5-6 Μαθηματικά Γ Λυκείου Προσανατολισμού Σημειώσεις μαθηματικών που απευθύνονται σε μαθητές της Γ Λυκείου. Χωρισμένες σε ενότητες για την καλύτερη κατανόηση της ύλης Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6
Πρόλογος Αγαπητέ αναγνώστη Σκοπός των σημειώσεων που ακολουθούν δεν είναι σε καμία περίπτωση να υποκαταστήσουν το σχολικό βιβλίο. Άλλωστε έχουν γραφεί με δεδομένο ότι έχει πρώτα μελετηθεί αυτό. Ο στόχος του επιμελητή αυτής της έκδοσης είναι να δώσει στους μαθητές τη δυνατότητα να επιλύσουν περισσότερες ασκήσεις για την περαιτέρω κατανόηση της ύλης, και να τους εντάξει στο ύφος των ασκήσεων που θα τους ζητηθούν στις απολυτήριες/πανελλαδικές εξετάσεις. Επίσης, είναι μια ευκαιρία ώστε να απαλλαγούν από σκόρπιες σημειώσεις και φυλλάδια που δίνονται από τον διδάσκοντα κατά την διάρκεια της χρονιάς και να είναι όλα αυτά συγκεντρωμένα σε ένα μέρος. Όσον αφορά το σχολείο, ήταν μια πρώτης τάξης ευκαιρία ώστε να μειώσει το κόστος των φωτοτυπιών στις δύσκολες εποχές που περνάμε. Η γραφειοκρατία όμως της ελληνικής διοίκησης (σχολική επιτροπή), παρά τις προσπάθειες της διεύθυνσης του ου Λυκείου, δεν το επέτρεψε. Για αυτό και τυπώνεται με προσωπικά έξοδα του επιμελητή της έκδοσης, Δούδη Δημήτρη. Σεπτέμβριος 5 Αλεξανδρούπολη Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 --
Ευχαριστίες - Αφιερώσεις Τέλος, είναι χρέος μου να τονίσω την εξαιρετική συνεργασία μεταξύ των μαθηματικών του ου Ενιαίου Λυκείου. Ειδικότερα, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Καπνιστή Θόδωρο που με τίμησε με την εμπιστοσύνη του. Η ανταλλαγή απόψεων, σχολίων και σημειώσεων με τον τελευταίο κατέστησε εφικτό το συγκεκριμένο αποτέλεσμα. Αφιερωμένο στην Αθηνά και την Αλεξάνδρα Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 --
Κεφάλαιο ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Πίνακας Περιεχομένων Ενότητα η.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ... σελ. 5 Ενότητα η.β) ΙΣΟΤΗΤΑ, ΠΡΑΞΕΙΣ, ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ σελ. Ενότητα η.α) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ. σελ. 8 Ενότητα 4 η.β) - - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ.. σελ. 4 Ενότητα 5 η. -.β Ερωτήσεις Σ-Λ στις Συναρτήσεις σελ. Ενότητα 6 η.4 ΟΡΙΟ ΣΤΟ (Έννοια, Πλευρικά, Όριο Ταυτοτικής Σταθερής συνάρτησης).5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ (Διάταξη, Πράξεις).. σελ. Ενότητα 7 η.5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ (Κριτήριο Παρεμβολής, Τριγωνομετρικά Όρια, Όριο Σύνθετης). σελ. 7 Ενότητα 8 η.6 Μη Πεπερασμένο Όριο στο... σελ. 4 Ενότητα 9 η.7 Όρια Συνάρτησης στο Άπειρο. σελ. 4 Ενότητα η.8α) Συνέχεια συνάρτησης σελ. 47 Ενότητα η.8β Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα & Βασικά Θεωρήματα σελ. 5 ΚΕΦ ο: Διαφορικός Λογισμός Ενότητα η. Η έννοια της παραγώγου.. σελ. 6 Ενότητα η. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. σελ. 66 Ενότητα 4 η. ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. σελ. 68 Ενότητα 5 η. -. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.. σελ. 76 Ενότητα 6 η.4 Ρυθμός Μεταβολής σελ. 79 Ενότητα 7 η. -.4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ σελ. 8 Ενότητα 8 η.5α) Θεώρημα Rolle... σελ. 87 Ενότητα 9 η.5β) Θεώρημα Μέσης Τιμής (Διαφορικού Λογισμού) σελ. 95 Ενότητα η.6 α) Συνέπειες Θεωρήματος Μέσης Τιμής (Διαφορικού Λογισμού) σελ. Ενότητα η.5 -.6 α) Ερωτήσεις Επανάληψης. σελ. 6 Ενότητα η.6 β) Μονοτονία Συνάρτησης.. σελ. 8 Ενότητα η.7 Τοπικά Ακρότατα Συνάρτησης Θεώρημα Fermat σελ. 4 Ενότητα 4 η.8 Κυρτότητα - Σημεία Καμπής Συνάρτησης σελ. Ενότητα 5 η.9α) ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL.. σελ. 4 Ενότητα 6 η.9β) ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ.. σελ. 7 Ενότητα 7 η. Μελέτη και Χάραξη γραφικής παράστασης Συνάρτησης σελ. Ενότητα 8 η.7 -.9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ. σελ. 4 ΚΕΦ ο: Ολοκληρωτικός Λογισμός Ενότητα 9 η. Παράγουσα Συνάρτησης. σελ. 8 Ενότητα η.4 Ορισμένο Ολοκλήρωμα.5 Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού - Μέθοδοι Ολοκλήρωσης. σελ. 4 Ενότητα η.7 ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΧΩΡΙΩΝ... σελ. 56 Ενότητα η.-.7_ερωτήσεις Επανάληψης Ολοκληρωτικού Λογισμού... σελ. 6 Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 --
Βιβλιογραφία Πηγές [] Σχολικό βιβλίο ΟΕΔΒ, «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Κατεύθυνσης Γ Λυκείου» [] Ψηφιακά Εκπαιδευτικά Βοηθήματα [http://www.study4eams.gr/math_k/] [] Χαρ. Στεργίου, Χρ. Νάκης, Ιωάν. Στεργίου, «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Λυκείου, Γ, Γ, Εκδ. Σαββάλας» (6) [4] Μπάρλας Αναστάσιος, «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Λυκείου, Θετικής& Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Τεύχη Α Β, Ελληνοεκδοτική» () [5] Παπαδάκης Βασίλης, «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Λυκείου, Θετικής& Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ, Γ, Εκδ. Σαββάλας» () [6] Καπνιστής Θεόδωρος, Μαθηματικός ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης, προσωπικές σημειώσεις. [7] Χατζόπουλος Μάκης, [http://lisari.blogspot.gr] [8] Ελευθερίου Πρόδρομος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Λέσβου, «Η συνάρτηση ορισμένη από ολοκλήρωμα». [9] Κυριακόπουλος Αντώνης, «Συναρτήσεις που ορίζονται από Ολοκλήρωμα». [] Μαύρος Ιωάννης, προσωπικές σημειώσεις [http://blogs.sch.gr/imavros/]. [] Ελευθεριάδης Μάριος, «Ολοκληρώματα». Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -4-
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδι555 Ενότητα η ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Σημαντικές παρατηρήσεις. Αν ο τύπος της συνάρτησης συνοδεύεται με το πεδίο ορισμού της, τότε δεν αναζητούμε το πεδίο ορισμού της.. Tο πεδίο ορισμού το βρίσκουμε με τον αρχικό τύπο και όχι από τον τύπο που προκύπτει μετά από τυχόν απλοποιήσεις.. Αν το πεδίο ορισμού Α δεν δίνεται, τότε δεχόμαστε ως τέτοιο το A { / () }. 4. Μελετούμε συναρτήσεις όπου το πεδίο ορισμού Α είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων. ***** 5. Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι το σύνολο (A) {y / υπάρχει με y ()}. ***** 6. Για την συνάρτηση χρησιμοποιούμε τις εκφράσεις: «Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο σύνολο Δ» και εννοούμε ότι το Δ είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της. «Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο» και εννοούμε ότι το ανήκει στο πεδίο ορισμού της. 7. Όταν γράφουμε, αυτόματα θεωρούμε ότι η ορίζεται στο. 8. Έστω συνάρτηση : A B. Τότε ***** Αν, τότε (προφανώς, εξ ορισμού συνάρτησης) ( ) ( ),, A. Το αντίστροφο; Αν ( ) ( ), τότε,, A Το αντίστροφο; ***** 9. Μια συνάρτηση ονομάζεται άρτια στο Α, αν A ισχύουν: το A και ( ) () Μια άρτια συνάρτηση έχει άξονα συμμετρίας τον y y (γιατί;). Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -5-
