ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 Θέµα ο ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α) Λάθος διότι η f είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. β) Σωστό διότι f ( ) f > άρα lim γ) Σωστό διότι από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ( aβ ) f ( β ) f a f '( ) > a β, f > κοντά στο τέτοιος ώστε: διότι f άρα f ( a) < f ( β ) 4 δ) Λάθος διότι f '',. (Παράδειγµα: για την f ε) Σωστό διότι αν 3 f ' 4, f '' για κάθε R ) f για κάθε [ α, β ] είναι: τότε f d ÈÅÌÁÔÁ 3 β (άτοπο) στ) Σωστό διότι αν η f δεν παίρνει τουλάχιστον ετερόσηµες τιµές θα είναι f για κάθε [ aβ, ] β a d> f άτοπο. Θέµα ο Α. A (, + ) πεδίο ορισµού f '. Όµως η f δεν είναι παντού ίση µε µηδέν, οπότε ' ' ' ( ln ( a) ) ln ( a) ( ) ( a) ln ( a) a ( ) ( a) ln ( a) ln ln ( a) () Είναι ln a f ' ln a ln a a a
Β. α) Για α έχουµε: ln f, > και ln f ', > ln f ' ln + f '( ) + - f ma ln f β) lim f lim lim ln + + + ma ln + ' ln ( ln ) lim f lim lim lim lim lim + + ' + + + + ( ) ) Άρα f (,, και f, + ), Η είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη και η y οριζόντια ασύµπτωτη. κ γ) ln ( κ ) ln ( κ ) + κ > + κ + ln κ > κ ln κ + κ + lnκ > κ ln ( κ + ) lnκ ln ( κ + ) > κ κ + f ( κ ) > f ( κ+ ) ισχύει διότι + > 8> και f στο, + ) κ κ ÈÅÌÁÔÁ 3
Θέµα 3ο Α. α) + β i( a βi) i a ( β ) ( β ) i f ( a) z + f i f a i f i f ( a) i f ( a) ( ) + f ( a) i a + i f a + a f a + i a + f a + z R αν και µόνο αν a + f a f a a β) Ισχύει z iw a + βi i( f ( a) + i f ( β )) a + βi f ( β ) if ( a) οπότε β και f ( β ) a. Άρα w β + α i. Έστω A( aβ, ) και B( β, a). Είναι f ( a) ( OA) a + β,( OB) a + β δηλαδή AB ισοσκελές. Επειδή ( AB) ( a β ) ( a β ) + + O > ( β ) a β aβ a β aβ a OA OB + + + + + + το τρίγωνο είναι και ορθογώνιο. Β. α) Έχουµε a + βi i( f ( a) + if ( β )) a + βi + if ( a) f ( β ) ( β ) ( β ) β ( β ) a + f + i f a a + + f a + f ( ) a + f β + β f a a + β + f a + f β ( β ) ( β ) β β β ( β ) a + f + a f + + f a f a a + + f a + f a f ( β ) β f ( a) a f ( β ) β f ( a) β) Έστω A( aβ, ) και B( f ( a), f ( β )) β λ OA και a Λόγω της λ OB f ( β) οι συντελεστές διεύθυνσης ΟΑ και ΟΒ αντίστοιχα f ( α ) είναι λoa λob που σηµαίνει Α, Ο, Β συνευθειακά. (Είναι f ( a) διότι αν f ( a ) τότε και f ( β ) άτοπο) C στο (, ( )) ( ) '( )( ) η οποία διέρχεται από το f ( ) f '( ) f '( ) f ( ) γ) Η εξίσωση της εφαπτοµένης της f y f f M f είναι ÈÅÌÁÔÁ 3, όταν. Αρκεί να αποδείξουµε ότι έχει µια τουλάχιστον λύση στο (α,β) η εξίσωση Έστω ' f ' f f f ' f. f g, a, [ β]
Η g είναι παραγωγίσιµη στο [ aβ, ] και f ( α) f ( β ) g ( α) g( β) a β λόγω της Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Roll, έχει µία τουλάχιστον λύση στο ( α, β ) η εξίσωση g '( ) δηλαδή η ισοδύναµη της f f Θέµα 4ο ' α) + '' ' 4 t f t dt t f t dt f tdt t + '' ' ( t ) f ( t) dt t f ( t) dt 4 f '' ' ( t + ) f ( t) dt t f ( t) dt f () Με παραγώγιση των µελών της () έχουµε: ( + ) f '' f ' f f ' ( + ) f '' + f ' f f ' ' ' ' ( + ) f f Για ' είναι f Η () γράφεται: ( ) f ' f ' 4 C άρα C + + ' ' ' ( + ) f Άρα Για είναι β µέθοδος f, άρα ( ) ' + f f + C () + f + C C άρα C. Εποµένως Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουµε: f ), R + ( ÈÅÌÁÔÁ 3 ' ' ' 4 t + f t t f t dt t f t dt f tdt ( ) ' ' 4 t f f f + ( ) f ' f ( ) f ' f + + +
