UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO Goran Bezjak SEMINARSKA NALOGA Dinamika kapilarnega pomika Mentor: izr. prof. dr. Gorazd Planinšič Ljubljana, december 2007 1
Povzetek V seminarju bo obravnaval položaj tekočine v kapilari v odvisnosti od časa, vendar se bom za lažjo obravnavo osredotočil na tanko cevko, ki jo bom sprva obravnaval v vodoravni legi in pokazal, da je pot sorazmerna s korenom iz časa. Nato bom obravnaval še gibanje tekočine v vertikalni kapilari, ki je povezano s številnimi pojavi. Kazalo 1 Uvod 3 2 Površinska napetost 4 3 Kapilarni dvig 6 4 Dinamika kapilarnega pomika v vodoravni kapilari 8 5 Dinamika kapilarnega pomika v navpični kapilari 11 6 Zaključek 13 2
1 Uvod Pojav, ko nam poplava v stanovanju omoči stene nekaj deset centimetrov visoko, je ljudem skoraj normalen, ker so se ga navadili. Podobno je, ko se nam polna skodelica jutranje kave ali čaja prevrne po časopisnem papirju in se voda počasi razleze čez ves papir. Ampak ti pojavi nam v sebi skrivajo preprosto vprašanje: Kako hitro se tekočina premika po porozni snovi? Podobno vprašanje nam zastavijo številni primeri iz vsakdana. Vsakdo, ki je imel kdaj luknjo na podplatu čevlja in je hodil po mokrih tleh, je po nekaj časa občutil mokre nogavice kljub temu, da ni stopil v lužo. Tudi dvigovanje vode v drevesih je nekaj, kar veliko ljudi vidi skozi pojav kapilarnega dviga, čeprav je razlaga veliko zahtevnejša. Zakaj, bo razvidno, ko bomo raziskali dinamiko kapilarnega pomika. 3
2 Površinska napetost Površina tekočine se v določenih pogledih obnaša kot napeta opna. To obnašanje lahko razložimo z mikroskopsko sliko. Na molekulo, ki se nahaja nekje znotraj tekočine delujejo kohezijske sile med sosednjimi molekulami. To so Wan Der Waalsove sile. Potencial ima pri določeni medmulekulski razdalji minimum; če približamo molekuli pod to razdaljo, deluje odbojna sila, če ju oddaljimo, pa privlačna sila. V tekočini delujejo na izbrano molekulo kohezijske sile v vseh smereh, torej je rezultanta enaka nič. Molekula nekje na površini tekočine čuti le kohezijsko silo molekul pod njo, zato je rezultanta kohezijskih sil usmerjena navzdol (pravokotno na gladino). Zato so molekule na površini v povprečju rahlo bližje sosedam pod njo, kot molekule globlje v tekočini. V prečni smeri so molekule na površini v povprečju nekoliko bolj razmaknjene kot molekule v globini [1]. Molekule na površini pritiskajo na tekočino in tako skušajo zmanjšati celotno površino tekočine ( zato se npr. kapljice tekočine v breztežnem prostoru oblikujejo v pravilne kroglice) [2]. Slika 1: Sile na molekulo na površini in v notranjosti kapljevine. Če povečujemo površino tekočine, dosežemo, da dodatne molekule iz notranjosti postanejo površinske molekule. Molekule na površini moramo zato razmakniti s silo v smeri premika, 4
da naredijo prostor za nove molekule. Opravljeno delo gre za povečanje površine tekočine. Sila, ki je potrebna za premik izbrane meje površine je sorazmerna z dolžino meje in je neodvisna od premika x. Razmerje med silo in dolžino meje je odvisno le od izbrane tekočine, zato je smiselno definirati količnik F γ = (1) l kot površinsko napetost tekočine (enota N/m). Ko povečamo površino tekočine, opravimo delo. Pri tem prenesemo nekaj molekul iz notranjosti, kjer imajo nižjo potencialno energijo, na površino, kjer imajo višjo energijo. Dodatna površina predstavlja zalogo energije. Zato vpeljemo površinsko energijo, ki je enaka W = γ S (2) pov V primeru, ko na tekočino ne delujejo zunanje sile (npr. v breztežnem prostoru) zavzame tekočina takšno obliko, ki bo imela pri dani prostornini najmanjšo površino in zato najmanjšo energijo, saj je energija sorazmerna s površino. Zato tekočina tvori obliko krogle [2, 3]. Tekočina Površinska napetost (N/m) Benzen (20 C) 0,029 Kri (37 C) 0,058 Glicerin (20 C) 0,063 Živo srebro (20 C) 0,47 Voda (20 C) 0,073 Voda (100 C) 0,059 Tabela 1: Vrednosti površinske napetosti za nekaj tekočin [2]. 5
