1. Relţii metrie în triunghiul orere 1.1. Teoreme le isetorelor GEOMETRIE Teorem 1.1.1. (Teorem isetorei interiore) Fie triunghiul B, (D isetore interioră unghiului şi D (B), tuni: DB B. D Demonstrţie. Duem rin B o rlelă l D re întâlneşte e în M. liăm teorem lui Thles în triunghiul BM şi oţinem: DB M (1) D (D fiind isetore interioră unghiului, vem ă D BD, dr BD BM (lterne interne) şi BM D (oresondente). Dei BM BM. Oţinem stfel ă triunghiul BM este isosel u MB () DB B Din relţiile (1) şi () oţinem ă, şi stfel teorem este D demonstrtă. DB B DB D B B B Din oţinem su, de D D D B unde D, re se mi srie B D (3) M tuni B D BD B D, dei DB () 75
Oservţie. Pentru un lus de reizie se ote numi est "rim teoremă isetorei interiore". Teorem 1.1.. (Teorem reiroă teoremei isetorei interiore) DB B Fie triunghiul B, D (B) stfel înât, tuni (D este D isetore interioră unghiului. Demonstrţie. Fem eeşi onstruţie l teorem diretă, diă duem rin B o rlelă l D re întâlneşte e în M. Din ioteză vem ă DB B (1) D Fiindă D MB oţinem DB M () D Din (1) şi () oţinem BM, dei triunghiul MB este isosel u BM BM (3) Din rlelism vem: MB BD (lterne interne) () şi BM D (oresondente) (5) Din relţiile (3), (), (5) oţinem ă BD D, diă (D este isetore interioră unghiului. Teorem 1.1.3. (Teorem isetorei exteriore) Fie triunghiul B u B. Dă (E este isetore exterioră EB B unghiului, E B, tuni. E Demonstrţie. Duem rin untul B o rlelă l E re întâlneşte e în N. liăm teorem lui Thles în triunghiul E: EB N (1) E Din rlelism oţinem NB ME (oresondente), BN EB (lterne interne). Din ioteză vem ă ME EB, dei NB BN, diă triunghiul BN este isosel u (B) (N) () EB B Din (1) şi () oţinem: şi teorem este demonstrtă. E 76
M N E B EB B Din oţinem (în iotez >B) E EB B EB B E EB B B B B B de unde EB, re se mi srie EB. tuni B E EB B Dei E. Oservţii. 1) ondiţi B din teorem isetorei exteriore este esenţilă deoree dă B tuni isetore exterioră unghiului este rlelă u B, dei nu mi există E. ) Teorem isetorei exteriore fost demonstrtă de Pus. 3) Un lus de reizie ere să numim estă teoremă dret "rim isetorei exteriore". liţie. Dă I este entrul erului însris în B şi {D}I B re lo ID relţi:. I ID BD Demonstrţie. u teorem isetorei în BD oţinem:, dr I B BD, tuni ID I 1, dei ID I. 77
I B D Teorem 1.1.. (Teorem reiroă teoremei isetorei exteriore) Fie triunghiul B şi E B\[B] stfel înât EB B, (1) E tuni (E este isetore exterioră unghiului. Demonstrţie. Treuie B, deoree dă B, din (1) r rezult EBE, relţie imosiilă din uz oziţiei lui E e B. Fem eeşi onstruţie l teorem isetorei exteriore, diă duem rin B o rlelă l E re întâlneşte e EB N în N. u teorem lui Thles în triunghiul E oţinem:, ir din E EB B ioteză, dei NB, diă BN este isosel u BN NB. Dr E BN EB şi NB ME, dei EB ME, relţie e sigură ă (E este isetore exterioră unghiului. 1.. Teorem lui Pitgor generliztă Teorem lui Pitgor din triunghiul dretunghi dmite o generlizre entru triunghiul orere. Teorem 1..1. Într-un triunghi orere ătrtul lungimii unei lturi este egl u sum ătrtelor lungimilor elorllte două lturi din re se sde su se dună dulul rodusului lungimii unei dintre este lturi u lungime roieţiei eleillte e e B B B D (1) B B B D () Demonstrţie. Fie B un triunghi şi D roieţi lui e B. Din triunghiurile BD şi D dretunghie în D oţinem: B D BD, D D 1) Dă m( )<90 tuni treuie să rătăm ă: B B B D (1) 78
