Γ Λυκείου Θετική Τεχνολογική κατεύθυνση Σχ. Έτος 008 009 α β αν 347 Αν f() αν α,βr ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΟΡΙΣΜΟΣ 35 Έστω η συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη να βρείτε τα στο 0 και ισχύει f y f fy y για κάθε,y R, να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R. f() 348 Αν lim 7 και η f είναι συνεχής στο 3 3 0 3 να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 3 349 Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο 0. και ισχύει ότι ημ f() ημ, για κάθε 0.Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο o 0 350 Έστω η συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη στο 0 και στο και ισχύει ότι f(0) f(). Να αποδείξετε f() αν ότι η g() είναι παραγωγίσιμη στο f(-) αν αν και μόνο αν f (0) f () 35 Δίνεται η συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι f (). Να αποδείξετε ότι lim ( ) f() f 353 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο o με f( o ) 3, f ( o ). Να βρεθεί το f()-6 lim - ο 354 Δίνεται η συνάρτηση f : R R, παραγωγίσιμη στο 0. Να αποδείξετε ότι A) B) ο f(α) f(β) lim (α β)f (0), α,βr * 0 f (3) f () lim f(0)f (0) 0 355 ** Θεωρούμε μια συνάρτηση f για την οποία y ισχύει: f y f y f y α για κάθε,y R. Να αποδείξετε ότι: A) f0 α B) η C f περνά από την αρχή των αξόνων. Γ) Αν είναι παραγωγίσιμη στο R τότε ισχύει ότι o f f f0 για κάθε o R. o o o Δ) Αν είναι παραγωγίσιμη στο o 0 τότε είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει o f f f0 για κάθε o R o o o ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ- ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 356 Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων Γ) Ε). Ζ) f() Β) f 4 ln ln g() ημ Δ) f ημ συν g() εφ Στ) ημ f ημ ln g() Η) f() ln ημ Θ) h() Ι) f() συν 357 Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P με P P για κάθε R. 358 Nα αποδείξετε ότι: Aν f ln τότε f() f () 0 Β) Αν τότε dy ( )y 0 d Γ) Αν y ημ συν τότε y y συν 0 359 Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R, με g και g. Αν f g να ln βρείτε τον f 360 Να αποδείξετε ότι A) 5 5 lim B) lim 80 0 08.06

Ασκήσεις για λύση 36 Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων α) γ) 4 f() ημ β) f() ημ συν δ) ε) f συν 3 f() ημ3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 f() εφ (4 ) στ) f συν ln 4 3 ζ) 3 f ημ 3 η) f 3 5 Δ) Αν η f είναι άρτια και τότε g (0) 3 g() ( )f() 3 368 Οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο R και για κάθε R ισχύει ότι g f( ) f 0, να αποδειχτεί ότι g g()f, με 36 Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων ln α) f με 0 β) f Β) Nα βρείτε την dy d στο 0 της συνάρτηςης: y (u 3), u t 3, t και. 363 Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων ημ αν 0 f 0 αν 0 Β) f 3 364 Έστω η συνάρτηση h με 0 εφ 3 h(u) [g (u) ]. Αν g(3) 3 και g (3), να βρείτε την h (3). 3 365 Δίνεται η f, R. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Β) Να λύσετε την εξίσωση f 0. Γ) Αν γνωρίζουμε ότι η στο f f A, να αποδείξετε ότι f είναι παραγωγίσιμη. 366 Αν f() c( α)( β)( γ) με c,α,β, γ R και α,β,γ τότε να αποδείξετε ότι: f () f() α β γ 3 4 ( 5) ( ) Β) Να βρεθεί η f αν f() 367 Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R. Να αποδειχτεί ότι Αν η f είναι άρτια τότε η f είναι περιττή Β) Αν η f είναι περιττή τότε η f είναι άρτια. Γ) Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και περιττή να αποδείξετε ότι i) f α fα. ii) f0 0 369 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και για κάθε R ισχύει f 3 3 5 να βρεθεί το f3 370 Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία είναι f( y) f()f(y) και f() 0 για κάθε,y R. Αν ι- f() σχύει ότι lim R να αποδειχτεί ότι η f είναι 0 παραγωγίσιμη στο R 37 Δίνεται ότι οι συναρτήσεις f, h είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο 0, και ισχύει f h 3 9 για κάθε 0, f, να βρεθεί το h. Αν f 3 και 37 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και άρτια, να αποδείξετε ότι και συνάρτηση g f f () f είναι άρτια. 373 Οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο R και ισχύει ότι f( y)-g( y) f()-g() για κάθε,y R. Να αποδειχτεί ότι f () g (), R 374 ** Εξηγήστε γιατί η παρακάτω διαδικασία οδηγεί σε άτοπο: 3 3 3 3 4 = 3 =..., άρα προσθετέοι ( 4 3 3 3 ) =..., δηλαδή φορές 4 3 = 3 3... 3, δηλ 43 =3 3, άρα 4=3 φορές Μ. ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗΣ

4 ο Γενικό Λύκειο Χανίων Γ Λυκείου Θετική Τεχνολογική κατεύθυνση Σχ. Έτος 008 009 375 Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Να αποδείξετε ότι: Β) f ( h) f () lim f () για κάθε R, h0 h f ( h) f () lim f () για κάθε R, h0 h ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ y y y 0 377 Αν η συνάρτηση f έχει πρώτη και δεύτερη παράγωγο στο R και για κάθε R ισχύει f f, να αποδείξετε ότι f 0. 376 Να αποδειχτεί ότι: A) Αν τότε y y y y ln B) Αν y ημln συνln τότε. 378 Να αποδείξετε ότι: Αν f (ν) νπ συν, τότε f συν (ν) Β) Αν f τότε f ν ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ 379 Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο o 386 Για ποια τιμή του α 0 η εφαπτόμενη της Cf f() και ισχύει lim 7. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο A,f και να αποδείξετε ότι είναι κάθετη στην ευθεία 9y 5 0 380 Αν f : 0, R με f και α 0, να αποδειχτεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι ημιάξονες O,Oy και η εφαπτομένη της καμπύλης στο o 38 Έστω α είναι ανεξάρτητο του α. f() και g(). Να 8 βρεθούν οι εφαπτόμενες των C f, C g, αντίστοιχα, που τέμνονται στον άξονα y y και είναι κάθετες μεταξύ τους. α α β α 38 Αν f γ, να βρε- θούν τα α,β, γ R ώστε η εφαπτομένη της C f στο A(, f()) να είναι παράλληλη προς την y 0 383 Αν f α ln β 3, να βρείτε τα α,βr ώστε η ευθεία ε: y 4 0 να είναι εφαπτόμενη της C f στο σημείο της A,f. ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ 384 Αν f 4 και g 8 0. Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμένες των C f και C g. f 3 στο A, f() είναι εφαπτόμενη της Cg α g ; 387 Αν η ευθεία y 0 είναι η εφαπτομένη του διαγράμματος της y f(), στο σημείο της με o, να βρεθεί η εφαπτομένη (ε ) του C g της g με g() f στο σημείο με 388 Θεωρούμε την συνάρτηση f που έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο R με f () 0 για κάθε R. Αν η C g της g με f() g() f () τέμνει τον άξονα, να αποδειχτεί ότι η εφαπτομένη στο σημείο τομής, σχηματίζει με τον άξονα γωνία o 45 389 Να βρείτε τον α R ώστε η συνάρτηση f με f() α, να έχει εφαπτομένη την y. 390 Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι: ln f για κάθε Δ. Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο o και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Μ,f(). 39 ** Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει ότι f f, R Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο, f() είναι κάθετη στην y. 385 Δίνονται οι συναρτήσεις g και f α β. Να βρείτε τα α,β R ώστε οι γραφικές τους παραστάσεις να έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη o 39 Δίνεται η συνάρτηση f α ln, 0, όπου α R. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C f στο σημείο της Μ(, f()) και αποδείξετε ότι διέρχεται από σταθερό σημείο Ρ για κάθε α R. 3

Ασκήσεις για λύση 393 Μία συνάρτηση f : R R έχει την ιδιότητα: f(-) -3+ f(-3)+-4, για κάθε R. Έστω μετα- βλητή ευθεία η οποία διέρχεται από το M,0 και τέμνει τη C f σε δύο διαφορετικά σημεία Α και Β. α) Να βρείτε τον τύπο της f. β) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της C f στα Α και Β τέμνονται κάθετα. 394 Έστω f β/θμια πολυωνυμική συνάρτηση ώστε 3f f 4 5 R Να βρεθεί ο τύπος της f. Β) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της C f, οι οποίες άγονται από το σημείο A,, είναι κάθετες. 4 395 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g, h : R R f 0, g fh για κάθε R δύο φορές παραγωγίσιμες και. Αν, οι f,g,h είναι h h. Αν M o, y o κοινό σημείο των Cf και C g, να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένη στο M. C f και C g έχουν κοινή Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΩΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 396 Μια σκάλα μήκους 3m είναι ακουμπισμένη σημείο Mα,lnα, α 0. σ έναν κατακόρυφο τοίχο. Το κάτω μέρος της σκάλας A) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της έλκεται από τον τοίχο με ρυθμό m /sc. Να βρείτε: C f στο σημείο M. A) Πόσο γρήγορα γλιστράει το πάνω άκρο της Β) Για ποια τιμή του α η εφαπτόμενη διέρχεται σκάλας όταν το κάτω άκρο απέχει από τον τοίχο 5m. από την αρχή των αξόνων; B) τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου Γ) Αν το σημείο M απομακρύνεται από τον ά- που σχηματίζει η σκάλα με τον τοίχο και το έδαφος όταν το κάτω άκρο της απέχει από τον τοίχο m ξονα y y με σταθερή ταχύτητα v m /sc, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου M ως 397 Δίνεται η συνάρτηση f 398 Αν ln, 0 και το α β 0 f() να βρεθούν οι 3 (γ α) 0 α,β, γ R ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Roll στο, και να βρεθεί ξ, ώστε f ξ 0. 