Libracija Lune. Alexander Jerman, Domen Mlakar, Milan Grkovski, Gabriela Hladnik
|
|
- Ερατώ Γαλήνη Καραβίας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Libracija Lune Alexander Jerman, Domen Mlakar, Milan Grkovski, Gabriela Hladnik 8. september 006
2 Gibanje Lune 1. Libracija Pojem libracija prihaja iz latinskega glagola libro -are "uravnotežiti, nihati"(tudi libra "tehtnica"), in pomeni počasno nihanje (lahko tudi samo navidezno). V astronomiji je to navadno nihanje satelita, ki ga opazujemo iz telesa, okoli katerega satelit kroži. V našem primeru torej opazujemo libracijo - navidezno nihanje Lune za opazovalca na Zemlji. Zaradi medsebojnega vpliva sta orbitalna perioda in lunin obrat okoli svoje osi točno usklajena, toda libracija nam omogoča, da z Zemlje vidimo več kot le polovico luninega površja (59%). Poznamo tri vrste libraicje. Višinska libracija (libration in latitude), je navidezno nihanje Lune, ki ga povzroči dejstvo, da je lunina os vrtenja nagnjena na ravnino orbite okoli Zemlje. To je ista stvar kot nagnjenost zemeljske osi na ekliptiko, zaradi česar poznamo letne čase. Širinska libracija (libration in longitude). Luna navidezno niha zaradi eliptične orbite, po kateri Luna potuje okoli Zemlje. Zaradi tega vrtenje Lune nekaj časa prehiteva, nekaj časa pa zaostaja za luninim položajem, saj se Luna po eliptični orbiti ne giblje enakomerno. Naša naloga je bila opazovati to libracijo po širini. Dnevna libracija (diurnal libration) je navidezno nihanje, posledica položaja na Zemlji, s katerega opazovalec gleda Luno. Ker Luna in Zemlja dnevno krožita, se s tem premika tudi položaj opazovalcana Zemlji glede na Luno. Ta libracija je najmanjša.. Newtonov zakon Najprej iz Newtonovega zakona in zakonov o ohranitvi energije ter gibalne količine izpeljimo orbito, po kateri se giblje satelit okoli Zemlje. F 1 = Gm 1m r 1 = F 1 (1) Če vpeljemo x c = m1x1+mx m 1+m, µ = m1m m 1+m, ter enačbi seštejemo in odštejemo, dobimo: (m 1 + m )ẍ c = F 1 + F 1 = 0 in r = F µ. Ker smo definirali reducirano maso µ, sedaj postavimo gibalno količino sistema: p = µ r, torej je vrtilna količina l = r p = r (µ r) = µ( r r) Vidimo da je d l dt = µ( r r + r r) = r µ r = r F, ker pa so sile d centralne, sledi da je: l dt = 0, torej je vrtilna količina l = r p = konst. () Poglejmo si še, kaj se dogaja z energijo (oz. kako se do nje dokopljemo). Zakon, ki nam uravnava gibanje, lahko zapišemo takole: µ r = Gm 1m r r. 3 1
3 Sledimo nekaj identitetam: r + c r r = 0 / r, c = Gm 1m 3 µ r r ( + c r r r = 0 3 d 1 r ) dt + c r r r = 0 ( 3 d 1 r ) ( dt d c ) dt r = 0 ( d 1 r ) dt c r = 0, to pa nam da 1 r c = ξ, (3) r ξ konstanta, in iz enot vidimo, da je to specifična energija, t.j. energija na enoto mase našega sistema. Sedaj, nas zanima oblika poti, po kateri se telesi gibljeta, zato zopet izhajamo iz gibalne enačbe: F r = µ. F je centralna sila, zato je z njo (v polarnih koordinatah) povezan samo radialni del r, ki se glasi: r = r r ϕ. Iz že prej napisanega ohranitvenega zakona za gibalno količini napišemo L = r (µ r), kjer podobno učinkuje samo tangencialni del r t = r ϕ, torej L = µr ϕ. Sledi: F µ = r r r ϕ = r r L µ r = F 4 µ. Uporabimo L = µr ϕ in dobimo dϕ = L µr dt, in sedaj diferencialno enačbo prevedemo ( na ) odvode po ϕ. L L r µr ϕ µr ϕ L µ r = F 3 µ Uvedemo novo spremenljivko u = 1 r,(du = 1 µ u L ) r dr), tako da postane naša enačba (po množenju z u ϕ +u = F µ u L = Gm 1m µ L (spomnimo se da, je sila F (r) = F ( 1 u ) u. Rešitev diferencialne enačbe je u(ϕ) = A cos(ϕ + Φ) + Gm1mµ. Zapišemo lahko enačbo za radij: r(ϕ) = 1 u(ϕ) = 1 Gm 1m µ L + A cos(ϕ + Φ). (4) A in Φ sta integracijski konstanti. Enačbo primerjajmo z splošno enačbo p stožnic: r = 1+ε cos ϕ = a(1 ε ) 1+ε cos ϕ. V (4) vidimo podobnost, zato prepišimo v: Tedaj sta r(ϕ) = L Gm 1m µ 1 + AL Gm 1 m µ p = a(1 ε ) = cos(ϕ + Φ). L Gm 1 m µ, L Φ pa je časovna konstanta. ε = AL Gm 1 m µ,
4 3. Enačbe elipse Radij elipse opišemo p 1+ε cos ϕ = a(1 ε ) (a) s prej navedeno enačbo stožnic: r = 1+ε cos ϕ, kjer je ϕ kot med perihelijem, goriščem in točko na elipsi - prava anomalija. (b) v kartezičnem kootdinatnem sistemu: vzemimo da je E središčni kot - textbfekscentrična anomalija. Tedaj opišemo (glej sliko) radij-vektor elipse r = (a cos E e, b sin E), e je goriščna razdalja. 4. Odvisnost kotov E in ε Najprej izračunamo odvisnost kota ϕ od kota E. Nato izračunamo odvisnost E = E(t) in uporabimo zvezo med E in ϕ. Na koncu bomo izrazili r kot sestavljeno funkcijo r = r(e(ϕ(t))) = r(t). Najprej izrazimo dolžino r = r(e): r = b sin E + (a cos E e) = b sin E + a (cos E ε cos E + ε ) = = a cos E a ε cos E + a ε + a sin E e sin E = = a (1 ε cos E + ε (1 sin E)) = a (1 ε cos E + ε cos E) = = a (1 ε cos E) Izrazimo r v obeh oblikah a (1 ε ) (1+ε cos ϕ) = a (1 ε cos E) 1 ε 1+ε cos ϕ = (1 ε cos E) Uporabimo trik: 1 ε cos E = 1 ε + ε ε cos E = 1 ε + ε(1 cos E) = = 1 ε + ε sin E in tako imamo (1 ε) + ε sin E = (1 + ε)(1 ε) 1 1+ε ε sin ϕ Leva stran in imenovalec na desni strani sta oblike 1 + X sin a. 1 + X sin a = sin a + cos a + X sin a = = cos a + sin a(1 + X) = cos a(1 + tan a(1 + X)) = 1 = 1+tan a (1 + tan a(1 + X)) Prepišimo sedaj to v naš račun in dobimo: kar pa se poenostavi v tan E = 1 ε 1+ε tan ϕ, ε 1 ε tan E 1 + tan E ϕ = arctan = 1 + tan ϕ ε 1+ε tan ϕ, [ ] 1 + ε 1 ε tan E. 1 1 Previdnost pri obravnavanju rešitev trigonometričnih funkcij je tukaj odveč, saj ležita kota E in ϕ vedno v istem kvadrantu. 3
5 5. Časovna odvisnost kota E Sedaj lahko izrazimo r = r(e). Že zgoraj smo ugotovili, da je vrtilna količina konstantna: r p = µ( r r) = L. Uporabimo zapis v kartezičnih koordinatah r = (a cos E e, b sin E) ter r = ( a sin E, b cos E)Ė. Tako postane prejšnji izraz diferencialna enačba: (1 ε cos E)Ė = L µab, rešitev le te pa: E ε sin E = L µab (t t 0) = M M = M(t) ne moremo izraziti z elementarnimi funkcijami, zato jo izračunamo z iteracijo, ki pri majhnem argumentu ε ni dolgotrajna. To naredimo na računalnik, npr. v programu Mathematica 3. Spodnji graf prikazuje obnašanje kota E v času za ε = 0.6. kote M Slika 1: E = E(M), ε = 0.6. Slednjo odvisnost preverimo tako, da zapišemo radij r v kartezičnem koordinatnem sistemu ( ) cos ϕ r = (1 cos E). sin ϕ Ker poznamo odvisnost E(t) in ϕ(e), lahko izračunamo r(t). To narišemo in dobimo približno spodnjo sliko Libracija Lune Končno imamo pripravljene podatke, ki jih potrebujemo: r(t) Poznamo vrtenje Lune: v vsakem luninem letu se zgodi tudi en lunin dan. (To pomeni, da traja obrat Lune okoli osi natanko toliko časa 5, kolikor traja lunino potovanje okoli Zemlje.) Predpostavimo, da se Luna vrti krožno enakomerno. Predpostavimo: - V času opazovanja se lunina orbita glede na Zemljo ne obrača. 6 M se v splošnem imenuje srednja anomalija 3 Poglej matematični zvezek libracija.nb : auxkote in kote. 4 Poglej matematični zvezek libracija.nb : radvec in radij. 5 T = 7.31 dni 6 V resnici se orbita obrača, saj na Luno močno vpliva tudi sonce. Precesijska perioda lunine orbite je P 19let 4
