I. CINEMATICA MOTTO: La început a fost mecanica! Max von Laue, "Istoria fizicii" INTRODUCERE. Mecanica este parte a fizicii care studiază primul și cel mai simplu tip de mișcare observat de om, mișcarea mecanică. Căderea sau balansul copacilor sub acțiunea vântului, rostogolirea pietrelor, ploaia care nu se mai oprește, cursurile sau cascadele de apă, atacul sau fuga unui animal reprezintă doar câteva tipuri de mișcare mecanică observate de omul primitiv. "Mecanica este știința mișcării ; menirea ei este de a descrie complet și în modul cel mai simplu mișcările ce se produc în natură". (Robert Kirchhoff, "Prelegeri de mecanică") Fenomenele din natură, care se desfășoară spontan, fără intervenția omului, au constituit din cele mai vechi timpuri obiect de observație și ulterior obiect de studiu sistematic, în condiții de laborator. Încă de la început, cunoștințele empirice acumulate de om în scopul unor activități practice, au condus la inventarea primelor mecanisme simple, primele tehnologii, menite să le ușureze viața. Pârghia, scripetele, planul înclinat, șurubul (melcul lui Arhimede), capcanele iar mai târziu mașinile de luptă (catapultele și balistele) sunt exemple de dispozitive în construcția și funcționarea cărora s-a ținut cont de aceste noi cunoștințe, dobândite din observarea naturii. Mecanica, numită mecanica clasică, sau mecanica newtoniană, a fost elaborată de Isaac Newton și expusă în celebra sa carte Principiile matematice ale filosofiei naturii (1687), unde sunt formulate cele trei legi sau principii ale mecanicii, precum și celebra lege a atracției universale, aplicabilă și mișcării sistemului nostru solar. Mecanica se împarte în trei capitole: I. Cinematica este capitolul mecanicii care studiază mișcarea corpurilor fără a interesa natura acestora, masa lor, cauzele și efectele mișcării; în cinematică se stabilesc expresii matematice care permit calculul poziției, vitezei și accelerației corpurilor aflate în mișcare, în orice moment. II. Dinamica este capitolul mecanicii care se studiază mișcarea corpurilor materiale (punctelor materiale) prin prisma cauzelor fizice care produc sau schimbă mișcarea acestora. În dinamică se stabilesc legile mișcării corpurilor pe baza interacțiunilor dintre ele. III. Statica este capitolul mecanicii care studiază sistemele de forțe pentru stabilirea condițiilor de echilibru mecanic ale unui corp aflat în stare de repaus sau de mișcare. I. Cinematica (punctului material). Noțiuni introductive. Mișcarea reprezintă schimbarea poziției unui corp față de poziția altui corp, considerat fix și numit corp de referință, sau reper. Modificarea stării de mișcare va fi studiată doar pur descriptiv, fără a lua în considerare cauzele care o determină. O astfel de abordare geometrică a mișcării este cunoscută drept abordarea cinematică, iar capitolul corespunzător din mecanică poartă numele de cinematică. Un corp este considerat în repaus dacă poziția lui față de alte corpuri nu se schimbă. Evident, nu există repaus absolut. Ori de câte ori considerăm un corp în repaus față de un corp, vom găsi un alt corp față de care să considerăm corpul respectiv în mișcare. Din acest motiv spunem că repausul este un caz particular de mișcare. Mișcarea este o proprietate intrinsecă a materiei, în sensul că nu există materie în repaus absolut, după cum nu poate fi concepută mișcare fără suportul material. 1. Sistemul de referință este un ansamblu constituit dintr-un corp fix, ales arbitrar, numit corp de referință, sau reper, căruia i se asociază un instrument pentru măsurarea timpului și un instrument pentru măsurarea distanțelor. Pentru studierea unui fenomen fizic trebuie, obligatoriu, precizat sistemul de referință la care ne raportăm. Din punct de vedere matematic sistemul de referință se reprezintă ca un ansamblu rigid de puncte din spațiu față de care se raportează poziția unui corp în mișcare și căruia i se atașează un sistem 1