399 Έστω η f :[α,β] R παραγωγίσιμη, ώστε : f (α) f (β) α β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α,β έτσι ώστε fξfξ ξ 400 Δίνεται ότι η f συνεχής στο α,β, α > 0 και f β f α παραγωγίσιμη στο (α, β) με α ότι υπάρχει ξ α,β ώστε ξfξ f ξ β. Να αποδείξετε Θ ROLLE προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t o κατά την οποία η εφαπτομένη στο M διέρχεται από την αρχή των αξόνων. R Γ) Η 7 α λ 0 έχει το πολύ τρείς (ανά δύο άνισες) πραγματικές ρίζες. 403 Να αποδείξετε ότι κάθε μια από τις παρακάτω εξισώσεις έχει μοναδική ρίζα στο R η Β) η 5 3 α 0 3 α β γ δ 0 με 404 Aν β αγ, α 0 f 4, να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης 405 Να λύσετε τις εξισώσεις: f 0. ln Β) 5 5 40 Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο α,β και παραγωγίσιμη στο (α, β). Να αποδείξετε ότι υπάρχει f β fα ξ α, β ώστε 3ξ 3 3 fξ β α 40 Να αποδείξετε ότι η κάθε μια από τις παρακά τω εξισώσεις έχει το πλήθος των ριζών που περιγράφεται A) Η διαφορετικές ρίζες στο R B) Η 8 7 6 δεν έχει περισσότερες από δύο α β γ έχει μέχρι τρείς ρίζες στο 406 Αν για κάθε R ισχύει f () 0 και g () 0 να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν το πολύ ένα κοινό σημείο. Β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() και 3 g() έχουν ένα μόνο κοινό σημείο που βρίσκεται στον άξονα y y. 407 Να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο ριζών της εξίσωσης ημ υπάρχει ρίζα της εξίσωσης συν Μ. ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗΣ

4 ο Γενικό Λύκειο Χανίων Γ Λυκείου Θετική Τεχνολογική κατεύθυνση Σχ. Έτος 008 009 408 Αν f συνεχής στο,5 με f και f, (,5) να δείξετε ότι 0 f(5) 6 409 ** Δίνεται η συνάρτηση f log. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ,0 9log, ώστε ξ. log 40 Η συνάρτηση f έχει δεύτερη παράγωγο στο R και υπάρχει α R ώστε f0 3α, f 5α και f 7α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ R ώστε f ξ 0 4 Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία της C f,να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ R με f ξ 0. 4 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο,4 ΘΜΤ 5 και για κάθε R ισχύει f4 4f και f 00 να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ,ξ,4 ώστε f ξ f ξ f ξ 3 3 43 Nα αποδείξετε τις ανισότητες: Β) Γ) Δ) για κάθε 0. π ln π π ln( ) αν >0 αν, ( ) 44 Η απόσταση δύο πόλεων που συνδέονται με ευθεία σιδηροδρομική γραμμή είναι 5 km. Μια αμαξοστοιχία διανύει τη μεταξύ τους απόσταση σε 0,6 ώρες. Να αποδειχτεί ότι για κάποια χρονική στιγμή η αμαξοστοιχία έχει ταχύτητα 85 km /h. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 45 Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Αν f f f3 f να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο,, παραγωγίσιμη στο, 4 Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύουν ότι και υπάρχει,3 τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της f στο o o να είναι παράλληλη στον. f f. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση f έχει μια τουλάχιστον λύση στο,. 46 Η συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο R. Αν οι αριθμοί f, f 4, f 6 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον,6 f 0. o ώστε 47 Μια ευθεία (ε): y λ μ τέμνει την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f : R R σε τρία διαφορετικά σημεία. Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 o R, ώστε f ( 0) 0. 48 Έστω f : R R τρεις φορές παραγωγίσιμη. Υποθέτουμε ότι f f 0 f0 f0 0. Nα αποδείξετε ότι υπάρχει 0, ώστε f 0. 49 Έστω f μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R με f() 0 για κάθε R και f(000) f(999). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο 999, 000. 40 Έστω f παραγωγίσιμη στο R της οποίας η παράγωγος είναι γνησίως φθίνουσα στο R. Να αποδείξετε ότι: f999 f00 f 000 f 00. 4 Δίνονται οι α,β, γ R. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση ασυν βσυν γσυν3 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 0,π. 43 Έστω συνάρτηση f, δυο φορές παραγωγίσιμη στο α,β με fα fβ 0. Να αποδειχτεί ότι υπάρχει o α,β ώστε f f f. ο ο ο 44 Αν για τη συνάρτηση f στο διάστημα α,β ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Roll, τότε να αποδείξετε ότι: υπάρχουν αριθμοί ξ,ξ α,β ξ ξ και fξ fξ 0. Β) υπάρχουν κ,κ 3f (κ )+ f (κ ) = 0 με (α,β) με κ κ ώστε Γ) ότι η εξίσωση f () = f() -f(a) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα α,β. 45 Έστω η συνάρτηση f : α,β α,β, παραγωγίσιμη στο α,β με fα β α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f μια τουλάχιστον ρίζα στο α,β. R, συνεχής στο, fβ έχει α 5

