Rešene naloge iz astronomije - I. del

Rešene naloge iz astronomije - I. el A.G. Morebitne napake prosim sporočite na: anreja.gomboc@fmf.uni-lj.si 1 Nebesne koorinate 1. Katere zveze so naobzornice in katere poobzornice za: a) observatorij na Črnem vrhu (ϕ = 45 56 48 North, λ = 14 04 25 East) in b) za ESO La Silla observatorij (ϕ = 29 15 0 South, λ = 70 44 0 West)? Na severni polobli velja za zveze v najnižji točki njihove nevne poti po nebu (glej sliko): δ + z + ϕ = 180. Za tiste, ki so naobzornice velja z < 90 in slei δ > 90 ϕ. Za zveze z negativno eklinacijo velja v najvišji točki njihove nevne poti po nebu: z = ϕ + δ. Za poobzornice je z > 90 in slei, a je δ > 90 ϕ oziroma δ < ϕ 90. Na južni polobli je situacija obrnjena (glej sliko), ϕ je negativen, pol je vien na južnim horizontom. Za zveze v najnižji točki velja: δ + z + ϕ = 180, za naobzornice z < 90 in slei δ > 90 ϕ ali δ < ϕ 90. Za poobzornice je δ > 0 in velja poobno kot prej: z = ϕ + δ, z > 90 in slei, a je δ > 90 ϕ. Povzetek: Na zemljepisni širini ϕ vzhajajo in zahajajo zveze, ki imajo eklinacijo v območju: (90 ϕ ) < δ < (90 ϕ ). Naobzornice na ϕ > 0 in poobzornice na ϕ < 0 so zveze z: δ > (90 ϕ ). Poobzornice na ϕ > 0 in naobzornice na ϕ < 0 so zveze z δ < ( ϕ 90 ). Za Črni vrh so naobzornice zveze z δ > 90 45 56 48 = 44 03 12, poobzornice pa zveze z δ < 45 56 48 90 = 44 03 12. Za ESO La Silla so naobzornice zveze z δ < 29 15 90 = 60 45 in poobzornice zveze z δ > 90 29 15 = 60 45. 2. Na katerem intervalu mora biti eklinacija zveze, če naj jo viimo iz Ljubljane (ϕ 45 )? Kolikšen ostotek prostorskega kota pokrivajo zveze vine iz naših geografskih širin?

2 A.G. 45 < δ < 90, Ω = 2π 0 135 (cos θ) = 2π(1 + 1 2 ), Ω Ω = 0.854 3. Kolikšna je olžina sfernega loka (v stopinjah in v kilometrih) me Ljubljano ( ϕ 1 = 46 02 37 North, λ 1 = 14 31 38 East) in New Yorkom (ϕ 2 = 44 41 43 North, λ 2 = 73 27 30 West)? R Z = 6400km cosl = cos(90 ϕ 1 )cos(90 ϕ 2 ) + sin(90 ϕ 1 )sin(90 ϕ 2 )cos(λ 2 λ(1) 1 cosl = sin(ϕ 1 )sin(ϕ 2 ) + cos(ϕ 1 )cos(ϕ 2 )cos(λ 2 λ 1 ) (2) cosl = 0.524 l = 58.4 (3) D[km] = R Z l[ra] = 6400km 58.4 π = 6526km. (4) 180 4. Dne 8.11. 2006 ob polnoči želimo v Sloveniji opazovati zvezo Algol (α A = 03 h 08 m 10 s, δ A = +40 57 20 ). Iz efemeri preberemo, a so koorinate Lune ob UT = 0 h ne 8. 11. 2006: α 8 = 05 h 08 m, δ 8 = 28.0 in ne 9. 11. 2006: α 9 = 06 h 11 m, δ 9 = 28.5. Ali nam bo Luna motila opazovanja oz. kolikšna je razalja me Luno in Algolom? t = 24 h UT = t 1 h = 23 h. Koorinate Lune ob tem času oločimo z interpolacijo me α 8, δ 8 in α 9, δ 9 : α L = α 8 + (α 9 α 8 ) 23h = 6.140 h = 92.094 24h (5) δ L = δ 8 + (δ 9 δ 8 ) 23h = 28.479 24h (6) Razaljo me Algolom in Luno izračunamo iz sfernega trikotnika na sliki in kosinusnega izreka: cos = cos(90 δ L )cos(90 δ A ) + sin(90 δ L )sin(90 δ A )cos(α A α(7) L cos = sin(δ L )sin(δ A ) + cos(δ L )cos(δ A )cos(α A α L ) (8) Ko vstavimo v to enačbo numerične vrenosti, obimo cos = 0.7815 oziroma razaljo me Luno in Algolom, = 38.6. 5. Ali je bil 12. oktobra 1996 iz Ljubljane (ϕ = 46 02 37 North, λ = 14 31 38 East) vien Sončni mrk? Iz efemeri preberemo koorinate Sonca in Lune ob UT = 0 h : Sonce ne 12. 10.: α,12 = 13 h 09 m 54.6 s, δ,12 = 7 25 5.1