vem BD B-D. Într-devăr dă m( B)<90 tuni D [B] şi BDB- D. Dă m( B)90 D oinide u B şi vem BD0B-B. Dă m( B)>90, B (D) şi BDD-B B-D. vem dei B D BD D (B D) (D D ) B B D B B D B D B D ) Dă m( )>90 treuie să demonstrăm ă: B B B D În est z vem BDBD şi oţinem: B D BD D (B D) (D D ) B B D B B D Oservţii. 1) Semnul din fţ dulului rodus este influenţt numi de unghiul ous lturii e re o lulăm. ) Enunţul teoremei lui Pitgor generliztă nu revede dret z seil lterntiv m( )90 în re funţioneză teorem lui Pitgor roriu zisă: B B. est z ote fi inlus, relţiile (1) su () onservându-şi vlilitte. 3) Teorem lui Pitgor generliztă ne jută să fem o demonstrţie ridă reiroei teoremei lui Pitgor. ) Teorem lui Pitgor generliztă şi reiro teoremei lui Pitgor ne ermit să reizăm (duă măsur unghiurilor) felul triunghiului: otuzunghi, suţitunghi, dretunghi. 1.3. Teorem lui Stewrt Teorem 1.3.1. Fie M un unt e ltur [B] unui triunghi B. re lo relţi: M B B M MB B BM M (1) Demonstrţie. Fie L roieţi untului e B. liăm teorem lui Pitgor generliztă în triunghiurile M şi MB. Oţinem: M M M ML BM 79
B M MB BM ML M Dă înmulţim ele două eglităţi, rim u BM, ir dou u M şi le dunăm memru u memru se v redue termenul M BM ML şi oţinem: BM B M M BM M BM M M MB M BM B M M (BM M) M BM MB M BM B B M L M M B M BM(M MB) BM B M M B M BM B M B B M BM B BM M diă oţinem relţi de demonstrt. 1.. Teorem lui Vn uel în triunghiul dretunghi Teorem 1..1. Dă M este un unt orere e iotenuz [B] unui triunghi dretunghi B, re lo relţi: B M (1*) M B MB M B Demonstrţie. liăm teorem lui Stewrt: M B B M BM B BM M (1) Înmulţim relţi (1) u M şi oţinem: M B M B M BM M B BM M () Înmulţim relţi (1) u MB şi oţinem: M B MB B M MB BM B BM M (3) dunăm memru u memru relţiile () şi (3) şi gruând, oţinem: 80
M B (M MB) B M BM B M MB MB M B BM M(M MB) su M B B M BM M MB(B ) B BM M () Dr B B şi tuni () devine M B B M BM M MB B B BM M dei M B B M BM. orolr 1..1. Pătrtul lungimii isetorei este medie rmoniă între ătrtele lungimilor segmentelor determinte de e e iotenuză. Dă M este isetore tuni MB M M. MB M B MB B MB u teorem isetorei oţinem, de unde su M M B M MB (5) u (5) relţi lui Vn uel (1*) se mi srie B M B M B M (B ) M su B B M B M M B M B M 1 1 1 M M MB M M MB MB M dei M. M MB orolr 1... Dă triunghiul B este dretunghi isosel, vem: MB M M Dă B relţi (1*) devine: B (M MB ) M B (B B B ) M MB su M. 81
1.5. lulul lungimii isetorelor interiore Teorem 1.5.1. Fie B un triunghi şi [D isetore interioră unghiului B, u D (B). tuni D ( ) su ( ) D ( ) (unde ) su l ( ). B BD Demonstrţie. Din teorem isetorei vem ă, re se mi srie D BD BD D B, de unde oţinem:, de unde D D D D. tuni BD B D. Dei BD. Vom srie relţi lui Stewrt entru zul ând M este în D. Oţinem: D B B D BD B BD D Înlouind e B u, B u, u şi D u, ir BD u oţinem: D, de unde D, ( ) re se mi srie: ( ) D ( )( ) ( ) ( ) (m ţinut sem ă şi tuni ). ( ) Dei D, diă relţi de demonstrt. ( ) 1.6. lulul lungimii înălţimilor unui triunghi Teorem 1.6.1. Dă B este un triunghi orere vem h ( )( )( ), 8
83 unde h este înălţime oresunzătore lturii, ir. Demonstrţie. În triunghiul B, duem înălţime ' (h ). Dintre ele două unghiuri B şi el uţin unul este suţit. Să resuunem ă est este B. u teorem lui Pitgor generliztă oţinem: ' B B B, de unde oţinem: B B B ' B B ' B, re se mi srie '. Din triunghiul dretunghi ' (m( ')90 ) u teorem lui Pitgor oţinem: ' ' ) ( )] ( [ ) )( ( ) ( ) )( )( )( ( ) )( )( ( ) )( )( ( ),, ( Dei ) )( )( ( ', de unde ) )( )( ( ', diă tomi relţi de demonstrt.
