Ε Σ Ω Τ Ε Ρ Ι Κ Ο Γ Ι Ν Ο Μ Ε Ν Ο Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Ω Ν

1 Ε Σ Ω Τ Ε Ρ Ι Κ Ο Γ Ι Ν Ο Μ Ε Ν Ο Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Ω Ν Ο ινυσµτικός Λογισµός είνι µι Μθηµτική θεωρί η εξέλιξη της οποίς έχει δεχτεί σηµντικές επιδράσεις πό τη Φυσική Στο πρκάτω άρθρο θ διπργµτευθούµε το εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων κάνοντς µί σύντοµη νσκόπηση των σικών σηµείων της θεωρίς κι προτείνοντι λυµέν θέµτ γι την κτνόηση των εννοιών Θεωρητικές έννοιες Ορισµός: Έστω δύο δινύσµτ, Εσωτερικό γινόµενο των,,ονοµάζουµε τον πργµτικό ριθµό που συµολίζε- τι κι ορίζετι ως εξής: Σε κάθε ζεύγος δινυσµάτων (, ) (, ) r r συν, ν 0κι 0 = r r 0 ν = 0ή = 0 ντιστοιχεί ένς πργµτικός ριθµός,δηλδή Η ντιστοίχιση υτή λέµε ότι ορίζει τον εσωτερικό πολλπλσισµό δινυσ- µάτων u Από την πλευρά της Φυσικής ν F είνι µί δύνµη που µεττοπίζει το σηµείο εφρµογής της Ο στο σηµείο σηµείο Α,τότε το εσωτερικό γινόµενο F ΟΑ είνι το έργο W που π- uuu ράγετι πό τη δύνµη κτά τη µεττόπιση υτή του σηµείου εφρµογής της u F uuu ηλδή W = F ΟΑ Το εσωτερικό γινόµενο το συµολίζουµε κι το ονοµάζουµε εσωτερικό τετράγωνο του ή πλά τετράγωνο του Είνι = (1)Μέσω της (1) µπορούµε ν υπολογίσου- µε το ότν δεν γνωρίζουµε τις συντετγµένες του δινύσµτος Ότν έχουµε =,τότε είνι = Το ντίστροφο δεν ισχύει (γιτί;) 3 4 εν έχουν νόηµ συµολισµοί της µορφής, κτλ 1 Γιννκόπουλος Σπύρος

r r Αν 0, 0,τότε συν, = ()Μέσω της () µπορούµε ν υπολογίσουµε τη γωνί, Συνέπειες του ορισµού = (Αντιµετθετική ιδιότητ) r r π π Αν 0, 0,τότε 0, < > 0, <, π < 0 = = = 0 (Ανισότητ Chauchy-Schwarz) = // ( ) (Η νισότητ υτή είνι µι άλλη έκφρση της πιο πάνω νισότητς) = // Ανλυτική έκφρση εσωτερικού γινοµένου δινυσµάτων του επιπέδου 1 1 Έστω δύο δινύσµτ = ( χ 1, ψ 1), = ( χ, ψ ),τότε: = χ 1χ + ψψ 1 r r Αν 0 κι 0,η () της πργράφου «θεωρητικές έννοιες» γράφετι: χ 1 χ + ψψ 1 συν, = χ 1 + ψ 1 χ + ψ r r r r r Αν 0 κι, i = θ,, j = ω όπου i, j τ µονδιί δινύσµτ των ξόνων χχ χ1 ψ 1 κι ψψ ντίστοιχ,τότε συνθ = κι συνω= Τ συνθ, συνω ονοµά- χ + ψ χ + ψ ζοντι συνηµίτον κτεύθυνσης του 1 1 Γιννκόπουλος Σπύρος

3 r j r i Προφνώς συν θ+ συν ω= 1 Βσικές ιδιότητες 1 ( λ ) = ( λ ) = λ ( ), λ R Το γινόµενο λ( ) µπορούµε ν το γράφουµε πλά λ ( ± γ ) = ± γ (Επιµεριστική ιδιότητ) ( + ) = + ( ) + ( ) = ( ) + ( )( + ) = ( + + γ ) = + + γ + ( ) + ( γ ) + ( γ ) + = + (Πυθγόρειο θεώρηµ) 3 Αν, δινύσµτ µη πράλληλ στον άξον ψψ µε συντελεστές διεύθυνσης, λ λ u ντίστοιχ,τότε λ λ u = 1 Προσοχή Αν = γ,τότε µπορούµε ν έχουµε = γ Το ντίστροφο δεν ισχύει,δηλδή ν έχου µε = γ δεν προκύπτει = γ ( εν ισχύει ο κνόνς της διγρφής) (Αν τ δινύσµτ είνι συγγρµµικά κι µη µηδενικά ισχύει ο κνόνς της διγρφής;) εν ισχύει ( ) γ = ( γ ) ( εν ισχύει η προσετιριστική ιδιότητορίζετι λ, λ R κι όχι λ, λ R ) Προολή δινύσµτος σε διάνυσµ r Έστω τ δινύσµτ, µε 0 Με σηµείο νφοράς το Ο υπάρχουν σηµεί Α, Β έτσι uu uu ώστε ΟΑ= = κι ΟΒ= Έστω Γ η προολή του Β uu στο φορέ του ΟΑ 3 Γιννκόπουλος Σπύρος

4 Το διάνυσµ ΟΓ uu ονοµάζετι προολή του στο κι συµολίζετι Η προολή του πάνω στο είνι νεξάρτητη της επιλογής του Ο r r Έστω 0 κι 0 προ = συν, // προ = π προ 0, <, δηλδή > 0 π προ <, π,δηλδή < 0 = προ προ = Απόδειξη Έχουµε προ //,οπότε υπάρχει λ R τέτοιος ώστε προ = λ (1) (1) = προ = ( λ) = λ = λ λ= Άρ (1) προ = r Αν λ, µ µ R κι γ 0,τότε προ λ + µ = λπρο + µπρο Έχουµε r γ γ γ γ προ Απόδειξη r ( + r ) ( ) + r γ λ µ r λ γ µ ( γ ) r προ λ + µ = r γ = r γ γ γ r r γ r γ r προr( λ + µ) = λ + r ( + ) = r + r γ r γ µ γ προ λ µ λπρο µπρο γ γ γ γ γ r Αν γ 0 κι,τότε γ = προ γ + προ u γ 4 Γιννκόπουλος Σπύρος