Rešene naloge iz astronomije - I. el 3 ne 13. 10.: α,13 = 13 h 13 m 36.5 s, δ,13 = 7 47 33.9 Luna ne 12. 10.: α L,12 = 12 h 44 m 39 s, δ L,12 = 4 24 11 ne 13. 10.: α L,13 = 13 h 33 m 54 s, δ L,13 = 8 09 59 Me zgornjima vema trenutkoma lahko ovolj natančno izračunamo koorinate Sonca in Lune z linearno interpolacijo α,l (t) = α 12 + (α 13 α 12 ) t 24h (9) δ,l (t) = δ 12 + (δ 13 δ 12 ) t, 24h (10) kjer je t v urah izražen UT čas ne 12. 10. Ali je prišlo o Sončnega mrka ugotovimo iz razalje me Soncem in Luno na nebu, ki jo obimo iz kosinusnega izreka: cos = cos(90 δ L )cos(90 δ ) + sin(90 δ L )sin(90 δ )cos(α (11) α L cos = sin(δ L )sin(δ ) + cos(δ L )cos(δ )cos(α α L ) (12) 3.0 2.5 geocentricno geocentrično iz Ljubljane 2.0 Sonce-Luna [eg] 1.5 1.0 0.5 mrk 0.0 0 120 240 360 480 600 720 840 960 1080 1200 1320 1440 UT [min] Vstavimo v enačbo α (t), δ (t) in α L (t), δ L (t) iz interpolacije (10) in narišemo graf razalje v ovisnosti o časa (polna črta na sliki). Ugotovimo, a je razalja me Soncem in Luno na nebu veno večja

4 A.G. o 0.5 (vooravna pikčasta črta) kolikor je naviezni premer Lune in Sonca. Torej bi sklepali, a Luna ne zakrije Sonca in o mrka ne prie. Toa: računali smo z geo-centričnimi koorinatami, torej glee na sreišče Zemlje. Mi pa opazujemo s površine Zemlje na zemljepisni širini ϕ. Smer v kateri viimo neko nebesno telo, oziroma točneje njegova eklinacija δ (nebesna širina objekta ali višina na nebesnim ekvatorjem) je za kot β manjša kot če bi gleali iz sreiščemlje. Za trikotnik na sliki zapišemo sinusni izrek: b * R Z D ekvator Zemlja sin β sin(ϕ δ) = R Z b sin β = R Z b (13) sin(ϕ δ) (14) Viimo, a vpliv tega efekta paa z razaljo o nebesnega telesa. V našem primeru ga moramo upoštevati za Luno, za Sonce pa ga lahko zanemarimo (preveri). Ker je razalja o Lune D=384.400 km veliko večja o polmera Zemlje R Z = 6400km velja (na okrog 1 ostotek natančno), a je b D in obimo: sin β = R Z D sin(ϕ δ L) = 0.0107 β = 0.75 (15) Deklinacijo lune popravimo: δ L (t) = δ L (t) β in ponovno izračunamo razaljo me Luno in Soncem. Kot kaže prekinjena črta na sliki, Sončni mrk bo in to okrog UT = 13 14 h oziroma po naši uri o okrog 15. o 16. ure. 6. Kolikšen je krajevni zvezni čas nekega ne pozimi ob 3 h zjutraj po srenjeevropskem času v Ljubljani (λ = 0 h 58 m 6.5 s ), če preberemo iz tabel, a je tabelirani zvezni čas za Greenwich tega ne ob UT=0 h enak S 0 G = 9h 10 m 0 s?

Rešene naloge iz astronomije - I. el 5 Najprej iz conskega časa t z n pozimi in n = 1 h za srenjo Evropo oločimo univerzalni čas UT: UT = t z n n = 2 h. UT nato pretvorimo v krajevni zvezni čas na Greenwichu t λ=0, tega pa v lokalni zvezni čas: t λ=0 = SG 0 + UT 366.25 365.25 = 11.17h = 11 h 10 m 20 s (16) t λ = t λ=0 + λ = 11h 10 m 20 s + 0 h 58 m 6.5 s = 12 h 8 m 26.5 s (17) 7. Na Golovcu (λ = 0 h 58 m, ϕ = 46 3 ) želimo februarja opazovati zvezo Betelgeza v ozvezju Orion, ki ima rektascenzijo α= 5 h 55 m in eklinacijo δ= +7 24, 5. Iz tabel preberemo, a bo v trenutku opazovanja zvezni čas t λ = 12h 8.4 m. Kolikšna bosta azimut A in zenitna razalja z Betelgeze? P H A Z A * z N S Pretvorimo rektascenzijo α in eklinacijo δ v azimut A in zenitno razaljo z. Pri tem si pomagamo s sfernim trikotnikom na sliki. Zapišemo kosinusni izrek: cosz = cos(90 δ)cos(90 ϕ) + sin(90 δ)sin(90 ϕ)cosh(18) cosz = sinδ sin ϕ + cosδ cosϕcosh (19) in izračunamo zenitno razaljo:

6 A.G. cosz = 0.053 z = 86.9 (20) Da oločimo A, zapišimo najprej sinusni izrek: in še en kosinusni izrek: sin z sin H = sin(90 δ) sin(180 A) = cosδ sin A (21) sinz sin A = cosδ sin H (22) cos(90 δ) = cos(90 ϕ)cosz + sin(90 ϕ)sin z cos(180 A)(23) sin δ = sinϕcos z cosϕsin z cosa (24) sinϕcosz sin δ sin z cosa =. cosϕ (25) Iz enačb 22 in 25, ali njune kombinacije ki nam a tana, lahko izračunamo A z uporabo obratnih trigonometričnih funkcij. Venar na intervalu A [0, 360 ] ne obimo enolične rešitve. Zato je bolje uporabiti polovične kote. V splošnem velja: tan x 2 = sin x 1+cos x. Za naš primer zapišemo: tan A 2 = 1 + tan A 2 cos δ sin H sin z sin ϕ cos z sin δ sin z cos ϕ = cosδ cosϕsin H sin(z + ϕ) sin δ (26) (27) Potrebujemo še časovni kot: H = t λ α = 6h 13.4 m = 93.3 in obimo: tan A 2 = 1.14 A = 97.5 (28) 8. Neka zveza je ne 10. novembra 2006 v Ljubljani (ϕ = 46 3, λ = 14 32 ) zašla ob 23h pri azimutu 130 (merjeno o juga proti zahou). Kolikšni sta njena rektascenzija in eklinacija? Tega ne je tabelirani zvezni čas za Greenwich ob UT=0 h enak S 0 G = 3h 16 m 3.5 s. Izračunamo zvezni čas v trenutku zahoa: UT = t z n n = 22h (29) t λ=0 = 366.25 S0 G + UT 365.25 = 25.3279h (30) t λ = t λ=0 + λ = 26.2968 h (31) Zapišemo izraz za zenitno razaljo 19 in upoštevamo, a je v trenutku zahoa z = 90, slei:

Rešene naloge iz astronomije - I. el 7 cosh 0 = tan ϕtanδ (32) Kosinusni izrek nam a: cosa = cos(180 ϕ)cos(90 δ)+sin(180 ϕ)sin(90 δ)cosh 0 (33) Vstavimo cosh 0 iz 32: cosa = sinδ cosϕ (cos2 ϕ + sin 2 ϕ) (34) slei : sin δ = cosacosϕ = 0.4461 δ = 26.4946 = 26 29 41 (35) Seaj lahko izračunamo še α. Iz 32 slei: cosh 0 = 0.5171 in H 0 = 121.136 = 8.07576 h. Iz t λ = α+h slei, a je: α = t λ H 0 = 18.2211 h = 18 h 13 m 16 s. 9. Kaj bo zveza Atair v ozvezju Orla, ki ima rektascenzijo α= 19 h 50 m 47 s in eklinacijo δ= +8 52 06, v Ljubljani (ϕ = 46 2 37, λ = 0 h 58 m 7 s ) ne 14. 9. 2007 vzšla, kulminirala in zašla? Iz tabel preberemo, a je ta an zvezni čas za Greenwich ob UT=0 h enak S 0 G = 23h 30 m 22 s. Zveza kulminira, ko je njen časovni kot H = 0. Slei, a je takrat t λ = H + α = α in t λ=0 = t λ λ = α λ = 18h 52 m 40 s. Zvezni čas na Greenwichu pretvorimo v univerzalni čas: UT = (t λ=0 S 0 G) 365.25 366.25 = 19h 19 m 8 s. (36) V naši časovni coni prištejemo UT še n = 1 h in v obobju poletnega časa še oatno 1 h. Naša ura bo v trenutku kulminacije Ataira kazala čas t kulm = 21 h 19 m 8 s. Pri računanju trenutka vzhoa in zahoa si pomagamo s trikotnikom na sliki, za katerega zapišemo kosinusni izrek: cosz = sin(90 ϕ)sin(90 δ) + cos(90 ϕ)cos(90 δ)cosh(37) cosz = sinϕsin δ + cosϕcosδ cosh (38) V trenutku vzhoa ali zahoa je zenitna razalja z = 90 in slei cosh 0 = tanϕtan δ. Z zgornjimi poatki obimo cosh 0 = 0.1618 in H 0 = ±99.31 = ±6 h 37 m 15 s. Za vzho velja: H vzhoa = 24 h 6 h 37 m 15 s = 17 h 22 m 45 s, za zaho pa H zahoa = 6 h 37 m 15 s. Upoštevamo, a je t λ = H + α in t λ=0 = t λ λ in obimo zvezni čas na Greenwichu: t λ=0 = H + α λ, ki ga (tako kot zgoraj pri računanju kulminacije) pretvorimo v čas, ki ga kaže ura:

8 A.G. t poletni n=1 = (t λ=0 S 0 G) 365.25 366.25 + 2h (39) Za vzho obimo t vzhoa = 14 h 45 m 3 s, za zaho pa t zahoa = 3 h 25 m 44 s. 10. Dne 27. septembra 1996 je bil popoln Lunin mrk. Iz efemeri preberemo koorinati Sonca tega ne: rektascenzija α = 12 h 15 m in eklinacija δ = +0 22. Kako visoko na obzorjem je bila Luna ob 3 h zjutraj v Ljubljani (λ = 0 h 58 m, ϕ = 46 3 )? Zvezni čas ob UT=0 h tega ne je S 0 G = 0h 24 m 15 s. Do Luninega mrka prie takrat, ko je Luna v Zemljini senci. Sonce, Zemlja in Luna ležijo na premici. Luna je torej na ravno nasprotnem elu nebesne sfere kot Sonce. Njene koorinate ocenimo, a so: α L = α 12 h = 0 h 15 m (40) δ L = δ = 0 22 (41) Izračunamo zvezni čas ob t z n = 3h (upoštevamo, a je septembra še poletni čas): UT = t z n 2 h = 1 h (42) t λ=0 = 366.25 S0 G + UT 365.25 = 1.40694h (43) t λ = t λ=0 + λ = 2.37361h. (44) Časovni kot Lune je: t λ = H +α H L = t λ α L = 2.12364 h = 31.854. Iz enačbe 19 izračunamo zenitno razaljo z: cosz = sin δ sin ϕ + cosδ cosϕcos H (45) cosz = 0.5941 z = 53.55 (46) Višina na obzorjem je: h = 90 z = 36.45. 11. Stari Egipčani so posebej častili zvezo Sirij (α = 6 h 45 m, δ = 16 42 ), ki jim je označevala začetek poplav Nila. kako visoko na nebu je Sirij na prvi pomlaanski an ob sončnem zahou v Kairu (ki ima ϕ = 30 )? Na prvi pomlani an je rektascenzija Sonca α = 0, ob zahou je časovni kot Sonca H = 6 h in slei, a je zvezni čas t λ = H α = 6 h. časovni kot Sirija je: H = t λ α = 0h 45 m = 11.25. Iz kosinusnega izreka obimo zenitno razaljo Sirija: cosz = sin δ sinϕ + cosδ cosϕcosh (47) cosz = 0.67 z = 47.9 h = 42.1 (48)

