ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

76

Κεφάλιο 3ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Απντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. Σ 0. Σ 39. Λ 58. Σ. Σ. Λ 40. Σ 59. Σ 3. Σ. Σ 4. Σ 60. Λ 4. Λ 3. Λ 4. Σ 6. Λ 5. Σ 4. Λ 43. Σ 6. Σ 6. Σ 5. Λ 44. Λ 63. Σ 7. Λ 6. Σ 45. Λ 64. Σ 8. Λ 7. Λ 46. Λ 65. Σ 9. Σ 8. Λ 47. Σ 66. Λ 0. Σ 9. Σ 48. Λ 67. Λ. Λ 30. Σ 49. Σ 68. Σ. Σ 3. Σ 50. Σ 69. Λ 3. Λ 3. Σ 5. Λ 70. Λ 4. Λ 33. Λ 5. Λ 7. Σ 5. Σ 34. Σ 53. Λ 7. Λ 6. Λ 35. Σ 54. Λ 73. Σ 7. Σ 36. Σ 55. Σ 8. Λ 37. Σ 56. Λ 9. Σ 38. Σ 57. Λ 77

Απντήσεις στις ερωτήσεις πολλπλής επιλογής. Β 6. Β 3. Α 46. Β. 7. Α 3. 47. Β 3. Β 8. 33. Β 48. Β 4. Α 9. Ε 34. Β 49. Β 5. Ε 0. Γ 35. 50. Γ 6.. 36. Β 5. Γ 7. Γ. Β 37. Α 5. 8. 3. 38. Ε 53. Γ 9. Β 4. Γ 39. Ε 54. Β 0. 5. Γ 40. Ε 55. Β. Α 6. 4. Ε 56.. 7. Β 4. Β 57. Ε 3. Ε 8. Ε 43. 58. 4. Β 9. Γ 44. 59. Ε 5. Γ 30. 45. Α 78

Απντήσεις στις ερωτήσεις ντιστοίχισης. Γ. Γ Α Ε 3 Ε 3 ΣΤ 4 Β 4 Β 3. Γ 4. Β Ε Α 3 Α 3 Ε 4 Β 4 ΣΤ 5. Β 6. Β Α 3 3 Ε 7. Γ 8. Γ Ε 3 Α 3 ΣΤ 4 ΣΤ 4 5 Β 9. 0. Ε Β Β 3 Ε 3 Γ 4 Α. Β. Γ Ε Α 3 Α 3 ΣΤ 4 Απντήσεις στις ερωτήσεις διάτξης 79

. C 4, C, C 5, C 3, C. C 3, C, C 5, C 4, C 3., Γ, Β, Α, Ε 4. d E, d B, d Γ, d, d Α 5. C, C, C 3, C 4, C 5 Απντήσεις - υποδείξεις στις ερωτήσεις νάπτυξης. ) + y = 8 β) ( - 3) + (y + ) = 5 γ) ( + ) + ( - ) = 4 δ) Έχει κέντρο το µέσο Μ (-, 4) του ΑΒ κι κτίν (ΑΒ), άρ ( + ) + (y - 4) = 5 ε) Ο κύκλος έχει εξίσωση + y = 5 στ) ( - ) + (y - 4) = 0 ζ) ( - 8) + (y + 6) = 00 η) Πρέπει ν ισχύει ρ = d (O, ε) = + y = 0 0 = 0, άρ ο κύκλος έχει εξίσωση 0 θ) Ο κύκλος έχει εξίσωση ( - 0 ) + (y - 4) = 6, το (5, 4) νήκει στον κύκλο κι προκύπτει 0 = 9 ή 0 = ι) ( + 3) + (y - ) = 9 ι) ( - 3) + (y - 3) = 9 0 ιβ) ρ = d (A, ε) = = 5. Οι ε, ε είνι πράλληλες, η µεσοπράλληλη θ έχει εξίσωση (ε): y = - 3 + 3 (φού ε : y = - 3-6 κι ε : y = - 3 + ), το κέντρο Κ ( 0, y 0 ) νήκει στην 80

(ε), άρ y 0 = - 3 0 + 3. Η πόστση µετξύ των ε, ε είνι 8 9, άρ ρ = 0 0 κι φού το (, 0) νήκει στον κύκλο θ ισχύει: ( - 0 ) + y 0 = υπολογίζοντι τ 0, y 0 ( 0 =,8, y 0 = -,4) 8, οπότε 0 3. Το κέντρο Κ έχει συντετγµένες 0, y 0 µε 0 = y 0 κι d (Κ, ε) = ρ = 0 (λόγω επφής µε τους άξονες), άρ 0-6 = 0, άρ 0 = 6 4. Από το σύστηµ των εξισώσεων της ευθείς κι του κύκλου προκύπτει η εξίσωση (λ + ) - 4 + = 0 µε = - 4 (λ - 3) ) Θ πρέπει > 0, άρ - 3 < λ < 3 β) Πρέπει = 0, άρ λ = 3 ή λ = - 3 γ) Πρέπει < 0, άρ λ < - 3 ή λ > 3 5. Το κέντρο είνι το Κ (, 3). Το λ ε = -, άρ η ζητούµενη έχει εξίσωση y - 3 = ( - ) 6. Κάθε ευθεί έχει λ = - κι η (ε ) τέµνει τον στο (0, 4 ), η ε τον στο (0, - 4 ), άρ ε : y - 4 = - κι ε : y + 4 = - 8