de trei axe concurente numite axe de referință, sau axe de coordonate, formând sistemul de coordonate. Punctul de concurență al celor trei axe se numește originea sistemului de coordonate, sau reperul sistemului de referință, Fig. 1. Proiecțiile punctului P pe cele trei axe, Px, Py, și Pz, reprezintă coordonatele matematice ale punctului P, în sistemul de axe de coordonate considerat. Modelul punctului material. Modelele zice și modelarea sunt instrumente esențiale, nu numai în zică, ci în întreg procesul cunoașterii lumii înconjurătoare. O reprezentare implicată a unui sistem sau a unui proces fizic se numește model fizic. Recurgerea la modele simple este necesară în faza incipientă a cunoașterii naturii, inclusiv în școală. Exemplele cele mai cunoscute sunt modelul atomului, al nucleului, modelul de fluid, modeleul solidului cristalin, modelul solidului rigid, diferite modele de unde, etc. Cel mai simplu model din mecanică este modelul punctului material. El poate fi folosit ori de câte ori se studiază mișcarea de translație a unui obiect sau sistem de obiecte, de dimensiuni mult mai mici decât distanțele parcurse. Un punct material este un corp ale cărui dimensiuni și rotații proprii nu ne interesează, iar întreaga sa masă se consideră că este concentrată într-un singur punct. De regulă, acest punct se alege chiar centrul de greutate al corpului. Se înțelege că un corp nu trebuie să fie neapărat mic în accepțiunea proprie a cuvântului, pentru a fi tratat ca punct material. Un punct material aflat în mișcare se numește mobil. Dacă punctul material se mișcă datorită unor forțe proprii, forțe generate de el însuși, se numește automobil. Modelul punctului material se aplică cu același succes, atât pentru studierea mișcării unor corpuri de dimensiuni și mase gigantice (cum ar fi corpurile din interiorul sistemului solar), cât și unor corpuri de dimensiuni nanoscopice (atomi, nuclee, electroni, etc.).. Traiectoria reprezintă drumul urmat de un mobil în spațiu. Traiectoria se reprezintă grafic printr-o linie continuă, Fig. 1 Orice hartă geografică, de ex. harta României, este un sistem de referință, în care cursurile de apă, râurile, pâraiele, fluviile, căile ferate, drumurile județene, naționale, autostrăzile sunt traiectorii, reprezentate prin linii de diferite culori și grosimi. Axele de coordonate sunt reprezentate de o succesiune de 18 de cercuri paralele (câte 9 în fiecare emisferă), numite paralele și o altă succesiune de 36 cercuri perpendiculare pe acestea, 18 de la est la vest și încă 18 de la vest la est, numite meridiane, Fig.. Meridianul de al acestui sistem de coordonate a fost ales, prin convenție meridianul care trece prin localitatea Greenwich, aflată la aprox. 8,9 km sud-est de capitala Marii Britanii, Londra. Regiunea dintre două meridiane consecutive se numește fus orar și este considerată regiunea de pe Pământ în care este, legal, în vigoare aceeași oră (același timp). Numărarea orelor începe de la meridianul, cu spre vest și cu + spre est. Acest sistem de stabilire a orelor a fost numit sistem GMT, Greenwich Mean Time. 3. Coordonate geografice fac parte dintr-un sistem de referință care utilizează coordonatele unghiulare, latitudine (nordică sau sudică) și longitudine (estică sau vestică) și servesc la determinarea unui punct pe suprafața Pământului, sau la stabilirea unei traiectorii, între două puncte pe suprafața Pământului. Acest sistem de coordonate este utilizat astăzi în tehnologia GPS (Global Positioning System). 4. Legea de mișcare este o dependență, o funcție, a coordonatei spațiale de timp: r = r (t) (1) sau, pe coordonate: x = x (t) { y = y (t) (1 ) z = z (t)
5. Vector de poziție, vector deplasare. Vectorul de poziție este un vector care ne arată poziția unui corp în spațiu, față de un anumit sistem de referință. Considerăm o traiectorie în plan, Fig. 3, sistemul de referință este sistemul xoy. Vectorii: r 1 = OA și r = OB sunt vectori de poziție. Vectorul deplasare este un vector care ne arată de unde până unde s-a deplasat corpul pe traiectorie, De exemplu: la momentul t1 corpul se află în punctul A și suferă o deplasare până în punctul B și momentul t. Vectorul AB = r = r r 1 este vectorul deplasare. 6. Deplasarea este porțiunea de drum parcursă de corp pe traiectorie, arcul AB, Fig. 3. Observați că vectorul deplasare, AB, este diferit de deplasarea AB. În cazul mișcării unidirecționale, Fig. 4, deplasarea coincide cu vectorul deplasare. 7. Viteza. Vectorul viteză. Am zis mai devreme că toate corpurile se mișcă și că mișcarea este o proprietate intrinsecă a materiei. Dar nu toate corpurile se mișcă la fel. Unele se mișcă mai repede, altele se mișcă mai încet. Pentru a distinge între diferitele mișcări ale corpurilor introducem noțiunea de viteză, notată cu litera v. Viteza este mărimea fizică atașată proprietății corpurilor de a fi în mișcare. O să observați că ori de câte ori identificăm o proprietate a corpurilor vom defini o mărime fizică. Viteza este mărimea fizică egală cu raportul dintre spațiu și timp: v = spațiu timp = r Unitatea de măsură pentru viteză este m/s. Pentru mișcarea unidirecțională, Fig. 4, viteza se