ISBN SET: ISBN Β ΤΟΜΟΣ:

Κάθε γνήσιο ντίτυπο φέρει την υπογρφή του συγγρφέ κι τη σφργίδ του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9 ISBN Β ΤΟΜΟΣ: 960-56-028-5 Copyright ΕΚ ΟΣΕΙΣ Θεσσλονίκη 2006 ΕΚ ΟΣΕΙΣ ηµ. Γούνρη 44 τηλ. 230-235.297, F 230-265.26 Εγντί 48 τηλ. 230-239.537-546 2 Θεσσλονίκη Εγντί 56 τηλ. 230-86.97, F 230-265.26, εντός Πνεπιστηµίου Μκεδονίς e-mil: ikoul@oteet.gr Απγορεύετι η ντύπωση, η µετάφρση, η ντιγρφή µερική ή ολική µέσω φωτοτυπιών ή φωτογράφησης, κθώς κι ο τρόπος έκθεσης µε οποιοδήποτε οπτικοκουστικό µέσο της περιεχόµενες ύλης, χωρίς την έγγρφη άδει του συγγρφέ.

Aφιερώνετι στους ληθινούς ερστές της Μθηµτικής Γνώσης i

Πρόλογος Σκοπός του πρόντος συγγράµµτος είνι ν νδείξει τη συµολή των κθρών µθηµτικών στην νάπτυξη κι λειτουργί οποιουδήποτε οικονοµικού συστήµτος. Σε κάθε ήµ των µθηµτικών µεθόδων που περιγράφοντι, ντικτοπτρίζετι η σηµσί τους στην επίλυση των προληµάτων της οικονοµικής θεωρίς. Ο προσδιορισµός κι η µελέτη του συνόλου των σχέσεων λληλεξάρτησης των διφόρων οικονοµικών µεγεθών, όπως κόστος, έσοδ, τιµές, πργωγή, κτνάλωση, επένδυση κ.ά., ποτελεί σική επιδίωξη κάθε οικονοµικής νάλυσης. Γι την εφρµογή της µθηµτικής νάλυσης στη µελέτη κι επίλυση οικονοµικών προληµάτων δεν είνι πάντ νγκίο ν γνωρίζουµε την κριή µορφή των µθηµτικών σχέσεων που συνδέουν τις οικονοµικές µετλητές. ηλδή, η πόδειξη µις πληθώρς οικονοµικών προτάσεων σίζετι µόνο στην πληροφορί, ότι οι τιµές ενός οικονοµικού µεγέθους εξρτώντι πό τις τιµές ενός άλλου οικονοµικού µεγέθους κι η συνρτησική υτή σχέση εκφράζετι µε µι πργωγίσιµη συνάρτηση. Η µθηµτική νάλυση των οικονοµικών σχέσεων µπορεί ν πάρει τη µορφή ποιοτικής, πρµετρικής κι ποσοτικής νάλυσης. Η ποιοτική νάλυση (qulittive lysis) νφέρετι στον προσδιορισµό της κτεύθυνσης µετολής µις ή περισσότερων οικονοµικών µετλητών σε σχέση µε τη µετολή µις ή περισσότερων άλλων οικονοµικών µετλητών. Στην περίπτωση πργωγίσιµων οικονοµικών συνρτήσεων, η κτεύθυνση µετολής εκφράζετι πλήρως µε το πρόσηµο της πργώγου ή των µερικών πργώγων.

