Ελαχιστοποίηση του Κόστους

Ελαχιστοποίηση του Κόστους - H ανάλυση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήματα σε σχέση με το πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους: (1) Επιτρέπει τη διατύπωση μιας θεωρίας του κόστους που μπορεί να εφαρμοστεί και σε επιχειρήσεις που δε μεγιστοποιούν τα κέρδη τους. (2) Αν η επιχείρηση δεν είναι αποδέκτης τιμών στην αγορά του προϊόντος, τότε η συνάρτηση κερδών δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση της συμπεριφοράς της επιχείρησης. - Αντίθετα, τα συμπεράσματα που εξάγονται από το πρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους διατηρούν την ισχύ τους και σε αυτή την περίπτωση (εφόσον οι αγορές των εισροών είναι ανταγωνιστικές). 1

(3) Αν η συνάρτηση παραγωγής έχει σταθερές ή αύξουσες αποδόσεις κλίμακας, τότε η λύση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους έχει καλύτερη συμπεριφορά από τη λύση του προβλήματος μεγιστοποίησης των κερδών. - Παράδειγμα 1 (Σταθερές Αποδόσεις Κλίμακας). Έστω ότι η εργασία (L) είναι η μοναδική εισροή και η συνάρτηση παραγωγής είναι: A = f( L) = L ( CRS) - Τότε, τo πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών γράφεται: max Π = p A wl { LA, } st.. A= f( L) = L LA, 0 max Π = pl wl= ( p w) L { L} st.. L 0 (PMP) 2

- Η λύση του προβλήματος είναι:, αν w< p Lwp (, ) = A( wp=, ) π ( wp, ) = 0, αν w= p 0, αν w> p, αν w< p 0, αν w= p 0, αν w> p, αν w< p 0, αν w p (Συνάρτηση Ζήτησης Εργασίας) (Συνάρτηση Προσφοράς) (Συνάρτηση Κερδών) 3

- Παρατήρηση 1: Αν w<p, τότε L (δηλαδή το PMP δεν έχει λύση). - Παρατήρηση 2: Αν w=p, τότε L 0, (δηλαδή η λύση του PMP δεν είναι μοναδική). - Παράδειγμα 2 (Αύξουσες Αποδόσεις Κλίμακας). Έστω ότι η εργασία (L) είναι η μοναδική εισροή και η συνάρτηση παραγωγής είναι: 2 A = f( L) = L ( IRS) - Τότε, τo πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών γράφεται: max Π = p A wl { LA, } st.. A= f( L) = L LA, 0 2 - Στην περίπτωση αυτή, έχουμε: max { L} 2 Π= p L st.. L 0 Lwp (, ), Awp (, ), π ( wp, ) wl (PMP) (δηλαδή το PMP δεν έχει λύση) 4

Μαθηματική Διατύπωση του Προβλήματος Ελαχιστοποίησης του Κόστους (CMP) - Η επιχείρηση επιλέγει τις ποσότητες των εισροών (Κ,L) κατά τρόπο ώστε να ελαχιστοποιεί το κόστος της, υπό τον περιορισμό ότι παράγεται ένα δεδομένο επίπεδο (στόχος) προϊόντος A: min CKL (, ) = wl+ rk { KL, } st.. f( K, L) A K, L 0 Πρόβλημα Ελαχιστοποίησης του Κόστους (CMP) - Ισοδύναμα, το CMP γράφεται: max CKL (, ) = wl rk { KL, } st.. f( K, L) A K, L 0 5

L = wl rk + λ[ f ( K, L) A] FOCs : L f L = r+ λ 0, K = 0 K K K L f L = w+ λ 0, L= 0 L L L L L = f( K, L) A 0, λ = 0 λ λ - Αναζητούμε την εσωτερική λύση των FOCs. Υπόθεση: K, L> 0. Τότε: L r K > 0 = 0 λ = > 0 f( K, L) = A (1) K f / K - Άρα: Ο συνδυασμός εισροών που ελαχιστοποιεί το κόστος πρέπει να παράγει ακριβώς το επίπεδο (στόχο) προϊόντος A (δεν υπάρχει υπερβάλλουσα παραγωγή στη λύση του CMP). 6

