ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL
|
|
- Ῥουβήν Λαγός
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 CAPITOLUL 4 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL 4 Itoducee Clculul viţiol se ocupă cu studiul etemelo petu o clsă specilă de fucţii umite fucţiole Aceste fucţiole sut defiite pe sumulţimi le uo spţii de fucţii oişuite Di puct de vedee istoic, cotiuţii decisive l dezvolte clculului viţiol u dus Eule (744), d mi les Lgge (76) ce dt metodele geele le discipliei şi le- plict î mecică Vom îcepe cu pezete uo poleme clsice le clculului viţiol Cu de ce mi pidă cooâe (polem cistocoei) Polem fost fomultă de Jo Beoulli î 696 De ezolve cestei poleme s-u ocupt fţii Jo şi Jco Beoulli, Newto, Leiiz, l Hospitl Oigie temeului cistocoă se flă î lim gecă (kistos = cel mi scut, koos = timp) Pi cistocoă se îţelege tiectoi pe ce u cop ce se deplseză îte două pucte dte, su cţiue gvitţiei, elizeză cel mi scut timp Aşd, dite tote cuele flte ît-u pl veticl şi tecâd pi puctele fie O (,) şi P (, ), cu P mi jos decât O, să se detemie ce cuă petu ce timpul de cooâe di O î P uui puct mteil geu făă fece, să fie miim Petu ezolve, vom oiet Oy pe veticlă î jos c î fig Fie y = y( ), [, ], y () =, y( ) =, >,, cu căuttă Fie v vitez de deplse puctului ds ds mteil, deci v = g y =, ude ds este lugime cului OM Atuci dt = dt gy Pi ume dcă T este timpul eces petu c puctul mteil să jugă î puctul P, vom ve ds + y ( ) T = = d gy gy ( ) OP O (,) M(,y) P(,) y Fig
2 4 Elemete de clcul viţiol 5 Polem supfeţei de otţie de ie miimă costă î detemie uei cue y = y( ), [, ], y( ) = c, y( ) = d, cu y popiette că i supfeţei de otţie gficului î juul ei O N(,d) este miimă (fig ) După cum se cuoşte, epesi cestei ii M(,c) este π ( ) ( )d A = y + y O Fig Eciliul uei meme defomte O memă elstică î ste de epus e fom domeiului D Oy (fig 3) Fie C fotie lui D Defomăm cotuul C l memei î diecţi pepediculă pe plul Oy şi otăm cu uy (, ) deplse (defomţi) uui puct oece M (, y) D (defome cotuului tge după sie şi deplse puctelo di iteioul memei) Se cee să se detemie poziţi de eciliu memei câd cuoştem defome cotuului ei Ai memei defomte v fi + u + u d y y d D Dcă deplsăile sut mici, poimăm cestă ie cu + ( u + uy) ddy D Rezultă că viţi iei supfeţei defomte este ( y) d u + u d y D Se dmite că eegi poteţilă memei defomte este popoţiolă cu ceştee ie sle Pi ume eegi poteţilă de defomţie E este M D μ E = ( u + uy) ddy, () D Fig 3 ude μ este o costtă ce epimă clităţile elstice le memei Pesupuem că se cuosc deplsăile puctelo de pe cotu, deci că z O P y
