ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ( - h). Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 = και lim = h 0 h να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 0 = και να βρείτε την (). () - + 6. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 = και lim = 6 - να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 0 = και να βρείτε την ().. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0 = με () = 8 και () = 5 να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : α) lim - () - 0 β) lim - () - 4 () - 5. 4. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0 = 0 και ισχύει () + () = + ημ για κάθε Î R να βρείτε την (0). 5. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0 με ( 0 ) = 50 (0 + 5h) - (0 - h) + h να αποδείξετε ότι lim = 0 h 0 h 6. Αν () - g() ( -) για κάθε Î R και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο 0 = να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 0 =. 7. Να βρείτε τις τιμές των α β γî R ώστε η συνάρτηση ì α ï () = í ï î - + β + γ - 4 < = > να είναι παραγωγίσιμη στο 0 =. Σελίδα από 6

8. Έστω g δύο συναρτήσεις ορισμένες στο R παραγωγίσιμες στο 0 = με () - g() = 9. Αν () + g() για κάθε Î R να αποδείξετε ότι () - g () = 6. 9. Έστω μια συνάρτηση : R R συνεχής στο 0 = α. Αν g() = - α να αποδείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο 0 = α αν και μόνο αν (α) = 0. ì ï ()ημ ¹ 0 0. Αν g() = í και (0) = (0) = 0 να αποδείξετε ότι ï î 0 = 0 η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο 0 = 0.. Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο κλειστό διάστημα [ β] παραγωγίσιμη στα α και β.αν () ¹ 0 για κάθε ( α β ) να αποδείξετε ότι (α) (β) 0. α και Î και (α) = (β) = 0. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο με () = - η οποία * για κάθε y Î R ικανοποιεί τη σχέση ( y) = () + (y) - y + + y. * Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη για κάθε Î R με () = -.. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο 0 με (0) = η οποία για κάθε y ÎR ικανοποιεί τη σχέση ( + y) = ()συνy + (y)συν. Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη για κάθε Î R με () = συν. 4. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο 0 = ξ > 0 η οποία για κάθε α β Î (0 + ) ικανοποιεί τη σχέση (α β) = (α) + (β). ö Να αποδείξετε ότι α) ç æ = - () è ø για κάθε Î (0 + ) ξ β) () = (ξ) για κάθε Î (0 + ). 5. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο 0 με (0) =. Αν () ¹ () + (y) - 6 για κάθε Î R και ( - y) = για κάθε yî R (y) - να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη για κάθε Î R με () = () -. Σελίδα από 6

6. Έστω η συνεχής συνάρτηση :( 0 + ) R για την οποία ισχύει ( ψ ) = ( ψ) για κάθε ψ>0 () 0 για κάθε >0 και παραγωγίσιμη στο ξ ξ>0. Να δείξετε ότι: æö i) ()= και ç = για κάθε >0. ii) ()>0 για κάθε >0. èø iii) παραγωγίσιμη στο (0 + ) με ξ ξ = ξ για κάθε >0. 7. Αν η συνάρτηση είναι περιττή και δυο φορές παραγωγίσιμη στο R τότε να αποδείξετε ότι (0) = (0) = 0. 8.i)Αν ρ ρ ρ Î R ρίζες του πολυωνύμου () = α + β + γ + δ ρ ρ ρ με ρ ¹ ρ ¹ ρ ¹ ρ να αποδείξετε ότι + + = 0. (ρ ) (ρ ) (ρ ) ii) Ένα πολυώνυμο F() βαθμού ν με νî Ν έχει παράγοντα το (χ-ρ) αν και μόνο αν ισχύει F(ρ)=F (ρ)=0. 9. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει (α+β) (α)+(β) για κάθε αβî R.Αν (0)=0 και ( 0) = να αποδείξετε ότι = για κάθε Î R 0. Έστω συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη η οποία για κάθε α β Î (0 + ) ικανοποιεί τη σχέση (α β) = (α) + (β). Να αποδείξετε ότι () = y (y)..α. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα Δ με ()¹ 0 για κάθε στο (Δ) ÎD. Αν η είναι να αποδείξετε ότι η - παραγωγίζεται - με ( (y)) = y Î (Δ) με y = (). () Β. Δίνεται η συνάρτηση : ( 0 π) R με () = συν. Να αποδείξετε ότι α) η αντιστρέφεται β) η - είναι παραγωγίσιμη στο ( ) Γ. Δίνεται η συνάρτηση α) η αντιστρέφεται β) η - - - με ( ()) =. - π π :(- ) R με () = εφ. Να αποδείξετε ότι - είναι παραγωγίσιμη στο R με ( - ) () =. + Σελίδα από 6

