ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ ος ΔΙΑΚΡΙΤΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 7

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος v Κεφάλαιο IV Διακριτή Αριθμητική Ανάλυση IV Παρεμβολή IV Τοποθέτηση του Προβλήματος IV Πολυώνυμο Παρεμβολής Lgrge 6 IV3 Σχήμα Nevlle Ate 8 IV4 Διηρημμένες Διαφορές 3 IV5 Ο Τύπος του Newto 8 IV6 Σφάλμα Παρεμβολής 4 IV7 Βέλτιστη Επιλογή των Σημείων Παρεμβολής 45 IV8 Σύγκλιση Ακολουθιών Πολυωνύμων Παρεμβολής 54 IV9 Πολυώνυμο Παρεμβολής Hermte 7 IV Γενική Διατύπωση του Προβλήματος της Παρεμβολής 77 IV Παρεμβολή με Ρητή Συνάρτηση 8 IV Αριθμητικός Τετραγωνισμός IV Τοποθέτηση του Προβλήματος IV Οι Τύποι Newto Côtes 4 IV3 Οι Σύνθετες Μέθοδοι IV4 Μέθοδος Τραπεζίων IV5 Μέθοδος Smpso 4 IV6 Μέθοδος Romberg 8 IV6 Πολυώνυμα και Αριθμοί Beroull 9 IV6 Τύπος Euler McLur 3 IV6Αλγόριθμος Romberg 35 IV7 Οι Μέθοδοι Guss 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 3

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ IV8 Ύπαρξη και Ιδιότητες των Τύπων του Guss 43 IV9 Συστήματα Ορθογωνίων Πολυωνύμων 5 IV Κατασκευή Ορθογωνίων Πολυωνύμων 63 IV Μέθοδος Προσδιοριστέων Συντελεστών 69 IV Αριθμητικός Υπολογισμός Πολλαπλών Ολοκληρωμάτων 76 IV3 Αριθμητική Παραγώγιση 77 IV3 Τοποθέτηση του Προβλήματος 77 IV3 Μελέτη του Σφάλματος 79 IV33 Υπολογισμός των Συντελεστών 8 IV34 Η Περίπτωση των Ισαπεχόντων Σημείων 8 IV34 Αριθμητική Ευστάθεια 84 IV34 Χρήσιμοι Τύποι 86 IV34Παραγώγιση και Τελεστές Διαφορών 87 IV34vΒελτίωση Ακρίβειας 9 IV35 Παραγώγιση Ανώτερης Τάξης 9 IV36 Παραγώγιση Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών 94 IV4 Ολοκλήρωση Διαφορικών Συστημάτων 97 IV4 Το Πρόβλημα Cuc 97 IV4 Οι Μέθοδοι Ξεχωριστών Βημάτων 6 IV4 Θεωρητικές Έννοιες 7 IV4 Συνάφεια Μεθόδου 7 IV4 Θεωρητική Ευστάθεια Μεθόδου IV4v Σύγκλιση Μεθόδου IV4v Τάξη Μεθόδου 3 IV4v Οι Μέθοδοι Euler και Ruge Kutt 5 IV4v Πρακτικές Έννοιες 3 IV4vΑ Ευστάθεια των Μεθόδων Ruge Kutt 3 IV4 Έλεγχος Βήματος 3 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ IV4 Βελτίωση Ακρίβειας 33 IV43 Οι Μέθοδοι Συναπτών Βημάτων 34 IV43 Εξισώσεις Διαφορών 37 IV43 Θεωρητικές Έννοιες 47 IV43 Συνάφεια Μεθόδου 47 IV43v Θεωρητική Ευστάθεια Μεθόδου 5 IV43v Σύγκλιση Μεθόδου 5 IV43v Τάξη Μεθόδου 55 IV43v Οι Μέθοδοι Adms 57 IV43vΟι Μέθοδοι Πρόβλεψης Διόρθωσης 66 IV43 Πρακτικές Έννοιες 68 IV43 Α Ευστάθεια των Μεθόδων Συναπτών Βημάτων 69 IV43 Α Ευστάθεια των Μεθόδων Πρόβλεψης Διόρθωσης 7 IV43 Εκκίνηση των Μεθόδων Συναπτών Βημάτων 7 IV44 Η Μέθοδος των Αναδρομικών Διαφορίσεων 74 IV44 Περιγραφή της Μεθόδου 8 IV44 Μελέτη της Τάξης 89 IV44 Ευστάθεια των Μεθόδων Τάξεων και 9 IV44v Ευστάθεια με Αμετάβλητη Τάξη 96 IV44v Ευστάθεια με Μεταβλητή Τάξη και Μεταβλητό Βήμα 38 IV5 Στοιχεία Θεωρίας Προσεγγίσεων 3 IV5 Τοποθέτηση του Προβλήματος 3 IV5 Περί Βέλτιστης Προσέγγισης 3 IV5 Χαρακτηρισμός Ύπαρξη και Μοναδικότητα 3 IV5 Κατασκευή της Βέλτιστης Προσέγγισης 38 IV53 Παραδείγματα Προσεγγίσεων 334 IV53 Προσέγγιση με την Έννοια των Ελαχίστων Τετραγώνων 334 IV53αΣυνεχής Προσέγγιση 334 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 5

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ IV53βΔιακριτή Προσέγγιση 337 IV53γΠροσέγγιση με Συναρτήσεις Sples 34 IV53 Βέλτιστη Ομοιόμορφη Προσέγγιση 34 Βιβλιογραφία 347 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Βασικός σκοπός των Μαθηματικών υπήρξε κατ αρχήν η δημιουργία γενικών Θεωριών ανεξάρτητα του κατά πόσο οι σχετικές μέθοδοι ήταν εφαρμόσιμες σε συγκεκριμένα πρακτικά προβλήματα έτσι ώστε να παρέχουν σαφή αριθμητικά αποτελέσματα Η έλλειψη υπολογιστικών μέσων αποτέλεσε σοβαρό λόγο για την καθυστέρηση της τροπής των Μαθηματικών προς μία συστηματική ανάπτυξη παράλληλων και διαφορετικών μεθόδων οι οποίες οδηγούν σε συγκεκριμένα αριθμητικά αποτελέσματα Αυτές οι μέθοδοι απαιτούν πεπερασμένο αλλά τεράστιο πλήθος αριθμητικών πράξεων ώστε η ευχερής και μέσα σε λογικά χρονικά πλαίσια εφαρμογή τους προϋποθέτει την χρήση ταχύτατων υπολογιστικών μηχανών Και ακριβώς η κατά τα τελευταία χρόνια αλματώδης ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών είχε πολύ ευεργετική επίδραση στην ανακάλυψη την επεξεργασία και την εφαρμογή τέτοιων μεθόδων Ένα κεντρικό γνωστικό αντικείμενο της Αριθμητικής Ανάλυσης έγκειται στην αναζήτηση την δημιουργία και την μελέτη αυτών των μεθόδων των λεγόμενων αριθμητικών μεθόδων Τα κριτήρια επιλογής της κατάλληλης αριθμητικής μεθόδου που πρέπει να εφαρμοστεί για την επίλυση κάποιου προβλήματος δεν είναι πάντοτε απλά με συνέπεια αυτή η επιλογή να συνιστά ένα από τα δυσκολότερα στάδια της όλης διερεύνησης του εκάστοτε ζητήματος Ανεξάρτητα από τα όσα προηγήθηκαν πρέπει να σημειωθεί ότι η εννοιολογική δυναμική και οι συνεχώς επεκτεινόμενες δυνατότητες της Αριθμητικής Ανάλυσης δίνουν διεξόδους και θεωρητικές προσεγγίσεις σε πολλά μαθηματικά ερωτήματα που είναι άγνωστο ή και ανέφικτο αν και πώς μπορούν να απαντηθούν με μεθόδους της κλασσικής Μαθηματικής Ανάλυσης Για παράδειγμα είναι γνωστό ότι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε κάποια ολοκληρώματα πολλών συναρτήσεων ή λύσεις ορισμένων διαφορικών εξισώσεων ή ακόμη τον μοναδικό πραγματικό αριθμό ξ που επαληθεύει την εξίσωση ξ e ξ Σε μία τέτοια περίπτωση αντικαθιστούμε την μαθηματική επίλυση του προβλήματος με την αριθμητική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 7

