ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 8 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/6/8, 4:)

Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών των φακέλων του Λυκείου του Δικτυακού Τόπου mathematicagr με βάση υλικό που αναρτήθηκε στο mathematica https://wwwmathematicagr/forum/viewtopicphp?f=&t=6997 Συνεργάστηκαν οι: Αντωνέας Στράτης, Βαρβεράκης Ανδρέας, Κακαβάς Βασίλης, Καλαθάκης Γιώργος, Καλδή Φωτεινή, Καρδαμίτσης Σπύρος, Κατσίπης Νίκος, Κούτρας Στάθης, Μάγκος Θάνος, Μαυρογιάννης Νίκος, Μουρούκος Βαγγέλης, Μπεληγιάννης Αθανάσιος, Μπόρης Ροδόλφος, Παπαγρηγοράκης Μίλτος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, Ρίζος Γιώργος, Στεργίου Μπάμπης, Στόγιας Σωτήρης, Συγκελάκης Αλέξανδρος, Συνεφακόπουλος Αχιλλέας, Τηλέγραφος Κώστας, Τσιφάκης Χρήστος, Χασάπης Σωτήρης Το Δελτίο διατίθεται ελεύθερα από το δικτυακό τόπο mathematicagr

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο o, τότε είναι συνεχής στο σημείο αυτό Α Θεωρείστε τον παρακάτω ισχυρισμό: Μονάδες 7 «Κάθε συνάρτηση f: που είναι '' '' είναι και γνησίως μονότονη» α Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής (μονάδα ) β Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α (μονάδες ) Α Να διατυπώσετε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Μονάδες 4 Μονάδες 4 Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α) Η συνάρτηση f ημ με έχει μία μόνο θέση ολικού μεγίστου β) Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ, η οποία είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει f' για κάθε Δ συν γ) Ισχύει lim δ) Αν η f είναι αντιστρέψιμη συνάρτηση, τότε οι γραφικές παραστάσεις C και C'των συναρτήσεων f και f αντίστοιχα είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y ε) Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f Μονάδες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A Θεωρία, σχολικό βιβλίο, σελ 99

Α α Ψευδής β Χρησιμοποιούμε αντιπαράδειγμα Πχ θεωρούμε την συνάρτηση f() αν αν η οποία είναι αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη στο Έστω ότι f f Οι δυνατές περιπτώσεις είναι,,, Οι δύο πρώτες αποκλείονται λόγω προσήμων και από τις δύο τελευταίες προκύπτει ότι Παραγωγίζοντας στα, και, βρίσκουμε ότι f' και f' Επομένως στο, η f είναι γνησίως αύξουσα και στο, γνησίως φθίνουσα Άρα στο πεδίο ορισμού της η f δεν είναι γνησίως μονότονη ΣΧΟΛΙΟ: Η δικαιολόγηση του αντιπαραδείγματος δεν κρίνεται απαραίτητη για την βαθμολόγηση της απάντησης των μαθητών, εφόσον δεν περιλαμβάνεται στο σχολικό βιβλίο A Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ 6 Α4 α) Λάθος β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ΘΕΜΑ Β ΛΥΣΗ: ε) Σωστό 4 B Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα Δίνεται η συνάρτηση f, Β Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής Β Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f Μονάδες 8 Μονάδες 4 Μονάδες 6 Β4 Με βάση τις απαντήσεις σας στα παραπάνω ερωτήματα, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό με μελάνι που δεν σβήνει) Μονάδες 7 Β H συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων Για έχουμε y = y = / 4