6 - Os luninega vrtenja je pravokotna na ravnino kroženja okoli Zemlje. 7 - Predstavljamo si, da stojimo v središču Zemlje. 8 Ob teh predpostavkah zlahka izračunamo kot med zveznico Zemlja-Luna. Če je lunina os pravokotna na njeno orbito okoli Zemlje, se točke na sliki luninega površja premikajo le levo in desno (ne pa gor in dol). Na luninem površju si izberemo točko, in v njej vektor, ki nam opisuje vrtenje na luninem površju: ( ) cos ωl t r Luna =, pri čemer je ω sin ω l t l krožna frekvenca Lune ( π T ). Tedaj je kot med vektorjema radij Zemlja-Luna in obrazom 7 V resnici je lunnina os na ravnino kroženja nagnjena za α = Ker seveda nismo v središču, ampak nekje v obsegu polmera Zemlje, razdalja Zemlja-Luna pa je približno 57 polmerov zelje, smo se tem zanemarili napako β Slika : r(t). Slika 3: α je kot med radij-vektorjem in obrazom Lune. 5
7 Lune kot α na sliki. Izračunamo ga preprosto z skalarnim produktom: Kot α je torej: r Luna r = r Luna r cos α. α = arccos r Luna r r Luna r. Nazorno si vse skupaj lažje predstavljamo, če pustimo, da računalnik izračuna in nariše sliko Α t Slika 4: Teoretična napoved libracijskega kota za ε = Poglej matematični zvezek libracija.nb : lunaobraz, lunaobrazsmer in alfa. 6
8 Meritve 1. Priprave Po premisleku (in pogovoru s pristojnimi) smo se odločili, da Lune ne bomo slikali na teleskopu Vega, pač pa bomo slikanja naredili s fotoaparatom. Razlog za to je bila predvsem zasedesost teleskopa, za naše opazovanje pa smo rabili čimveč slik, kar ni šlo v urnik na Golovcu. Vseeno smo imeli zadovoljivo opremo, in si zadali cilj - slikati Luno vsak dan v mesecu. Razdelili smo si tedne v katerih je vsak iz skupine slikal Luno, pred tem pa se nekajkrat dobili in skupaj preizkusili opremo in se nanjo navadili. Pred slikanjem smo na pogledali kdaj je Luna vidna na našem delu neba.. Slikanje Luno smo slikali po sledečem postopku. Najprej smo nastavili najboljše gorišče. V ta namen smo v čimkrajšem času poslikali serijo slik Lune pri različnih goriščnih razdaljah, nato pa na zaslonu digitalnega fotoaparata primerjali ostrino slik. S tem smo izbrali za trenutne pogoje najboljšo nastavitev teleobjektiva. Za slikanje smo seveda uporabili stativ. Pri vsakem slikanju Lune smo poskušali Luno ujeti na sredino slike. Da bi dobili kar se da ostre slike luninega površja, smo nato Luno slikali pri različnih časih zaslonke (ISO speed 400, aperture F0). Iz teh serij slik smo šele na velikem zaslonu (PC) izbrali najboljši posnetek. Pri slikanju Lune nam je ponagajalo vreme. Tako smo dobili slike le na datume: , , , , , , 09.06, 11.06, Manjajo nam predvsem Lune zadnjega krajca, nekaj slik pa je tudi hudo slabe kvalitete (megla). Na nekatere jasne noči je bila Luna prenizko nad obzorjem, da bi jo slikali (iz Ljubljane). 3. Obdelava slik in meritve Na računalniku smo izbrali najboljše slike Lune na posamezen datum, nato pa jih v programu za urejanje slik obdelali. Ker smo se zanimali le za libracijo po širini, smo vse slike obrnili v enak položaj. S tem smo hkrati odpravili problem zvrnjenih slik. Med obdelavo slik smo slike razbarvali (desaturate), ter jim popravili kontrast in barvne krivulje (levels/histogram). 7