L w L > 0 = 0 λ =. Άρα: L f / L w r w f / L λ = = = = f / L f / K r f / K MRTS (2) - Για να ελαχιστοποιείται το κόστος της επιχείρησης, ο MRTS (δηλαδή ο τεχνικός λόγος ανταλλαγής) μεταξύ των εισροών Κ,L πρέπει να είναι ίσος με το λόγο των τιμών (δηλαδή με τον αγοραίο λόγο ανταλλαγής) αυτών των δύο εισροών. - Η συνθήκη(2) του CMP είναι η ίδια με τη συνθήκη (3) του PMP (βλ. Lecture notes Week 5, σελ. 9). - Άρα: Η ελαχιστοποίηση του κόστους αποτελεί αναγκαία συνθήκη για τη μεγιστοποίηση του κέρδους (δηλαδή, η μεγιστοποίηση του κέρδους συνεπάγεται ελαχιστοποίηση του κόστους). 7

Συνθήκες 2 ης Τάξης (Ικανές Συνθήκες Μεγιστοποίησης) - Αν η συνάρτηση παραγωγής f(k,l) είναιοιονείκοίλη(δηλαδή αν οι καμπύλες ίσου προϊόντος είναι κυρτές), τότε κάθε λύση των αναγκαίων συνθηκών (FOCs) αποτελεί ολικό μέγιστο. Διαγραμματική Λύση του Προβλήματος Ελαχιστοποίησης του Κόστους - Ορισμός. Μια γραμμή ίσου κόστους (Iso-cost Line) παριστάνει όλους τους συνδυασμούς εισροών (K,L) που επιβαρύνουν με το ίδιο κόστος ( C ) την επιχείρηση: C w C = wl+ rk K = L r r - Η επιχείρηση ελαχιστοποιεί το κόστος της υπό τον περιορισμό ότι παράγει ποσότητα προϊόντος τουλάχιστον ίση με Α. 8

Κ C 2 /r C 1 /r F C 1 = R + = 2 {( K, L) + : wl rk C1} C 2 = R + = 2 {( K, L) + : wl rk C2} C 0 /r K * C 0 G IQ(A) D = R + = 2 {( K, L) + : wl rk C0} 0 L * C 0 /w C 1 /w C 2 /w L -To επίπεδο κόστους C 0 είναι πολύ χαμηλό (δεν επιτυγχάνει το στόχο προϊόντος A). -To επίπεδο κόστους C 2 επιτυγχάνει το στόχο προϊόντος A (είτε στο σημείο F είτε στο G) αλλά δεν είναι το ελάχιστο κόστος που απαιτείται για την επίτευξη αυτού του στόχου. - Το ελάχιστο επίπεδο κόστους που απαιτείται για την επίτευξη του στόχου προϊόντος A είναι C 1. 9

-To σημείο ελαχιστοποίησης του κόστους (σημείο D) είναι το σημείο επαφής μεταξύ της γραμμής ίσου κόστους C 1 και της καμπύλης ίσου προϊόντος που αντιστοιχεί στο επίπεδο παραγωγής A. Στο σημείο D, ισχύει: Κλίση γραμμής ίσου κόστους (= dk προϊόντος = / A σταθερό dl w r ) = κλίση καμπύλης ίσου w dk f / L / r dl f / K = A σταθερό = MRTS = 10