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ επίλυσή του Θα δίνουμε για παράδειγμα μία προσεγγιστική τιμή της λύσης της διαφορικής εξίσωσης σε έναν ορισμένο αριθμό σημείων του διαστήματος ολοκλήρωσης Έτσι η γενική θεματολογική κατεύθυνση της Αριθμητικής Ανάλυσης συνοψίζεται στον προσδιορισμό της σαν τον κλάδο των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών που πραγματεύεται τις μεθόδους αριθμητικής επίλυσης των προβλημάτων της Μαθηματικής Ανάλυσης Κατά τον Herc [8] Αριθμητική Ανάλυση είναι η θεωρία των κατασκευαστικών μεθόδων της Μαθηματικής Ανάλυσης Ο όρος κατασκευαστική μέθοδος σημαίνει ένα σύνολο από κανόνες που λέγεται αλγόριθμος και που επιτρέπει την ανεύρεση της λύσης ενός μαθηματικού προβλήματος με μία αξιόπιστη ακρίβεια και μετά από πεπερασμένο αριθμό αριθμητικών πράξεων Το πρώτο Κεφάλαιο του παρόντος Βιβλίου περιλαμβάνει μία συνοπτική αναφορά στις βοηθητικές έννοιες και εύχρηστες εφαρμογές της Θεωρίας Πινάκων Μετά από μία σύντομη παράθεση βασικών ιδιοτήτων εξετάζονται τρία σπουδαία προβλήματα που άπτονται της Θεωρίας αυτής: η επίλυση τετραγωνικών συστημάτων γραμμικών εξισώσεων η αναζήτηση των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα και η διάσπαση τετραγωνικών πινάκων Κατά την αντιμετώπιση αυτών των προβλημάτων στο Κεφάλαιο αυτό δόθηκε έμφαση στην κατανόηση των αφηρημένων τεχνικών επίλυσής τους γιατί μέσα από αυτές περιγράφεται άμεσα το βαθύτερο θεωρητικό υπόβαθρο και μοντέλο που ανταποκρίνεται στην μελέτη της φύσης τους Στο δεύτερο Κεφάλαιο αναπτύσσονται οι κύριες αριθμητικές μέθοδοι υπολογισμού των ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Όπως θα δούμε υπάρχουν δύο μεγάλες κατηγορίες τέτοιων μεθόδων Στην πρώτη κατηγορία περιλαμβάνονται όλες εκείνες οι τεχνικές που επιτρέπουν τον πρακτικό υπολογισμό ενός ιδιοδιανύσματος κάθε φορά καθώς και όλες εκείνες οι μέθοδοι που οδηγούν στον διαδοχικό υπολογισμό όλων των ιδιοδιανυσμάτων Οι μέθοδοι της δεύτερης κατηγορίας διακρίνονται σε δύο κύρια είδη: τις μεθόδους προσδιορισμού του χαρακτηριστικού πολυωνύμου και τις μεθόδους διάσπασης Το 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ πρώτο είδος είναι το λιγότερο ενδιαφέρον εκτός από ορισμένες ειδικές περιπτώσεις επειδή πρέπει στην συνέχεια να υπολογισθούν οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου Το δεύτερο είδος έχει κυρίως επαναληπτικό χαρακτήρα ο οποίος στηρίζεται στην χρησιμοποίηση όμοιων μετασχηματισμών Πέραν των μεθόδων που έχουν συμπεριληφθεί σε αυτό το δεύτερο Κεφάλαιο υπάρχει και ένας μικρός αριθμός άλλων αριθμητικών μεθόδων που αναπτύσσονται αρκετά εξαντλητικά σε εργασίες και πραγματείες της Βιβλιογραφίας Στο τρίτο Κεφάλαιο παρουσιάζονται οι αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης αλγεβρικών εξισώσεων και συστημάτων γραμμικών εξισώσεων Μόνο λίγες αλγεβρικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν με την χρήση κλασσικών Μαθηματικών :οι πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού 4 Με την χρήση αριθμητικών μεθόδων όμως έχει κατορθωθεί ο προσεγγιστικός εντοπισμός των ριζών μίας εξίσωσης της μορφής ξ όπου είναι μία συνάρτηση πραγματικής ή μιγαδικής μεταβλητής Στο πρώτο μέρος του Κεφαλαίου αυτού θα ασχοληθούμε κυρίως με τον αριθμητικό υπολογισμό μίας απλής πραγματικής ρίζας της εξίσωσης ξ Στα υπόλοιπα μέρη του Κεφαλαίου θα μελετήσουμε το πρόβλημα επίλυσης ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων Αb όπου Α είναι ένας τετραγωνικός αντιστρέψιμος πίνακας με γραμμές και στήλες και όπου b είναι ένα διάνυσμα του C Θεωρητικά ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να επιλυθεί υπολογίζοντας τον αντίστροφο πίνακα A του A Όμως το γεγονός ότι ο A υπολογισμός του προϋποθέτει τον υπολογισμό της ορίζουσας του A υπολογισμός που με την σειρά του απαιτεί την εκτέλεση! πολλαπλασιασμών φανερώνει ότι η μαθηματική επίλυση ενός μεγάλου συστήματος γραμμικών εξισώσεων είναι πρακτικά αδύνατη Οι αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων χωρίζονται σε τρεις μεγάλες κατηγορίες που είναι ριζικά διαφορετικές μεταξύ τους : τις άμεσες μεθόδους που δίνουν θεωρητικά το διάνυσμα λύση μετά από πεπερασμένο αριθμό στοιχειωδών αριθμητικών πράξεων τις επαναληπτικές μεθόδους που δίνουν την λύση ακολουθίας διανυσμάτων και τις μεθόδους προβολής σαν όριο μιας ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 9

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Στο τέταρτο θεωρητικό Κεφάλαιο παρουσιάζεται μία εισαγωγή στην Διακριτή Αριθμητική Ανάλυση δηλαδή στον κλάδο εκείνο της Αριθμητικής Ανάλυσης όπου η επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος επιτυγχάνεται με την αντικατάσταση ενός συνεχούς φαινομένου με ένα προσεγγιστικό διακριτό φαινόμενο Οι κεντρικές γνωστικές οντότητες του Κεφαλαίου αναφέρονται στην μελέτη του προβλήματος παρεμβολής της αριθμητικής ολοκλήρωσης και παραγώγισης και τέλος της αριθμητικής επίλυσης μίας συνήθους διαφορικής εξίσωσης ή ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων Στο πέμπτο Κεφάλαιο συγκεντρώσαμε ορισμένα χαρακτηριστικά παραδείγματα και ασκήσεις που αναφέρονται στα θεωρητικά εδάφια που προηγήθηκαν Η προτίμηση που δείξαμε σε στοιχειώδη παραδείγματα οφείλεται όχι μόνο στην επιθυμία μας για άμεση κατανόηση του μηχανισμού των διάφορων μεθόδων από μέρους του αναγνώστη αλλά και στην απρόσκοπτη ευχέρεια συγκριτικών αντιπαραθέσεων των δυνατοτήτων τους Η συλλογή λυμένων και άλυτων ασκήσεων πιστεύουμε ότι καλύπτει όλο το φάσμα των κυριότερων αριθμητικών μεθόδων Παρά την προσπάθεια που έγινε για μία αναλυτική και πλήρη ανάπτυξη των πρώτων Κεφαλαίων ενός μαθήματος Αριθμητικής Ανάλυσης υπάρχουν μερικά ζητήματα και κάποιες ειδικές μεθοδολογίες που δεν ήταν δυνατόν να συμπεριλάβουμε στα πέντε αυτά γενικά Κεφάλαια Προς τούτο ο κάθε ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να προστρέξει και να συμβουλευτεί τα συγγράμματα της προτεινόμενης Βιβλιογραφίας στο τέλος του παρόντος βιβλίου που όμως όπως είναι φυσικό αντιπροσωπεύει μόνο ένα μέρος του συνεχώς διογκούμενου καταλόγου σχετικών και συναφών πραγματειών Νικόλαος Ιω Δάρας ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4 Διακριτή Αριθμητική Ανάλυση IV ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΙV ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Έστω μία απεικόνιση ορισμένη μέσα σε ένα υποσύνολο U του K και τέτοια ώστε να παίρνει τιμές μέσα στο K K R C Υποθέτουμε ότι γνωρίζουμε τις τιμές: της σε σημεία K του U και ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο ανάμεσα στα K τέτοιο ώστε: Επιθυμούμε να βρούμε ένα πολυώνυμο: p : K K : p που να χαρακτηρίζεται από την ιδιότητα να παίρνει τις ίδιες τιμές με την απεικόνιση στα σημεία K : p για κάθε K ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Ένα τέτοιο πολυώνυμο εφόσον υπάρχει καλείται πολυώνυμο παρεμβολής της Λέμε επίσης ότι το πολυώνυμο p παρεμβάλλει την Προς τούτο συμβολίζουμε με: P K στα σημεία K τον διανυσματικό χώρο όλων των πολυωνύμων με συντελεστές και τιμές στο K των οποίων ο βαθμός είναι μικρότερος ή ίσος από Αρχίζουμε με το ακόλουθο: Θεώρημα ΙV Μία αναγκαία και ικανή συνθήκη προκειμένου να υπάρχει ένα και μόνο ένα πολυώνυμο p P K που παρεμβάλει την στα σημεία K είναι τα σημεία παρεμβολής να είναι ανά δυο διάφορα μεταξύ τους Απόδειξη Για να υπάρχει ένα μοναδικό πολυώνυμο K συνάρτηση στα σημεία εξισώσεων με τους P p που παρεμβάλλει την K πρέπει και αρκεί το σύστημα των άγνωστους K : γραμμικών ν να έχει μία και μοναδική λύση ν ν K Η ορίζουσα αυτού του συστήματος: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ K K det ονομάζεται ορίζουσα Vdermode και είναι ίση με: > Συνεπώς το παραπάνω σύστημα έχει μία και μοναδική λύση εάν και μόνον εάν: > δηλαδή εάν και μόνον εάν όλα τα σημεία K είναι ανά δύο διάφορα μεταξύ τους Παρατήρηση IV Η μοναδικότητα του πολυώνυμου παρεμβολής K συνάρτησης στα σημεία P p της K U μπορεί να αποδειχθεί και κατά άλλον τρόπο: εάν q K ήταν ένα δεύτερο τέτοιο πολυώνυμο τότε η διαφορά r p q θα P ήταν επίσης ένα στοιχείο του P K που θα είχε την ιδιότητα r K γιατί: δηλαδή το r p q r θα ήταν ένα πολυώνυμο βαθμού το πολύ ίσου με που θα είχε άρα το r θα ήταν το μηδενικό πολυώνυμο: r p q ρίζες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 3