9 8
10 Slika 5: Obdelane Na slikah smo izbrali nekaj prepoznavnih točk (kraterjev, lis), ki so se pojavljali na več slikah. To je potrebno zato, da smo lahko opazovali navidezno premikanje oziroma obračanje Lune na slikah z Zemlje. Nato smo s pripomočki na računalniku premerili potrebne podatke kar v slikovnih točkah (pixels). Podatke smo pretvorili v kot, ki ga točka na površini Lune (na sliki) oklepa z ravnino ki jo definirata premica Zemlja-Luna in (predpostavljeno) nanjo pravokotna os vrtenja Lune. Kako smo to storili, kaže spodnja slika. x ϕ = arcsin R cos arcsin y R 9
11 Slika 6: Izbrane točke na sliki luninega površja in izmerjeni podatki. Slika 7: Iz treh luninih projekcij izračunamo kot, ki ga oklepa točka na površju. 10
12 4. Rezultati 1. točka na luninem površju slika R [px] x [px] y [px] ϕ CRW_9656.png , CRW_9690.png 197, ,7 CRW_9703.png 197, ,3 CRW_9715.png ,7 CRW_9744.png 193, ,6 CRW_9773.png 197, ,4 CRW_9774.png 196, ,6 CRW_9779.png 01, ,6 CRW_9780.png 06, ,4 CRW_9786.png ,4. točka na luninem površju slika R [px] x [px] y [px] ϕ CRW_9656.png 196 / / / CRW_9690.png 197, ,9 CRW_9703.png 197,5 7 11,6 CRW_9715.png ,8 CRW_9744.png 193,5 / / / CRW_9773.png 197, , CRW_9774.png 196, ,1 CRW_9779.png 01, ,4 CRW_9780.png 06,5 8 13,8 CRW_9786.png ,8 To so v grobem prvi podatki. To nam da spodnji prikaz v časovni skali. Α Α t dan t dan Slika 8: Modra in rdeča kažeta libracijo dveh različnih točk na Luni. Slika ni dokončna, manjkata nam ocena napake in primerjava s teoretično krivuljo. Šele potem lahko sklepamo na pravilnost teoretične napovedi. Vseeno vidimo nakazano nihanje v času, kar nam daje upanje na vsaj približno ujemanje s teorijo. Najprej poglejmo napake pri merjenju. 5. Napake Ker obravnavamo libracijo Lune, bomo skušali vse napake izraziti v stopinjah, torej v obliki kota, za katerega smo se zmotili. Tako bodo tudi napake nazorne in predstavljive. 11
13 Za prve napake ki so sistematične narave smo že povedali v zgornjih odstavkih. To so napake, ki so posledica napačnih oziroma poenostavljenih predpostavk. Dnevna libracija - ne stojimo na zveznici Zemlja-Luna ( 1 ), nepravokotnost lunine osi na ravnino kroženja ( 1.5 ). Te napake bomo pri obravnavi podatkov sicer upoštevali, toda ocena prve napake je prevelika, saj smo redko slikali Luno, ko smo bili - glede na Luno - na robu Zemlje, nagnjenost lunine osi pa se kaže v libraciji po širini, in ne vpliva veliko na napako naše meritve. Vseeno bodimo pozorni na ta dva prispevka. Bolj pozorno si poglejmo napake, ki so posledica računanja kota iz slik, ki smo jih posneli. Slike smo obračali, da smo dobili sekvenco slik, ki v vertikalni smeri ni nihala. Tako smo sliko obrnili, ǐn s tem pridobili napako, saj v resnici Luna niha tudi navpično. Zaradi tega in zaradi nenatančnosti obračanja smo ocenili napako na 4 slikovne pike. Pri meritvi položaja