Rešene naloge iz astronomije - I. el 9 12. Prepostavimo, a se Sonce giblje po ekliptiki enakomerno (zakaj se ne?) in bi veljalo : λ = kt. Ali bi se enakomerno spreminjala tui njegova rektascenzija - ali bi se gibalo enakomerno tui po ekvatorju? Nagib ekliptike je ǫ = 23 27. Iz slike razberemo: Sinusni izrek nam a: cosλ = cosα cosδ + sin α sin δ 0 cosδ = cosλ cosα Še en kosinusni izrek nam a: sin δ sin ǫ = sin λ sinδ = sin λsin ǫ sin90 cosδ = cosλcosα + sin α sin λcosǫ Vstavimo cosδ iz prvega izraza, upoštevamo, a je 1 cos 2 α = sin 2 α in obimo: tanα = tanλ cosǫ. Viimo, a tui, če λ narašča enakomerno s časom, α ne. 2 Paralaksa, izsevi in magnitue zvez 1. Kako aleč je zveza Sirij, če vemo, a je njena paralaksa p = 0.38? Paralaksa je kot: p = 1a.e. ali izražen v kotnih sekunah: p = 180 π 3600 1a.e. = 1 [pc] iz česar slei efinicija enote parsek (pc): 1 pc je razalja, na kateri je paralaksa zveze 1 kotna sekuna. Torej 1 pc = 206 265 a.e. = 3.08 10 16 m = 3.26 sv. let. Izračunamo oaljenost Sirija: [pc] = 1 p = 1 0.38 = 2.63 pc = 8.6 sv.let = 8.1 1016 m.

10 A.G. 2. Dnevna paralaksa Sonca je p = 8.8. Izračunaj razaljo me Zemljo in Soncem, če veš, a je polmer Zemplje R Z = 6400 km. p = R Z = R Z p = 6400 km 4.3 10 5 = 150.01 106 km 3. Zveza Sirij sije z magnituo m = 1.6 m in je oaljena 8.8 sv. let. Kolikšna je njena absolutna magnitua in kolikšen je njen izsev v primerjavi s Soncem? Absolutna magnitua Sonca je M = 4.6. Absolutna magnitua Sirija je: M = m 5 log 10 10 pc = m 5 log 8.8/3.26 pc 10 = 1.24 mag. 10 pc Iz primerjave absolutnih magnitu (na enakih oaljenostih obeh zvez) obimo razmerje izsevov Sirija in Sonca: L S L = j S j = 10 0.4(MS M ) = 22.1 4. Sonce ima na oaljenosti = 1 a. e. naviezno magnituo m = 26.9 m, Spika pa na oaljenosti S = 260 sv. let naviezno magnituo m S = 1.04 m. Katera zveza je v resnici svetlejša? Izračunajmo naviezno magnituo, ki bi jo imelo Sonce, če bi bilo na oaljenosti Spike: m = m + 5 log 10 S = 26.9 + 36.1 = 9.2 m. Viimo, a je Sonce šibkejša zveza kot Spika. Razmerje njunih gostot svetlobnega toka pa je j S /j = 10 0.4(mS m ) = 1840. 5. Sonce ima naviezno magnituo m = 26.81 m. Kolikšna je njegova absolutna magnitua? Kolikšna bi bila njegova naviezna magnitua, če bi bilo oaljeno = 1 kpc? Absolutna magnitua Sonca je: m 1 m 2 = 2.5 log 10 j 1 j 2 m M = 5 log 10 M = m 5 log 10 10 pc (49) 10 pc = 26.81 5 log 1a.e. 10 = 4.76 (50) 10 pc

Rešene naloge iz astronomije - I. el 11 Naviezna magnitua Sonca na razalji = 1 kpc je: m = M + 5 log 10 10 pc = 4.76 + 5 log 10 100 = 14.76 mag 6. V oaljeni galaksiji eksploira supernova, ki ima največji izsev enak L = 10 10 L. Koliko je lahko največ oaljena ta galaksija, a bomo supernovo lahko opazili s prostim očesom? Prepostavimo, a ustreza mejna gostota svetlobnega toka, ki ga oko še zazna, magnitui 6 m in a se nič svetlobe ne absorbira na poti o supernove o nas. Vemo še, a je izsev Sonca L = 4 10 26 W, oaljenost = 1 a.e. in naviezna magnitua Sonca m = 26.81 m. Primerjajmo gostoti svetlobnega toka s Sonca in s supernove: j = L 4π 2 j sup = L sup 4π 2 sup = 1010 L 4π 2 sup m m sup = 2.5 log 10 j j sup = 5 log 10 ( sup 10 5 ) (51) (52) (53) Obrnemo enačbo, a izrazimo sup in upošetavmo, a je m sup = 6 m : sup = 10 5 10 msup m 5 = 5.47 10 22 m = 5.8 Msv.let 7. Nam najbližja zveza (razen Sonca) je Proksima Kentavra, ki je oaljena 4.2 sv. let. V primerjavi s Soncem je 10.000-krat šibkejša. a) Kolikšna je njena absolutna magnitua, če veš, a je absolutna magnitua Sonca M =4.8? b) Kolikšna je njena naviezna magnitua? c) Kolikšna je letna paralaksa te zveze? a) Primerjamo absolutni magnitui Sonca in Proksime Kentavra: M PK M = 2.5 log 10 P PK P (54) M PK = M 2.5 log 10 (10 4 ) = M + 10 = 14.8 mag (55) b) Absolutna magnitua zveze je njena magnitua na razalji 10 pc, naviezna magnitua pa magnitua na njeni pravi razalji = 4.26 sv. let = = 1.29 pc: 4.2sv.let 3.26sv.let/pc