5 Πρτήρηση π Αν 0 <, <,τότε = προ = προ (1) uu uu uu ΟΑ=, ΟΒ=, ΟΓ= προ Κτσκευάζουµε το ορθογώνιο Ο ΕΑ µε ΟΓ=Ο κι το πρλληλόγρµµο ΟΒΖΗ µε ΟΗ=ΟΑ κι ΟΗ ΟΑ (1) = ( ΟΑ)( Ο ) = ( Ο ΕΑ) Επίσης = ( ΟΒΖΗ) π Αν <, < π,τότε = προ = προ () Με την ίδι λογική όπως πρπάνω έχουµε: () = ( Ο ΕΑ) κι = ( ΟΒΖΗ) Εµδόν τριγώνου uu 5 Έστω τ µη συγγρµµικά δινύσµτ, κι Ο σηµείο νφοράς έτσι ώστε ΟΑ=, uu 1 1 ΟΒ= Το εµδόν του τριγώνου ΟΑΒ είνι: Ε= ( ) = det (, ) Πράγµτι: Γιννκόπουλος Σπύρος

6 Έστω, = θ κι Β ΟΑ uu Β uu ηµθ = uu Β = ηµθ ΟΒ 1 uu uu 1 1 1 ηµθ ηµ θ Ε= ΟΑ Β = Ε = = ( 1 συν θ ) 4 4 1 1 ( Ε = ) Ε= ( ) 4 Έστω τώρ = ( κ, λ), = ( µν, ) = = κν λµ = det, Άρ 1 Ε= det (, ) Σχόλιο: Έστω ότι έχουµε το πρκάτω πρλληλόγρµµο Εργζόµενοι όπως πρπάνω ή στηριζόµενοι στο ότι η διγώνιος του πρλληλογράµµου χωρίζει το πρλληλόγρµµο σε δύο ισεµδικά τρίγων,έχουµε ότι το εµδόν του π- uu uu Ε= = ΟΒ ΟΒ ρλληλογράµµου ΟΑΒΓ είνι: 6 Γιννκόπουλος Σπύρος

7 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ 1 Θεωρούµε τ δινύσµτ, Αν + =, = κι το µέτρο είνι άρτιος ριθµός,δείξτε 3 r r 5 ότι τ δινύσµτ u = (, ), v = 9, είνι κάθετ 3 Αν τ δινύσµτ, είνι µη µηδενικά κι ισχύει = (1),ν ρείτε το µέτρο προ Έχουµε = ( + ) 3 = ( + ) + ( 3) Ισχύει + 3 ( + ) + ( 3) + + 3 + 3 + + 3 + () Αφού το είνι άρτιος,λόγω της () προκύπτει ότι = + = + = ( + ) = + 4 ( ) + 4 = 16 + 4 ( ) + = + 4 ( ) = (3) 9 9 = = 4 ( ) = 4 ( ) + = 4 4 3 ( ) + = 4 ( ) = (4) 9 9 5 Λύνοντς το σύστηµ των (3),(4) ρίσκουµε = = = κι = 9 9 3 9 r 5 r 5 r r 5 5 r r Άρ u=, κι v= 9, 9 κι u v= 9+ = 5+ 5= 0 u v 9 Είνι = > 0,οπότε προ προ = προ (1) προ = προ = προ = uu uu π Σε τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε ΑΒ=, ΑΓ= κι Α= 3 Αν = 1, = κι ΑΜ η διάµεσος του τριγώνου ΑΒΓ,ν ρείτε: uuu i Tο ΑΜ ii Tο συνβ uu uu uu uu uu 7 Αν Σ η προολή του Α στο ΒΓ, δείξτε ότι: ΑΒ =ΑΓ +ΒΓ ΓΒΓΣ (Θεώρηµ οξείς γωνίς) Γιννκόπουλος Σπύρος

8 uuu 1 uu uu 1 i Είνι ΑΜ= ( ΑΒ+ΑΓ ) = ( + ) π = συν = 1 3 uuu uuu 1 1 1 ΑΜ = ΑΜ = ( + ) = ( ) ( ) 4 4 + + = + + 4 uuu 3 uuu 3 ΑΜ = ΑΜ = 4 uu uu ΒΑΒΓ ii συνβ= uu uu (1) ΒΑ ΒΓ uu uu uu ΒΓ=ΑΓ ΑΒ= ΒΓ uu = ( ) = ( ) + = ( ) + = 7 uu ΒΓ = 7 ( ) ( ) + 7 (1) συνβ= uu = uu = συνβ= ΒΓ ΒΓ 7 7 uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu ΑΒ=ΑΓ+ΓΒ, ( ) ( ) ΑΒ =ΑΓ +ΒΓ ( ΓΒπροuu ) ΓΒ ΑΒ =ΑΓ + ΑΓΓΒ +ΓΒ =ΑΓ ΓΑΓΒ +ΒΓ uu uu uu uu uu uu uu uu uuuu ΓΑ ΑΒ =ΑΓ +ΒΓ ΓΒΓΣ 3 Θεωρούµε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ κι ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ τ ύψη τουεξωτερικά του 1 1 1 τριγώνου κτσκευάζουµε ορθογώνι πρλληλόγρµµ ΒΓ Ε µε Γ =ΓΑ 1,ΓΖΗΑ µε ΑΗ=ΑΒ 1 κι ΑΘΙΒ µε ΒΙ=ΒΓ 1 κι ονοµάζουµε Ε Α, Ε Β, Ε Γ ντίστοιχ τ εµδά τουςαν ισχύει Ε Α ΒΓ+Ε Γ ΑΒ=Ε Β ΑΓ (1),δείξτε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ισόπλε- uu uu uu υρο Σύµφων µε την πρτήρηση της πργράφου «προολή δινύσµτος σε διάνυσµ» έχουuuuu uuuu uuuu uu uu uu r µε Ε Α =ΓΒΓΑ, Ε Β =ΑΓΑΒ κι Ε Γ =ΒΑΒΓ (1) ΕΑΒΓ ΕΒΑΓ+ΕΓΑΒ= 0 uu uu uu uu uu uu uu uu uu r uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu r ( ΓΒΓΑ ) ΒΓ ( ΑΓΑΒ ) ΑΓ+ ( ΒΑΒΓ ) ΑΒ= 0 ( ΓΒΓΑ )( ΑΓ ΑΒ) ( ΑΓΑΒ ) ΑΓ+ ( ΒΑΒΓ ) ΑΒ= 0 uuuu uuuu uu uuuu uuuu uu r ΓΒΓΑ ΑΓΑΒ ΑΓ+ ΒΑΒΓ ΓΒΓΑ ΑΒ= 0 () 8 Γιννκόπουλος Σπύρος