kraterja smo si izbrali natančno določen del kraterja, in na vseh slikah izmerili navidezni radij Lune (R), in razdaljo izbrane točke od geometrijskih osi (x, y). Merili smo v slikovnih pikah, pri nepopolnih (neokroglih) slikah Lune smo si pomagali tako, da smo čez Luno narisali popoln krog, tako da je obrisal del Lune, ki je bil na sliki. Iz merskih napak (±6 px/meritev) smo s pomočjo odvodov dobili oceno za napako rezultata, ker pa so odvodi precej utrujajoči, smo prepustili nehvaležno delo računalniku. 10 Α prva točka Α druga točka t dan t dan Slika 9: Grafa kazeta libracijo dveh različnih točk na Luni z oceno napake. Ostane nam še, da pogledamo, kako se meritve ujemajo z napovedmi. Preostane nam še, da združimo teoretično sliko in naše meritve. Tokrat pri teoretični napovedi nastavimo dva parametra - t 0 in δ, ki nam povesta, kdaj in kateri del Lune opazujemo. 10 Poglej matematični zvezek libracija.nb : MERITVE in PODATKI 1
14 Α prva točka t dan Α druga točka t dan Slika 10: Primerjava teoretične krivulje z izmerjenimi podatki. 13
15 6. Komentarji rezultatov Če pogledamo zadnji dve sliki, ki nam prikazujeta ujemanje naših meritev in izračunov z napovedjo, ki jo da teoretična podlaga, vidimo ujemanje, ki pa ponekod močno odstopa. Strinjamo se, da smo imeli mnogo premalo podatkov, da bi lahko kvalitativno izločili slabe oziroma očitno napačne meritve, ki so posledica vrtenja in obdelave slik na računaliku. To je po našem mnenju glavni krivec za točke, ki na grafu štrlijo iz linije. Nujno je omeniti dodatno napako (max ) zaradi položaja na Zemlji in nagnjenosti lunine osi. Glavna pomanjklivost naših slik je v tem, da pravzaprav nimamo slik iz spodnjega dela grafa, to pomeni slik zadnjih krajcev Lune. Tako smo dejansko poslikali (x) le debeljenje Lune, ne pa tudi crkovanja. Omeniti moramo, da smo meritve izvedli na navpično poravnanih slikah (oblike Lune C O D ) in ne na slikah, ki so priložene (pravzaprav so slike iste, le drugače so obrnjene). Dejstvo, da nimamo nekaterih položajev Lune, je vidno na grafu in močno oslabi naše vedenje o pravilnosti predpostavk oziroma o natančnosti meritev. Tako lahko le na podlahi dveh nakazanih vrhov nastavimo parametre za uskljajevanje (fitting). Mislimo, da nam je zadana naloga uspela, saj je na slikah razločno videti nihanje oziroma libracijo točk na luninem površju. Žal nam je, da nismo poslikali več slik (zadali smo si slikanje Lune vsak dan), saj je ravno pomanjkanje slik okrnilo naše meritve, ki bi bile lahko dosti bolj prepričljive. Vseeno smo veseli našega uspeha. 14
16 Oprema - Fotoparat: Canon EOS 300D DIGITAL - Objektiv: Carl Zeiss Jena Fernobjektiv 8/500 - stativ za fotoaparat - PC, programska oprema za obdelavo slik (GIMP, Photoshop) 15
17 Lunina izkaznica Obseg orbite,413,40 km (0.016 AU) Ekscentričnost Perihelij km (0.004 AU) Ahelij km (0.007 AU) Povp. oddaljenost km Siderealna perioda d (7 d 7 h 43. min) Sinodična perioda d (9 d 1 h 44.0 min) Povp. orbitalna hitrost 1.0 km/s Max. orbitalna hitrost 1.08 km/s Min. orbitalna hitrost km/s Inklinacija se spreminja med 8.60ř in 18.30ř ( ř na ekliptiko) Perioda pomladišča 18.6 let Perioda kot med pomladiščem in perihelijem v orbitalni ravnini 8.85 let Fizikalne lastnosti Premer na ekvatorju 3,476. km (0.73 Zemlje) Premer na polih 3,47.0 km (0.73 Zemlje) Stisnjenost Površina km (0.074 Zemlje) Volumen km 3 (0.00 Zemlje) Masa kg (0.013 Zemlje) Povprečna gostota 3,346. kg/m 3 Gravitacijski pospešek na ekvatorju 1.6 m/s, ( g) Ubežna hitrost.38 km/s 1 Rotacijska perioda d Rotacijska hitrost km/h 1 (na ekvatorju) Nagnjenost osi Albedo 0.1 Magnituda Temperatura na površju min. 40 K/povp. 50 K/max. 396 K 16
Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραNajprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki:
NALOGA: Po cesi vozi ovornjak z hirosjo 8 km/h. Tovornjak je dolg 8 m, širok 2 m in visok 4 m in ima maso 4 on. S srani začne pihai veer z hirosjo 5 km/h. Ob nekem času voznik zaspi in ne upravlja več
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραcot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.
TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij
Διαβάστε περισσότεραAfina in projektivna geometrija
fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότεραp 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραPROCESIRANJE SIGNALOV
Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραDržavni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 12. junij 2015 SPLOŠNA MATURA
Državni izpitni center *M543* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek,. junij 05 SPLOŠNA MATURA RIC 05 M543 M543 3 IZPITNA POLA Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραFazni diagram binarne tekočine
Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,
Διαβάστε περισσότεραDržavni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA
Državni izpitni center *M16141113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek, 1. junij 16 SPLOŠNA MATURA RIC 16 M161-411-3 M161-411-3 3 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor
Διαβάστε περισσότεραUPOR NA PADANJE SONDE V ZRAKU
UPOR NA PADANJE SONDE V ZRAKU 1. Hitrost in opravljena pot sonde pri padanju v zraku Za padanje v zraku je odgovorna sila teže. Poleg sile teže na padajoče telo deluje tudi sila vzgona, ki je enaka teži
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike uvod
Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραSlika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici.
4. poglavje: Sile 5. Cestna svetilka visi na sredi 10 m dolge žice, ki je napeta čez cesto. Zaradi teže svetilke (30 N) se žica za toliko povesi, da pride sredina za 30 cm niže kot oba konca. Kako močno
Διαβάστε περισσότεραTransformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II
Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.
Διαβάστε περισσότεραPOROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL
POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL Izdba aje: Ljubjana, 11. 1. 007, 10.00 Jan OMAHNE, 1.M Namen: 1.Preeri paraeogramsko praio za doočanje rezutante nezporedni si s skupnim prijemaiščem (grafično)..dooči
Διαβάστε περισσότεραKvantni delec na potencialnem skoku
Kvantni delec na potencialnem skoku Delec, ki se giblje premo enakomerno, pride na mejo, kjer potencial naraste s potenciala 0 na potencial. Takšno potencialno funkcijo zapišemo kot 0, 0 0,0. Slika 1:
Διαβάστε περισσότεραNaloge iz vaj: Sistem togih teles C 2 C 1 F A 1 B 1. Slika 1: Sile na levi in desni lok.