*****. Μια συνάρτηση ονομάζεται περιττή στο Α, αν A ισχύουν: το A και ( ) () Μια περιττή συνάρτηση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο (γιατί;). *****. Μια συνάρτηση ονομάζεται περιοδική με περίοδο Τ στο Α, αν A ισχύουν: T A, T A και ( Τ) () ( T) *****. Κάθε σημείο της γραφικής παράστασης C της επαληθεύει την εξίσωση y M(,y ) C y ( ).. Οποιαδήποτε κάθετη στον ευθεία τέμνει την C σε το πολύ ένα σημείο. (), δηλαδή 4. Με την βοήθεια της γραφικής παράστασης της, μπορούμε να βρούμε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης () κ. 5. Η γραφική παράσταση της ευθεία β κα κορυφή το σημείο α α ή προς τα κάτω αν α ***** () α β γ,α είναι παραβολή με άξονα συμμετρίας την β Δ K, α 4α. Η C βρίσκεται προς τα πάνω αν ***** 6. Αν γνωρίζουμε την C, τότε με την βοήθεια της βρίσκουμε και τα ακόλουθα: Η Η Η Η C είναι συμμετρική της C ως προς τον άξονα. C είναι τα μη αρνητικά τμήματα των C και C. C με g() () c, c προκύπτει με κατακόρυφη μετατόπιση της C κατά c g μονάδες πάνω αν c ή κατά c μονάδες κάτω αν c. C με g() ( c), c προκύπτει με οριζόντια μετατόπιση της C κατά c μονάδες g αριστερά αν c ή κατά c μονάδες δεξιά αν c. 7. Με την βοήθεια των γραφικών παραστάσεων των, g στο ίδιο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων μπορούμε να λύσουμε γραφικά ***** μια εξίσωση () g(), οι τετμημένες των κοινών σημείων. Μια ανίσωση () g(), προβολή στον του τμήματος τη C που βρίσκεται «πάνω» από την Cg. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -6-
Μέθοδοι. Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτηση μιας συνάρτησης της οποίας δίνεται μόνο ο τύπος της y. Θα παίρνουμε για πεδίο ορισμού της το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο έχει νόημα πραγματικού αριθμού η έκφραση, δηλαδή Άρα, πρέπει να λάβουμε υπόψη μας τους παρακάτω περιορισμούς: i) Αν () είναι πολυωνυμική, τότε A ii) Αν g() (), τότε A { / h() } h() iii) Αν () k g(), k, k, τότε A { / g() } iv) Αν () lng() ή () logg() v) Αν () ημg() vi) Αν () συνg(), τότε A, τότε A, τότε A { / g() } vii) Αν () εφg(), τότε viii) Αν () σφg(), τότε i) Αν h() Α /. π A { / συν g() } { / g() kπ,k } A { / ημ g() } { / g() kπ, k } () g(), τότε A { / g() & h() } ή A {D / g() } h Σχόλιο: η περίπτωση αυτή είναι περίπλοκη, και συνήθως σε ασκήσεις δίνονται κατάλληλα τέτοια ώστε η βάση να είναι θετική! ) Αν η είναι συνδυασμός από των παραπάνω, κάνω συναλήθευση των περιορισμών.. Για να βρω τον τύπο της συνάρτησης () για την οποία ισχύει μία ισότητα που περιέχει δυνάμεις της (), μετασχηματίζω την ισότητα στην () g() και παίρνω () g() () g().. Για να βρω τους τύπους δύο συναρτήσεων και g με κοινό π. ο. Α τότε αρκεί να έχω: η ένα σύστημα με αγνώστους () και g(), η μία σχέση που μπορεί να πάρει τη μορφή, οπότε παίρνω από αυτήν () () σ () g() σ () ν σ () και g() σ (). 4. Για να βρούμε τα σημεία τομής της C με τον άξονα, λύνουμε το σύστημα Άρα την εξίσωση () και βρίσκω τις τετμημένες. 5. Για να βρούμε τα σημεία τομής των C, C, λύνουμε το σύστημα g Άρα την εξίσωση () g() και βρίσκω τις τετμημένες. y (). y g() (). y 6. Για να βρούμε τα, για τα οποία η C είναι πάνω (αντίστοιχα κάτω) από τον άξονα, λύνουμε την ανίσωση () (αντίστοιχα () ). 7. Για να βρούμε τα για τα οποία η C είναι πάνω από τη C, λύνουμε την ανίσωση () g(). g Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -7-
8. Ο προσδιορισμός του συνόλου τιμών (A) μιας συνάρτησης μπορεί να γίνει με έναν από τους παρακάτω τρόπους: Με τον ορισμό, προσδιορίζοντας το σύνολο Α y / υπάρχει A με y i) Βρίσκω το πεδίο ορισμού Α της. ii) Λύνω την εξίσωση y () () ως προς (στο ).. iii) Στην πορεία επίλυσης της (), σημειώνω τους τυχόν περιορισμούς (α ) για το y ώστε να έχει λύση η () ως προς (στο ). iv) Τα που θα προκύψουν πρέπει να ανήκουν στο πεδίο ορισμού της, δηλαδή A, απ όπου θα προκύψουν πιθανώς νέοι περιορισμοί (β ) για το y. v) Το σύνολο τιμών (A) βρίσκεται από την συναλήθευση των περιορισμών του y (α ) και (β ) Με την βοήθεια των εννοιών του ορίου, της συνέχειας και της μονοτονίας όπως θα δούμε παρακάτω. Με την βοήθεια των παραγώγων όπως θα δούμε στο παρακάτω κεφάλαιο. Με την βοήθεια της γραφικής παράστασης. Η προβολή όλων των σημείων της γραφικής παράστασης της πάνω στον άξονα yy δίνει το σύνολο τιμών της. Ασκήσεις Α. Έννοια, Πεδίο ορισμού, Σύνολο τιμών, Γραφική παράσταση συνάρτησης. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: [σχ. Α, σελ 45] i) 4 () ii) ln () 4 iii) () log iv) () log 4 v) () vi) π () εφ 6 vii) π () σφ 6 viii) () i) () ) () i) () e e e ii) () ημ. Έστω οι συναρτήσεις () και i) Να βρεθούν τα σημεία τομής των C και ii) Να βρεθούν τα σημεία τομής των C και g() 5 6. [σχ. Α,Α, σελ 45] C. g C με τους άξονες. g iii) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η C βρίσκεται πάνω από την iv) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η C βρίσκεται κάτω από τον άξονα. g C. g Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -8-
. Έστω οι συναρτήσεις () log(5 ) και g() log. i) Εξετάστε αν η C τέμνει τους άξονες; ii) Εξετάστε αν οι C και C έχουν κοινά σημεία. g 4. Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της () βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της g(). 5. Δίνεται η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διακρίνεται στο διπλανό σχήμα: i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. ii) Να εξετάσετε αν το - είναι τιμή της συνάρτησης. iii) Να βρείτε το ( ). iv) Να βρείτε το σύνολο τιμών της. v) Να επιλύσετε την εξίσωση (). vi) Να επιλύσετε τις ανισώσεις () και (). 6. Δίνεται η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διακρίνεται στο διπλανό σχήμα: i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. ii) Να εξετάσετε αν το είναι τιμή της iii) συνάρτησης. Να βρείτε το (). iv) Να βρείτε το σύνολο τιμών της. v) Να επιλύσετε την εξίσωση (). vi) Να επιλύσετε τις ανισώσεις () και (). 7. Να γίνει η γραφική παράσταση των συναρτήσεων: (σχ. Α6, Β, Β5, σελ 45-8) i) v) () ( ) ii) () e () iii) vi) () ln () vii) () viii) iv) () ln () 8. Να ελέγξετε αν οι αριθμοί 5 και - μπορεί να είναι τιμές της συνάρτησης (). 9. Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων: i) () ii) () iii) () iv) () ln v) e () vi) e () vii) () - ln( - 4) 5 viii) () i) () ) () ln Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -9-
. Στο διπλανό διάγραμμα βλέπουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Να βρεθεί το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης () 6.. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης όταν ισχύει: i) ii) iii) ( ) 4 5 για κάθε. (ln ) για κάθε. 6 ( ) για κάθε.. Αν για τις συναρτήσεις, g ισχύει είναι σταθερές συναρτήσεις. [()] [g()] ( g)() για κάθε, τότε οι, g Β. Άρτιες, περιττές και περιοδικές συναρτήσεις. Να δείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι περιττές: i) () 4 ii) 4 () iii) () iv) () ln 4. Να δείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες: i) () συν ii) () ln 5. Δίνεται η συνάρτηση :. Να δείξετε ότι: i) Η συνάρτηση ii) Η συνάρτηση () ( ) g() είναι άρτια. () ( ) h() είναι περιττή. iii) Κάθε συνάρτηση ορισμένη στο περιττής συνάρτησης γράφεται ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας 6. Δίνεται η συνάρτηση : με τύπο () ημ. Να δείξετε ότι ο αριθμός T π είναι μια περίοδός της. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 --
