Sorin Peligrad drian Ţurcanu Marius ntonescu Florin ntohe Lucia Popa gnes Voica Matematică algebră, geometrie Caiet de lucru. Clasa a VI-a Partea I Modalităţi de lucru diferenţiate Pregătire suplimentară prin planuri individualizate Soluțiile testelor de autoevaluare pot fi consultate la adresa: http://www.edituraparalela45.ro/wp-content/uploads/2017/07/solutii_teste_de_autoevaluare_consolidare_clasa6_sem1_2018.pdf Editura Paralela 45
Lucrare elaborată în conformitate cu Programa școlară în vigoare pentru clasa a VI-a, aprobată prin Ordinul Ministrului Educației Naționale nr. 5097/09.09.2009. Editor: Călin Vlasie Corectură: Bianca Vişan, malia Mărăşescu Tehnoredactare: Carmen Rădulescu Pregătire de tipar: Marius Badea Design copertă: Ionuț Broştianu Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României Matematică - consolidare : algebră, geometrie : caiet de lucru : clasa a VI-a / Sorin Peligrad, drian Ţurcanu, Marius ntonescu,... - Piteşti : Paralela 45, 2017 2 vol. ISBN 978-973-47-2602-8 Partea 1. - 2017. - ISBN 978-973-47-2603-5 I. Peligrad, Sorin II. Ţurcanu, drian III. ntonescu, Marius 51 COMENZI CRTE PRIN POŞTĂ Piteşti, jud. rgeş, cod 110174, str. Fraţii Goleşti 130 Tel.: 0248 633 130; 0753 040 444 0721 247 918 Tel./fax: 0248 214 533; 0248 631 439; 0248 631 492 E-mail: comenzi@edituraparalela45.ro sau accesaţi www.edituraparalela45.ro Tiparul executat la tipografia Editurii Paralela 45 E-mail: tipografie@edituraparalela45.ro Copyright Editura Paralela 45, 2017 Prezenta lucrare foloseşte denumiri ce constituie mărci înregistrate, iar conţinutul este protejat de legislaţia privind dreptul de proprietate intelectuală.
Recapitulare 1 Exerciţii şi probleme recapitulative 1 Scrie cu cifre arabe: a) cel mai mic număr impar de două cifre distincte; b) cel mai mare număr par de trei cifre distincte; c) cel mai mic număr de trei cifre cu suma cifrelor 10; d) numerele de trei cifre cu suma cifrelor 26. 2 Scrie: a) cel mai mic număr de forma aab, cu a b; b) cel mai mare număr de forma aab; c) cel mai mic număr de forma abba, cu a b; d) cel mai mare număr de forma abba. 3 Scrie cu cifre romane numerele: 47, 121, 493, 672, 1255, 2017. 4 Ordonează crescător următoarele numere scrise cu cifre romane: XL, XIV, MMXV, CXI, XIX, CM. 5 Determină: a) numărul care împărţit la 5 dă câtul 12 şi restul 3; b) cel mai mare număr natural care împărţit la 11 dă câtul 9 şi restul nenul; c) cel mai mare număr impar care împărţit la 7 dă câtul 10. 6 Calculează suma numerelor care împărţite la 7 dau câtul 5 şi restul nenul. 7 Determină: a) cel mai mic şi cel mai mare număr natural de 3 cifre care împărţit la 19 dă restul 4; b) câte numere naturale de 3 cifre dau la împărţirea cu 19 restul 4. 8 Calculează suma numerelor naturale de 3 cifre care împărţite la 17 dau restul 14. 9 Determină numărul natural abc, ştiind că: abc + bc + c = 161. 10 Dacă a + b = 10 şi b + c = 14, calculează: a) a + 2b + c; b) 2a + 5b + 3c; c) 5a + 3b + 2c. 11 Calculează: a) S 1 = 1+ 2 + 3 +... + 200; b) S 2 = 2 + 4 + 6 +... + 400; c) S 3 = 1+ 4 + 9 +... + 301; d) S 4 = 2 + 5 + 8 +... + 599. 12 Calculează: a) 12 145: 29 + 3 15 ( 142 : 71+ 25 10 ) : 28 275; { [ ]} 3 5 7 2 b) ( ) 11 7 0 2 2 :2 + 3 :27 5. 13 Calculează restul împărţirii numărului: a) = 25a + 60b + 2013 la 5, a, b ; b) B = 1 2 3 100 + 211 la 41. 14 Compară: a) 4 25 şi 8 14 ; b) 3 33 şi 5 22 ; c) 2 103 şi 3 77. 15 Calculează: a) suma pătratelor perfecte de două cifre; b) suma cuburilor perfecte de cel mult două cifre. 16 Determină ultima cifră a numărului: N = 2 401 + 3 402 + 4 403 + 5 404. 17 Rezolvă ecuaţiile: a) 3(2x + 1) 7 = 26; b) 2(5x + 7) + 3(2x 4) = 18; c) 3(x + 5) 6 = 2(5x + 1) 42. 