3 5 ECUAŢII u = ϕ(, y ), () C ϕ fiid o fucţie cuoscută Poziţi de eciliu se elizeză câd eegi poteţilă este miimă Se oţie stfel umătoe polemă viţiolă Dite tote fucţiile u C ( D ) ce stisfc codiţi (), să se detemie ce fucţie petu ce itegl () devie miimă 4 Eteme le fucţiolelo Viţi îtâi uei fucţiole Teoem lui Femt Petu îceput, emitim câtev oţiui îvăţte l cusul de Aliză mtemtică Fie X u spţiu vectoil el Defiiţi 4 Se umeşte omă pe X o fucţie :X +, cu popietăţile: ) = = ; X ) λ = λ, λ, X ; 3) + y + y, y, X (ieglitte tiugiului) Spţiul vectoil X îzestt cu o omă se umeşte spţiu vectoil omt * Eemple ) Fie,, <, I = [, ] u itevl şi Spţiul vectoil el C (; I ) l fucţiilo y: I de clsă C, îzestt cu om ( ) y = sup y( ) + sup y ( ) + + sup y ( ), () I I I este u spţiu vectoil omt De semee, spţiul vectoil el C (; I ) l fucţiilo : I, γ ( ) = ( y ( ), z ( ), ude yz, C ( I; ), îzestt cu om γ ( ) γ = + + +, () este u spţiu vectoil omt sup y ( ) z ( ) sup y ( ) z ( ) I I ) Fie D u domeiu măgiit de o cuă îcisă, etedă pe poţiui Spţiul C ( D; ) este spţiu vectoil omt î pot cu om z= sup zy (, ) + sup ( y, ) + sup ( y, ), z C ( D; ) (3) ( y, ) D ( y, ) D ( y, ) D Defiiţi 4 Fie X u spţiu vectoil omt, y X şi > Se umeşte il descisă cu cetul î z şi de ză mulţime B( y, ) = { y X; y y < } Mulţime A X se umeşte descisă dcă y A, eistă > stfel îcât B( y, ) A
4 4 Elemete de clcul viţiol 53 Defiiţi 43 Fie ( y) X Şiul ( y ) covege l y X şi se oteză y y dcă şi umi dcă lim y y = Şiul ( y ) se umeşte şi fudmetl su şi Cucy dcă şi umi dcă m, lim y y = U spţiu vectoil omt, î ce oice şi Cucy m este coveget se umeşte spţiu complet su spţiu Bc Osevţi 4 Remitim că pe spţiul C ([, ]; ), l fucţiilo cotiue pe [, ], se pote defii om Ceâşev: g = sup{ g( ) ; [, ]}, g C ([, ]; ) C Mi mult, spţiul C ([, ]; ) îzestt cu om Ceâşev este u spţiu Bc Rezulttul se etide şi petu spţiul fucţiilo cotiue pe o mulţime compctă m K cu vloi î Cu ceste pecizăi, om () se mi scie: ( ) y = y + y + + y C C C De semee, omele () şi (3) devi γ = γ + γ C C espectiv z = z + + C C C Este uşo de osevt că spţiile vectoile omte di eemplele ) şi ) sut spţii Bc Fie X u spţiu vectoil omt Î cele ce umeză, pi fucţiolă pe X îţelegem oice fucţie F : X Eemple Polemele clsice le clculului viţiol pezette secţiue 4, e sugeeză să cosideăm umătoele fucţiole ) Fie X = C ([, ]; ) Î czul polemei cistocoei, defiim pe X fucţiol-timp T : X, + y ( ) T ( y) = d, y X y ( ) De semee, î czul polemei supfeţei de otţie de ie miimă, pe X = C ([, ]; ) putem defii fucţiol-ie A : X, ( ) = ( ) + ( )d A y y y, y X Mi geel, pe F X = C ([, ]; ) putem coside fucţiole de tipul ( y) = F(, y( ), y ( ))d, 3 ude F este o fucţie cotiuă pe u domeiu Ω, i y este o fucţie oece de clsă C pe [, ], cu popiette că ( y, ( ), y ( )) Ω, [, ]
5 54 ECUAŢII ) Polem eciliului uei meme defomte ce ocupă domeiul măgiit D, e coduce l cosidee fucţiolei-eegie E ( u) = ( u + u ) ddy, D y cuoscută su umele de itegl eegiei su itegl Diiclet fucţiei u: D Mi geel, pe X = C ( D; ) putem coside fucţiole de tipul F ( z) = Fyzy (,, (, ), ( y, ), ( y, ))dy d, ude F este o fucţie cotiuă de cici viile ele, defiită pe mulţime 5 {(,, (, ), z yzy ( y, ), ( y, )) ;( y, ) D}, z fiid o fucţie de clsă C pe domeiul D Defiiţi 44 Fie X u spţiu vectoil omt, A X şi F : A o fucţiolă U elemet y A se umeşte puct de miim locl (espectiv mim locl) petu F, dcă eistă > stfel îcât petu oice y A ce stisfce y y <, ezultă F ( y) F ( y) (espectiv F ( y) F ( y) ) U puct