Επιπλέον Ασκήσεις 7. Εξηγήστε ποιες από τις παρακάτω ισότητες, το y δεν είναι συνάρτηση του και δικαιολογήστε την απάντησή σας: (i) y (ii), (iv) y, (v) y (iii), y, 8. Σχεδιάστε την γραφική παράσταση των συναρτήσεων:,,, y 9. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g,h όταν: g ln, (i) ln, (ii) ln g ln h ln. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g,h όταν: g h. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:, g. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των:, g g, h, φ, g, φ e. Έστω συνάρτηση : η οποία είναι περιττή και για την οποία ισχύει ότι ()( ) για κάθε, να αποδείξετε ότι ()( ),. 4. Έστω συνάρτηση : με είναι άρτια. () ( ) (), για κάθε. Να αποδείξετε ότι η 5. Έστω συνάρτηση :R R ώστε y () (y) ( y) για κάθε, y. Να δείξετε ότι: i) η C διέρχεται από την αρχή των αξόνων ii) η είναι περιττή. 6. Για τους z,w και τη συνάρτηση δίνεται ότι z ( ) w ( ) ( ) για κάθε. Αν η C διέρχεται από τα σημεία Α(,5) και Β(, 5), να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z και της εικόνας του w. 7. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης (),,. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 --
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδι555 Ενότητα η ο.β) ΙΣΟΤΗΤΑ, ΠΡΑΞΕΙΣ, ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σημαντικές παρατηρήσεις. Δύο συναρτήσεις είναι ίσες όταν ισχύουν δύο () προϋποθέσεις: D D A (δηλαδή να έχουν ίσα πεδία ορισμού) g A : () g() (δηλαδή να έχουν τις ίδιες τιμές για κάθε στοιχείο του κοινού τους πεδίου ορισμού). Είναι ΛΑΘΟΣ η έκφραση: Δύο συναρτήσεις είναι ίσες, όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και τον ίδιο τύπο. Για παράδειγμα οι συναρτήσεις ίσες, αλλά δεν έχουν τον ίδιο τύπο. ***** () και g() 4 με A,, είναι. Είναι δυνατόν δύο συναρτήσεις να έχουν ίδιο πεδίο ορισμού, το ίδιο σύνολο τιμών και να μην είναι ίσες π.χ. οι συναρτήσεις () ημ και g() συν. 4. Αν, όμως είναι ίσες δύο συναρτήσεις τότε: (D ) g(d ) (δηλαδή να έχουν ίσα σύνολα τιμών) g C C g (δηλαδή οι γραφικές τους παραστάσεις ταυτίζονται) ***** 5. Δυο συναρτήσεις είναι διάφορες μεταξύ τους και γράφουμε g αν και μόνο αν μια από τις συνθήκες του ορισμού δεν ισχύει (δηλαδή αν D πεδίο ορισμού για το οποίο να ισχύει () g() ). ***** Dg ή αν υπάρχει τουλάχιστον στο κοινό 6. Δύο συναρτήσεις και g μπορεί να μην είναι ίσες στο πεδίο ορισμού τους, αλλά σε ένα κοινό υποσύνολό τους Δ D D να ισχύει Δ : () g(). g Τότε, λέμε ότι οι συναρτήσεις και g είναι ίσες στο Δ. Άρα, αν είναι να είναι g. g, ζητείται το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του (αν υπάρχει) τέτοιο ώστε ***** Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 --
7. ()g(), A ()= ή g(), A, δηλαδή για κάποιες τιμές του θα είναι () και για κάποιες τιμές του θα είναι g(). ΔΕΝ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ότι () για κάθε A ή g() για κάθε A (δηλαδή ()g(), A ()=, A ή g(), A ). Π.χ., (), και, g(), τότε () g() για κάθε, 8. Ομοίως, αν για κάθε A ισχύει (), δεν σημαίνει ότι () για κάθε A ή () για κάθε A. Σημαίνει ότι για κάποιες τιμές του θα είναι () και για κάποιες τιμές του θα είναι (). Π.χ., (), τότε, () για κάθε. ***** 9. Οι πράξεις μεταξύ συναρτήσεων έχουν νόημα μόνο αν το εκάστοτε πεδίο ορισμού δεν είναι το κενό.. Οι πράξεις μεταξύ συναρτήσεων δημιουργούν ΝΕΕΣ συναρτήσεις.. Εκτός από τις πράξεις συναρτήσεις k, k με D D και (k )() k (), αλλά και k ν, ν * με D ν D και g, g, g,, μπορούμε να ορίσουμε και: g ν ( )() () ν *****. Η σύνθεση συναρτήσεων δημιουργεί ΝΕΑ συνάρτηση.. Αν :Α και g:β τότε Η σύνθεση g ορίζεται, αν Β Β / g() Α ή αλλιώς αν g(b) A. Η σύνθεση g ορίζεται, αν Α A / () B ή αλλιώς αν (A) B. 4. Για να ορίσουμε την συνάρτηση g πρώτα βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της και μετά τον τύπο της γιατί σε άλλη περίπτωση μπορούμε να οδηγηθούμε σε λάθος συμπεράσματα. 5. Ειδικές περιπτώσεις: Αν D, τότε επειδή D : () g, προκύπτει ότι ορίζεται ΠΑΝΤΑ η σύνθεση g της με την g. Αν D, τότε επειδή D : g() g, προκύπτει ότι ορίζεται ΠΑΝΤΑ η σύνθεση g της g με την. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 --
6. Η αντιμεταθετική ιδιότητα δεν ισχύει πάντα στην σύνθεση συναρτήσεων. Δηλαδή αν δυο συναρτήσεις είναι τέτοιες ώστε να ορίζονται g και g τότε δεν ισχύει πάντα g g. Φυσικά και υπάρχουν περιπτώσεις όπου η αντιμεταθετική ιδιότητα μπορεί να ισχύει, όπως στο παράδειγμα παρακάτω, αλλά αυτό δεν είναι ο κανόνας!!! Έστω τυχαία συνάρτηση : και η ταυτοτική συνάρτηση g(),. Τότε ισχύει ότι g g 7. Η προσεταιριστική ιδιότητα, όμως, ισχύει πάντα στην σύνθεση συναρτήσεων. Δηλαδή ισχύει πάντα g h g h, εφόσον οι τρεις συναρτήσεις είναι τέτοιες ώστε να ορίζονται οι εκάστοτε συνθέσεις. Μέθοδοι. Για να προσδιορίσουμε οποιαδήποτε πράξη μεταξύ συναρτήσεων πρέπει πρώτα να βρίσκουμε το αντίστοιχο πεδίο ορισμού και να εξετάζουμε αν είναι διάφορο του κενού.. Για να προσδιορίσουμε την συνάρτηση g ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: Προσδιορίζουμε τα πεδία ορισμού Α και Β των,g αντίστοιχα, αν φυσικά δεν δίνονται. Προσδιορίζουμε το σύνολο Β Β / g() Α ή αλλιώς Β / Β και g() Α και εξετάζουμε αν είναι διάφορο του κενού οπότε ορίζεται η g. Η g έχει πεδίο ορισμού Β και τύπο g () g().. Θεωρούμε τις συναρτήσεις και g με τύπους: (), A () (), A και g (), Β g() g (), Β. Για να προσδιορίσουμε την g θα συνθέσουμε κάθε «κλάδο» της με όλους τους «κλάδους» της g και έτσι θα έχουμε: g () g (), Β Β / g () Α g (), Β Β / g () Α g (), Β Β / g () Α g (), Β Β / g () Α Αν οποιοδήποτε από τα σύνολα Β,Β,Β,Β είναι κενό τότε ο αντίστοιχος κλάδος δεν ορίζεται και παραλείπεται. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -4-
Ασκήσεις Α. Ισότητα συναρτήσεων [σχ. Α7, σελ 46]. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι = g. Στις περίπτωση που είναι g, να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει () g(). i) () - - 6 και g() - ii) () και g() - iii) () και g() iv) () - και g() -. Να βρεθεί ο λ ώστε να είναι ίσες οι συναρτήσεις λ 4 λ 4 και g λ. Β. Πράξεις μεταξύ συναρτήσεων [σχ. Α8, σελ 46]. Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις να ορίσετε τις συναρτήσεις: g, g, : g i) ii) iii) () - και g() 4, () και g() ln () και g()= 5, 4 7, 5 6, 4, 5 Γ. Σύνθεση συναρτήσεων 4. Για κάθε ένα από τα ζεύγη συναρτήσεων και g που παρουσιάζονται παρακάτω, να προσδιορίσετε τις νέες συναρτήσεις που ζητούνται: [σχ. Α, Α, Α, σελ 46-7] i) () - και g() ln, τις g και g ii) iii) iv) () και g()=, τις g, g και e () και g()=ln(-), τις g, g,, και g g e +, 4<<6 +, <<4 ()= και g()=, την σύνθεση της g με την -, 6 <8 -, 4 <7 5. Να βρείτε τη συνάρτηση στις παρακάτω περιπτώσεις: [σχ. Β6, σελ 48] i) ii) iii) ( g)() 4 4, για κάθε, αν g(). ( g)(), για κάθε, αν g() ln. (g )() 9 ημ, για κάθε, αν g(). iv) (g )(), για κάθε {}, αν Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -5- g().