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Ορμώμενοι από το Θεώρημα ΙΙΙ στην συνέχεια θα συμβολίζουμε με: p το μοναδικό πολυώνυμο παρεμβολής της στα ανά δύο διάφορα σημεία K του U αντί για p ακριβώς για να τονίζουμε ότι το πολυώνυμο παρεμβολής του Θεωρήματος ΙΙΙ έχει βαθμό το πολύ ίσο με Θα κατασκευάσουμε τώρα το p Είναι σαφές πως: p K K K K από όπου έπεται η σχέση: p det που μπορεί επίσης να γραφεί υπό την μορφή: 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 5 p det det Από την τελευταία ισότητα συνάγεται αμέσως ότι: det det p Δυστυχώς ο αριθμητικός υπολογισμός του p με την βοήθεια αυτού του Τύπου είναι πρακτικά ανέφικτος γιατί η εύρεση μίας τέτοιας ορίζουσας με την μέθοδο της μετάθεσης γραμμών ή στηλών θα απαιτούσε την πραγματοποίηση τουλάχιστον! πολλαπλασιασμών Στην πράξη καταφεύγουμε στην χρήση του Τύπου που δίνει το πολυώνυμο παρεμβολής Lgrge

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ ΙVΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ LAGRANGE Το πολυώνυμο παρεμβολής p δίνεται και από τον Τύπο του Lgrge: με: p L L όπου έχουμε διατηρήσει την παραδοχή ότι Προκειμένου να επαληθεύσουμε ότι ο τύπος του Lgrge δίνει πράγματι το πολυώνυμο βαθμού το πολύ που παρεμβάλλει την συνάρτηση στα σημεία K U παρατηρούμε κατ αρχήν ότι η παράσταση L είναι ένα πολυώνυμο μέσα από τον διανυσματικό χώρο P K γιατί σχηματίζεται από τον γραμμικό συνδυασμό των πολυωνύμων L K Ας δείξουμε τώρα ότι: Είναι σαφές πως P p K L 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ακόμη είναι L γιατί τότε υπάρχει ένας δείκτης ίσος με μέσα στο γινόμενο και ο αριθμητής του L ισούται με μηδέν Επομένως ισχύει: L δ όταν όταν και έπεται αμέσως ότι p K Επειδή σύμφωνα με το Θεώρημα IV το πολυώνυμο βαθμού το πολύ που παρεμβάλλει την στα ανά δύο διάφορα σημεία K του U είναι μοναδικό συμπεραίνουμε ότι πράγματι ο τύπος του Lgrge δίνει το πολυώνυμο που περιγράφεται στο Θεώρημα IV Ας παρουσιάσουμε τώρα μία άλλη έκφραση του πολυωνύμου παρεμβολής Lgrge Θέτουμε: V : και υπολογίζουμε την τιμή V της παραγώγου της συνάρτησης V στο σημείο Έχουμε: V κι επειδή V είναι: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 7

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ V V V Αφήνοντας το να τείνει προς το διαπιστώνουμε ότι: V και επομένως ισχύει: Έτσι L V V το πολυώνυμο παρεμβολής Lgrge γράφεται και υπό την μορφή: p V V ΙV3 ΣΧΗΜΑ NEVILLE AITKEN Αντί να κατασκευάσουμε το πολυώνυμο παρεμβολής p της χρησιμοποιώντας τον τύπο του Lgrge μπορούμε να το κατασκευάσουμε με μαθηματική επαγωγή χρησιμοποιώντας το σχήμα Nevlle Ate Προς τούτο ας συμβολίσουμε με: το πολυώνυμο βαθμού το πολύ που παρεμβάλλει την συνάρτηση στα σημεία T K 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Στο σχήμα Nevlle Ate το πολυώνυμο T δημιουργείται με την βοήθεια των πολυώνυμων Θέτουμε: T και T σύμφωνα με τον ακόλουθο τρόπο T : K T Είναι φανερό ότι το είναι το πολυώνυμο βαθμού ίσου με που παρεμβάλλει την στο μοναδικό σημείο Στην συνέχεια χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο επαγωγικό Τύπο: T T T M για K και K και T T T για K και K και υποθέτουμε ότι τα T και T είναι πολυώνυμα παρεμβολής της στα σημεία: K και K αντίστοιχα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 9

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Θα δείξουμε ότι το πολυώνυμο: παρεμβάλλει την στα σημεία: T K Προς τούτο κατ αρχήν παρατηρούμε ότι επειδή τα T και T είναι δύο πολυώνυμα βαθμών το πολύ ίσων με το πολυώνυμο T που ορίζεται από τον παραπάνω επαγωγικό τύπο έχει βαθμό το πολύ ίσο με Στην συνέχεια προβαίνουμε στις εξής τρεις διαπιστώσεις που συνοψίζουν τον παρεμβλητικό χαρακτήρα του πολυωνύμου Για έχουμε: T T και επειδή T αφού το T : T T T είναι το πολυώνυμο παρεμβολής της στα T σημεία K ισχύει T Για p p K έχουμε: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ T T T p p p p p p p κι επειδή T T p p p ισχύει T p p 3 Για έχουμε: T T T κι επειδή T ισχύει T Συνοψίζοντας η παρεμβλητική συμπεριφορά του πολυωνύμου T χαρακτηρίζεται από την ακόλουθη ιδιότητα: ν ν v K T Άρα λόγω του Θεωρήματος IV το T είναι πράγματι το πολυώνυμο που έχει βαθμό το πολύ ίσο με και που παρεμβάλλει την συνάρτηση στα ανά δύο διάφορα μεταξύ τους σημεία K Από αυτό έπεται ότι η διαδοχική συνέχιση της διαδικασίας των υπολογισμών των T θα οδηγήσει σε ένα τελευταίο πολυώνυμο βαθμού το πολύ : T το οποίο θα είναι το πολυώνυμο παρεμβολής p της στα ανά δύο διάφορα μεταξύ τους σημεία K του U ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Η πρακτική διάθεση της παραπάνω επαγωγικής διαδικασίας υπολογισμών του σχήματος Nevlle Ate αποδίδεται από την παρακάτω διαρθρωτική αναπαράσταση της σειράς διαδοχικών κατασκευών: T T T T T T T T p T T Παρατήρηση IV3 Για μία δεδομένη τιμή του K ο υπολογισμός της αντίστοιχης τιμής του πολυωνύμου παρεμβολής p απαιτεί: σύμφωνα με τη μέθοδο Lgrge: πολλαπλασιασμούς ή διαιρέσεις 5 προσθέσεις ή αφαιρέσεις σύμφωνα με το σχήμα Nevlle Ate: 3 πολλαπλασιασμούς ή διαιρέσεις προσθέσεις ή αφαιρέσεις Στην συνέχεια θα μελετήσουμε άλλους τρόπους υπολογισμού του p ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙV4 ΔΙΗΡΗΜΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ Στην παρούσα Παράγραφο θα παρουσιάσουμε μία διαφορετική μέθοδο κατασκευής του πολυωνύμου παρεμβολής p η οποία στηρίζεται στην έννοια των διηρημμένων διαφορών Έστω μία συνάρτηση της μεταβλητής U K της οποίας γνωρίζουμε τις ακριβείς αριθμητικές τιμές στα σημεία τους K U που είναι ανά δύο διάφορα μεταξύ Ορισμός ΙV4 Ονομάζουμε διηρημμένες διαφορές τάξης K της συνάρτησης στα σημεία K τις ακόλουθες εκφράσεις: τάξη : [ ] [ ] [ ] τάξη : [ ] [ ] [ ] τάξη :[ ] τάξη :[ [ K ] [ K ] K ] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 3