1.7. Teorem medinei Teorem 1.7.1. Într-un triunghi B vem relţi: ( ) m, (1) unde B,, B, m ', ' este mijloul lui [B]. Demonstrţie. Sriem relţi lui Stewrt în zul ând M este mijloul ' l segmentului [B]. Oţinem: ' B B ' 'B B ' m ( ) m, diă relţi de demonstrt. B ' L Fig. 1. Proleme rezolvte R1.7.1. În orie triunghi sum ătrtelor lungimilor medinelor este trei ătrimi din sum ătrtelor lungimilor lturilor, diă: 3 m m m ( ) () Demonstrţie. Din relţi (1) şi nlogele oţinem: ( ) ( ) ( ) m, m, m. tuni ( ) ( ) ( ) m m m 3( ). 8
R1.7.. Dă G este untul de onurenţă medinelor ', B, ' l triunghiului B, să se demonstreze relţi: (G G') ' (GB G) B (G G') ' Soluţie. Ţinem sem ă entrul de greutte l unui triunghi se găseşte l de 3 1 1 1 vârf şi l de ză, diă G m, G ' m, GB m, GB ' m, 3 3 3 3 1 G m, G ' m, relţi de demonstrt devine: 3 3 1 1 1 m m m m m m 3 3 3 3 3 3 3 3 1 ( ). 3 3 m ţinut sem ă m m m ( ). ' G B ' Fig.. R1.7.3. Într-un triunghi dretunghi u lungimile tetelor şi şi lungime iotenuzei vem relţi 5 m m () Demonstrţie. Într-un triunghi dretunghi medin m oresunzătore iotenuzei re lungime. tuni folosind relţi şi ţinând sem ă 3 m m m ( ) (teorem lui Pitgor), oţinem: 85
de unde m 86 3 ( m 5 ), m m, (5) 5 ir dă triunghiul este dretunghi isosel relţi () devine m, de unde 5 m. 8 R1.7.. Triunghiul u două medine ongruente este isosel. Soluţie. Din m m m m su ( ) ( ), re se mi srie, de unde 3 3, dei. R1.7.5. Diferenţ ătrtelor lungimilor două lturi le unui triunghi este eglă u dulul rodus dintre lungime lturii trei şi lungime roieţiei medinei oresunzătore e e ltură. liăm teorem lui Pitgor generliztă în triunghiurile şi ' oţinem (Fig. 1): B ' 'B 'B 'L şi ' ' ' 'L, de unde rin sădere memru u memru oţinem: B B 'L (m ţinut sem ă ') relţie re se mi srie (fără restrânge generlitte onsiderăm B>) 'L (6) diă: R1.7.6. Se onsideră triunghiul B u medin D şi înălţime E. Să se demonstreze relţi: B B D B DE Soluţie. În triunghiul BD u m( DB)<90, liăm teorem lui Pitgor generliztă: B BD D BD DE (*) liăm eeşi teoremă în triunghiul D u m( D)>90 şi oţinem: D D D DE (**) dunăm memru u memru relţiile (*) şi (**) şi oţinem:
BD D (***) B B E D Fig. 3. Din relţi (6) vem: B B ED dunând memru u memru ultimele două relţii oţinem: B BD D B ED su B BD D B ED, re se mi srie: B B D B ED, relţie re treui demonstrtă. 1.8. Teorem lui Leiniz Teorem 1.8.1. Dă M este un unt ritrr în lnul triunghiului B, ir G este entrul de greutte l triunghiului, re lo relţi: M MB M 3MG G GB G (1*) Demonstrţie. Fie ' mijloul lui [B]. Sriem relţi lui Stewrt entru triunghiul M' şi untul G (') şi oţinem: MG ' M 'G M' G ' G G' tuni oţinem: 1 MG M M' ' (1) 3 3 9 Fiindă M' este medină în triunghiul MB, vem ( MB M ) B M' () u (), relţi (1) devine: 1 (MB M ) B MG M ', 3 3 9 re se mi srie (rin înmulţire u 3) 87