6. Oι συναρτήσεις () α g() α α ορίζονται στο. και Να βρεθεί η παράμετρος α, ώστε να ισχύει g, για κάθε. 7. Δίνεται η συνάρτηση : [,]. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) g() ( ), ii) h() ( ), iii) φ() (ln ) 8. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο συνάρτησης h με τύπο h() (ln ) ( ). (). Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και ο τύπος της 9. Έστω συνάρτηση :. Αν για οποιαδήποτε σταθερή συνάρτηση g είναι g g για κάθε, να αποδείξετε ότι η είναι η ταυτοτική συνάρτηση.. Έστω οι συναρτήσεις,g :. Να δείξετε ότι: i) αν η είναι άρτια και η g περιττή, τότε οι g, g είναι άρτιες ii) αν, g είναι περιττές, τότε οι g, g είναι περιττές iii) αν η είναι άρτια, τότε η g είναι άρτια.. Έστω συνάρτηση :, τέτοια ώστε να ισχύει (),. Να αποδείξετε ότι (). Δ. Συναρτησιακή εξίσωση [Είναι εξίσωση με άγνωστο τη συνάρτηση (),οπότε φτιάχνω σύστημα με άγνωστο την ().]. Αν για τη συνάρτησης, ισχύει () ( ) για κάθε, να βρείτε: i) τον τύπο της και ii) το σύνολο τιμών της.. Αν για τη συνάρτηση τύπο της. * : ισχύει για κάθε *, να βρείτε τον Ε. Συναρτησιακή σχέση [Σχέση ταυτότητα μεταξύ τιμών () και (y). Δίνουμε κατάλληλες τιμές στο χ, π.χ. =-, =y, =/, κλπ μέχρι να γίνει απαλοιφή του y οπότε βρίσκουμε το ().] 4. Έστω συνάρτηση :, η οποία για κάθε, y ικανοποιεί τη σχέση: ( y) () (y). Να αποδειχθεί ότι: i) () και ii) η είναι περιττή. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -6-
5. Έστω συνάρτηση :, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: () για κάθε () και ( y) ( y) () (y), για κάθε, y (). Να αποδείξετε ότι: i) () και ii) η είναι άρτια. 6. Aν για την : ισχύουν () και ( y) () (y), για κάθε, y, να δειχθεί (). 7. Αν για την συνάρτηση :, είναι () και ισχύει η σχέση ( y) ( y) y, για κάθε, y, να βρεθεί ο τύπος της. 8. Έστω συνάρτηση :, η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση () Να αποδείξετε ότι: i) ii) () 4 για κάθε, 4. 4 9. Αν για την συνάρτηση :, είναι () 4, για κάθε, y, να δειχθεί ότι ().. Αν για τη συνάρτηση ότι: i) () = ii) ν iii) ν * : ισχύει y y, όπου ν για κάθε *, y, να αποδείξετε [εκτός σχολικής ύλης] Προβλήματα (σχ. Α4-5, Β-4, 9, σελ. 45-8). Το κόστος μονάδων προϊόντος είναι προϊόντος είναι Π() 5, τότε: i) Να εκφράσετε το κέρδος Ρ ως συνάρτηση του. ii) Να βρείτε πότε η επιχείρηση θα έχει κέρδος και πότε ζημιά. K() 4. Αν η τιμή πώλησης μονάδων. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â 9 ). Αν (BΓ) 4 και (AB), να εκφράσετε την προβολή της κάθετης πλευράς ΑΓ πάνω στην υποτείνουσα ως συνάρτηση του. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -7-
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδι555 Ενότητα η ο.α) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ Σημαντικές παρατηρήσεις. Μια συνάρτηση μπορεί να παρουσιάζει το ίδιο είδος μονοτονίας σε δύο υποσύνολα A, A (ξένα μεταξύ τους) του πεδίου ορισμού της, χωρίς όμως να είναι μονότονη στο A A. Π.χ. α), () ή β) (),. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει το ίδιο είδος μονοτονίας σε δύο υποσύνολα A (α, ] και A [,β) του πεδίου ορισμού της, τότε είναι μονότονη στο A A (α,β). [γιατί;]. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της τότε έχει το ίδιο είδος μονοτονίας σε κάθε υποσύνολό της. 4. Για να δείξω ότι μια συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα (π.χ.) σε ένα διάστημα Δ, αρκεί ένα αντιπαράδειγμα!!! Δηλαδή αρκεί να δείξω ότι υπάρχουν, ( ) ( ). ***** 5. Αν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε: Δ με τέτοια ώστε «η γραφική παράσταση C της τέμνει τον άξονα το πολύ σε ένα () σημείο» ή αλλιώς «η εξίσωση () έχει το πολύ μία ρίζα στο Δ». [γιατί;] 6. Αν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ και η εξίσωση () έχει μία ρίζα στο Δ, τότε αυτή η ρίζα είναι μοναδική. 7. Για κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ ισχύει ότι η C τέμνει κάθε οριζόντια ευθεία y [γιατί;] k, k το πολύ σε ένα () σημείο. [γιατί;] 8. Αν οι συναρτήσεις και g έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας σε ένα διάστημα Δ, τότε η εξίσωση () g() έχει το πολύ μία ρίζα στο Δ. [γιατί;] 9. Έστω :Δ και, ( ) ( ) α) ( ) ( ) β) Δ με. Τότε ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναμίες: και ( ) ( ) ομόσημοι γνησίως αύξουσα στο Δ. και ( ) ( ) ετερόσημοι γνησίως φθίνουσα στο Δ. *** [γιατί ισχύουν τα παρακάτω (-4);] *** Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -8-
. Αν μια συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο διάστημα (α, ] και γνησίως φθίνουσα στο [,β) του πεδίου ορισμού της, τότε η παρουσιάζει στο (α,β) μέγιστο στο το ( ).. Αν μια συνάρτηση γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (α, ] και γνησίως αύξουσα στο [,β) του πεδίου ορισμού της, τότε η παρουσιάζει στο (α,β) ελάχιστο στο το ( ).. Αν μια συνάρτηση γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα (α,β), τότε η δεν παρουσιάζει στο (α,β) ακρότατα.. Αν μια συνάρτηση γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα [α,β], τότε η παρουσιάζει ελάχιστο στο α και μέγιστο στο β. 4. Αν μια συνάρτηση γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα [α,β], τότε η παρουσιάζει μέγιστο στο α και ελάχιστο στο β. 5. Έστω συνάρτηση : A με σύνολο τιμών (A) Δ. Υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις: ***** α) αν είναι Δ [λ,μ], τότε (εξ ορισμού του συνόλου τιμών) min β) αν είναι Δ [λ,μ), τότε (εξ ορισμού του συνόλου τιμών) min λ και ma μ, λ και ma δεν υπάρχει, γ) αν είναι Δ (λ,μ], τότε (εξ ορισμού του συνόλου τιμών) min δεν υπάρχει και ma δ) αν είναι Δ (λ,μ), τότε (εξ ορισμού του συνόλου τιμών) min και ma δεν υπάρχουν. 6. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Αν για μια συνάρτηση ισχύει: Για να είναι ma ***** μ, () α, A δεν είναι σωστό να γράψουμε ma α. α, πρέπει υποχρεωτικά και η εξίσωση () α να έχει λύση στο A!!! 7. α) Αν είναι ma μ, τότε (), A. β) Αν είναι min ε, τότε (), A. Σημαντικές προτάσεις (χρειάζονται απόδειξη). Βασική Πρόταση: (για χρήση σε επίλυση ανισώσεων) Αν μια συνάρτηση : A είναι γνησίως αύξουσα στο Α, τότε ισχύει η συνεπαγωγή: «αν ( ) ( ) τότε». [Άρα, αν A τότε ισχύει η ισοδυναμία: «( ) ( )»].. Βασική Πρόταση: (για χρήση σε επίλυση ανισώσεων) Αν μια συνάρτηση : A είναι γνησίως αύξουσα στο Α, τότε ισχύει η συνεπαγωγή: «αν ( ) ( ) τότε». [Άρα, αν A τότε ισχύει η ισοδυναμία: «( ) ( )»].. Βασική Πρόταση: (για χρήση σε επίλυση εξισώσεων) Αν μια συνάρτηση : A είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) στο Α, τότε ισχύει η συνεπαγωγή: «αν ( ) ( ) τότε» [Άρα, ισχύει η ισοδυναμία: ( ) ( ) ]. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -9-
