Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2017-2018 Ανάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε παραμετρικές συνιστώσες Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ
Εισαγωγή Ένα ενδιαφέρον θέμα σε πρακτικές εφαρμογές είναι η ανάλυση της ακρίβειας ενός σετ παραμέτρων () σε επιμέρους συνιστώσες : (1) (2) C C C... Δεν υπάρχει ένας μονοσήμαντος τρόπος για την αλγεβρική υλοποίηση της παραπάνω ανάλυσης. Συνήθως μας ενδιαφέρουν συνιστώσες του πίνακα C μέσω των οποίων μπορεί να μελετηθεί η ακρίβεια συγκεκριμένων ιδιοτήτων που είναι κρυμμένες μέσα στο διαθέσιμο σετ παραμέτρων.
Γενική περιγραφή του προβλήματος Φυσικό σύστημα χαρακτηριστικό Α χαρακτηριστικό Β άλλα χαρακτηριστικά Ένα σετ παραμέτρων περιέχει πληροφορία για διάφορα χαρακτηριστικά ενός φυσικού συστήματος Σετ παραμέτρων (, C ) Μοντέλο περιγραφής
Γενική περιγραφή του προβλήματος Φυσικό σύστημα χαρακτηριστικό Α χαρακτηριστικό Β άλλα χαρακτηριστικά Σε αρκετές περιπτώσεις θέλουμε να μελετήσουμε κάποιο συγκεκριμένο χαρακτηριστικό μέσω ενός σετ παραμέτρων? Σετ παραμέτρων (, C ) Μοντέλο περιγραφής
Γενική περιγραφή του προβλήματος Φυσικό σύστημα χαρακτηριστικό Α χαρακτηριστικό Β άλλα χαρακτηριστικά Άλλες φορές θέλουμε να αφαιρέσουμε την επίδραση κάποιων χαρακτηριστικών από ένα σετ παραμέτρων Σετ παραμέτρων (, C ) (', C ' ) Μοντέλο περιγραφής
Γενική περιγραφή του προβλήματος Φυσικό σύστημα χαρακτηριστικό Α χαρακτηριστικό Β άλλα χαρακτηριστικά Ιδιαίτερα χρήσιμο είναι να προσδιορίζουμε πόσο καλή πληροφορία υπάρχει σε ένα σετ παραμέτρων για ορισμένα χαρακτηριστικά Σετ παραμέτρων (, C ) C Α Μοντέλο περιγραφής
Αναλυτική μεθοδολογία λύσης Βασική σχέση (A) : : : διαθέσιμο σετ παραμέτρων γνωστής ακρίβειας τμήμα των παραμέτρων που εξαρτάται μόνο από κάποιο συγκεκριμένο χαρακτηριστικό A τμήμα των παραμέτρων που δεν εξαρτάται από το συγκεκριμένο χαρακτηριστικό A Τι ψάχνουμε: C C C (A)?? ΤΑΤΜ ΑΠΘ
Αναλυτική μεθοδολογία λύσης Βασική σχέση (A) Παραμετροποίηση του χαρακτηριστικού A : Qθ ή ισοδύναμα true Qθ true d d (*) Αυτό που κάνουμε, κατά βάση, είναι να παραμετροποιήσουμε (ένα μέρος από) τα τυχαία σφάλματα που υπάρχουν στις εκτιμήσεις των παραμέτρων!
Αναλυτική μεθοδολογία λύσης true Qθ true d, C d Τα στοιχεία του διανύσματος θ είναι τυχαίες μεταβλητές με μηδενική προσδοκία (ομοίως για το d). Ο όρος Q θ αποτελεί το παραμετροποιημένο μέρος των τυχαίων σφαλμάτων που σχετίζεται με την πληροφορία του φυσικού χαρακτηριστικού που μας ενδιαφέρει. Στόχος μας δεν είναι η εκτίμηση του διανύσματος θ αλλά ο προσδιορισμός της στατιστικής συμπεριφοράς του, με βάση την γνωστή ακρίβεια των εκτιμήσεων των παραμέτρων.