de miim locl su de mim locl se umeşte puct de etem locl Dcă ieglităţile de mi sus u loc petu oice y A, tuci se pote voi de puct de miim glol (espectiv mim glol) su etem glol Î cotiue, fie X u spţiu vectoil omt, A X o mulţime descisă, F : A o fucţiolă, y A şi X, X, u elemet fit Mulţime A fiid descisă, eistă > stfel îcât B( y, ) A Dcă t, tuci elemetul y = y + t B( y, ) dcă şi umi dcă y y <, deci dcă şi umi dcă t < Î coseciţă, putem defii fucţi elă :,, () ( ) (4) Defiiţi 45 Fie X u spţiu vectoil omt, A X o mulţime descisă, F : A şi y A Se spue că F dmite viţi îtâi î y pe diecţi uui vecto eul X, dcă fucţi ϕ dtă de (4) este deivilă î puctul t = Î cest cz, ϕ () se umeşte viţi îtâi lui F î y pe diecţi lui şi se oteză cu δf ( y) Vectoul se umeşte viţie gumetului fucţiolei F U puct y A cu popiette că δ F ( y) =, X, se umeşte puct citic (stţio) l fucţiolei F Pi ume
6 4 Elemete de clcul viţiol 55 Dcă ϕ() t ϕ() F ( y + t) F ( y ) F ( y) = lim = lim (5) t t δ t =, tuci puem δ F ( y) = t Osevţi 4 Î pticul, fie X =,, şi s = vesoul lui Atuci d δ F ( y) = F ( y), ds df ude ( y) este deivt lui F după diecţi lui s î y Aşd, oţiue de viţie ds îtâi este o etidee coceptului de deivtă după o diecţie C şi î czul fucţiilo ele umătoe teoemă fuizeză o codiţie ecesă de etem Teoem 4 (Teoem lui Femt) Fie X u spţiu vectoil omt, A X o mulţime descisă şi F : A o fucţiolă Dcă y A este u puct de etem locl petu F şi dcă F dmite viţi îtâi î y pe oice diecţie, tuci y este puct citic l lui F, dică δ F ( y ) =, X (6) Demostţie Eglitte (6) este evidetă petu = X Să pesupuem cum că X şi că y este puct de miim locl, î czul î ce y este puct de mim locl ţiometul fiid simil Cofom defiiţiei, eistă > stfel îcât petu oice y A B( y, ) e loc F ( y) F ( y) Mulţime A fiid descisă, putem lege > suficiet de mic stfel îcât B( y, ) A Aşd, petu oice y By (, ) vem F ( y) F ( y) Deoece petu t <, y = y + t B( y, ), ezultă că petu oice t, e loc ieglitte F ( y ) + t) F ( y ce, ţiâd sem de (4), se mi pote scie su fom ϕ( t) ϕ(), t, Cofom teoemei clsice lui Femt petu fucţii de o viilă elă, ezultă că ϕ () = su, ecivlet, δ F ( y) = Î cele ce umeză, vom od polem detemiăii puctelo citice (stţioe) petu fucţiole cocete
7 56 ECUAŢII 43 Fucţiole de tipul F ( y) = F(, y, y )d 3 Fie D o mulţime descisă, F: D o fucţie de clsă C şi I = [, ] De semee, fie D = { y C ( I; ) (, y( ), y ( ) ) D, I}, Cosideăm fucţiol F : D, F ( y) = F(, y, y )d, y D () Acestă fucţiolă depide de F Lem 43 Mulţime D este descisă î spţiul Bc C (; I ) Demostţie Fie y D oece Cum fucţi vectoilă 3 (, y( ), y ( )): I D este cotiuă, ezultă că mulţime K = {(, y( ), y ( )); I} D este compctă Fie = d(, CD) = if{ d( M, N); M K, N CD} Deoece K C D=, K este compctă şi C D este îcisă, ezultă că > (vezi [8], Teoem 5, pg ) Vom ăt că By ( ; ) D, de ude v ezult că D este o mulţime descisă Fie y B( y; ) Atuci y y = sup y( ) y( ) + sup y ( ) y ( ) < I I Î pticul, vem y ( ) y( ) + y ( ) y ( ) <, I () Fie I oece fit, M ( y, ( ), y ( )) Kşi Py (, ( ), y ( )) Avem