2 Στο σηµείο υτό θ πρέπει ν τονίσουµε, ότι τ προλήµτ ποιοτικής οικονοµικής νάλυσης, πό τη φύση τους είνι προλήµτ συνδυστικής νάλυσης κι ρίσκουν την πιο ποτελεσµτική τους ντιµετώπιση στ πλίσι της θεωρίς των προσηµσµένων γρφηµάτων (siged grphs). Η πρµετρική νάλυση (prmetric lysis) νφέρετι σε µι οικογένει οικονοµικών σχέσεων ή συνρτήσεων που έχουν την ίδι µορφή έτσι ώστε κάθε µέλος της οικογένεις υτής προκύπτει, ότν δώσουµε συγκεκριµένες τιµές στις πρµέτρους. Με την πρµετρική νάλυση προσδιορίζοντι διστήµτ µετολής των πρµέτρων, έτσι ώστε ν ενσω- µτώνοντι οι πργµτικές οικονοµικές συνθήκες που διµορφώνουν τις τιµές των µετλητών του διστήµτος. Εκφράζοντι κόµη τυχόν τυπικά κρόττ ή σηµεί κµπής των συνρτήσεων υτών σ συνρτήσεις των τιµών των πρµέτρων. Τέλος, η ποσοτική νάλυση (qutittive lysis) µελετά τις ποσοτικοποιηµένες σχέσεις που προκύπτουν, ότν οι πράµετροι πάρουν συγκεκριµένες ριθµητικές τιµές. Έτσι µε την νάλυση υτή προσδιορίζοντι συγκεκριµένες ριθµητικές τιµές των οικονοµικών µετλητών, που είνι οι σικές γι την επίλυση προληµάτων οικονοµικής επιλογής κι πιο γενικά γι τη διδικσί λήψης οικονοµικών ποφάσεων. Το είδος, η έκτση κι η µορφή της µθηµτικής νάλυσης που χρησι- µοποιείτι εξρτάτι κυρίως πό τη φύση των οικονοµικών σχέσεων κι µετλητών που µελετώντι. Έτσι η µελέτη οικονοµικών µετλητών που δεν συνδέοντι µε συνρτησικές σχέσεις µπορεί ν γίνει πιο ποτελεσµτικά στ πλίσι µις περιοχής των µοντέρνων µθηµτικών που ονοµάζετι θεωρί γρφηµάτων. Ότν όµως οι οικονοµικές µετλητές εκφράζοντι µε συνρτήσεις πργµτικών µετλητών, τότε η πιο κτάλληλη µθηµτική νάλυση γι τη µελέτη των οικονοµικών υτών σχέσεων είνι οι τεχνικές του διφορικού κι ολοκληρωτικού λογισµού. Εποµένως, η χρησιµοποίηση της µθηµτικής νάλυσης στην κλύτερη κτνόηση κι επίλυση οικονοµικών προληµάτων είνι θέµ νγκιότητς κι όχι επιλογής.

3 Ανφορικά µε τη δοµή του ιλίου υτού, θ ήθελ ν επισηµάνω ότι νφέρετι σε διφορετικούς τύπους νγνωστών. Τ πρώτ κεφάλι στοχεύουν πρωτρχικά σε νγνώστες χωρίς µθηµτικό υπόθρο, το οποίο θ ποκτηθεί πιθνόν µετγενέστερ µε κτάλληλη σειρά µθηµάτων. Τέτοιου είδους νγνώστες θ πρέπει ν συνηθίσουν στην εφρµογή των στοιχειωδών µεθόδων, πριν προχωρήσουν σε πιο δυνµικές διδικσίες που περιγράφοντι στ τελευτί κεφάλι. Ο πιο ενηµερωµένος νγνώστης µπορεί ν χρησιµοποιήσει τ πρώτ κεφάλι γι επνάληψη κι ν προχωρήσει µέσως στην επόµενη εργσί. Ο έµπειρος µθηµτικός οικονοµολόγος µπορεί ν θεωρήσει το ιλίο σν εργλείο νφοράς κι έρευνς νέων µεθόδων επίλυσης οικονοµικών προληµάτων. Σε κάθε κεφάλιο επισυνάπτετι ικνός ριθµός σκήσεων, που θ εξοικειώσουν τον νγνώστη µε τ µθηµτικά εργλεί κι τις εφρµογές τους σε δικριτά οικονοµικά προλήµτ. Η µέθοδος θερπείς τους θ κτδείξει την προσπάθει µις συστηµτικής νάπτυξης της µθηµτικής οικονοµικής θεωρίς, λλά οι ουσιώδεις δοµές µις τέτοις θεωρίς θ ρεθούν είτε στο κείµενο είτε στις σκήσεις. Σεπτέµριος 2005 Α. Αλεξνδράκης

