PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre primele 008 umere aturale se pot scrie sub forma x] x] x] 4x] cu x R? Adrei Eckstei, Cocurs TMMATE, 008 4. a) Să se arate că ecuaţia (x] y] z]) x y z = 007 u are soluţii î mulţimea umerelor reale. b) Să se arate că ecuaţia (x] y] z]) x y z = 009 are o ifiitate de soluţii î mulţimea umerelor reale pozitive. c) Câte soluţii are ecuaţia (x]y]z])xy z = 008 î mulţimea umerelor reale pozitive? Adrei Eckstei 5. Rezolvaţi î N ecuaţia ] = 5. 7 Gheorghe Achim, Mizil 6. Rezolvaţi î R ecuaţia x] = x. 7. Să se rezolve ecuaţia = x. 4 Vasile Zamfir, Târgovişte Olimpiadă Caada 8. a) Demostraţi că, petru orice N, pri împărţirea cu rest a umărului la se obţie u cât par. ] b) Demostraţi că şirul (a ) dat de a =, N are o ifiitate de termei pari, o ifiitate de termei divizibili cu şi o ifiitate de termei divizibili cu 5. Olimpiada locală Bucureşti, 007 9. Demostraţi că petru orice x (0, ), există Z petru care {x}<. Olimpiada locală Iaşi, 008
Aplicaţie: U umăr real α are proprietatea că petru orice N, există m Z astfel îcât Demostraţi că α Z. α m <. Cocursul Grigore Moisil, 05 0. a) Arătaţi că există o ifiitate de umere raţioale x > 0 astfel îcât {x } {x} = 0, 99. b) Arătaţi că u există umere raţioale x > 0 astfel îcât {x } {x} =. Olimpiada Naţioală, 004. Fie a > 0 astfel îcât < a < şi {a } = {a }. Determiaţi valoarea lui a 44a. Cocurs AIME (SUA), 997 { }. Să se dea u exemplu de umăr real a care are proprietatea {a} =. a Olimpiada locală Bucureşti, 008 Există umere raţioale cu proprietatea de mai sus? ]. Să se găsească valorile umărului atural petru care este o putere a lui. G. Reé, Bucureşti, Olimpiada judeţeaă, 008 4. Demostraţi că pritre termeii şirului defiit pri a = ] ], N, există o ifiitate de umere pare şi o ifiitate de umere impare. Olimpiada Naţioală, 006 5. Arătaţi că petru orice x, y R şi orice N,, au loc iegalităţile ( ) x y] x] x] y] y] ( ) x y ]. Cocursul TMMATE, 005 6. Calculaţi suma următoare: ] ] 007 ] 007... 007 007. 007 Ioel Tudor, Călugărei, Giurgiu
7. Să se afle k Z dacă este adevărată propoziţia: x 0, ), kx] = kx x ]. Vasile Popa, Galaţi, Cocursul,,Grigore Moisil, 006 8. Arătaţi că x, y R, x y] x] y < x] y]. Valer Pop, Şaţ, Bistriţa-Năsăud 9. Rezolvaţi ecuaţia x] 4{x} = 005. V. Chiriac, Bacău 0. Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia x 5xx] = 0.. Rezolvaţi sistemul x y = (z] )({z} ) y z = (x] )({x} ) z x = (y] )({y} ). Traia Covaciu, Baia Mare Nicolae Pavelescu, Rm.-Vâlcea, Cocursul,,Mathematica-modus vivedi, 007. Fie x, y, z, ] şi α = x y z. Să se rezolve ecuaţia y z x = x. 6 z x y. Determiaţi α]. Ioaa şi Gheorghe Crăciu, Plopei 4. Dacă p este u umăr prim fixat, să se rezolve ecuaţia p{x} = x x]. Daiel Cojocaru, Slatia, lista scurtă, ONM 00 5. Rezolvaţi ecuaţia 00 x] {00x} = 00. Nistor Budescu, Dalboşeţ 6. Demostraţi ] că ] petru orice ] umăr ] real x are loc ] relaţia x x 4 x 5 x x =. 6 6 6 Olimpiada Naţioală, 00 ] ] 8 7 8 7. Arătaţi că = 0, N. Olimpiada locală Iaşi, 007