d( M, P) = ( y( ) y( )) + ( y ( ) y ( )) y( ) y( ) + y ( ) y ( ) < Cum d( P, K) d( P, M), ezultă că d( P, K ) < Di cestă ultimă ieglitte deducem că P D, petu că, î cz cot, P C D şi dpk (, ) d( C DK, ) =, cee ce este sud Î defiitiv, m ătt că dcă y B( y; ), tuci ( y, ( ), y ( )) D, I, deci y D Cu cest, lem este demosttă Ne puem polem detemiăii fucţiilo di D ce elizeză u etem l fucţiolei () pe cestă mulţime Cofom teoemei lui Femt, dcă y D elizeză u etem l fucţiolei () pe D, tuci, î mod eces
8 4 Elemete de clcul viţiol 57 δ F ( y) =, C (; I ) Î pctică se pue polem detemiăii puctelo de etem le fucţiolei () cu cpete fie Î cest cz, fie cd, umee dte şi A = { y D y( ) = c, y( ) = d}, cuoscută su umele de mulţime fucţiilo dmisiile le polemei Este uşo de costtt că, dcă se cuoşte o fucţie y A, tuci oice ltă fucţie y A este de fom y = y +, ude ( ) = ( ) = Pi ume, dcă y A elizeză u etem l fucţiolei () pe mulţime fucţiilo dmisiile, tuci, î mod eces δ F ( y ) =, C (; I ), ( ) = ( ) = Petu ezolve polemelo de etem petu fucţiol () este util umătoul ezultt Lem 43 (Lem fudmetlă clculului viţiol) (Lgge) Fie f :[, ] o fucţie cotiuă cu popiette că petu oice fucţie :[, ], de clsă C pe [, ], cu ( ) = ( ) =, stisfce codiţi Atuci f( ) ( )d= (3) f( ) =, petu oice [, ] Demostţie Fucţi f fiid cotiuă, este suficiet să ătăm că f( ) =, petu oice (, ) Pesupuem, pi sud, că f u este idetic ulă pe ( ),, deci eistă c (, ) stfel îcât f ( c) Făă micşoe geelităţii, putem pesupue că f ( c ) > Fucţi f fiid cotiuă î puctul c, petu oice ε > eistă δ = δε ( ) > suficiet de mic, stfel îcât J = [ c δ, c+ δ ] (, ) şi petu oice J, vem f( ) f( c) ε Altfel spus, petu oice J u loc ieglităţile f() c ε f() f() c + ε Î pticul, petu ε = () f c ezultă că eistă u itevl coespuzăto J = [ c δ, c + δ ] stfel îcât petu oice J vem f ( ) f( c ) Fie fucţi ( c+ δ) ( c δ), dcă J ( ) =, dcă J Se veifică uşo că fucţi stisfce codiţiile di euţul lemei Î plus, folosid teoem de medie, ezultă că c+ δ c+ δ f( ) ( )d = f( ) ( )d f( c) ( )d f( c ) ( ξδ ) = >, c δ c δ ude ξ ( c δ, c+ δ), cee ce cotzice (3) Osevţi 43 Lem lui Lgge ămâe vlilă dcă fucţi di euţul k lemei este o fucţie de clsă C, k, pe [, ], ce se uleză î şi împeuă cu
9 58 ECUAŢII deivtele sle pâă l odiul k iclusiv Este suficiet să luăm k k ( ) = ( c+ δ ) ( c δ ), dcă J Lem 433 (Du-Bois-Rymod) Fie f :[, ] o fucţie cotiuă cu popiette că petu oice fucţie :[, ], de clsă C pe [, ], cu ( ) = ( ) =, stisfce codiţi f( ) ( )d= (4) Atuci fucţi f este costtă pe itevlul [ ], Demostţie Fie :[, ], ( ) = ( f( t) c)dt, ude c este o costtă ce se detemiă di codiţi ( ) =, deci c = f( )d Este cl că fucţi stfel costuită este de clsă C pe [ ],, stisfce codiţiile ( ) = ( ) = şi ( ) = f ( ) c Atuci ( ) = ( ) f ( ) c d f( ) c ( )d= = = f( ) ( )d c ( )d= c[ ( ) ( )] Itegtul fiid pozitiv şi fucţi f cotiuă, ezultă că f ( ) = c, [, ] Coolul Dcă PQ, :[, ] [ P ( ) ( ) + Q ( ) ( )]d= sut fucţii cotiue ce stisfc petu oice fucţie de clsă C pe [, ], cu ( ) = ( ) =, tuci fucţi Q este deivilă şi Q ( ) = P( ), [, ] Demostţie Fie fucţi f :[, ], f ( ) = P( t)dt Acestă fucţie este deivilă şi f ( ) = P( ), [, ] Cofom ipotezei, petu oice fucţie de clsă C pe [, ], cu ( ) = ( ) =, vem [ f ( ) ( ) + Q( ) ( )]d=, de ude, itegâd pi păţi, oţiem
