Δειγματικές Κατανομές
Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια των στατιστικών (ή στατιστικών συναρτήσεων). Ορισμός: Μια συνάρτηση των μεταβλητών X1, X,... X n ενός τυχαίου δείγματος που δεν περιέχει άγνωστες παραμέτρους λέγεται στατιστικό ή στατιστική συνάρτηση. Ορισμός: Η κατανομή πιθανότητας μιας στατιστικής ονομάζεται δειγματική κατανομή ή κατανομή δειγματοληψίας. Ορισμός: Η στατιστική η οποία χρησιμοποιείται για την εκτίμηση μιας παραμέτρου ονομάζεται εκτιμητής (estimator) και η τιμή της σε ορισμένο δείγμα εκτίμηση (estimate).
Εκτίμηση της άγνωστης μέσης τιμής της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής για ενα πληθυσμό Έστω ότι επιθυμούμε να εκτιμήσουμε την άγνωστη τιμή του μέσου μ ενός πληθυσμού χρησιμοποιώντας ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n. H στατιστική που χρησιμοποιούμε είναι ο δειγματικός μέσος (sampling mean) 1 (... ) n X = X1+ X + + X n Η τιμή που προκύπτει είναι μια εκτίμηση του μ του πληθυσμού.
Εκτίμηση της άγνωστης διακύμανσης της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής για ένα πληθυσμό Έστω ότι επιθυμούμε να εκτιμήσουμε την άγνωστη τιμή της διακύμανσης σ ενός πληθυσμού χρησιμοποιώντας ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n. H στατιστική που χρησιμοποιούμε είναι η δειγματική διακύμανση (sampling variance) 1 S X X n = ( i ) n 1 i= 1 Η τιμή που προκύπτει είναι μια εκτίμηση του σ του πληθυσμού.
μέση τιμή και διακύμανση του δειγματικού μέσου μέση τιμή της δειγματικής διακύμανσης Θεώρημα 1: Έστω X1, X,... X n ένα τυχαίο δείγμα από ένα πληθυσμό με μέση τιμή μ και διακύμανση σ. Τότε 1. EX ( ) = μ. 3. Var X ( ) = σ / ES ( ) = σ n
Πόρισμα: Έστω 11 1 1 1 X, X,... X n ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους 1 n από ένα πληθυσμό με μέσο μ 1 και διακύμανση X, X,... X n ένα τυχαίο δείγμα σ 1 και 1 μεγέθους n από ένα άλλο ανεξάρτητο πληθυσμό με μέσο μ και διακύμανση Τότε: σ. E ( X X ) = μ μ 1 1 σ σ Var( X1 X ) = + n n 1 1
Θεώρημα : Έστω 1 Δειγματοληψία από κανονικούς πληθυσμούς X, X,... n μέση τιμή μ και διακύμανση σ, τότε X ένα τυχαίο δείγμα από ένα κανονικό πληθυσμό με (i) X N n ( μσ, / ) (ii) ( n 1) S σ X n 1 (iii) Τα στατιστικά X και S είναι ανεξάρτητα.
Δειγματοληψία από κανονικούς πληθυσμούς Παράδειγμα 1. Έστω ότι η ετήσια αποταμίευση (σε εκατ. δρχ.) μίας κατηγορίας νοικοκυριών με ορισμένο επίπεδο εισοδήματος και περιουσιακών στοιχείων είναι μία τυχαία μεταβλητή, Χ, η οποία ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο μ=5 και τυπική απόκλιση σ=1. Αν πάρουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n=16 νοικοκυριών από τον πληθυσμό αυτό, ποιά είναι η πιθανότητα ο μέσος του δείγματος να υπερβαίνει τα 6 εκατ. δρχ.; Παράδειγμα. Έστω ότι σε μία μεγάλη πόλη η ετήσια δαπάνη για κρέας ποια τετραμελούς οικογένειας κατανέμεται κανονικά με τυπική απόκλιση σ = 0, εκατ. δρχ. Σ ένα τυχαίο δείγμα 15 τέτοιων οικογενειών, ποια είναι η πιθανότητα η τυπική απόκλιση να υπερβαίνει τα 0,3 εκατ. δρχ.;
Δειγματοληψία από κανονικούς πληθυσμούς Παράδειγμα 3. Αν το βάρος Χ του περιεχομένου ενός συσκευασμένου προϊόντος ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 500 γραμ. και τυπική απόκλιση 1 γραμ. να προσδιοριστούν (α) η πιθανότητα σε τυχαίο δείγμα n = 10 προϊόντων η μέση τιμή να είναι μικρότερη από 494 γραμ. και (β) η πιθανότητα του ίδιου ενδεχομένου όταν n = 5.