' ' ( + ) f Άρα + f + c Για είναι f a + a c δηλαδή + + c οπότε ( ) f f β) ( ) a Ε a d ln + ' d ln + ln a +. Το a είναι συνάρτηση του χρόνου οπότε: ' a t a ' t E ( a) ln ( a ( t) ) + ' ( a ( t) + )' a t + a t + 3 Είναι a '( t) cm / sc και a( t) 3cm, άρα Ο ρυθµός µεταβολής του E a όταν a 3cm. γ) i ) Αφού + για κάθε > ισχύει: f g + f g ( + ) + + Είναι lim lim. + + + + Άρα g ( ) ÈÅÌÁÔÁ 3. 3 ' 3 E cm / sc cm / sc. 9 + lim + που σηµαίνει ότι η ευθεία y + είναι πλάγια + ασύµπτωτη της C στο +. g ii) Είναι και E g + d g + d g + f (ερώτηµα i) g + f. Άρα g + f d g + d d + ( ) E ln + E ln 5 E ln 5
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 4 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. ες σχολικό βιβλίο, σελίδα 94: Θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Ι > ες σχόλιο σελίδα 346. Ι f(3) f() < γιατί f(3) < f() I 3 f '(3) f '() < γιατί η κλίση της C f στο (3, f (3) ) είναι αρνητική και στο (, f () ) είναι θετική. Γ. γ β 3 α 4 δ. ες σχολικό βιβλίο, σελίδα 4 στίχοι έως 8. ΘΕΜΑ ο Έχουµε: lim (g() + ) () και lim (f() - - ) + + g' () α. i) Tο κλάσµα ορίζεται σε διάστηµα της µορφής (α, + ), αφού f '(). Στο είναι f '() - (g() + )' (f() - - )' () g' () f '() - g' () Ακόµα: f '() g '() g '()f '(), οπότε: lim. + f '() - Από το πρώτο θεώρηµα του D l' Hospital προκύπτει: g() + (g() + )' L lim lim lim + f() - - + (f() - - )' + g' (). f '() - ii) Είναι lim (g() + ) lim g() -, άρα η C f έχει στο + οριζόντια ασύµπτωτη την ευθεία + y. Πάλι, lim (f() - - ) + την ευθεία y + + lim[ f() - (+ ) ] +, άρα η C f έχει στο + πλάγια ασύµπτωτη β) Έστω ότι η g έχει δύο διαφορετικές ρίζες ρ, ρ στο IR µε ρ < ρ. ( απόδειξη µε άτοπο) Eφαρµόζεται το θεώρηµα του Roll για την g στο [ρ, ρ ] γιατί, ως παραγωγίσιµη στο IR η g είναι συνεχής στο [ρ,ρ ] η g είναι παραγωγίσιµη στο (ρ,ρ ), και ακόµα g(ρ ) g(ρ ). Εποµένως, υπάρχει ξ (ρ, ρ ) τέτοιo, ώστε g '(ξ). Τότε: f '(ξ) g'(ξ) f '(ξ). Άτοπο, γιατί f '(). Έτσι, η g έχει το πολύ µια ρίζα στο IR. ÈÅÌÁÔÁ 4 γ) Έχουµε f '() g '() (f() g())' ()', άρα, από τις συνέπειες του Θ. Μ. Τ. του διαφορικού λογισµού, υπάρχει αριθµός c IR τέτοιος, ώστε f() g()+c () ή f () g () + + c 4. ( ) Επειδή υπάρχουν τα όρια lim (f() - - ) και lim [(g() + ) + c - 4] + c - 4, από την () + + είναι ίσα. Προκύπτει, εποµένως : c 4 ή c 4. Άρα, είναι: f() g() 4, IR.. [ Στην () καταλήγουµε και µε ολοκλήρωση των δύο µελών της f '() g '() ]
