Modulul 6 FIZICĂ CUANTICĂ

8 Modulul 6 FIZICĂ CUANTICĂ Coţiutul modulului: 6. Bazele expeimetale ale fizicii cuatice 6. Dualismul udă-copuscul 6.3 Relaţiile de edetemiae 6.4 Ecuaţia lui Scödige 6.5 Semificaţia fizică a fucţiei de udă 6.6 Aplicaţii ale ecuaţiei lui Scödige Evaluae:. Defiiea măimilo fizice şi pecizaea uităţilo lo de măsuă. Euţul şi fomula legilo fizice studiate 3. Răspusui la îtebăile fiale 6. Bazele expeimetale ale fizicii cuatice Mecaica cuatică se ocupă cu studiul legilo de mişcae ale micopaticulelo (de exemplu, electoi, potoi, mezoi) sau al sistemelo de astfel de micopaticule (de exemplu, uclee atomice, atomi, molecule, ioi) şi a iteacţiuilo cae guveează această mişcae. Petu a îţelege ecesitatea şi aia de itees a mecaicii cuatice, vom pezeta câteva fapte expeimetale di cae ea decuge. Radiaţia temică este emisia de eegie î mediul ambiat, sub foma udelo electomagetice, pe cae o ealizează oice cop, idifeet de tempeatua la cae se află. Această emisie se face pe seama eegiei itee a copului şi ae loc î mod cotiuu, pe tot spectul de lugimi de udă, da cu itesitate difeită petu difeite lugimi de udă şi ea depide î mod eseţial de tempeatua absolută T la cae se află copul. Deoaece toate copuile emit eegie electomagetică sub fomă de adiaţie temică, se ajuge la u momet dat ca două sau mai multe copui să aibe aceeaşi tempeatuă, adică să fie la ecilibul temodiamic. Î această situaţie, fluxul de eegie emisă de cop sub fomă de adiaţie temică este egal cu fluxul de eegie absobită de acesta. Î geeal, oice cop poate emite eegie şi poate absobi eegie, apotul dite capacitatea sa de emisie şi capacitatea de absobţie este acelaşi petu toate copuile, fiid o costată uivesală f(, T) cae depide de lugimea de udă şi de tempeatua absolută a copului. Acesta este coţiutul legii lui Kicoff. Petu o studiee mai uşoaă a adiaţiei temice s-a imagiat u model de cop ideal, umit copul absolut egu, cae absoabe toate adiaţiile ce cad asupa sa, idifeet de lugimea lo de udă, ia

8 costata uivesală di legea lui Kicoff este cia capacitatea de emisie a copului absolut egu. Î studiul adiaţiei temice (deci şi a adiaţiei copului absolut egu) se utilizează o seie de măimi fizice. Cele mai uzuale sut: Fluxul eegetic adiat itegal sau puteea adiată epezită eegia totală W emisă (adiată) de u cop î uitatea de timp, adică viteza (ata) de tasmisie î timp a eegiei adiate: dw Φ = J, cu uitatea: [ Φ ] SI = = W. (6.) dt s Fluxul eegetic spectal epezită eegia emisă sau absobită de u cop î uitatea de timp, da umai î itevalul de lugimi de udă (, +d): dφ Φ =, de ude Φ = d Φ d. (6.) Această măime aată faptul că eegia adiată (adiaţia temică) este distibuită î fucţie de lugimea de udă. Itesitatea eegetică a uei suse puctifome epezită fluxul de adiaţie emis î uitatea de ugi solid: dφ W I =, cu uitatea: [] I SI =. (6.3) d Ω s Ugiul solid este elemetul geometic sub cae se vede ditu puct O o aumită supafaţă de aie A şi omală exteioaă. Î SI se măsoaă î steadiai (s). Elemetul de ugi solid este: da da d Ω = = cosθ, (6.4) 3 ude θ este ugiul făcut de vectoul de poziţie al puctului de obsevaţie cu omala exteioaă a supafeţei elemetae da di juul acestui puct (fig. 6.). Fig. 6. Radiaţa sau emitaţa eegetică epezită fluxul eegetic adiat (emis) î toate diecţiile de o supafaţă oaecae A, apotat la uitatea de supafaţă: dφ W R =, cu uitatea: [ R] SI =. (6.5) da m Radiaţa spectală epezită fluxul eegetic emis î toate diecţiile de o supafaţă oaecae, apotat la uitatea de supafaţă, da umai î itevalul de lugimi de udă (, +d): dr R =, de ude: R = d R d. (6.6)

8 Desitatea de eegie adiată epezită eegia electomagetică medie adiată de u cop, î toate diecţiile, apotată la uitatea de volum: dw dv w =, cu uitatea: [ ] 3 J w SI =. (6.7) m Desitatea spectală de eegie adiată epezită eegia adiată de u cop, î toate diecţiile şi î uitatea de volum, da umai î itevalul de lugimi de udă (, +d): dw w =, de ude: w = d w d. (6.8) Ultima elaţie aată faptul că adiaţia temică este de fapt o supapuee ifiită de adiaţii moocomatice (cu = cost). Studiul expeimetal al copuilo (şi a modelului de cop absolut egu) a codus la fomulaea a o seie de legi cae vizau, pe de o pate, stabiliea atuii şi a mecaismului itim al adiaţiei temice, ia pe de altă pate, deduceea expesiei depedeţei desităţii spactale de eegie de lugimea de udă şi de tempeatuă. Vom amiti umai cele mai semificative legi. Legea lui Stefa Boltzma pecizează că adiaţa itegală a copului absolut egu depide de puteea a pata a tempeatuii sale absolute, adică: 4 R = σt, σ = 5,6687. -8 W? m - K -4, (6.9) ude costata σ se umeşte costata lui Stefa-Boltzma. Se poate demosta că îte adiaţa itegală R şi desitatea itegală de eegie adiată w există elaţia: c R = w, (6.) 4 deci o altă vaiată a legii lui Stefa Boltzma este: 4 4 4 w = σ T = at, a = 7,56. -6 J? m -3 K -4, (6.) c ude a este oua costată uivesală, cu valoaea de mai sus. Această lege a fost veificată expeimetal, dovedidu-se foate coectă. Legea lui Wie stabileşte pe cale semiempiică că desitatea spectală de eegie este o fucţie cae depide de podusul dite lugimea de udă şi tempeatuă, adică T, împăţită la puteea a cicea a lugimii de udă: w = F( T ). (6.) 5 Di acestă lege ezultă legea lui Stefa Boltzma: 4 4 w = w d = F( T ) d( T ) T at 5, (6.3) ( T ) ude, paateza mae fiid o itegală defiită, am otat-o cu a şi ea este tocmai costata lui Stefa Boltzma. Impotaţa legii lui Stefa Boltzma este evideţiată şi atuci câd se calculează maximul desităţii spectale de eegie:

83 dw df = 5 ( ) ( ) = 6 T F T 6 ( ) G T. (6.4) d d T Fucţia di paateza mae, otată cu G(T), ae o siguă soluţie eală, pe cae o otăm astfel: T = b max, b =,8978. -3 m.k (6.5) ude valoaea costatei b se detemiă expeimetal. Raţioametul de mai sus costituie tocmai deduceea teoetică a legii de deplasae a lui Wie: podusul dite lugimea de udă coespuzătoae maximului desităţii spectale de adiaţie şi tempeatua absolută a copului adiat este o costată (fig. 6.). Fig. 6. Se obsevă că, dacă tempeatua absolută a uui cop adiat ceşte, atuci lugimea de udă coespuzătoae maximului de adiaţie temică scade, adică se va deplasa îspe lugimi de udă mai mici (îspe ultaviolet). Legea lui Plack a fost obţiută poid de la ipoteza cofom căeia copul egu este fomat di oscilatoi elemetai (atomi, molecule, ioi), cae emit eegie sub fomă de adiaţie temică de ecilibu. Distibuţia după eegii a umăului de oscilatoi se admite că este o distibuţie Maxwell-Boltzma. Îsă, Plack cosideă că emisia de eegie u ae loc î mod cotiuu, ci discotiuu sau discet, sub fomă de poţii miime de eegie, umite cuate de eegie: c ε = ν =, (6.6) ude = 6,657-34 J s este costata lui Plack, ia ν, espectiv sut fecveţa, espectiv lugimea de udă a oscilatoului. Deoaece eegia uui oscilato se emite sub fomă de cuate (poţii elemetae), ea u poate avea oice valoae, ci doa valoi cae sut multiplii îtegi ai cuatei elemetae: E = ν = ω, (6.7)

84 cu =,,,..., ude ћ = / π se umeşte costata edusă a lui Plack, ia ω este pulsaţia oscilatoului. Di acest motiv, eegia medie a uui oscilato u se va calcula cu ajutoul uei itegale, ci cu ajutoul uei sume: E = = E = ρ ρ = ν = e = e x x d = ν l dx e = x, (6.8) ude am utilizat otaţia: x = βν. Suma ifiită este tocmai o pogesie geometică, astfel că eegia medie a uui oscilato va fi: ν c E = =. (6.9) ν c kbt kb T e Aici am idicat totodată şi expesia î fucţie de vaiabila lugime de udă. Petu a afla desitatea de eegie coespuzătoae itevalului de lugimi de udă (, +d), vom îmulţi eegia medie a uui oscilato cu umăul de oscilatoi cae au lugimea de udă situată î acest iteval. Se poate demosta că acest umă este: 8π N =. (6.) 4 Astfel, expesia desităţii spectale de eegie adiată, expesie cuoscută şi sub umele de legea de distibuţie a lui Plack, este: 8πc w =. (6.) 5 c e k B T Această expesie, dedusă di cosideete pu teoetice, ae tocmai foma ceută de legea lui Wie. Di ea va putea fi obţiută valoaea exactă a costatei a di legea lui Stefa Boltzma şi a costatei b di legea de deplasae a lui Wie. Î plus, cocodaţa foate buă dite datele expeimetale şi depedeţa desităţii spectale de eegie de lugimea de udă, justifică pe depli ipoteza cuatelo de eegie a lui Plack. Ipoteză cuatelo de eegie pemite, deci, explicaea completă a feomeelo legate de adiaţia temică de ecilibu. Efectul fotoelectic epezită emisia de electoi de căte u metal iadiat cu adiaţii moocomatice di domeiul ultaviolet (sau di domeiul vizibil, petu metalele alcalie). Expeimetal se deduc umătoaele legi: Legea I: Itesitatea de satuaţie a cuetului fotoelectic (deci câd toţi fotoelectoii emişi ajug la aod, făă a se cea o saciă spaţială î juul catodului) este popoţioală cu fluxul adiaţiei moocomatice: I S ~ Φ. Legea a II-a: Eegia cietică a fotoelectoilo extaşi este diect popoţioală cu fecveţa adiaţiei moocomatice: E c ~ ν şi u depide de fluxul adiaţiei icidete: E c f(φ). Legea a III-a: Efectul fotoelectic apae doa peste o aumită fecveţă de pag ν p, specifică fiecăui metal: ν = ν p. Legea a IV-a: Efectul fotoelectic se poduce ît-u timp foate scut, pactic istataeu. e