calculează: v = x Viteza medie, notat vm, este viteza calculată global, pe toată durata mișcării. De exemplu, distanța Slatina-Pitești este Δx = 75 km. Un automobil parcurge această distanță în timpul Δt = 1h și 3min. Conform definiției ( ) viteza are valoarea v = 5 km/h. Dar oricine știe că nici un automobilist nu se poate mișca cu o viteză constantă pe o distanță așa mare. El ar fi putut să aibă orice viteză v, cu valorile v = 9kmh. Dar, global vorbind, el s-a mișcat ca și cum ar fi avut viteza de 5 km/h. Vectorul viteză medie are direcția și sensul vectorului deplasare, Fig. 3. Viteza momentană, notată v, este viteza calculată pe un interval de timp foarte scurt, spunem. De exemplu, un automobilist merge cu viteza legală 5 km/h prin localitate, dar are nefericita inspirație să accelereze pentru a face o depășire la fel de neinspirată. În acest moment a ieșit în fața radarului. Viteza pe care o înregistrează poliția cu radarul este viteza momentană. Observați că viteza momentană și viteza medie se definesc și se calculează la fel, diferă doar intervalul de timp! Vectorul viteză momentană este un vector tangent la traiectorie în orice punct, Fig. 3. Vectorii v A, v B, respectiv v sunt vectori viteză momentană. Referitor la această afirmație se cade să facem o precizare. De fapt, și vectorul viteză momentană are tot direcția și sensul vectorului deplasare. Dar pentru deplasări infinit mici, infinitezimale, vectorul deplasare se poate aproxima cu deplasarea, ceea ce face ca el să pară tangent la traiectorie, ca și în cazul mișcării unidirecționale, Fig. 5. Ați observat, deja, că în cazul mișcării unidirecționale vectorul viteză momentană are aceeași direcție și sens cu vectorul viteză medie, în orice punct, Fig. 4. 3 () ( )
8. Accelerația. Vectorul accelerație. O altă proprietate a corpurilor este că își pot modifica viteza, pot accelera, în intervale de timp diferite. În tabelul alăturat sunt prezentați timpii Tabelul 1 de accelerare de la la 1 km/h pentru câteva mărci de automobile. Accelerația este mărimea fizică atașată proprietății corpurilor de a își modifica viteza în intervale de timp diferite. Accelerația, notată a, este mărimea fizică egală cu raportul dintre variația Tipul de automobil Bugatti Vezron 16.4 Grand Sport Vitese Porsche 9FF GT9R Mercedes SL Class 65 AMG V1 Ferrari 51 M Renault Megane Sport.T 65 Skoda Octavia RS TDI Timpul de accelerare de la 1 km/h.,6 s 3, s 4, s 5, s 6,1 s 8, s vitezei și timp: a = variația vitezei timp (3) Unitatea de măsură pentru accelerație este m/s. Accelerația medie, notată am caracterizează global variația vitezei, pe toată durata mișcării. a m = v Observași că se calculează ca variația vectorului viteză momentană, dar pe un interval mare de timp. Vectorul accelerație medie, notat a m, și are direcția și sensul spre centrul de curbură al traiectoriei. Accelerația momentană, notată a este accelerația calculată pe un interval de timp scurt,. Vectorul accelerație momentană, notată a : Pentru a reprezenta vectorul a vom face apel la câteva noțiuni de calcul vectorial, Fig. 6. Vectorul a are direcția și sensul vectorului v. După cum se poate vedea în Fig. 6, vectorul accelerație momentană este orientat spre interiorul traiectoriei, spre centrul de curbură al porțiunii de traiectorie. În încheiere se cade să mai facem o precizare: accelerația se definește ca VARIAȚIA VITEZEI SUPRA TIMP. Deci, dacă nu există variație a vitezei, v = const., nu există accelerație, a =. 9. Clasificarea mișcărilor punctului material. Clasificarea mișcărilor punctului material se face în funcție de două criterii: 1. forma traiectoriei, care poate fi: - rectilinie sau curbilinie.. dependența modulului vitezei de timp: - mișcare uniformă, v = v = const., modulul vitezei nu depinde de timp, are aceeași valoare în orice moment al timpului, a =. - mișcare uniform variată, a = const.. - mișcare variată, a = a(t), accelerația depinde de timp după o anumită lege. 9.1 Compunerea mișcărilor. Teoremă. Dacă un corp participă simultan la mai multe mișcări deplasările și vitezele se compun după regula de compunere a vectorilor. De exemplu, un om dorește să traverseze un râu, Fig. 7. Viteza de curgere a râului este v a, iar viteza pe care o imprimă bărcii este v b. Cele două viteze se vor compune, conform regulii de compunere a vectorilor și vor da o rezultantă v = v a + v b. Deși barcagiul vâslește spre 4 = v a = v (4) (5)