18 Determină numărul natural x în fiecare dintre situaţiile: a) 2 x = 64; b) 3 x = 81; c) x 4 = 2 8 ; d) (2 x ) 3 4 x = 2 20 ; e) 2 x+1 3 x = 72; f) (3 x ) 5 : 9 x = 3 30. 19 Un elev are la biologie notele 9, 5 şi 7. a) Calculează media elevului cu aceste note. b) Care este nota minimă pe care trebuie să o mai obţină elevul pentru a avea media 8? 20 Suma a două numere naturale este 207. flă numerele ştiind că împărţindu-l pe unul la celălalt, obţinem câtul 5 şi restul 3. 21 Diferenţa a două numere naturale este 154. flă numerele, ştiind că unul este de 12 ori mai mare decât celălalt. 22 flă numerele naturale a şi b, ştiind că a + 2b = 4 şi 2a + b = 27. n+ 2 n n n+ 1 23 rată că numărul N = 3 5+ 23 5 este divizibil cu 19 pentru orice n. 3 RECPITULRE
LGEBRĂ 1 Ce aflu Capitolul I. DIVIZIBILITTE NUMERELOR NTURLE Operaţii cu numere naturale; reguli de calcul cu puteri Competenţa: Recunoaşterea unor mulţimi finite; mulţimea numerelor naturale pare/impare, mulţimea cifrelor unui număr Numărul de elemente al unei mulţimi se numeşte cardinalul mulţimii. Numerele naturale sunt numerele care pot reprezenta cardinalul unor mulţimi. Cardinalul mulţimii vide este 0, deci 0 este număr natural. Mulţimea numerelor naturale se notează cu, deci = {0, 1, 2, 3, 4, }. Mulţimea numerelor naturale diferite de 0 se notează cu *, deci * = {1, 2, 3, 4, }. În clasele I-IV au fost învăţate operaţiile de adunare, scădere, înmulţire şi împărţire cu numere naturale. În clasa a V-a au fost completate cunoştinţele despre împărţirea numerelor naturale şi a fost definită operaţia de ridicare la putere. Principalele proprietăţi ale acestor operaţii sunt: dunarea este comutativă, este asociativă, iar 0 este element neutru. Exemple: 1. 1 + 10 + 90 + 999 = (1 + 999) + (10 + 90) = 1000 + 100 = 1100. 2. Suma cifrelor numărului 100...01 este 2 pentru orice n *. n de 0 3. 1 2 3... 100 ( 1 100) ( 2 99 )... ( 50 51) + + + + = + + + + + + = 50 de paranteze ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 1+ 100 + 1+ 100 +... + 1+ 100 = 1+ 100 50 = 1+ 100 100 : 2 = 5050. 50 de paranteze ( + 1) nn 4. 1 + 2 + 3 +... + n= ( 1 + n) n: 2 = (suma lui Gauss). 2 Scăderea nu este comutativă. Egalitatea a b = b a are loc dacă şi numai dacă a = b. Exemplu: x 5 = 5 x x = 5 Înmulţirea este comutativă, asociativă, 1 este element neutru şi este distributivă faţă de adunare şi scădere. Exemple: 1. 25 8 4 3 = (25 4) (8 3) = 100 24 = 2400. 2. Produsul cifrelor numărului 511...14 este 20, pentru orice n *. n de 1 Teorema împărţirii cu rest: Pentru orice numere naturale a şi b, b 0, există două numere naturale unice c şi r, astfel încât a = b c + r şi r < b. Observaţie. Teorema împărţirii cu rest este un procedeu prin care putem să aflăm câtul şi restul unor împărţiri, atunci când acestea sunt greu de calculat direct. În astfel de situaţii, încercăm să scriem deîmpărţitul ca produsul dintre împărţitor şi un număr (acesta va fi câtul!), adunat cu un alt număr mai mic decât împărţitorul (acesta va fi restul!). DIVIZIBILITTE NUMERELOR NTURLE 7
8 Exemple: 1. Calculează câtul şi restul împărţirii numărului 6a + 3b + 25 la 3. 6a + 3b + 25 = 3(2a + b + 8) + 1 şi 1 < 3, deci câtul împărţirii lui 6a + 3b + 25 la 3 este 2a + b + 8, iar restul este 1. 2. Calculează câtul şi restul împărţirii numărului 1 + 2 + 2 2 + + 2 100 la 4. 