. Έστω μια συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο ( α β) με () ¹ 0 () για κάθε Î (α β). Αν g () = και η C g τέμνει τον άξονα στο σημείο () Α με τετμημένη 0 Î (α β) να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C g στο Α σχηματίζει με τον άξονα γωνία 45 0. + α. Δίνεται η συνάρτηση () = α Î R. Αν η εφαπτομένη της C e στο σημείο M ( ) είναι παράλληλη στον άξονα να αποδείξετε ότι 0 0 - το σημείο Μ διαγράφει την καμπύλη y = e. 4. Δίνεται η συνάρτηση () = ln - α με > 0 και αî R. α) Να βρείτε τα σημεία της C στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα. β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά κινούνται πάνω σε μια σταθερή ευθεία για τις διάφορες τιμές του α. 5. Έστω μια παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση για την οποία ισχύει ()+ = 0 X και g η συνάρτηση που ορίζεται από την ισότητα g()=(e )ÎR. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C στο Α(()) εφάπτεται της Cg στο Β(0g(0)). - 6. Έστω συνάρτηση g() = ( e + ) όπου παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R. Αν η ευθεία ( ε ) : y = εφάπτεται της C στο σημείο M ( ()) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C g στο σημείο Ν ( g() ). P με β < α και η παραβολή = +. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δυο εφαπτόμενες της παραβολής που διέρχονται από το P. 7. i) Έστω σημείο ( αβ) 7 ii) Αν το P είναι σημείο της ευθείας y = τότε να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες αυτές 8 είναι κάθετες. Επίσης αν το Ρ είναι σημείο της ευθείας = τότε να δείξετε ότι 8 είναι ( ) + ( ) = όπου οι τετμημένες των σημείων επαφής των δυο αυτών εφαπτομένων. Σελίδα 4 από 6

8. Να αποδείξετε ότι : α) Η εξίσωση e ( - ) = 4 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( 0 ). β) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων () = e και δέχονται κοινή εφαπτομένη. g() = - 9. Να αποδείξετε ότι : α) Η εξίσωση 4 (ln - ) = έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα ( 0 + ). β) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων () = ln και δέχονται μοναδική κοινή εφαπτομένη. g() = - 0. Δίνεται η συνάρτηση () = e + ln + 4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ Î 0 τέτοιο ώστε η εφαπτομένη ένα τουλάχιστον σημείο Μ με τετμημένη της C στο Μ να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β. Δίνονται οι συναρτήσεις () = α + β - και g () = β ¹ 0. Να βρείτε τις τιμές των α β για τις οποίες οι C και C g έχουν κοινό σημείο στο οποίο δέχονται κοινή εφαπτομένη που σχηματίζει με τον άξονα γωνία 5 0. α α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της C διέρχεται από σταθερό σημείο α. Έστω συνάρτηση () = α - (α + ) - 6α + α Î R. Α για κάθε τιμή του α. β) Να προσδιορίσετε την τιμή του α για την οποία η ευθεία ΟΑ εφάπτεται της C α στο Α. -. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων = ( e + e ) g = e + e ημ έχουν κοινή εφαπτομένη σε κάθε κοινό τους σημείο. - και y 4. Κινητό σημείο Μ διαγράφει την καμπύλη C : + = με 0 4 και 0 y. Αν η προβολή του σημείου Μ στον άξονα ελαττώνεται με σταθερό ρυθμό μ / sec να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης του Μ από την αρχή των αξόνων Ο όταν η απόσταση αυτή είναι μονάδες. Σελίδα 5 από 6

5. Έστω > 0 και Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία Ο ( 0 0 ) Α ( 0 ) και Β ( e ). Αν ο ρυθμός μεταβολής του είναι 7 cm / sec να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε όταν είναι = c m. 6. Ένα υλικό σημείο απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων κινούμενο στο ο τεταρτημόριο κατά μήκος της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y =. 48 Να βρείτε πότε ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης είναι μεγαλύτερος από το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης. 7.Ένα υλικό σημείο Μ κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης () =. Αν η τετμημένη του σημείου Μ μεταβάλλεται με ρυθμό 4 cm / sec να βρείτε τη χρονική t 0 που η τετμημένη είναι 4 cm το ρυθμό μεταβολής α) της τεταγμένης y του σημείου Μ. β) της γωνίας που σχηματίζεται από τη διανυσματική ακτίνα ΟΜ και τον ημιάξονα Ο. 8. Ένα σημείο Μ ( y ) κινείται πάνω στη γραφική παράσταση C της συνάρτηση () = ( + ) και η τετμημένη του δίνεται από τη συνάρτηση (t) = t - με t ³ 0 ( t σε sec και σε cm ). α) Αν d είναι η απόσταση του σημείου Μ από το σταθερό σημείο Α( - 0) το d ως συνάρτηση του χρόνου. να εκφράσετε β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του d κατά τη χρονική στιγμή όπου η εφαπτομένη της C στο Μ τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β( 0-8). 9. Σημείο Μ κινείται πάνω στη γραφική παράσταση C της συνάρτηση () = ln > και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό cm / sec. Έστω θ η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της C στο Μ με τον άξονα. α) Να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο ελαττώνεται η γωνία θ κατά τη χρονική στιγμή όπου η τετμημένη του Μ είναι cm. β) Αν η εφαπτομένη στο Μ τέμνει τον άξονα στο σημείο Α και η προβολή του Μ στον είναι το σημείο Β να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται το εμβαδόν του τριγώνου ΑΜΒ κατά τη χρονική στιγμή που η εφαπτομένη στο Μ διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Σελίδα 6 από 6