ΘΕΜΑ 3ο Α. i) Επειδή, προφανώς, η f(t) είναι συνεχής στο IR, η g παραγωγίζεται στο IR µε t α + g '() >, εποµένως, η g είναι γνησίως αύξουσα και σαν τέτοια είναι και t α+ αντιστρέφεται. ii) Η C g είναι το σύνολο των σηµείων (, g()) µε IR, άρα η C g είναι το σύνολο των σηµείων (g(), ) και σ' αυτήν ανήκουν οι εικόνες Μ(g(), ) του z g()+i, IR Β. α) Έχουµε κατά σειρά z +i z g() i+i g()+i g () + (- ) (g() -) +.. g() g() R(z) Im(z), IR β) Θεωρούµε την συνάρτηση: h() g(), IR. Από το Βα είναι g() g() h() για κάθε IR. Ακόµα, g() d h(), έτσι η h έχει ακρότατο (ολικό µέγιστο) για. t a+ Είναι h'() g'(), IR t α + Επειδή το είναι εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού της h και η h παραγωγίζεται σ' αυτό, από το θεώρηµα του Frmat προκύπτει : h'() ή ισοδύναµα α. α + γ. Έπειδή η g παραγωγίζεται στο IR θα είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιµη στο (, ). Από το Θ.Μ.Τ του διαφορικού λογισµού, υπάρχει ξ (, ) µε g () - g() g '(ξ ) ή - dt dt t t ξ a + ή a + a + dt t a + t a + dt a + Έπειδή ξ (, ) είναι διαδοχικά: < ξ < ή ξ () < ξ < [ γνησίως αύξουσα στο IR ] ή + < + ξ < + ή < < ξ + + + ή < < ξ + a+ + [ α ] ÈÅÌÁÔÁ 4 και η () δίνει το ζητούµενο: < dt dt + < t t a + a + +
ΘΕΜΑ 4ο α) i) Είναι f () + g () (), IR και f () g () (), IR οπότε: ( f () + g () )' ή f()f '() + g()g '() ή f()g () + g()g '() και επειδή g() είναι f ()g() + g '() g '() f() g(), IR ii) Επειδή η g δεν µηδενίζεται και είναι συνεχής, ως παραγωγίσιµη, διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο IR. Είναι g() >, άρα: g() > (3), IR. H f είναι γνησίως αύξουσα στο IR, γιατί από την (): f '()g () >. Από την (): f () + g () f () + f (). (4) Ετσι, για < f () < f () f () < για > f () > f () f () > H g '() g()f(), λόγω της (3), έχει για κάθε αντίθετο πρόσηµο της f(), που σηµαίνει ότι για < είναι f () < g '() > και για > είναι f () > g '() < Άρα, η g, ως συνεχής στο, είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (, ] και γνησίως φθίνουσα στο [, + ) και έχει ακρότατο (ολικό µέγιστο) το g(), το οποίο αποδεικνύει το ζητούµενο. β i) Λόγω της (3) ισχύει η ισοδυναµία: g( ) < g( ) g ( ) < g ( ) f '( ) < f '( ), για κάθε, IR. που σηµαίνει, τελικά, ότι η f έχει ίδια µονοτονία µε την g. Eποµένως, η f είναι κυρτή στο (, ], κοίλη στο [, + ) και έχει σηµείο καµπής το (, f ()) (, ). Άλλος τρόπος. Επειδή η g είναι παραγωγίσιµη, είναι παραγωγίσιµη και η g, άρα από την () και η f, που σηµαίνει ότι υπάρχει η f. Τότε: f ''() ( f '() )' (g ())' g() g '() έτσι, από την (3), η f ''() για κάθε έχει ίδιο πρόσηµο µε την g'(): για < είναι g '() > f ''() > και για > είναι g '() < f ''() < Eπειδή η f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο προκύπτει, ότι είναι κυρτή στο (, ], κοίλη στο [, + ) και έχει σηµείο καµπής το (, f ()) (, ). ii) Η ζητούµενη εξίσωση είναι y f () f '() ( ) ή y f '() ή y αφού από την () έπεται f '(). γ. Επειδή η f είναι κοίλη στο [, + ), τα σηµεία της C f είναι κάτω από τα σηµεία της εφαπτοµένης της y για κάθε (, + ), εποµένως: f () f () για κάθε [,+ ) Είναι Ε - f() d ( αi) + g '() d g() ÈÅÌÁÔÁ 4 ( - f())d + ln g() + ln g() - - ln g() + ln g() - ln + ln[g()]. [ γιατί g( ) > από την (3) ]