9 uu uu Επειδή τ δινύσµτ ΑΒ, ΑΓ είνι µη συγρµµικά πό τη () προκύπτει: uu uu uu uu uu uu uu uu ΓΒΓΑ ΑΓΑΒ= 0 (3) κι ΒΑΒΓ ΓΒΓΑ= 0 (4)Έστω Μ, Ν τ µέσ των πλευρών ΑΓ, ΒΓ ντίστοιχ uuuu uuuu uu uu uu uuuuu uuuuu uuu uu (3) ΑΓΒΓ+ΑΓΒΑ= 0 ΑΓ ΒΓ+ΒΑ = 0 ΑΓΒΜ= 0 ΑΓΒΜ= 0 ΒΜ ΑΓ Άρ η διάµεσος ΒΜ συµπίπτει µε το ύψος ΒΒ 1,οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ισοσκελές µε ΑΒ=ΒΓ Όµοι πό την (4) προκύπτει ότι η διάµεσος ΑΝ συµπίπτει µε το ύψος ΑΑ,οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ισοσκελές µε ΑΒ=ΑΓ Συνεπώς ΑΒ=ΒΓ=ΑΓ,που ση- 1 µίνει ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ισόπλευρο 4 Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ κι Ο έν εσωτερικό σηµείο του τριγώνου Ονοµάζουµε Ε Α, Ε Β, Ε Γ τ εµδά των τριγώνων ΟΒΓ, ΟΑΓ, ΟΑΒ ντίστοιχ uu uu uu r i είξτε ότι: Ε Α ΟΑ+Ε Β ΟΒ+Ε Γ ΟΓ=0 (Σχέση ΚρθεοδωρήΟ Κωνστντίνος Κρθεοδωρή υπήρξε ένς πό τους µεγλύτερους µθηµτικούς της εποχής του 1873-1950Σηµντική υπήρξε η συµολή του στο Μθηµτικό τοµέ της Θεωρίς της Σχετικότητς του Einstein) uu 0 uu ii Αν το Ο είνι περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ κι ΑΟΒ= 90, ΟΒ, ΟΓ = ω δείξτε ΕΒ ότι: συνω = Ε i Γ Ε Γ Ε Β Ε Α 9 Γιννκόπουλος Σπύρος

10 Θεωρούµε ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων µε ρχή το Ο κι άξον τετµηµένων χ χ πράλληλο στη ΒΓ Με άση το πρπάνω σχήµ έχουµε ( κ, λ ), ( µν, ), ( ρν, ) uu uu uu κι ρ > 0 ΟΑ= ( κ, λ ), ΟΒ= ( µν, ), ΟΓ= ( ρν, ) Α Β Γ µε κ < 0, λ > 0, µ < 0, ν < 0 det ( ΟΒ uu, ΟΓ uu ) = µ ν κ λ µν ρν 0, det (, ) κν ρλ ρ ν = > ΟΑ uu ΟΓ uu = ρ ν = uu uuuu uu uu Θεωρούµε το σηµείο ( ν, ρ) Είνι Ο = ( ν, ρ) µε ΟΓΟ = 0 ΟΓ Ο κι uuuu uu uu uu uu uu uu ΟΑΟ = κν ρλ= det ΟΑΟΓ, Η γωνί ΟΑΟ < 0 det ΟΑΟΓ, < 0 ΑΟ είνι µλεί,οπότε uu uu Επίσης det ( ΟΑ, ΟΒ ) = κ λ = κν µλ > 0 µ ν 1 uu uu 1 1 uu uu Ε det,, det (, ) 1 Α = ΟΒ ΟΓ = µν ρν Ε Β = ΟΑ ΟΓ = ( ρλ κν) κι 1 uu uu 1 Ε Γ = det ( ΟΑ, ΟΒ ) = ( κν µλ) uu uu uu 1 ΕΑΟΑ+ΕΒΟΒ+ΕΓΟΓ= ( κµν κνρ + µρλ κµν + ρκν µρλ, λµν λνρ+ ρλν κν + κν λµν) = 1 ( 0,0 ) = r 0 Σηµείωση: Η λύση του προλήµτος δεν επηρεάζετι πό τη θέση του ΑΑν το Α είνι στην πρώτη γωνί των ξόνων,τότε κ> 0, λ> 0,οπότε πευθείς έχουµε κν ρλ< 0 uu uu uu uu ii Έχουµε ΟΑ ΟΒ ΟΑΟΒ= 0 uu uu uu κι ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ = R,όπου R η κτίν του περιγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓΑπο το i ερώτηµ είνι: 10 Γιννκόπουλος Σπύρος

11 uu uu uu r uu uu uu uu uu Ε ΟΑ+Ε ΟΒ+Ε ΟΓ= 0 Ε ΟΑΟΒ +Ε ΟΒ +Ε ΟΒΟΓ= 0 Α Β Γ Α Β Γ Ε Ε +Ε = = Ε ΒR ΓR συνω 0 συνω Β Γ 5 ίνοντι τ µη µηδενικά κι κάθετ δινύσµτ,,κθώς κι τo διάνυσµ γ µε γ =, γ = i Ν νλύσετε το γ σε δύο συνιστώσες κτά τη διεύθυνση των, ντίστοιχ ii είξτε ότι ο φορές του γ διχοτοµεί τη γωνί των, Έστω έν διάνυσµ δ r i Αν ισχύει + + δ = 0 (1),θεωρούµε την πράστση Κ = δ + δ Ν δείξετε ότι: Κ< + ii Ν δείξτε ότι: + + δ 3 3 δ Έχουµε = 0 r i Ζητάµε πργµτικούς ριθµούς κ, λ έτσι ώστε γ = κ+ λ () r 1 () γ = κ + λ( ) = κ κ = r 1 () γ = κ( ) + λ = λ λ= r 1 1 Άρ γ = + r (Το γ είνι άθροισµ δύο µονδιίων δινυσµάτων) r r γ 1 ii συν, γ = r = r = r (3) γ γ γ r 1 1 r γ = + = = γ = Άρ r φορές του γ διχοτοµεί τη γωνί, Γιννκόπουλος Σπύρος r 1 r π (3) συν, γ =, γ =,οπότε 11 ο 4