Ολοκληρώµτ συνρτήσεων µις µετλητής 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 4.. Ορισµός του Ορισµένου Ολοκληρώµτος Η έννοι του ολοκληρώµτος έχει δύο διφορετικά χρκτηριστικά, κι δύο ντίστοιχες δικριτές εφρµογές. Από τη µι πλευρά, έν ολοκλήρωµ είνι η ορική τιµή µις ορισµένης θροιστικής πράστσης, η οποί συχνά εµφνίζετι στην µθηµτική νάλυση κι η οποί ντιστοιχεί, µε διγρµµτικούς όρους, σε µι περιοχή που περικλείετι πό µι επίπεδη κµπύλη ή κµπύλες. Τότε το ολοκλήρωµ κλείτι ορισµένο ολοκλήρωµ. Από την άλλη πλευρά, έν ολοκλήρωµ είνι το ποτέλεσµ της ντιστροφής της διδικσίς διφόρισης. Η πράγωγος µις συνάρτησης µις µετλητής είνι πό µόνη της µι συνάρτηση κάποις µετλητής. Το ντίστροφο πρόληµ είνι ν ποκτήσουµε, πό µι δοσµένη συνάρτηση, µι δεύτερη συνάρτηση, η οποί έχει την πρώτη σν πράγωγό της. Η δεύτερη συνάρτηση, κλείτι όριστο ολοκλήρωµ της πρώτης. y= f είνι µι µονό-τιµη συνάρτηση, η οποί Υποθέτουµε ότι η ( ) είνι συνεχής, γι όλες τις τιµές του στο δοσµένο διάστηµ [, ] Το διάστηµ του, µήκους ( ) τµήµτ µε µέσ των σηµείων διιρέσεως: = =., διιρείτι µε όποιον τρόπο θέλουµε σε =,,,...,,, =. 2 3 +

6 Κεφάλιο 4ο Σχηµτίζουµε το άθροισµ: ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + + ( )( ) + ( )( ) f f f f f 2 2 3 2 3 4 3... + όπου κάθε όρος ποκτάτι πό έν διφορετικό τµήµ κι ποτελείτι πό το µήκος του τµήµτος επί την τιµή της συνάρτησης στο χµηλότερο (ή το ριστερότερο) σηµείο του τµήµτος. Γι ευκολί, γράφουµε: f( r)( r+ r), r= όπου ο γρφόµενος όρος, είνι τυπικός r-όρος του θροίσµτος κι το σύµολο δηλώνει ότι όλοι υτοί οι όροι, πό τον πρώτο ( ) r= τον -οστό ( r ) r= µέχρι = πρέπει ν προστεθούν µζί. Ο ριθµός των τµηµάτων στ οποί διιρείτι το δοσµένο διάστηµ, υξάνετι µε οποιοδήποτε τρόπο, έτσι ώστε κάθε τµήµ ν γίνετι µικρότερο. Τότε το άθροισµ υξάνετι κι πλησιάζει µι ορισµένη ορική τιµή. Η ορική τιµή που προσεγγίζετι κθώς το, κλείτι ορισµένο ολοκλήρωµ (defiite itegrl) της συνάρτησης µετξύ του κτώττου ορίου κι του νώττου ορίου κι γράφουµε συµολικά ( ) r r+ r. r = ΟΡΙΣΜΟΣ: f( ) d= lim f( )( ) f d. Έτσι: Η διδικσί εύρεσης του ολοκληρώµτος µις συνάρτησης κλείτι ολοκλήρωση (itegrtio). Από τον ορισµό, φίνετι ότι, η τιµή ενός ορισµένου ολοκληρώµτος είνι πλά ένς ριθµός, ο οποίος µπορεί ν είνι θετικός ή ρνητικός κι ο οποίος εξρτάτι µόνο πό τον τύπο της συνάρτησης κι πό τις τιµές των ορίων ( κι ) που πίρνουµε. Αθροίσµτ διφορετικά πό υτό που νφέρµε πρπάνω, έχουν κριώς την ίδι ορική τιµή, το ορισµένο ολοκλήρωµ, κθώς το. Τέτοι θροίσµτ σχηµτίζοντι πίρνοντς, γι κάθε τµήµ, το µήκος του τµήµτος επί την τιµή της συνάρτησης στο νώτερο (πό δεξιά) σηµείο