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέµα ο Γ. (Λάθος) (Σωστό) 3 (Λάθος) 4 (Λάθος) διότι από Θ.Μ.Τ. υπάρχει f ( α β ) τέτοιος ώστε f ( ), ( α ) < f ( β ) f ( β ) f ( α ) > β α διότι α<β και 5 (Λάθος) διότι: αν f για κάθε [ aβ, ] τότε f d> Θέµα ο α) Για κάθε >, f ( ln ) + ( ln ) ( ln ) ln + + β) lim f lim ln + + διότι lim + και lim ln + + γ) Για κάθε χ>, f ( ln ) ln ( ) ln ln ln ln ln ln ln < Είναι OEΦE ΘEMATA 5 + f () + - F() κυρτή Σ.Κ κοίλη β α
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 δ) ( ) ( ) (,) f ln M το σηµείο καµπής ln ln ln E d d d + / / ( ln ) ( ln ) / + + ln + ln 8 + ( ) + ( ) 8 6 τ.µ. Θέµα 3 ο α) R Im z > z > + > Έστω f +, R. Τότε f + f () + F() H f για χ παρουσιάζει ελάχιστο το. Άρα f f f ( ) > για κάθε R β) w + ( ) i + + ( ) i + i + ( ) + i ( ) + + Έστω g ( ) + +, [,] Η g είναι συνεχής στο [, ] g + > δηλαδή + i + + i + i OEΦE ΘEMATA 5 Άρα g g < g + Σύµφωνα µε το θεώρηµα Bolzano υπάρχει (,) τέτοιος ώστε που σηµαίνει ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον πραγµατικός. g τέτοιος ώστε W να είναι,
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 3 z + το οποίο γίνεται ελάχιστο όταν η συνάρτηση γ) h + ( ) έχει ελάχιστο. h + ( ). Προφανής λύση είναι η χ διότι h. Είναι h 4 + >. Άρα η h. + h () + H() min Για κάθε χ< ισχύει h h ισχύει h > h. Εποµένως η Συνεπώς ο µιγαδικός z ( ) i i Θέµα 4 ο α) + ( συν ) < και για κάθε χ> h έχει ελάχιστο στο χ. + έχει το µικρότερο µέτρο. f + f + f ηµ f f Άρα υπάρχει c Rτέτοιο ώστε: συν, f f c + + R + f συν + c. f συν + c + c c συν f R + συν συν f + f + K συν + + συν, R + + + διότι συν lim + + lim f Για χ είναι Εποµένως, Έχουµε β) Επειδή + OEΦE ΘEMATA 5, σύµφωνα µε το κριτήριο παρεµβολής είναι γ) Με ολοκλήρωση των µελών της () παίρνουµε π / π / π / f d + f d συνd () π / π / π /
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 π / d θέτουµε u οπότε d du. Στο f ( ) π / Για π / είναι u π / και για π / είναι u π / π / π / π / f du f u du f u du. Άρα ( ) π / π / π / Η () γράφεται: / [ ηµ ] ηµπ ηµ ( π ) I + I π Ι / / + π / Εποµένως Ι. π δ) Βρίσκουµε την ελάχιστη και µέγιστη τιµή της f στο,. ηµ f ( + ) ( + ) συν ηµ ( + ) + ( + ) για κάθε [, π / ]. Άρα f στο [, π / ] οπότε f τιµή και f ( π / ) η ελάχιστη. π / Ισχύει f απ όπου προκύπτει ότι f συν < OEΦE ΘEMATA 5 4 η µέγιστη π d 4.
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Β) α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Λάθος Θέµα z + i i w i α) iz z + i i i z z + z w + i z + i + z + i + i + i z i + iz β) Λόγω (α) ερωτήµατος έχουµε: w i w + i. Αν w + yi τότε + yi i + yi + i + y i + y + i + y + y + + y y + + y + y + y Άρα το σηµείο Μ ανήκει στον. z + i z i γ) w I w w + iz iz z + i iz + iz z i z + i iz z + z ( z + iz z i + z) z + i iz z + z z iz z + i z z z z z z I. f ( a) i + i f ( a) + f β i f ( β ) < f a + i f a f a δ) Έχουµε διότι > Άρα f ( a) f ( β ) <. Η f είναι συνεχής στο [ aβ, ]. Σύµφωνα µε το θ. Bolzano η εξίσωση f ( ) έχει µια τουλάχιστον λύση στο ( aβ, ). ÈÅÌÁÔÁ 6