i (1) + δ = ( + δ) = + ( δ ) + δ = δ δ = (1) δ = δ = = Άρ δ = Όµοι ρίσκουµε δ = Άρ Κ= ( + ) Αφού τ δινύσµτ, δεν είνι οµόρροπ έχουµε: + < + + > + Κ< + + + = + + = 3 3 3 ii 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( δ ) ( ) ( δ ) ( δ ) δ 3 δ 3 3 3 δ 3 3 3 δ + + + + 0 + + δ 33 δ 0 + + δ 33 δ 1 uuu 6 Θεωρούµε τ σηµεί Μ ( χ + ψ, ψ ), Ν ( ψ χ, ψ ) έτσι ώστε το διάνυσµ ΜΝ ν σχη- µτίζει µε τον άξον χχ γωνί π κι 4 ΜΝ uuu = uuu i είξτε ότι: ΜΝ= (, ) ii Αν Κ το µέσο του ΜΝ,θεωρούµε τ σηµεί Α (, 0), Β ( 0, 13 ) είξτε ότι το 3 τρίγωνο ΚΑΒ είνι ορθογώνιο στην κορυφή Κ iii Ν ρείτε τ σηµεί Α, Β του ερωτήµτος ii έτσι ώστε το εµδόν του τριγώνου ΚΑΒ ν είνι ελάχιστο uuu uu uuu ΜΝ = χ, ψ Υπάρχει σηµείο Α( χ, ψ ) έτσι ώστε ΟΑ=ΜΝ,όπου Ο η ρχή των ξό- i uu χ > 0 χ < 0 π νωντο ΟΑ σχηµτίζει µε τον χ χ γωνί,οπότε πρέπει κι 4 ψ > 0 π ψ εφ = ψ = χ (1) 4 χ uuu (1) χ< 0 ΜΝ = 4χ + ψ = 8χ = χ = 1 χ = 1 uuu Από την (1) πίρνουµε ΜΝ=, ψ = Άρ 1+ 3 + 4 ii Έχουµε Μ (1,) κι Ν (3, 4) Οι συντετγµένες του Κ είνι χ Κ = =, ψ Κ = = 3 1 Άρ Κ (, 3) uu (, 3 ), uu, ΚΑ= ΚΒ= 3 uu uu ΚΑΚΒ= = 0Άρ το τρίγωνο ΚΑΒ είνι ορθογώνιο στην κορυφή Κ κι Γιννκόπουλος Σπύρος

13 iii Το εµδόν του τριγώνου ΚΑΒ (φού είνι ορθογώνιο στο Κ) είνι: 1 uu uu 1 4 1 1 ΚΑΒ = ΚΑ ΚΒ = + 9 + 4= + 9 = ( 4 + 13) 9 3 3 4 Το τριώνυµο 4 + 13 προυσιάζει ελάχιστη τιµή ότν = = Άρ τ σηµεί Α, Β γι τ οποί το τρίγωνο ΚΑΒ έχει ελάχιστο εµδόν είνι Α (,0) κι Β (0,3) 7 Γι δύο δινύσµτ, έχουµε = (1) µε () είξτε ότι: i( ) > ii > 1 i (1) ( ) ( ) = = ( ) + = ( ) + + ( ) + ( ) = 0 + ( ) = 0 = (3) + (3) Είνι ( ) > 0 + > 0 > ( ) > < < (4) r r Είνι 0 κι 0 γιτί ν έν τουλάχιστον πό τ δινύσµτ ήτν µηδενικό πχ r = 0,τότε = 0 κι πό την (1) θ είχµε = 0 Άτοπο λόγω της () Άρ > 0,οπότε (4) > 1 ( i) ii Ισχύει ( ) ( ) r 8 Θεωρούµε τ δινύσµτ, µε 0 κι προ = 4 (1)Έστω η συνάρτηση f ( χ ) ( = ) ( + χ 1) χ + 5, χ R Αν η f γι χ = 1 προυσιάζει κρόττο τότε: i είξτε ότι: = χ + χ = () ii Ν ρείτε το διάνυσµ χ ότν ισχύει: Είνι + ( ) > 0 Άρ το f ( χ ) είνι τριώνυµο κι προυσιάζει ελάχιστο γι 1 1 χ = Πρέπει 1 1 = = + + + Γιννκόπουλος Σπύρος 13

14 1= 0 = 1 ( 1) + ( ) = 0 κι = 0 = i Έχουµε = (3) (1) προ = 4 προ = 4 = 4 = συν, = συν, = 1, = 0 Άρ (4) Από τις (3),(4) προκύπτει ότι = u ii () χ+ ( χ ) = χ + ( χ )( ) = 1 ( χ )( 1 + ) = 1 i 1 1 3 ( χ ) = 1 χ = Άρ () χ+ = χ = Το διάνυσµ χ που ρήκµε επληθεύει την () οπότε είνι το 3 3 3 ζητούµενο 9 Θεωρούµε τ δινύσµτ, µε r κι το διάνυσµ, u = λ + λ + 1 λ R r u i είξτε ότι υπάρχει κριώς ένς πργµτικός ριθµός λ έτσι ώστε r r ii Αν u ( ),δείξτε ότι: u + i u r ( ) u r ( ) = 0 λ + ( λ+ 1) ( ) = 0 ( ) λ= λ= (1)Από την (1) προσδιορίζετι κριώς ένς πργµτικός λ ώστε u r ( ) ii Σύµφων µε το i ερώτηµ ότν u r r ( ) έχουµε u= + r r u+ = ( + ) ( u+ )( ) = () r r u = ( + ) ( u )( ) = (3) r r r ()+(3) ( u+ )( ) + ( u )( ) = ( ) ( )( u+ ) = ( ) r r ( )( u+ ) = u+ (4) r Αφού 0,οπότε > 0Άρ (4) u+ 10 Γι τους πργµτικούς ριθµούς,, γ, δ ισχύει δ γ = 1 + + + γ γ + δ + δ 1 (Άσκηση του µήν πό ΕΜΕ) είξτε ότι: u Θεωρούµε τ δινύσµτ u= (, γ), v= ( +, γ + δ), w= ( δ, ) 14 Γιννκόπουλος Σπύρος