Είναι 8 +8 (+)( + 4) f()=+ = = +8 f()= = +8= = 8= +8 f()> > (+)( + 4)> Επειδή + 4 > γιακάθε έχουμε ότι (+)>(+)>< ή > Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα,,,+ και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, Επιπλέον η συνάρτηση για = παρουσιάζει τοπικό μέγιστο με τιμή f( ) = f () + + f() B H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη για ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων με +8 ( +8) ( + 8)( ) ( + 8) f()= = = = 6 6 ( 8) 6 4 4 = < 4 Επομένως είναι κοίλη σε κάθε ένα από τα διαστήματα (,) και (,+ ) Επιπλέον δεν έχει σημεία καμπής Β Στα η f είναι συνεχής και επομένως δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες 4 Για το έχουμε lim f()=lim = Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση = Αναζητούμε ασύμπτωτες στο με εξίσωση μορφής Έχουμε: y=λ+β, α,β 4 4 f() 4 + + + + + lim = lim = lim = lim = lim == λ 5

και 4 4 lim f() λ = lim = lim ==β + + + Επομένως η ευθεία με εξίσωση y=λ+β y= είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο Αναζητούμε ασύμπτωτες στο με εξίσωση μορφής Έχουμε: και y=λ+β, α,β 4 4 f() 4 lim = lim = lim = lim = lim == λ 4 4 lim f() λ = lim = lim ==β Επομένως η ευθεία με εξίσωση y=λ+β y= είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο B4 Με βάση τα παραπάνω στοιχεία σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f 4 Είναι f 4 4 Η C f τέμνει τον άξονα στο σημείο B με τετμημένη 4, που είναι μεταξύ, και, αφού 48 4 6

ΘΕΜΑ Γ ΛΥΣΗ: Έχουμε ένα σύρμα μήκους 8m, το οποίο κόβουμε σε δύο τμήματα Με το ένα από αυτά, μήκους m, κατασκευάζουμε τετράγωνο και με το άλλο κύκλο Γ Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων σε τετραγωνικά μέτρα, συναρτήσει του, είναι π 4 64 56,,8 Ε 6π Μονάδες 5 Γ Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ελαχιστοποιείται, όταν η πλευρά του τετραγώνου ισούται με την διάμετρο του κύκλου Μονάδες Γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας μόνο τρόπος με τον οποίο μπορεί να κοπεί το σύρμα μήκους 8m, ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων να ισούται με 5m Μονάδες Γ Έστω (σε μέτρα) το μήκος του σύρματος που θα χρησιμοποιηθεί για το τετράγωνο Αφού το σύρμα είναι 8 m, θα είναι,8 Οπότε το μήκος του σύρματος που θα χρησιμοποιηθεί για τον κύκλο θα είναι 8 m Η πλευρά τετραγώνου είναι α = m 4 8 Το μήκος L = πr του κύκλου είναι ίσο με 8 m οπότε έχουμε πr=8 R= π 8 Η ακτίνα του κύκλου είναι λοιπόν ίση με R= m,,8 π Συνεπώς η συνάρτηση του αθροίσματος των εμβαδών θα είναι: (8 ) (8 ) (π +4) 64 +56 E()= α + πr = +π = + = 6 4π 6 4π 6π, με (,8) Γ Η συνάρτηση (π +4) 64 +56 E()=, που δίνει το ολικό εμβαδό, είναι παραγωγίσιμη στο (,8) με 6π (π +4) 64 +56 E()= = (π +4) 64 +56 6π 6π = (π +4) 64 = (π +4) 6π 8π E()= (π +4) = (π +4) = = 8π π+4 Ισχύει ότι 7