B 3MG M MB M ' (3) 3 Fiindă G' este medină în triunghiul GB oţinem: (GB G ) B G', de unde B (GB G ) G' () G M B ' Fig.. u (), relţi (3) devine: 3MG M MB M GB G G' ' (5) 3 1 3 Folosind eglităţile G' G şi ' G, relţi (5) devine: G 9 3MG M MB M GB G G, 3 re se mi srie M MB M 3MG G GB G, relţie e treui demonstrtă. onseinţ 1.8.1. Sum ătrtelor distnţelor de l M l vârfurile triunghiului este minimă ând M oinide u G. Fiindă 3 m m m ( ) şi G m, GB m, 3 3 G m tuni (1*) devine: 3 1 M MB M 3MG ( ) (6) 3 88
ir ând MG0 oţinem M MB M. 3 onseinţ 1.8.. Dă M oinide u entrul erului irumsris O, tuni 1 OG [9R ( )] (7) 9 ând M oinide u O vem OOBOR, ir (6) devine: 1 O OB O 3OG ( ), 3 1 diă 3R 3OG ( ), de unde oţinem: 3 9R ( ) OG, diă relţi (7). 9 Din OG 0 rezultă 9R ( ) 0, de unde R. 9 onseinţ 1.8.3. OH 9R ( ) GH [9R ( )] 9 OH Se foloses relţiile OH3 OG şi GH OG. Pentru OG, relţi (7) 3 devine OH 1 [9R ( )], 9 9 de unde OH 9R ( ) (8) GH u GH OG, diă OG, relţi (7) devine GH 1 [9R ( )], 9 de unde GH [9R ( 9 )] 89
onseinţ 1.8.. Dă O 9 este entrul erului lui Euler vem 1 O9G [9R ( )] 36 OH vem relţi GO 9, de unde OH 36 GO9 ir din (8) oţinem: 6 36GO9 9R ( ), de unde 9R ( ) GO9. 36 1.9. liţii 1.9.1. Fie, B,, D vârfurile unui ătrt şi M, N, P, Q mijloele lturilor lui. Să se demonstreze ă, dă O este un unt orere din lnul ătrtului, tuni exresi: O OB O OD (OM ON OP OQ ) re vlore ri ătrtului. M B O Q N D P Demonstrţie. liăm teorem medinei în triunghiurile: OB, BO, OD, DO şi oţinem: (O OB ) B (OB O ) B OM, ON (O OD ) D (OD O ) D OP, OQ dunând memru u memru ele tru relţii de mi sus oţinem: (OM ON OP OQ ) (O OB O OD ) B (m ţinut sem ă BBDD), de unde oţinem O OB O OD OM ON OP OQ B, diă relţi erută. Teorem 1.9.. (Teorem lui Euler entru trulter) 90
În orie trulter BD sum ătrtelor lungimilor lturilor este eglă u sum ătrtelor lungimilor digonlelor lus de tru ori ătrtul segmentului re uneşte mijloele digonlelor, diă B B D D B EF (1*) unde [] şi [BD] sunt digonlele trulterului BD, ir E este mijloul lui [], F este mijloul lui [BD]. D F E B Demonstrţie. u teorem medinei în triunghiul B oţinem: (B ) BE Din triunghiul D u eeşi teoremă oţinem: (D D ) DE Din triunghiurile BD şi BD, entru medinele [F] şi [F] vem relţiile: (D B ) BD (D B ) DB F, F dunând memru u memru ele tru relţii de mi sus oţinem: BD BE DE F F B B D D (1) liăm teorem medinei în triunghiurile BED şi F şi oţinem (BE DE ) BD (F F ) EF, EF de unde BD BE DE EF () şi F F EF (3) Folosind relţiile () şi (3), relţi (1) devine: 91
BD BD EF EF B B D D, relţie ehivlentă u EF BD B B D D, diă tomi relţi de demonstrt. zuri rtiulre 1) BD rlelogrm (mijloele digonlelor oinid). Dei EF0. tuni (1*) devine B B D D BD, relţie re se mi srie (B B ) BD dei: În orie rlelogrm sum ătrtelor lungimilor lturilor este eglă u sum ătrtelor lungimilor digonlelor. B D ) BD trez u zele B şi D (B>D). tuni EF şi (1*) devine B B B D D BD BD B D B D, D dei Într-un trez sum ătrtelor lungimilor digonlelor este eglă u sum ătrtelor lungimilor lturilor nerlele lus de două ori rodusul lungimilor zelor. 