CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe oarecare...2 5.2. Sisteme de forţe coplanare...3 Test de autoevaluare 1...4 5.3. Sisteme de forţe paralele...5 Test de autoevaluare 2...6 5.4. Centrul forţelor paralele...6 Test de autoevaluare 3...8 Bibliografie modul..8 Rezumat modul...9 Rezolvarea testelor de autoevaluare 9 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare) Introducere modul În acest modul se va enunţa şi demonstra teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe oarecare şi se vor aborda alte două sisteme particulare de forţe: sistemul de forţe coplanare şi sistemul de forţe paralele. Aceste două sisteme de forţe vor fi definite şi pentru fiecare se vor arăta cazurile de reducere posibile. Pentru sistemele de forţe paralele vectori legaţi se va introduce noţiunea de,,centrul forţelor paralele. Mecanica I 1
Obiective modul După parcurgerea acestui modul cursantul va şti: - să enunţe şi să demonstreze teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe oarecare; - să definească sistemele de forţe coplanare şi paralele; - cazurile de reducere posibile pentru sistemele de forţe coplanare şi paralele; - să definească şi să determine poziţia centrului forţelor paralele. 2 ore Acest interval de timp presupune asimilarea noţiunilor prezentate în acest modul şi realizarea testelor de autoevaluare. Durata medie de studiu individual 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe oarecare Pentru sisteme de forţe oarecare, teorema lui Varignon are următorul enunţ: Enunţ: Pentru un sistem de forţe care admite ca sistem echivalent cel mai simplu o rezultantă unică, momentul rezultant al sistemului de forţe în raport cu un punct oarecare este egal cu momentul rezultantei sistemului de forţe în raport cu acel punct. Fie un sistem de forţe ce se reduce la o rezultantă unică ce trece prin punctul A. Momentul rezultant al sistemului de forţe în raport cu punctul A se poate exprima în funcţie de momentul rezultant al sistemului de forţe în raport cu alt punct oarecare O: Demostraţie Cum prin punctul A trece dreapta suport a rezultantei unice, momentul rezultant al sistemului de forţe în raport cu punctul A este zero. Rezultă: Mecanica I 2
5.2. Sisteme de forţe coplanare Sistemul de forţe coplanare este sistemul format din forţe ce se află în acelaşi plan. Fie un sistem de forţe acţionând în planul xoy al unui sistem de referinţă (figura 5.1). y Expresiile forţei şi ale vectorului de poziţie al punctului de aplicaţie al forţei, notat cu sunt: Momentul forţei în raport cu originea O Fig. 5.1. Sistem de forţe coplanare x sistemului poate fi determinat astfel: Torsorul sistemului de forţe în raport cu punctul O va fi: Se observă că vectorii rezultantă şi moment rezultant sunt întotdeauna perpendiculari (, adică sistemul de forţe coplanare nu se poate reduce la o dinamă, de unde şi caracterul de sistem de forţe particular. Cazurile de reducere posibile pentru un sistem de forţe coplanare sunt: 1). Sistemul de forţe este în echilibru iar efectul mecanic produs de acesta este nul. Condiţiile scalare de echilibru sunt: 2). Sistemul de forţe se reduce la un cuplu. Mecanica I 3
3). Sistemul de forţe se reduce la o rezultantă unică ce trece prin punctul O. În această situaţie s-a determinat în mod direct sistemul schivalent cel mai simplu. 4). Sistemul de forţe se reduce la o rezultantă unică ce nu trece prin punctul O. În acest caz trebuie determinată poziţia dreptei suport a rezultantei unice în raport cu punctul O. Prin aplicarea ecuaţiilor axei centrale rezultă ecuaţia acestei drepte suport: Observaţie. În cazul în care se studiază o problemă plană în care apar vectori perpendiculari pe planul considerat, reprezentarea acestor vectori se va face prin A A evidenţierea sensului acelui vector şi prin indicarea mărimii lui. În figura 5.2 se reprezintă momentul Vectorul,,iese din Vectorul,,intră în planul reprezentării planul reprezentării Fig. 5.2 rezultant al unui sistem de forţe coplanare în raport cu un punct oarecare A. Pentru determinarea sensului acestui vector, se va roti burghiul drept în sensul indicat în reprezentare. 1. Enunţaţi teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe oarecare. Test de autoevaluare 1 2. Enunţul,,sistemul de forţe coplanare este format din forţe aflate în acelaşi plan este: a) adevărat; b) fals. 3. Un sistem de forţe paralele nu se poate reduce la: a) rezultantă unică ce trece prin punctul O; b) dinamă; c) cuplu. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. Mecanica I 4