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 Θέµα 3 α) f ' a οπότε f ' a ε : y f () f '()( ) y ( a) β) Είναι f a ln a - lna + f ( ) - + f ( ) Η f στο ln a παρουσιάζει ελάχιστο το ln a Επειδή g a aln a a aln a g ' a lna lna < για κάθε a (, + ) και g συνεχής στο [, + ) η g είναι στο [, + ) οπότε για κάθε a > ισχύει ga < g () a γ) i) ( ) E a f a d. Επειδή η f είναι κυρτή διότι f '' > και η ψ ( α ) εφαπτοµένη της f ισχύει : f a για κάθε R a Άρα ( + ) ( ) E a a a d d E a ii) a a a a τ.µ. a a. Είναι a a a a a a lim a lim c στο, a f, ÈÅÌÁÔÁ 6 a + a a + a lim lim lim +. Εποµένως lim E ( a) α + a a + ( α ) α + a + a +
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 3 Θέµα 4 α) Θέτουµε t u t dt du dt du οπότε για κάθε είναι dt du Για t είναι u και για t είναι u. u Άρα g f ( u) d u f ( u) du Επειδή το ολοκλήρωµα είναι ανεξάρτητο της µεταβλητής ολοκλήρωσης, έχουµε. g t f ( t) dt, τότε β) Η g είναι συνεχής στο, g t f dt f t dt Είναι Επειδή (Η lim όταν lim g g. t f f και t f ( t) dt lim t f t dt t f t dt είναι παραγωγίσιµη, άρα και συνεχής) σύµφωνα µε το θ. D L Hospital έχουµε t f ( t) dt lim g lim f f f lim lim διότι η f είναι συνεχής στο Άρα lim g g που σηµαίνει ότι η g είναι συνεχής στο γ) Για κάθε > η ανισότητα γράφεται: t f ( t) dt < f ( t) dt t f t dt < f ( t) dt ÈÅÌÁÔÁ 6 t f ( t) dt < f ( t ) dt Έστω η συνάρτηση: t f t dt f t dt < h t f t dt f t dt,
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 4 h f f t dt f διότι από f t > προκύπτει ότι: f t dt> για κάθε χ>. f t dt < για κάθε χ>. Η h είναι συνεχής στο [,+ ) (πράξεις συνεχών συναρτήσεων) Άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ). Εποµένως για κάθε χ> ισχύει h < h Αλλά h g ( ) < για κάθε χ>. t f t dt συνεπώς δ) Η g είναι παραγωγίσιµη στο [, ] και ισχύει: g t f t dt t f t dt + t f ( t ) dt 4 4, t f ( t ) dt g ( ) ÈÅÌÁÔÁ 6. Σύµφωνα µε το Θ. Roll υπάρχει ξ τέτοιος ώστε Με παραγώγιση των µελών της g t f t dt έχουµε: g g ' f g g ' f προκύπτει: g ( ξ ) + ξ g '( ξ ) f ( ξ ) g( ξ ) f ( ξ ) g ' ξ. + + οπότε για ξ
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θέµα ο Β.. Λάθος. Σωστό 3. Σωστό 4. Λάθος 5. Λάθος 6. Σωστό Θέµα ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ α) ' ( + ) ( ) ( + ) f a a a f ( ) a και f ' ( ) a ε : y a a y a + a η εξίσωση της εφαπτοµένης στο (, f ( )) Μ. Ταυτίζεται µε την y + όταν a και a δηλαδή όταν a. β) Για f a είναι ( + ) και f ' + < για κάθε R διότι + < και > για κάθε R. Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. γ) lim lim ( ) διότι lim ( ) + + f + + και lim + ( + ) + + + ( + ) ( )' ' lim f ( ) lim ( ) + lim lim + + + + + ( ) + ' lim lim lim + + ' + ( ) OEΦE ΘEMATA 7 δ) Από (β) και (γ) συµπεραίνουµε ότι το σύνολο τιµών της f ( ) είναι f ( Α ) (, + ) το οποίο περιέχει το 7. Η f ( ) στο R, άρα η εξίσωση f ( ) 7 έχει ακριβώς µια ρίζα στο R.