localitatea B, barca se va mișca după direcția vitezei rezultante, v și va ajunge în localitatea C, Fig. 7 a). Dacă barcagiul dorește să ajungă, totuși, în localitatea B va trebui să orienteze viteza bărcii v b astfel încât, prin compunerea cu viteza apei v a să dea o rezultantă orientată spre localitatea B, Fig. 7 b). Observați că și deplasările se supun aceleiași reguli: AC = AB + BC. 1. Mișcarea rectilinie a punctului material. 1.1 Mișcarea rectilinie și uniformă. Traiectoria este o linie dreaptă, iar viteza este constantă, Fig.8, v = const. (6) Rel.(6) reprezintă legea vitezei, pentru mișcarea rectilinie și uniformă. Observați că viteza este constantă ca vector, atât în modul cât și direcție și sens. Conform definiției ( ): x x = v (t t ) (7) sau, x = x + v (t t ) (7 ) Dacă considerăm că la momentul inițial t =, rel.(7) devine: x x = v t (7 ) Rel.(7), (7 ) și (7 ) exprimă legea mișcării rectilinii și uniforme. 1. Mișcarea rectilinie uniform variată. Traiectoria este o linie dreaptă, iar viteza variază constant în timp, sau altfel spus: crește sau scade cu valori egale în intervale de timp egale, a = const., Fig. 9. REȚINEȚI! Dacă viteza crește în timp, accelerația este pozitivă, a >, iar mișcarea se numește accelerată, iar dacă viteza scade în timp, accelerația este negativă, a <, iar mișcarea se numește încetinită, sau frânată. Conform rel.(3): v v = a (t t ) (8) sau: v = v + a (t t ) (8 ) Dacă considerăm că la momentul inițial t =, rel.(8) devine: v = v + a t (8 ) Rel. (8), (8 ) și (8 ) reprezintă legea vitezei pentru mișcarea rectilinie și uniform variată, cu observația de mai sus: +a dacă mișcarea este accelerată și a dacă mișcarea este încetinită. Pentru a găsi legea spațiului, sau legea de mișcare, revenim la rel.(7 ) cu precizarea că acum, deoarece viteza nu mai este constantă, viteza va fi o viteză medie, vm, x x = v m t (9) iar viteza medie o vom calcula ca o medie geometrică între valoarea inițială a vitezei, v și valoarea finală a vitezei, v. Deci: v m = v + v (1) Ținând cont de rel.(8 ), rel.(1) devine: Dacă în rel.(9) înlocuim vm valoarea 5 dată de rel. (1 ) obținem: Rel.(11) exprimă legea mișcării rectilinii și uniform variate, cu aceeași precizare ca și pentru legea vitezei: +a dacă mișcarea este accelerată și a dacă mișcarea este încetinită. 1..1 Ecuația lui Galilei. Între rel.(8 ) și rel.(11) vom elimina timpul. Această acțiune presupune o serie de operații matematice simple. Din rel.(8 ): t = v v (1) a și: x x = v t + x x = v v v a v m = v + a t a t + a (v v ) a (1 ) (11) (13) (
Dacă efectuăm calculele algebrice vom obține ecuația lui Galilei: v = v + a(x x ) (14) Evident, cu +a dacă mișcarea este accelerată și a dacă mișcarea este încetinită. 1.3 Mișcarea circulară uniformă. Traiectoria este un cerc sau un arc de cerc, iar modulul vectorului viteză este constant, v = const., Fig. 9. Observați că traiectoria se află într-un plan. - O este centrul de curbură al traiectoriei; - r = r este raza traiectoriei; - OA = OB = r sunt vectori de poziție. r se mai numește și rază vectoare; - θ este unghiul inițial la centru, iar θ unghiul final; - θ = θ θ este variația unghiului la centru. În timpul mișcării raza vectoare mătură aria cercului, viteza rămânând tot timpul tangentă la traiectorie, Fig. 1. Mișcarea circulară uniformă este o mișcare periodică, ea repetânduse identic după parcurgerea întregului cerc, la intervale de timp egale. Caracteristicile mișcării circulare uniforme: 1. Perioada mișcării circulare reprezintă timpul în care corpul efectuează o rotație completă. Se notează cu T și se măsoară, pentru că este un timp, în secunde: [T] SI = 1s.. Frecvența mișcării circulare uniforme reprezintă numărul de rotații complete efectuate de corp în timp de o secundă. Se notează cu ν și se măsoară în rotații/secundă, sau secundă -1 : [ν] SI = 1rot./s = 1s 1 = 1Hz (Hertz) 3. Turația mișcării circulare uniforme reprezintă numărul de rotații complete efectuate de corp în timp un minut. Se notează cu n și se măsoară în rotații/minut, sau minut -1 : [n] SI = 1rot./min = 1min. 1 Observați egalitatea: n = 6ν, adică turația este de 6 ori frecvența! Legea de mișcare. Din Fig. 1, conform rel.(): Unde am notat AB arcul de cerc AB, Fig. 1. v = AB Δt Cele mai uzuale unități de măsură pentru unghiul plan sunt: Gradul sexagesimal, notat º. 1º reprezintă mărimea unui unghi plan, la centru, care subîntinde un arc egal cu a 36-a parte din lungimea cercului. Gradul sexagesimal se mai definește și ca a 9-a parte din valoarea unui unghi drept. Gradul radian, sau radianul, notat rad. 1rad reprezintă mărimea unui unghi plan, la centru, care subîntinde un arc egal cu raza cercului. Dacă Teoremă. unghiul Dacă Δθ unghiul este măsurat la centru în este radiani, măsurat Fig. în 1, radiani, atunci: atunci, arcul care-l subîntinde este egal cu produsul dintre rază și unghi. (15) Astfel: iar rel.(15) devine: Notăm: AB = r Δθ r Δθ v = Δt ω = Δθ Δt numită viteză unghiulară. Unitatea de măsură pentru ω este, [ω] SI = 1rad/s. În mișcarea circulară uniformă ω este constant, ω = const. În continuare, conform rel.(17), putem nota: v = ω r (19) Rel.(18) ne permite să stabilim o legătură între viteza tangențială v și viteza unghiulară ω. 6 (16) (17) (18)