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo Ο πρακτικός υπολογισμός των διηρημμένων διαφορών μίας συνάρτησης πραγματοποιείται σύμφωνα με το εξής σχήμα: ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ K Οι διηρημμένες διαφορές της διέπονται από τις πιο κάτω ιδιότητες: Ιδιότητα ΙV4 Εάν V ν ν ν K τότε: V ν ν ν ν ν ] [ K Απόδειξη Η Απόδειξη της Ιδιότητας αυτής γίνεται με μαθηματική επαγωγή Για είναι και V V ν οπότε ν ν ] [ Έχοντας τώρα υποθέσει πως για - ν K ν V έχει αποδειχθεί ότι: V ν ν ν ν ν ] [ K

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 5 και πως για W ν ν K έχει αποδειχθεί ότι: W ν ν ν ν ν ] [ K θα δείξουμε ότι η Ιδιότητα παραμένει αληθινή και για την έκφραση: ] [ ν ν ν K Χρησιμοποιώντας τον ορισμό των διηρημμένων διαφορών έχουμε: W W V V ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ] [ K οπότε αποδεικνύεται εύκολα πως για S ν ν K ισχύει ότι: S ν ν ν ν ν ] [ K ισότητα που ολοκληρώνει την διαδικασία της μαθηματικής επαγωγής και που κατ επέκταση περατώνει την Απόδειξη της Ιδιότητας Μία ενδιαφέρουσα συνέπεια αυτής της Ιδιότητας είναι η συμμετρία που παρουσιάζουν οι διηρημμένες διαφορές μίας συνάρτησης υπό την έννοια ότι η διάταξη των δομικών συμβόλων μίας διηρημμένης διαφοράς μπορεί να αλλάξει αφήνοντας ανεπηρέαστη την τιμή της διηρημμένης διαφοράς Ακόμη έχουμε τις παρακάτω Ιδιότητες: Ιδιότητα ΙV43 L ] [ ] [ ] [ ] [ K K K K L

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo Απόδειξη Η Απόδειξη της Ιδιότητας αυτής γίνεται επίσης με μαθηματική επαγωγή Χωρίς να υπεισέλθουμε σε λεπτομέρειες αποδεικνύουμε μόνον τα πρώτα στάδια της επαγωγής Επειδή ] [ ισχύει ότι: ] [ απ όπου έπεται η σχέση: [ ] Ακόμη επειδή: ] [ ] [ ] [ ισχύει ότι: ] [ ] [ ] [ και άρα: ]} [ ] {[ ] [ ] [

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ιδιότητα ΙV44 Το πολυώνυμο παρεμβολής p της στα αμοιβαία διάφορα μεταξύ τους σημεία K δίνεται από τον Τύπο: p ] [ ] L [ L K ] [ Απόδειξη Σύμφωνα με την Ιδιότητα IV4 ισχύει: [ K ] V V όπου V K Εξάλλου όπως είδαμε στην Παράγραφο IV το πολυώνυμο παρεμβολής p δίνεται από τον Τύπο: p V V Από τις δύο αυτές σχέσεις συνεπάγεται: [ K ] V p Συνδυασμός της τελευταίας ισότητας με την Ιδιότητα IV43 αποδεικνύει τον ισχυρισμό της Πρότασης παρεμβολής: Μία άμεση συνέπεια των παραπάνω είναι ένας πρώτος υπολογισμός του σφάλματος ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 7

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Ιδιότητα ΙV45 Εάν V παρεμβολής δίνεται από τον Τύπο: K τότε το σφάλμα E p [ K ] V U Από αυτήν την Ιδιότητα καθίσταται φανερό ότι με την βοήθεια των διηρημμένων διαφορών μπορούμε να επιτύχουμε μία πολύ γενική έκφραση για το σφάλμα παρεμβολής Όμως αυτή η έκφραση του σφάλματος δεν έχει εφαρμογές στα πρακτικά προβλήματα γιατί ο υπολογισμός της διηρημμένης διαφοράς K ] προϋποθέτει υπολογιστική [ διαχείριση της Θα δούμε λίγο αργότερα πως όταν η συνάρτηση είναι φορές συνεχώς διαφορίσιμη το σφάλμα παρεμβολής μπορεί να τεθεί σε μία πιο εύχρηστη μορφή ΙV5 Ο ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ NEWTON Ο Τύπος του Newto επιτρέπει τον υπολογισμό του πολυωνύμου παρεμβολής p μίας συνάρτησης : K K : στην περίπτωση που τα σημεία παρεμβολής K K βρίσκονται όλα σε μία ευθεία και ισαπέχουν μεταξύ τους με την έννοια ότι: όπου K είναι μία σταθερή παράμετρος Μπορούμε να αποκομίσουμε αυτόν τον τύπο του Newto χρησιμοποιώντας διαφορετικούς τρόπους Κατ αρχάς εισάγουμε τον Ορισμό: 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ορισμός ΙV5 Έστω F το σύνολο των συναρτήσεων : K K K R C K και έστω Ονομάζουμε τελεστή των προς τα εμπρός διαφορών τον τελεστή Δ που σε κάθε αντιστοιχεί την συνάρτηση Δ σύμφωνα με τον Τύπο: Δ F Εάν τότε η οστή δύναμη του Δ είναι ο τελεστής Δ : F F που σε κάθε F αντιστοιχεί την συνάρτηση Δ F σύμφωνα με τον επαγωγικό Τύπο: Δ Δ Δ ή Δ Δ Δ Εξ άλλου κατά σύμβαση θέτουμε: Δ : Ονομάζουμε τελεστή των προς τα πίσω διαφορών τον τελεστή Δ : F F που σε κάθε F αντιστοιχεί την συνάρτηση σύμφωνα με τον Τύπο: Εάν τότε η οστή δύναμη του είναι ο τελεστής : F F που σε κάθε F αντιστοιχεί την συνάρτηση F σύμφωνα με τον επαγωγικό Τύπο: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 9

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo ή Κατά σύμβαση θέτουμε: : Ονομάζουμε τελεστή των κεντρικών διαφορών τον τελεστή δ: F F που σε κάθε F αντιστοιχεί την συνάρτηση δ σύμφωνα με τον Τύπο: δ Εάν τότε η οστή δύναμη του δ είναι ο τελεστής : δ F F που σε κάθε F αντιστοιχεί την συνάρτηση δ F σύμφωνα με τον επαγωγικό Τύπο: δ δ δ ή δ δ δ Κατά σύμβαση θέτουμε: : δ

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Τα σύμβολα Δ και δ καλούνται τελεστές διαφορών Οι τελεστές αυτοί είναι K γραμμικοί γιατί ικανοποιούν την σχέση: T λ μ g λ T μ T g όπου T Δ και δ για κάθε λ μ K και κάθε g F Εάν E : F F είναι ο τελεστής μετατόπισης που ορίζεται από τον Τύπο: και εάν d : E F F είναι ο ταυτοτικός τελεστής που ορίζεται από τον Τύπο: d τότε οι τελεστές διαφορών Δ και μπορούν να εκφραστούν με την βοήθεια των τελεστών E και d : Πρόταση ΙV5 Ισχύουν οι παρακάτω συσχετισμοί: Δ E d d E και d E Δ d d όπου d είναι η αντίστροφη απεικόνιση της d Απόδειξη Έστω F και K Τότε: Ισχύει: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 3

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Δ E Δ E d Δ E d Έχουμε: E d κι επειδή E συνεπάγεται ότι: d E και E d E E d Συνδυασμός των και αποδεικνύει ότι Δ d d Πρόταση ΙV53 Για κάθε F και κάθε κ ισχύουν τα ακόλουθα: Δ C [ ] K C [ ] K όπου: C!!! 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Απόδειξη Σύμφωνα με την Πρόταση IV5 είναι Δ E d και επομένως Δ E d οπότε χρησιμοποιώντας τον Διωνυμικό Τύπο λαμβάνουμε: Δ C E Οι δυνάμεις του τελεστή μετατόπισης E ορίζονται με τον ίδιο τρόπο όπως και οι δυνάμεις του τελεστή διαφορών Δ Έτσι: E v v για κάθε v και συνεπώς: Δ C [ ] K Σύμφωνα με την Πρόταση IV5 είναι d E E d και επομένως E d οπότε χρησιμοποιώντας πάλι τον Διωνυμικό Τύπο λαμβάνουμε: C E Είναι σαφές πως ο αντίστροφος σχέση E και πως οι δυνάμεις του τελεστή E του τελεστή μετατόπισης E ορίζεται από την E ορίζονται από την ισότητα: E v για κάθε v K και συνεπώς C [ ] K Η Απόδειξη του Πορίσματος είναι πλήρης ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 33