Αναλυτική μεθοδολογία λύσης true Qθ true d, C d Στο σημείο αυτό χρειάζεται η αντιστροφή της παραπάνω σχέσης προκειμένου να εκφράσουμε τις παραμέτρους θ ως συνάρτηση των συνολικών τυχαίων σφαλμάτων d. Η αναλυτική μορφή της λύσης βασίζεται στην ορθογώνια προβολή των σφαλμάτων d σε δύο επιμέρους συνιστώσες σύμφωνα με την γενική σχέση: d ( I Κ) d Kd Qθ d Λογική λύσης ΜΕΤ βλέπε επόμενο παράδειγμα..
Διδακτικό παράδειγμα (γεωδαιτικού ενδιαφέροντος)
Το πρόβλημα Σε ένα δίκτυο σημείων δίνεται ένα σετ συντεταγμένων μαζί με τον πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων τους (, C ) Ζητείται να βρεθεί: η ακρίβεια του συστήματος αναφοράς που υλοποιείται μέσω αυτών των συντεταγμένων - ακρίβεια υλοποίησης της αρχής του ΣΑ - ακρίβεια υλοποίησης του προσανατολισμού του ΣΑ - ακρίβεια υλοποίησης της κλίμακας του ΣΑ
Ακρίβεια του υλοποιημένου ΣΑ y y Ένα μέρος της γνωστής ακρίβειας των συντεταγμένων μπορεί να εκφραστεί μέσω μιας ισοδύναμης αβεβαιότητας των θεμελιωδών παραμέτρων που ορίζουν το σύστημα αναφοράς! DN C C f ( C ) θ θ t ty s
C Total coordinate noise DN C Datum noise FN C Figure (or inner) noise +
Covariance mapping problem C Datum noise Figure noise DN C FN C - Το πρόβλημα του παραπάνω διαχωρισμού δεν έχει μία μοναδική λύση! - Στη συνέχεια θα περιγράψουμε μία ορθογωνικού-τύπου ανάλυση του πίνακα C στις δύο παραπάνω συνιστώσες.
Μεθοδολογία λύσης Χρησιμοποιώντας το γνωστό μοντέλο του μετασχ/μού ομοιότητας, τα άγνωστα σφάλματα των συντεταγμένων θα μπορούσαν να περιγραφούν ως εξής: true E θ v v T Εφαρμόζοντας το νόμο μετάδοσης συμ-μεταβλ. στην παραπάνω σχέση, θα έχουμε γενικά: T σφάλματα στο υλοποιημένο ΣΑ Υπόλοιπο μέρος των σφαλμάτων (που δεν σχετίζεται με το ΣΑ) C E C E C C E E C θ v vθ θv T Datum noise Figure noise
Μεθοδολογία λύσης Χρησιμοποιώντας το γνωστό μοντέλο του μετασχ/μού ομοιότητας, τα άγνωστα σφάλματα των συντεταγμένων θα μπορούσαν να περιγραφούν ως εξής: true E θ v v T Εφαρμόζοντας το νόμο μετάδοσης συμ-μεταβλ. στην παραπάνω σχέση, θα έχουμε γενικά: T σφάλματα στο υλοποιημένο ΣΑ C E C E C C E E C θ v vθ θv Datum noise Figure noise Υπόλοιπο μέρος των σφαλμάτων (που δεν σχετίζεται με το ΣΑ) ΤΑΤΜ ΑΠΘ T Θέλουμε να είναι ασυσχέτιστα μεταξύ τους!
Μεθοδολογία λύσης true E θ v T T v E θ v Θα πρέπει να επιλυθεί με κάποιο τρόπο (π.χ. ΜΕΤ) η παραπάνω σχέση για να προκύψουν οι ζητούμενες ορθογώνιες συνιστώσες των συνολικών τυχαίων σφαλμάτων των συντεταγμένων. Π.χ. 1 θ ( EPE T ) EPv T T 1 ( ) v I E EPE EP v άχρηστες σχέσεις από υπολογιστική σκοπιά! Εφαρμόζοντας ΝΜΣ στις παραπάνω σχέσεις, μπορούν να προσδιοριστούν οι ζητούμενοι πίνακες συμμεταβλητοτήτων που αντιστοιχούν στο datum noise και στο figure noise.