12 A.G. m M = 2.5 log 10 (10 pc) 2 2 = 5 log 10 c) Paralaksa je kot: p = 1a.e. m = M + 5 log 10 ( 1.29 pc 10 pc p = 180 π (56) 10 pc ) = 10.35 mag (57) ali izražen v kotnih sekunah: 3600 1a.e. = 1 [pc] = 0.78 8. Zapiši razliko magnitu veh zvez, ki sta oaljeni 1 in 2, imata polmer R,1 in R,2 ter površinski temperaturi T 1 in T 2! Prepostavi, a svetita kot črni telesi. Kolikšna je razlika magnitu me zvezama, če velja: 1 = 2 2, T 1 = 2T 2, R,1 = R,2? Kaj lahko poveš o raijih in oaljenostih veh zvez, ki sta vieti enako svetli in imata enako površinsko temperaturo? Pogsonov zakon pravi, a je razmerje gostote svetlobnih tokov: j 1 j 2 = 10 0.4(m1 m2) m 1 m 2 = 2.5 log 10 j 1 j 2 (58) Gostota svetlobnega toka na površini zveze je j = σt 4, kjer je σ Boltzmannova konstanta. Svetlobni tok ali izsev, ki ga oaja zveza je L = j S = σt 4 4πR. 2 Na oaljenosti je gostota svetlobnega toka zveze j = L/4π 2. Ob upoštevanju tega, zapišemo razliko magnitu: ( L1 ) m 1 m 2 = 2.5 log 10 4π2 2 L 2 4π 2 1 = 2.5 log 10 ( σt 4 1 4πR 2,1 σt 4 2 4πR2,2 ) 2 2 2 1 (59) (60) m 1 m 2 = 2.5 log 10 T 4 1 T 4 2 R,1 2 2 2 2.5 log 10 R,2 2 2.5 log 10 2 1 (61) m 1 m 2 = 10 log 10 T 1 T 2 5 log 10 R,1 R,2 + 5 log 10 1 2 (62) Razlika magnitu me omenjenima zvezama je: m 1 m 2 = 3.0. Če sta zvezi vieti enako svetli (m 1 m 2 = 0) in imata enako površinsko temperaturo, slei, a je: R,2 1 = R,1 2 ali R,1 R,2 = 1 2. Razmerje njunih polmerov je enako razmerju njunih oaljenosti. 9. Zveza ima naviezno magnituo m=5 in letno paralakso p=0.25. Kolikšna je njena absolutna magnitua? Iz njenega spektra so ugotovili, a

Rešene naloge iz astronomije - I. el 13 znaša temperatura na njeni površini 4500 K. Kolikšen je polmer zveze, če prepostavimo, a sveti kot črno telo? Stefan-Boltzmannova konstanta σ = 5.67 10 8 JK 4 m 2 s 1, za Sonce pa vemo: m Sonca = 26.81, L = 3.8 10 26 W, oaljenost Sonca je = 1 a.e. = 1.5 10 11 m. Najprej iz paralakse izračunamo oaljenost zveze: = 1 pc p = 4 pc. Absolutna magnitua zveze je magnitua, ki bi jo zveza imela, če bi bila na oaljenosti 10 pc: M = m + 5 log 10 10 pc = 5 + 5 log 10 pc 4 pc = 7.0. Gostota svetlobnega toka s te zveze (če prepostavimo, a je krogla, ki sveti kot črno telo) je: Poobno zapišemo za Sonce: j = L 4π 2 = σt 4 4πR 2 4π 2 = σt 4 R 2 2 j = L 4π 2. Razlika navieznih magnitu Sonca in zveze je: m m = 2.5 log 10 j j ali, če izrazimo raij zveze: L 2 = 2.5 log 4π 2 σt 4 R 2 R = L 4πσ 1 T 2 10 m m 5 = 4.1 10 8 m = 410 000 km. 3 Teleskopi 1. S teleskopom s premerom D=2 m opazujemo Soncu poobno zvezo v kroglasti kopici, ki je oaljena =8 kpc. Opazujemo s filtrom V (λ V =550 nm, λ= 100 nm). Koliko fotonov na sekuno ujamemo? Opazujemo še ruge zveze v tej kopici. Oceni kolikšna mora biti masa