Εξαρτημένες Συναρτήσεις Ζήτησης Εισροών και Συνάρτηση Κόστους - Λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους (CMP) και βρίσκουμε τις άριστες ζητούμενες ποσότητες εισροών K*, L*: K* = KwrA (,, ) L* = L( w, r, A) Εξαρτημένες Συναρτήσεις Ζήτησης Εισροών (Conditional Factor Demand Functions) -Hεξαρτημένη συνάρτηση ζήτησης εργασίας LwrA (,, ) δείχνει τη ζητούμενη ποσότητα εργασίας ως συνάρτηση των τιμών των εισροών και της παραγόμενης ποσότητας προϊόντος. -Hεξαρτημένη συνάρτηση ζήτησης κεφαλαίου K( wr,, A) δείχνει τη ζητούμενη ποσότητα κεφαλαίου ως συνάρτηση των τιμών των εισροών και της παραγόμενης ποσότητας προϊόντος. - Οι ζητούμενες ποσότητες L( w, r, A), K( w, r, A) είναι εξαρτημένες από την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος (Α), η οποία θεωρείται 11 δεδομένη.

=> Οι εξαρτημένες συναρτήσεις ζήτησης εισροών δε δίνουν μια πλήρη εικόνα της ζήτησης για εισροές, διότιεξαρτώνταιαπότη μεταβλητή Α (η οποία επιλέγεται από την επιχείρηση). => Οι συναρτήσεις ζήτησης εισροών που προκύπτουν από τη λύση του προβλήματος μεγιστοποίησης των κερδών δίνουν μια πληρέστερη εικόνα της ζήτησης για εισροές. - Αν αντικαταστήσουμε τις εξαρτημένες συναρτήσεις ζήτησης εισροών L( w, r, A), K( w, r, A) στην αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος, παίρνουμε τη συνάρτηση κόστους της επιχείρησης: c( w, r, A) = w L( w, r, A) + r K( w, r, A) - Η συνάρτηση κόστους δείχνει το ελάχιστο κόστος της επιχείρησης ως συνάρτηση των τιμών των εισροών και της παραγόμενης ποσότητας προϊόντος. 12

Ιδιότητες Συνάρτησης Κόστους (1) Η συνάρτηση κόστους c(w,r,a) είναι αύξουσα (μη φθίνουσα) ως προς τις τιμές των εισροών: cwra (,, )/ w 0, cwra (,, )/ r 0 (2) Η συνάρτηση κόστους c(w,r,a) είναι αύξουσα (μη φθίνουσα) ως προς την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος: cwra (,, )/ A 0 Επιπτώσεις από Μεταβολές των Τιμών στην Εξαρτημένη Ζήτηση Εισροών (1) Αρνητικό Αποτέλεσμα Υποκατάστασης - Καθώς αυξάνεται η τιμή μιας εισροής, η εξαρτημένη ζήτηση αυτής της εισροής μειώνεται: KwrA (,, ) LwrA (,, ) 0, 0 r w 13

(2) Συμμετρία Σταυροειδών Αποτελεσμάτων Υποκατάστασης - Οι σταυροειδείς επιπτώσεις από μεταβολές των τιμών των εισροών είναι συμμετρικές: L( w, r, A) K( w, r, A) = r w - Παρατήρηση: Όταν υπάρχουν μόνο δύο εισροές (Κ,L), τότε το σταυροειδές αποτέλεσμα υποκατάστασης είναι πάντα θετικό: L( w, r, A) K( w, r, A) = > 0 r w - Παράδειγμα (συνέχεια). Έστω η συνάρτηση παραγωγής: A = f( K, L) = K L 1/3 1/3 (Cobb-Douglas με α=1/3, β=1/3 => α+β=2/3<1 : DRS) 14

-Toπρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους της επιχείρησης είναι: min C = wl+ rk { KL, } 1/3 1/3 st.. f( K, L) = K L A { max KL, } 1/3 1/3 K, L 0 K, L 0 L = wl rk + λ K L A 1/3 1/3 ( ) - Η λύση του προβλήματος είναι: C = wl rk st.. f( K, L) = K L A 1/2 3/2 w A KwrA (,, ) = 1/2 r 1/2 3/2 r A LwrA (,, ) = 1/2 w - Αντικαθιστούμε τις L( w, r, A), K( w, r, A) στην αντικειμενική συνάρτηση του CMP και παίρνουμε τη συνάρτηση κόστους: (Εξαρτημένες Συναρτήσεις Ζήτησης Εισροών) (CMP) 15

c( w, r, A) = w L( w, r, A) + r K( w, r, A) c( w, r, A) = 2w r A - Επαληθεύουμε τις ιδιότητες της συνάρτησης κόστους: 1/2 1/2 3/2 cwra (,, ) cwra (,, ) (1) > 0, > 0 : cwra (,, ) αύξουσα ως προς wr,. w r cwra (,, ) (2) > 0, : cwra (,, ) αύξουσα ως προς A. A - Επαληθεύουμε ότι το αποτέλεσμα υποκατάστασης είναι αρνητικό: K( w, r, A) L( w, r, A) < 0, < 0, πράγματι. r w - Επαληθεύουμε τη συμμετρία των σταυροειδών αποτελεσμάτων υποκατάστασης: K( w, r, A) L( w, r, A) 1 w r 2 1/2 1/2 3/2 = = > w r A 0, πράγματι. 16

Καμπύλες Κόστους - Ορισμός 1: Η καμπύλη συνολικού κόστους c(α;w,r) δείχνει διαγραμματικά τη σχέση ανάμεσα στο (συνολικό) κόστος και την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος, υποθέτοντας ότι οι τιμές των εισροών παραμένουν αμετάβλητες. - Δηλαδή: Η καμπύλη συνολικού κόστους είναι η διαγραμματική απεικόνιση της συνάρτησης κόστους. - Ορισμός 2: (i) Η συνάρτηση μέσου κόστους AC(w,r,A) δείχνει το κόστος ανά μονάδα προϊόντος ως συνάρτηση των τιμών των εισροών και της παραγόμενης ποσότητας προϊόντος: cwra (,, ) AC( w, r, A) = A (ii) Η καμπύλη μέσου κόστους AC(A;w,r) δείχνει διαγραμματικά τη σχέση ανάμεσα στο μέσο κόστος και την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος, υποθέτοντας ότι οι τιμές των εισροών παραμένουν αμετάβλητες. 17

Ορισμός 3: (i) Η συνάρτηση οριακού κόστους ΜC(w,r,A) δείχνει το κόστος παραγωγής μιας πρόσθετης μονάδας προϊόντος ως συνάρτηση των τιμών των εισροών και της παραγόμενης ποσότητας προϊόντος: cwra (,, ) MC( w, r, A) = A (ii) Η καμπύλη οριακού κόστους ΜC(A;w,r) δείχνει διαγραμματικά τη σχέση ανάμεσα στο οριακό κόστος και την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος, υποθέτοντας ότι οι τιμές των εισροών παραμένουν αμετάβλητες. - Πρόταση. Το μέσο κόστος ελαχιστοποιείται σε εκείνο το επίπεδο παραγωγής (Α 1 ) όπου το μέσο κόστος είναι ίσο με το οριακό κόστος. - Απόδειξη: Η FOC για ελαχιστοποίηση του AC(A;w,r) είναι: AC [ C( A; w, r)/ A] A ( C/ A) C( A; w, r) C C = = = 0 =, 2 A A A A A δηλαδή: AC = MC. 18

- Το επίπεδο παραγωγής (Α 1 ) που αντιστοιχεί στο ελάχιστο μέσο κόστος ονομάζεται ελάχιστη αποτελεσματική κλίμακα παραγωγής. C Αποδόσεις Κλίμακας και Μορφή των Καμπυλών Κόστους (Π1) Αν η συνάρτηση παραγωγής Α=f(K,L) έχει φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας, τότε: (i) H συνάρτηση (και η αντίστοιχη καμπύλη) συνολικού κόστους της επιχείρησης είναι κυρτή ως προς Α. (ii) Οι συναρτήσεις (και οι αντίστοιχες καμπύλες) μέσου και οριακού κόστους της επιχείρησης είναι αύξουσες ως προς Α και ισχύει: MC>AC για κάθε Α>0. C( Α) AC,MC MC( Α) AC( Α) 0 A 19 A