3 Kapilarni dvig Doslej smo se zanimali le za mejo med tekočino in plinom. Podobno kot na površini tekočine deluje na molekule tekočine ob steni posode privlak ostalih molekul tekočine le z ene strani. Poleg tega delujejo na tekočinske molekule še privlak molekul (atomov) trdne snovi stene. To so sile med molekulami različnih snovi. Pravimo jim adhezijske sile. V bližini stene deluje na molekulo na površini tekočine rezultanta sil, ki jo lahko razdelimo na dva prispevka: kohezijsko silo ostalih molekul tekočine in adhezijsko silo stene posode (sile med molekulami tekočine in moleklami plina nad tekočino so majhne, zato jih zanemarimo). Če so kohezijske sile močnejše od adhezijskih, kaže rezultanta sil stran od stene. Pravimo, da v tem primeru tekočina stene ne moči (θ>90 ). Če pa so sile šibkejše od adhezijskih, kaže rezultanta sil k steni in tedaj tekočina omoči steno (θ<90 ) (glej sliko 2). Slika 2: Če so kohezijske sile večje od adhezijskih, tekočina stene ne moči (slika na levi). Če prevladajo adhezijske sile, tekočina steno moči (slika na desni). Z F R je označena rezultanta sil. Če sta sili enaki, je gladina tekočine pravokotna na steno posode. 6
Gladina bo zavzela takšno lego, da bo pravokotna na rezultanto omenjenih sil, saj tekočina ne prenaša strižnih sil. Izbrana kombinacija snovi tekočina-trda snov določa razmerje med kohezijskimi in adhezijskimi silami in s tem kot omočitve θ [2]. Sila površinske napetosti deluje na mejo tekočine ob steni posode. V primeru, ko tekočina omoči steno kapilare, deluje komponenta sile površinske napetosti navpično navzgor. Tlak pod površino tekočine znotraj cevke postane zato manjši od zunanjega tlaka. Tlačna razlika začne poganjati tekočino po cevki. V primeru, da je cevka navpično postavljena, se tekočina dviguje vse dokler hidrostatski tlak vodnega stolpca nad gladino ostale tekočine ne izenači tlačne razlike. Takrat tekočina preneha teči, saj je vsota sil enaka nič. Iz izenačitve sile teže vodnega stolpca in sile površinske napetosti dobimo enačbo za višino kapilarnega dviga 2γ h = (3) ρ gr v Podobno velja za primer, ko tekočina ne moči stene, le da je tedaj h globina za katero se zniža gladina v kapilari. V nadaljevanju nas bo zanimalo kako se gladina tekočine vzdolž vodoravne kapilare pomika s časom. 7
4 Dinamika kapilarnega pomika v vodoravni kapilari Predpostavimo, da je premer kapilare dovolj majhen, da lahko vpliv teže na deformacijo meniskusa v cevi zanemarimo. Poskus izvedemo tako, da na en prosti konec kapilare kanemo kapljico izbrane tekočine. Sila površinske napetosti ustvarja stalno tlačno razliko, ki poganja tekočino vzdolž cevke. Ker pa mora tlačna razlika poganjati vedno večji stolpec tekočine, je sila upora zaradi viskoznosti tekočine tudi vse večja. Uporabimo Poissevilov zakon linearnega upora za pretakanje tekočine po cevi in zapišemo Newtonov zakon. Predpostavimo, da je pospešek tekočine zanemarljivo majhen in prav tako sunek sile, ki je potreben za to, da spravimo v gibanje na novo»posrkano«tekočino. Tako poenostavljen model bo slabo opisal gibanje tekočine na začetku poskusa, ko je v kapilari še malo tekočine in je zato sila upora majhna, pospešek pa velik. Za kasnejše dogajanje pa bo model dober. Izhajajmo iz drugega Newtonovega zakona dg d( mv) dm F = = = v + dt dt dt dv m dt Na levi strani enačbe nastopajo sila površinske napetosti F γ =γ2πr, kjer je 2πr notranji obseg valjaste kapilare in sila linearnega viskoznega upora F η =8πxηv. Tako lahko zapišemo 2 dx dx d x Fγ Fη = ρ S + ρ Sx (5) 2 dt dt dt Kjer prvi člen na desni strani opisuje spreminjanje gibalne količine novo posrkane tekočine, ter drugi člen opisuje spreminjanje (pospeševanje) celotnega stolpca tekočine [3]. Privzamemo lahko, da