3) BD este dretunghi. tuni relţi (1*) devine (B diă oţinem teorem lui Pitgor. 1.10. Teorem lui Menelus B ) su B B Teorem 1.10.1. Fie B un triunghi ',, ' trei unte stfel înât ' B,, ' B. Dă untele ',, ' sunt olinire, tuni re lo relţi: 'B ' 1 ' 'B Demonstrţie. 1) Trnsversl '' interseteză două lturi şi relungire eleillte lturi triunghiului. B 1 ' 1 1 B ' 9
Proietăm vârfurile triunghiului B e dret '', şi oţinem untele 1, B 1, 1. Fiindă 1 BB 1 rezultă ă 'BB 1 ~ ' 1. tuni oţinem: 'B BB1 (1) ' 1 Triunghiurile 1 şi 1 sunt semene ( 1 1 ) şi tuni 1 () 1 Şi triunghiurile ' 1 şi B'B 1 sunt semene ( 1 BB 1 ) şi vem: ' 1 (3) ' B BB1 Înmulţind relţiile (1), () şi (3) memru u memru şi simlifiând, oţinem: 'B ' 1. ' ' B ) Trnsversl '' interseteză relungirile lturilor triunghiului B. B ' ' B 1 1 1 Proietăm vârfurile triunghiului B e dret '' şi oţinem resetiv untele 1, B 1, 1. Fiindă 1 BB 1, triunghiurile 'BB 1 şi ' 1 sunt semene. tuni re lo relţi: 'B BB1 (1) ' 1 Din semănre triunghiurilor 1 şi 1 ( 1 1 ) oţinem: 1 () 1 um din semănre triunghiurilor ' 1 şi 'BB 1 ( 1 BB 1 ) rezultă ă: ' 1 (3) 'B BB1 Prin înmulţire relţiilor (1), () şi (3) memru u memru şi duă simlifiări, 'B ' oţinem: 1, diă relţi e treui demonstrtă. ' 'B Teorem 1.10.. (Reiro teoremei lui Menelus) 93
onsiderăm un triunghi B şi untele ' B,, ' B. Dă două dintre untele ',, ' sunt situte e două lturi le triunghiului, ir l treile unt este situt e relungire elei de- trei lturi su ă tote untele ',, ' sunt e relungirile lturilor triunghiului şi re lo relţi: 'B ' 1 (1) ' 'B tuni untele ',, ' sunt olinire. Demonstrţie. onsiderăm zul ând două unte sunt e lturi şi elăllt e relungire elei de- trei lturi. Presuunem ă dret ' interseteză ltur [B] în untul '' '. liăm teorem lui Menelus entru untele ',, ''. Oţinem: 'B '' 1 () ' ''B Din relţiile (1) şi () oţinem: ' 'B '' ''B ','' B ' Fiindă există un singur unt interior unui segment re îmrte segmentul într-un rort dt, rezultă ă untul '' oinide u ', diă untele ',, ' sunt olinire. 1.11. Teorem lui Vn uel Teorem 1.11.1. Fie B un triunghi şi untele ' (B),, ' B. Dă dretele ', B, ' sunt onurente într-un unt M tuni re lo relţi: ' M ' B M' 9
B ' M Demonstrţie. liăm teorem lui Menelus entru triunghiul ' şi trnsversl B. Oţinem: M 1 (1) B M' Din relţi (1) oţinem: M () B M' liăm um teorem lui Menelus entru triunghiul 'B şi trnsversl '. Oţinem: B M' ' 1, ' M 'B de unde rezultă ă ' ' M (3) 'B B M' dunând relţiile () şi (3) memru u memru oţinem: ' M ', 'B M' B de unde ' M. 'B M' 1.1. Teorem lui ev ' Teorem 1.1.1. (Teorem lui ev) Se onsideră triunghiul B şi untele ' B,, ' B. Dă dretele ', B, ' sunt onurente, tuni 'B ' 1 ' 'B Demonstrţie. 1) onsiderăm untul O de interseţie l dretelor ', B, ' fiind situt în interiorul triunghiului. onsiderăm triunghiul B' şi trnsversl '. u teorem lui Menelus oţinem: 95