85 Î aul 95, Albet Eistei dă o explicaţie teoetică coectă acesto patu legi expeimetale. El extide şi asupa adiaţiei ipoteza cuatelo a lui Plack şi admite că u umai emisia de adiaţie este discotiuă, ci şi adiaţia îsăşi, fiid fomată di paticule umite fotoi. Eegia fotoului este dată de expesia lui Plack: E f = ν = ћ ω, (6.) Fotoul este o paticulă cae se mişcă cu o viteză egală cu viteza lumiii î vid c. Deci, avâd viteza v = c, fotoul u se poate găsi î epaus ci doa î mişcae, adică masa sa de epaus este egală cu zeo: mof m f =, deci, ezultă: m of =. (6.3) v c Impulsul fotoului, cofom teoiei elativităţii, este: E f ν p f = m f c = c = =. (6.4) c c Eistei a explicat efectul fotoelectic astfel: fotoii adiaţiei icidete pătud î metal şi se ciocesc cu electoii libei ai atomilo metalului, fiid absobiţi de aceştia. Eegia absobită de electoi seveşte la scoateea electoului di metal, efectuâdu-se u lucu mecaic de extacţie L ex, ia estul de eegie este tasfomat î eegie cietică a fotoelectoului extas. Legea de cosevae a eegiei î cazul efectului fotoelectic se poate scie astfel: m v ν = Lex +. (6.5) Aici apae masa de epaus m a fotoelectoului, ceea ce îseamă că efectul fotoelectic este u efect eelativist, adică viteza v a fotoelectoului extas este cu mult mai mică decît viteza lumiii î vid, adică este o viteză eelativistă. Cu legea de cosevae scisă de Eistei se pot explica foate uşo legile expeimetale ale efectului fotoelectic. Legea I : Deoaece fiecae foto al adiaţiei icidete scoate umai u sigu electo di metal, la satuaţie umăul acestoa fiid N s, putem scie: dqs d dn s I s = = ( N se) = e. (6.6) dt dt dt Da fluxul adiaţiei icidete se poate scie şi astfel: dws d dn s Φ s = = ( N sν ) = ν. (6.7) dt dt dt Radiaţia icidetă fiid moocomatică, fecveţa ei este costată şi se obţie tocmai depedeţa căutată: e I s = Φ s, de ude: I s ~ Φ s. (6.8) ν Legea a II-a se obţie uşo: mv Ec = = ν L ex, de ude: E c ~ ν. (6.9)

86 Deci eegia cietică este popoţioală cu fecveţa. Legea a III-a se obţie ţiâd cot că eegia miimă a fotoelectoului tebuie să asigue doa extageea acestuia di metal. Puâd codiţia ca eegia cietică a fotoelectoului scos să fie ulă, di legea cosevăii ezultă valoaea fecveţei de pag: E c =, ν p = L ex, de ude: ν = p. (6.3) Îlocuid această valoae î legea cosevăii eegiei, obţiem codiţia: mv ν ν p =, (6.3) ceea ce aată că efectul fotoelectic ae loc doa petu o fecveţă mai mae decât fecveţa de pag: ν ν = p. (6.3) Legea a IV-a se explică pi faptul că pocesul de absobţie a eegiei fotoului de căte electoul metalului duează extem de puţi (câteva aosecude), ceea ce dă impesia de istataeitate a poduceii efectului fotoelectic. Efectul Compto epezită difuzia sau ciociea uui foto di domeiul azelo X cu o ţită fixă (u electo libe sau o altă paticulă), poces î cae o pate di eegia fotoului icidet este tasfeată ţitei. De la u tub Rőetge se timite u fascicul de aze X spe u sistem de fate (cu ol de colimae), petu a se obţie u paalelism cât mai bu al azelo X. După colimae, fascicolul de aze X cade pe u cistal de gafit şi sufeă o deviaţie de ugi θ faţă de diecţia iiţială. Fascicolul deviat (difuzat) este captat de u detecto cae îegistează u cuet a căui itesitate este popoţioală cu itesitatea fascicolului difuzat. Î cocluzie, efectele fotoelectic şi Compto cofimă faptul că adiaţia electomagetică ae şi o atuă copusculaă, fiid fomată di paticule umite fotoi, cae posedă eegie şi impuls, la fel ca şi oicae alt cop. 6. Dualismul udă-copuscul Radiaţia electomagetică ae o atuă dublă sau duală: odulatoie şi copusculaă. Î uele feomee (de exemplu, itefeeţa şi difacţia) se maifestă mai pegat caacteul odulatoiu al adiaţiei electomagetice, ia î alte feomee (de exemplu, efectele fotoelelectic şi Compto), iese î evideţă caacteul copuscula, adică faptul că adiaţia este fomată di fotoi, paticule cu masa de epaus zeo. Aceste cosideaţii sut cuoscute sub deumiea de dualismul udă-copuscul. Fiecăei micopaticule i se asociază o udă (umită, ulteio, uda de Boglie), cae ae lugimea de udă şi, espectiv fecveţa: E = =, ν =, (6.33) p mv L e L ex

87 î mod cu totul aalog ca şi petu foto. Deci micopaticulei cu caacteisticile copusculae: masa m, impulsul p=mv şi eegia E, i se asociază uda de Boglie, cae este o udă plaă moocomatică, de foma: i ( ) ( k ) ( E t p ) i ω t Ψ, t = Ae = Ae. (6.34) Am ţiut cot de elaţia dite impulsul p al micopaticulei şi dite modulul vectoului de udă k: π p = = = k. (6.35) π Câd se calculează viteza de popagae a udei de Boglie (adică viteza de fază), se costată o cotadicţie cu teoia elativităţii. Faza udei este: α (, t) = ( Et p) = cost., deci: dα (, t) =. (6.36) Deci, viteza de fază a udei moocomatice de Boglie este defiită î mod obişuit, ţiâd cot de elaţia pecedetă: d E mc c v f = = = = > c. (6.37) dt p mv v Acest ezultat cotavie teoiei elativităţii: ici u cop (şi, deci, ici uda asociată lui) u se poate mişca cu o viteză mai mae decât viteza lumiii î vid. Petu ezolvaea aceastei cotadicţii s-a asociat uei micopaticule u o udă moocomatică plaă de Boglie, ci o mulţime ifiită de ude moocomatice plae, foate puţi difeite ua de alta, pi valoaea modulului vectoului de udă, mulţime ifiită umită gup de ude sau pacet de ude. Dept umae, paticula va avea o mişcae ectiliie şi uifomă cu viteza: d dω v g = =, (6.38) dt dk umită viteza de gup. Ţiâd cot de elaţia dite eegie şi pulsaţie, espectiv dite impuls şi modulul vectoului de udă, viteza de gup va fi: dω de d 4 pc v g ( p c m c ) = = = + = = v < c, (6.39) dk dp dp E ude am utilizat expesia elativistă a eegiei. Deci, viteza de gup este egală cu viteza de mişcae a paticulei îsăşi, ceea ce dovedeşte justeţea ipotezei de a asocia uei paticule u o siguă udă de Boglie, ci u gup de ude. 6.3 Relaţiile de edetemiae Fie u gup de ude cu deplasae de-a lugul axei Ox. Se poate stabili o elaţie îte localizaea spaţială a gupului de ude (deci şi a paticulei), adică x şi itevalul p x ude se situează valoile impulsului acesteia. Podusul acesto măimi, umite edetemiăi sau impecizii u poate lua oice valoae, ci este de odiul de măime al costatei lui Plack: x p x ~. (6.4)

