Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ. 60 65.360 Fax. 60 65.366 ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α) Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 5. Α) Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ. 49. Α3) Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ.. Α4) α Λάθος β Σωστό γ Σωστό δ Λάθος ε Λάθος ΘΕΜΑ Β Β) Έχουμε τη συνάρτηση θερμοκρασίας θ( ) 4 + α, α R, ( 0,4]. Ζητείται η μονοτονία της συνάρτησης θ(). Η συνάρτηση θ είναι παραγωγίσιμη στο ( 0,4 ], με 4 θ () ( 4 + α) () 4( ) + ( α) > 0 > 0 θ () 0 0 4ώρες ( ] Η θ είναι παραγωγίσιμη στο 0,4 θ () είναι γνησ. φθίνουσα στο ( 0,4] θ () < 0 στο ( 0,4) Η θ είναι παραγωγίσιμη στο[ 4,4] θ () είναι γνησ. αύξουσα στο 4,4 θ () > 0 στο ( 4,4) Κάνοντας το πίνακα μεταβολών της συνάρτησης θ() έχουμε: 0 4 4 θ () - + θ() [ ] Άρα η θερμοκρασία μειώνεται για ( 0,4], ενώ αυξάνεται για [ 4,4] Β) Από το ερώτημα (Β) διαπιστώνουμε ότι η συνάρτηση θ παρουσιάζει ελάχιστο για 4 το θ(4), δηλαδή η θερμοκρασία γίνεται ελάχιστη για 4 ώρες ο Μας δίνεται ότι η ελάχιστη τιμή είναι C, θ 4. άρα θ( 4) 4 4 4+ α α 4+ 8 α 3
Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ. 60 65.360 Β3) Για α 3 έχουμε: θ() 4 3, ( 0,4] Ζητούνται οι ώρες όπου θ 0 4 + 3 0 () +. Fax. 60 65.366 Θτω έ x, 0< x 4, οπότε λύνω την εξίσωση: x 4x + 3 0 x ή x 3 Για x ώρες δεκτή Για x 3 3 9 ώρες δεκτή B4) θ () lim lim 4 4 6 6 Θτω έ f(), ( 0,4) ( 4, 4] 6 Ισχύ ει lim 0 και lim ( 6) 6 6 0, οπότε έχω απροσδιόριστη μορφή 4 4 f() ( 4)( + 4) ( 4)( + 4) ( )( + )( + 4) ( + 4)( + ) ρα Ά lim f () lim 4 4 4 ΘΕΜΑ Γ 4 4 4 4 84 64 ( + )( + ) ( + )( + ) Δίνεται ο παρακάτω πίνακας: ΗΛΙΚΙΕΣ (χρόνια) x i v i f% i N i 5, x [ ) [, ) x + 0 [, ) x [, ) x 6x 50 ΣΥΝΟΛΟ - - - Γ) Γνωρίζουμε ότι: 3 4 F% i vx i i f % + f % + f % + f % 00 x + x + 0 + x + x 6x 00 x x 80 0 x 0,x 8 απορρ. διότι x f % και 0 f % 00 i Οπότε x 0 και έτσι από το πίνακα έχουμε τις ακόλουθες σχετικές συχνότητες: f% 0 f % 0 + 0 f % 30 f% 3 0 f% 3 0
Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ. 60 65.360 Fax. 60 65.366 f 4% 0 6 0 00 60 f 4% 40 Γ) Δίνεται ότι η διάμεσος είναι 50 χρόνια. Γνωρίζουμε ότι η διάμεσος χωρίζει το δείγμα σε δύο ίσα μέρη και συγκεκριμένα είναι η τιμή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από αυτήν. Κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα και πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, γνωρίζοντας από το ερώτημα (Γ) τα εξής δεδομένα: ΗΛΙΚΙΕΣ f% i F% i (χρόνια) 5,5 + c 0 0 [ ) [ 5 + c, 5 + c) 30 40 [ 5 + c,5 + 3c) 0 60 [ 5 + 3c,5 + 4c) 40 00 ΣΥΝΟΛΟ 00 - F% f % 0, F% F% + f % 0+ 30 40, F % F % + f % 40 + 0 60, F % F % + f % 60 + 40 00 3 3 4 3 4 00 F% i 60 50 40 Β Α Δ Γ Ε 0 50 5 5 + c 5 + c 5 + 3c 5 + 4c ηλικίες Τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΔΕ είναι όμοια (ορθογώνια και γωνία Α κοινή), άρα ισχύει: AB ΒΓ 50 40 50 5 c 0 5 c c 50 4c 5c 50 c 0 AΔ ΔΕ 60 40 c 0 c Γ3) Από το δοσμένο πίνακα έχουμε ότι N4 50 v. Έτσι μπορούμε να βρούμε τις συχνότητες v i, i,,3,4 i i i Ισχύει: f i% ν 00% f ν f% i% 00% f i% νi % νi ν 50 % 0 30 0 40 Οπότε: v 5, v 5, v3 0, v4 0 3
Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ. 60 65.360 Fax. 60 65.366 Οι κεντρικές τιμές xi είναι: 5 + 35 x 30, x x+ c 30 + 0 40, x3 x + c 40 + 0 50, x4 x3+ c 50 + 0 60 N ν 5, N N + ν 5+ 5 0, N N + ν 0 + 0 30, N 50 3 3 4 Ο δοσμένος πίνακας συμπληρωμένος είναι ο εξής: ΗΛΙΚΙΕΣ (χρόνια) x i v i f% i N i F% i vx i i 5,35 30 5 0 5 0 50 [ ) [ 35,45 ) 40 5 30 0 40 600 [ 45,55 ) 50 0 0 30 60 500 [ 55,65 ) 60 0 40 50 00 00 ΣΥΝΟΛΟ - 50 00 - - 450 Έτσι για τη μέση τιμή x των ηλικιών έχουμε: 4 x v 450 v 50 i i i x 49 x 49 χρόνια Γ4) Έστω v το πλήθος των εργαζομένων από τη πρώτη κλάση που απαιτούνται ώστε η νέα μέση τιμή να είναι x 40 χρόνια. Τότε έχουμε: x( v+ v ) + xv + x3v3+ x4v4 xv + xv + xv + xv 3 3+ xv 4 4 x v+ v v+ v 4 xv + xv i i i 30 v + 450 x 40 000 + 40 v 30 v + 450 v+ v 50+ v 0 v 450 v 45εργαζόμενοι ΘΕΜΑ Δ Ν(Ω) 600, Ορίζω τα ενδεχόμενα: Α: κατάλληλος για πρόσληψη στην εταιρεία Α Β: κατάλληλος για πρόσληψη στην εταιρεία Β A B B A : κατάλληλος για πρόσληψη σε μια μόνο από τις εταιρείες Α ή Β ( A B ) : κατάλληλος για πρόσληψη το πολύ σε μια μόνο από τις εταιρείες Α και Β ( A B ) : δεν είναι κατάλληλος για πρόσληψη σε καμμία από τις δύο εταιρείες Έχουμε τα εξής δεδομένα: λ + 3λ ( A B) ( B A), ( A B), 3λ ( A B) 3λ λ με λ 0 και λ 4
Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ. 60 65.360 Fax. 60 65.366 Πρέπει να ισχύει: 0 ( A B) ( B A), 0 ( A B), 0 ( A B) Δ) Επειδή τα Α-Β, Β-Α είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ισχύει ( A B) ( B A) ( A B) + ( B A) (A) (A B) + (B) (A B) (A) + (B) (A B) () λ 3 ( A B) ( A B) ( A B) λ λ λ λ λ 3 λ 3 ( A) + ( Β) ( A Β ) ( A) + ( Β) ( A Β ) ( A Β) λ λ () λ A B B A 3 ( A Β) λ 3λ 3λ 3λ ( A B) ( A B) ( A B) ( 3 ) 3λ 3λ 3λ 3λ Οπότε: () (3) λ 3 ( A B) ( B A) λ 3λ λ + Όμως από τα δεδομένα έχουμε ότι ( A B) ( B A). 3λ Εξισώνοντας λοιπόν τα δεύτερα μέλη αυτών των σχέσεων παίρνουμε: λ 3 λ + 3λ( λ 3) ( λ ) ( λ + )( λ ) 3λ 9λ λ+ λ λ λ 3λ 3λ λ 9λ + 4 0 λ 4, λ Για λ, ( A B) < 0, άτοπο 3 Οπότε η λ απορρίπτεται. Για λ 4 4+ 5 ( A B) ( B A) 34 34 ( A B ) οπότε η λ 4 είναι δεκτή. 34 ( A B) 4 Άρα τελικά: λ 4 Δ) Ν(Α) Ν(Β) 50 (4) (α) A B: κατάλληλος για πρόσληψη και στις δύο εταιρείες Από τη σχέση (3) παραπάνω έχουμε: N( A B) N( A B) ( A B) N( A B) 50 3λ N Ω 600 5
Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ. 60 65.360 Fax. 60 65.366 Άρα 50 κρίθηκαν κατάλληλοι για να προσληφθούν και στις δύο εταιρείες. Από τα δεδομένα επιπλέον έχουμε: () 5 5 ( A B) ( B A) ( A) + ( Β) ( A Β ) 5 7 Ν( A) Ν( Β) 7 ( A) + ( Β) ( A) + ( Β ) + Ν Ω Ν Ω Ν( Β) 6 ( 4 Ν A 7 ) + Ν ( A) +Ν( Β ) 350 Ν( Β) 50 +Ν( Β ) 350 600 600 Ν Β 400 Ν Β 00, άρα (4) Ν( Α ) 50 Ν( Α) Οπότε: ( A) Ν( Ω) 50 3 600 Έτσι: ( A B) ( A) ( A B) και Ν( A B) Ν Β 00 Β Ν Ω 600 3 3 6 600 6 Ν( A B) 00 απόφοιτοι κρίθηκαν κατάλληλοι μόνο από την εταιρεία Α. Ομοίως, έχουμε: Ν( Β Α) ( Β Α ) ( Β) ( A B) 3 4 600 4 Ν( Β Α ) 50 απόφοιτοι κρίθηκαν κατάλληλοι μόνο από την εταιρεία Β. (β) Οι απόφοιτοι που κρίθηκαν κατάλληλοι από τις εταιρείες Α ή Β είναι Ν( Α Β ) Όμως Ν( Α Β ) Ν( A B) +Ν( Β Α ) + N ( A B) 00 + 50 + 50 300 β τρόπος Από τα δεδομένα έχουμε ότι: ( A B) ( A B) ( A B) λ 4 N( A B) N( A B) N( A B) 300 N Ω 600 Δ3) Έστω το ενδεχόμενο Γ: ο απόφοιτος να παρακολουθήσει το πρόγραμμα και να βρει εργασία Από τα δεδομένα γνωρίζουμε ότι: ( Γ ) ( Γ) ( Γ ) ( Γ) ( Γ ) ( Γ) ( Γ ) 3 Οπότε /3 είναι η πιθανότητα ο απόφοιτος να βρει εργασία ενώ παρακολούθησε το πρόγραμμα. Οι απόφοιτοι που δεν κρίθηκαν κατάλληλοι για εργασία σε καμία από τις δύο N A B 600 Ν A B 600 300 300 απόφοιτοι δεν εταιρείες είναι κρίθηκαν κατάλληλοι για εργασία οπότε μπορούν να παρακολουθήσουν το πρόγραμμα επιμόρφωσης. Ν( Γ) Συνεπώς: ( Γ ) Ν( Γ ) 00 απόφοιτοι που παρακολούθησαν το 3 300 3 πρόγραμμα θα βρουν εργασία.