ILE FUNCłIILOR DERIVABILE PE UN INTERVAL

PROPRIETĂłILE ILE FUNCłIILOR DERIVABILE PE UN INTERVAL 1. Puncte de etrem ale unei uncńii Determinarea punctelor de etrem ale unei uncńii are o mare importanńă practică, iind legată de rezolvarea problemelor de optimizări realizarea proitului maim în condińii date, minimizarea consumurilor şi a pierderilor, etc. DeiniŃie ie D Fie : D R şi Spunem că este punct de maim relativ sau maim local pentru uncńia dacă eistă o vecinătate V a lui astel încât pentru orice V D. în,uncńia are cea mai mare valoare Spunem că este punct de minim relativ sau minim local pentru uncńia dacă eistă o vecinătate V a lui astel încât pentru orice V D. în,uncńia are cea mai mică valoare Spunem că este punct de etrem relativ sau etrem local dacă este punct de maim sau minim relativ. Eemplu. în igură, punctele a şi c sunt puncte de maim local iar punctele d şi b sunt puncte de minim local. Etremele deinite mai sus se numesc etreme relative sau locale spre a le deosebi de etremele absolute sau globale. DeiniŃie ie Spunem că este punct de maim absolut sau maim global pentru uncńia :DR dacă orice. ma în acest caz, reprezintă valoarea maimă a uncńiei si se notează D D pentru Spunem că este punct de minim absolut sau minim global pentru uncńia min : D R dacă pentru orice. în acest caz, reprezintă valoarea minimă a uncńiei si se notează D. în continuare, pentru simplitate, când ne vom reeri la punctele de maim sau minim relativ, vom omite cuvântul relativ. Dacă este un punct de minim de maim al uncńiei, punctul de abscisă este numit punct de minim de maim al graicului D Pro:Ciocotişan Radu

2. Teorema lui Fermat Pierre Fermat 161-1665, matematician rancez. Preocupările sale au avut o arie oarte largă. în domeniul teoriei numerelor, Marea teoremă a lui Fermat a ost enunńată de el şi demonstrată trei secole mai târziu. A ost printre precursorii analizei matematice şi ai calculului probabilităńilor. Eemple pregătitoare Fie uncńia :RR, a 2 +b+c cu a. Ştim că graicul este o parabolă având vârul de abscisă b. 2a Vârul corespunde unui punct de etrem maim sau minim după cum a < sau a >. a > a < Lectura graicului sugerează aptul că tangenta la graic în n vâr este orizontală. b Veriicăm acest lucru prin calcul. într-adevăr, 2a + b, deci panta tangentei la graic în vâr este. 2 a Teorema lui Fermat Fie : IR o uncńie derivabilă pe intervalul I. Dacă a este un punct de etrem din interiorul intervalului I, atunci a. DemonstraŃie. Fie a, un punct de maim relativ şi V o vecinătate a lui a astel încât a, pentru orice. Atunci: a a s a, d a a a a a < a FuncŃia iind derivabilă, avem s a d a de unde rezultă concluzia. Cazul când a este punct de minim este analog. > a Pro:Ciocotişan Radu

Interpretarea geometrică a teoremei lui Fermat Dacă : IR este o uncńie derivabilă, în n orice punct de etrem,dierit de etremităńile ile graicului, tangenta la graic este orizontală. în igură, avem graicul unei uncńii deri-vabile deinite pe [a,b]. Punctul 1 este un punct de minim iar 2 este un punct de maim din interiorul lui [a,b]. Tangentele la graic în punctele de abscise 1 şi 2 sunt orizontale. ObservaŃii. 1. Teorema lui Fermat airmă că dacă o uncńie este derivabilă pe un interval I, atunci punctele de etrem din interiorul intervalului I se ală printre punctele critice. 2. Concluzia teoremei lui Fermat rămâne valabilă, cu aceeaşi demonstrańie, dacă în locul condińiei ca să ie derivabilă pe I punem condińia ca să ie derivabilă doar în punctul de etrem considerat. 3. Reciproca teoremei lui Fermat nu este adevărată, adică din aptul că derivata într-un punct este nulă nu rezultă neapărat că acesta este punct de etrem. Eemplu. Pentru uncńia :RR, 3, originea este punct critic dar nu este punct de etrem. ObservaŃi şi graicul din igura 14: în punctul de abscisă 3, tangenta la graic este paralelă cu O, dar 3, nu este punct de etrem. 4. Dacă un punct de etrem este situat la un capăt al intervalului I, nu rezultă neapărat că derivata în acest punct este nulă. Eemple. Pentru uncńia strict crescătoare : [2,5] ->R, 3-1, minimul se atinge în 2 iar maimul în 5, dar derivata nu se anulează în nici un punct. în igură, punctele Aa, a şi Bb, b sunt puncte de etrem ale graicului dar tangentele la graic în aceste puncte nu sunt orizontale. 5. Pot eista puncte de etrem în care uncńia nu este derivabilă. Eemplu. Pentru uncńia :RR,, originea este punct de minim, dar nu este derivabilă în origine. Pro:Ciocotişan Radu