4. Η σύνθεση συναρτήσεων με ίδιο είδος μονοτονίας στο, οδηγεί πάντα σε συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο. 5. Η σύνθεση συναρτήσεων με διαφορετικό είδος μονοτονίας στο, οδηγεί πάντα σε συνάρτηση γνησίως φθίνουσα στο. 6. Αν είναι μια μη σταθερή και άρτια συνάρτηση, τότε σε συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων διαστήματα (υποσύνολα του πεδίου ορισμού) η έχει αντίθετο είδος μονοτονίας. ***** ***** (π.χ. γνησίως αύξουσα στο (α,β) και γνησίως φθίνουσα στο ( β, α) ) Συμπέρασμα: μια άρτια συνάρτηση δεν μπορεί να είναι γνησίως μονότονη. 7. Αν είναι μια μη σταθερή και περιττή συνάρτηση, τότε σε συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων διαστήματα (υποσύνολα του πεδίου ορισμού) η έχει το ίδιο είδος μονοτονίας. (π.χ. γνησίως αύξουσα στο [α,β] και στο [ β, α] ) 8. Αν μια συνάρτηση είναι άρτια και παρουσιάζει στο μέγιστο, τότε στο παρουσιάζει ***** πάλι μέγιστο, το ( ). (αντιστοίχως για το ελάχιστο). 9. Αν μια συνάρτηση είναι περιττή και παρουσιάζει στο μέγιστο, τότε στο παρουσιάζει ελάχιστο, το ( ). (αντιστοίχως για το ελάχιστο). Συμπέρασμα: Μια άρτια συνάρτηση διατηρεί τα ακρότατα, ενώ μια περιττή την μονοτονία! Μέθοδοι. Για να μελετήσουμε μια συνάρτηση ως προς την μονοτονία εργαζόμαστε με έναν από τους παρακάτω τρόπους: Απευθείας με τον ορισμό με τη βοήθεια της «κατασκευαστικής μεθόδου» και με την βοήθεια των ιδιοτήτων της διάταξης. Χρήσιμες ιδιότητες διάταξης: ν ν * α β α β, ν ν ν * α β α β ( α) ( β), ν κ κ α β α β, κ Αν α β, τότε Αν α β, τότε α β α β α β α β α β α β Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 --
Με τη βοήθεια του «λόγου μεταβολής», όπου εξετάζουμε το πρόσημό του λ,, Α με. Προσπαθούμε να γράψουμε την σαν άθροισμα ή σύνθεση συναρτήσεων γνωστής μονοτονίας. Με παραγώγους [ο ποιο εύχρηστος, αλλά αργότερα ]. Στις συναρτήσεις «πολλαπλού τύπου» εξετάζουμε την μονοτονία σε κάθε κλάδο. Αν προκύψει το ίδιο είδος μονοτονίας σε όλους τους κλάδους εξετάζουμε την μονοτονία σε όλο το πεδίο ορισμού. Αν προκύψει διαφορετική μονοτονία σε δύο κλάδους δεν είναι μονότονη στο πεδίο ορισμού της.. Για να εξετάσουμε αν μια συνάρτηση έχει ακρότατα εργαζόμαστε με έναν από τους παρακάτω τρόπους: Απευθείας με τον ορισμό με τη βοήθεια της «κατασκευαστικής μεθόδου» και με την βοήθεια χρήσιμων ανισοϊσοτήτων. ν α, α, με το «ίσον» να ισχύει για α, α, α, με το «ίσον» να ισχύει για α, α, α, με το «ίσον» να ισχύει για α, α, α, με το «ίσον» να ισχύει για α, α α, α, με το «ίσον» να ισχύει για α. α Με την βοήθεια του συνόλου τιμών της συνάρτησης. Με την μονοτονία και την συνέχεια (λίγο αργότερα ) Με την παράγωγο της συνάρτησης (αρκετά αργότερα ). Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 --
Ασκήσεις Α. Μονοτονία συνάρτησης. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: [σχ. Α, Α4 σελ 56-7] [α) Συνθετική μέθοδος πάνω στον ορισμό και β) μέθοδος του λόγου μεταβολής ] i) () ln( ) e ii) () iii) () ln iv) () v), () vi),, (), vii) () 5 9 viii) (). α) Έστω η συνάρτηση που είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. β) Έστω οι συναρτήσεις,g που είναι γνησίως φθίνουσες σε ένα διάστημα Δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση +g είναι γνησίως φθίνουσα.. α) Να αποδείξετε τις σημαντικές προτάσεις 4 & 5. β) Nα βρεθεί η μονοτονία της συνάρτησης συν () e συν,,π. 4. Αν : A (, ) είναι γνησίως αύξουσα στο Α και η g : A (, ) είναι γνησίως φθίνουσα στο Α, να αποδειχθεί ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο Α. 5. A) Η συνάρτηση, ορισμένη στο, είναι άρτια και γνησίως μονότονη στο [,α], α, με () α, (α). i) Αποδείξτε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο [ α,] και γνησίως φθίνουσα στο [,α]. ii) Αποδείξτε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο [ α,] και γνησίως αύξουσα στο [,α]. στο [,]. B) Μελετήστε την μονοτονία της συνάρτησης h() 6. Έστω συνάρτηση : γνησίως αύξουσα με (). i) Να λύσετε την εξίσωση. ii) Nα λύσετε την ανίσωση ( ). iii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g (). 7. α) Να αποδειχθεί ότι κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μία ρίζα. β) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 8. α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση β) Να λυθούν η ανίσωση 7 και ii) ln. 4 9 () γνησίως φθίνουσα στο. 9. α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση () ln γνησίως αύξουσα στο (, ). β) Να λυθούν η ανίσωση ln( ) ln( ) Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 --
π. α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση () συν β) Να αποδείξετε π συνe e συνe.. α) Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() () ( ) είναι επίσης γνησίως αύξουσα στο. στο [,π]. β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο. h() e e. Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει: Να δείξετε ότι η δεν είναι γνησίως φθίνουσα. 5 () e 6 () για κάθε.. Έστω : γνησίως μονότονη συνάρτηση. Αν η C τέμνει τους άξονες και y y στα σημεία με τετμημένη και τεταγμένη αντίστοιχα α) να βρείτε το είδος της μονοτονία της. β) Αν g γνησίως φθίνουσα στο, να εξετάσετε ως την μονοτονία της g g και της g. 4. Έστω η συνάρτηση 7 () 5 με D [, ). α) Να εξετάσετε την ως προς την μονοτονία. β) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο στο οποίο η C τέμνει τον άξονα. γ) Να λύσετε την ανίσωση 4 στο [, ). 5. Αν η συνάρτηση () είναι γνησίως αύξουσα και η λυθεί η ανίσωση 6. C διέρχεται από το σημείο A,, να 6. Έστω οι συναρτήσεις,g :. Αν γν. φθίνουσα και g( ) () g() για κάθε, να βρεθεί ο τύπος της g. Β. Ακρότατα συνάρτησης 7. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων: i) () ii) (), A [, 6] iii) φ() 7 8. Αν η γραφική παράσταση της διέρχεται από τα σημεία A(,),B(,) και ισχύει 9. Αν () 5, αποδείξτε ότι η συνάρτηση έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. () 4 6, α) να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την και β) να προσδιορίσετε τα ακρότατά της.. Έστω οι συναρτήσεις,g : για τις οποίες ισχύει βρείτε την ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση των C και. Έστω οι συναρτήσεις,g : για τις οποίες ισχύει Αν η γραφική παράσταση της g τέμνει την ευθεία y δείξετε ότι η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. () g() για κάθε. Να Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -- C. g () (g() ) για κάθε. σε τουλάχιστον ένα σημείο, να