Aici trebuie să facem o precizare: viteza este o mărime vectorială (acest lucru l-am stabilit deja!), deci produsul ω r trebuie să fie un produs vectorial! Astfel, rel.(19) se poate secrie vectorial: v = ω r () Din rel.(), conform definiției produsului vectorial, rezultă că cei trei vectori: v, ω, și r sunt vectori perpendiculari, fiecare pe planul format de ceilalți doi. De exemplu, vectorul viteză unghiulară, ω, este perpendicular pe planul vectorilor v și r, Fig. 11. *) Vezi și Noțiuni de calcul vectorial. Conform rel.(7 ), pentru mișcarea uniformă: l = πr = v T = ω r T (1) sau, ω = π () T = πν Accelerația centripetă În mișcarea circulară uniformă modulul vectorului viteză este constant, v = v = const. Totuși, direcția și sensul vectorului viteză variază, se modifică în orice moment, Fig. 1. Acest lucru presupune că, deși variația modulului vectorului viteză este nulă, v =, variația vectorului viteză este diferită de zero, v, Fig. 1. Această variație a vitezei va da a = v naștere unei accelerații: conform rel.(5). Calculul variației vectorului viteză v îl vom face numai din considerente geometrice, urmărind Fig. 1. Observați că am translatat vectorul v B în punctul A, pentru a fi concurent cu vectorul v A, pentru a efectua diferența vectorială v = v B v A. Din considerente geometrice deducem următoarele: 1. < AOB =< A AB ; prin construcție sunt unghiuri cu laturile perpendiculare.. AOB = A AB ; sunt triunghiuri isoscele și au unghiurile de le vârf egale. Pentru cele două triunghiuri să scriem regula de asemănare a laturilor: Urmărind Fig. 1 observăm următoarele identități: OA = r, AA = v A = v, A B = v (4) În ce privește coarda AB, putem face aproximația că, pentru intervale de timp mici coarda AB este aproximativ egală cu arcul AB, și dacă ținem cont și de rel.(16) putem face notația: AB AB = r Δθ (5) r Ținând cont de rel.(4) și (5) rel.(3) se va scrie: (6) v = r θ v Din această relație rezultă v = v θ. Conform rel.(5): a n = OA AA = AB A B v θ = v ω = ω r Vectorial, rel.(7) se scrie: a n = ω r (7 ) Observați că vectorul accelerație centripetă este orientat spre centrul traiectoriei, pe direcția razei traiectoriei circulare, dar în sens invers acesteia. Din această cauză se numește accelerație centripetă. Accelerația centripetă se mai numește accelerație normală, pentru că este normală pe viteză. (Într-un cerc orice tangentă la acel cerc este perpendiculară pe raza cercului.) Deci, pentru ca un corp să execute o mișcare circulară este necesar să i se imprime o accelerație constantă în modul și orientată radial spre centrul cercului. 7 (3) (7)
1.4 Mișcarea în câmp gravitațional. Este un caz particular de mișcare uniform variată. 1. Aruncare pe verticală în sus. Este o mișcare rectilinie, uniform încetinită. Corpul este aruncat vertical în sus cu viteza v, Fig. 13. În acest caz, accelerația corpului este accelerația gravitațională: g 9,81m / s. Conform paragrafului 1., legea vitezei, legea spațiului și ecuația Galilei se vor scrie: v v g t (1) g t h v t () (8) v v g h (3) Observați că, atunci când corpul ajunge la înălțimea maximă, hmax., viteza lui este zero,, iar timpul de urcare până la înălțimea maximă se numește timp de urcare, tu. Astfel, din rel. 8.1 și 8.3 rezultă: v t u (1) g (9) v h max. () g. Aruncare pe verticală în jos. Este o mișcare rectilinie, uniform accelerată. Corpul este aruncat vertical în jos cu viteza v, Fig. 14. Și în acest caz, accelerația corpului este accelerația gravitațională: Dacă v g 9,81m / s. 8 v Conform paragrafului 1., legea vitezei, legea spațiului și ecuația Galilei se vor scrie: v v g t (1) g t h v t () (3) v v g h (3) mișcare se numește cădere liberă, iar ecuațiile (3) se vor scrie: v g t (1) g t h () (31) v g h (3) 3. Aruncarea pe oblică. Corpul este lansat cu viteza v sub un unghi α față de orizontală. Observați că, în acest caz, corpul participă simultan la două mișcări: o mișcare uniformă, cu viteza vx, pe direcția Ox și o aruncare pe verticală cu viteza vy, pe direcția Oy. Traiectoria corpului va fi o curbă plană, Fig. 15. În prima parte a mișcării corpul urcă până la o înălțime maximă, porțiunea ascendentă a traiectoriei, după care corpul coboară, porțiunea descendentă și revine pe Pământ. Pe porțiune ascendentă, mișcarea corpului este uniform încetinită în câmp gravitațional, iar pe porțiunea descendentă, mișcarea este uniform accelerată în câmp gravitațional. Vitezele vx și vy vor avea expresiile:
vx v cos vy v sin Cu aceste notații, vom scrie, pentru prima porțiune a traiectoriei, legile de mișcare: legea vitezei v x vx const. (1) v y vy g t () legea spațiului x vx t (1) g t y vy t () DISCUȚIE. Dacă, iar și astfel, y y max. t din rel. (33.) rezultă timpul de urcare: din rel. (34.1) rezultă xmax.: iar din rel. (34.) rezultă ymax.: x max. t u v y t u 9 (3) (33) (34) vy v sin (35) g g v sin v sin vx t u v cos (36) g g v sin g v sin v sin y max. h max. v sin (37) g g g Din Fig. 15 se observă că dublul distanței maxime se numește bătaie, notată b: v sin b x max. (38) g Din rel. (38) se observă că bătaia este maximă atunci când corpul este lansat sub un unghi 45. Dacă între cele două (34), lege spațiului, eliminăm timpul, vom obține ecuația traiectoriei: v y g y x x (39) v x v x Observați că este ecuația unei parabole! 4. Aruncarea pe orizontală. Corpul este aruncat de la înălțimea h, paralel cu direcția orizontală, Fig. 16. Observați că, în acest caz, corpul participă simultan la două mișcări: o mișcare uniformă, cu viteza v, pe direcția Ox și o mișcare cădere liberă pe verticală, pe direcția Oy. Legile de mișcare se vor scrie: v x v const. (1) Legea vitezei: (4) v y g t () x v t (1) Legea spațiului: g t (41) y h h () ACTIVITĂŢI DE FIXARE A CUNOŞTINŢELOR ŞI EVALUARE. Probleme rezolvate și comentate: 1. Viteza unui biciclist este v1 = 14,4 km/h, iar viteza vântului care-i suflă din față este v = 4 m/s. a) Care este viteza biciclistului față de pământ? b) Dar dacă vântul îi suflă din spate? Rezolvare: În primul rând va trebui să transformăm toate mărimile fizice în același sistem de unități, în cazul nostru viteza. Astfel: v 1 = 14,4km/h = 4m/s. Reprezentăm grafic cele două situații, Fig. 17, a) și b).
Din desen rezultă și viteza biciclistului față de Pământ în cele două situații: a) v = m/s și b) v = v 1 + v = 8 m/s. Un vapor se deplasează d1 = 7, km spre Est, apoi, în continuare, d = 3 km spre Nord-Vest. a) Desenați schematic deplasarea vaporului. b) Calculați deplasarea rezultantă. Rezolvare: a) În Fig. 18 am reprezentat, respectând proporțiile, prima cerință a problemei. b) Pentru a calcula deplasarea rezultantă, d, vom face apel la noțiunile de calcul vectorial, pentru că deplasarea este un vector. Așa am stabilit! Vom alege un sistem perpendicular de axe de coordonate, iar deplasarea d1 o vom orienta de-a lungul axei Ox. Procedăm la proiecția vectorilor pe acela două axe, așa cum se vede în figură. Proiecțiile vectorilor deplasare au valorile: { d 1x = d 1 d 1y = și {d x = d cos 45 d y = d sin 45 Știm că proiecțiile vectorului sumă sunt egale cu sumele proiecțiilor vectorilor componenți, sau: { d x = d 1x + d x d y = d 1y + d y Dacă facem înlocuirile, ridicăm la pătrat cele două ecuații și le adunăm obținem: d = d 1 + d d 1 d cos 45 Dacă efectuăm calculele matematice rezultă d = 5 km. 3. Un automobil parcurge prima jumătate a drumului său cu viteza v1 = 4 km/h, iar a doua jumătate cu viteza v = 6 km/h. Calculați viteza medie vm a automobilului pe întreaga distanță. Rezolvare: Am fi tentați să adunăm cele două viteze și să împărțim la doi. GREȘIT! În acest fel calculăm media vitezelor. Nu trebuie să facem confuzie între media vitezelor și viteza medie! Cele două mărimi se pot aproxima, dar nu sunt egale. Media vitezelor, notată v, este o noțiune strict matematică, în timp ce viteza medie, vm, este o mărime fizică, definită ca viteza calculată pe toată durata mișcării. Vom scrie legea mișcării uniforme pentru fiecare etapă de drum în parte, ca și pentru toată porțiunea de drum: d = v 1 t 1 d = v t { d = v m (t 1 + t ) Dacă exprimăm valorile lui t1 și t din primele două ecuații și le introducem în ultima ecuație obținem valoarea vitezei medii: v m = v 1v v 1 + v = 48 km/h Observați că este diferită de media vitezelor v = 5 km/h. Mai observați că media vitezelor este mai mare decât viteza medie! Altfel spus, un automobilist care se deplasează cu viteză constantă ajunge mai repede la destinație decât unul care își modifică viteza și cu cât diferența dintre viteze este mai mare, cu atât viteza medie este mai mică. De exemplu, dacă v1 = km/h, iar v = 8 km/h viteza medie va fi 3 km/h, în timp ce media vitezelor rămâne aceeași, 5 km/h. 4. Un mobil se deplasează rectiliniu după legea de mișcare x = 5 + t t (m). Să se determine: a) Ce tip de mișcare are mobilul. b) Accelerația mobilului. c) Viteza mobilului după 4s de la începutul mișcării. Rezolvare: a) Faptul că legea de mișcare este o ecuație de gradul în t, t, ne conduce la concluzia că automobilul are o mișcare uniform variată. Semnul minus din fața coeficientului lui t ne conduce la concluzia că mișcarea este rectilinie uniform încetinită. 1