Ολοκληρώµτ συνρτήσεων µις µετλητής 7 του τµήµτος, ή σε οποιοδήποτε ενδιάµεσο σηµείο του τµήµτος. Πράγµτι, πάλι ισχύει: ' f( ) d= lim f( r)( r+ r), r = ' όπου το r µπορεί ν πάρει οποιδήποτε τιµή µετξύ r κι r +. Το ολοκλήρωµ πό το = στο = διιρείτι σε έν ριθµό τµηµάτων, εκ των οποίων το είνι έν τυπικό τµήµ µε το, έν σηµείο που περιλµάνετι σε υτό. Τότε: ( ) lim ( ) f d = f, όπου κάθε τµήµ, µήκους, πολλπλσιάζετι µε την τιµή της f, σε έν σηµείο του τµήµτος, το όλο σύνολο των συνάρτησης ( ) γινοµένων θροίζετι κι ρίσκουµε το όριο του θροίσµτος, κθώς ο, διιρείτι, ριθµός των τµηµάτων στ οποί το δοθέν πεδίο ( ) υξάνετι άπειρ. Οι κόλουθες ιδιότητες του ορισµένου ολοκληρώµτος προκύπτουν πό τον ορισµό: Αν ( ) f κι ( ) των σχετικών διστηµάτων, τότε: () ( ) = ( ) ϕ είνι µονό-τιµες συνρτήσεις συνεχείς υπεράνω f d f d (2) { ( )} = ( ) f d f d (3) κ f( ) d = κ f( ) d ( κ = στθερά) c (4) ( ) = ( ) + ( ) c f d f d f d (5) { ( ) + ϕ( )} = ( ) + ϕ( ) f d f d d.

8 Κεφάλιο 4ο Έχουµε Θ ποδείξουµε την τελευτί ιδιότητ (5): { f( r) ϕ( r) }( r + r) { f( r)( r + r) ϕ( r)( r + r) } r= r= δηλδή, + = + = f( r)( r+ r) ϕ( r)( r+ r), = + r= r= { ( ) + ϕ( )} = ( ) + ϕ( ) f d f d d πίρνοντς το όριο, κθώς κι χρησιµοποιώντς την ιδιότητ, ότι, το όριο του θροίσµτος είνι το άθροισµ των ξεχωριστών ορίων. Το προηγούµενο ποτέλεσµ επεκτείνετι στην ολοκλήρωση µις διφοράς f ϕ, κι φνερά, στην ολοκλήρωση θροίσµτος συνρτήσεων ( ( ) ( )) ή διφορών οποιουδήποτε ριθµού ξεχωριστών συνρτήσεων. Πράδειγµ r r+ Αν η f( ) είνι συνεχής, το άθροισµ f ( ) το f( ) + r= 2 d σν ορική τιµή, κθώς. είξτε ότι: 2 2 d= ( ). 2 r+ r, έχει Λύση Έχουµε: + 2 2 2 2 r r+ r+ r ( r+ r) = κι r= r= d= = 2 2 2 2 r r lim + r = 2 2 ( )

γ f f f d f 2 f( ) = [, = ] [ 0,] 3 2 f( ) d= d= = 3 3 0 0 0 2 ( ) = t [, = ] [ 0,] f t 3 2 t f( t) dt= t dt= = 3 3 0 0 0 ( ) = ( ) = ( ) =... = ( ) f d f t dt f z dz f v dv Γενικά γ, γ,..., γ [, ] 2 v Ο2 Ο3 Οv Ο ( ) ( ) ( ) ( ) f d f d... f d f d 0 Ο Ο2 vο vο f f f f f f d f d f d f d 2 2

0 Κεφάλιο 4ο (5) (Ιδιότητ της γρµµικότητς) ( )... ( ) ( )... ( ) κ f + + κ f d = κ f d + + κ f d = v v v v k ( )... ( ) f d + + kv fv d = v i i= i ( ) = κ f d (7) (6) (Ιδιότητ της µονοτονικότητς). Αν οι συνρτήσεις f, συνεχείς στο [, ] κι f( ) g( ) [, ], τότε: g είνι ( ) ( ) f d g d (8) (7) Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι f( ) 0 [, ] τότε ( ) d 0 f (9) (8) Αν η f συνεχής στο [, ], τότε: ( ) = ( ) f d f t dt (0) ξ, όπου ξ τυχίο λλά ορισµένο σηµείο του [, ], το είνι η µετλητή στο [, ]. (9) Αν η συνάρτηση g κι η πράγωγός της g είνι συνεχείς συνρτήσεις, g,,,, τότε: στο [ ] µε ([ ]) [ ] κι η f συνεχής στο [ ]