88 Această elaţie se mai poate scie scie şi astfel: x p x = ћ, sau: x p x = ћ/. (6.4) Relaţii asemăătoae se pot scie şi petu celelalte vaiabile spaţiale y şi z şi ele se umesc elaţiile de edetemiae sau elaţiile de icetitudie sau elaţiile de impecizie ale lui Heisebeg. Ne aată că podusul dite edetemiăile sau impeciziile de măsuae simultaă a poziţiei şi impulsului micopaticulei tebuie să fie de odiul de măime al costatei lui Plack. Î fizica clasică, măsuaea măimilo fizice u este limitată picipial, ci doa de pecizia istumetelo de măsuă utilizate. Deci, cel puţi di puct de vedee teoetic, impecizia de măsuae poate fi egală cu zeo, adică se obţie valoaea exactă a măimii de măsuat. Î fizica micopaticulelo acestă cocluzie este valabilă, î picipiu, atuci câd se măsoaă o siguă măime fizică. Da dacă doim să măsuăm simulta două măimi fizice, umite măimi caoic cojugate, atuci situaţia este picipial difeită. După cocepţia lui Heisebeg, u este posibilă măsuaea simultaă, cu oice pecizie doită, a două măimi caoic cojugate, căci, pi măsuaea oicăeia di aceste două măimi, se ajuge la u cotact cu sistemul fizic (paticula), cu cae ocazie ae loc o iteacţiue îte apaatul de măsuă şi paticulă, ceea ce face ca să se modifice staea sistemului (staea paticulei), deci se modifică şi valoaea măimii caoic cojugate. De exemplu, pi măsuaea poziţiei paticulei (a coodoatei sale) ae loc u tasfe de eegie (impuls) căte paticulă şi, evidet, se petubă detemiaea exactă a valoii impulsului paticulei. Cosideâd o udă moocomatică (deci cu = cost, adică cu k =, sau p x = ), di elaţiile de edetemiae ezultă x, deci paticula u poate fi localizată spaţial (poate fi situată oiude î spaţiu). Îseamă că uda moocomatică u poate descie u poces localizat î spaţiu, deci u este adecvată petu a fi asociată uei micopaticule. Î mod aalog, pesupuâd că am putea localiza pefect poziţia micopaticulei (î ses clasic), deci x =, di elaţiile de edetemiae ezultă că p x, deci impulsul micopaticulei a fi complet edetemiat, î sesul că am şti imic despe valoaea posibilă a impulsului, impecizia fiid oicât de mae. Acesta îseamă că, î mecaica cuatică, datoită valabilităţii elaţiilo de edetemiae, oţiuea clasică de taiectoie u ae ses, adică u putem vobi î mecaica cuatică de o liie oaecae ce a epezeta uma dumului stăbătut de paticulă (taiectoia paticulei). Relaţiile de edetemiae sub foma pecedetă (efeitoae la peecea de vaiabile caoic cojugate coodoată-impuls), coduc la elaţiile de edetemiae î vaiabilele caoic cojugate eegietimp: E t, sau E t. (6.4) Aceasta ouă fomă a elaţiilo de edetemiae aată că podusul dite edetemiaea de măsuae a eegiei paticulei E

89 îmulţită cu itevalul de măsuae t este de odiul de măime al costatei lui Plack. Itevalul de timp t se itepetează ueoi şi ca timp de viaţă al micopaticulei (timpul cât micopaticula se situează pe u aumit ivel eegetic). Relaţiile de edetemiae tebuie pivite î ideea că micopaticulele au u caacte dual (copuscula şi odulatoiu). Ele u aată că este imposibil de detemiat simulta coodoata şi impulsul paticulei (ceea ce a fi îsemat că paticula u poate fi cuoscută î îtegime), ci aată că este imposibil să detemiăm cele două măimi simulta şi cu oice pecizie doită (ca î mecaica clasică). Pecizia u este detemiată de posibilităţile teice limitate ale apaatuii de măsuat, ci ae caacte picipial, fiid legată de existeţa costatei lui Plack. La limita, s-a ajuge la elaţia x p x, adică la situaţia di mecaica clasică. 6.4 Ecuaţia lui Scödige Deoaece mişcaea micopaticulelo u putea fi descisă cu ajutoul ecuaţiei lui Newto di mecaica clasică (am văzut că oţiuea clasică de taiectoie u ae ses î mecaica cuatică), se puea poblema găsiii uei ecuaţii căeia să i se supuă mişcăile micopaticulelo. Aceasta este ecuaţia lui Scödige. Scödige a asociat mişcăii micopaticulelo o fucţie de coodoate şi de timp, pe cae a deumit-o fucţie de udă sau fucţie de stae (petu că ea îglobează ifomaţiile î legătuă cu staea micopaticulei). Ea este cia fucţia gupului de ude de Boglie: + i t A k e [ k t k ] ω Ψ, = dk. (6.43) ( ) ( ) ( ) Să găsim ecuaţia difeeţială a căei soluţie a fi cia fucţia de udă de mai sus. Ţiâd cot de elaţia: k = k x x + k y y + k z z, (6.44) ia pe de altă pate, de faptul că pulsaţia udei este legată de eegia totală a paticulei (eegia cietică plus eegia poteţială U), cae este o măime costată (se cosevă): p ω ( k ) = E( k ) = + U ( ) = k + U ( ), (6.45) m m putem deiva fucţia de udă a gupului de ude o dată î apot cu timpul, apoi, sepaat, de două oi î apot cu fiecae vaiabilă spaţială. După calcule elemetae, vom ajuge la umătoaea elaţie îte deivatele paţiale ale fucţiei de udă: Ψ(, t) i = + U ( ) Ψ(, t). (6.46) t m Această elaţie este tocmai ecuaţia tempoală a lui Scődige, cae este ecuaţia fudametală a mecaicii cuatice eelativiste.