1 + 2 + 2 2 + + 2 100 = 2 2 (1 + 2 + + 2 98 ) + 3 şi 3 < 4, deci câtul este 1 + 2 + + 2 98, iar restul este 3. Ridicarea la putere este definită astfel: a a... a, pentru n 2 n factori Dacă a * n, atunci a = a, pentru n = 1, 0 n = 0, pentru orice n *, iar 0 0 nu are sens. 1, pentru n = 0 Exemple: 10 3 = 1000, 1 10 = 1, 0 5 = 0, 7 0 = 1, 12 2 = 144. Reguli de calcul cu puteri: am a n = a m+n a m : a n = a m n, dacă m n (a m ) n = a m n (a b) m = a m b m a m : b m = (a : b) m, dacă a b (a m b n ) : (a p b q ) = a m p b n q, dacă m p şi n q Exemple: 2 17 2 23 = 2 40 ; 3 45 : 3 25 = 3 20 ; (5 7 ) 10 = 5 70 ; (2a) 3 = 2 3 a 3 = 8a 3 ; 5 7 3 7 = (5 3) 7 = 15 7 ; 6 17 : 2 17 = (6 : 2) 17 = 3 17 ; (2 19 7 23 ) 2 : (2 37 7 44 ) = (2 38 7 46 ) : (2 37 7 44 ) = 2 7 2 = 2 49 = 98. a mn este o putere care are ca exponent altă putere; se calculează mai întâi exponentul. Exemplu: 10 23 = 10 8 = 100000000. În calcule trebuie respectate ordinea efectuării operaţiilor şi a parantezelor. Ce am înţeles 1. Calculează, folosind formula sumei lui Gauss: a) 1 + 2 + 3 +... + 20 = (... + 20)... : 2 = 21... =.... 35 (... +...) b) 1+ 2 + 3 +... + 35 = =... 2 2. Încercuieşte numerele care dau restul 2 la împărţirea la 5: 42; 31; 64; 27; 5051; 4092. Orice număr care dă restul 2 la împărţirea la 5 are ultima cifră... sau.... 3. Calculează: a) 3 23 3 41 : 3 19 =... b) (2 5 ) 8 : 4 17 =... c) 4 11 9 11 : 18 11 =... Ştiu cum să rezolv 1 Determină cel mai mic număr natural de 3 cifre care împărţit la 37 dă restul 19. Soluţie: 100 = 37 2 + 26; 26 19 = 7; 100 7 = 93; 93 = 37 2 + 19, deci 93 este cel mai mare număr de două cifre care împărţit la 37 dă restul 19; 93 + 37 = 130; 130 = 37 3 + 19, deci 130 este cel mai mic număr de trei cifre care împărţit la 37 dă restul 19. 2 Dacă x + y + z = 10 şi y z = 5, calculează 8x + 11y + 5z. Soluţie: x + y + z = 10 8 8x + 8y + 8z = 80 8x + 8y + 8z + 3y 3z = 80 + 15 8x + 11y + 5z = 95. y z = 5 3 3y 3z = 15
GEOMETRIE 20 Ce ştiu 92 Capitolul I. DREPT Punct, dreaptă, plan; poziţiile relative ale unui punct faţă de o dreaptă; poziţiile relative a două drepte Competenţa: Identificarea unor drepte într-o configuraţie geometrică dată Geometria este o ramură a... care se ocupă cu studiul proprietăţilor figurilor şi corpurilor geometrice. Deşi primele dovezi ale studiului geometrie datează din Babilon şi Egipt în jurul anului 3000 î.hr., cuvântul geometrie provine din limba greacă (geo = pământ, metria = măsură). Principalele figuri geometrice învăţate până acum sunt: triunghiul,..., iar principalele corpuri geometrice sunt: cubul,.... Ce aflu Punctul, dreapta şi planul sunt noţiunile principale ale geometriei plane. cestea sunt folosite pentru definirea celorlalte noţiuni. Punctele se notează cu litere mari de tipar (, B, C,...) şi se reprezintă în desene ca în figura 1. Două puncte pot fi distincte ( B) sau identice (C = D). Dreptele se notează cu litere mici (a, b, c, ) şi se reprezintă în desen ca în figura 2. Un punct poate să aparţină unei drepte sau să fie exterior acesteia. În figura 3, d şi B d. xioma dreptei: Fiind date două puncte distincte, există o dreaptă şi numai una care să le conţină. Cu alte cuvinte, două puncte distincte determină o dreaptă. Drepta determinată de punctele distincte şi B se notează B (figura 4). Trei sau mai multe puncte care aparţin aceleiaşi drepte se numesc coliniare. Putem nota faptul că punctele, B, C sunt coliniare astfel:, B, C (figura 5). Dreapta d din figura 5 se poate nota şi B, C sau BC, iar B = C = BC = d. Dacă, B, C sunt trei puncte coliniare, în această ordine, ca în figura 5, atunci punctele şi C sunt de o parte şi de alta a punctului B, punctele B şi C sunt de aceeaşi parte a punctului, punctele şi B sunt de aceeaşi parte a punctului C, iar punctul B este între şi C. Mai multe drepte care au un punct comun se numesc drepte concurente. În figura 6, a b c = {O}, deci cele trei drepte sunt concurente. d a B Figura 1 Figura 2 B Figura 3 Figura 4 B B Figura 5 a b c O Figura 6 C d C