10 4 Elemete de clcul viţiol 59 Î coseciţă Q( ) ( )d = f ( ) ( )d = f( ) ( )d [ Q ( ) f( )] ( )d= Cofom Lemei 433, ezultă că fucţi Q f este costtă pe [ ],, deci Q ( ) = f ( ) = P( ), [, ] 3 Teoem 43 (Teoem lui Eule) Fie D o mulţime descisă, F: D o fucţie de clsă C, I [, ] şi D = { y C ( I; ), y( ), y ( ) D, I} F = ( ) Fie, de semee, fucţiol F : D, ( y) = F(, y, y )d, y D Dcă fucţi y A = { y D y( ) = c, y( ) = d } elizeză u etem l fucţiolei F pe mulţime fucţiilo dmisiile A, tuci fucţi F ( y, ( ), y ( )) este de clsă C pe [, ] şi fucţi y veifică ecuţi difeeţilă F d F = d (5) Demostţie Fie o fucţie de clsă C pe [ ],, ce stisfce codiţiile l limită ( ) =, ( ) = şi fucţi ϕ :,, ϕ () t = F ( y + t ) Viţi îtâi fucţiolei F este δf ( y) = ϕ (), deci d δf ( y) = F(, y( ) + t( ), y ( ) + t ( ) ) d dt = t= d = ( F(, y( ) + t( ), y ( ) + t ( ) )) d dt = t= F F = (, y( ), y ( ) ) ( ) + (, y( ), y ( ) ) ( ) d Cofom teoemei lui Femt, δ F ( y) =, petu oice fucţie de clsă C pe [, ], ce stisfce ( ) =, ( ) =, deci F F ( y, ( ), y ( ) ) ( ) + ( y, ( ), y ( ) ) ( ) d = Cocluzi teoemei ezultă di Coolul
Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4. vectorială continuă definită pe un interval I din cu valori în. Dacă
58 CAPITOLUL 4 INTEGRALE CURBILINII 4 DRUMURI PARAMETRIZATE Defiiţi 4 Pi dum pmetizt î se îţelege oice fucţie vectoilă cotiuă defiită pe u itevl I di cu vloi î Dcă otăm cu x, y şi z compoetele scle le
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότερα4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
Διαβάστε περισσότερα6. Rezolvarea numerică a problemei Cauchy pentru ecuaţii diferenţiale
Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile 9 6 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile 6 Geelităţi Ecuţiile dieeţile epezită uul dite cele mi impotte istumete mtemtice eces petu îţeleee
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότερα6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU
6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6.1. Noţiui teoretice şi rezultte fudmetle 6.1.1. Metod lui Droux de defii itegrl simplă Fie [, ] u itervl. Descompuem itervlul [, ] îtr-u umăr orecre
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I,
Διαβάστε περισσότεραCap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D
Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραREZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότερα4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire
4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru
Διαβάστε περισσότεραREZIDUURI ŞI APLICAŢII
Mtemtici specile şi metode umerice EZIDUUI ŞI APLICAŢII. Formule petru reiduuri Câd sigulrităţile du vlore şi uţ. Teorem reiduurilor Defiiţi. Fie f() o fucţie cre re î C u pol su u puct sigulr eseţil iolt.