'B O ' 1 (1) ' O' B ' O B ' liăm um teorem lui Menelus entru triunghiul ' şi trnsversl B. Oţinem: O' B 1 () O B' Înmulţind memru u memru relţiile (1) şi () şi simlifiând oţinem: 'B ' 1, diă relţi e treui demonstrtă. ' 'B ) onsiderăm untul de interseţie l dretelor ', B, ' fiind O şi re este situt în exteriorul triunghiului B. liăm teorem lui Menelus entru triunghiul 'B şi trnsversl O'. Oţinem: B O' ' 1 (1) ' O 'B liăm um teorem lui Menelus entru triunghiul ' şi trnsversl BO. Oţinem: O 1 () B O' B ' O ' Înmulţim memru u memru relţiile (1) şi () şi oţinem duă simlifiări 'B ' 1 ' ' B 96
Teorem 1.1.. (Reiro teoremei lui ev) Dă e lturile unui triunghi B onsiderăm untele ',, ' (' B,, ' B) tote e lturi su unul e lturi şi elellte două e relungiri, stfel înât să vem relţi: 'B ' ' 1 ' B tuni dretele ', B, ' sunt onurente. Demonstrţie. Presuunem ă dretele ', B, ' nu sunt onurente. Fie ' B{O} şi O B{''}, ' ''. Din teorem lui ev oţinem 'B ' ' 1 (1) ' ' ' B Din ioteză vem 'B ' 1 () ' 'B Din relţiile (1) şi () rezultă ' este identi u ''. 1.13. onurenţ liniilor imortnte în triunghi 1.13.1. Medinele unui triunghi sunt onurente în untul G (entrul de greutte l triunghiului). Demonstrţie. Fie ', B, ' medinele triunghiului B. tuni ',, ' sunt mijloele lturilor [B], [] şi resetiv [B]. ' G B ' liăm reiro teoremei lui ev şi oţinem: 'B ' 1, ' ' B diă medinele sunt onurente. 1.13.. Bisetorele interiore le unghiurilor unui triunghi sunt onurente în I (entrul erului însris). Demonstrţie. u teorem isetorei interiore oţinem: 'B B B ', şi. ' B 'B B 97
' J B ' Prin înmulţire relţiilor de mi sus memru u memru oţinem: 'B ' B B 1, ' 'B B B de unde onform reiroei teoremei lui ev oţinem ă isetorele interiore le unghiurilor unui triunghi sunt onurente. 1.13.3. Bisetorele exteriore două unghiuri unui triunghi sunt onurente u isetore interioră elui de-l treile unghi într-un unt I (entrul erului exînsris). Demonstrţie. u teorem isetorei interiore entru ' oţinem: 'B B ' B ' Im J ' u teorem isetorei exteriore entru B şi ' oţinem: B ' şi B ' B B Înmulţind memru u memru ele trei relţii de mi sus oţinem: 98
'B ' B B 1 ' ' B B B de unde onform reiroei teoremei lui ev rezultă ă ele două isetore exteriore şi isetore interioră sunt onurente în I. 1.13.. Înălţimile unui triunghi sunt onurente în untul H (ortoentrul triunghiului). Demonstrţie. Fie ', B, ' înălţimile triunghiului B. Din semănre triunghiurilor 'B şi 'B oţinem: 'B B (1) 'B B ' H B ' Din semănre triunghiurilor dretunghie B şi ' oţinem: B () ' Din semănre triunghiurilor dretunghie ' şi B oţinem: ' (3) B Din relţiile (1), () şi (3) rin înmulţire memru u memru oţinem: 'B ' B B 1, ' B ' B B re se mi srie: 'B ' 1 ' ' B şi onform reiroei teoremei lui ev, înălţimile ', B, ' sunt onurente. 1.1. Lem lui rnot şi liţii Teorem 1.1.1 (Lem lui rnot). Fie triunghiul B şi untele ' B,, ' B. Perendiulrele în ',, ' e B,, resetiv B sunt onurente dă şi numi dă 'B ' ' ' B 0 (*) 99