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Στην συνέχεια θεωρούμε μία τυχαία συνάρτηση : R R : και υποθέτουμε ότι η απόσταση καθενός από τα σημεία αυτά από το επόμενό του είναι σταθερή Κάτω από αυτές τις συνθήκες θα εξετάσουμε τον τρόπο με τον οποίο όλα όσα προηγήθηκαν σχετικά με τους τελεστές διαφορών μπορούν να αποδώσουν διεξόδους στο πρόβλημα εύρεσης μίας πρακτικά δόκιμης έκφρασης του πολυωνύμου παρεμβολής p της ισαπέχοντα σημεία Υποθέτουμε ότι δίνεται ένας πίνακας τιμών της : στα M 4 4 4 7 7 7 3 3 3 5 5 5 3 3 3 M 3 3 3 5 3 5 5 7 3 3 7 7 34 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 4 M 4 4 [ 3 ] M [ 3] [ 3] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 3 ] [ 3] [ 3] M M Η πρώτης τάξης προς τα εμπρός πεπερασμένη διαφορά της στο σημείο από τις σχέσεις: από τις σχέσεις: Δ Η πρώτης τάξης προς τα πίσω πεπερασμένη διαφορά της στο σημείο Η πρώτης τάξης κεντρική διαφορά της στο σημείο δ ορίζεται ορίζεται ορίζεται από τις σχέσεις: Γενικότερα έχουμε τους εξής ορισμούς στους οποίους κατά σύμβαση έχουμε θέσει Δ : : δ : : ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 35

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Η τις σχέσεις: τάξης προς τα εμπρός πεπερασμένη διαφορά της στο σημείο ορίζεται από Δ Δ Δ Δ Δ K Η τις σχέσεις: τάξης προς τα πίσω πεπερασμένη διαφορά της στο σημείο ορίζεται από K Η τάξης κεντρική διαφορά της στο σημείο ορίζεται από τις σχέσεις: δ δ δ δ δ K Είναι προφανές πως όταν η απόσταση κάθε σημείου επόμενο του ή από το προηγούμενο του είναι σταθερή τότε τα σύμβολα Δ και δ της αριστερής στήλης από το παραπέμπουν στην κατά σημείο μελέτη των τελεστών διαφορών του Ορισμού IV5 Επί πλέον αποδεικνύεται εύκολα ότι: και γενικότερα με επαγωγή ότι: Δ δ Δ K δ Πριν προχωρήσουμε ας δώσουμε την κατασκευή κάποιων ενδεικτικών πινάκων πεπερασμένων διαφορών που είναι αρκετά χρήσιμοι για την κατανόηση του διατακτικού μηχανισμού δημιουργίας των ποσοτήτων Δ δ : και m 36 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 37 Πίνακας των προς τα εμπρός πεπερασμένων διαφορών 5 : 4 4 3 3 3 3 3 Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Πίνακας των προς τα πίσω διαφορών 5 : 3 3 3 4 4 Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ 3 3 3 Πίνακας κεντρικών διαφορών 3 3 3 3 δ δ δ δ δ δ δ δ δ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Θα εξετάσουμε τώρα την συσχέτιση που υπάρχει ανάμεσα στην έννοια των διηρημμένων διαφορών και την έννοια των πεπερασμένων προς τα εμπρός διαφορών Έχουμε το εξής: Θεώρημα ΙV54 Εάν με > και K τότε: για κάθε K! [ K ] Δ Απόδειξη Θα χρησιμοποιήσουμε ακόμα μία φορά μαθηματική επαγωγή Η ιδιότητα είναι αληθής όταν και για κάθε γιατί τότε:! [ ] [ ] Ας υποθέσουμε ότι η ιδιότητα αληθεύει όταν N και για κάθε και ας αποδείξουμε ότι παραμένει αληθής όταν N Είναι: Δ N Δ N Δ N N N N N! [ ] [ ] οπότε χρησιμοποιώντας τον ορισμό των διηρημμένων διαφορών: αλλά και το γεγονός ότι: [ [ K N ] [ K N ] K N ] N N N N διαπιστώνουμε πως: N N N! N [ N ] που ολοκληρώνει την Απόδειξη του Θεωρήματος Δ 38 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Συνδυάζοντας τώρα το παραπάνω Θεώρημα με την Ιδιότητα IV44 της προηγούμενης Παραγράφου οδηγούμαστε άμεσα στο: Θεώρημα ΙV55 Εάν με > και K τότε το πολυώνυμο παρεμβολής p της στα σημεία είναι: p Δ Δ!! Δ! Παρατήρηση IV56 Ο υπολογισμός των ποσοτήτων Δ μπορεί να πραγματοποιηθεί επαγωγικά με την βοήθεια ενός πίνακα όπως αυτός που δόθηκε ενδεικτικά λίγο πιο πάνω είτε απευθείας χρησιμοποιώντας το Πόρισμα IV53 Το Θεώρημα IV55 μπορεί να διασκευαστεί κατάλληλα έτσι ώστε το πολυώνυμο παρεμβολής να εκφράζεται με την βοήθεια των πεπερασμένων προς τα πίσω διαφορών Προς τούτο αρκεί κανείς να θεωρήσει τα σημεία: με > και K και να αξιώσει ότι τα σημεία αυτά ταυτίζονται με εκείνα της προηγούμενης περίπτωσης δηλαδή ότι: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 39

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ M Τότε είναι εύκολο να διαπιστώσει χρησιμοποιώντας μαθηματική επαγωγή ότι: και να συμπεράνει το ακόλουθο: Δ Θεώρημα ΙV57 Εάν με > και K τότε το πολυώνυμο παρεμβολής p της στα σημεία είναι: p L!! L L! Παρατήρηση IV58 Όπως και στο Θεώρημα IV55 ο υπολογισμός των ποσοτήτων μπορεί να γίνει επαγωγικά με την βοήθεια ενός πίνακα όπως αυτός που δόθηκε λίγο παραπάνω είτε απ ευθείας χρησιμοποιώντας το Πόρισμα IV53 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Παρατήρηση IV59 Το πολυώνυμο παρεμβολής p της μπορεί επίσης να εκφραστεί και με την βοήθεια του τελεστή δ των κεντρικών διαφορών που όπως είναι γνωστό ορίζεται από την σχέση δ ή ακόμα και με την βοήθεια του τελεστή μ που ορίζεται από την σχέση μ [ ] Οι εκφράσεις όμως αυτές στερούνται ουσιαστικού πρακτικού αντικρίσματος γιαυτό στην θεωρητική μελέτη του φαινομένου της παρεμβολής για ισαπέχοντα σημεία έχουν κυριαρχήσει οι εκφράσεις που περιγράφονται στα Θεωρήματα IV55 και IV57 ΙV6 ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Υστερα από όσα αναφέρθηκαν στις προηγούμενες Παραγράφους έχουμε εξαντλήσει το πρόβλημα του υπολογισμού του πολυωνύμου παρεμβολής p μίας συνάρτησης στην περίπτωση που τα σημεία παρεμβολής τους : U K : U K R C K είναι αμοιβαία διαφορετικά μεταξύ Μετά την εύρεση του πολυωνύμου παρεμβολής p που διέρχεται από τα ανά δύο διάφορα σημεία K του U υπάρχουν τρία βασικά ερωτήματα που εγείρονται και αποσκοπούν στην κατανόηση των δυνατοτήτων και της προσεγγιστικής αποτελεσματικότητας του πολυωνύμου αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 4

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Συγκεκριμένα το πρώτο ερώτημα που τίθεται είναι ο υπολογισμός ή έστω η εκτίμηση του σφάλματος που προέκυψε από την παρεμβολή σε κάθε σημείο του U : E p U Το δεύτερο ερώτημα που τίθεται αφορά την βέλτιστη επιλογή των σημείων παρεμβολής δηλαδή την επιλογή εκείνη των σημείων K που ελαχιστοποιεί την απόλυτη τιμή E του σφάλματος παρεμβολής εάν είναι δυνατόν σε κάθε σημείο του συνόλου U Το τρίτο και τελευταίο ερώτημα που τίθεται συνίσταται στην σύγκλιση των ακολουθιών πολυωνύμων παρεμβολής με άλλα λόγια στην αναζήτηση ενός συνεχούς διογκούμενου πλήθους σημείων K του U τέτοιου ώστε εάν p είναι τα πολυώνυμα παρεμβολής στα K N να εξασφαλίζεται η σύγκλιση lm E lm p εάν είναι δυνατόν σε κάθε σημείο U Στην παρούσα και στις επόμενες δύο Παραγράφους θα ασχοληθούμε με την μελέτη αυτών των τριών ερωτημάτων Για λόγους ενίσχυσης της υπολογιστικής ευχέρειας και χωρίς σημαντικό περιορισμό της γενικότητας θα υποθέσουμε ότι U [ ] και ότι η είναι μία πραγματική συνάρτηση: :[ ] R : Ας αρχίσουμε με την μελέτη του σφάλματος παρεμβολής: E p 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ όπου p είναι ένα πολυώνυμο βαθμού το πολύ που παρεμβάλει την στα ανά δύο διάφορα μεταξύ τους σημεία: K [ ] Έστω [ ] με : σταθερό σημείο και έστω I το κλειστό διάστημα: Έχουμε το ακόλουθο: I : [m{ K } m{ K }] Θεώρημα ΙV6 Εάν η είναι φορές συνεχώς διαφορίσιμη μέσα σε μία ανοικτή περιοχή του διαστήματος I τότε υπάρχει ένα σημείο όπου V K Απόδειξη Θέτουμε: V d E ξ! d F t : t p t c V t όπου c είναι ο σταθερός αριθμός που δίνεται από την σχέση: ξ I τέτοιο ώστε: t c p V Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε πως η συνάρτηση F έχει τις εξής ιδιότητες: F F σύμφωνα με τον ορισμό του αριθμού c και ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 43