b) Să comparăm și să identificăm între legea de mișcare a mobilului cu definiția legii de mișcare pentru mișcarea uniform variată, rel.(11): x = 5 + t t Prin comparația celor două ecuații: x = 5 m, v = m/s, a = m/s. c) Conform rel.(8 ) v = t și v = 1 m/s. 5. Calculați viteza unghiulară și viteza periferică de rotație a Pământului în jurul propriei sale axe. Se cunosc raza Pământului RP = 64 km și perioada de rotație a Pământului în jurul propriei sale axe T = 4 h. Rezolvare: a) Viteza unghiulară este exprimată prin rel.(): x = x + v t + ω = π T = Această valoare, mai mult ca sigur, nu ne spune mare lucru despre performanța rotației Pământului în jurul propriei axe. b) Viteza periferică de rotație a Pământului în jurul propriei sale axe este, de fapt, viteza tangențială a unui punct de pe suprafața Pământului. Valoarea acestei viteze este dată de rel.(19), scrisă: v = ω R P = 465 m/s = 1674 km/h. Această valoare este deosebit de spectaculoasă, dacă vă gândiți că valoare vitezei sunetului în aer este de aprox. 34 m/s. Răspundeți următorilor itemi: 1. Ce este mecanica?. Ce studiază cinematica? 3. Definiți mișcarea. 4. Ce este repausul? 5. Ce este un sistem de referință? 6. Ce este un punct material? 7. Ce este un mobil? Dar un automobil? 8. Definiți traiectoria. Dați exemple. 9. Definiți legea de mișcare. Dați exemple. 1. Ce este vectorul de poziție? Reprezentați grafic. 11. Ce este vectorul deplasare? Reprezentați grafic. 1. Definiți mărimea fizică viteza, precizându-i simbolul și unitatea de măsură. 13. Care este deosebirea dintre viteza medie și media vitezelor? 14. Definiți mărimea fizică accelerația, precizându-i simbolul și unitatea de măsură. 15. Care sunt criteriile în funcție de care se face clasificarea mișcărilor punctului material? 16. Definiți caracteristicile mișcării circulare uniforme? 17. Cum este definit radianul, unitate de măsură pentru unghi? 18. Definiți mărimea fizică viteza unghiulară, precizându-i simbolul și unitatea de măsură. 19. Accelerația centripetă definiție, simbol, formulă, unitate de măsură.. Explicați, în 3-4 propoziții, de ce în mișcarea circulară uniformă apare, totuși, o accelerație, accelerația centripetă. 1. Care este condiția ca mișcarea în câmp gravitațional să se numească cădere liberă?. Justificați afirmația: bătaia este maximă atunci când corpul este lansat sub un unghi 11 a t 3, 14 4 36 = 7, 7 1 5 rad/s 45. Rezolvați următoarele probleme: 1. O barcă cu motor parcurge distanța d = 9, km dintre două porturi în timpul t =,5 h, dacă se deplasează împotriva sensului de curgere al râului. În cât timp va parcurge barca aceeași distanță înapoi, dacă viteza de curgere a râului este v = 6 km/h? R: t d = t =,3 h = 18 min. d + v t
. Un barcagiu vâslește perpendicular către țărm cu viteza v = 7, km/h față de apă. Cursul apei deplasează barca cu distanța d = 15 m în josul râului. Lățimea râului este L = 5 m. Calculați: a) viteza râului; b) durata traversării râului. R: a) v = v d L =,6 m s ; b) T = L = 5s = 4 min 1s v 3. Din două localități A și B pleacă simultan unul spre celălalt câte un tren cu vitezele constante v1 = 6 km/h, respectiv v = 4 km/h. În același moment, de pe o locomotivă, se sperie și își ia zborul un bondar, care continuă să zboare neîntrerupt, între cele două trenuri, de la unul la celălalt, cu viteza constantă v = 7 km/h, până când trenurile se întâlnesc. Ce drum total străbate bondarul? (Distanța dintre A și B este d = 6 km.) Problema este celebră și este cunoscută ca problema bondarului. Este interesant de remarcat faptul că atât trenurile cât și bondarul se mișcă cu viteze diferite, dar în același timp. v R: s = d = 4 km v 1 + v 4. Pe șoseaua București-Brașov, pleacă din București spre Brașov un camion cu viteza v1 = 5 km/h. Din Ploiești, aflat la distanța s = 6 km de București, pleacă un alt camion cu viteza v = 6 km/h, tot spre Brașov, după timpul t = 1,5 h de la plecarea primului camion. După cât timp și în ce loc se vor întâlni camioanele? (Indicație: Reprezentați grafic pe aceeași diagramă coordonatele celor două camioane. De asemenea, trebuie să țineți cont de faptul că, în cazul problemelor de întâlnire, coordonatele spațială și temporală ale corpurilor trebuie să coincidă.) R: a) t = v t s = 3 h; b) x = v v v 1 t = 15 km 1 (Timpul și distanța au fost calculate față de București.) 