3. Teorema lui Rolle Matematicianul rancez Michel Rolle 1652-1719,preocupat de problematica rezolvării de ecuańii a această teoremă probabil pe baza interpretării geometrice, enunńând-o în 1691, ără demonstrańie. Teoremă: Fie : [a, b]r. Dacă a este continuă pe [a, b], b este derivabilă pe a, b atunci eistă c c a b, a, b astel încât c. derivata are cel puńin o rădăcină în interval ObservaŃie. O uncńie : [a, b]r, continuă pe [a, b]şi derivabilă pe a, b se numeşte uncńie Rolle pe [a, b], unde a, b R, a < b. Interpretarea geometrică a teoremei lui Rolle ConsecinŃe ale teoremei lui Rolle Fie : I R, o uncńie derivabilă pe un interval I. Două rădăcini ale uncńiei adică ale ecuańiei sunt numite rădăcini consecutive, dacă între ele nu se ală nici o altă rădăcină. ConsecinŃa a 1. 1 între două rădăcini ale uncńiei eistă cel puńin o rădăcină a derivatei. ConsecinŃa a 2. între două rădăcini consecutive ale derivatei eistă cel mult o rădăcină a uncńiei. Pro:Ciocotişan Radu

Probleme rezolvate. 1. DemonstraŃi că în intervalul, 1 se găseşte o singură rădăcină a ecuańiei: 4 3-6 2 + 1. SoluŃie. Notăm 4 3-6 2 + 1. Cum 1 > şi l -1 <, olosind proprietatea valorilor intermediare, rezultă că între şi 1 eistă cel puńin o rădăcină. Dar 12 2-12 are rădăcinile şi 1 şi aplicând a doua consecinńă a teoremei lui Rolle, rezultă unicitatea. 2 3, [ -1, 2. Dacă :[-l, 1]R, 2 m + n+ p,,1] alańi valorile lui m, n, p astel încât uncńia să îndeplinească condińiile teoremei lui Rolle. AlaŃi valoarea punctului intermediar. SoluŃie. 3 Din condińia ca să ie continuă, găsim p, iar din condińia ca să ie derivabilă, n -3. RelaŃia l -1, implică m 7. 14 Punctul intermediar este c 3. Fie uncńia : R->R, 3-3. AlaŃi punctele de etrem. SoluŃie. Deoarece este derivabilă pe R, căutăm punctele de etrem printre punctele critice. 3 2-1 deci punctele critice sunt 1 şi -1. Cercetăm, cu ajutorul deinińiei, dacă acestea sunt puncte de etrem. Avem 1 3-3 + 2 + 2-1 2, de unde rezultă că pentru orice din vecinătatea -2, a lui 1 are loc relańia >l, adică 1 este punct de minim relativ. Analog, din -1 3 3 2 2 + 1 2, rezultă că pentru orice din vecinătatea -, 2 a lui -l avem <-1, deci -l este punct de maim relativ. Pro:Ciocotişan Radu

Pro:Ciocotişan Radu

4. Teorema lui Lagrange Joseph Louis Lagrange 1736-1813 Teorema lui Lagrange teorema de medie sau teorema creşterilor inite este unul dintre cele mai importante rezultate din analiza matematică. ConsecinŃele sale stau la baza metodelor de studiu al variańiei uncńiilor şi reprezentării graice. Teorema lui Lagrange Dacă : [a, b]r este a uncńie continuă pe [a, b] b uncńie derivabilă pe a, b, atunci eistă eistă c a, b astel încât b a c b a DemonstraŃie. Fie h : [a, b] R, h -λ şi impunem ca h să îndeplinească condińiile teoremei lui Rolle. b a Evident, h este continuă pe [a, b] şi derivabilă pe a, b. Punând condińia ha hb, găsim: λ b a Din teorema lui Rolle, rezultă că eistă c a, b astel încât hc, de unde λ c şi Ńinând seama de epresia lui λ, rezultă concluzia. b a c Formula b a din teorema lui Lagrange se numeşte prima ormulă a creşterilor inite. Punctul c din ormula creşterilor inite este numit în aplicańii punct intermediar. Interpretarea geometrică a teoremei lui Lagrange Pro:Ciocotişan Radu