Planele se notează cu litere greceşti (α, β, γ, ) şi se reprezintă în desen ca în figura 7. Un punct poate să aparţină unui plan ( α), sau poate fi exterior acestuia (B α). Fiind date trei puncte necoliniare, B, C, există un plan şi numai unul care să le conţină. xioma planului: Trei puncte necoliniare determină un plan. Planul determinat de punctele necoliniare, B, C se notează (BC). Dacă două puncte distincte aparţin unui plan, atunci orice punct care aparţine dreptei ce trece prin cele două puncte aparţine acelui plan. Dacă două puncte distincte aparţin unui plan, atunci dreapta determinată de acestea este inclusă în acel plan ( α, B α, B B α). O dreaptă poate fi inclusă într-un plan, poate avea un punct comun cu un plan sau poate să nu aibă puncte comune cu acesta, caz în care spunem că este paralelă cu planul. În figura 8, a α, b α = {} şi d α. Două drepte conţinute în acelaşi plan se numesc coplanare, iar două drepte care nu sunt conţinute în acelaşi plan se numesc necoplanare. Două drepte coplanare care nu au puncte comune se numesc paralele (a b a b = ). Dreptele paralele se reprezintă în desen ca în figura 9. Dacă trei sau mai multe drepte au două câte două un punct comun, atunci sunt coplanare sau concurente. Pentru mate-campioni α b α a b B Figura 7 Figura 8 Figura 9 Fiind date n puncte, n, n 3, oricare trei necoliniare, atunci oricare două determină o dreaptă. stfel, numărul dreptelor determinate de cele n puncte este egal cu numărul perechilor ce conţin două din cele n puncte, adică n(n 1). 2 Fiind date n puncte, n, n 3, astfel încât exact p din cele n puncte sunt coliniare şi nu există alte trei n(n 1) p(n 1) puncte coliniare, atunci numărul dreptelor determinate de cele n puncte este + 1. 2 2 Ce am înţeles 1. Fie, B, C trei puncte distincte. cestea determină: a) o dreaptă dacă sunt...; b)... drepte dacă sunt necoliniare. 2. Dreptele distincte B, C şi D se numesc drepte.... 3. Calculează numărul maxim de drepte determinat de: a) 8 puncte... b) 14 puncte... c) 22 de puncte... d) 201 puncte... a d DREPT 93
178 Modele de teză TEZ 1 (1p) 1. Scrie toţi divizorii numărului 14. (1p) 2. Calculează complementul şi suplementul unui unghi cu măsura de 33. (1p) 3. Determină valoarea numărului x astfel încât 2017 x + 1 2 =. 12 3 1 1 1 (1p) 4. Calculează 0,25 + 0, ( 3 ) + +. 2 2 3 (1p) 5. Determină cel mai mic număr natural care împărţit la 7 dă restul 5 şi împărţit la 11 dă restul 9. (1p) 6. Determină numerele de forma 2a6b divizibile cu 45. (1p) 7. Dacă B CD = {O} şi m( OD) m( OC) = 48, calculează m( BOD). (1p) 8. rată că numerele 7n + 8 şi 6n + 7 sunt prime între ele pentru orice număr natural n. (1p) 9. Bisectoarele a două unghiuri adiacente formează un unghi cu măsura de 37. flă măsurile celor două unghiuri, ştiind că unul dintre ele are măsura cu 16 mai mică decât dublul măsurii celuilalt. TEZ 2 (1p) 1. Scrie toţi multipli de două cifre ai numărului 19. (1p) 2. Desenează trei drepte concurente a, b, c în planul α şi punctele a, B b, C c şi D a astfel încât B CD. ab = 0, 51. 33 (1p) 3. Determină numărul natural ab ştiind că ( ) (1p) 4. Suma a două numere prime este 61. Calculează produsul acestora. (1p) 5. Determină măsurile a două unghiuri ştiind că sunt complementare şi unul dintre unghiuri are măsura cu 22 mai mare decât triplul măsurii celuilalt. (1p) 6. Fie numărul 2 32 N = 1+ 5 + 5 +... + 5. rată că: a) N 5. b) N 31. (1p) 7. Determină valorile numărului natural n astfel încât (n + 1) (3n + 11). (1p) 8. Determină cel mai mic număr natural diferit de 5 care împărţit pe rând la 9, 15 şi 12 dă de fiecare dată restul 5. (1p) 9. Calculează câte drepte distincte determină 15 puncte în fiecare dintre următoarele situaţii: a) oricare trei puncte sunt necoliniare; b) 4 dintre cele 15 puncte sunt coliniare, iar, în rest, oricare trei puncte sunt necoliniare.