Είνι v u= (, δ) u v= + + + Πρτηρούµε ότι ( ) γ( γ δ) uuuuu (1) v u w= 0 v w u w= 0 v w= u w= 1 () u u, w = v u κι u w= δ γ = 1 u ( + ) + + ( + ) + = 1 u v+ w = u w (3) 15 (1) κι Υποθέτουµε ότι γ γ γ δ δ r r r r r r r r rr r r v + u w v u = w v u = w v + u v u= w v u= r r v + u w r r r r Η (3) γράφετι + w = u w v + u + w u w= 0 r r r v = 0 v= 0 r r r v + u w = 0 κι κι Έτσι η () δίνει 0 w= 1 0= 1Άτοπο r r r r u w = 0 u w = 0 u = w Άρ ( + ) + + γ ( γ + δ ) + δ 1 Σηµείωση: Η πρπάνω άσκηση λύνετι κι χωρίς τη χρήση δινυσµάτων,εργζόµενοι λγερικά 11 Έστω τ µη συγγρµµικά δινύσµτ, Ν ρείτε τον πργµτικό ριθµό χ ( + χ ) ( ) γι τον οποίο ισχύει: = (1) + χ Τ δινύσµτ, ως µη συγρµµικά είνι µη µηδενικά Θ δείξουµε ρχικά ότι χ 0 Αν υποθέσουµε ότι χ = 0 η (1) γίνετι ( ) = = ( ) ( ) = ( ) = // ΆτοποΆρ χ 0 ( + χ) ( ) (1) = συν, + χ = συν, + χ, + χ =, () ικρίνουµε τις περιπτώσεις: 1 η Αν χ > 0 Έν ενδεικτικό σχήµ είνι το πρκάτω σχήµ 15 Γιννκόπουλος Σπύρος

16 + χ Το ΟΒ είνι διχοτόµος της ΟΕ,οπότε πό το θεώρηµ της εσωτερικής διχοτόµου στο τρίγωνο ΟΕ έχουµε uu = = χ = + χ uu Β + χ χ + χ ΒΕ χ ( ) = ( + χ ) ( ) ( ) = 0 χ χ (3) Αν ( ) = 0 ( ) = > 0,η (3) γράφετι ( ) χ = χ = 1 Απορρίπτετι Αν ( ) 0,η (3) είνι δευτεροάθµι εξίσωση µε άγνωστο το χ = 4 + 4 ( ) = = 4 ( ) > 0 χ = ( ) ± Άρ χ = ή ( ) χ = 1πορρίπτετι Άρ χ = > 0 + > > > ( ),ότν η : Αν χ < 0 Πρτηρούµε ότι το χ = 1 επληθεύει την (1)Σε οποιδήποτε άλλη περίπτωση µε χ < 0 η (1) είνι δύντη γιτί δεν µπορεί ν ισχύει η ()Έν ενδεικτικό σχήµ είνι το πρκάτω χ + χ χ Συνοψίζοντς τις πρπάνω περιπτώσεις έχουµε χ = 1 ή χ =,ότν > 16 Γιννκόπουλος Σπύρος

r 1 ίνοντι δύο µη µηδενικά δινύσµτ, r Αν υπάρχει λ R τέτοιος ώστε ν r r ισχύει + λ = 1,ν ποδείξετε ότι το εµδόν του πρλληλογράµµου ΟΑΓΒ µε uu r uu r ΟΑ=, ΟΒ= είνι µικρότερο ή ίσο του ( Φυσικοµθηµτική 1979) Αν λ 0 Γ Α Α Ζ Ζ Γ r υ υ Ο B Κ Κ Ο λ>0 λ<0 uu r uu r r Ο = λ, ΟΖ= + λ κι υ =ΖΚ Ο Έστω Ε το εµδόν του πρλληλόγρµµου ΟΑΓΒΜε άση τ πρπάνω σχήµτ έχουµε: r Ε= r r uu r r υ (1)Όµως στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΖ είνι υ= υ < ΟΖ = + λ = 1 r r Άρ (1) Ε< Έχουµε όµως κι την περίπτωση ( + λ) ( + λ) = 0 λ=,όπως φίνετι στο πρκάτω σχήµ 17 Β λ> 0 (ντίστοιχο σχήµ έχουµε γι λ<0) r r r Στην περίπτωση υτή υ = + λ = 1 r,οπότε Ε= r Συνοψίζοντς τις πρπάνω περιπτώσεις έχουµε Ε Αν λ=0,τότε = 1Το εµδόν του πρλληλογράµµου ΟΑΓΒ είνι: ( ) ( ) Ε= = Ε 13 Γι τους * χ, ψ ψ R ισχύει ( χ )( ψ ) πράστσης Α= ( 1 + χ )( 1 + ψ ) 1 1 = 1 (1)Ν ρείτε την ελάχιστη τιµή της Α= + + (Άσκηση του µήν πό ΕΜΕ) + = ()Θεωρούµε τ δινύσµτ = ( 1, χ ), = ( 1, ψ ) (1) χ ψ χ ψ = 1+ χ κι = 1+ ψ Είνι =Α Ισχύει: Α= Άρ Α min =,ότν ( ) Γιννκόπουλος Σπύρος 17 // det 1, = 0 χ = 0 1 ψ