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότεραCINEMATICA PUNCTULUI
CINEMATICA PUNCTULUI CINEMATICA PUNCTULUI 7. Ciemtic puctului mteil Ciemtic puctului mteil studiză mişce mecică puctelo mteile, făă se tie cot de msele şi foţele ce cţioeză sup lo. Mişce puctelo mteile
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare
Sistee de ecuţii liie Sistee de ecuţii liie Reiti că u siste de ecuţii lgebice liie cu ecuoscute este de fo: K b K b K b Dcă otă cu tice coeficieţilo cu vectoul coloă fot cu ecuoscutele sisteului şi cu
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραDRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR
Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR FucŃiile cu vrińie mărgiită u fost itroduse de Jord Cmille (88-9) şi utilizte de el cu oczi studiului prolemei rectificilităńii curelor,
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Διαβάστε περισσότεραExerciţii de Analiză Matematică
Exerciţii de Aliză Mtemtică October, 5 Şiruri si serii de umere rele. Să se stbilescă dcă şirul cu termeul geerl x =... este su u fudmetl.. Petru răt că şirul este fudmetl: Petru răt că şirul este fudmetl:
Διαβάστε περισσότερα4.7 Reprezentarea complexă a seriilor Fourier
4.7 Reprezetre compeă seriior Fourier Presupuem că f ( ) îdepieşte codiţii suficiete petru dezvotre î serie Fourier. Atuci pote fi reprezettă pe [, ] cu seri: f b + ( cos + si ) f cos d,,, b f si d,, Foosid
Διαβάστε περισσότεραTema 4. Primitiva şi integrala Riemann. Aplicaţii. Modulul Primitiva. Aplicaţii
Tem 4 Primitiv şi itegrl Riem. Alicţii. Modulul 4. - Primitiv. Alicţii Noţiue de rimitivă s- degjt di licţiile mtemticii î situţii cocrete, cre costă î determire modelului mtemtic l uui roces tuci câd
Διαβάστε περισσότεραInegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότερα5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότεραSeminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Διαβάστε περισσότεραTransformata z (TZ) TZ este echivalenta Transformatei Laplace (TL) in domeniul sistemelor discrete. In domeniul sistemelor continui: Sistem continuu
Prelucrre umeric semlelor Trsformt Trsformt este echivlet Trsformtei Lplce TL i domeiul sistemelor discrete. I domeiul sistemelor cotiui: xt s Sistem cotiuu yt Ys ht; Hs I domeiul sistemelor discrete:
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 6. Definiţia Fie D un domeniu (mulţime deschisă şi conexă). Se numeşte pânză parametrizată de clasă C, orice funcţie vectorială r:
4 CAPITOLUL 6 INTEGRALE E UPRAFAŢĂ 6 UPRAFEŢE PARAMETRIZATE NETEE efiiţia 6 Fie u domeiu (mulţime deschisă şi coexă) e umeşte pâză paametizată de clasă C, oice fucţie ectoială : de clasă C acă otăm cu
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
Διαβάστε περισσότερα3.4 Integrarea funcţiilor trigonometrice. t t. 2sin cos 2tg. sin + cos 1+ cos sin 1 tg t cos + sin 1+ x 1
3.4 Iegrre fucţiilor rigoomerice ) R( si,cos ) d Susiuţi recomdă ese: uei fucţii rţiole. g =, (, ) şi iegrl dă se reduce l iegrre si cos si cos g si + cos + g = = = + cos si g cos + si + g = = = + = rcg
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <
Διαβάστε περισσότεραCULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA î ul uiversitr 9 PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii lor
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Διαβάστε περισσότερα6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE
Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică CAPITLUL 4 REZLVAREA ECUAŢIILR NELINIARE Rezolvre uei ecuţii eliire pre prctic î orice modelre mtemtică uei proleme fizice. Cu ecepţi uor czuri forte prticulre,