Ολοκληρώµτ συνρτήσεων µις µετλητής ( ) ( ( )) '( ) = ( ) f g g d f t dt () (0) Αν η f συνεχής στο [, ], f( ) 0, [, ] f( ) d τότε υπάρχει το f( ) () Ισχύει ότι: d. g g ( ) f( ) d f( ) d, (φού f( ) f( ) κι υπάρχει το ± ). (2) Αν m κι M είνι η ελάχιστη κι η µέγιστη τιµή ντίστοιχ της f στο, τότε: [ ] m f d M m f d M ( ) ( ) ( ) ( ). (3) (Θεώρηµ µέσης τιµής του ολοκληρωτικού λογισµού), Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [ ], τότε υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε: f d f f d f ( ) = ( ) ( ξ) ( ) = ( ξ) Απόδειξη: Επειδή η f είνι συνεχής στο [, ] η f ολοκληρώσιµη στο [, ] υπάρχει πράγουσά της F(), δηλδή F '( ) = f( ), [, ] Από το θεώρηµ της µέσης τιµής του διφορικού λογισµού γι την F ξ, τέτοιο ώστε έχουµε, ότι υπάρχει ( ) ( ) ( ) '( ξ)( ) ( ) ( ) ( ξ)( ) F F = F F F = f

2 Κεφάλιο 4ο ( ) ( ξ)( ) f d = f. (4) (Σχέση ορισµένου κι ορίστου ολοκληρώµτος) f t, t, είνι συνεχής (άρ ολοκληρώσιµη), τότε Αν η συνάρτηση ( ) [ ] η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη κι µάλιστ ( ) = ( ), [, ] F f t dt F ' = f. (5) (Τύπος του Tylor) Υποθέτουµε ότι η ν-οστή πράγωγος µις συνάρτησης f είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Τότε γι κάθε κι o του [, ] ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( ) ( o) ( v ) v ( v ) ( ) f = f + f ' +... + f + R! όπου το υπόλοιπο o o o o v R v δίνετι πό τον τύπο: v ( ) ( v ) ( ). o Rv= t f t dt v! 4.2. Τ ορισµέν ολοκληρώµτ σν εµδά χωρίων Η διγρµµτική πράστση ενός ορισµένου ολοκληρώµτος, κθιστά την έννοι πιο φνερή, κι τυτόχρον, οδηγεί σε σηµντικές εφρµογές. Υποθέτουµε, πρώτ, ότι f δέχετι > κι ότι η συνεχής συνάρτηση ( ) µόνο θετικές τιµές µετξύ = κι =. Ακόµη, γι ευκολί, η συνάρτηση θεωρείτι µονότιµ ύξουσ. Η συνάρτηση πριστάνετι τότε σν µι συνεχής κµπύλη που ρίσκετι πάνω πό τον οριζόντιο άξον O κι υξάνει προς τ δεξιά µετξύ των ευθειών ΑΡ (στο = ) κι BQ (στο

Ολοκληρώµτ συνρτήσεων µις µετλητής 3 = ) όπως φίνετι στο πρκάτω Σχήµ. Έστω CD έν τυπικό µέλος, + των τµηµάτων στ οποί διιρούµε το διάστηµ ΑΒ (=8 στο ( ) r r Σχήµ ). Η συνεισφορά υτού του τµήµτος στο άθροισµ f( r)( r+ r) είνι CD επί CR, η κάθετη της κµπύλης στο C, r= δηλδή το εµδόν του ορθογωνίου µε το CD σν άση κι το CR σν ύψος. Άρ, το όλο άθροισµ, είνι το άθροισµ των εµδών των ορθογωνίων, που είνι γρµµοσκισµέν στο Σχήµ, µι περιοχή που ρίσκετι πλήρως κάτω πό την κµπύλη µετξύ των Ρ κι Q. y Q Ρ R S O Α C D B Σχήµ Κθώς ο ριθµός των τµηµάτων υξάνετι, κι το κάθε τµήµ γίνετι µικρότερο, η γρµµοσκισµένη περιοχή, εµπεριέχοντς ένν υξνόµενο ριθµό ορθογωνίων που γίνοντι στθερά πιο λεπτά, πρέπει ν υξάνετι κι ν προσεγγίζει µι ορική τιµή, την οποί µπορούµε ν τυτίσουµε µε την περιοχή κάτω πό την κµπύλη, υπεράνω του O κι µετξύ των ευθειών ΑΡ κι BQ. Άρ το πρπάνω άθροισµ έχει υτή την περιοχή σν όριο κι: ( ) = περιοχ ΑΒ κάτω πό την κµπύλη = ( ) f d ή QP y f.