9 Obsevaţie: Î geeal u opeato A idică o opeaţie matematică (aduae, îmulţie, deivae, itegae etc.), pi cae o fucţie oaecae f se pue î coespodeţă cu o altă fucţie g. Acest fapt se scie astfel: A f = g şi se citeşte: opeatoul A aplicat fucţiei f este egal cu fucţia g. Evidet că opeatoul î sie u ae ses, ci umai dacă este aplicat uei fucţii. Se obsevă că î ecuaţia lui Scődige apa doi opeatoi: uul de deivae paţială î apot cu vaiabila tempoală, pecum şi opeatoul lui Laplace, cae ae umătoaea semificaţie: = + +, (6.47) x y z adică este egal cu suma deivatelo paţiale de odiul doi ale fucţiei de udă, după toate cele tei vaiabile spaţiale. Dacă eegia poteţială a paticulei (sau, î geeal, a sistemului cuatic) u depide explicit de timp, atuci fucţia de udă se poate scie ca u podus de două fucţii cae depid sepaat de timp, espectiv de vaiabilele spaţiale. Se demostează uşo că î acest caz avem de a face, di puct de vedee matematic, cu o ecuaţie cu vaiabile sepaabile, ia patea de depedeţă tempoală va fi îtotdeaua de tip amoic, adică: i E t Ψ(, t) = e Ψ( ). (6.48) Dacă îlocuim acestă expesie î ecuaţia tempoală a lui Scődige şi efectuăm opeaţiile coespuzătoae, vom obţie tocmai ecuaţia atempoală a lui Scődige sau ecuaţia lui Scődige a stăilo staţioae: Ψ( ) + U ( ) Ψ( ) = EΨ( ), (6.49) m ude m este masa paticulei, ia E este eegia sa totală. Ecuaţia lui Scődige, sub ambele fome pezetate, este o ecuaţie difeeţială de odiul doi cu deivate paţiale. Rezolvaea ei ţie cot de codiţiile iiţiale şi la limită şi coduce la găsiea soluţiei, adică a expesiei cocete a fucţiei de udă (sau, cum se mai umeşte, a fucţiei de stae) Ψ, coespuzătoae poblemei examiate. Î fiecae stae a sistemului cuatic, o măime fizică oaecae A, ce caacteizează sistemul, măime umită obsevabilă, ae o aumită valoae. Aceste stăi î cae măimea obsevabilă ae o aumită valoae, se umesc stăi popii ale obsevabilei A, ia valoaea a pe cae o ae obsevabila se umeşte valoae popie. Fucţia de stae se umeşte stae popie şi se otează cu Ψ a. Ea este o soluţie a uei ecuaţii de foma umătoae, umită ecuaţia valoilo popii sau ecuaţia de valoi popii: A Ψ a = aψ a. (6.5) Dite toate fucţiile matematice cae satisfac ecuaţia valoilo popii, u toate au ses fizic, adică u toate pot fi fucţii de stae, ci umai acele fucţii Ψ cae satisfac codiţiile stadad:. să fie uivoce (î fiecae puct să aibă o siguă valoae);. să fie fucţii cotiue şi să aibă deivate cotiue; 3. să fie fucţii măgiite, ia la ifiit să se auleze;

9 4. să fie fucţii de pătat itegabil. De aceea paametul a di ecuaţia de valoi popii u poate avea oice valoae, ci umai aumite valoi, umite valoi popii. Fiecăei valoi popii îi coespude ua sau mai multe fucţii popii, deci ua sau mai multe stăi ale sistemului. Dacă uei sigue valoi popii îi coespude o siguă fucţie popie, staea se umeşte edegeeată, ia dacă uei sigue valoi popii îi coespud mai multe fucţii popii, aceste stăi se umesc stăi degeeate, ia umăul lo se umeşte multiplicitate sau gad de degeeae. Î mecaica cuatică este valabil picipiul de coespodeţă, cofom căuia, fiecăei măimi obsevabile A di mecaica clasică îi coespude î mecaica cuatică u opeato cae satisface o ecuaţie de valoi popii de tipul idicat mai sus. Obsevăm că şi ecuaţia lui Scödige a stăilo staţioae poate fi scisă sub foma uei ecuaţii de valoi popii: + U ( ) ( ) = EΨ( ) m Ψ, (6.5) ude î membul stâg al ecuaţiei apae opeatoul eegiei totale sau opeatoul lui Hamilto sau opeatoul amiltoia, otat cu H: H = + U ( ), (6.5) m pimul teme epezetâd opeatoul eegiei cietice: E = p = = ( i )( i ) c m m, (6.53) m ia cel de al doilea este opeatoul eegiei poteţiale: U ( ) = U ( ). (6.54) Acesta di umă coicide cu îsăşi eegia poteţială, deci acţiuea lui asupa fucţiei de udă epezită o simplă îmulţie. Eegia poteţială depizâd umai de vaiabila vectoul de poziţie, este lese de tas cocluzia că opeatoul coodoată este egal cu el îsuşi, deci tot u opeato de îmulţie. Di modul cum am scis expesia opeatoului eegiei cietice se poate obseva că opeatoul impuls se expimă î fucţie de opeatoul vectoial (abla): p = i = i i + j + k. (6.55) x y z Î felul acesta, apelâd la coţiutul picipiului de coespodeţă, se pot deduce opeatoii tutuo măimilo obsevabile ce caacteizează sistemul cuatic examiat. Podusul scala a două fucţii de stae, otat (Ψ, Ψ ) este u umă egal cu itegala de mai jos: +, Ψ * ( Ψ Ψ ) = Ψ ( ) ( ) d, (6.56) ude simbolul * epezită opeaţia de cojugae complexă, adică îlocuiea uităţii imagiae i cu i, ia itegala de volum se face peste tot spaţiul vaiabilelo spaţiale.