1 Rešene naloge Naloge iz vaj: Sistem togih teles 1. Tročleni lok s polmerom R sestavljen iz lokov in je obremenjen tako kot kaže skica. Določi sile podpor. Rešitev: Lok razdelimo na dva loka, glej skico.
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραKotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek.
DN#3 (januar 2018) 3A Teme, ki jih preverja domača naloga: Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότερα3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z.
3. VAJA IZ TRDNOSTI (tenzor deformacij) (pomiki togega telesa, Lagrangev in Eulerjev opis, tenzor velikih deformacij, tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) NALOGA 1: Gumijasti
Διαβάστε περισσότεραMERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9
.cwww.grgor nik ol i c NVERZA V MARBOR FAKTETA ZA EEKTROTEHNKO, RAČNANŠTVO N NFORMATKO 2000 Maribor, Smtanova ul. 17 Študij. lto: 2011/2012 Skupina: 9 MERTVE ABORATORJSKE VAJE Vaja št.: 4.1 Določanj induktivnosti
Διαβάστε περισσότερα7. VAJA IZ MEHANIKE TRDNIH TELES. (tenzor deformacij II) (tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji)
7. VAJA IZ MEHANIKE TRDNIH TELES (tenzor deformacij II) (tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) NALOGA 1: Pomik deformabilnega telesa je glede na kartezijski koordinatni sistem
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραLADISK Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij. Višja dinamika. Rešene naloge iz analitične mehanike. Dr. Janko Slavič. 22.
Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo LADISK Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij Višja dinamika Rešene naloge iz analitične mehanike Dr. Janko Slavič 22. avgust 2012 Zadnja različica
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραDinamika kapilarnega pomika
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO Goran Bezjak SEMINARSKA NALOGA Dinamika kapilarnega pomika Mentor: izr. prof. dr. Gorazd Planinšič Ljubljana, december 2007 1 Povzetek
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραSATCITANANDA. F = e E sila na naboj. = ΔW e. Rudolf Kladnik: Fizika za srednješolce 3. Svet elektronov in atomov
Ruolf Klnik: Fizik z srenješolce Set elektrono in too Električno olje (11), gibnje elce električne olju Strn 55, nlog 1 Kolikšno netost or releteti elektron, se njego kinetičn energij oeč z 1 kev? Δ W
Διαβάστε περισσότεραČe je električni tok konstanten (se ne spreminja s časom), poenostavimo enačbo (1) in dobimo enačbo (2):
ELEKTRIČNI TOK TEOR IJA 1. Definicija enote električnega toka Električni tok je gibanje električno nabitih delcev v trdnih snoveh (kovine, polprevodniki), tekočinah ali plinih. V kovinah se gibljejo prosti
Διαβάστε περισσότεραDomača naloga 6: dušeno nihanje
Domača naloga 6: dušeno nihanje Vaje iz predmeta Numerične metode v fiziki Igor Grešovnik Kazalo: 1 Naloga 6a Nihanje... 1.1 Enačbe nihanja... 1. Numerično reševanje problema... 3 1..1 Reševanje sistema
Διαβάστε περισσότεραZajemanje merilnih vrednosti z vf digitalnim spominskim osciloskopom
VSŠ Velenje ELEKTRIČNE MERITVE Laboratorijske vaje Zajemanje merilnih vrednosti z vf digitalnim spominskim osciloskopom Vaja št.2 M. D. Skupina A PREGLEDAL:. OCENA:.. Velenje, 22.12.2006 1. Besedilo naloge
Διαβάστε περισσότεραKLASIČNA MEHANIKA. Peter Prelovšek
KLASIČNA MEHANIKA Peter Prelovšek 2. junij 2013 2 Kazalo 1 Newtonova mehanika 7 1.1 Izhodišča, meje in osnove klasične mehanike.......... 7 1.1.1 Osnovni pojmi...................... 7 1.1.2 Newtonovi zakoni.....................
Διαβάστε περισσότεραDefinicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f.