7. Αν ( 0, y 0 ) σηµείο επφής, τότε η εφπτοµένη έχει εξίσωση (ε): 0 + y 0 y = 9, το (0, 6) νήκει στην (ε), άρ y 0 = 3, οπότε 0 = ± 5, άρ οι εφπτόµενες είνι (ε ): 5 + 3 y = 9 κι (ε ): - 5 + 3 y = 9 8. Το κέντρο του δοσµένου κύκλου είνι Κ (, - ) κι ρ = d (Κ, ε) όπου 3 ε: y - = 0, άρ ρ = 9. Το σύστηµ των δύο εξισώσεων δίνει την - 4 + 4 = 0, = 0, άρ η ευθεί εφάπτετι στον κύκλο στο (, - ) 0. ) AB AΓ = 0 β) Το ΑΒΓ τρίγωνο είνι ορθογώνιο στο Α, άρ το κέντρο του περιγεγρµµένου κύκλου βρίσκετι στο µέσον Μ ( 5, 5 ) του ΒΓ κι ρ = ΒΓ 0 =. Προφνώς το κέντρο είνι το Ο (0, 0) κι κτίν ρ = 3. Το κοινό σηµείο των ευθειών είνι το Μ (συνθ, ηµθ) γι το οποίο ισχύει + y =, άρ το Μ νήκει σε µονδιίο κύκλο 8

3. Αν Κ ( 0, y 0 ) το κέντρο, τότε 0 + y 0 + = 0 () Ακόµη το Κ νήκει στη µεσοκάθετη του ΑΒ, δηλδή 4 4 5 στην (ε ): y - = ( - ), άρ y0 = 0 - () 3 3 6 Το σύστηµ των (), () δίνει τ 0, y 0. Η πόστση ΚΑ είνι η κτίν 4. Τ κέντρ των κύκλων Κ (, 0) κι Κ (, 0) κι οι κτίνες ρ = κι ρ =. Πρτηρούµε Κ Κ = κι ρ - ρ = 5. Α = Α κι Β = Β 6. (ΜΑ) + (ΜΒ) + (ΜΓ) = c, άρ 3 + 3y - 6y + - c = 0 ή + y - y + - c 3 = 0. Γι κτάλληλο c είνι κύκλος µε κέντρο Κ (0, ) που είνι το κέντρο βάρους του ΑΒΓ λ 7. Η εξίσωση γράφετι ( + ) + y λ =, άρ πριστάνει κύκλο µε κέντρο 4 Κ (- λ, 0) που νήκει πάνω στον άξον 8. Αν Κ (0, - ) το κέντρο του κύκλου τότε η ζητούµενη ευθεί (ε) είνι κάθετη στην ΚΑ. λ ΑΚ = -, άρ λ ε = οπότε (ε): y + = ( + ) ή y = 83

9. ) y = 0 β) y = ρ µε - ρ = 6, άρ ρ = - 8 γ) = ρy µε 4 = 4ρ, άρ ρ = δ) = ρy µε ρ = - 8 ε) y = ρ µε ρ = - 4 στ) Το σύστηµ των y = ρ κι y = 4 + δίνει την 6 + (8 - ρ) + = 0. Πρέπει = 0, άρ (8 - ρ) = 64, άρ ρ = 8 0. Το σύστηµ των δύο εξισώσεων είνι δύντο.. Η εξίσωση της εφπτοµένης: y 0 y = 3 ( + 0 ) Γι 0 = 0, y 0 = 0 προκύπτει = 0, δηλδή ο άξονς y y Γι 0 =, y 0 = 6 προκύπτει η άλλη εφπτοµένη. Αν ( 0, y 0 ) το σηµείο επφής της εφπτοµένης (ε), τότε λ ε = όµως λ ε =, άρ y 0 = 4 3 κι 0 = 9 ρ 3 =, y 0 y 0 3. ) Αν Μ ( 0, y 0 ) σηµείο επφής, τότε το Κ (-, 3) νήκει στην y 0 y = 4 ( + 0 ), δηλδή 4 0-3y 0 = 8, όµως y 0 = 80. Το σύστηµ δίνει τ σηµεί επφής Α (8, 8) κι Β (, - ) β) λ ΑΚ = κι λβκ = - 84