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ η F έχει τουλάχιστον ρίζες στο I Σύμφωνα με το Θεώρημα Rolle η παράγωγος F της F έχει τουλάχιστον ρίζες στο I η δεύτερη παράγωγος F της F έχει τουλάχιστον ρίζες στο I και συνεχίζοντας με την επίκληση του ιδίου επιχειρήματος η τάξης παράγωγος: d d t F της F έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο I Εάν συμβολίσουμε με ξ αυτήν την ρίζα τότε επειδή και επί πλέον επειδή: d d t F d d t t t t c t d d t p d d t V d dt p d V και dt t! θα είναι: d F d ξ dt dt ξ c! απ όπου συνεπάγεται η σχέση: c p V! dt d ξ από την οποία ο ισχυρισμός του Θεωρήματος 44 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ εκτίθεται στο: Μία άμεση συνέπεια του συνδυασμού του Θεωρήματος αυτού με την Ιδιότητα IV45 Πόρισμα ΙV6 Κάτω από τις υποθέσεις του Θεωρήματος IV6 ισχύει ότι: d [ ] ξ! d ΙV7 ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Στην Παράγραφο αυτή θα αναζητήσουμε μία επιλογή των σημείων παρεμβολής [ ] που ελαχιστοποιούν τον αριθμό: m E όπου και E p είναι μία πραγματική συνάρτηση ορισμένη στο κλειστό διάστημα [ ] p είναι το πολυώνυμο το πολύ βαθμού που παρεμβάλλει την στα σημεία Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση είναι φορές συνεχώς διαφορίσιμη μέσα μία ανοικτή περιοχή του διαστήματος [ ] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 45

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ παράγοντες: Σύμφωνα με το Θεώρημα IV6 το σφάλμα της παρεμβολής E περιέχει δύο έναν παράγοντα που εξαρτάται από την δηλαδή τον παράγοντα: d ξ d έναν παράγοντα που είναι ανεξάρτητος από την αλλά εξαρτάται άμεσα από τα σημεία παρεμβολής δηλαδή τον παράγοντα: V Επειδή ισχύει: d E sup [ ] sup V [ ]! d είναι προφανές ότι εφόσον γνωρίζουμε την τιμή της σε κάθε σημείο [ ] μπορούμε να επιλέξουμε τα σημεία έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται η μέγιστη τιμή του σφάλματος παρεμβολής στο [ ] sup [ ] E Πράγματι αρκεί να επιλύσουμε ως προς βελτιστοποίησης: το ακόλουθο πρόβλημα m m V [ ] [ ] Η απάντηση στο πρόβλημα αυτό δίνεται με την εισαγωγή των πολυωνύμων του Cebsev ή Tcebce: 46 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ορισμός ΙV7 Ονομάζουμε πολυώνυμο Cebsev βαθμού την απεικόνιση: T :[ ] [ ] : T cos Arc cos Τα πολυώνυμα Cebsev διέπονται και χαρακτηρίζονται από τις ιδιότητες που περιγράφονται στα επόμενα τέσσερα Θεωρήματα: Θεώρημα ΙV7 Τα πολυώνυμα επαληθεύουν την επαγωγική σχέση: με: T T T Απόδειξη Κατ αρχάς παρατηρούμε πως: Ακόμη έχουμε: T και T T cos και T cos Arc cos T T cos Arc cos cos[ ] cos cos Arc cos cos Arc cos cos Arc cos s Arc cos s Arc cos cos Arc cos s Arc cos s Arc cos T cos Arc cos s Arc cos s Arc cos cos Arc cos cos Arc cos s Arc cos s Arc cos cos[ ] Arc cos T που ολοκληρώνει την Απόδειξη του Θεωρήματος ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 47

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Θεώρημα ΙV73 Η συνάρτηση T είναι ένα πολυώνυμο βαθμού Ο συντελεστής του στο πολυωνυμικό ανάπτυγμα του T ισούται με Απόδειξη Η Απόδειξη είναι μία προφανής συνέπεια του προηγούμενου Θεωρήματος Θεώρημα ΙV74 Το πολυώνυμο T του Cebsev έχει ακριβώς απλές ρίζες τα σημεία: X cos π K Απόδειξη Επειδή για κάθε K είναι: T X cos Arc cos π cos π cos π τα σημεία: X cos π K είναι ρίζες του T Κι επειδή το T είναι σύμφωνα με το Θεώρημα IV73 ένα πολυώνυμο βαθμού οι αυτές ρίζες του T είναι απλές Θεώρημα ΙV75 Το πολυώνυμο T του Cebsev παίρνει ακρότατες τιμές στα σημεία: * X π cos K Σε αυτά τα σημεία το T παίρνει εναλλασσόμενα τις τιμές και 48 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Απόδειξη Επειδή Arc cos έχουμε: T s Arc cos κι επομένως επαληθεύεται άμεσα ότι για κάθε K ισχύει ότι: * π T X [ cos ] που αποδεικνύει ότι το πολυώνυμο X K * * * X X s π T παίρνει ακρότατες τιμές στα Επί πλέον οι ακρότατες τιμές αυτές είναι ή γιατί: * π T X cos Arc cos cos cos π για κάθε K * Η τιμή είναι T X σημεία Ας επιστρέψουμε τώρα στο κεντρικό πρόβλημα της Παραγράφου: Επιθυμούμε να προσδιορίσουμε τα σημεία K [ ] που καθιστούν ελάχιστη την ποσότητα: όπου V K sup [- ] V Ας συμβολίσουμε Π το σύνολο όλων των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές και με πραγματικές τιμές που έχουν βαθμό ακριβώς και που είναι τέτοια ώστε: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 49

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ ο συντελεστής του να ισούται με και όλες οι ρίζες τους να είναι απλές και να ανήκουν στο [ ] Με αυτήν την ορολογία το κεντρικό πρόβλημα της παραγράφου μπορεί να επαναδιατυπωθεί έτσι ώστε να εντοπίζεται στην αναζήτηση ενός πολυωνύμου V Π που να επαληθεύει την παρακάτω ανισότητα: για κάθε p Π Συναφώς έχουμε το εξής: sup [ ] V sup [ ] p Θεώρημα ΙV76 Για κάθε p Π ισχύει: Απόδειξη Το πολυώνυμο: sup T sup p [ ] [ ] T ανήκει στο σύνολο Π γιατί ο συντελεστής του ισούται σύμφωνα με το Θεώρημα IV73 με αλλά και γιατί όλες οι ρίζες του είναι απλές και βρίσκονται στο διάστημα [ ] σύμφωνα με το Θεώρημα IV74 Επί πλέον η συνάρτηση: T μεγιστοποιείται φορές στο διάστημα [ ] 5 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Πιο συγκεκριμένα σύμφωνα με το Θεώρημα IV75 η συνάρτηση αυτή μεγιστοποιείται στα σημεία: * X π cos K όπου παίρνει την μέγιστή της τιμή που ισούται με sup δηλαδή: X * T [ ] Ας υποθέσουμε τώρα ότι υπάρχει p Π τέτοιο ώστε: Τότε το πολυώνυμο: T sup p < [ ] T r p είναι ένα πολυώνυμο βαθμού το πολύ γιατί οι όροι με βαθμό αλληλοαφαιρούνται Ακόμη οι αριθμοί: * T * X * r X p X K γίνονται εναλλασσόμενα θετικοί ή αρνητικοί γιατί σημεία του[ ] πρόσημο p * X < Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν γύρω από τα οποία οι τιμές της συνάρτησης Άρα καθώς η r είναι συνεχής συνάρτηση υπάρχουν r στο [ ] Επειδή όμως η r είναι πολυώνυμο βαθμού το πολύ έπεται ότι: r αλλάζουν διάφορες ρίζες της ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 5