14 A.G. zveze na glavni veji, a ujamemo vsaj 1 njen foton na sekuno? Uporabi priloženi H-R iagram. Število fotonov pri oločeni valovni olžini λ, ki jih ujamemo na sekuno, je gostota svetlobnega toka pri tej valovni olžini, j λ, eljena z energijo posameznega fotona hν = hc/λ in pomnožena s površino vstopne oprtine teleksopa: S = πd2 4 : Nγ = j λ πd2 t hc 4. λ Prepostavimo, a zveza sveti kot črno telo. Gostota svetlobnega toka pri λ v intervalu širine λ na njeni površini je: j λ, = 2hc 2 λ 5 (exp hc ktλ 1)λ Svetlobni tok je P λ = j λ, 4πR 2, gostota svetlobnega toka pri nas pa j λ = P λ /4π 2. Da obimo celoten svetlobni tok, ki ga prepušča filter moramo integrirati j λ po λ v območju filtra. Ker je naš filter precej ozek, λ = 100 nm, bomo namesto integrala izračunali kar: povprečna vrenost krat širina intervala, j λ. Z vrenostmi za Sonce obimo: N γ t = πd2 4 R 2 2 2c λ λ 4 (exp hc = 213 (670). ktλ 1) Ocenimo: a obimo le 1 foton na sekuno, mora biti absolutna magnitua zveze za: M = 2, 5 log 10 213 (670) = 5, 8 (7) višja o Sončeve, ki je M V = 4.8. Iz priloženega HR iagrama razberemo, a ima takšna zveza maso nekoliko po 0,5 M. 2. Skozi filter B in V opazujemo Sonce. Sreiščni valovni olžini teh filtrov sta λ B =440 nm in λ V =550 nm, njuna širina pa λ = 100 nm. Kolikšno je pričakovano razmerje gostote svetlobnih tokov j B /j V, če prepostavimo, a sveti Sonce kot črno telo s površinsko temperaturo T =6000 K? Kolikšen pa je pričakovani barvni inex B V za Sonce, če je po ogovoru za zvezo Vega, ki ima T=9500 K, B V =0. Gostota svetlobnega toka na površini zveze (Sonca) v intervalu λ pri λ je: 2hc 2 j λ, = λ 5 (exp hc ktλ 1)λ Če je širina filtrov tako majhna, a se j λ, ne spremeni znatno na tem intervalu valovnih olžin, smemo za našo natančnost namesto integrala

Rešene naloge iz astronomije - I. el 15 po λ, računati kar z vrenostjo j λ, na sreini intervala pomnoženo s širino filtra: j B, = j V, = 2hc 2 λ λ 5 hc B (exp ktλ B 1) (63) 2hc 2 λ λ 5 hc V (exp ktλ V 1) (64) Gostoto svetlobnega toka na Soncu moramo preračunati nemljino oaljenost: j = j 4πR 2 /4π(1a.e.)2. Ko računamo razmerje gostote svetlobnih tokov v B in V filtru se boo ti oatni faktorji pokrajšali: j ( B λv ) 5 exp hc = ktλ V 1 j V λ B exp hc ktλ B 1 = 1, 01475. Izračunamo to razmerje še za Vego: jb j V = 1, 48. Zapišemo barvni inex B V, ki je razlika magnitu telesa v filtru B in v filtru V: B V = 2, 5 log 10 j B j V + C B V Prenost barvnega ineksa je, a v njem nastopa razmerje jb j V, v katerem sta se pokrajšala razalja o zveze in njen polmer. To razmerje, in s tem barvni inex, sta ovisna le o temperature zveze. Konstanto C B V oločimo s tem, a povemo, za katere zveze je B V = 0. V našem primeru je ogovor, a je to Vega in obimo: C B V = 0, 427. Za Sonce slei: B V = 0, 411. 4 Tiri, Keplerjevi zakoni, vojne zveze 1. Izračunaj maso Sonca, če veš, a je obhoni čas Zemlje okoli Sonca P = 1 leto, njena oaljenost pa a = 1 a.e. (150 milijonov kilometrov)! Tretji Keplerjev zakon je pomemben za oločanje mase Sonca! Slei: a 3 P 2 = G(M + M planet ) 4π 2 GM 4π 2 M = 4π2 G a 3 P 2 = 2.0 1030 kg

16 A.G. 2. Izračunaj maso Zemlje, če veš, a je obhoni čas Lune okoli zemlje P = 27.32 ni, njena oaljenost pa a = 384000 km! Enako kot pri prejšnji nalogi uporabimo tretji Keplerjev zakon: M Z = 4π2 G a 3 P 2 = 6.0 1024 kg 3. Izračunaj maso Jupitra, če veš, a je obhoni čas njegove lune Io okoli Jupitra P = 1.77 ni, njena oaljenost pa a = 4.22 10 8 m! Enako kot pri prejšnjih veh nalogah uporabimo tretji Keplerjev zakon: M J = 4π2 G a 3 P 2 = 1.9 1027 kg = 318M Z 4. Za koliko bi se spremenilo leto nemlji, če bi vanjo v smeri gibanja okoli Sonca treščil komet, ki bi prišel iz velike oaljenosti o Sonca ter bi imel premer R k =100 km in gostoto = 1g/cm 3? Prepostavi, a je Zemeljski tir okoli Sonca krožnica ter upoštevaj ohranitev gibalne količine pri trku! Zemlja Sonce komet Najprej izračunamo maso kometa: m k = 4π 3 R3 k = 5.24 1017 kg. Hitrost kometa tik pre trkom obimo iz ohranitve celotne energije (zanemarimo vpliv Zemlje na gibanje kometa in upoštevamo samp vpliv Sonca): W komet cel = W kin + W pot = 1 2 m kv 2 k GM m k k = 0, kjer je k oaljenost kometa o Sonca. V zanjem koraku smo upoštevali, a gre pri k, hitrost kometa proti nič in tui njegova potencialna energija gre proti nič. Dobimo hitrost kometa tik pre trkom v Zemljo:

Rešene naloge iz astronomije - I. el 17 v k = 2GM 1 a.e. = 42.17 kms 1. Hitrost kroženjemlje okrog Sonca pre trkom obimo iz: M Z v 2 Z = GM M Z a 2 Z v Z = GM = 29.82 kms 1. (65) Ob trku se ohranja skupna gibalna količina kometa in Zemlje: M Z v Z + m k v k = (M Z + m k )v Z. Hitrost Zemlje (skupaj s kometom) po trku je: v Z = M Zv Z + m k v k M Z + m k v Z + m k M Z v k, (66) kjer lahko zanemarimo m k v imenovalcu, saj je m k M Z = 9 10 8. Iz istega m razloga viimo, a bo popravek Zemljine hitrosti k M Z v k = 3.7 mms 1, majhen. Računajmo z majhnimi popravki: v Z v Z = 2 mk M Z = 1.23 10 7, kjer lahko upoštevamo, a je v Z = 2v k (glej zgoraj), ni pa nujno (?). Če prepostavimo, a je tir Zemlje še naprej krožnica, lahko iz enačbe 4 viimo, a sprememba hitrosti Zemlje povzroči spremembo polmera zemljine tirnice : = 2 v Z v Z kar po rugem Keplerjevem zakonu a 3 Z /P 2 =konst. pomeni, a se spremeni tui orbitalna perioa oz. olžina leta nemlji: P Z = 3 P Z 2 = 3 v Z v Z. Z zgornjimi številkami obimo: PZ P Z = 3.7 10 7 ali, a se olžina leta nemlji skrajša za P Z = 11.7 s. Ta račun je sicer primeren za oceno velikosti spremembe perioe, ni pa pravilen! S prepostavko, a je tir še naprej krožnica smo privzeli, a Zemlja preskoči s tirnice s polmerom na tirnico s polmerom a Z. To ni res. Če hočemo izračunati spremembo olžine leta bolj pravilno in natančno, moramo upoštevali, a tir Zemlje po trku ni več krožnica ampak je elipsa. Upoštevamo, a je celotna energija telesa na tirnici z veliko polosjo a enaka: E = GM m. 2a

18 A.G. Energijski zakon pravi: skupna kinetična energija po trku + skupna potencialna energija (oboje v točki trka, t.j. ) = celotna energija (na tiru z veliko polosjo a Z ): E Z+komet = 1 2 (M Z + m k )v 2 Z GM (M Z + m k ) = GM (M Z + m k ) 2a Z Vstavimo v Z iz 4 in obimo: 1 a Z = 2 1 ( ) 1 + m k v 2 k M Zv Z 1 + m k M Z Upoštevamo m k M Z << 1 in razvijemo: 1 a Z Dobimo: 2 1 ( 1 + 2 m kv k M Z v Z )( 1 2 m k M Z ) 1 1 2m k M Z ( v k v Z 1) P Z P Z = 3 2 kar znese, a se olžina leta poaljša za 3.3 s. 2m k ( v k 1) = 6.9 10 8 (67) M Z v Z = 1.0 10 7 (68) 5. Pluton se giblje okrog Sonca po orbiti, ki ima perihelij pri r p =29.7 a.e. in afelij pri r a =49.3 a.e.. Kolikšni sta velika polos in ekscentričnost njegovega tira? Kolišen je obhoni čas okrog Sonca? Kolikšni sta največja in najmanjša hitrost Plutona na tem tiru? Spomnimo se, a velja za eliptične tire: ali: pri čemer je a glavna polos in ǫ sploščenost tira. r p = a(1 ǫ) (69) r a = a(1 + ǫ) (70) r p + r a = 2a (71) r p r a = 2aǫ (72) ǫ = r a r p r p + r a (73) r p = 1 ǫ r a 1 + ǫ (74)

Za primer Plutona izračunamo: a P = r p + r a 2 Tretji Keplerjev zakon nam pove: Rešene naloge iz astronomije - I. el 19 = 39.5 a.e. (75) ǫ P = r a r p r p + r a = 0.248 (76) GM 4π 2 = a3 P P 2 P = a3 Z PZ 2, kjer smo v zanjem koraku upoštevali, a velja tui zemljin tir okoli Sonca. Izrazimo perioo Plutona: ( ap ) 3 ( 2 39.5 a.e. ) 3 2 P P = P Z = 1 leto = 248.25 let 1 a.e. Upoštevamo rugi keplerjev zakon, ki pravi, a je ploščinska hitrost konstantna: r p v p = r a v a. Izrazimo na primer hitrost v periastronu kot: v p = ra r p v a. Zapišemo energijski zakon (celotna energija je sestavljena iz kinetične in potencialne, µ = m 1 m 2 /(m 1 + m 2 ) je reucirana masa sistema (?)), ki pravi, a se celotna energija ohranja. V periastronu in afeliju tako velja: 1 2 µv2 p GMµ = 1 r p 2 µv2 a GMµ. r a Upoštevamo zvezo me v p in v a ter kaj je ǫ in obimo: GM 1 ǫ v a = a 1 + ǫ = 3.7 kms 1 (77) v p = r a GM 1 + ǫ v a = r p a 1 ǫ = 6.1 kms 1 (78) 6. Iz tabel preberemo, a ima planet Mars veliko polos tira a = 1.5237 a.e. in ekscentričnost tira ǫ = 0.0934. Kolikšna je njegova oaljenost v periheliju in kolikšna v afeliju? Za koliko ostotkov se razlikujeta? Iz izrazov 5 obimo: r p = a(1 ǫ) = 1.3814 a.e. (79) r a = a(1 + ǫ) = 1.6660 a.e. (80) r r = r a r p (r a + r p )/2 = 2ǫa = 2ǫ = 0.187 a (81)