Cuprins RECPITULRE 1. Exerciţii şi probleme recapitulative...3 2. Modele de teste pentru evaluarea iniţială...5 LGEBRĂ Capitolul I. DIVIZIBILITTE NUMERELOR NTURLE 1. Operaţii cu numere naturale; reguli de calcul cu puteri...7 2. Divizor, multiplu...12 3. Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, 9...16 4. Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în...20 5. Numere prime, numere compuse...23 6. Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime...27 7. Divizori comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.d.c...31 8. Numere prime între ele...35 9. Multiplii comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c.; relaţia dintre c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c...38 10. Probleme simple care se rezolvă folosind divizibilitatea...42 Test de autoevaluare...45 Recapitulare şi sistematizare prin teste...46 Capitolul II. OPERŢII CU NUMERE RŢIONLE POZITIVE 11. Fracţii echivalente; fracţii ireductibile...48 12. Noţiunea de număr raţional; forme de scriere a unui număr raţional; Ì...53 13. dunarea numerelor raţionale pozitive...57 14. Scăderea numerelor raţionale pozitive...62 15. Înmulţirea numerelor raţionale pozitive...66 16. Ridicarea la putere cu exponent număr natural a unui număr raţional pozitiv...71 17. Reguli de calcul cu puteri...75 18. Împărţirea numerelor raţionale pozitive...80 19. Ordinea efectuării operaţiilor...85 Test de autoevaluare...89 Recapitulare şi sistematizare prin teste...90 GEOMETRIE Capitolul I. DREPT 20. Punct, dreaptă, plan; poziţiile relative ale unui punct faţă de o dreaptă; poziţiile relative a două drepte...92 21. Semidreapta, semiplanul...97 22. Segment. Lungimea unui segment; distanţa dintre două puncte...101 23. Segmente congruente; construcţia unui segment congruent cu un segment dat...105 24. Mijlocul unui segment; simetricul unui punct faţă de un punct...109 Test de autoevaluare...113 Recapitulare şi sistematizare prin teste...114
Capitolul II. UNGHIURI 25. Unghiul. Clasificare...116 26. Măsurarea unghiurilor cu raportorul...120 27. Unghi drept, unghi ascuţit, unghi obtuz; unghiuri congruente...124 28. Calcule cu măsuri de unghiuri exprimate în grade şi minute sexagesimale...128 29. Unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi...132 30. Unghiuri suplementare; unghiuri complementare...136 31. Unghiuri opuse la vârf...140 32. Unghiuri formate în jurul unui punct...144 Test de autoevaluare...148 Recapitulare şi sistematizare prin teste...149 Capitolul III. CONGRUENŢ TRIUNGHIURILOR 33. Triunghi, elemente; perimetru; clasificarea triunghiurilor...151 34. Construcţia triunghiurilor: cazurile L.U.L., U.L.U., L.L.L...155 35. Congruenţa triunghiurilor oarecare...159 36. Criterii de congruenţă a triunghiurilor: L.U.L, U.L.U., L.L.L...163 37. Elemente de raţionament geometric...167 38. Metoda triunghiurilor congruente...171 Test de autoevaluare...175 Recapitulare şi sistematizare prin teste...176 MODELE DE TEZĂ...178 PROBLEME PREGĂTITORE PENTRU OLIMPIDE ŞI CONCURSURI...180 RĂSPUNSURI...182