4 Κεφάλιο 4ο Φνερά, το ίδιο ποτέλεσµ προκύπτει ν ρχίσουµε πό κάποιο άλλο άθροισµ, που χρησιµοποιείτι γι τον ορισµό του ολοκληρώµτος. Το r r+ r πριστάνετι πό έν άθροισµ ορθογωνίων r= άθροισµ f( )( ) περιοχών, έν τυπικό ορθογώνιο µε άση το CD κι ύψος το DS. Έχουµε τώρ µι µη-κνονική περιοχή που περικλείετι πό την κµπύλη κι κθώς ο ριθµός των τµηµάτων υξάνετι, η περιοχή µειώνετι κι προσεγγίζει µι ορική τιµή, η οποί είνι το εµδόν του ABQP κάτω πό ' την κµπύλη. Ακόµη, το άθροισµ f( )( ) r= r r+ r, όπου ' r είνι οποιδήποτε τιµή µετξύ r κι r +, είνι το άθροισµ των ορθογώνιων περιοχών. (Μι τυπική ορθογώνι περιοχή έχει άση το CD κι ύψος ίσο µε κάποι κάθετη της κµπύλης πάνω πό την CD). Αυτή, η περιοχή, πάλι προσεγγίζει την περιοχή ABQP κάτω πό την κµπύλη, κθώς ο ριθµός των τµηµάτων υξάνετι. Το όριο είνι πάντοτε το ορισµένο ολοκλήρωµ κι φίνετι πό το εµδόν του χωρίου ABQP κάτω πό την κµπύλη. Το ίδιο επιχείρηµ εφρµόζετι, ότν η συνάρτηση, δεν είνι µονότον ύξουσ µετξύ των = κι =. Το ολοκλήρωµ µπορεί πάντοτε ν y= f, πρστθεί σν το εµδόν του χωρίου κάτω πό την κµπύλη ( ) πάνω πό τον άξον O κι µετξύ των κτκόρυφων ευθειών = κι f =. Αυτό φίνετι στο Σχήµ 2 πρκάτω. Ότν η συνάρτηση ( ) = κι = ( > ), κάνουµε δέχετι ρνητικές τιµές µετξύ των υποθετικές δικρίσεις µετξύ θετικών κι ρνητικών περιοχών. Αν η f( r) είνι ρνητική, τότε η συνεισφορά του τµήµτος ( r, r + ) r r+ r είνι ρνητική κι φίνετι πό το r= στο άθροισµ f( )( ) ορθογώνιο κάτω πό τον άξον O. Ότν πάρουµε το όριο, το ολοκλήρωµ f( ) d ντιπροσωπεύετι πάλι πό µι περιοχή µετξύ της κµπύλης y= f( ), τον άξον O κι των κτκόρυφων ευθειών = κι =, προλέποντς ότι, κάθε τµήµ της περιοχής που ρίσκετι

Ολοκληρώµτ συνρτήσεων µις µετλητής 5 πάνω πό τον άξον O λµάνετι σν θετικό, κι όποι τµήµτ ρίσκοντι κάτω πό τον άξον O σν ρνητικά, όπως φίνετι στο Σχήµ 3. Το ολοκλήρωµ ή το εµδόν θ είνι τότε ρνητικά ή θετικά. Τώρ, το ολοκλήρωµ f( ) d δεν είνι το άθροισµ, λλά η διφορά, των ριθµητικών εµδών PAC κι QBC του Σχήµτος 3. Αν το ριθµητικό άθροισµ ζητείτι, οι περιοχές PAC κι QBC πρέπει ν ληφθούν ξεχωριστά, σν: c f d f d, όπου OC=c ( ) κι ( ) c y y P O ( ) f d + O A C B Q Σχήµ 2 Σχήµ 3 Έτσι, ν η συνάρτηση y= f( ) είνι θετική στο διάστηµ (, ) κι η κµπύλη είνι πάνω πό τον άξον O, τότε το ολοκλήρωµ f( ) d είνι θετικό κι µετράτι πό τον εµδόν µις περιοχής κάτω πό την κµπύλη. Αν η συνάρτηση είνι ρνητική, στο διάστηµ κι η κµπύλη ρίσκετι κάτω πό τον άξον O, τότε το ολοκλήρωµ είνι ρνητικό, κι ριθµητικά ίσο µε το εµδόν του χωρίου κάτω πό τον άξον O κι πάνω