Ασκήσεις για λύση β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ α,β f ξ f ξ 4. τέτοια ώστε 46 Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(lnα) f(lnβ). Αν ισχύει lnα ln γ lnβ, με α,β,γ 0 και δειχτεί ότι υπάρχουν ξ,ξ γ β, να α γ R με f (ξ ) f (ξ ) 0 47 Έστω η συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο R με f( ), f(). Να αποδειχτεί ότι υπάρχουν ξ ξ f' ξ f ' ξ. ώστε Β) κ κ ώστε. f'(κ ) f'(κ ) 48 Η συνεχής συνάρτηση f : α, β, είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο αποδείξετε ότι: α,β, με αν υπάρχει α,β με πάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε ο f ξ 0, Β) αν υπάρχει α,β με πάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε ο f ξ 0. f α f β 0. Να f 0, τότε υ- o f 0, τότε υ- 49 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0,α και ισχύει f( ) = f(), [0,α]. Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ 0,α ώστε f(α) f (ξ ) + f (ξ ) =. Δίνεται ότι α >, f(0) = 0 α - o f ξ 0. 430 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,β, με fβ 0 και fα fα 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α,β, ώστε 43 Έστω α,β,γ,δ R με 3β * 6 4 f() α β γ δ, 5α. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τρία διαφορετικά συνευθειακά σημεία που να ανήκουν στη γραφική παράσταση της. ημ 43 Αν f() ημ, 0,π τότε: Να αποδειχτεί ότι υπάρχει ξ ημ, ώστε να ισχύει ξ f() ln. ημ Β) Να βρεθεί το lim. 0 ημ τέτοιο 433 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με f 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ R,ώστε η ε- φαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ ξ,f(ξ), να τέμνει τον άξονα 434 Η συνάρτηση f :,4 στο Pξ,0 R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν f και f4 8. Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της από την αρχή των αξόνων. C f που διέρχεται 435 Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύουν οι προυποθέσεις του θ Roll στο διάστημα, 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 3,, με 3 0 ώστε f f f 0 3 Β) 3 ξ, ξ, ξ με ξ ξ ξ3 0 ώστε f ξ 3f ξ 4f ξ 0 3 ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 436 Έστω οι παραγωγίσιμες στο R συναρτήσεις Γ) Να βρεθεί ο τύπος της f. τέτοιες ώστε για κάθε R να ισχύουν οι σχέσεις: f' f ln g g' g ln f 438 Θεωρούμε συνάρτηση f : R R για την ο- και Nα αποδειχτεί ότι είναι σταθερή η συνάρτηση G ln f ημ lng συν, R. Β) Αν f0, g0 να βρεθούν οι f, g 437 Δίνεται συνάρτηση f : R R, ώστε: f f f f, για κάθε R και f0 f0 f0. Να αποδείξετε ότι : Η g f f f f, για κάθε R είναι σταθερή και να βρεθεί η τιμή της. Β) Η h f, R, είναι σταθερή. ποία ισχύει ότι: f f y συν y για κάθε,y R. Να αποδειχτεί ότι η f είναι σταθερή 439 Να βρείτε συνάρτηση f σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: Aν f () ημ συν R, π f f(0) Β) Αν f 7, R και f. Γ) Αν f, R * και f f. Δ) Αν f 4 6, R, f0 f 0 Μ. ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗΣ

4 ο Γενικό Λύκειο Χανίων Γ Λυκείου Θετική Τεχνολογική κατεύθυνση Σχ. Έτος 008 009 440 Να αποδειχτεί ότι: αν f () f() για κάθε R και f(0) f (0) τότε f() για κάθε, Β) αν δ () δ() 5 για κάθε R, δ(0) και δ (0) 4, τότε δ() 5. 44 Αν η f : 0,π R είναι δύο φορές παραγωγί- π σιμη με f 0 να αποδείξετε ότι f και f f για κάθε 0,π, αημ, α R. 44 Nα βρεθεί, αν υπάρχει, συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο R * και για κάθε R * ισχύει f() f (), f() και f( ). 443 Έστω η συνάρτηση f : R R με f0, ώστε να ισχύει f() f () 0, R Να αποδείξετε ότι f(). Β) Να αποδείξετε ότι η h f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R και να βρείτε τον τύπο της f. 444 Δίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: f 5 για κάθε R. Αν f3 7, να βρεθεί ο τύπος της f. 446 Να βρείτε την f, αν για κάθε R ισχύει π f () f() ημ 4 και f(0). 