18 χ = ψ χ = ψ οπότε Άρ 4 () χ χ Α min = 1+ χ = 1+ = 3+ = χ = χ = Σηµείωση: Η πρπάνω άσκηση λύνετι κι χωρίς τη χρήση δινυσµάτων,εργζόµενοι λγερικά 0 0 0 14 είξτε ότι: συν 3 + συν 117 + συν 13 = 0 Θεωρούµε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς κι τον άξον χχ µε ρχή το Α,µονδιίο διάνυσµ το r i,ο οποίος σχηµτίζει µε την πλευρά ΑΒ γωνί χ r i 0 3 0 3 0 57 0 57 χ uu uu r Επιπλέον θεωρούµε τ δινύσµτ Β, ΓΕ έτσι ώστε ν είνι οµόρροπ του i uu r 0 Έχουµε ΑΒ, i uu r uu uu 0 uu r uu uu 0 = 3, ΒΓ, i = ΒΓ, Β = 13 κι ΓΑ, i = ΓΑ, ΓΕ = 117 uu r uu uu r uu r uu uu r 0 0 0 0 ΑΒ i= ΑΒσυν 3 ΑΒ i= συν 3, ΒΓ i= ΒΓσυν13 ΒΓ i= συν13 κι uu r uu uu r 0 0 ΓΑ i= ΓΑσυν117 ΓΑ i= συν117 uu uu uu r uur rr 0 0 0 συν 3 + συν117 + συν13 = ΑΒ+ΒΓ+ΓΑ i=αα i= 0 i= 0 0 0 0 0 0 0 συν 3 + συν117 + συν13 = 0 συν 3 + συν117 + συν13 = 0 15 ίνετι τετράγωνο ΑΒΓ κι τ ευθύγρµµ τµήµτ ΕΖ,ΗΘ που τ άκρ τους είνι σηµεί των πένντι νά δύο πλευρών του τετργώνου ( Ε ΑΒ, Ζ Γ, Η ΒΓ κι Θ Α )Αν ΕΖ ΗΘ δείξτε ότι: iεζ=ηθ uu uu uu uu uu uu uu uu ii ΘΗΘΖ ΕΖΕΗ=ΕΖΘΖ ΘΗΕΗ i Θεωρούµε ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων µε ρχή το σηµείο Α,άξον χ χ το φορέ του τµήµτος ΑΒ κι άξον ψψ το φορέ του τµήµτος Α 18 εν λάπτετι η γενικότητ ν θεωρήσουµε το Β στον θετικό ηµιάξον Γιννκόπουλος Σπύρος

19 Έστω το µήκος της πλευράς του τετργώνου,τότε µε άση το πρπάνω σχήµ έχου- µε Α(0,0), Β(,0), Γ(, ), (0, ) κι Ε ( κ,0 ), Η(, λ )), Ζ( µ, ), Θ ( 0, ν) uu uu ΕΖ= ( µ κ, ) κι ΘΗ= (, λ ν) uu uu ΕΖ = µ κ + κι ΘΗ = + ( λ ν) uu uu uu uu Είνι ΕΖ ΘΗ ΕΖΘΗ= 0 ( µ κ) + ( λ ν ) = 0 µ κ = ( λ ν) (1) uu (1) uu ΕΖ = λ ν + = ΘΗ ΕΖ=ΘΗ ii uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu ΘΗΘΖ=ΘΗ προuuu ΘΗ ΘΖ =ΘΗΘΚ=ΘΗ ( ΘΗ ΚΗ ) =ΘΗ ΘΗΚΗ= uu uu uu uu uuuu ΘΗ ΘΗ προuuu ΘΗ ΕΗ=ΘΗ ΘΗΕΗ () uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu ( i) uu uu uu ΕΖΕΗ=ΕΖ προuu ΕΖ ΕΗ=ΕΖΕΚ=ΕΖ ( ΕΖ ΚΖ ) =ΕΖ ΕΖΚΖ=ΘΗ ΕΖΚΖ= uu uu uu uu uuuu ΘΗ ΕΖ προuu ΕΖ ΘΖ=ΘΗ ΕΖΘΖ (3) uuuu uuuu uuuu uuuu Λόγω των (),(3) έχουµε ΘΗΘΖ ΕΖΕΗ=ΕΖΘΖ ΘΗΕΗ 19 Γιννκόπουλος Σπύρος

0 16 ίνετι τρίγωνο ΑΒΓΦέρνουµε τις Α ΒΓ, Ε ΑΒ κι Η ΑΓ Ν δείξετε uu uu uu ότι: i ΑΓ =Γ ΓΒ Α= 1 uu uuuu ii Aν ΑΓ =Γ ΓΒ,τότε η διάµεσος ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ είνι κάθετη στο ΕΗ uu uu uu uu uu uu i Γ ΓΒ= uu ( προ ΓΒ ΓΑ) ΓΒ=ΓΑΓΒ uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu ΑΓ =Γ ΓΒ ΑΓ =ΓΑΓΒ ΑΓ ΓΑΓΒ= 0 ΓΑ ΓΑΓΒ= 0 uu uu uu uu uu uu uu ΓΑ ( ΓΑ ΓΒ ) = 0 ΓΑΒΑ= 0 ΑΓΑΒ= 0 Α= 1 uu uuuu ii Αν ισχύει ΑΓ =Γ ΓΒ σύµφων µε το i ερώτηµ το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο στην κορυφή Α uu uu uu uuu 1 uu uu uu uu ΕΗ= Η Ε, ΑΜ= ( ΑΒ+ΑΓ ) Το τετράπλευρο ΑΕ Η είνι ορθογώνιο οπότε Η=ΕΑ, uu uu uu uu uu uu Ε=ΗΑ κι ΗΑΓ= 0, ΕΑΒ= 0 uu uuu 1 uu uu uu uu uu uu uu uu 1 uu uu uu uu 1 uu uu uu uu ΕΗΑΜ= ( ΗΑΒ+ ΗΑΓ ΕΑΒ ΕΑΓ ) = ( ΗΑΒ ΕΑΓ ) = ( ΕΑΑΒ ΗΑΑΓ ) = 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ΑΕΑΒ+ΑΗΑΓ uu uu uu uu = uu uu uu uu uu uu uu uu προuu προuu ΑΒ ΑΓ ΑΒ Α +ΑΓ Α = ΑΒΑ +ΑΓΑ = 1 uu uu uu 1 uu uu uu uu uu uuu Α ( ΑΓ ΑΒ ) = ( Α ΒΓ ) = 0,φού Α ΒΓ Άρ ΕΗ ΑΜ,οπότε ΕΗ ΑΜ 17 ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι το ύψος του Α Έστω έν σηµείο Ε του επιπέδου του uu uu uu uu uu uu uu uu τριγώνου γι το οποίο ισχύει ΒΓΒ +ΒΓΒΕ= ΒΓ ΒΕ +ΒΑΒΓ (1),τότε: i είξτε ότι το Ε νήκει στην ηµιευθεί ΒΓ ii Αν το Ε περιέχετι µετξύ των σηµείων,γ κι ο περιγεγρµµένος κύκλος του τριγώνου ΑΒ τέµνει τ τµήµτ ΑΓ, ΑΕ στ Κ, Λ ντίστοιχ κι Μ είνι το µέσο uu uu uu uu uu uuu του ΕΓ δείξτε ότι: ΑΚΑΓ+ΑΛΑΕ= ΑΒΑΜ i 0 Γιννκόπουλος Σπύρος

uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu (1) ΒΓ προ uu ΒΑ+ΒΓΒΕ= ΒΓ ΒΕ +ΒΑΒΓ ΒΓΒΑ+ΒΓΒΕ= ΒΓ ΒΕ +ΒΓΒΑ ΒΓ uuuu uu uu uu uu ΒΓΒΕ= ΒΓ ΒΕ ΒΓ ΒΕ Άρ το Ε είνι σηµείο της ηµιευθείς ΒΓ ii 1 Αφού το τρίγωνο ΑΒ είνι ορθογώνιο στο,η ΑΒ είνι διάµετρος του περιγεγρµµένου 0 του κύκλουάρ ΑΚΒ=ΑΛΒ= 90 ΑΚΑΓ+ΑΛΑΕ= uu uu uu uu ( προ ΑΒ uu ) ΑΓ+ uu ( προ ΑΒ uu ) ΑΕ=ΑΒΑΓ+ΑΒΑΕ=ΑΒ uu uu uu uu uu uu uu uu ΑΓ ΑΕ ( ΑΓ+ΑΕ uu uu ) = uu uuu uuuuu ΑΒ ΑΜ = ΑΒΑΜ 18 ύο κινητά Α,Β κινούντι σε ορθοκνονικό σύστηµ συντετγµένων Οχψ κι µε σηµείο νφοράς το Ο έχουν δινυσµτικές κτίνες τ µη µηδενικά δινύσµτ r r r r, ντίστοιχ γι τις οποίες ισχύει: + 3( ) + = 0 (1) κι, π είξτε ότι: i Τ κινητά Α,Β δεν µπορεί ν ρίσκοντι τυτόχρον στην ίδι γωνί των ξόνων ii 1 < συν, 3 Αν τ κινητά Α,Β στθεροποιηθούν στην 1 η κι η γωνί των ξόνων ντίστοιχ 4 κι έχουµε 1 < = l <,ν ρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ του ε- 5 uuu uuu πιπέδου γι τ οποί ισχύει ΜΑΜΒ= 1 κθώς κι την ελάχιστη πόστση της ρχής των ξόνων πό τον γεωµετρικό τόπο 1 i Από την (1) έχουµε = ( + ) < 0 Άρ η γωνί, είνι µλεί που 3 σηµίνει ότι τ Α, Β δεν ρίσκοντι τυτόχρον στην ίδι γωνί των ξόνων(αν ήτν στην ίδι γωνί την ξόνων η, θ είνι οξεί) 1 ii (1) + 3 συν, + = 0 () Γιννκόπουλος Σπύρος

Το τριώνυµο f χ = χ + συν χ+ λόγω της () έχει ρίζ το,άρ πρέπει 3, συν, < 0 4 0 9 συν, 4 0 συν, συν, 9 3 συν, συν, Αφού, π συν, 1,οπότε έχουµε 3 3 1 < συν, 3 4 4 Έχουµε 1< l< < l< 1Έστω Κ το µέσο του ΑΒ 5 5 uuu uuu uu uuu uu uuu uu uuu uu uuu ΜΑΜΒ= 1 ( ΚΑ ΚΜ)( ΚΒ ΚΜ ) = 1 ( ΚΑ ΚΜ)( ΚΑ ΚΜ ) = 1 uu uuu uu uuu uu uuu uuu uu ( ΚΑ ΚΜ)( ΚΑ+ΚΜ ) = 1 ΚΑ ΚΜ = 1 ΚΜ =ΚΑ 1 (3) uu uu ( ) (1) ΑΒ + 5 5 ΚΑ = = = = ( ) = 4 4 4 4 4 l uuu 5 uuu 5 Άρ (3) ΚΜ = l 1> 0 ΚΜ = l 1 στθερό 4 4 Άρ ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είνι ο κύκλος µε κέντρο το Κ κ κτίν ΚΜ uuu = 5 1 4 l uu (1) 1 1 1 1 ( ) ( ) uu 4 ΟΚ= + ΟΚ = + + = 4 uu ΟΚ = l uu uuu 1 5 ΟΚ > ΚΜ l > l 1 l< 1 που ισχύειάρ το Ο είνι εξωτερικό σηµείο του κύκλου ( Κ, ΚΜ uuu ) Η τοµή του ΟΚ µε τον κύκλο δίνει εκείνο το σηµείο Μ uuu που το ΟΜ είνι η ελάχιστη 4 - πόστση του Ο πό τον κύκλο uuu uu uuu 1 5 1 ΟΜ = ΟΚ ΚΜ = l l 1= ( l 5l 4) min 4 Γιννκόπουλος Σπύρος