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 Θέµα 3 ο α) z + w z w... z w + z w z w + z w ( z w ) ( z w ) R R β) Ισχύει z w + z w (ερώτηµα (α)) z w z w. ιαιρούµε µε ww w και έχουµε z z που σηµαίνει ότι z w φανταστικός. w γ) Αν Α, Β οι εικόνες των, ( ΑΒ ) z w. w z w τότε z, Αρκεί ότι ( ΟΑ ) + ( ΟΒ ) ( ΑΒ) ( z w ) R ισχύει. ΟΑ ΟΒ w και z + w z w... β µέθοδος uuur uuur uuur uuur Η ισότητα z + w z w γράφεται ισοδύναµα OA + OB OA OB uuur uuur uuur uuur ( OA + OB ) ( OA OB ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA + OB + OA OB OA + OB OA OB... uuur uuur OA OB Άρα AOB 9 γ µέθοδος Αν Γ η 4η κορυφή του παραλληλόγραµµου µε πλευρές ΟΑ και ΟΒ, τότε ΟΓ + και ( ΑΒ ) z w επειδή z + w z w είναι z w ( ΟΓ ) ( ΑΒ ). Εποµένως ΟΑΓΒ ορθογώνιο. δ) Είναι z w a + i f ( a ) f ( β ) + βi a f ( β ) β f ( a ) + a β + f ( a ) f ( β ) i f ( a ) f ( β ) οπότε R ( z w ) a f ( β ) β f ( a ). a β Θα αποδείξουµε ότι έχει µια τουλάχιστον λύση στο ( a, β ) η εξίσωση f ( ) f ' f... '. Εφαρµόζεται το Θ. Roll για f ( ) την h ( ) στο [ a, β ], άρα υπάρχει ( a, β )... OEΦE ΘEMATA 7
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 3 Θέµα 4 ο α) g ' ( ) και g' ' ( ) + + g + - " g β) Για ( + ) Σ. Κ. g. Ισχύει η ισότητα είναι Για κάθε > εφαρµόζεται το Θ.Μ.Τ. στο [ ] g ( ) g ( ) g ( ) ξ (, ) τέτοιος ώστε g ' ( ξ ) g ' ( ξ ) +, + και [ ) < ξ< (ερώτηµα α) β µέθοδος Θα αποδείξουµε ότι: g d t + + t + Έστω h, οπότε υπάρχει Έχουµε g ' ( ) g ' ( ξ ) g ' ( ). Ισχύει διότι ' h d t, + t + ( + ) + + + > + + + για κάθε (, + ) και h συνεχής στο [ ) h ( ) στο [ ) Όµοια αποδεικνύουµε ότι : g ( ), +. Εποµένως για κάθε h g g d t d t + t + t γ) Έστω + ( ) + ' + + Για Είναι h ( ) g στο, +. Άρα ισχύει h ( ) h για κάθε [, + )... OEΦE ΘEMATA 7 άρα h c είναι h. Εποµένως β µέθοδος Είναι g ( ) + g ( ) d t + d t + t + t Στο g ( ). θέτουµε t u τότε d t d u Άκρα ολοκλήρωσης h, για κάθε R. 3
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 4 Για t, u και για t, u. g d t d u + t + u Άρα ( ) δ) Αφού f ( t ) Εποµένως + t > τότε g ( ) d t>. Άρα + t ' ' Ε g d g d g g d g d g ln ( + ) ' d + g ln + g ln τ.µ. OEΦE ΘEMATA 7 4
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Βλέπε Πόρισµα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. β. Βλέπε σελίδα 4 σχολικού βιβλίου. Β. α. (Σ), β. (Σ), γ. (Σ), δ. (Σ). Γ. α., β. 8, γ. 44 ΘΕΜΑ ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ α. Η f είναι συνεχής για <, ως πολυωνυµική και για >, ως άθροισµα της τριγωνοµετρικής ηµ µε την σταθερή c() λ. Στο έχουµε: lim f() lim (ηµ + λ) λ + lim f() + lim ((µ ) + ) Ακόµα f(). Για να είναι η συνάρτηση συνεχής στο πρέπει και αρκεί: lim f() + lim f() f() λ Εποµένως, η ζητούµενη τιµή είναι λ. β. Για > έχουµε: Για < έχουµε: f() f() ηµ + λ lim lim + + ηµ + ηµ lim lim + + ÈÅÌÁÔÁ 8 f() f() (µ ) + lim lim (µ ) lim µ Για να είναι η συνάρτηση παραγωγίσιµη στο πρέπει και αρκεί: f() f() f() f() lim lim µ µ + Εποµένως, η ζητούµενη τιµή είναι µ. γ. Είναι π.χ. f (π) f(π) λ, άρα η συνάρτηση δεν είναι.