Nedoločeni integral V tem razdelku si bomo pogledali operacijo, ki je na nek način inverzna odvajanju. Za dano funkcijo bomo poskušali poiskati neko drugo funkcijo, katere odvod bo ravno dana funkcija.
Διαβάστε περισσότεραMLADINSKI ASTRONOMSKI TABOR
Marko Pust Aram Karalič MLADINSKI ASTRONOMSKI TABOR Zveza za tehnično kulturo Slovenije Ljubljana 2001 2 Kazalo I Nekaj astronomskih projektov 15 1 Vaje za ogrevanje 19 1.1 Spoznavanje ozvezdij..............................
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραMehanika. L. D. Landau in E. M. Lifšic Inštitut za fizikalne naloge, Akademija za znanost ZSSR, Moskva Prevod: Rok Žitko, IJS
Mehanika L. D. Landau in E. M. Lifšic Inštitut za fizikalne naloge, Akademija za znanost ZSSR, Moskva Prevod: Rok Žitko, IJS 2. januar 2004 Kazalo 1 Gibalne enačbe 4 1 Posplošene koordinate...............................
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
Διαβάστε περισσότεραENOTE IN MERJENJA. Izpeljana enota je na primer enota za silo, newton (N), ki je z osnovnimi enotami podana kot: 1 N = 1kgms -2.
ENOTE IN MERJENJA Fizika temelji na merjenjih Vsa važnejša fizikalna dognanja in zakoni temeljijo na ustreznem razumevanju in interpretaciji meritev Tudi vsako novo dognanje je treba preveriti z meritvami
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo
Διαβάστε περισσότεραOcenjevanje oddaljenosti Lune
Kajuhova ulica 2 3000 Celje Ocenjevanje oddaljenosti Lune Astronomija Raziskovalna naloga Mentor: Roman Ocvirk, inž. str. Avtor: Krištof Skok, 2. a Srečanje mladih raziskovalcev Slovenije Celje, marec
Διαβάστε περισσότερα- Geodetske točke in geodetske mreže
- Geodetske točke in geodetske mreže 15 Geodetske točke in geodetske mreže Materializacija koordinatnih sistemov 2 Geodetske točke Geodetska točka je točka, označena na fizični površini Zemlje z izbrano
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolju Okolje (I. stopnja) Meteorologija 2013/2014. Energijska bilanca pregled
Univerza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolu Okole (I. stopna) Meteorologia 013/014 Energiska bilanca pregled 1 Osnovni pomi energiski tok: P [W = J/s] gostota energiskega toka: [W/m ] toplota:q
Διαβάστε περισσότεραPOLINOMI ČETRTE STOPNJE IN ZLATI REZ
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Smer (Matematika UN-BO) - 1. stopnja Belma Delić POLINOMI ČETRTE STOPNJE IN ZLATI REZ Delo seminarja 1 Mentor: prof. dr. Milan Hladnik Ljubljana,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA: sinopsis predavanj v šolskem letu 2003/2004
MEHANIKA: sinopsis predavanj v šolskem letu 2003/2004 NTF, Visokošolski strokovni program KINEMATIKA 18. 2. 2004 Osnovne kinematične količine.: položaj r, hitrost, brzina, pospešek. Definicija vektorja
Διαβάστε περισσότεραVaja: Odbojnostni senzor z optičnimi vlakni. Namen vaje
Namen vaje Spoznavanje osnovnih fiber-optičnih in optomehanskih komponent Spoznavanje načela delovanja in praktične uporabe odbojnostnega senzorja z optičnimi vlakni, Delo z merilnimi instrumenti (signal-generator,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότερα1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE
1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE A) Splošna oblika Definicija 1 : Naj bodo a, b in c realna števila in a 0. Realno funkcijo: f : x ax + bx + c imenujemo kvadratna funkcija spremenljivke x v splošni
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραPoglavje 3. Gibanje v treh dimenzijah
Poglavje 3 Gibanje v treh dimenzijah Posplošimo dosedanja spoznanja na trorazsežni prostor. Valovna fukcija je tedaj odvisna od treh koordinat in časa, Ψ (x, y, z, t). Njen absolutni kvadrat je gostota
Διαβάστε περισσότερα