E()> (π +4) > (π +4) > > 8π π+4 και Συνεπώς, η συνάρτηση E() είναι γνησίως φθίνουσα στο, π +4 και γνησίως αύξουσα στο,8 π +4 Οπότε η συνάρτηση E() έχει ελάχιστο στη θέση = π +4 π+4 E () + 8 E() Η πλευρά του τετραγώνου γίνεται ίση με τη διάμετρο όταν 8, που είναι η τιμή 4 π π 4 για την οποία η Ε() έχει ελάχιστο Άρα, όταν η πλευρά του τετραγώνου γίνεται ίση με την διάμετρο του κύκλου, τότε το άθροισμα των εμβαδών ελαχιστοποιείται 6 lim E = π Γ Είναι H E() είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Α, π 4, οπότε το σύνολο τιμών της στο Α 6 6 είναι το Ε, limε, π 4 π 4 π Είναι 6 565π 4 5π π +4 που ισχύει, 6 6 5 5π 6 π, που ισχύει, π 5 άρα υπάρχει ένα μοναδικό A, τέτοιο ώστε E =5 Επίσης είναι 8 lim E = 4 Η E() είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Α =,8,οπότε το σύνολο τιμών της στο Α εί π +4 6 ναι το Ε, limε,4 π 4 8, οπότε δεν υπάρχει A τέτοιο ώστε Ε() = 5 π 4,8 E =5 Άρα υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε 8

ΘΕΜΑ Δ α Δίνεται η συνάρτηση f e, με α Δ Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του α η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής Μονάδες Δ Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μοναδικά, με, τέτοια ώστε η συνάρτηση f να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο και τοπικό ελάχιστο στο Δ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f f είναι αδύνατη στο Δ4 Αν α να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ: f d 5 α, Μονάδες 7 Μονάδες 6 Μονάδες 9 Δ Η συνάρτηση f με α f()=e και α > είναι ορισμένη στο και είναι παραγωγίσιμη στο ως α e (παραγωγίσιμη ως σύνθεση των παρα διαφορά των παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τύπους γωγίσιμων α που είναι πολυωνυμική και της (παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική) με e, που είναι γινόμενο εκθετικής με σταθερά) και α f()=e Οπότε είναι και συνεχής Επίσης η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ως διαφορά των παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τύπους α που είναι πολυωνυμική και της e (παραγωγίσιμη ως σύνθεση των α παραγωγίσιμων e που είναι γινόμενο εκθετικής με σταθερά) και (παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική) με f() e α Τότε: και α α α f()= e =e =e = α= =α, α α α f()> e > e > e > α> >α, α α α f()< e < e < e < α< <α α f () + f() ΣΚ 9

Από το πρόσημο της f() που φαίνεται στον παραπάνω πίνακα έχουμε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη στο διάστημα,α και είναι κυρτή στο διάστημα α, και αφού f(α) παρουσιάζει καμπή στο (α, α ) α, δηλαδή η C f παρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής το (α,f(α)) δηλαδή το Δ Έχουμε ότι: α α f(α)=e α = α, α lim f ()= lim (e )= +, αφού α lim (e )= και lim ()= και α α lim f ()= lim (e ) = lim + e α, e αφού α lim (e )= + De L' Hospital), lim = lim = (αφού τηρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος α α e e Από το Δ αποδείξαμε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη στο (,α] και κυρτή στο [α,+ ), οπότε η συνάρτηση f' είναι γνησίως φθίνουσα στο (,α] και γνησίως αύξουσα στο [α,+ ) Η f' είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Α =,α f(a )= f(α), lim f () =[ α,+ ) Η f' είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Α = α,+ οπότε οπότε f(a )= f(α), lim f () =[ α,+ ) Αφού α> α < α <, οπότε f (A ), f (A ) και αφού η f είναι γνησίως μονότονη σε κάθε ένα από τα A,A, έπεται ότι η f()= έχει από μία ακριβώς ρίζα σε κάθε ένα από τα διαστήματα A,A, έστω A, A, δηλαδή Συνεπώς: Για κάθε (, ]έχουμε : < f()>f( ) f()>, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ], Για κάθε [,α] έχουμε : <<α f()<f( ) f()<, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [,α], Για κάθε [α, ]έχουμε : α << f()<f( ) f()<, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, ], Για κάθε,+ έχουμε : > f()>f( ) f()>,+, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο

Επιπλέον η συνάρτηση f είναι συνεχής στο α, οπότε είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ] Συνεπώς η συνάρτηση f παρουσιάζει μοναδικό τοπικό μέγιστο για (,α] και μοναδικό τοπικό ελάχιστο για [α,+ ) α f () + + f () + + f() Δ Επειδή α α T M ΣΚ TE α f e e Αλλά α α e Ισχύει ότι α και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ], οπότε f() f(α) f( ), άρα η εξίσωση f() f() είναι αδύνατη στο (α, ) Δ4 Για α = είναι f()=e και f()=e Η εφαπτομένη της C f στο Α(, ) έχει εξίσωση y f() = f ()( ) Αφού f() =, f()= η παραπάνω εξίσωση γράφεται y= + Λόγω της κυρτότητας της f στο, είναι f() + με το ίσον να ισχύει μόνο για = Άρα για κάθε, είναι f() + f() Τότε πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης, με στο, έχουμε: Τότε ισχύει f() ( ) και το ίσον ισχύει μόνο για = f() d > ( ) d Στο ολοκλήρωμα I ( ) d θέτουμε u = οπότε είναι du = d, οπότε είναι = u + Τα όρια ολοκλήρωσης γίνονται u = = u = = u =

I (u+) u du= u u u du= u +u du= 5 5 5 5 u u u u u u = + = + = 4 + = 4 + + =, 5 5 5 5 +5 = 4 + = 4 = 5 5 5 οπότε είναι f() d > 5 ΑΛΛΕΣ ΛΥΣΕΙΣ: 4 B Είναι f() κι επειδή 4 4 lim lim lim f() lim f() Επομένως η y είναι πλάγια ασύμπτωτη της f τόσο στο όσο και στο Γ Η πλευρά του τετραγώνου γίνεται ίση με τη διάμετρο όταν 8 4 π π 4 π 4 Η f είναι τριώνυμο με α 6π άρα παρουσιάζει ελάχιστο στο β το οποίο φανερά ανήκει στο (, 8) και το οποίο είναι και το ζητούμενο για το οποίο η πλευρά του τετραγώνου γί α π 4 νεται ίση με τη διάμετρο του κύκλου Γ (Με ύλη Β Λυκείου) Θεωρώ τα διανύσματα 8 u,, v, π π Τότε (από τη Β Λυκείου είναι γνωστό ότι) u v uv (8 ) 44π8 64 4 4π 64 συνεπώς E() με το ίσον να ισχύει όταν τα u, v είναι ομόρροπα, δηλαδή όταν 4 4π (8 ) / π π / π 4 Η πλευρά τετραγώνου είναι το 8, διάμετρος του κύκλου το 4 π του που βρήκαμε, που προκύπτουν ίσες για την τιμή

Γ Μελετάμε τη γενίκευση της συνάρτησης E() στο διάστημα [, 8] 6 6 6 Είναι E= και π <, > =5 E >5 π π, Επίσης είναι E8=4 Οπότε, αφού η συνάρτηση E() είναι συνεχής ως πράξη συνεχών, γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο E =5,8 π +4, θα υπάρχει ένα μοναδικό στο, π +4,, τέτοιο ώστε π +4 Γ Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση E() 5 έχει μοναδική λύση στο διάστημα (,8) Είναι (π 4) 64 56 E() 5 5 6π (π 4) 64 56 8π (π 4) 64 56 8π Είναι Δ 64 4(π 4)(56 8π) 64 64(π 4)(6 5π) 64(5π 4π) Οι λύσεις της εξίσωσης είναι: 64 64(5π 4π) 64 8 5π 4π 4 5π 4π (π 4) (π 4) π 4 Όμως η 4 5π 4π 8 αφού π 4 4 5π 4π 8π 5π 4π π 5π 4π 4π π 4π 4 5π 4π Ακόμα 8 αφού π 4 4 5π 4π και αφού π 4 Πράγματι, το τριώνυμο διάστημα 4 5π 4π 8π π 5π 4π 4 5π 4π 5π 4π 64 g(t) 5t 4t 64 είναι αρνητικό όταν 4t, και το π ανήκει σ' αυτό το Γ Η συνάρτηση g =E() 5 είναι τριώνυμο οπότε έχει το πολύ ρίζες Η g είναι συνεχής στο [,8] ως πράξη συνεχών και: (π +4) 64 + 56 56 56 8π g =E() 5= 5= 5= > 6π 6π 6π