Διαβάστε περισσότεραlim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Διαβάστε περισσότερα3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
Διαβάστε περισσότεραTESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ. pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ petru emeul de bcluret şi dmitere î îvăţămâtul superior l UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότερα4. Serii de numere reale
I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de
Διαβάστε περισσότεραANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n,
ANEXA ANEXĂ MATRICE ŞI DETERMINANŢI Fie K u corp şi m N* = N \ {} Tbloul dreptughiulr A = ude ij K i = m j = m m m se umeşte mtrice de tip (m ) cu elemete di corpul K Mulţime mtricelor cu m liii şi coloe
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII
Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.
Διαβάστε περισσότερα9. Polinoamele Taylor asociate unor funcţii (I. Boroica) 9.1. Formulele lui Taylor şi polinoamele Taylor asociate funcţiilor elementare
lgeră Cupris Mtrice de ordi doi şi plicţii (IDicou VPop Mtrice de ordi doi Proleme rezolvte Teorem lui Cle- Hmilto 4 Proleme rezolvte 5 Determire puterilor turle le uei mtrice de ordi doi 6 Proleme rezolvte
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότεραFizica cuantica partea a doua
Fiic cutic pte dou 4. Aplictii le ecutiei lui Scodige 4. Gop de potetil cu peeti ifiiti (ipeetbili) Gop de poteţil uidiesiolă Gop de poteţil e fo di figu şi este descisă de elţi: petu
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότεραOperaŃii cu numere naturale
MulŃime umereleor turle www.webmteifo.com Petru scrie u umr orecre trebuie s combim itre ele uele ditre cele 0 simboluri: 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9.Aceste simboluri se umesc cifre. Ele sut de origie rb. Ν =
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE. 1. Precizari si recomandari privind desfasurarea activitatilor la disciplina MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE
MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE. Precizri si recomdri privid desfsurre ctivittilor l discipli MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE Tip curs obligtoriu Mulul de curs recomdt R. Trdfir I. Dud A. Bciu R. Io Mtemtici
Διαβάστε περισσότεραŞiruri recurente. Mircea Buzilă. 2009, Editura Neutrino Titlul: Şiruri recurente Autor: Mircea Buzilă ISBN
Mirce Buzilă Şiruri recurete Editur eutrio 9 9 Editur eutrio Titlul: Şiruri recurete utor: Mirce Buzilă SB 978-97-896-7-9 Descriere CP Bibliotecii ţiole Roâiei BUZLĂ MRCE Şiruri recurete / Mirce Buzilă.
Διαβάστε περισσότεραsin d = 8 2π 2 = 32 π
.. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
Διαβάστε περισσότεραPolinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.
Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X X Prescurtt putem scrie f X,,, sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότερα0 z z < r ea admite o dezvoltare în serie Laurent. n n. din dezvoltarea în serie Laurent în vecinătatea punctului z. z (notat { } { } = ρ
CAPITOLUL ME5 5 eiduuri Teore reiduurilor Defiiţi reiduului Fie w o fucţie litică vâd î u puct sigulr iolt Atuci îtr-o coroă circulră < r e dite o devoltre î serie Luret < w c Se ueşte reiduu l fucţiei
Διαβάστε περισσότεραMULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότερα1. CAPITOLUL 1. Elemente de calcul vectorial şi geometrie analitică. AB se poate face de la A spre B sau AB sunt definite două sensuri (opuse).