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 δ. Είναι ηµ +, f() +, αν > αν και π ΘΕΜΑ 3 ο π f() d f() d+ f() d (+ ) d+ + α. i. Για κάθε IR είναι : f () ' ( + [ συν + ] π π + )' π (ηµ+ ) d + + Επειδή > είναι f () < στο IR, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο IR ii. Για κάθε IR είναι: f () ( + )' (+ )' + ( ) + ( + ÈÅÌÁÔÁ 8 ) Έτσι:f () ( + ) και f () > >, f () < < H f είναι συνεχής στο IR µε f () < στο διάστηµα (, ), άρα στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστηµα (, ]. Ακόµα είναι f () > στο διάστηµα (,+ ), άρα η f στρέφει τα κοίλα άνω στο [, + ). Τέλος, η συνάρτηση έχει σηµείο καµπής το (, f ()), γιατί εκατέρωθεν του αλλάζει κυρτότητα και υπάρχει η εφαπτοµένη της γραφικής της παράστασης σ αυτό, αφού είναι παραγωγίσιµη. Είναι f () έτσι, η συνάρτηση έχει σηµείο καµπής το (, ). β. Θα βρούµε, αν υπάρχουν, τα όρια: lim f() lim και lim f() lim + + Θέτουµε u οπότε: Τότε είναι: lim u lim (- ) και lim u lim (- ) - + + και - lim f() lim lim u + + u
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 3 lim f() lim ( u ) lim Εποµένως, η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει οριζόντια ασύµπτωτη την y στο + και την y στο. u γ. Με βάση τις πληροφορίες των προηγουµένων ερωτηµάτων σχεδιάζουµε την γραφική παράσταση της συνάρτησης: y δ. Στο α ερώτηµα βρήκαµε f () <, οπότε f () f () και έτσι: E f ' () d f ' () d ln ΘΕΜΑ 4 ο + ln / + [ ()] ln ln τµ f f() + f ln α. Επειδή οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς, οι συναρτήσεις f(t) dt και g(t) dt, που ορίζονται από ολοκλήρωµα, είναι παραγωγίσιµες, έτσι µπορούµε να παραγωγίσουµε και τα δύο µέλη της (), οπότε έχουµε: ( f(t) dt )' ( g(t)dt)' ÈÅÌÁÔÁ 8 ή f () g() + g(t) dt (3) Για παίρνουµε: f () + Με από την (3) έχουµε: και: y Ο y f() y g(t) dt g() + g(t)dt + f () f () + f () 3
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 4 lim f() lim g() + g(t)dt Επειδή η g είναι συνεχής στο IR, άρα και στο, είναι lim g( ) g(). Η συνάρτηση h(), οπότε: Εποµένως, το όριο: lim g(t) dt, IR, είναι παραγωγίσιµη, άρα είναι συνεχής στο g(t)dt lim h() h() lim g(t)dt g(t)dt είναι µορφή / και υπολογίζεται µε τον κανόνα του D L Hospital: Έτσι: οπότε, τελικά: lim g(t)dt ( lim f() lim lim g() + g(t)dt)' g() lim g() ()' g(t)dt g() f() f() f() f '() lim lim g() β. H () για δίνει g(t) dt (4) Επειδή η g() δεν µηδενίζεται και είναι συνεχής στο IR διατηρεί πρόσηµο σ αυτό. Αν ήταν g() > τότε g(t)dt > > Άτοπο. Άρα είναι g() <, για κάθε IR. γ. H () για δίνει f(t) dt f(t) dt (5) Είναι g() < g() > για κάθε IR, έτσι: ÈÅÌÁÔÁ 8 µε είναι [ g(t)]dt g(t)dt, άρα: g(t) dt µε < είναι [ g(t)]dt > g(t)dt >, άρα: g(t) dt < Εποµένως, για κάθε IR από την () είναι: g(t) dt f(t) dt 4
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 5 f(t) dt [ f(t) dt από (5)] f(t) dt f(t) dt ος τρόπος: Έστω η συνάρτηση F() f(t) dt, IR για την οποία F () f (). Από την (3), αφού g() <, βρίσκουµε: µε > είναι f () g() + g(t) dt < F () < µε είναι f () F () µε < είναι f () g() + g(t) dt > F () > οπότε η F() έχει µέγιστο το F(), άρα για κάθε IR : F() F() f(t) dt f(t) dt δ. (Απόδειξη µε Roll σε αρχική). Θεωρούµε την συνάρτηση: Η() f(t) dt g(t)dt µε [, ] Επειδή οι f, g είναι συνεχείς, οι συναρτήσεις f(t) dt