ConsecinŃe ale teoremei lui Lagrange 1. Dacă derivata unei uncńii este nulă pe un interval, atunci uncńia este constantă pe acel interval DemonstraŃie. Fie :IR o uncńie derivabilă cu pe intervalul I. Fiăm un punct a e I şi considerăm un punct arbitrar ei, a. Aplicăm teorema lui Lagrange pe intervalul [a, ] sau [, a]. Eistă c cuprins între a şi astel încât a - a c şi deoarece c, rezultă -a. Cum este arbitrar în I, deducem că este constantă. 2. Dacă două uncńii au derivatele egale pe un interval, atunci dierenńa a celor două uncńii este constantă pe acel interval DemonstraŃie. Fie g şi h, derivabile cu g h pe I. Aplicăm prima consecinńă pentru uncńia g-h. Alte consecinńe ale teoremei lui Lagrange vor i studiate în lecńiile următoare. Probleme rezolvate. 1. DistanŃa de la Craiova la Timişoara pe şosea este de 33 km. Un automobil parcurge această distanńă în 5 ore, cu viteză variabilă, dar ără să se oprească. Folosind teorema lui Lagrange, demonstrańi că eistă cel puńin un moment în care vitezometrul indică viteza de 66 km/oră. SoluŃie. Notăm cu s t spańiul parcurs din momentul plecării până în momentul t. t este eprimat în ore, iar st, în kilometri. FuncŃia s:[, 5]R este derivabilă, st reprezentând viteza în momentul t. Deci uncńia este şi continuă. s5 s 33 Din teorema lui Lagrange, eistă c e,5 astel încât s c 66 5 5 Rezultă concluzia, având în vedere că s c reprezintă viteza în momentul c. 2 2. DemonstaŃi că pentru orice e [-1, 1] au loc aegalităńile: sinarccos 1 SoluŃie. 2 b cosarcsin 1 Demonstrăm numai identitatea de la a, punctul b iind analog. Fie uncńiile, g : 1,1 R, sinarccos şi g cosarcsin g Dând lui valoarea, rezultă c -g, deci g pentru orice e -1, 1. Se arată că 1 g 1 şi -1 g -1, deci ormula este demonstrată Pro:Ciocotişan Radu [ ] c, g c 1 2

3. RezolvaŃi în R ecuańia: 3 + 6 4 + 5. 3. SoluŃie. Fie, o soluńie a ecuańiei. Fiăm pe şi considerăm uncńia :, R, t t. EcuaŃia se scrie 6-54-3. Aplicând uncńiei teorema lui Lagrange pe intervalele [5, 6] şi [3, 4], rezultă că eistă c e5, 6 şi d e 3, 4 astel încât 6-5 c c -1 şi 4-3 c d -1. EcuaŃia devine c -1 d -1, de unde Ńinând seama că c d găsim sau 1. Pro:Ciocotişan Radu

Pro:Ciocotişan Radu 5. Calculul derivatei unei unc 5. Calculul derivatei unei uncńii ii într ntr-un punct un punct: corolarul teoremei lui corolarul teoremei lui Lagrange Lagrange Vom studia o consecinńă a teoremei lui Lagrange care urnizează o metodă de studiu al o metodă de studiu al derivabilitătii derivabilitătii unei unc unei uncńii ii într ntr-un punct un punct, în situańia în care un calcul direct prin aplicarea regulilor de derivare nu este posibil. Eemplu. Eemplu. FuncŃia :[-1, 1]->R, arcsin este derivabilă pe -1,1 şi Studiul derivabilitătii în 1 si -l olosind deinińia este laborios. O metoda accesibilă este dată de: 2 1 1 Consecin ConsecinŃa corolarul corolarul teoremei lui teoremei lui Lagrange Lagrange 1. Dacă o uncńie : a, ]R este continuă pe a, ], derivabilă pe a, şi eistă, atunci 2. Dacă o uncńie : [, br este continuă pe [, b, derivabilă pe, b şi eistă atunci 3. Dacă o uncńie este derivabilă pe a, b- { } unde e a, b este continuă în şi eistă atunci < s < > d > DemonstraŃie. 1. Avem şi din teorema lui Lagrange pe intervalul [, ] eistă c e, care depinde de, cu Rezultă: AirmaŃia 2 se demonstrează analog, iar 3 rezultă din 1 şi 2. s < c c c c c s < < <

6. Etindere. Teorema lui Cauchy Teorema lui Cauchy Fie uncńiile, g: [a, b]r, care veriică condińiile: a şi g sunt continue pe intervalul [a, b]; b şi g sunt derivabile pe intervalul a, b; c g pentru orice e a, b. atunci eistă c e a, b astel încât b g b a g a c g c ObservaŃii. 1. Teorema lui Lagrange se poate obńine şi ca un caz particular al teoremei lui Cauchy dacă alegem g. 2. Teorema lui Cauchy se mai numeşte şi a doua teoremă a creşterilor inite sau a doua teoremă de medie. Pro:Ciocotişan Radu