Επίλυση προβλήματος Έχουμε και 1 T 1 1 true θ ( EC E ) EC ( ) 1 T 1 1 T ( ) true v I E ( EC E ) EC ( ) 1 T 1 C ( EC E ) Datum noise θ T 1 T 1 v ( ) C C E EC E E Figure noise T C E C E C θ v
Έτσι τελικά, y C C θ Datum noise DN C T 1 T 1 E ( EC E ) E C Figure noise FN C T 1 T 1 C E ( EC E ) E
Σχόλια Η διαδικασία που περιγράφηκε προηγουμένως βασίζεται στην παραμετροποίηση ενός μέρους των τυχαίων σφαλμάτων που υπάρχουν στις διαθέσιμες συντεταγμένες! Η επίλυση του προβλήματος προσομοιάζει τη διαδικασία συνόρθωσης με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Παρόλα αυτά πρέπει να τονιστεί ότι δεν εκτελούμε συνόρθωση παρατηρήσεων με την κλασσική έννοια! Ο βασικός μας στόχος είναι ο διαχωρισμός των συνολικών τυχαίων σφαλμάτων σε δύο ανεξάρτητες συνιστώσες, η μία εκ των οποίων εξαρτάται από συγκεκριμένες παραμέτρους που σχετίζονται εξ ολοκλήρου με το σύστημα αναφοράς.
Προσοχή Αν ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων των συντ/νων δεν είναι αντιστρέψιμος, τότε θα πρέπει να τον διορθώσουμε ως εξής: C C k I k tracec tracei
2Δ μετασχηματισμός ομοιότητας (γραμμικοποιημένο μοντέλο) T E θ 1 1 1 0 y y1 y1 0 1 y N N 1 0 yn y y 0 1 y N N 1 1 t 1 1 t y N s T E N N θ ΤΑΤΜ ΑΠΘ
3Δ μετασχηματισμός ομοιότητας (γραμμικοποιημένο μοντέλο) T E θ ΤΑΤΜ ΑΠΘ 1 1 1 0 0 0 z y y1 y 1 0 1 0 z 0 y z1 z 1 0 0 1 y 0 z N N 1 0 0 0 z y yn yn 0 1 0 z 0 y z z 0 0 1 y 0 z N N E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N N N N N N N N N T t t t y z y z s θ
Αριθμητικό παράδειγμα ΤΑΤΜ ΑΠΘ
3 5 y 4 2 1 Σύγκριση της ακρίβειας του υλοποιημένου ΣΑ που προκύπτει από δύο διαφορετικές λύσεις συνόρθωσης του ίδιου δικτύου ΤΑΤΜ ΑΠΘ
Μέτρηση (grad, m) Παρατηρήσεις Ακρίβεια (cc, cm) Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) δ 1,5 0.0000 3.0 δ 4,2 0.0000 2.4 δ 1,2 55.0318 3.0 δ 4,1 68.1594 2.4 δ 1,3 364.6720 3.0 δ 4,5 319.9293 2.4 δ 1,4 375.5954 3.0 δ 5,2 0.0000 2.3 δ 2,1 245.4697 3.2 δ 5,1 48.0936 2.3 δ 2,3 313.2130 3.2 δ 5,3 128.3206 2.3 δ 2,4 297.8753 3.2 δ 5,4 75.4601 2.3 δ 2,5 342.3444 3.2 S 4,1 2943.743 0.7 δ 3,2 0.0000 2.6 S 4,2 3806.704 0.7 δ 3,1 41.8980 2.6 S 4,5 2641.905 0.7 δ 3,5 357.4528 2.6 S 4,3 2193.513 0.6 ΤΑΤΜ ΑΠΘ
3 5 y 4 2 1 Λύση 1: χρήση ελάχιστων δεσμεύσεων ( 1, y 1, 2 σταθερά) Λύση 2: χρήση εσωτερικών δεσμεύσεων ΤΑΤΜ ΑΠΘ
Γενικός αλγόριθμος συνόρθωσης δικτύου N( ) u o H( ) c o Κανονικές εξισώσεις Ελάχιστες δεσμεύσεις T 1 T 1 T ˆ ( N H H) u ( N H H) H c o Λύση συνόρθωσης T 1 T 1 Σ ˆ ( N H H) N( N H H) Ακρίβεια λύσης συνόρθωσης ΤΑΤΜ ΑΠΘ