και g(t) dt ως οριζό- µενες από ολοκλήρωµα, είναι παραγωγίσιµες. Ακόµα η είναι παραγωγίσιµη, ως πολυωνυµική, άρα η Η(), ως αλγεβρικό άθροισµα παραγωγίσιµων συναρτήσεων, είναι: Παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της, άρα και στο (, ) µε Η () f () g() συνεχής στο [, ], ως παραγωγίσιµη σ αυτό. Ακόµα: Η() και Η() f(t) dt g(t)dt f(t) dt g(t)dt ( ) [ από (4) και (5) ] Εποµένως, εφαρµόζεται για την Η() το θεώρηµα του Roll, οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) µε ÈÅÌÁÔÁ 8 Η (ξ) f (ξ) g(ξ) f (ξ) g(ξ) +, που σηµαίνει ότι το ξ είναι ρίζα στο (, ) της εξίσωσης f () g() +. 5
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο Α. Σχολ. Βιβλίο σελ. 6 Β.. Σχολ. Βιβλίο σελ. 8. Σχολ. Βιβλίο σελ. 9 Γ.. Σ. Λ 3. Λ 4. Σ 5. Λ ΘΕΜΑ ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. z + z + z z + z + µε z z (τύποι Vita) z ή + i 3 i 3-4.. -3 z και z 3 3 και z + z + z + z + z z z + z ή Β. Οι αριθµοί z και z συζυγείς οπότε z z z 9 9 z + σαν άθροισµα συζυγών Άρα R z Γ. ÈÅÌÁÔÁ 9 z 3 9 9 9 z + + z + z + z. z + z z+ z + z+ 8 8 3 3 3 z 3 + i.... Έστω g f 3 +, συνεχής στο [,] σαν άθροισµα συνεχών (f παραγωγίσιµη οπότε και συνεχής και 3+ συνεχής ως πολυωνυµική µε ( z z ) z z z z z + z +. () f () + + + + + 4 + 4 + 4 3 > g z z zz zz 3 z + z 5 5 και g() f () 3+ + 3 < z z 4z z 4 3
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Άρα από το Θεώρηµα Bolzano υπάρχει (,) ώστε g ( ) f ( ) 3 + f ( ) 3 Ε. w (z +z )(-)- δηλαδή Γ (-,), και ΘΕΜΑ3 o 3 9 3 ΓΑ + + + 3 4 4 3 ΓΒ + + 3 Άρα ΓΑ ΓΒ Α. f + + ln µε π.ο. D (,+ ) f + > f (, + ) f < f κοίλη στο (, + ) Β. lim f lim( + + ln ) + + + > f Α, -, Β, ÈÅÌÁÔÁ 9 3 ( + + ) + + + + δηλαδή f(α) (, + ) + f (A έχει η f() ρίζα στο (,+ ) lim f lim ln + Αφού το ) f (,+ ) Γ. Θέλω g() g( ) δηλαδή η g να έχει ελάχιστο στο. Έχω g () ( ln + )( + ) ln ln + ln + ( + ) ( + ) ln + + Αν f ( + ) ( + ) f g f ( + ) + ln τότε, µοναδική γιατί
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 3 άρα η g() έχει ελάχιστο στο δηλαδή g ) g( ) (. Θέλω f(-)<f(+)-f(+4) f(+4) f(+)<f(+)-f(-) f ( + 4) f ( + ) f ( + ) f ( ) < ( + 4) ( + ) ( + ) ( ) έχω από Θ.Μ.Τ. ότι υπάρχουν ξ, ( +, + 4) και ξ (, + ) ώστε ( f ( + 4) f ( + ) f ξ ) ( + 4) ( + και ) ( f + f f ξ ) ( + ) ( δηλαδή θέλω ) f ( ξ ) < f ( ξ ) ΘΕΜΑ 4 o Όµως f κοίλη στο (,+ ) δηλαδή (, + ) f και< - < ξ <+<ξ <+4 Θα είναι f ( ξ ) > f '( ) δηλαδή ισχύει το ζητούµενο. ' ξ Α. Για κάθε (, + ) είναι: f + - f ( + ) (- ) [f( _ )] _ f + c Για είναι f() + c c _ Άρα f Έστω ω τότε ω, ω (, + ). Άρα f(ω) ω -/ω Τελικά f() -/ η λύση: f ( ) +, > Θέτω ω ω > (, + ). ÈÅÌÁÔÁ 9 Άρα f (ω) ( ω +) -/ω f (ω) (ω -/ω ) f(ω) ω -/ω + c Για είναι ω άρα f() - + c c Άρα f(ω) ω -/ω, ω> ή f() -/, > 3
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 4 Β.. Είναι f () -/ + -/ f (), f() Η εφαπτοµένη στο είναι: y f() f ()(-) y -. Είναι: f () 3 -/ ( + ) (ε) -/ > για >. Άρα η f() είναι κυρτή στο (, + ) και η C f βρίσκεται πάνω από την (ε) εκτός του σηµείου επαφής. Είναι f() - f() - + για κάθε [,] Άρα f Γ. g() 3. t Άρα Ε lim t + (f() - + )d > f()d + [- + ] _ > > στο [,t] g()d t f()d + f()d - > -/ d [ -/ ] t ω lim ( ) ( ) t + ω E( t) lim (Έστω - t ω, όταν t + τότε ω ) t (- + )d > ÈÅÌÁÔÁ 9 f()d > -/t - - τ.µ. 4