' M B ' Demonstrţie. Presuunem ă ele trei erendiulre sunt onurente într-un unt M. liăm teorem lui Pitgor în triunghiul dretunghie M, M', M, M, M', BM' şi oţinem relţiile: ' B BM M', ' M M' M M, M M ' M M', ' B BM M' Săzând dou relţie din rim oţinem: ' B ' BM M (1) Săzând tr relţie din trei oţinem M M () Săzând şse relţie din ine oţinem ' ' B M BM (3) dunând memru u memru relţiile (1), (), (3) oţinem relţi (*). Reiro, resuunem ă re lo relţi din enunţ şi rin reduere l surd resuunem ă ele trei erendiulre nu sunt onurente. Fie M untul de interseţie l erendiulrelor din şi ' e lturile oresunzătore şi '' iiorul erendiulrei din M e B. ' M B ' '' Din ioteză vem: 'B ' ' ' B 0 u teorem diretă vem ''B '' ' 'B 0 Săzând relţiile de mi sus oţinem: ' B ''B ' '' 0 'B ' ''B '' 100
(' B ')('B ') (''B '')(''B '' ) (' B ') B (''B '') B ' B ''B ' '' ''' '' ' ' '' 0 ' ''. Oservţie. Relţi (*) ote fi utiliztă în rezolvre unor roleme re er demonstrre onurenţei unor drete. orolr 1.1.1. Pentru zul ând M', M, M' sunt meditorele lturilor onurenţ este evidentă şi re lo relţi (*). 1.15. Teorem triunghiurilor ortologie Teorem 1.15.1. Fie B şi '' două triunghiuri situte în elşi ln. Să se demonstreze ă dă erendiulrele din, B, e lturile ['], [''], ['] sunt onurente tuni şi erendiulrele din ',, ' e lturile [B], [], [B] sunt onurente. (ele două triunghiuri se numes ortologie.) Demonstrţie. Fie 1, B 1, 1 iiorele erendiulrelor oorâte din, B, ' ' ' e lturile ['], [''], ['] şi 1, B 1, 1 iiorele erendiulrelor oorâte din ',, ' e [B], [], [B]. ' 1 1 ' 1 B 1 O O' 1 B 1 u lem lui rnot vem: 1 1' B1' B1' 1' 1 0 (1*) u teorem lui Pitgor în triunghiurile dretunghie 1 şi ' 1 oţinem 1 1 şi 1' ' 1 de unde rin sădere memru u memru devine 1 1' ' (1) În triunghiurile dretunghie BB 1 ' şi BB 1 ', u teorem lui Pitgor oţinem: B1' B' BB1 şi B1' BB1 de unde rin sădere oţinem: ' 101
B1' Din triunghiurile ' 1 şi 1 oţinem: 1' ' 1 şi 1 1 de unde rin sădere rezultă ă 1' 1 ' (3) Din relţiile (1*), (1), (), (3) oţinem rin dunre ' B' ' 0 () Însă ' ' B 'B ' (5) B1' B' () 1 1 ' ' 1 1B ' ' B ' ' B1 B1, Din relţiile () şi (5) rezultă ă ' ' ' ' ' 1 B 1 B1 B1 1 1B 0 dei erendiulrele din ',, ' e [B], [], [B] sunt onurente. liţie. Fie B un triunghi u ortoentrul H şi untele ',, ' situte resetiv e dretele H, BH, H. Să se rte ă erendiulrele din, B, e ', ' resetiv ' sunt onurente. (Vsile Po, 1998, Olimid jud. luj) Demonstrţie. Fiindă erendiulrele din ',, ' e B,, B sunt onurente în H, u teorem triunghiurilor ortologie oţinem ă şi erendiulrele din, B, e ', '', ' sunt onurente. ' ' B 1.16. Teorem ortoolului Teorem 1.16.1. Fie B un triunghi şi d o dretă orere. Proietăm vârfurile, B, e d în untele ',, '. Perendiulrele oorâte din ',, ' e lturile [B], [], [B] sunt onurente, ir untul lor de interseţie ω ortă numele de ortoolul dretei d fţă de triunghiul B. Demonstrţie. Fie 1, B 1, 1 iiorele erendiulrelor oorâte din ',, ' e lturile triunghiului. 10