CPITOLUL Elemente de clcul vectoil şi geometie nlitică Vectoi în pln Definiţii O măime este sclă dcă pentu detemie ei este suficientă indice unui singu numă O măime este vectoilă dcă este detemintă de
Διαβάστε περισσότερα2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE
Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραIntegrale generalizate (improprii)
Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem
Διαβάστε περισσότερα1. PROBLEMA LUNII NOIEMBRIE 2017 (EN/RO)... pag.2 Marin Chirciu
revist@teiforo PROBEMA UNII NOIEMBRIE 07 EN/RO pg Mri Chirciu SOUȚII - PROBEMA UNII OCTOMBRIE 07 pg 3 Măescu Avr Coreliu Alte soluții dte de : Gheorghe Alexe, George-lori Șerb Rox, Mri Chirciu, Octvi Stroe,
Διαβάστε περισσότεραSpaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela
MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ
COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI XII- A, PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ.
Διαβάστε περισσότεραAnaliză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie
Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l
Διαβάστε περισσότεραIV.3. Factorul de condiţionare al unei matrice
IV.3. Fctorul de codiţiore l uei mtrice defieşte pri Defiiţie. Fctorul de codiţiore l uei mtrice pătrte A M, (R) se cod(a) = A A - ude este o orm opertorilă mtricei A (de exemplu, su ). Pri coveţie cod(a)
Διαβάστε περισσότερα2) Numim matrice elementara o matrice:
I TRANSFORMARI ELEMENTARE ) Cre di urmtorele opertii efectute supr uei mtrice este trsformre elemetr: ) dure uei liii l o colo; b) imultire uei liii cu sclrul α = c) schimbre dou liii itre ele; d) dure
Διαβάστε περισσότεραlim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,
Διαβάστε περισσότεραAdrian Stan Editura Rafet 2007
Dreptul de copyright: Crte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului Adri St Editur Rfet 007
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραBAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Διαβάστε περισσότεραUNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ MATEMATICI SUPERIOARE
UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ DEPARTAMENTUL PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ MATEMATICI SUPERIOARE PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNTUL LA DISTANŢĂ - Ediţie reviuită - Lector Agel Picu Editur Uiversităţii
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1 - rezolvari mate MT1
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri
Διαβάστε περισσότεραExamenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότερα1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS ALGEBRÃ... 5 I. Elemente de logicã matematicã... 5 I.1. Noţiunea de propoziţie... 5 I.2. Operatori logici... 5 I.3. Expresii în calculul
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic UPRINS ALGEBRÃ. 5 I. Elemete de logicã mtemticã 5 I.. Noţiue de propoziţie 5 I.. Opertori logici.. 5 I.. Epresii î clculul propoziţiilor 7 I.4. Noţiue de predict
Διαβάστε περισσότεραDUMITRU BUŞNEAG. PROBLEME de ALGEBRĂ LINIARĂ
DUMITRU BUŞNEG FLORENTIN CHIRTEŞ DN PICIU PROBLEME de LGEBRĂ LINIRĂ Prefţă estă ouă lurre pre o otiure firesă lurării [6]; mele reprezită de fpt pliţii l lurările [ ] Dă [6] oţie pliţii legte de struturile
Διαβάστε περισσότεραdef def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ
CAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ În teori Integrlei definite numită şi Integrl Riemnn, s- urmărit c, l numite funcţii rele de o vriilă relă, dte pe mulţimi din R, după o schemă
Διαβάστε περισσότερα3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραDreptul de copyright: Cartea downloadată de pe site-ul nu poate fi publicată pe un alt site şi nu poate fi folosită în scopuri
reptul de copyright: rte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului, Refereţi ştiiţifici: Profesor
Διαβάστε περισσότερα