4. H τετγµένη του Α είνι y Α = 4ρ, άρ Α = 4ρ. Όµοι Β = 4ρ κι y Β = - 4ρ, άρ ΟΑ ΟΒ 5. Αν Α ( 0, ρ 0 ), τότε Β ( 0, - ρ 0 ), κι ΟΑ = ΟΒ = 4 ρ 0, άρ ρ = ρ 0 + 4ρ 0 ή 0 = ρ, άρ y 0 = 4ρ 3 ή - 4ρ 3 4 0 6. ) ΕΑ = d (Α, δ) = ΚΕ εξ ορισµού (δ η διευθετούσ), άρ ΑΒ = ΚΕ β) Το Α έχει συντετγµένες ( ρ, ρ) κι η εφπτοµένη στο Α έχει εξίσωση (ε): ρy = ρ ( + ρ ). Προφνώς το σηµείο (- ρ, 0) νήκει στην (ε). Γι την εφπτοµένη στο Β όµοι 7. Αν η ΟΒ έχει εξίσωση y = λ, λ > 0, τότε η ΟΓ έχει εξίσωση y = - λ. Τ σηµεί Β, Γ έχουν συντετγµένες ( ΒΓ: ( λ + λ) + (λ - περνά πό το σηµείο (ρ, 0) γι κάθε λ ρ ρ, ) κι (ρλ, ρλ) η εξίσωση της λ λ ρ ) y - ( + ρλ) = 0 ή - (λ + ) y - ρ = 0 που λ λ λ 8. ) Ε ( 8, 0) β) (ΑΕ) > (ΟΕ) γ) Αν y = ρ η πρβολή µε ρ > 0 κι Α ( 0, ρ 0 ) τυχόν σηµείο της, τότε (ΑΕ) > ρ = ΟΕ δ) Πρέπει ΑΕ = ρ, άρ Α ( ρ, ρ) 9. ) Ε (, 0) που νήκει στην (ε) 85

β) Η λύση του συστήµτος δίνει Α (3 +, + ), Β (3 -, - ) γ) Αν ε Α, ε Β οι εφπτοµένες, τότε λ = ε Α γινόµενο - y δ) Έστω Α ( ρ +, λ = ε Β -, που έχουν y, y ), B (, y ), τ δύο σηµεί, τότε τ Α, Β, Ε είνι ρ συνευθεικά κι προκύπτει ρ ρ = - y y 30. =, y = y κι y = ρ, άρ (y ) = ρ 3. ) Αν = ρκ κι y = ρκ, τότε y = ρ β) Τ σηµεί Α, Β, Ε είνι συνευθεικά µε Ε ( ρ, 0) 3. Η εφπτοµένη (ε) στο Μ είνι η + β y y = β κι έχει λ ε = - β y 33. ) Έστω Α ( y ) το σηµείο επφής της πρβολής. Τότε η εφπτοµένη ε έχει εξίσωση 4 - y y + 4 = 0. Πρέπει d (0, ε ) =, άρ = κι y = 4. Η εφπτοµένη ε έχει σηµείο επφής (, - 4) λόγω συµµετρίς β) Οι συντελεστές διεύθυνσης είνι κι - ντίστοιχ 86

34. Η πόστση του κέντρου ενός τυχόντος κύκλου πό το Α είνι ίση µε την πόστση πό την (ε), άρ ισχύει ο ορισµός της πρβολής 35. + 9 y = 4 4 36. ) ε = β) ε = 3 κι Ε ( 3, 0) 5 κι Ε ( 5, 0) γ) ε = 5 4 κι Ε (4, 0) 37. Θ πρέπει ΜΕ = ΜΕ = ΕΕ () Όµως εξ ορισµού ΜΕ + ΜΕ = κι γ = ΕΕ, άρ θ έπρεπε = γ, άτοπο 38. Ισχύει γ = β κι = β + γ, άρ = γ κι ε = 39. Η δεύτερη έλλειψη γράφετι κ + y β κ = κι έχει ε = β - κ κ κ = γ 40. ε = - β κι ε = - β 4 = ε = [ + β ], άρ ε > ε 87