B 1 1 ω B 1 ' u teorem lui Pitgor în triunghiurile ' 1 B şi ' 1 oţinem: 1B 'B ' 1, 1 ' ' 1 Din este două relţii, rin sădere oţinem: 1B 1 'B ' re se mi srie: 1B 1 ' B '' ' (1) nlog oţinem: B1 B1 ' ' ' ' () 1 1B ' ' B ' ' ' ' B (3) Din (1), () şi (3) rin dunre oţinem: 1 B 1 B1 B1 1 1B 0 erendiulrele în 1, B 1, 1 e [B], [], [B] sunt onurente. ' d 1.17. Teorem sinusurilor Teorem 1.17.1. (Teorem sinusurilor) Într-un triunghi, rortul dintre o ltură şi sinusul unghiului ous este egl u dimetrul erului irumsris triunghiului su R (*) sin sin B sin unde,, sunt lungimile lturilor triunghiului B ir R rz erului irumsris triunghiului. Demonstrţie. i) onsiderăm zul triunghiului suţitunghi. Fie O entrul erului irumsris triunghiului şi ' untul dimetrl ous lui. 103
O B ' În triunghiul dretunghi ' (m( ')90 ) vem: sin ', ' R dr ' B (suîntind elşi r). tuni oţinem: sin B, R de unde R. sin B nlog oţinem: R, R. sin sin Dei R. sin sin B sin ii) onsiderăm zul triunghiului otuzunghi. (m( )>90 ). În est z untul O, entrul erului irumsris este situt în exteriorul triunghiului. B O Duem dimetrul B, tuni m( B)90. În triunghiul B vem B sin (1) B R 10
Ptrulterul B fiind insritiil rezultă ă m( B) m( B) 180, de unde m( B)180 -m( B). tuni oţinem: sin( B)sin(180 -)sin () Dei u (1) şi () oţinem sin, rezultă ă R. elellte R sin relţii se demonstreză în zul reedent. Rezultă ă şi în est z sunt stisfăute relţiile (*). 1.18. Teorem osinusului Teorem 1.18.1. onsiderăm un triunghi orere B. Vom demonstr mi întâi ă între elementele triunghiului vem relţi: os osb (1) Mi întâi resuunem ă unghiurile B şi sunt suţite şi dei iiorul ' l înălţimii oorâte din este situt între untele B şi. B ' ' B Din triunghiurile dretunghie 'B şi ' oţinem: os B, de unde osb B ' os, de unde 'os. Dr ', dei osbos, diă tomi relţi (1). Dă unghiul B este otuz, iiorul ' l înălţimii din este situt în exteriorul segmentului [B]. Din triunghiurile dretunghie 'B şi ' oţinem: 'B os, B ' de unde 'BBos(180 -B), su 'Bos(180 -B), ir os, de unde 'os. Dr os(180 -B)-osB şi '-'B. tuni ososb, diă relţi (1). nlog se demonstreză ă 105
osos () osbos (3) Înmulţind relţi () u şi (3) u, dunând memru u memru oţinem: ( os osb) os () Ţinând sem de (1), relţi () devine: os diă os (5) relţie re ortă numele de teorem osinusului: Pătrtul lungimii unei lturi unui triunghi este egl u sum ătrtelor lungimilor elorllte două lturi minus de două ori rodusul lungimilor lor înmulţit u osinusul unghiului dintre ele. nlog u (5) vem osb (6) os (7) Din (5), (6), (7) oţinem: os, os B, os (8) Relţiile (8) onstituie o modlitte entru determinre nturii unui triunghi (suţitunghi, dretunghi su otuzunghi). 106