5.3. Sisteme de forţe paralele Sistemul de forţe paralele este sistemul format din forţe care au dreptele suport paralele. z Fie sistemul de forţe a unui sistem de referinţă cartezian., forţe paralele cu axa Oz Expresiile forţei şi ale vectorului de poziţie al punctului de aplicaţie al forţei sunt:, notat cu O y x Fig. 5.3. Sistem de forţe paralele Momentul forţei sistemului poate fi determinat astfel: în raport cu originea Torsorul sistemului de forţe în raport cu punctul O va fi: Se observă că vectorii rezultantă şi moment rezultant sunt întotdeauna perpendiculari (, adică sistemul de forţe paralele nu se poate reduce la o dinamă, de unde şi caracterul de sistem de forţe particular. Cazurile de reducere posibile pentru un sistem de forţe paralele sunt: 1). Sistemul de forţe este în echilibru iar efectul mecanic produs de acesta este nul. Condiţiile scalare de echilibru sunt: 2). Sistemul de forţe se reduce la un cuplu. Deoarece un cuplu de forţe poate fi rotit în planul său fără ca efectul produs asupra corpului pe care acţionează să se modifice, Mecanica I 5
se poate înlocui sistemul de forţe paralele cu un alt sistem de forţe paralele având altă direcţie a forţelor. 3). Sistemul de forţe se reduce la o rezultantă unică ce trece prin punctul O. În această situaţie s-a determinat în mod direct sistemul schivalent cel mai simplu. 4). Sistemul de forţe se reduce la o rezultantă unică ce nu trece prin punctul O. În acest caz trebuie determinată poziţia dreptei suport a rezultantei unice în raport cu punctul O. Prin aplicarea ecuaţiilor axei centrale se determină coordonatele punctului în care dreapta suport a rezultantei unice intersectează planul xoy: 1. Definiţi sistemul de forţe paralele. 2. De ce este sistemul de forţe paralele un sistem particular de forţe? Test de autoevaluare 2 3. Enunţul,,un sistem de forţe paralele se poate reduce la o dinamă este: a) adevărat; b) fals. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. 5.4. Centrul forţelor paralele Un caz particular al sistemelor forţelor paralele este cel al sistemelor de forţe paralele vectori legaţi (punctele de aplicaţie ale forţelor au poziţii bine definite în spaţiu). Pentru un astfel de sistem se pot enunţa două proprietăţi [2]: 1) Dacă forţele sistemului sunt vectori legaţi atunci şi rezultanta sistemului (când există) este un vector legat iar punctul de aplicaţie al rezultantei se numeşte centrul forţelor paralele. 2) Dacă toate forţele din sistem se rotesc cu acelaşi unghi în jurul punctelor lor de aplicaţie, forţele fiind paralele în continuare, atunci şi rezultanta se roteşte cu acelaşi unghi în jurul centrului forţelor paralele. Mecanica I 6
Fie un sistem de forţe paralele vectori legaţi, având punctele de aplicaţie A i a căror poziţie α z α A 2 se pune în evidenţă prin vectorii de poziţie (figura 5.4) ce se reduce la o rezultantă unică. Se aplică teorema lui Varignon: α C A 1 A n α O A i x α Fig. 5.4. Centrul forţelor paralele y Exprimând momentele: Cum forţele se consideră paralele cu axa Oz a unui sistem de referinţă (figura 5.4): Cunoscând că produsul vectorial este distributiv în raport cu înmulţirea cu un scalar şi înlocuind mărimea rezultantei cu suma mărimilor forţelor din sistem, rezultă: Se obţine: Acest produs vectorial se anulează dacă unul dintre cei doi vectori este nul sau dacă cei doi vectori sunt coliniari. Cum al doilea vector este un versor (diferit întotdeauna de zero) iar coliniaritatea celor doi vectori poate fi evitată rotind forţele (şi implicit rezultanta) cu un unghi în jurul punctelor lor de aplicaţie rezultă că această expresie se anulează doar dacă primul vector este nul, adică dacă vectorul de poziţie al centrului forţelor paralele are expresia: sau: Mecanica I 7
Coordonatele centrului forţelor paralele sunt: Test de autoevaluare 3 1. Enunţul,, dacă toate forţele din sistem se rotesc cu acelaşi unghi în jurul punctelor lor de aplicaţie, forţele fiind paralele în continuare, atunci şi rezultanta se roteşte cu acelaşi unghi în jurul centrului forţelor paralele este: a) adevărat; b) fals. 2. Ce înţelegeţi prin centrul forţelor paralele? 3. Alegeţi expresia corectă: a) b) c) Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. [1]. Hangan, S., Slătineanu, I.,,,Mecanică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983, pag. 48-51; Bibliografie modul [2]. Szolga, V., Szolga, A. M.,,,Mecanica Teoretică. Note de curs şi îndrumător de seminar. Partea I, Editura Conspress, Bucureşti, 2003, pag. 51-61; [3]. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R.,,,Mecanica Teoretică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1963, pag. 139-144. Mecanica I 8
Rezumat modul În acest modul s-a enunţat şi demonstrat teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe oarecare şi s-au abordat două sisteme de forţe particulare: sistemele de forţe coplanare şi sistemele de forţe paralele. Pentru fiecare sistem de forţe abordat s-au prezentat cazurile de reducere posibile. S-a introdus noţiunea de centru al forţelor paralele şi s-au determinat coordonatele acestuia într-un sistem de referinţă cartezian. 1. Consultare aspecte teoretice pag. 2; 2. a; 3. b. Rezolvare test de autoevaluare 1 1. Consultare aspecte teoretice pag. 5; 2. Consultare aspecte teoretice pag. 5; 3. b. Rezolvare test de autoevaluare 2 1. a; 2. Consultare aspecte teoretice pag. 6; 3. a. Rezolvare test de autoevaluare 3 Mecanica I 9