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδι555 Ενότητα 4 η ο.β - - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ Σημαντικές παρατηρήσεις Συναρτήσεις -. Πρόκειται για συναρτήσεις οι οποίες έχουν ένα μόνο πρότυπο A για κάθε τιμή τους, ή σε διαφορετικά (πρότυπα) του πεδίου ορισμού αντιστοιχούν διαφορετικές εικόνες.. [Συνέπεια του ορισμού] Μια συνάρτηση είναι - αν και μόνο αν : η εξίσωση y () με y και A, έχει το πολύ μια λύση για κάθε y (A) η εξίσωση () y έχει μοναδική λύση ως προς. κάθε οριζόντια ευθεία ( y k) τέμνει την γρ. παράσταση C της το πολύ σε ένα σημείο.. Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της, είναι και συνάρτηση - σε αυτό. 4. Προσοχή!!! Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει. Κάθε συνάρτηση - στο πεδίο ορισμού της, δεν είναι απαραιτήτως γνησίως μονότονη συνάρτηση σε αυτό. (βρείτε αντιπαράδειγμα) Ισχύει, όμως ότι: 5. Αν η δεν είναι -, τότε δεν είναι και μονότονη. D 6. Μια συνάρτηση μπορεί να είναι - σε υποσύνολα του, αλλά όχι στο (βρείτε αντιπαράδειγμα) 7. Μια - συνάρτηση έχει το πολύ μια ρίζα (δηλ. η εξίσωση () έχει το πολύ μια λύση). Αντίστροφες Συναρτήσεις 8. [Συνέπεια του ορισμού] Η αντίστροφη συνάρτηση έχει ως πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών (A) της, της : D. έχει ως σύνολο τιμών, το πεδίο ορισμού της A, ισχύει () y (y) Αυτό σημαίνει, ότι αν η αντιστοιχίζει το στο y, τότε η αντιστοιχίζει το y στο και αντιστρόφως. Δηλαδή, η είναι η αντίστροφη διαδικασία της, οπότε () για κάθε A και (y) y για κάθε y (Α). Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -4-
9. Προσοχή!!! στον συμβολισμό της αντίστροφης και το σύμβολο () () ().. Αν η είναι αντιστρέψιμη, τότε και η είναι αντιστρέψιμη με. Αν η δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε δεν είναι - (λόγω αντιθετοαντιστροφής).. Αν η δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε δεν είναι γνησίως μονότονη (λόγω αντιθετοαντιστροφής).. Αν η δεν είναι γνησίως μονότονη, τότε δεν συνεπάγεται ότι η δεν είναι αντιστρέψιμη (βρείτε αντιπαράδειγμα).. 4. Κάθε περιοδική συνάρτηση δεν είναι -. 5. Πολλές φορές ξέρουμε ότι μια συνάρτηση έχει αντίστροφη δεν μπορούμε να βρούμε τον τύπο της. Αυτό συμβαίνει γιατί δεν μπορούμε να λύσουμε αλγεβρικά ως προς την εξίσωση y () (Για παράδειγμα η συνάρτηση με τύπο και αντιστρέφεται, δεν μπορούμε να λύσουμε αλγεβρικά την εξίσωση 5 () 6 5,, ενώ είναι - 5 y 6 5 ως προς, για την εύρεση του τύπου της αντιστρόφου συνάρτησης). Είναι όμως σημαντικό να γνωρίζουμε ότι υπάρχει. Βασικές Προτάσεις (χρειάζονται απόδειξη). Εάν η συνάρτηση είναι άρτια τότε δεν είναι -.. Εάν η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και περιττή, τότε και η συνάρτηση. Εάν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο A, τότε και η συνάρτηση γνησίως μονότονη στο (A) και μάλιστα με το ίδιο είδος μονοτονίας. είναι περιττή. είναι y () 4. Τα κοινά σημεία των C και C βρίσκονται από την επίλυση του συστήματος ή y () αλλιώς της εξίσωσης () 5. Αν :Α γνησίως αύξουσα τότε: i) και η ii) () [η μόνη που δεν χρειάζεται απόδειξη]. είναι γνησίως αύξουσα. () () () με Α (Α), δηλ. τα κοινά σημεία των C και C βρίσκονται πάνω στην διχοτόμο της γωνίας του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου, την y. (Αυτό ισχύει διότι, υπό τις συγκεκριμένες προϋποθέσεις, οι εξισώσεις είναι ισοδύναμες [απόδειξη]). () () και () [Παρατήρηση: το παραπάνω συμπέρασμα μπορεί να διατυπωθεί και ως εξής: «τότε τα συστήματα,, y () y () y () y () y y είναι ισοδύναμα»]. 6. Αν :Α γνησίως φθίνουσα τότε οι C και C μπορεί να έχουν κοινά σημεία και εκτός της ευθείας y. (βρείτε αντιπαράδειγμα) Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -5-
Μέθοδοι. Για να δείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι συνάρτηση - τότε : θεωρούμε δύο τυχαία, A τέτοια ώστε ( ) ( ) και καταλήγουμε στο ότι (χρησιμοποιείται κυρίως όταν μας δίνεται ο τύπος της συνάρτησης) θεωρούμε δύο τυχαία, A τέτοια ώστε και καταλήγουμε στο ότι ( ) ( ) (χρησιμοποιείται κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις). Δείχνουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. Θεωρούμε ένα τυχαίο y και δείχνουμε ότι η εξίσωση y Γραφικά () έχει το πολύ μια ρίζα στο Α.. Για να δείξουμε ότι μία συνάρτηση «πολλαπλού τύπου» είναι συνάρτηση - τότε δείχνουμε ότι κάθε κλάδος είναι - (όπως παραπάνω) και στην συνέχεια: δείχνουμε ότι τα σύνολα τιμών, ανά δύο, είναι ξένα μεταξύ τους, είτε δείχνουμε ότι είναι - στην ένωση, ανά δύο, κάθε συνόλου των εν λόγω κλάδων, επιλέγοντας τυχαία, που να ανήκουν στα σύνολα αυτά, ένα στο καθένα, είτε γραφικά κατασκευάζοντας την γραφική παράσταση.. Για να δείξω ότι μια συνάρτηση ΔΕΝ είναι - αρκεί να δείξω ότι: υπάρχουν, A με τέτοια ώστε ( ) ( ) ή ότι υπάρχει ευθεία παράλληλη στον που να τέμνει την C σε περισσότερα του ενός σημεία. 4. Κάνουμε χρήση της ιδιότητας της - συνάρτησης σε επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων. 5. Για την εύρεση της αντίστροφης μίας συνάρτησης, εξασφαλίζουμε το - της συνάρτησης και στη συνέχεια βρίσκουμε το σύνολο τιμών της (A). 6. Για την εύρεση του τύπου της εναλλάσσουμε το y με το. θέτουμε y () και λύνουμε ως προς. Κατόπιν 7. Εάν η συνάρτηση είναι περιττή τότε μπορεί να είναι - (π.. (π.. () ημ ). () αλλά μπορεί και όχι Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -6-
Ασκήσεις Α. Συνάρτηση -. Να εξετάσετε αν είναι - οι παρακάτω συναρτήσεις: i) iv) vii) () () e v) () viii), ii) () iii) (), vi) () e () ln. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με i) (), <, () ) (),, δεν είναι -.. Έστω : για την οποία ισχύει: ( )() (), για κάθε. α) Να δειχθεί ότι η είναι -. β) Να υπολογισθεί το (). γ) Να αποδειχθεί ότι δεν είναι άρτια στο. δ) Να λυθεί η εξίσωση ( ) ( 8). e () e (σχ. Α σελ 56) 4. Αν η συνάρτηση ορίζεται στο και η είναι -, τότε δείξετε ότι και η είναι -. 5. Να λυθεί η εξίσωση 6. Δίνεται η συνάρτηση ln 5 (). α) Να δειχθεί ότι η είναι -. β) Να λυθεί η εξίσωση γ) Να λυθεί η ανίσωση 7. (Γενικές Εξετάσεις 998) 5. 5 e e e. Η συνάρτηση : ικανοποιεί τη σχέση έτσι ώστε α) Να δειχθεί ότι η είναι -. β) Να λυθεί η εξίσωση e e με. (Γ) (()) (),. ( ) (4 ). (Δ) 8. Δίνεται η συνάρτηση : ώστε να ισχύει ( y) () (y) για κάθε, y. α) Να δειχθεί ότι η (). β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση είναι περιττή. γ) Αν η εξίσωση () έχει μοναδική ρίζα την, να δείξετε ότι η είναι -. Β. Αντίστροφη συνάρτηση (σχ. Α, σελ 56) 9. Να βρεθούν οι αντίστροφες (αν υπάρχουν) των συναρτήσεων της άσκησης (εκτός από τις περιπτώσεις iv, v).. Να βρείτε τις αντίστροφες των παρακάτω συναρτήσεων και να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις τους στο ίδιο σύστημα αξόνων: i) () ii) (), Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -7-