447 Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με f0 f0, για την οποία ισχύει: f y f y f για κάθε,y R. 448 Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R. Να δείξετε ότι ισχύει f f, R αν και μό- νο αν υπάρχει c R ώστε f c 449 Να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης που διέρχεται από το M(0, 3) και σε κάθε σημείο της με τετμημένη o έχει εφαπτομένη με λ 4 4 ο εφ 0 450 Δίνεται η συνάρτηση f :[0,] 0, με f(0) 0, που είναι παραγωγίσιμη και δεν είναι η σταθερή συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι: Υπάρχει ξ 0, ώστε ( ξ) f (ξ) f(ξ). Β) Υπάρχουν α,β με 0 α β, ώστε R(z z ) 0 με z β i, z f (α) i f (β) 445 Να βρεθεί συνάρτηση f : 0, 0, για κάθε παραγωγίσιμη, αν ισχύει ότι f () f() lnf() 0 και f () 0 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ 45 Nα μελετήσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων Β) f ln Β) f ln Γ) f συν, [0, π) ln 0 454 Να λύσετε τις εξισώσεις Β) ln( ) 0. 0 0 Δ) f ln 0 45 Εστω f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο 0,3 f() με f () 0 και f(), f(). Αν g(), f () 0 3, να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και το σύνολο τιμών της g 453 Να βρείτε το πλήθος των ριζών των εξισώσεων ln( ) 6 0 455 Έστω f :(0, + ) R, παραγωγίσιμη συνάρτη- f() ση για την οποία ισχύει f () - ln, f() Να βρεθεί ο τύπος της f. Β) Να αποδείξετε ότι η f είναι γν αύξουσα 456 Να αποδείξετε τις ανισότητες: A) B) Γ) ln ln(ημ) π π ημ για κάθε 0,π 7

Ασκήσεις για λύση ln( ) 457 Έστω η συνάρτηση f, ln να μελετήσετε τη μονοτονία της f Β) να αποδείξετε ότι: α) ln ln π π β) ln ln π. γ) ln ln ln, 458 Έστω μια συνάρτηση f : 0, R με f 0 για κάθε 0 ισχύει:, η οποία είναι παραγωγίσιμη και f ln f() ln 3 για κάθε 0. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 459 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με f 0 για κάθε R. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f f α, α R. 460 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με f 0 για κάθε R για την οποία ισχύει ότι: 3 f 3 f ln f(), R Να αποδειχτεί ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο R Β) Να λύσετε την εξίσωση f ln f 46 Έστω συνάρτηση f : R R για την οποία ι- σχύει ότι f f για κάθε R. Αν ισχύει ότι f 0, R, να λύσετε την εξίσωση f 0 ln 46 Δίνεται η συνάρτηση f() = - Να εξεταστεί ως προς την μονοτονία η f. Β) Να αποδείξετε ότι αν α,β (, + ) και β α βα = αβ τότε α β. 463 Αν g συν g για κάθε R ημ αποδείξετε ότι g() για κάθε 0., να 464 Oι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο R με f(0) g(0) και για κάθε R να ισχύουν f ()g() f()g () και g() 0. Να αποδείξετε ότι: f() η h() είναι γνήσια αύξουσα στο R.. g() Β) f() g() για κάθε [0, ) και f() g() για κάθε (,0]. 465 Έστω μια συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει ότι f f και f0. Να αποδείξετε ότι f για κάθε 0. 466 Αν η συνάρτηση f : R R είναι παραγωγίσιμη με f0 0 και f f 0 για κάθε R, να αποδείξετε f 0 για κάθε 0. 467 Αν η συνάρτηση f : R R είναι παραγωγίσιμη με f0 0 και η f είναι γνησίως φθίνουσα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() g, 0, είναι γνησί- ως φθίνουσα. 468 Aν f 004 τότε: Αα) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f β) Να βρείτε τα όρια lim f, lim f Βα) Να αποδείξετε ότι έχει ακριβώς μια λύση στο R η εξίσωση f 0 β) Να λύσετε στο 0,π την ανίσωση: συν 4συν 469 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο f (), και για κάθε ισχύει f() ln να δείξετε ότι Η g() f()ln είναι σταθερή στο, Β) Αν f() 3 τότε η f είναι γν. φθίνουσα. Γ) Αν f() τότε η f είναι γν. αύξουσα. 470 Να αποδείξετε ότι ln + > - - 5 για κάθε [0, + ) Β) Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο 5 3 [0,+ ) ώστε f() +f() +3f() = 3 4 = +ln(+) - - + +004.. Να μελετηθεί η f ως 5 6 προς την μονοτονία της. 47 Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f, που είναι συνεχής στο 0,, παραγωγίσιμη στο 0, και ισχύει ότι f f f 0 για κάθε 0, Μ. ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗΣ

4 ο Γενικό Λύκειο Χανίων Γ Λυκείου Θετική Τεχνολογική κατεύθυνση Σχ. Έτος 008 009 47 Να μελετήσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα: συν f ln Β) f, 0 π n Γ) f Δ) f, Ε) f 4 Στ) f ln(-), 473 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f α β με α,β 0 έχει τρία τοπικά ελάχιστα και δύο τοπικά μέγιστα. ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 48 Να βρείτε τις τιμές του λ R αν η συνάρτηση 3 f λ λ 5 δεν έχει ακρότατα. 48 Αν α,β 0 και ισχύει 0, να αποδείξετε ότι α β. ln α β για κάθε 483 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύουν: f0 και f 0, για κάθε R. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο A(0, ). 474 Να βρεθεί για ποιες τιμές του α R, η συνάρ- 3 τηση f με f α 0 είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το R. 475 Να βρεθεί ο κ R ώστε η μέγιστη τιμή της κ συνάρτησης f να είναι το. 476 Να βρεθούν οι τιμές των α,β R σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: 3 Η συνάρτηση f α β 9 να παρουσιάζει τοπικά ακρότατα για και 3 β Β) Η συνάρτηση f α ln α να έχει στη θέση ο τοπικό ακρότατο με τιμή ln. 477 A) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα την συνάρτηση f(),ν N * v B) Να αποδείξετε ότι v v, (o, ) 478 Δίνεται η συνάρτηση f. Να αποδείξετε ότι η C f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη σε ένα μόνο σημείο της. Β) Να λύσετε την εξίσωση. Γ) Να αποδείξετε ότι, R 479 Δίνεται η συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη στο R. Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει τοπικά ακρότατα αν ισχύει κάποια από τις επόμενες σχέσεις: (f()) f(), R. Β) f α, R, α 480 Έστω η συνάρτηση f ln. Να βρείτε το σημείο της C f στο οποίο η f έχει τη μικρότερη κλίση. 484 Έστω η συνάρτηση f : 0, R, η οποία είναι παραγωγίσιμη τρεις φορές με f 0 για κάθε 0,. Αν υπάρχουν, 0, με τέτοια, ώστε f f 0 να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 0, με f ξ 0. 485 Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [α,β]. Αν υπάρχουν, (α,β) τέτοιοι ώστε f(α),f(β) f( ), f( ), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (ξ,ξ ) ώστε f (ξ) 0. 3 486 Δίνεται η συνάρτηση f α β γ α,β, γ R και έστω ότι η εξίσωσης f 0 έχει τρείς πραγματικές ρίζες, τις ρ ρ ρ3. Να αποδείξετε ότι: Υπάρχουν: ξ ρ,ρ και ξ ρ,ρ ώστε 3 η f να παρουσιάζει στο ξ τοπικό μέγιστο και στο ξ τοπικό ελάχιστο. Β) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο ώστε η συνάρτηση y f, να έχει στο ξ τοπικό ελάχιστο 487 Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,α με την f να είναι περιττή. Αν η f στο 0 α,α παρουσιάζει ακρότατο, να δείξετε ότι υπάρ- αfα χουν ξ,ξ α,α ώστε fξ fξ α 488 Έστω g,f παραγωγίσιμες συναρτήσεις για κάθε R. Αν ισχύει f() + g και f(3) - g(3) = 9, να δείξετε ότι ισχύει f (3) - g (3) = 6. 489 Αν για κάθε 0 ισχύει α ln α, να βρεί- τε το α. 490 Έστω οι συναρτήσεις f,g : R R οι οποίες o 9

Ασκήσεις για λύση είναι παραγωγίσιμες και ισχύουν: f και f g() για κάθε R. Αν η C f διέρχεται από το σημείο A0,, να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των C f και C g στο o 0, τέμνονται κάθετα. α 49 Δίνεται η συνάρτηση f α, >0, λ>0 για την οποία γνωρίζουμε ότι f 0 για κάθε 0 Α. Να δείξετε ότι η f έχει ελάχιστη τιμή για α Β. Να δείξετε ότι α. Γ. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,.. N 49 Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R R που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με f f για κάθε R. Αν η f παρουσιάζει για o 0 τοπικό ακρότατο το f0 0 να αποδείξετε ότι: Αν 0 τότε f f Β) Αν 0 τότε f f 493 Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f() ln λ, λ R Β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων ( 0,f( 0 )), όπου o η θέση του τοπικού ακροτάτου όταν το λ διατρέχει το R 494 Έστω η συνάρτηση f λ, λ R Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης. Β) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του λ για την οποία ισχύει f 0 για κάθε R. Γ) Αν λ να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g λ είναι γνησίως φθίνουσα. λ λ- 495 Αν f(), λ 0, 0 τότε: Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει μέγιστο. Β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το μέγιστο της f γίνεται ελάχιστο. 496 Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης 8 α 0 όταν το αr 497 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 α 4 α 0 έχει τρεις πραγματικές ρίζες για κάθε αr 498 Μία συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο R. Αν υπάρχει α R ώστε f(α) f (α) f (α) 0 και f () 0 για κάθε, τότε: να βρείτε την μονοτονία των f, f και f. Β) να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις f () 0, f () 0 και f() 0 έχουν μοναδική ρίζα. 499 Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο [α,β] και ισχύει ότι αβ > 0, f() και f (), β α αβ [α,β], να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0 (α,β) τέτοιο ώστε αβf( 0 ) = 0. 