5. O particulă se deplasează de-a lungul axei Ox cu viteza v = b x (b > ). Dacă la momentul t = particula s-a aflat în punctul x =, să se calculeze a) accelerația particulei; b) dependența de timp a vitezei; c) viteza medie pe un drum de lungime S. R: a) a = b b) v = b t c) v m = b S 6. Un corp pornește uniform accelerat cu viteza inițială v = m/s și ajunge în punctul x = 3 m după t = 1min. Să se afle: a) accelerația corpului; b) viteza finală a corpului. R: a) a = (x v t t =,1 m/s ; b) v = x v t = 8 m/s 7. Un corp, care se mișcă uniform variat, parcurge prima jumătate a drumului său d = 15 m în timpul t1 = 1 s, iar cealaltă jumătate în timpul t = 5 s. Să se afle: a) accelerația corpului; b) viteza inițială a corpului. t t 1 R: a) a = d t 1 t (t 1 + t ) = 1 m/s ; b) v = d 1 t 1 at 1 =,5 m/s 8. Din originea axei Ox pleacă un mobil cu viteza constantă v = 1 m/s, iar după t = 5 s pleacă un al doilea mobil cu viteza inițială v = 5 m/s și accelerația a =,7 m/s. Să se afle, după cât timp de la plecarea mobilului cele două corpuri se vor întâlni. (Vezi indicațiile de la problema 4) R: t 1 = 1 Observați că cele două corpuri se întâlnesc de două ori. 7 s și t = 1 s 9. Un corp pornește uniform accelerat fără vitează inițială și parcurge astfel un drum d1 = 6 m, după care merge uniform încetinit și parcurge astfel un drum d = 4 m până la oprire. Știind că timpul total de mișcare este T = 1 s, să se calculeze accelerațiile în cele două mișcări. R: a 1 = (d 1 + d ) d 1 T =,33 m s ; și a = (d 1 + d ) d T =,5 m/s 1
1. Două mobile se deplasează pe o circumferință de lungime l = 4 m. Vitezele celor două mobile sunt v1 și v (v1 > v). Mobilele pornesc din același punct, în același sens și în același moment și se întâlnesc la intervale de timp t. Dacă se dublează viteza primului mobil, intervalul de timp la care se întâlnesc scade cu 3 s, iar dacă se dublează viteza celui de-al doilea mobil, intervalul de timp după care se întâlnesc crește cu 5 s. Să se afle valoarea timpului t, precum și vitezele celor două mobile. Indicație. Mișcându-se pe aceeași circumferință, cu viteze diferite, până la întâlnire mobilul cu viteza mai mare, v1, va parcurge un spațiu egal cu lungimea circumferinței plus o distanță x, în timp ce cel deal doilea mobil va parcurge doar distanța x. Și așa mai departe pentru fiecare situație în parte. R: Pentru t se poate obține ecuația: t + 4t + 45 =, de unde rezultă pentru t valorile t1 = 5 s și t = 9 s. Evident, valoarea t = 9 s nu se acceptă. În fizica clasică valorile negative ale timpului nu au sens. Vitezele au valorile v1 = 1 m/s și v = 4 m/s. 11. Un corp cade liber de la înălțimea h = 15 m. În același timp este aruncat pe verticală în sus un alt corp, cu viteza inițială v = 1 m/s. După cât timp și la ce înălțime se întâlnesc cele două corpuri? (g = 1 m/s ). R: t = 1,5 s, h = 4 m 1. Două corpuri sunt aruncate vertical în sus cu vitezele inițiale v 1 = 6 m/s și v = 4 m/s, corpul al doilea la un interval de timp τ = 6, s, după primul. După cât timp și la ce înălțime se vor întâlni corpurile? (g = 1 m/s ). 13. Un corp cade liber de la înălțimea h = 1,1 km și parcurge astfel distanța h = 314 m, după care își continuă mișcarea uniform până la atingerea Pământului. Să se calculeze durata mișcării. (g = 1 m/s ). h h' R: t 18s gh' 14. Să se afle înălțimea h de la care cade liber un corp și durata T a mișcării sale, știind că în intervalul τ = 1s înainte de atingerea Pământului, el străbate o fracțiune k =,19 din înălțimea totală de la care cade. 1 1 k g T R: T 1s, h k 15. Un corp este aruncat orizontal cu viteza v = 1 m/s. De la ce la ce înălțime a fost aruncat, dacă această înălțime este egală cu distanța orizontală de cădere? (g = 1 m/s ). v R: h m g BIBLIOGRAFIE: 1. A. Hristev, V. Fălie, D. Manda FIZICA, Editura Didactică și Pedagogică, București 1984. O. Rusu, M. Chiriță FIZICĂ, manual pentru clasa a IX-a, Editura NICULESCU, 4 3. T. Crețu FIZICĂ. Teorie și probleme, EDITURA TEHNICĂ, București 1991. 4. http://www.manualdefizica.ro/subiectele-de-mecanica/ 5. http://www.manualdefizica.ro/raspunsurile-subiectelor-de-mecanica/ 6. http://www.manualdefizica.ro/ 7. https://ro.wikipedia.org/wiki/pagina_principal%c4%83 13