. Αποδείξτε ότι δεν είναι αντιστρέψιμες οι συναρτήσεις: i) 4 () 5 ii) () iii). Αν () (α ) β, να βρεθούν τα α,β ώστε. Θεωρώντας γνωστή την συνάρτηση : 4. Aν σχέση ( )() (), για κάθε () να βρείτε: α) το *. ( ). () e Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -8- συν να βρείτε την αντίστροφή της, αν ισχύει η και β) το ώστε () 5. Αν οι : A B και g : B είναι αντιστρέψιμες, να αποδειχθεί ότι και η g είναι αντιστρέψιμη. 6. Έστω οι συναρτήσεις, g για τις οποίες ισχύει g 5 5 g g για κάθε. Να αποδείξετε ότι αν υπάρχει η - τότε υπάρχει η g -. 7. Αν () και (()) () για κάθε, να αποδειχθεί ότι: α) υπάρχει η και β) () (Γ) 8. Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία ισχύει ( )() () () για κάθε. α) Να δείξετε ότι (). β) Αν () για κάθε τότε να δείξετε ότι η αντιστρέφεται. (Γ) 9. Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης : (, ) για την οποία ισχύει () 5. * Δίνεται η συνάρτηση () για κάθε. α) Να την εξετάσετε ως προς τη μονοτονία της. β) Να βρείτε το ελάχιστό της. γ) Να βρείτε την αντίστροφή της. δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της.. Δίνεται η συνάρτηση () 6. α) Να βρείτε την αντίστροφή της. με πεδίο ορισμού A [, ). β) Να λυθεί η εξίσωση ( )(). (Γ). Αν για κάθε ισχύει. ( ) 4 () 9, να δείξετε ότι η δεν αντιστρέφεται. (Γ). Έστω η συνάρτηση που είναι γνησίως μονότονη και διέρχεται από τα σημεία A(,5) και B(,). α) Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της. β) Να βρείτε τους αριθμούς (5) και () γ) Να λυθεί η ανισότητα 4. Δίνεται η συνάρτηση : ( ).. έτσι ώστε ( y) () (y), () για κάθε. α) Να δείξετε ότι (), ( ) για κάθε. () β) Να δείξετε ότι (), για κάθε. γ) Αν η είναι -, να δείξετε ότι ( y) () (y),, y. (Δ)
5. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης αντίστροφή της. 6. α) Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης (). β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων γ) Να λυθεί η εξίσωση () (). 7. Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει α) Να δείξετε ότι η είναι -. β) Να βρείτε την. γ) Να εξετάσετε αν το σημείο Ο(, ) C δ) Να εξετάσετε αν το σημείο Σ(,) C ε) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. στ) Να λύσετε την εξίσωση () (),. () (), με ( ). () με την (Γ) Γ. Γενικές Επαναληπτικές 8. Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι. Να βρείτε το (). ν οροι (), για κάθε 9. Αν για μια συνάρτηση : ισχύει ( y) () (y) για κάθε, y, να δειχθεί ότι: i) () ii) η είναι περιττή iii) (ν) ν(), ν, για κάθε iv) (α) α(),α, για κάθε v) * (ρ) ρ(),ρ, για κάθε. Αν η συνάρτηση : έχει την ιδιότητα () (), για κάθε να αποδείξετε ότι: (i) η είναι αντιστρέψιμη (ii) είναι () - (iii) () () για κάθε ( ).. Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα () για κάθε. Να αποδειχθεί ότι: (i). (ii) * H έχει σύνολο τιμών το. (iii) H αντιστρέφεται. (iv) () (), Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -9-
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδι555 Ενότητα 5 η ο. -.β Ερωτήσεις Σ-Λ στις Συναρτήσεις Χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως αληθείς (Α) ή ψευδείς (Ψ). Ο κύκλος είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης () ρ, όπου ρ.. Για τη συνάρτηση () ln,, ισχύει ( y) () (y) για κάθε, y >.. Για τη συνάρτηση (),, ισχύει ( y) () (y) e για κάθε, y 4. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον άξονα. 5. Δύο συναρτήσεις, g είναι ίσες, αν υπάρχουν κάποια, ώστε να ισχύει () g(). 6. Για να ορίζονται το άθροισμα και το γινόμενο δύο συναρτήσεων και g θα πρέπει τα πεδία ορισμού τους να έχουν κοινά στοιχεία. 7. Αν η συνάρτηση είναι, οι συναρτήσεις g, h έχουν πεδίο ορισμού το και ισχύει h() g() για κάθε, τότε οι συναρτήσεις g και h είναι ίσες. 8. Η συνάρτηση (), είναι σταθερή 9. Αν το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (α, β), τότε η δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο.. Μια συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το, είναι γνησίως αύξουσα και έχει σύνολο τιμών το (, ). Τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Δίνεται η συνάρτηση y (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C με τον άξονα μπορούν να βρεθούν, αν θέσουμε όπου y = και λύσουμε την εξίσωση.. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.. Η συνάρτηση () είναι γνησίως φθίνουσα στο σύνολο (,) (, ). 4. Αν η περιττή συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο, τότε θα παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 --
5. Αν μια άρτια συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο, τότε παρουσιάζει το ίδιο είδος ακροτάτου στο σημείο. 6. Αν μια συνάρτηση είναι άρτια, τότε είναι. 7. Αν μια συνάρτηση είναι, τότε είναι πάντοτε περιττή. 8. Η συνάρτηση ν (), ν * είναι: i) άρτια, αν ο ν είναι άρτιος ii) περιττή, αν ο ν είναι περιττός. 9. Αν η συνάρτηση είναι, τότε ισχύουν: i) () ii) για κάθε που ανήκει στο σύνολο τιμών της. () για κάθε D.. Έστω η συνάρτηση παραστάσεων των, [, ). Τότε κάθε κοινό σημείο των γραφικών C και C ανήκει στην ευθεία y =.. Αν μια συνάρτηση είναι άρτια, τότε υπάρχει η αντίστροφή της.. Αν οι συναρτήσεις και g έχουν πεδίο ορισμού το τότε ισχύει ότι: i) g g ii) g g.. Δίνεται μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και μια συνάρτηση I, για την οποία ισχύει Ι(), για κάθε. Τότε ισχύει I () I (), για κάθε. 4. Αν οι συναρτήσεις και g είναι γνησίως μονότονες στο, τότε η συνάρτηση g είναι: i) γνησίως αύξουσα, αν οι, g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας. ii) γνησίως φθίνουσα, αν οι, g έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας. 5. Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ με () για κάθε Δ, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ. 6. Αν οι συναρτήσεις και g είναι στο, τότε και η συνάρτηση g είναι στο. 7. Αν (, y) C, τότε (, y) C. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 --