Δειγματοληψία από κανονικούς πληθυσμούς Θεώρημα 3: Έστω X1, X,... X n ένα τυχαίο δείγμα από ένα κανονικό πληθυσμό με μέση τιμή μ και διακύμανση σ, η οποία υποτίθεται ότι είναι άγνωστη, τότε το στατιστικό X S/ μ n t n 1
Δειγματοληψία από κανονικούς πληθυσμούς Θεώρημα 4: Έστω (, ) X1 S 1 και (, ) X S οι δειγματικές μέσες τιμές και δειγματικές διακυμάνσεις δυο τυχαίων δειγμάτων μεγέθους n 1 και n αντίστοιχα από δυο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυσμούς με μέσες τιμές και γνωστές διακυμάνσεις (, ) μ1 σ 1 και (, ) μ σ αντίστοιχα. Τότε: X X ( μ μ ) 1 1 σ n σ + n 1 1 N(0,1)
Δειγματοληψία από κανονικούς πληθυσμούς Παράδειγμα 4. Ένας καθηγητής διδάσκει το ίδιο μάθημα ταυτόχρονα στα Πανεπιστήμια Α και Β. Για να διαπιστώσει αν υπάρχει διαφορά μεταξύ των δύο τάξεων ως προς την κατανόηση της ύλης, υποβάλλει τις ίδιες περίπου ερωτήσεις στις δύο τάξεις, επιλέγοντας τυχαία το φοιτητή ή τη φοιτήτρια για να απευθύνει μία ερώτηση και βαθμολογώντας τις απαντήσεις μ ένα μη αρνητικό αριθμό. Κατά τη διάρκεια ενός εξαμήνου, ο καθηγητής δε συγκρατεί τα ονόματα των φοιτητών οπότε μπορεί να απευθύνει πάνω από μία ερώτηση σε κάθε φοιτητή ή φοιτήτρια. Έστω ότι οι μέσοι βαθμοί στους δύο πληθυσμούς είναι 600 και 650 και οι διακυμάνσεις 8000 και 9000, αντίστοιχα. Αν υποθέσουμε ότι σ ένα συγκεκριμένο εξάμηνο ο καθηγητής υπέβαλε 45 και 5 ερωτήσεις στις δύο τάξεις, αντίστοιχα, ποιά είναι η πιθανότητα ο μέσος του δείγματος της τάξεως Β να υπερβαίνει αυτόν της τάξεως Α τουλάχιστο κατά 80 μονάδες;
Δειγματοληψία από κανονικούς πληθυσμούς Θεώρημα 5: Έστω (, ) X1 S 1 και (, ) X S οι μέσες τιμές και διακυμάνσεις δυο τυχαίων δειγμάτων μεγέθους n 1 και n αντίστοιχα από δυο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1 και μ αντίστοιχα και κοινή άγνωστη διακύμανση σ. Τότε X X ( μ μ ) 1 1 S p 1 1 + n n 1 t n + n 1 όπου S ( n 1) S + ( n 1) S 1 1 p = n1+ n
Δειγματοληψία από κανονικούς πληθυσμούς Θεώρημα 6: Έστω S 1 και S οι διακυμάνσεις δύο τυχαίων δειγμάτων μεγέθους n 1 και n από δυο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυσμούς με μέσες τιμές και διακυμάνσεις (, ) μ1 σ 1 και (, ) μ σ αντίστοιχα. Τότε S S σ 1 1 σ F n 1, n 1 1
Δειγματοληψία από κανονικούς πληθυσμούς Παράδειγμα 5. Στο Παράδειγμα, μας ενδιέφερε η διακύμανση της μεταβλητής Χ=ετήσια δαπάνη για κρέας των τετραμελών οικογενειών μίας μεγάλης πόλης. Υποθέσαμε εκεί ότι είχαμε ένα τυχαίο δείγμα n 1 =15 τέτοιων οικογενειών και ότι η κατανομή της Χ ήταν κανονική με τυπική απόκλιση σ 1 =0, εκατ. δρχ., δηλαδή διακύμανση σ 1 = 0,04 (εκατ. δρχ.). Υποθέστε τώρα ότι έχετε ένα παρόμοιο δείγμα n =16 οικογενειών από μία μεγάλη πόλη του εξωτερικού (οπότε τα δύο δείγματα μπορούν να θεωρηθούν ότι είναι ανεξάρτητα, εκτός αν υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι δεν είναι), όπου η κατανομή της Χ είναι επίσης κανονική με διακύμανση σ =0,08 (εκατ. δρχ.). Ποιά είναι η πιθανότητα η διακύμανση του δευτέρου δείγματος να είναι τουλάχιστο τετραπλάσια της διακυμάνσεως του πρώτου δείγματος;
KENTΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω X1, X,... X n ανεξάρτητες και ισόνομες (έχουν την ίδια κατανομή) τ.μ. (τυχαίο δείγμα) με πεπερασμένη μέση τιμή μ και διακύμανση σ. Αν το n είναι μεγάλο ( n 30 ), τότε η δειγματική μέση τιμή X έχει κατά προσέγγιση κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και διακύμανση σ / n ή ισοδύναμα X σ / μ n d N (0,1)
KENTΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Παράδειγμα 6. Το καθαρό βάρος (σε κιλά) 1000 πακέτων ζυμαρικών διαφόρων μεγεθών που περιλαμβάνονται σε μία αποστολή ανθρωπιστικής βοήθειας έχει μέσο 5 και τυπική απόκλιση 3. Αν κατά τρόπο τυχαίο ξεχωρίσουμε 100 πακέτα για να σταλούν σε μία συγκεκριμένη περιοχή, ποιά είναι η πιθανότητα το μέσο βάρος τους να είναι μικρότερο από 4,5 κιλά;
Προσέγγιση της Διωνυμικής κατανομής με την Κανονική Αν X Bnp (, ) τότε μ = np σ = np(1 p) εάν τώρα min{ np, n(1 p)} 5 (κανόνας του πέντε) X Nnpnp (, (1 p)) τότε
Προσέγγιση της Διωνυμικής κατανομής με την Κανονική Παράδειγμα 7. Η πείρα μίας ιδιωτικής κλινικής δείχνει ότι το 30% των ασθενών που νοσηλεύονται εκεί καθυστερούν την τακτοποίηση των λογαριασμών τους τουλάχιστο για ένα τρίμηνο. Αν έχουμε ένα δείγμα n = 45 λογαριασμών, ποιά είναι η πιθανότητα να μη τακτοποιηθούν από 10 μέχρι και 15 λογαριασμοί τουλάχιστο για ένα τρίμηνο; Παράδειγμα 8. Ένας μεγάλος αριθμός σπόρων μιας ποικιλίας λουλουδιών αναμειγνύεται με τις ακόλουθες αναλογίες ως προς το χρώμα του λουλουδιού που θα παραχθεί: κόκκινα, άσπρα, 1 μπλε. Οι σπόροι αναμειγνύονται και συσκευάζονται τυχαία σε σακούλες των 100 σπόρων. Να βρεθεί η πιθανότητα μια σακούλα να περιέχει το πολύ 50 άσπρους σπόρους. Παράδειγμα 9. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε την πλευρά «6» ενός ζαριού το πολύ 18 φορές σε 10 ρίψεις;
Προσέγγιση της Διωνυμικής κατανομής με την Κανονική Παράδειγμα 10. Να υπολογιστεί η πιθανότητα σε τυχαίο δείγμα 0 προϊόντων από ένα πολύ μεγάλο σύνολο προϊόντων, να υπάρχουν 4 ελαττωματικά, αν η αναλογία p των ελαττωματικών στο σύνολο της παραγωγής είναι ίση με 5%. Παράδειγμα 11. Ρίχνουμε ένα νόμισμα 400 φορές. Υπολογίστε την πιθανότητα το πλήθος των αποτελεσμάτων «γράμματα» να είναι τουλάχιστον 190 και το πολύ 0.
Προσέγγιση της κατανομής Poisson με την Κανονική Εάν X P( λ) τότε μ = λ σ = λ εάν τώρα λ > 0 X N( λ, λ)
Προσέγγιση της κατανομής Poisson με την Κανονική Παράδειγμα 1. Έστω ότι η μεταβλητή Χ έχει Poisson κατανομή με παράμετρο λ = 3. Να υπολογίσετε την πιθανότητα Ρ(Χ>45) Παράδειγμα 13. Έστω ότι ο αριθμός των παρατηρήσεων «κάντε ησυχία» στη διάρκεια του μαθήματος ακολουθεί την κατανομή Poisson με λ = 7 παρατηρήσεις το δίωρο. Ποια είναι η πιθανότητα να ζητήσω σήμερα να κάνετε ησυχία λιγότερες από 11 φορές;