je pospešek tekočine zanemarljivo majhen in prav tako sunek sile, ki je potreben za to, da spravimo v gibanje na novo»posrkano«tekočino (prispevke bom kasneje podprl s konkretnimi izračuni na primeru). Tako poenostavljen model bo slabo opisal gibanje tekočine na začetku poskusa, ko je v kapilari še malo tekočine in je zato sila upora majhna, pospešek pa velik. Za kasnejše dogajanje pa bo model dober. Člene na desni strani zanemarimo in s tem preverimo dinamiko vodnega stolpca po daljšem času. Enačbo okrajšamo in preuredimo ter jo integriramo. (4) 1 γ r dt = 4η x 0 0 xdx (6) Po integraciji dobimo γ rt x ( t) = (7) 2η 8
Iz enačbe vidimo, da se stolpec vode nikoli ne ustavi (oziroma potuje dokler ne doseže nasprotnega konca kapilare ali dokler ne zmanjka tekočine). Pot je sorazmerna s korenom iz časa, zato je hitrost gibanja stolpca vedno manjša. Naš model lahko preverimo s preprostim poskusom. Na vodoravno podlago pritrdimo milimeterski papir in tanko kapilaro (slika 3). S kapalko kanemo kapljico vode na en konec kapilare in beležimo čase, ko meniskus tekočine prečka določene razdalje. Slika 3: Postavitev poskusa s kapilaro. Meritve poskusa so prikazane na sliki 4. odmik [cm] čas [10-2 s] Slika 4: Graf odmika meniskusa od začetne lege v odvisnosti od časa. 9
S podatkov vidimo korensko odvisnost poti od časa. Kot smo že napovedali, se korenska odvisnost (ki je rešitev poenostavljenega modela) ne ujema z meritvami v začetnih točkah. Po enačbi (7) bi morala biti hitrost na začetku neskončna, kar pa je iz grafa očitno, da ni. Začetno hitrost lahko ocenimo tako, da v enačbi (5) zanemarimo člene, ki vsebujejo x, saj je x na začetku približno nič. Dobimo: γ v = 2 0 rρ (8) Če v enačbo (8) vstavimo podatke za vodo in radij cevke (r 0,2mm), je izračun za začetno hitrost približno 0.3m/s. Hitrost, izmerjena iz grafa, pa je približno 0.4m/s. Iz grafa lahko cenimo še dx/dt po dveh sekundah in dobimo dx/dt 10-2 m/s, kar je veliko manj, kot na začetku. Za d 2 x/dt 2 je rezultat še manjši, in sicer d 2 x/dt 2 10-4 m/s. Če te rezultate vstavimo v enačbo (5), dobimo na desni strani člene reda 10-8. Prav tako lahko izračunamo velikosti sil, ki pa so reda 10-4. Očitno je, da lahko v enačbi (5) člene na desni strani zanemarimo, če se ne omejimo na začetne čase. Iz meritev lahko na primer izračunamo viskoznost tekočine, če poznamo radij cevke, površinsko napetost in kontaktni kot za vodo in steklo. Meritev sem izvedel tako, da sem z video kamero posnel gibanje vode v cevki. Nato sem s pomočjo računalnika odčitaval čas in odmik od začetne leg. Meritev ni bila zelo natančna, ker ni bilo lahko oceniti razdaljo meniskusa v kapilari, saj sem bil omejen na ločljivost posnetka. Ampak namen meritve je bil pokazati korensko odvisnost poti od časa. Če uporabimo namesto vode glicerin, lahko meritev izvedemo s štoparico. 10
5 Dinamika kapilarnega pomika v navpični kapilari Kot smo omenili že v uvodu, se tekočina v kapilari dvigne do točno določene višine. Pri večini znanih laboratorijskih eksperimentov, ki zajemajo dvig tekočine v kapilarnih cevkah, se ne zanimamo za dinamiko dvigovanja gladine stolpca tekočine. Kot bomo spoznali v nadaljevanju, privede reševanje dinamike kapilarnega pomika v vertikalni kapilari do diferencialne enačbe, ki nima analitičnih rešitev. Izhajajmo iz drugega Newtonovega zakona in zapišimo sile na tekočino v navpični kapilari. dg F g + Fγ Fη = (9) dt Na levi strani enačbe nastopajo sila teže, sila linearnega viskoznega upora in sila površinske napetosti. Tako lahko zapišemo dh dh dh ρ Shg + γ 2π r 8π hη = ρ S + dt dt dt 2 d h ρ Sh (10) 2 dt Za poenostavljen model člene na desni strani zanemarimo, kakor pri vodoravni kapilari. Dobimo diferencialno enačbo, ki nima analitičnih rešitev. Ko voda preneha teči, so vsi členi razen prvih dveh enaki 0. Zato je enačba za višino h 0 enaka