Προσεγγιστικές συντ/νες ΛΥΣΗ 1 ΛΥΣΗ 2 X 1 26608.425 Y 1-14450.071 X 2 29745.486 26608.425-14450.071 29745.486 26608.433 ± 0.006-14450.084 ± 0.006 29745.494 ± 0.006 Y 2-12847.711-12847.712 ± 0.025-12847.724 ± 0.006 X 3 25020.537 25020.532 ± 0.030 25020.538 ± 0.010 Y 3-9671.343-9671.318 ± 0.014-9671.331 ± 0.005 X 4 26170.822 26170.802 ± 0.014 26170.809 ± 0.005 Y 4-11539.051-11539.039 ± 0.007-11539.051 ± 0.004 X 5 27798.925 27798.914 ± 0.027 27798.921 ± 0.008 Y 5-9458.462-9458.436 ± 0.012-9458.448 ± 0.005 ΤΑΤΜ ΑΠΘ
Πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων 1 ης λύσης 1 y 1 2 y 2 3 y 3 4 y 4 5 y 5 2.476e-14-4.869e-20 3.244e-19-2.476e-14 1.491e-19 2.476e-14 9.696e-14-1.111e-18-9.696e-14 0.000602-1.229e-13 9.257e-19 1.229e-13-0.000593 0.000913-4.908e-14 6.776e-20 4.908e-14-0.000188 0.000336 0.000203-6.521e-14 3.891e-19 6.522e-14-0.000288 0.000338 0.000115 0.000185-1.353e-14 2.168e-19 1.353e-14-1.374e-05 3.304e-05 4.868e-05 2.504e-05 4.327e-05-1.295e-13 1.018e-18 1.295e-13-0.000584 0.000689 0.000247 0.000348 4.953e-05 0.000740 3.679e-14-1.490e-19-3.680e-14 0.000235-0.000236-3.783e-05-0.000118 1.921e-05-0.000249 0.000153
Πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων 2 ης λύσης 1 y 1 2 y 2 3 y 3 4 y 4 5 y 5 3.286e-05 5.329e-06 3.099e-05-2.219e-05-3.481e-06 3.193e-05-1.761e-05-1.042e-05-2.470e-06 3.762e-05 9.591e-06-1.425e-05-1.660e-05 2.209e-05 1.007e-04 1.181e-05-1.508e-05-1.345e-06-8.050e-07 2.127e-05 2.557e-05-8.789e-06 4.934e-06 3.980e-06-6.634e-06-3.059e-05-1.104e-05 2.091e-05-5.398e-07 4.153e-06 3.251e-06-1.076e-05-3.053e-05-1.115e-05 1.136e-05 1.933e-05-1.147e-05 7.468e-06 2.870e-06 4.624e-06-6.305e-05-2.069e-05 1.449e-05 1.646e-05 5.716e-05 1.014e-06-9.635e-06 4.044e-06-1.563e-05 1.422e-06 1.800e-06 1.380e-06-1.240e-06-7.860e-06 2.471e-04
Ακρίβεια του υλοποιημένου ΣΑ 1 η λύση 1 T 1 C ( EC E ) θ t t y ε δs 0.003977 0.002728 0.001874 1.419e-07 9.739e-08 5.063e-12-7.242e-08-4.965e-08-2.582e-12 1.319e-12 2 η λύση t t y ε δs 0.000967-0.000414 0.000178 3.720e-14 8.775e-14 3.237e-16-3.571e-08 1.530e-08 1.209e-18 1.319e-12
Ακρίβεια του υλοποιημένου ΣΑ 1 η λύση σ = 0.063 m t σ = 0.043 m t y σ ε = 0.464 arcsec σ δs = 1.15 ppm 2 η λύση 1 T 1 C ( EC E ) θ σ = 0.031 m t σ = 0.013 m t y σ ε = 0.004 arcsec σ δs = 1.15 ppm
Πίνακας συντελεστών συσχέτισης (για τις παραμέτρους του υλοποιημένου ΣΑ) 1 η λύση t t y ε δs 1 0.9994 1 0.9998 0.9999 1-0.9998-0.9985-0.9992 1 2 η λύση t t y ε δs 1-0.9991 1 0.0066 0.0366 1-0.9999 0.9993 0.00006 1
Για περισσότερες λεπτομέρειες, βλέπε επίσης Ebner H (1975) Analysis of covariance matrices. Proceedings of the ISPRS Commission III Symposium, Stuttgart, September 2-6, 1974, pp. 111-121, Deutsche Geodätische Kommission, Reihe B, Heft Nr. 214. Sillard P, Boucher C (2001) A review of algebraic constraints in terrestrial reference frame datum definition. Journal of Geodesy, 75(2): 63-73. ΤΑΤΜ ΑΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 2018