3 500 Έστω η f 3 5α A) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. B) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f 0 όταν το α διατρέχει το R 50 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 f κ λ, με κ, λ R 3. Να αποδείξετε ότι 50 Δίνεται ο μιγαδικός y 0 y A Β z i με 0. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης: z 3 503 Έστω η συνάρτηση f z i, 0,. z, 0, όπου Να βρείτε το μιγαδικό του οποίου το μέτρο γίνεται μέγιστο. Β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται, και να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f και η ευθεία y, τέμνοται σε ένα ακριβώς σημείο. 504 Αν, 0,4 4 f f 0 αποδείξετε ότι f 0 για κάθε 0,4. 505 Να αποδείξετε ότι: να ισχύει 0 για κάθε R Β) η συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R f ln είναι Μ. ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗΣ

4 ο Γενικό Λύκειο Χανίων Γ Λυκείου Θετική Τεχνολογική κατεύθυνση Σχ. Έτος 008 009 ΚΥΡΤΕΣ-ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ 506 Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες καθώς και τα f() 54 Έστω η συνάρτηση f : R R με την ιδιότητα ( )f () 0 για κάθε R. Να αποδειχθεί σημεία καμπής των γραφικών τους παραστάσεων. ότι η C f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής. 8 5 3 h() Β) g() 3 5 55 Η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο Γ). g() (ln ) Δ) f() και f () ημ 0 για κάθε R. Να δείξετε ότι το 507 Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ln ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Β) Nα αποδείξετε ότι συνάρτηση g ln ln 3 είναι κυρτή στο 0, Γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της C g στο. 508 Αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση 5 4 3 f 5α 0β, R, α,β R έχει τρία σημεία καμπής, να αποδείξετε ότι α β. 509 Δίνεται η συνάρτηση f : 0, R για την οποία ισχύουν f 0. Nα αποδείξετε ότι: και f για κάθε f() Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. Β) Η f είναι κυρτή στο 0,. A(0, f(0)) δεν μπορεί να είναι σημείο καμπής της 56 Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f στο R, f 0, R, f 0 και η συνάρτηση g f f, R. Cf Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της g. Β) Να βρείτε τα διαστήματα που η g είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής της Cg 57 Έστω μια συνάρτηση f :[0, ) R η οποία είναι κυρτή με f(0) 0. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() g() είναι γνήσια αύξουσα στο (0, ). λ 58 Αν f(), λ 0. Να βρείτε τον λ γεωμετρικό τόπο των σημείων καμπής της γραφικής παράστασης της f, για κάθε λ (0, ) 50 Δίνεται ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f α βln β με α,β R, έχει σημείο καμπής το A,3 Να αποδείξετε ότι α 4 και β : Β) Να βρείτε τα διαστήματα που η C f είναι κυρτή ή κοίλη. Γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο καμπής της. Δ) Να αποδείξετε ότι 4 ln 3,. 5 Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f () 0 για κάθε R και g συνάρτηση ώστε να ισχύει g() f () 8f() για κάθε R. Αν η C f έχει σημείο καμπής το A(, f()) να αποδείξετε ότι g () 8. 5 Nα αποδείξετε ότι η C f της συνάρτησης: 4 3 f 4α 3 α 4α 5 α α R δεν έχει σημεία καμπής. 53 Η συνάρτηση f είναι κυρτή και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Να αποδείξετε ότι: αν υπάρχει α R ώστε f(α) f (α), τότε εξίσωση f() είναι αδύνατη στο διάστημα (α,β), για κάθε β α 59 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή σε διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε, f f Δ ισχύει f αβ (Jnsn) α β B) Να αποδείξετε ότι: α βr, 50 Έστω η συνάρτηση f lnln(). Nα αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη στο Af α β Β) Να αποδείξετε ότι ln ln α.lnβ, α,βα f 5 Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R που η γραφική της παράσταση στρέφει τα κοίλα άνω και περνά από την αρχή των αξόνων. Να απο- 3 δειχτεί ότι για κάθε R ισχύει ότι: 3f 4f 4 5 Η συνάρτηση f : 0, R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει ότι f 4f 0 για κάθε 0,. Να αποδείξετε ότι η C f δεν έχει σημεία καμπής. 3