enačbi (3). Peiris in Tennakone sta predstavila novo in koristno metodo primerno za merjenje viskoznosti η in površinske napetosti γ tekočine s kotom kapilarnosti manjšim od π/2 proti steklu [4]. Poskus naredimo s stekleno kapilarno cevko in merimo višino stolpca tekočine v odvisnosti od časa t. Njuna metoda analize podatkov je, da narišemo graf višine h kapilarnega dviga kot funkcijo časa in grafično določimo naklon dh/dt krivulje v več točkah. Grafična metoda analize podatkov je potrebna zaradi dejstva, da je zveza, ki podaja h kot fnkcijo časa, nerešljiva za h ali dh/dt, če uporabljamo navadna algebrajična orodja. Pokazali bomo, da je eksplicinta rešitev za h in dh/dt možna s pomočjo Lagrangeove razširitve [4]. Naj bo ς = α + β Φ (ς ), (11) kjer sta α in β parametra neodvisna od ζ in Ф(ζ) je dana funkcija od ζ. Potem lahko f(ζ) izrazimo s Ф(ζ) na naslednji način f ( ς ) = f ( α ) + n = 1 n β d n! dα n 1 n 1 n ( f ( α )[ Φ ( α )] ) V posebnem primeru, v katerem f(ζ) = ζ, enačba (12) dobi obliko n= 1 n ([ Φ ( α )] ) (12) n n 1 β d ς = α + n 1, (13) n! dα 11
ki reši enačbo (11) za ζ s pomočjo α in β. Sedaj ta formalizem uporabimo za enačbo (12) Peirisa in Tennakoneja za h kot funkcijo t. Enačba (12) Peirisa in Tennakoneja je h t h = h0 1 exp( ) (14) h0 t0 kjer je v njuni nutaciji h 0 = 2γ/rρg, ρ je gostota tekočine v kapilari, g težni pospešek, γ površinska napetost, r radij cevke in t 0 = 16ηγ/r 3 p 2 g 2 [5]. Naredimo zamenjave za ζ = h/h 0, α=1, β = -exp(-t/t 0 ) in Ф(ζ) = exp(-ζ). Z primerjavo enačbe (11) in (14) ter vstavljanjem njiju v (13) in urejanjem dobimo nt / t0 n 1 n e n e h ( t) = h0 h, (15) n! 0 n = 1 ki je zahtevan izraz za h kot funkcijo t. Z odvajanje enačbe (15) po t dobimo dh dt = h t 0 0 n = 1 e nt / t0 n n e n! n, (16) ki je hitrost višine dviga tekočine v kapilarni cevki povprečena po preseku cevke. Enačbe (15) in (16) lahko uporabimo poljubno, da lahko dobimo vrednosti η in γ od h - t. 12
7 Zaključek Pokazali smo, da je gibanje horizontalne»vodne fronte«sorazmerno s korenom iz časa. Sedaj lahko razumemo, zakaj postaja politi časopisni papir s časom širše omočen. Podobna je razlaga, zakaj moramo počakati nekaj časa, da se voda dvigne nekaj deset centimetrov visoko po zidu. Prav tako bi lahko razumeli, zakaj kapilarni dvig ni odločilen pri dvigu vode v rastlinah. Eden razlog je ta, da četudi bi drevo lahko dvignilo vodo malo nad 100 m višine, bi 100 m visoka drevesa potrebovala veliko časa, da bi voda pritekla do vrha, kar bi bilo neugodno za rastlino v poletnih dneh, skozi katero se pretakajo velike količine vode. Drugi razlog pa izhaja povsem iz strukture rastlin. Cevke, ki jim pravimo ksilem, so v rastlini preširoke, da bi vodo dvignile zelo visoko, saj imajo premer od 10μm do 100μm. Če izračunamo maksimalno višino stolpca vode za te cevke, dobimo višino med 0.3 m do 3 m. Naredili smo poskus s toaletnim papirjem, ki bi ga lahko uporabili za določevanje kvalitete papirja. In podobno bi lahko naredili za kakšne druge snovi. Pojavov, ki se navezujejo na kapilarni dvig v tankih cevkah je v naravi polno, zato se mi je zdelo smiselno, da ta pojav raziščemo bolj podrobno in vidimo kaj se dogaja skozi celoten pojav. Model, ki sem ga predstavil, ne vsebuje dogajanja tekočine takoj v začetku dogajanja, ampak opisuje dogajanje od nekega časa dalje. 13
8 Literatura [1] Alan j. Walton, Surface tension and capillary rise, Phys. Ed., 491 (1972) [2] Gorazd Planinšič et al., Med-predmetno povezovanje v naravoslovju, Površinska napetost (Fakulteta za kemijo in kemijsko tehnologijo, 2007) [3] Janez Strnad, Fizika (prvi del: mehanika / toplota), (NMFA, Ljubljana, 2002) [4] Clinton M. Case, Rate of rise of liquide in a capillary tube revisted, Am.J.Phys., 58, No. 9, (1990) [5] Peiris and Tennakone, Rate of rise of liquid in a capillary tube, Am.J. Phys. 48, 415 (1980) 14