3 uu uu uu 19 ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι σηµείο Σ γι το οποίο ισχύει ΣΑ+ 3 ΣΒ=ΑΓ (1) uu 1uu είξτε ότι υπάρχει σηµείο Τ στο ΑΒ τέτοιο ώστε ΤΣ= ΑΓ 4 Γι έν µετλητό σηµείο Μ του επιπέδου ισχύει: uu uu 3 uu uu uuu uu uuu 1 uu uu ΑΒΑΣ ΑΒ +ΑΓΒΜ=ΑΒΒΜ ΑΒΑΓ () 4 4 i Ν ρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ ii Ν προσδιορίσετε εκείνο το σηµείο Μ του πρπάνω γεωµετρικού τόπου γι το uu uuu uu uu uuu οποίο επιπλέον ισχύει: ΒΑΒΜ=ΒΑ +ΒΓΑΜ uu uu uu uu uu uu uu (1) ΣΑ+ 3 ΣΑ+ΑΒ =ΑΓ 4ΣΑ+ 3ΑΒ=ΑΓ (3)Στο ΑΒ επιλέγουµε σηµείο Τ τέτοιο uu uu uu 3uu ώστε 4ΑΤ= 3ΑΒ ΑΤ= ΑΒ 4 uu uu uu u 1uu u 1uu (3) 4( ΣΑ+ΑΤ ) =ΑΓ ΣΤ= ΑΓ ΤΣ= ΑΓ 4 4 i Γι το σηµείο Τ του ερωτήµτος έχουµε: uu uu uu u uu uu u uu uu 1 uu uu 3 uu ΑΒΑΣ=ΑΒ ( ΤΣ ΤΑ ) =ΑΒΤΣ ΑΒΤΑ= ΑΒΑΓ+ ΑΒ 4 4 1 uu uu 3 uu 3 uu uu uuu uu uuu 1 uu uu uu uuu uu uuu () ΑΒΑΓ+ ΑΒ ΑΒ +ΑΓΒΜ=ΑΒΒΜ ΑΒΑΓ ΑΓΒΜ=ΑΒΒΜ 4 4 4 4 uuu uu uu uuu uu uuu uu ΒΜ ΑΓ ΑΒ = ΒΜΒΓ= ΒΜ ΒΓ 0 0 Άρ ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είνι ευθεί ε που διέρχετι πό το Β κι είνι κάθετη στο ΒΓ uu uuu uu uu uuu uu uuu uu uu uuu uu uuu uu uu uuu 3 ii ΒΑΒΜ=ΒΑ +ΒΓΑΜ ΒΑΒΜ ΒΑ ΒΓΑΜ= 0 ΒΑ( ΒΜ ΒΑ) ΒΓΑΜ= 0 uuuuu uuuuu uuu uu uu uuuuu uuuuu uuu uu ΒΑΑΜ ΒΓΑΜ= 0 ΑΜ ΒΑ ΒΓ = 0 ΑΜΓΑ= 0 ΑΜΑΓ= 0 ΑΜ ΑΓ Γιννκόπουλος Σπύρος

4 Άρ το ζητούµενο σηµείο Μ είνι το σηµείο τοµής της ευθεί ε (γεωµετρικού τόπου) µε την κάθετη ευθεί στην πλευρά ΑΓ στο σηµείο Α 0 ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι G το κέντρο άρους τουέστω P τυχίο σηµείο του επιπέδου του τριγώνου Ν δείξετε ότι: uu uu uu uu uu uu uu i P Α + P Β + P Γ = 3PG + G Α + G Β + G Γ uu uu uu 1 uu uu uu ii G Α + G Β + G Γ = ( ΑΒ +ΒΓ +ΑΓ ) 3 Ν ρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ του επιπέδου γι τ οποί ισχύει uuu uuu uuu uu uu uu 3uu 4 ΜΑ +ΜΒ +ΜΑ = ( ΑΒ +ΒΓ +ΑΓ ) + Α G (1) 3 uu uu uu r Έχουµε GΑ+ GΒ+ GΓ= 0 () uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu i PΑ + PΒ + PΓ = ( PG+ GΑ ) + ( PG+ GΒ ) + ( PG+ GΓ ) = 3PG + GΑ + GΒ + GΓ + uu uu uu uu () uu uu uu uu + PG( GΑ+ GΒ+ GΓ ) = 3PG + GΑ + GΒ + GΓ uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu ii () ( GΑ+ GΒ+ GΓ ) = 0 GΑ + GΒ + GΓ + ( GΑ GΒ+ GΒ GΓ+ GΑ GΓ ) = 0 uu uu uu uu uu uu uu uu uu GΑ + GΒ + GΓ = ( GΑ GΒ+ GΒ GΓ+ GΑ GΓ) (3) uu uu uu uu uu uuuu uu uu uu uuuu ΑΒ = GΒ GΑ = GΑ + GΒ GΑ GΒ Όµοι έχουµε ΒΓ = GΒ + GΓ GΒ GΓ κι uu uu uu uuuu ΑΓ = GΑ + GΓ GΑ GΓ uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu Άρ ΑΒ +ΒΓ +ΑΓ = ( GΑ + GΒ + GΓ ) ( GΑ GΒ+ GΒ GΓ+ GΑ GΓ) (3) uu uu uu uu uu uu uu uu uu 1 uu uu uu ΑΒ +ΒΓ +ΑΓ = 3( GΑ + GΒ + GΓ ) GΑ + GΒ + GΓ = ( ΑΒ +ΒΓ +ΑΓ ) 3 uuu uuu uuu uu uu uu uu 3uu (1) 3ΜΑ +ΜΑ +ΜΒ +ΜΓ = ( ΑΒ +ΒΓ +ΑΓ ) + Α 3 G (4)Λόγω του i έχουµε uuu uuu uu uu uu ( ) uu uu uu 3uu ii (4) 3ΜΑ + 3Μ G + GΑ + GΒ + GΓ = ( ΑΒ +ΒΓ +ΑΓ ) + ΑG 4 3 uuu uuu 1 uu uu uu uu uu uu 3uu 3ΜΑ + 3Μ G + ( ΑΒ +ΒΓ +ΑΓ ) = ( ΑΒ +ΒΓ +ΑΓ ) + ΑG 3 3 Γιννκόπουλος Σπύρος

uu uuu uuu 1 uu uu uu ΑG ΜΑ +Μ G = ( ΑΒ +ΒΓ +ΑΓ ) + (5)Έστω Κ το µέσου του Α G 9 uu uu uuu uu uuu 1 uu uu uu ΑG (5) ( ΚΑ ΚΜ ) + ( ΚG ΚΜ ) = ( ΑΒ +ΒΓ +ΑΓ ) + 9 uu uu uuu uu uu uuu uuu uu uu uuu uuu 1 uu uu uu G ΑG ΚΑ= Κ ΚΑ ΚΑΚΜ+ΚΜ +ΚG ΚG ΚΜ+ΚΜ = ( ΑΒ +ΒΓ +ΑΓ ) + 9 uu uu uuu 1 ΚΑ + ΚΜ G uu G uu uu uu uu Α Α uuu 1 uu uu uu Α = ΑΒ +ΒΓ +ΑΓ + + ΚΜ = ( ΑΒ +ΒΓ +ΑΓ ) + G 9 9 1 ΚΜ uuu = ( ΑΒ uu +ΒΓ uu +ΑΓ uu ) ΚΜ uuu = ΑΒ uu +ΒΓ uu +ΑΓ uu =ρ στθερό 18 6 Κ,ρ Άρ ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είνι ο κύκλος 5 5 Γιννκόπουλος Σπύρος