.ΓΤΧ ΣΧΟΛΙΚΟ 53 Να βρεθούν τα παρακάτω όρια Γ) Ε) lim ( ln ) Β) lim ln lim ημ συν lim 0 ημ 0 Δ) lim ln Στ) 54 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 3 lim ημ συν Ασκήσεις για λύση ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HOSPITAL lim 4 3 Β) lim εφ Γ) 3 lim ημ Δ) lim 0 ημ 56 Nα αποδείξετε ότι είναι συνεχής η συνάρτηση ln, 0 f και ότι -, = f 0,5. 57 Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει συνf ln για κάθε. Να βρείτε το f0. Γ) Ε) lim lim(συν) ημ Δ) lim 0 Στ) lim 55 ****Nα υπολογιστούν τα όρια: lim 0 εφ ημ Β) lim 0 ημ 58 Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : R R για ημ την οποία ισχύει f f ημ για κάθε R. Να βρείτε το f0. 59 Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει ότι R ότι η f -ln +,, να δειχθεί C f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο o 0 530 Nα βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων. h() Β) 3 ln f() Γ) f ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ 533 Έστω η συνάρτηση f : R R και η συνάρτηση g με g f. Αν η ευθεία y εφάπτεται της. C f στο o 0, να βρείτε την ασύμπτωτη της C g στο 53 Να βρείτε τα α,β,γ R ώστε η γραφική πα- (α ) β 5 ράσταση της f με f() να έχει ως α- 3 γ σύμπτωτες τις ευθείες και y 3. 53 Nα αποδείξετε ότι η ευθεία y ln είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ln ln 534 Έστω οι συναρτήσεις f,g : 0, R με g f ln ln για κάθε 0. Αν η ευθεία y 3 είναι ασύμπτωτη της Cf στο, να βρείτε την ασύμπτωτη της C g στο. 535 Έστω συνάρτηση f : 0, R για την οποία ισχύει f() για κάθε 0 άξονας είναι ασύμπτωτη της C f.. Να αποδείξετε ότι ο 536 Να μελετήσετε τις συναρτήσεις 3 f() Β) f() ημ, [ π,π] ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γ) ln f() Δ) f.γτχ ΣΧΟΛΙΚΟ 537 Αν Μ το σημείο του διαγράμματος της f με f ln λ 3 που αντιστοιχεί στο τοπικό της ελάχιστο, να βρεθεί η απόσταση OM όταν ο ρυθμός μεταβολής του OM ως προς λ γίνει μηδέν. 538 Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ο Α 90, για το οποίο ισχύουν τα εξής. Η κορυφή Γ έχει συντεταγμένες 4,0, η κορυφή A είναι στο διάστημα [0,4] του άξονα ' και η κορυφή B είναι σημείο της παραβολής y 4. Για ποια τιμή των συντεταγμένων του B το εμβαδό του τριγώνου ABΓ γίνεται μέγιστο; 3

4 ο Γενικό Λύκειο Χανίων Γ Λυκείου Θετική Τεχνολογική κατεύθυνση Σχ. Έτος 008 009 ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΔΙΑΣΤΚΕΣ ΜΕ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ 539 Μια συνεχής συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το,, δε μηδενίζεται πουθενά και f0.αν μια αρ- χική της f είναι η f τότε: να βρείτε τον τύπο της f, Β) να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα, Γ) να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. 540 Έστω συνάρτηση f, συνεχής στο [α,β], (α>0), παραγωγίσιμη στο (α,β). Αν για τους μιγαδικούς z α if(α) f( 0 ) και w β if(β) ισχύει η σχέση z iw z iw, να αποδειχτεί ότι υπάρχει (τ.ε) 0 (α,β), ώστε f ( 0 ) 54 Αν για τους μιγαδικούς z,z ισχύει η σχέση: z z z z, να δείξετε ότι 0 Im z z 0 Β) Έστω η συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο α,β. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς και z fβ if α, για τους οποίους ισχύει η ισότητα z f α if β πάρχουν ξ ξ α,β τέτοιοι ώστε να ισχύει f ξ f ξ 0 του ερωτήματος (. Να αποδείξετε ότι υ- 54 Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f :(,+ ) R Να βρεθεί ο τύπος της f. f(), ισχύει ότι f () 0. Αν f τότε ln Β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z αν ισχύει ότι z z - z z lim f () - 543 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g παραγωγίσιμες στο 0, για τις οποίες ισχύει: f() g() α για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό. Ο αριθμός α είναι ένας αρνητικός πραγματικός και ο β ο θετικός πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: lim g() β. Α. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y α α β είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο. Β. Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z α βi, α,β R βρίσκεται στην ασύμπτωτη ευθεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f όταν και το μέτρο του είναι z και w = 003 00 στη μορφή +ψi. να γράψετε τους μιγαδικούς αριθμούς w z Γ. Να αποδείξετε ότι: f() g() α για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό. 544 Έστω οι μιγαδικοί w yi και z w(3 4i) w(3 4i) όπου,y R. A) Nα αποδείξετε ότι ο z είναι πραγματικός αριθμός B) Να βρεθεί ο μιγαδικός w αν ισχύει ότι Γ) Έστω z 50 w z 5. α) Να βρείτε το σύνολο των σημείων Mw που είναι εικόνες των μιγαδικών w. β) Nα βρεθεί ο μιγαδικός w με το μικρότερο μέτρο. 545 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g, συνεχείς το α,β και οι μιγαδικοί w f α igβ, z g α ifβ Rz w 0 Β) υπάρχει ξ α,β ώστε α,β, παραγωγίσιμες στο α,β με gg 0 για κάθε ώστε να ισχύει ότι w z w z. Να αποδείξετε ότι f ξ g ξ f ξ g ξ 0 33