6 Κεφάλιο 4ο πό την κµπύλη. Αν η συνάρτηση λλάζει πρόσηµο µέσ στο διάστηµ, κι η κµπύλη δισχίζει τον άξον O, τότε το ολοκλήρωµ µπορεί ν είνι θετικό ή ρνητικό, κι πριστάνετι πό το λγερικό άθροισµ µις θετικής περιοχής (πάνω πό τον O) κι µις ρνητικής περιοχής (κάτω πό τον O). Μι επιπλέον συνθήκη στη θεώρηση του προσήµου µις περιοχής χρειάζετι, γι ν ερµηνεύσουµε το ολοκλήρωµ f( ) d σν µι περιοχή στην περίπτωση που >. Κθένς πό τους όρους ( ) r+ που εµφνίζοντι σε οποιδήποτε πό τ θροίσµτ που ορίζουν το ολοκλήρωµ, είνι τώρ ρνητικός, ντί γι θετικός, κι τ ντίστοιχ ορθογώνι χωρί περιγράφοντι πό τ δεξιά προς τ ριστερά, ντί γι την γνωστή µς διεύθυνση. Απλά, χρειζόµστε τη συνθήκη, ότι, µι περιοχή που περιγράφετι πό δεξιά προς τ ριστερά είνι ριθµητικά ίση, λλά ντίθετη στο πρόσηµο, µε την όµοι περιοχή που περιγράφετι πό τ ριστερά προς τ δεξιά. Σε όλες τις περιπτώσεις, το ολοκλήρωµ f( ) d µετράτι πό το εµδόν του χωρίου, µετξύ της κµπύλης y= f( ), του άξον O κι των κτκόρυφων ευθειών = κι =. ιάφορ εµδά πρέπει ν θεωρηθούν ότι έχουν πρόσηµ σύµφων µε τις συνθήκες κι νφέρµε. Το συνολικό εµδόν, είνι το λγερικό (κι όχι το ριθµητικό) άθροισµ των ξεχωριστών τµηµάτων, κι µπορεί ν είνι θετικό ή µπορεί ν είνι ρνητικό. r

Ολοκληρώµτ συνρτήσεων µις µετλητής 7 Γεωµετρική ερµηνεί του ορισµένου ολοκληρώµτος Α) Εµδό επίπεδου χωρίου ίνετι η συνάρτηση f, ορισµένη κι συνεχής στο [, ]. Αρχικά, δεχόµστε ότι f( ) 0, [, ]. Θεωρούµε το διάγρµµ της f. Ζητείτι ν ρεθεί το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό το διάγρµµ της f, την ευθεί =, την ευθεί = κι τον άξον O, συµολίζουµε µε (Ε) το εµδόν υτό. y E Ο Σχήµ 4 Το εµδόν επιπέδου χωρίου που περικλείετι πό µι κµπύλη προσεγγίζετι µε το εµδόν που περικλείει µι εγγεγρµµένη σ υτήν πολυγωνική γρµµή. η περίπτωση: Αν η f είνι γρµµική, έστω ( ) Ε είνι έν τρπέζιο του οποίου γνωρίζουµε το εµδόν: Εξάλλου f ( ) + f( ) ( ) 2 f = κ + λ, τότε το χωρίο 2 2 2 κ κ κ f( ) d = ( κ + λ) d = + λ = + = 2 λ λ 2 2

8 Κεφάλιο 4ο ( ) κ λ = κ ( ) + λ ( ) = ( ) = 2 2 2 2 + + 2 ( κ + λ) + ( κ + λ) f( ) + f( ) ( ) ( ) = = 2 2 Άρ το εµδό του χωρίου Ε: Συµολικά: Ε = f ( ) d y f( ) f( ) Α Γf E Β Ο Σχήµ 5 2 η περίπτωση. Αν η f έχει σν διάγρµµ µι πολυγωνική γρµµή, τότε το: y A A 3 A o A 2 Ε Ε 2 Ε 3 Ο 2 Σχήµ 6