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδι555 Ενότητα 6 η ο.4 ΟΡΙΟ ΣΤΟ (Έννοια, Πλευρικά, Όριο Ταυτοτικής Σταθερής συνάρτησης) Σημαντικές παρατηρήσεις.5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ (Διάταξη, Πράξεις). Το όριο μιας συνάρτησης στο είναι μία «τοπική» έννοια. Εξαρτάται δηλαδή από τη συ- μπεριφορά της συνάρτησης όταν το παίρνει τιμές «κοντά στο».. Το σύμβολο σημαίνει ότι : Το προσεγγίζει το όλο και περισσότερο, είτε από μι- κρότερες είτε από μεγαλύτερες τιμές, χωρίς να το φθάνει ( ). Η απόσταση του από το όλο και μικραίνει χωρίς να μηδενίζεται. [Δηλαδή ισχύει ότι η ποσότητα μικραίνει συνεχώς χωρίς να μηδενίζεται]. Το σύμβολο σημαίνει ότι : Το προσεγγίζει το όλο και περισσότερο, από μεγαλύ- τερες τιμές, χωρίς να το φθάνει. Η απόσταση του από το όλο και μικραίνει χωρίς να μη- δενίζεται. Ανάλογα: Το σύμβολο 4. Η συμπεριφορά της συνάρτησης στο σημείο δεν επηρεάζει το όριό της όταν το τείνει στο (αν αυτό υπάρχει). Έτσι προκύπτουν τα εξής: Το μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της, μπορεί και όχι. Μπορεί να είναι 5. Η τιμή του lim () lim () ( ) μπορεί και όχι. καθορίζεται, από τις τιμές που παίρνει η συνάρτηση κοντά στο. Δηλαδή, δύο συναρτήσεις που έχουν τις ίδιες τιμές σε ένα διάστημα γύρω από το αλλά μπορεί να διαφέρουν στο (παίρνουν διαφορετικές τιμές ή η μια ορίζεται και η άλλη δεν ορίζεται ή καμία δεν ορίζεται) έχουν το ίδιο όριο όταν το τείνει στο (σχολικό βιβλίο, σελ. 58-6). ***** 6. Όταν υπάρχει το όριο της () στο ( lim () ), τότε αυτό είναι μοναδικό. ***** 7. Οι έννοιες «το όριο ορίζεται» και «το όριο υπάρχει» είναι διαφορετικές. Το όριο μιας συνάρτησης στο ορίζεται, όταν η ορίζεται όσο θέλουμε «κοντά στο», δηλ. η ορίζεται σε ένα σύνολο της μορφής (, ) (, ) ή (, ) ή (, ). Έτσι, ένα όριο μπορεί να ορίζεται αλλά να μην υπάρχει. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 --
8. Ισχύει ότι: lim () lim () lim (). Άρα, αν το όριο υπάρχει, τότε τα πλευρικά όρια (όποια ορίζονται) είναι ίσα μεταξύ τους και ίσα με το όριο. αν το όριο δεν υπάρχει, ποιο συμπέρασμα μπορούμε να βγάλουμε για τα πλευρικά όρια; ***** 9. [Συνέπεια του ορισμού] lim () lim () lim () lim ( h) (για h ή = h ), αλλά και h lim () lim ( h) (για h ή = h h και ) *****. Οι πράξεις στα όρια εφαρμόζονται μόνο εφόσον υπάρχουν τα επιμέρους όρια.. Μπορεί να υπάρχει το όριο μιας πράξης συναρτήσεων χωρίς να υπάρχουν τα όρια των επιμέρους συναρτήσεων. Π.χ οι συναρτήσεις και g δεν έχουν όριο στο. lim () g() lim( ) 8. Το όριο όμως του αθροίσματός των υπάρχει: Πράγματι Βασικές Προτάσεις. «Αν lim (), τότε () κοντά στο». (θεώρημα ο, σελ. 65, σχολικό) Όμως, αν () κοντά στο, τότε (βρείτε παράδειγμα) lim ()...!!! [Ομοίως για < ]. Αν lim (), τότε () κοντά στο. 4. «Αν lim () lim g(), τότε () g() κοντά στο». (γιατί;) Όμως, αν () g() κοντά στο, τότε lim ()...limg()!!! [Ομοίως για < ] ***** 5. «Αν οι συναρτήσεις, g έχουν όριο στο και () g() κοντά στο, τότε lim () lim g()». 6. «Αν η συνάρτηση έχει όριο στο και () κοντά στο, τότε ***** (θεώρημα ο, σελ. 66, σχολικό) lim ()». (γιατί;) Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 --
7. «Αν lim () τότε lim () lim (). (θεώρημα ο, σελ. 66, σχολικό) Προσοχή!!! Το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή, αν lim () δεν συνεπάγεται υποχρεω- τικά και ότι υπάρχει το lim () 8. [Ειδική περίπτωση του παραπάνω για ] ισχύει ***** (βρείτε αντιπαράδειγμα) lim () lim (). (αποδείξτε το) 9. Αν lim (), τότε lim (). (αποδείξτε το) Μέθοδοι. Για να υπολογίσουμε ένα όριο της μορφής lim () : Ελέγχουμε αν το όριο υπολογίζεται απευθείας με αντικατάσταση του με. Όταν στην προσπάθειά μας να αντικαταστήσουμε το με προκύψει απροσδιοριστία - για την ώρα θα είναι της μορφής, τότε για να την άρουμε είτε: α) παραγοντοποιούμε την και κάνουμε τις απαραίτητες απλοποιήσεις, β) ή πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με την κατάλληλη συζυγή παράσταση, αν η συνάρτηση είναι άρρητη. (και οδηγούμαστε σε μια συνάρτηση g που συμπίπτει με την κοντά στο εκτός από το ). Εάν η συνάρτηση είναι πολλαπλού τύπου, τότε στο σημείο αλλαγής τύπου αναζητούμε το όριό της με χρήση πλευρικών ορίων. Εάν ζητούνται τιμές παραμέτρων ώστε να υπάρχει το όριο τότε απαιτούμε τα δύο πλευρικά όρια να είναι μεταξύ τους ίσα, αλλά και ίσα με το όριο της συνάρτησης. Αν ο τύπος έχει απόλυτες τιμές, βρίσκοντας τα όρια των παραστάσεων μέσα στις απόλυτες τιμές, καθορίζουμε το πρόσημό τους κοντά στο και βγάζουμε τα απόλυτα αναλό- γως. Αν, όμως, σε κάποιο απόλυτο η παράσταση εντός έχει όριο μηδέν, τότε παίρνουμε πλευρικά όρια και ελέγχουμε αν είναι ίσα. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -4-
Ασκήσεις Α. Όριο και Γραφική Παράσταση συνάρτησης (σχ. Α,4 σελ 64-5). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρεθούν τα παρακάτω όρια και τιμές: α) δ) ζ) lim () β) lim () ε) lim () γ) lim () στ) lim () lim() lim () η) () θ) ( ) - y 4 - - B. Μορφή / και Α/ (σχ. Α,4, B, σελ 74-6). Να υπολογίσετε, αν υπάρχουν, τα όρια (ρητές και ριζικά): i) lim 5 iv) lim vii) ) iii) lim lim m n lim viii),m, n 5 * m ii) lim,m, n n v) lim lim 5 4 i) lim (Γ) (Γ) iv) lim * iii) lim vi) lim i) ii) - - - lim lim - - - (Γ). Να υπολογίσετε, αν ορίζονται και υπάρχουν, τα όρια (απόλυτα): i) lim () και 4 lim (), όπου 5 () 5 4 5 7 ii) lim 9 6 5 7 iii) α 5 α α lim α α 5 iv) lim 9 v) lim 7 vi) lim 4 (Γ) vii) lim 4 viii) lim 5 (Γ) i) lim 4 9 4 4 4 4 (Γ) ) lim Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -5-
Γ. Εύρεση Παραμέτρων - «Θέτω» (σχ. B-4 σελ 76) 4. Δίνεται η συνάρτηση 4 α β 5. Αν lim να βρείτε τα α,β. (5 α ) β α β, (). Να βρείτε τα α,β, ώστε το lim (). α β 6, 6. Αν lim 5 να βρείτε τε α,β. α β 4 7. Να βρείτε τα α,β ώστε lim 6. 8. Έχουμε την συνάρτηση g() 4 ( α) β. Να βρείτε τα α,β ώστε lim g() 8, και g() lim. 5 4 9. α) Έστω,g :. Αν lim () g() και lim 5() 7g() 4, να βρείτε τα lim () και limg(). () β) Έστω,g :. Αν lim () γ) Έστω,g : με lim α και Να βρείτε το α και το lim (). και lim g() 8 4, να βρείτε το lim ()g(). 4 () () ().,. α) Να δείξεις ότι η συνάρτηση, με τύπο (), αντιστρέφεται και να βρείτε, 4 την αντίστροφή της. β) να βρείτε (αν υπάρχει) το lim () (). Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει lim. Αν για κάθε. (Γ). (Δ) ισχύει 4 4, να αποδείξετε ότι:. Η συνάρτηση έχει πραγματικό όριο στο κάθε. Να βρεθεί το lim. 4 lim. Να υπολογίσετε το όριο lim. 7 για και ισχύει ότι Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 5-6 -6-