20 A.G. 7. Prekrivalni vojni sistem zvez je oaljen =5 kpc. Veliki polosi elips sta α 1 = 8 10 3 in α 2 = 2 10 3, perioa gibanja pa 158 let. Izmerili so, a svetlejša zveza potuje čez rob šibkejše t 1 =50 ur in jo v celoti zakriva t 2 =120 ur. Kolikšni sta masi in polmera zvez? Iz spektrov so ugotovili, a je temperatura šibkejše zveze T 1 = 6000 K in temperatura svetlejše T 2 = 10.000 K. Kolikšna je magnitua sistema, ko ni mrka, in kolikšna me primarnim in sekunarnim mrkom? Naviezna magnitua Sonca je m = 27. V vojnem sistemu velja: α 1 α 2 = a 1 a 2 = M 2 M 1 = 4 (82) Velika polos sistema je a = a 1 +a 2 = (α 1 +α 2 ) = 7, 48 10 12 m= 50 a.e. Iz Tretjega Keplerjevega zakona izračunamo skupno maso M = M 1 +M 2. Za lažje računanje uporabimo poatke zemljo in zapišemo zemljo in obravnavani sistem: G 4π 2 = a3 Z P 2 Z M = a3 P 2 M. Slei, a je M = ( a ) 3 ( PZ P )2 M = 5M. To in enačba 7 nam a masi zvez: M 1 = 1M, M 2 = 4M. Polmere oločimo iz poatkov o trajanju mrka. Ker je M 2 > M 1 lahko pričakujemo, a zveza 2 svetlejša. Iz poatka, a svetlejša zveza v celoti zakriva šibkejšo, sklepamo, a je R 2 > R 1. Relativna hitrost zvez (ene glee na rugo) je: v = v 1 +v 2 = 2πa P = 9460 m/s, kjer smo v prezanjem koraku privzeli, a se gibljeta po krožnicah. Iz t 1, časa potovanja svetlejše zveze čez rob šibkejše, obimo polmer šibkejše zveze: v = 2R1 t 1 R 1 = vt 1 2 = 8, 5 10 8 m= 1, 2R. Polmer večje zveze obimo iz naslenjega razmisleka: a se večja zveza premakne za 2R 2, traja t 2 (čas popolnega zakrivanja) plus t 1 čas potovanja čez rob. Slei, a je: R 2 = v(t1+t2) 2 = 2, 9 10 9 m= 4, 1R. Izračunajmo gostoto svetlobnih tokov s posamezne zveze, pri tem privzamemo, a svetita kot črni telesi: j 1 = P 1 4π 2 = σt 1 4 ( 4πR2 1 4π 2 = σt1 4 R1 ) 2 = 2, 24 10 15 W/m 2 (83) ( j 2 = σt2 4 R2 ) 2 = 9, 56 10 14 W/m 2 (84) Za Sonce vemo, a ima naviezno magnituo m = 26, 8, polmer 7 10 8 m, površinsko temperaturo okrog 6000 K in je na razalji 1 a.e. Gostota svetlobnega toka s Sonca je:

Rešene naloge iz astronomije - I. el 21 ( R j = σt 4 1 a.e. ) 2 = 1600 W/m 2 (85) Seaj izračunamo skupno magnituo zvez z uporabo Pogsonovega zakona in vrenostmi za Sonce. Opozorilo: magnitue posameznih zvez ne smemo kar sešteti! Seštevajo se gostote svetlobnih tokov: j skup = j 1 + j 2 = 9, 79 10 14 W/m 2 (86) m skup = M V 2, 5 log 10 j skup j = M V + 40, 5 = 13, 53 (87) Ko večja zveza zakrije manjšo je sekunarni mrk in takrat prejemamo le j 2, magnitua pa je : m mrk,sek = M V 2, 5 log 10 j 2 j = 13, 56. V primarnem mrku manjša zveza zakrije večjo, bolj vročo. Skupna gostota svetlobnega toka in magnitua sta: j skup = j 1 + j 2 = j 1 + σt 4 2 2 (R2 2 R2 1 ) = 8, 06 10 14 W/m 2 (88) m mrk,prim = M V 2, 5 log 10 j skup j = 13, 74 (89) 8. V sistemu 2M1207, ki je o nas aaljen = 60 pc, so prvič neposreno vieli planet zunaj našega Osončja (glej sliko). Ugotovili so, a se okrog rjave pritlikavke z maso M = 0.025M giblje planet z maso pet Jupitrovih mas (M Jup = 318M Zemlje ), razaljo me njima pa viimo po kotom α = 778 mili ločnih sekun. Prepostavi, a zveza in planet krožita okrog skupnega težišča in a so ju fotografirali, ko sta bila najbolj oaljena. Izračunaj: a) kolikšna je perioa njunega gibanja? b) s kakšno hitrostjo se giblje zveza in s kakšno hitrostjo planet? Vsota velikih polosi sistema je: M = 0.025M = 5 10 28 kg (90) M p = 5M J = 1590M Z = 9.54 10 27 kg (91) a = a 1 +a 2 = α = 778 10 3 1 3600 π 180 60 3.08 1016 m = 6.98 10 12 m a) Tretji Keplerjev zakon pravi: P 2 = 4π2 G a 3 (M + M p ) = 3.38 1021 s P = 5.81 10 10 s = 1844 let

22 A.G. b) Ob prepostavki, a zveza in planet krožita, lahko zapišemo, a je perioa oziroma hitrost kroženja(?): P = V težiščnem sistemu je: m m p = vp v 2πa v + v p v + v p = 2πa P = 754.8 ms 1. v = v + v p 1 + m m p in slei: = 121 ms 1 (92) v p = m m p v = 634 ms 1 (93)