9 Ţiâd cot de această defiiţie, să puctăm şi o popietate impotată a opeatoilo cuatici: ei tebuie să fie opeatoi autoadjucţi sau opeatoi emitici, adică tebuie să satisfacă umătoaea elaţie efeitoae la podusul scala: ( Ψ, A Ψ ) = ( AΨ, Ψ ), (6.57) elaţie î cae î pimul podus scala opeatoul acţioează umai asupa fucţiei otată cu idicele, ia î cel de al doilea podus scala opeatoul acţioează umai asupa fucţiei otată cu idicele. 6.5 Semificaţia fizică a fucţiei de udă Pătatul modulului fucţiei de udă epezită desitatea de pobabilitate ρ(, t) de a găsi paticula la u momet oaecae de timp t î domeiul delimitat de coodoatele (x, x + dx), (y, y + dy), (z, z + dz), adică î volumul elemeta (ifiitezimal) dv = dx dy dz : dp ρ(, t) = Ψ(, t) = Ψ( ) ρ( ). (6.58) dv Codiţia de omae a pobabilităţilo va coduce la codiţia de omae a desităţii de pobabilitate: dp = ρ ( ) dv =. (6.59) D Deci, fucţia de udă sau fucţia de stae u ae o itepetae fizică emijlocită, ci ses fizic ae doa pătatul modulului acesteia. Di sesul fizic al fucţiei de udă ezultă că mecaica cuatică ae u caacte statistic. Ea u pemite să se detemie locul exact di spaţiu î cae se găseşte o micopaticulă sau taiectoia ei. Cu ajutoul fucţiei de udă se poate doa pevedea cu ce pobabilitate se poate găsi micopaticula î difeite pucte (egiui) ale spaţiului. Avâd î vedee caacteul statistic al mecaicii cuatice, dacă asupa uei obsevabile A se efectuează mai multe măsuătoi, obţiâdu-se valoaea a, cu o desitate de pobabilitate ρ, atuci valoaea medie de apaiţie a acestui ezultat este dată de itegala (vezi capitolul de fizică statistică): a = a ρ ( ) dv = Ψ ( ) a Ψ( )dv. (6.6) D D Ţiâd cot de ecuaţia de valoi popii, această elaţie se mai poate scie ca şi cum am îlocui, fomal, valoaea popie a cu opeatoul A asociat obsevabilei espective: A = Ψ AΨ. (6.6) D ( ) ( )dv Relaţia de mai sus epezită valoaea medie a uui opeato î staea Ψ. Se obsevă că putem idetifica valoaea medie a opeatoului ît-o stae cu valoaea medie a măsuătoilo î acea stae şi cae epezită cia valoaea popie a opeatoului î acea stae: A = a = a. (6.6) Valoile medii, fiid valoi măsuabile, sut valoi eale, deci: a = a, de ude ezultă: A = A. (6.63)

93 Această codiţie este îdepliită umai de opeatoii emitici şi de aceea este evoie ca opeatoii cuatici să fie opeatoi emitici, ia fucţia de stae Ψ î cae se face măsuătoaea să fie eapăat o fucţie popie a opeatoului A. Dacă fucţia de stae î cae se face măsuătoaea, otată cu Φ, u este o fucţie popie a opeatoului A, atuci sigu u se va obţie, dept ezultat al măsuătoii, valoaea popie a, ci o altă valoae. Aceasta este cu atât mai "depătată" de valoaea a, cu cât este mai "depătată" fucţia Φ de fucţia Ψ. Ca o măsuă a acestei deosebii se utilizează icetitudiea sau edetemiaea măimii A, defiită ca ădăcia pătată di abateea pătatică medie: ( A A ) = A A A =. (6.64) Fucţiile popii ale opeatoilo emitici tebuie să fie fucţii otogoale, adică podusul lo scala să fie egal cu zeo. Aceasta îseamă că putem scie elaţia de otoomae: Ψ ( ) Ψm ( ) dv = δ m, (6.65) D ude δ m este simbolul lui Koecke, ale căui valoi sut umătoaele: dacă = m, atuci δ m = şi avem elaţia de omae, ia dacă m, atuci δ m = şi avem elaţia de otogoalitate. 6.6 Aplicaţii simple ale ecuaţiei lui Scödige Ecuaţia lui Scödige este implicată î umeoase feomee cuatice, dite cae vom examia câteva. Petu uşuiţa calculelo vom cosidea doa poblema uidimesioală, deci fucţia de udă va depide doa de vaiabila x, ia opeatoul lui Laplace se va educe la deivata a doua î apot cu x. a. Goapa de poteţial de adâcime ifiită. Pi acest cocept se îţelege o distibuţie de poteţial de foma (fig. 6.3):, x [, l] U ( x) =. (6.66), x (,) U ( l, + ) Să examiăm compotaea uei micopaticule de masă m, cae se găseşte î iteioul gopii. Deci fucţiile de udă di exteioul gopii vo fi zeo, adică Ψ (x) = Ψ 3 (x) =, ia Ψ (x) Ψ(x). Fig. 6.3

94 Ecuaţia lui Scödige a stăilo staţioae, petu paticula aflată î goapa de poteţial este: d Ψ m + EΨ =. (6.67) dx Măimea di faţa fucţiei de udă ae dimesiuile pătatului modulului vectoului de udă şi de aceea o vom ota cu k : m k = E. (6.68) Se veifică pi calcul diect, că soluţia ei geeală este: ikx ikx Ψ ( x) = Ae + Be. (6.69) Di puct de vedee fizic, această soluţie geeală este o supapuee de două ude amoice plae au acelaşi modul al vectoului de udă (au aceeaşi pulsaţie): ua de amplitudie A, cae se deplasează î sesul pozitiv ala axei x (uda diectă) şi cealaltă, de amplitudie B, cae se deplasează î sesul egativ al axei x (uda eflectată). Codiţia de cotiuitate î puctul x = (peetele di stâga): Ψ ( ) = Ψ( ) =, coduce la: A = B, (6.7) ceea ce face ca expesia fucţiei de udă să deviă: ikx ikx Ψ( x) = A( e e ) = iasi kx, (6.7) ude am ţiut cot de fomulele lui Eule efeitoae la expimaea fucţiilo tigoometice pi expoeţiale complexe. Codiţia de cotiuitate la peetele di deapta, situat î puctul x = l coduce la elaţia: Ψ() l = Ψ 3 () l =, de ude se obţie: ia si kl =. (6.7) Deoaece amplitudiea A a udei diecte tebuie să fie difeită de zeo, ezultă umătoaea codiţie: π si kl =, de ude: k =, (6.73) l ude =,,,... este u umă îteg. Deci modulul vectoului de udă u poate lua oice valoae, ci umai aumite valoi specificate de umăul îteg. De aceea, petu a deosebi difeitele fucţii de udă, coespuzătoae difeitelo valoi ale umăului îteg, îi vom ataşa acesteia idicele. Deci fucţiile de udă vo fi: π Ψ ( x) = Ψ ( x) = iasi x. (6.74) l Valoaea costatei A se găseşte di codiţia de omae: l ( x) Ψ ( x) Ψ dx =, (6.75) astfel că expesia fială a fucţiei de udă va fi: π Ψ ( x) = si x. (6.76) l l Ea epezită o udă staţioaă (o udă a căei amplitudie este expimată pit-o fucţie peiodică de vaiabila spaţială x), cae ae u umă de + odui (pucte ude amplitudiea este egală cu zeo),