8. Să se rezolve ecuaţia x ] = x], ude x] reprezită partea îtreagă a lui x. Laureţiu Paaitopol, Bucureşti, Cocursul iterjudeţea,,mathematica - modus videdi, Rm.-Vâlcea, 008 9. Calculaţi 008! 005! 007! 006! ], ude! =.... Neculai Staciu, Berca, Buzău 0. Fie x, x,..., x 0, ), N,, cu x x... x =. Fie E(x, x,..., x )= x ]{x } x ]{x }... x ]{x } x ]{x }. a) Determiaţi max E(x, x,..., x ). b) Determiaţi x, x,..., x petru care este atisă valoarea maximă. Cocurs iterjudeţea,,petre Moroşa - Tridet, 007. Fie u umăr atural eul. Să se determie toate umerele reale x cu proprietatea {x} {x}. Dori Adrica, Cluj, Mihai Piticari, Câmpulug-Moldoveesc, Cocursul,,Grigore Moisil, Oradea, 007. Să se rezolve ecuaţia x x] x {x} = x x] {x} x. Da Popescu, Lugoj. Fie u umăr atural. Arătaţi că ] ] ] 0... =. OIM 968 4. Arătaţi că x]x] = ()x] petru orice N dacă şi umai dacă x Z. Adrei Eckstei 5. Fie şirul defiit pri a =, a = şi, petru, a a = 007 a ]. a Aflaţi 007 a 006. a 007 a 006 Cocurs AIME, 007 6. Să se arate că u există umere reale a, b, c avâd proprietatea xa]xb] = x c], x R. Io Nedelcu, GM 0/0 4
7. (clasa a X-a) Fie f : N N fucţia defiită pri f() = ], petru orice N. a) Calculaţi f(), f(9), f(00). b) Arătaţi că fucţia f este ijectivă dar u şi surjectivă. c) Determiaţi mulţimea A N astfel îcât fucţia g : N A, defiită pri g() = f(), să fie bijectivă. Olimpiadă Germaia, 00 ] ] 8. Fie a =... ] ], ude este u umăr atural eul. Demostraţi că a = a dacă şi umai dacă este umăr prim. 9. Arătaţi că, petru orice umăr atural eul, suma ] ]... ] ] este pară. 40. Demostraţi că 4. Arătaţi că N. 4. Să se arate că ] (k ) = k k= Olimpiadă Rep. Moldova, 997 ] petru orice N. k k= Olimpiadă Idia, 04 Cocursul KöMaL, pb B. 4666., oiembrie 04 ] ] = şi ] ] = 4, 4 ] =, N. Ramauja 4. Dacă m, N sut prime ître ele, atuci (idetitatea lui Gauss). ] im i= Gheorghe Eckstei = (m )( ). 44. Fie a u umăr real. Demostraţi că dacă ecuaţia x] {x} = a are două soluţii reale disticte atuci difereţa acestora este 5. Cocursul,,Traia Lalescu, Reşiţa, 0 5
x] x] 45. Arătaţi că umărul real x verifică egalitatea x]x]...x] = petru orice N dacă şi umai dacă x este îtreg. (Olimpiada judeţeaă 00) 46. Fie a şi b umere aturale eule. Câte umere aturale eule satisfac relaţia ] ] ] b b (a )b... = ab] ab ab ab ] ] ] a a (b )a...? ab] ab ab ab Cocursul KöMaL, Ugaria, oiembrie 0, pb. B. 4486. 47. Determiaţi umerele reale x cu proprietatea că {x} = {x } = {x }. Cocursul KöMaL, Ugaria, octombrie 0, pb. B. 485. 48. Rezolvaţi ecuaţia x x ] = x x ]. 6