(π +4)8 64 8 + 56 64π + 56 5 + 56 64π g8 =E(8) 5= 5= 5= 5=4 5= < 6π 6π 6π (π +4) 64 + 56 π + 4 64 + 56 π +6 g=e() 5= 5= 5= > 6π 6π 6π Από το θεώρημα Bolzano συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση g()= έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (,8) και μια τουλάχιστον ρίζα στο (8,) Όπως αναφέραμε, η g =E() 5 είναι τριώνυμο, οπότε θα έχει μοναδική λύση στο (,8) f() a Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση g με g() e για και παρατηρούμε ότι f() η g() αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του α Μάλιστα, η g είναι γνησίως φθίνουσα για < α και γνησίως αύξουσα για > α Επιπλέον, είναι α α g( α) e α, g() e, g(α) α και g(b), όπου b a είναι τέτοιο ώστε bα e e b (H ύπαρξη του b έπεται από το ότι lim ) Αλλιώς για την ύπαρξη του b: e e() Η συνάρτηση h με h() έχει h() κι άρα είναι αύξουσα στο με ( ) Έτσι, είναι e για κάθε, οπότε h() h() για για bα bα e (b α) b(b α) α b Από Θ Bolzano υπάρχουν ( α,) και (α,b) τέτοια ώστε g( ) g( ) Από την μονοτονία της g στα διαστήματα (,α) και (α, ) έπεται η μοναδικότητα των, και το ότι η f έχει τοπικό μέγιστο στο και τοπικό ελάχιστο στο, αφού η g θα διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα (, ) (θετικό), (, ) (αρνητικό) και (, ) (θετικό) 4

Δ Έστω ότι υπήρχε c με α <c< τέτοιο ώστε f(c) = f() Από Θεώρημα Rolle θα υπήρχε ξ (,c) τέτοιο ώστε f(ξ)=, δηλαδή g(ξ)= Αφού ξ <, αναγκαστικά θα είναι ξ =, άτοπο, αφού <<ξ, όπως έχουμε αποδείξει στο Δ Δ Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο α, αρκεί να δείξουμε ότι α α Πράγματι από τη γνωστή ανισότητα Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη ff α e α e α e για κάθε και αφού το α ισχύει : α e α α α α α α α f e e, αφού α e α α Δ Παρατηρούμε ότι Άρα, θα είναι, κι αφού α, θα είναι,α Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα, άρα και, στο,, οπότε η εξίσωση f f τη μοναδική λύση στο, Αφού, όμως,α, έχουμε ότι η εξίσωση f f αδύνατη στο διάστημα α, έχει είναι,ρ, θα υπήρχε ένα του Δ Παρατηρούμε όπως πριν ότι f (, ) Έστω ότι υπήρχε ρ α, τέτοιο, ώστε f ρ f Με εφαρμογή του Θεωρήματος Rolle για την f στο διάστημα λάχιστον ξ,ρ τέτοιο, ώστε fξ Αυτό, όμως, είναι άτοπο, γιατί,ρ, και για κάθε, Συνεπώς, η εξίσωση f f είναι αδύνατη στο διάστημα α, Δ Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο α,, θα είναι f α, f,fα Για να δείξουμε ότι η εξίσωση f f είναι αδύνατη στο α, f fα Αρκεί, λοιπόν, να δείξουμε ότι Θέτοντας α στη βασική ανισότητα α οπότε α e α e, αρκεί να δείξουμε ότι (με το ίσον μόνο αν ) έχουμε ότι: α e α α, e α α Έτσι, αρκεί να δείξουμε ότι α α α α α, που ισχύει και άρα το ζητούμενο δείχθηκε f 5