4. γ =, άρ γ = έχει µορφή + y ή - β = =, άρ β =. Εποµένως η έλλειψη 43. ) Η συµµετρί οδηγεί στον υπολογισµό των άλλων σηµείων (-, - 3 ), (, 3 ), (-, 3) γ) Τ σηµεί Μ νήκουν σε κύκλο µε εξίσωση: + y = 4 κι στην έλλειψη + y 6 =, άρ είνι τ σηµεί του ερωτήµτος () 44. Αν Μ (, y ) σηµείο επφής, τότε η ευθεί 9 + 6y y = 44 έχει λ = -, 9 άρ 6y 6 9 = κι 9 + 6y = 44. Άρ = ±, άρ y = ± 5 5 45. ) Η µι διγώνιος του τετρπλεύρου είνι µεσοκάθετος της άλλης β) Ε = γ β 46. Η υπερβολή έχει εξίσωση y - β = µε σύµπτωτες τις y = - β κι y = β. Αφού = 4, άρ β = 3, οπότε γ = 5, άρ: ) Ε (0, 5) Ε (0, - 5) β) Ε Ε = 0 y γ) - 6 ε) ε = 4 5 = 9 88

47. ) Ε (- 3, 0) Ε (3, 0), άρ γ = 3 κι = κι η εξίσωσή της β) γ = 0, β = 3 4 κι + β = 00, άρ = 6 κι β = 8 γ) γ =, = β κι + β = 4, άρ = β = - 4 y = 5 48. Η πράλληλη προς την σύµπτωτη y = - β έχει εξίσωση y = - β + c, η οποί ν θεωρηθεί σν σύστηµ µε την εξίσωση της υπερβολής δίνει πρωτοβάθµι εξίσωση ως προς 49. Αν ( 0, y 0 ) σηµείο επφής τότε - y y = 0 0 το σύστηµ έχει λύση Α ( y = 0 - y 0, - y 0 0 ) ενώ 0 - y 0y = το σύστηµ έχει λύση Β ( y = - κι το εµβδόν του ΟΑΒ είνι 0 + y 0, - 0 - y 0 ) 50. ( ) + c (y ) =, που είνι εξίσωση έλλειψης 89

β 5. ) Η ε έχει λ ε = y, άρ η ε έχει εξίσωση: y - y = - β y ( - ) β β) Γι y = 0, = ( + ) = ε γ Γι = 0, y = y ( + ) = y β β γ) Το µέσο Μ (, y) έχει = ε y κι y = γ β δ) =, y = ε yβ γ ενώ - y β =, άρ γ 4 4 - y γ 4 4β =, που είνι εξίσωση της υπερβολής c : ε) ε = + B 4β = + A 4 = ε y Α - B = 5. Αρκεί ν βρεθεί το ρ. Ο κύκλος έχει εξίσωση + y ρ = 4 κι η πρβολή y = ρ, ρ > 0. Το σύστηµ δίνει την εξίσωση ρ + ρ - 4 = 0, που έχει ρίζ = (λόγω του σχήµτος), άρ - ρ + ρ + = 0, άρ ρ = 4 + 5 4 53. ) c : ( - ρ) + y = ρ c : ( - 4ρ) + y = ρ c κ : ( - νρ) + y = ρ β) ρ + 4ρ + + νρ = ν (ν + ) ρ γ) y = ρ, y = - ρ 90

54. Οι σύµπτωτες έχουν εξισώσεις (ε ): y = 4 3 κι (ε ): y = - 4 3. Τ σηµεί τοµής των ε, ε µε την y = : Α ( 3 8, ), Β (- 3 8, ). Στο τρίγωνο 6 6 ΑΟΒ: (ΑΒ) = κι το ύψος υ =, άρ (ΑΟΒ) = 3 3 55. Αν (, y ) σηµείο επφής, τότε η εφπτοµένη 5-4y y = 00 έχει λ = 5 = 3 () ενώ 5-4y = 00 (). Το σύστηµ των (), () 4y δίνει τ σηµεί επφής 56. Οι εστίες της έλλειψης Ε (- 3, 0) κι Ε (3, 0), άρ γι την υπερβολή ισχύει = β κι γ = 3, ενώ + β = γ, άρ = - y = 9 3 κι η υπερβολή έχει εξίσωση 57. Α (, 3), Β (4,, 4,6), Γ (4,6, 4,) κι το σύστηµ: κ + 3λ + µ = - 0 4,6κ + 4,λ + µ = - 38,8 4,κ + 4,6λ + µ = - 38,8 έχει λύσεις κ = - 6, λ = - 6, µ = 4, άρ ρ = 58. ) δύντο σύστηµ β) η ΟΚ µε Ο (0, 0), Κ (3, ) γ), δ) Α, Β, Γ, τ σηµεί τοµής της ΟΚ µε τους κύκλους 9

59. ) Μ Α. Μ Β = 0 β) + y = 4 γ) πλό 0 y 0 δ) ν δειχθεί ότι + = 4 (δεκτή κι η γεωµετρική πόδειξη) β 60. ) Τ σηµεί τοµής µε τους άξονες Α (, 0), Β (0, - ) y β) y = + β άρ > < άρ - < <, άρ - < <, άρ το Α βρίσκετι µετξύ των κορυφών γ) Λόγω του (β), ν y > 0, τότε y < 0 κι ντίστροφ 9