95 dite cae două odui la peeţii gopii şi estul î iteio şi ae u umă de vete (pucte ude amplitudiea este maximă). Modulul vectoului de udă, fiid legat de eegia totală a micopaticulei: m π π k = E =, ezultă: E =. (6.77) l m l Ultima elaţie aată că eegia micopaticulei aflate ît-o goapă de poteţial ifiit de adâcă u poate lua oice valoae, ci umai aumite valoi discotiue sau discete, cae depid de umăul îteg. Se spue că eegia micopaticulei aflate î iteioul gopii de poteţial ifiit de adâci este cuatificată, ia umăul îteg, cae cuatifică eegia, se umeşte umă cuatic picipal. Spectul eegetic u este, deci, î acest caz, u spectu cotiuu, ci u spectu discotiuu sau u spectu discet. Nivelele eegetice u sut ecidistate, ci distaţa dite ele ceşte apoximativ popoţioal cu umăul cuatic picipal : = = π E + ( + ) 39 E E + J. (6.78) m l Ultimul calcul umeic l-am făcut petu masa m a uei micopaticule de odiul de măime al masei uei molecule (~ -6 kg ), ia lăgimea gopii l de odiul de măime al uui vas obişuit (~, m). Se obsevă că distaţa E dite două ivele eegetice vecie, expimată î J, este extem de mică, cu mult mai mică decăt eoaea de măsuae a eegiei cu ajutoul celo mai peteţioase apaate. Oi, petu a putea fi evideţiată cuatificaea eegiei, deci petu a putea distige două ivele eegetice vecie, tebuie ca difeeţa dite două ivele eegetice vecie să fie cel puţi de acelaşi odi de măime ca şi eoaea de măsuă a apaatului de măsuă. Nivelele eegetice sut foate apopiate, ele sut pactic pecepute ca o distibuţie cotiuă de eegie. De aceea, cia dacă cuatificaea eegiei î picipiu ae loc şi la ivel macoscopic, ea u ae iflueţă asupa mişcăii uei paticule macoscopice. Deci, cu atât mai mult, petu copuile macoscopice cuatificaea eegiei u se poate obseva. b. Baieea de poteţial de lăgime şi îălţime fiită este o distibuţie de poteţial de foma (fig. 6.4): U, x [, l] U ( x) = (6.79), x (,) U ( l, + ) Să cosideăm că o micopaticulă de masă m se mişcă î sesul pozitiv al axei Ox, veid di egiuea I, situată î patea stâgă. Di puctul de vedee al mecaicii clasice, dacă eegia totală E a micopaticulei este mai mică decât îălţimea U a baieei de poteţial, paticula u poate pătude î iteioul baieei de poteţial (egiuea II), ci sufeă feomeul de eflexie totală la peetele di stâga a baieei, situat î puctul x =. Di puctul de vedee al mecaicii cuatice, există o pobabilitate difeită de zeo ca micopaticula, deşi ae eegia mai mică decât îălţimea baieei, adică E< U, să taveseze baiea de poteţial şi să ajugă î egiuea III, dicolo de peetele di deapta,

96 situat î puctul de coodoată x = l. Acest feome de tavesae a baieei de poteţial se umeşte efectul tuel şi a fost descopeit î 98 de Geoge Gamow. Ecuaţiile lui Scödige petu egiuile I şi III, ude poteţialul este zeo, espectiv egiuea II ude este situată baiea de poteţial, sut: d Ψ,3 m + EΨ,3 =, (6.8) dx d Ψ dx Fig. 6.4 m + E U ( ) Ψ =. (6.8) Utilizâd otaţiile cosacate petu cazul de itees pactic, câd eegia micopaticulei este mai mică decât îălţimea baieei, atuci măimea k este imagiaă, ia patea ei eală se otează cu κ : m m k = E ; i k = κ = ( U E), (6.8) astfel că soluţiile geeale ale acesto ecuaţii vo fi: ikx ikx ( x) = Ψ ( x) + Ψ ( x) = A e + B e Ψ, d ikx ikx ( x) = Ψ ( x) + Ψ ( x) = A e + B e t Ψ, (6.83) ikx ( x) = Ψ ( x) A e Ψ, 3 3t = î cae idicii, şi 3 se efeă la egiuea espectivă de poteţial, ia d se efeă la uda diectă (icidetă), la uda eflectată, ia t uda tasmisă (efactată). Să sciem codiţiile de cotiuitate î puctele x = şi x = l ale fucţiilo de udă şi ale deivatelo acestoa: = Ψ = l, (6.84) Ψ ( ) ( ) ; ( ) ( ) Ψ 3 l Ψ3 dψ dψ dψ dψ3 = ; =. (6.85) dx x= dx x= dx x= l dx x= l Acestea coduc la umătoul sistem de ecuaţii algebice:

97 A + B = A + B, κ l κ l ikl Ae + Be = A3e, (6.86) ik( A B ) = κ ( A B ), κ l l ik l κ κ ( Ae Be ) = ika3e Î acest sistem algebic de 4 ecuaţii, amplitudiea A a udei diecte (icidete) este o măime cuoscută, ia cele 4 amplitudii ecuoscute sut: B amplitudiea udei eflectate de peetele di stâga al baieei; A amplitudiea udei tasmise î egiuea baieei de poteţial; B amplitudiea udei eflectate de peetele di deapta al baieei şi A 3 amplitudiea udei tasmise î egiuea III, dicolo de baiea de poteţial. Sistemul este compatibil, îsă, petu studiul efectului tuel e iteesează să expimăm doa apotul dite amplitudiea udei tasmise î mediul III şi amplitudiea udei icidete: ikl A3 4ikκ e =. (6.87) κ l κ l A ( κ + ik ) e ( κ ik ) e O măime cacteistică petu descieea efectului tuel este taspaeţa baieei de poteţial, defiită ca modulul apotului dite desitatea supeficială a cuetului de pobabilitate tasmis î egiuea a III-a şi desitatea supeficială a cuetului de pobabilitate icidet: j3t A3 A3 A3 D = = =, (6.88) j d A A A elaţie î cae am idicat că este ecesaă şi cojugaea complexă a apotului amplitudiilo. Î pactică, efectul tuel se poduce dacă este ealizată codiţia κ l», caz î cae expeeţiala cu acest expoet este cu mult mai mae decât şi acesta poate fi eglijat. Codiţia de mai sus u este atificial impusă, ci ea este legată de elaţiile de edetemiae coodoată - impuls. Coseciţa diectă a valabilităţii ei este o simplificae cosideabilă a expesiei taspaeţei baieei de poteţial: 6k κ κ l κ l D = e De. (6.89) ( κ + k ) Se obsevă, deci, că taspaeţa baieei scade expoeţial cu lăţimea acesteia şi, bieîţeles, cu eegia micopaticulei. Expesia de mai sus a taspaeţei baieei poate fi geealizată şi petu o baieă de o fomă oaecae, descisă de fucţia eegiei poteţiale de foma geeală, U = U(x), defiită pe domeiul [x, x ]. După calcule similae, se ajuge la fomula itegală: x = D D exp m[ U ( x) E] dx. (6.9) x Cu ajutoul efectului tuel pot fi explicate o seie de feomee cum a fi: emisia la ece a electoilo di metale, dezitegaea α, eacţiile temoucleae etc.

98 c. Oscilatoul amoic liia cuatic. Dacă o micopaticulă cuatică de masă m se mişcă ît-o goapă de poteţial de fomă paabolică, cu peeţi impeetabili, defiită de fucţia (fig. 6.5): mω U ( x) = x, (6.9) se spue că avem de a face cu u oscilato amoic liia cuatic. Ecuaţia lui Scödige coespuzătoae este: d Ψ m mω + ( ) = E x Ψ x. (6.9) dx Rezolvaea acestei ecuaţii pesupue u calcul mai lug pe cae u-l vom epoduce aici, ci vom idica doa cocluziile cae ezultă. Fucţiile popii ale opeatoului Hamiltoia, adică fucţiile de stae ale oscilatoului liia amoic cuatic sut: ude am otat: α 4 α x ( x) = e H ( α x) Ψ, (6.93)! π α = mω, ia H sut polioamele lui Hemite. Fig. 6.5 Î teoia ecuaţiilo difeeţiale se demostează că o astfel de ecuaţie ae soluţii fiite, cotiue şi uivoce doa dacă eegia E ia umătoaele valoi: E = ω +, cu =,,,... (6.94) Di puct de vedee fizic, aceasta este tocmai codiţia de cuatificae a eegiei oscilatoului, ia este umăul cuatic picipal. Se obsevă că ivelele de eegie ale oscilatoului amoic cuatic liia sut ecidistate, ia petu = se obţie cea mai mică valoae a eegiei acestuia, adică, E = ω, umită eegie de zeo. Existeţa eegiei de zeo este cofimată expeimetal de studiul difacţiei lumiii pe cistale la tempeatui joase. Se demostează că, pe măsuă ce tempeatua scade, itesitatea lumiii difuzate u tide căte zeo, ci căte o valoae fiită, idicâd faptul că,

99 î apopiee de tempeatua de zeo absolut, oscilaţiile atomilo di eţea u se opesc, ci tid căte o aumită valoae. Pe de altă pate, expesia de mai sus a eegiei oscilatoului cuatic pemite o veificae a elaţiei de edetemiae eegie timp. Deoaece umăul cuatic picipal este u umă pozitiv: E =, de ude: E. (6.95) ω ω Cia dacă luăm situaţia cea mai defavoabilă di puct de vedee al ifomaţiei asupa stăii eegetice a oscilatoului, î cae eoaea (edetemiaea) de măsuae a eegiei E este de acelaşi odi de măime cu valoaea îsăşi a eegiei, E, ia duata de măsuae a eegiei t este cia ivesul pulsaţiei oscilatoului ω, ultima elaţie e coduce la elaţia de edetemiae eegie timp: E t. (6.96) Să subliiem faptul că, deşi oscilaţiile sistemelo eale sut oscilaţii aamoice, modelul oscilatoului amoic cuatic liia este deosebit de util şi di puct de vedee pactic, ştiut fiid că, petu distaţe mici di apopieea poziţiei de ecilibu, oscilaţiile aamiice pot fi apoximate pi oscilaţii amoice. Îtebăi petu veificaea îsuşiii cuoştiţelo şi petu evaluae:. Cae sut bazele expeimetale ale mecaicii cuatice?. Ce semifică dualismul udă-copuscul? 3. Cae este eseţa elaţiilo de edetemiae coodoată-impuls şi eegie-timp? 4. Cae este semificaţia fizică a fucţiei de udă? 5. Cae este semificaţia fizică a fucţiei de distibuţie di mecaica cuatică? 6. Ce este feomeul de cuatificae şi î cae di aplicaţiile ecuaţiei lui Scödige l-aţi îtâlit? 7. De ce u se obsevă feomeul de cuatificae şi î cazul copuilo macoscopice? 8. Cum sut ivelele de egie ale oscilatoului amoic cuatic şi ce semificaţie fizică ae eegia de zeo? 9. Î ce costă efectul tuel şi cae este măimea caacteistică a acestuia?. Cae sut codiţiile stadad pe cae tebuie să le satisfacă fucţia de udă?