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ r ή ισοδύναμα ότι: T p Επομένως θα ισχύει: sup p < [ ] που είναι προφανώς άτοπο και συνεπώς η Απόδειξη είναι πλήρης Σαν άμεση συνέπεια αυτού του Θεωρήματος παραθέτουμε το επόμενο αποτέλεσμα που απαντά στο πρόβλημα της βέλτιστης επιλογής του πολυωνύμου V : Θεώρημα ΙV77 Η επιλογή των σημείων παρεμβολής που ελαχιστοποιούν τον αριθμό sup [ ] V sup [ ] K είναι: X cos π K Ο συνδυασμός αυτού του Θεωρήματος με το Θεώρημα IV76 και το Θεώρημα IV6 οδηγεί στην ακόλουθη εκτίμηση του σφάλματος παρεμβολής: T E p όταν V : 5 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Πόρισμα ΙV78 Έστω μία πραγματική συνάρτηση που είναι συνεχώς διαφορίσμη μέσα σε μία ανοιχτή περιοχή του κλειστού διαστήματος [ ] φορές Εάν p είναι το μοναδικό πολυώνυμο βαθμού το πολύ που παρεμβάλλει την στα σημεία: τότε: X cos π K για κάθε [ ] d E sup [ ] d Παρατήρηση IV79 Εάν η πραγματική συνάρτηση είναι φορές συνεχώς διαφορίσιμη μέσα σε μία ανοικτή περιοχή ενός κλειστού διαστήματος [ α β ] και όχι του [ ] μπορούμε να μεταφερθούμε στο διάστημα [ ] μετασχηματισμό αλλαγής μεταβλητής: όπου [α β ] και [ ] β α β α χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 53

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Η εκτίμηση του σφάλματος παρεμβολής που δόθηκε στο Πόρισμα IV78 αφορά μόνον την περίπτωση που τα σημεία της παρεμβολής είναι οι ρίζες κάποιου πολυωνύμου του Cebsev Στην επόμενη Παράγραφο εξετάζοντας το πρόβλημα της σύγκλισης μίας ακολουθίας παρεμβολής θα δώσουμε έναν γενικότερο τύπο για την εκτίμηση του σφάλματος παρεμβολής στην περίπτωση που τα σημεία της παρεμβολής συνιστούν μία οποιαδήποτε συλλογή ανά δύο διάφορων σημείων του κλειστού διαστήματος [ ] ΙV8ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Το Πρόβλημα που θα συζητήσουμε στην παρούσα Παράγραφο είναι το εξής: Έστω M ένας άπειρος τριγωνικός πίνακας σημείων παρεμβολής [ ] με m m Ο πίνακας M καλείται σχήμα παρεμβολής Κάθε γραμμή: 54 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ M { K } του πίνακα M ορίζει ένα σύνολο σημείων παρεμβολής Δοθείσης μίας συνεχούς πραγματικής συνάρτησης ακολουθία των πολυωνύμων παρεμβολής: ορισμένης στο κλειστό διάστημα [ ] p της στα σημεία της κάθε γραμμής M του M θεωρούμε την Ζητείται να διερευνηθούν οι συνθήκες που πρέπει να πληρούν τα σημεία του σχήματος παρεμβολής M έτσι ώστε να συμβαίνει: lm p για κάθε μέσα σε ένα υπό προσδιορισμό αρκετά μεγάλο υποσύνολο του [ ] Σε ένα δεύτερο στάδιο ζητείται να εξεταστεί η ανεξαρτησία των ικανών αυτών συνθηκών από την φύση της συνεχούς συνάρτησης Προκειμένου να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα αυτό χρειαζόμαστε κάποιο προπαρασκευαστικό υλικό Ας θεωρήσουμε το σύνολο: C [ ] { :[ ] R : είναι συνεχής } όλων των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων που είναι ορισμένες στο [ ] Το σύνολο αυτό εφοδιασμένο με τις πράξεις πρόσθεση κατά σημείο: : g : g g C[ ] και [ ] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 55

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ και αριθμητικό πολλαπλασιασμό κατά σημείο: : : λ λ R C[ ] λ και [ ] είναι ένας διανυσματικός χώρος υπεράνω του R σύγκλισης: Στον διανυσματικό χώρο αυτό μπορούμε να ορίσουμε την νόρμα της ομοιόμορφης : sup [ ] C[ ] Παρατηρήστε πως επειδή η είναι συνεχής στο [ ] κι επειδή το διάστημα [ ] είναι κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του R η ποσότητα sup [] είναι πραγματικός αριθμός και όχι Χωρίς απόδειξη παραθέτουμε το εξής χρήσιμο για την συνέχεια αποτέλεσμα: Θεώρημα ΙV8 Ο διανυσματικός χώρος [ ] την νόρμα της ομοιόμορφης σύγκλισης C είναι ένας χώρος Bc ως προς Για κάθε θεωρούμε τώρα την απεικόνιση: M M l : C[ ] C[ ] l p : που σε κάθε C[ ] αντιστοιχεί το πολυώνυμο βαθμού το πολύ που παρεμβάλλει την στα σημεία της γραμμής p M του σχήματος παρεμβολής M Η απεικόνιση αυτή είναι R γραμμική υπό την έννοια ότι: 56 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ M l [ g] [ M M l ] [ l και M g] [ ] M [ λ ] λ [ l ] [ ] για κάθε g C[ ] και για κάθε λ R l Λέμε ότι αυτή η απεικόνιση είναι ένας γραμμικός τελεστής υπεράνω του R Επί πλέον η απεικόνιση C[ ] τότε: l είναι συνεχής υπό την έννοια ότι εάν C[ ] και M lm lm M l l Μετά από όσα προηγήθηκαν μπορούμε να επαναδιατυπώσουμε το πρόβλημα της Παραγράφου ως εξής: Ζητείται να διερευνηθούν οι συνθήκες που πρέπει να πληρούν τα σημεία του σχήματος παρεμβολής M έτσι ώστε να συμβαίνει: M l ] C[ ] lm [ για κάθε μέσα σε ένα υπό προσδιορισμό αρκετά μεγάλο υποσύνολο του [ ] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 57

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Μπορούμε να προχωρήσουμε ένα βήμα περαιτέρω θεωρώντας την ταυτοτική απεικόνιση του C [ ] : d : C[ ] C[ ]: d Πρόκειται για μία R γραμμική απεικόνιση που εξάλλου ονομάζεται και ταυτοτικός τελεστής η οποία είναι προφανώς συνεχής Επειδή η έκφραση: M lm [ l ] C[ ] και [ ] είναι ισοδύναμη με την έκφραση: lm M l d C[ ] όπου M M l d lm l d μία ισχυρότερη lm τοποθέτηση του κεντρικού προβλήματος δίνεται από την ακόλουθη εκφώνηση: Ζητείται να διερευνηθούν οι συνθήκες που πρέπει να πληρούν τα σημεία του σχήματος παρεμβολής M έτσι ώστε να συμβαίνει: M lm l d C[ ] Παραγράφου Με αυτήν την διατύπωση μπορούμε να δώσουμε απάντηση στο πρόβλημα της Πράγματι προς αυτήν την κατεύθυνση διαθέτουμε το επόμενο Θεώρημα που είναι μία συνέπεια κλασσικού Θεωρήματος Bc Steuss: 58 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Θεώρημα ΙV8 Έστω E ένας χώρος Bc Έστω επίσης l : K ακολουθία συνεχών γραμμικών τελεστών από το E στο E και έστω τέλος ένας συνεχής γραμμικός τελεστής l : E E Εάν D είναι ένας διανυσματικός υπόχωρος του E που είναι παντού πυκνός στο E τότε μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για να ισχύει: μία lm l l E είναι η ικανοποίηση του συστήματος των εξής δύο ιδιοτήτων: l lm l D : sup{ l : E και } M l < όπου L είναι η νόρμα του χώρου Bc E Η υπόθεση του Θεωρήματος ότι το σύνολο D είναι παντού πυκνό στο E σημαίνει ότι για κάθε E και για κάθε ε > υπάρχει g D τέτοιο ώστε g < ε Στην περίπτωση μας ο χώρος Bc E είναι το C [ ] και το πυκνό υποσύνολο του D είναι ο διανυσματικός χώρος P R όλων των πραγματικών πολυωνυμικών συναρτήσεων Υπενθυμίζουμε ότι σύμφωνα με το κλασσικό Θεώρημα της Ομοιόμορφης Σύγκλισης του Weerstrss για κάθε C[ ] και για ε > υπάρχει πολυώνυμο p P R τέτοιο ώστε p < ε ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 59

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Προφανώς στην περίπτωσή μας η πρώτη από τις ιδιότητες του συστήματος του παραπάνω Θεωρήματος ικανοποιείται γιατί: M P R p p p l σύμφωνα με την κατασκευή του πολυωνύμου παρεμβολής Αντίθετα η δεύτερη ιδιότητα δεν ισχύει καθώς επαληθεύεται ότι: και επί πλέον έχουμε το ακόλουθο: M [ L l sup ] Θεώρημα ΙV83 Για οποιαδήποτε επιλογή σημείων: M { K } ισχύει: sup π L l [ ] β όπου β είναι μία φραγμένη συνάρτηση του Κατά συνέπεια δεν υπάρχει σύγκλιση των ακολουθιών πολυωνύμων παρεμβολής για κάθε συνάρτηση του C [ ] όταν ο αριθμός των σημείων παρεμβολής αυξάνεται απεριόριστα Με άλλα λόγια έχουμε το εξής αποτέλεσμα: 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Θεώρημα ΙV84 Για οποιοδήποτε σχήμα παρεμβολής M υπάρχει τουλάχιστον μία συνάρτηση C[ ] για την οποία η αντίστοιχη ακολουθία πολυωνύμων παρεμβολής M p [ l ] K : της δεν συγκλίνει προς την ως προς την νόρμα της ομοιόμορφης σύγκλισης Παρ όλα αυτά μπορούμε να αποδείξουμε τα επόμενα δύο θετικά αποτελέσματα: Θεώρημα ΙV85 [ ] 4 Για κάθε συνάρτηση C[ ] υπάρχει σχήμα παρεμβολής M τέτοιο ώστε η αντίστοιχη ακολουθία πολυωνύμων παρεμβολής M p [ l ] K : της να συγκλίνει προς την ως προς την νόρμα ομοιόμορφης σύγκλισης Θεώρημα ΙV86 [] ανοικτή περιοχή του διαστήματος [ ] αντίστοιχη ακολουθία πολυωνύμων παρεμβολής 5 Εάν η συνάρτηση C[ ] είναι αναλυτική μέσα σε μία τότε για οποιοδήποτε σχήμα παρεμβολής M η M p [ l ] K : της συγκλίνει προς την ως προς την νόρμα της ομοιόμορφης σύγκλισης: lm sup p [ ] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 6

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Μία ενστικτώδης αντίδραση του αναγνώστη μπορεί να προέλθει από την αμφισβήτηση των δυνατοτήτων της νόρμας της ομοιόμορφης σύγκλισης χώρος C [ ] είχε καταστεί ένας χώρος Bc L με την οποία ο διανυσματικός Στην συνέχεια θα σκιαγραφήσουμε κάποια αποτελέσματα που μπορούν να προκύψουν με την αντικατάσταση της αξίωσης μίας σύγκλισης ως προς την νόρμα αξίωση ως προς διαφορετικά κριτήρια L με την Ένα από τα αποτελέσματα που έχουν αναφερθεί πολλές φορές μέσα σε εργασίες που αφορούν την Θεωρία Προσεγγίσεων εμφανίστηκε το 937 στο περίφημο μαθηματικό περιοδικό Als o Mtemtcs με συγγραφείς τους διάσημους μαθηματικούς Pul Erdös και Pul Turá Αυτοί οι νέοι τότε επιστήμονες απέδειξαν το αξιοσημείωτο θετικό αποτέλεσμα ότι για κάθε πραγματική και συνεχή συνάρτηση του [ ] η ακολουθία των πολυωνύμων παρεμβολής p της συγκλίνει κατά τετραγωνικό μέσο προς την εάν το σχήμα παρεμβολής M απαρτίζεται από τις ρίζες ενός συστήματος ορθογωνίων πολυωνύμων ως προς κάποια τυχαία συνάρτηση βάρους Πιο συγκεκριμένα οι Erdös και Turá έδειξαν το επόμενο Θεώρημα: Θεώρημα ΙV87 Έστω w :[ ] R : w διάστημα [ ] μία συνάρτηση βάρους στο δηλαδή μία συνάρτηση που είναι τέτοια ώστε: w [ ] και w d > Έστω ακόμα μία ακολουθία ορθοκανονικών πολυωνύμων του[ ] ως προς το 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ βάρος w : Q m P R Q K Q K Q K Q δηλαδή μία ακολουθία πολυωνύμων με την ιδιότητα: Qm Q w d δ m εάν εάν m m Εάν: M { K } είναι το σύνολο των απλών ριζών του πολυωνύμου Q και εάν: τότε για κάθε C[ ] το πολυώνυμο: που παρεμβάλει την στα σημεία του όπου: M [ ] M [ l w] M επαληθεύει την ανισότητα: M { [ l w] } w d 6 E E : m p p P R ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 63

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Επειδή σύμφωνα με το κλασσικό Θεώρημα της Ομοιόμορφης Σύγκλισης του Weerstrss για κάθε C[ ] και για κάθε υπάρχει πολυώνυμο p P R τέτοιο ώστε: p < βλέπουμε αμέσως ότι: Πόρισμα ΙV88 Κάτω από τις υποθέσεις του προηγούμενου Θεωρήματος εάν για κάθε το σύνολο: M { K } των απλών ριζών του πολυωνύμου C[ ] ακολουθία των πολυωνύμων: Q είναι υποσύνολο του [ ] M l w] : [ που παρεμβάλλουν την στα σημεία των γραμμών του σχήματος: συγκλίνει κατά τετραγωνικό μέσο προς την : M M M M τότε για κάθε lm M [ [ l w] ] w d 64 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Για να συνειδητοποιήσουμε την αξία αυτής της κατά τετραγωνικό μέσο σύγκλισης αναφέρουμε ένα θεμελιώδες αρνητικό αποτέλεσμα του GFber που ενισχύει το Θεώρημα IV84 και που δημοσιεύτηκε το 94 σύμφωνα με το οποίο για οποιοδήποτε σχήμα παρεμβολής M υπάρχει τουλάχιστον μία συνάρτηση C[ ] για την οποία η αντίστοιχη ακολουθία πολυωνύμων παρεμβολής M [ l ] : K της είναι τέτοια ώστε: M lm sup l Μία εύλογη ερώτηση που απασχόλησε πολλούς μαθηματικούς ήταν η δυνατότητα αντικατάστασης του εκθέτη στον βασικό τύπο του Θεωρήματος IV87 ή του Πορίσματος IV88 με έναν μεγαλύτερο εκθέτη Οι απαντήσεις που δόθηκαν αφορούσαν ειδικές περιπτώσεις σχημάτων παρεμβολής Εάν για παράδειγμα το σχήμα παρεμβολής M είναι ο πίνακας Cebsev: M M M M με: M π 3π [ ] π [ ] π cos cos K cos Kcos ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 65

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ τότε όπως αποδείχτηκε το 936 από τους Erdös και Feldem ισχύει lm M p [ l ] d για κάθε C[ ] και για κάθε p > Η αντίστοιχη τριγωνομετρική περίπτωση εξετάστηκε από τον JMrcewc Παρ όλες όμως τις ενθαρρυντικές αυτές μερικές απαντήσεις σαράντα περίπου χρόνια αργότερα αποδείχτηκε από τον PNev ότι γενικά ο εκθέτης του βασικού τύπου του Θεωρήματος IV87 ή του Πορίσματος IV88 δεν μπορεί να μεταβληθεί χωρίς να αλλοτριωθούν τα συμπεράσματα αυτών των αποτελεσμάτων Παρόμοιου τύπου προβλήματα έχουν μελετηθεί και από άλλους σύγχρονους μαθηματικούς όπως οι R Ase B Dell Vecc G Freud G Mstro B Muceoupt D S Lubs AK Vrm και YXu Εάν κανείς επιθυμεί να αναζητήσει κάποια γενική εκτίμηση της διαφοράς M l ] [ ] [ δηλαδή του σφάλματος παρεμβολής τότε πρέπει να σταθεί ιδιαίτερα στην Ανισότητα του Lebesgue που αφορά όχι μόνον τις συνεχείς συναρτήσεις : M E [ ] l M { L } E [ ] όπου M L είναι η οστή συνάρτηση Lebesgue που ορίζεται σαν το άθροισμα L M : M λ με [ P R P R ] L M 66 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo

Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ το μοναδικό πολυώνυμο που αντιστοιχεί στο σχήμα παρεμβολής M και που επαληθεύει την σχέση: λ M δ εάν εάν Η παραπάνω Aνισότητα του Lebesgue καθιστά φανερό το γεγονός ότι τόσο η συνάρτηση Lebesgue L M όσο και η σταθερά Lebesgue: M Λ : L M διαδραματίζουν έναν σπουδαίο ρόλο στην έρευνα του ασυμπτωτικού χαρακτήρα μίας ακολουθίας πολυωνύμων παρεμβολής Συναφώς παραθέτουμε ένα θεωρητικό αλλά και ενδεικτικό αποτέλεσμα που απέδειξε το 958 ο P Erdös: Για κάθε σχήμα παρεμβολής M [ ] και για κάθε ε > και A > το μέτρο του συνόλου: είναι μικρότερο από το ε { [ ] : L M A A ε } Ανάλογου τύπου αποτελέσματα βρέθηκαν και από άλλους μαθηματικούς όπως οι GHlàs D Newm J Koppeberger J Sbdos AK Vrm PVértes και ο YG S Όλα αυτά τα αποτελέσματα αποσκοπούν λίγο ή πολύ στην αναζήτηση μίας όσο το δυνατόν καλύτερης συμπεριφοράς των συναρτήσεων Lebesgue M L ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 67