(Π2) Αν η συνάρτηση παραγωγής έχει αύξουσες αποδόσεις κλίμακας, τότε: (i) H συνάρτηση (και η αντίστοιχη καμπύλη) συνολικού κόστους της επιχείρησης είναι κοίλη ως προς Α. (ii) Οι συναρτήσεις (και οι αντίστοιχες καμπύλες) μέσου και οριακού κόστους της επιχείρησης είναι φθίνουσες ως προς Α, και ισχύει: MC<AC για κάθε Α>0. C C( Α) AC,MC AC( Α) 0 A MC( Α) 20 A

(Π3) Αν η συνάρτηση παραγωγής έχει σταθερές αποδόσεις κλίμακας, τότε: (i) H συνάρτηση (και η αντίστοιχη καμπύλη) συνολικού κόστους της επιχείρησης είναι γραμμική ως προς A. (ii) Οι συναρτήσεις (και οι αντίστοιχες καμπύλες) μέσου και οριακού κόστους της επιχείρησης είναι ίσες και σταθερές ως προς A. c C( Α) AC,MC MC=AC 0 A 21 A

(Π3) Αν η συνάρτηση παραγωγής έχει αύξουσες αποδόσεις κλίμακας για Α<Α 0 και φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας για Α>Α 0, τότε: (i) H συνάρτηση (και η αντίστοιχη καμπύλη) συνολικού κόστους της επιχείρησης είναι κοίλη για A<Α 0 και κυρτή για Α>Α 0. (ii) Ηκαμπύληοριακού κόστους της επιχείρησης είναι φθίνουσα για Α<Α 0 και αύξουσα για Α>Α 0. (iii) H καμπύλη μέσου κόστους της επιχείρησης είναι φθίνουσα για Α<Α 1 και αύξουσα για Α>Α 1 (>Α 0 ), και ισχύει: MC<AC για Α<Α 1 MC>AC για Α>Α 1 MC=AC για Α=Α 1, οπότε το ΑC γίνεται ελάχιστο. 22

C C( Α) AC( A ) = MC( A ) 1 1 AC,MC MC( Α) AC( Α) 0 Α 0 Α 1 A Α 0 Α 1 q Παράγοντες που μετατοπίζουν τις Καμπύλες Κόστους - Κάθε μεταβολή της παραγόμενης ποσότητας προϊόντος (Α) οδηγεί σε μετακίνηση κατά μήκος μιας δεδομένης καμπύλης κόστους. - Κάθε μεταβολή των τιμών (w,r) των εισροών μετατοπίζει τις καμπύλες συνολικού, μέσου και οριακού κόστους της επιχείρησης. 23

(i) => Καθώς αυξάνεται η τιμή μιας εισροής, το συνολικό κόστος αυξάνεται για κάθε επίπεδο προϊόντος δηλαδή ηκαμπύλη συνολικού κόστους μετατοπίζεται προς τα πάνω. (ii) ACwrA (,, ) 1 cwra (,, ) ACwrA (,, ) 1 cwra (,, ) = 0, = 0 w A w r A r => Καθώς αυξάνεται η τιμή μιας εισροής, το μέσο κόστος αυξάνεται για κάθε επίπεδο προϊόντος δηλαδή ηκαμπύλημέσουκόστους μετατοπίζεται προς τα πάνω. (iii) c( w, r, A) c( w, r, A) 0, 0 w r 2 MCwr (,, A) cwr (,, A) L/ λ= λ( wr,, A) L = = K= K( w, r, A) = w w A w A L= L( w, r, A) w A L / λ= λ( wr,, A) L( wr,, A) = LwrA (,, ) = K= K( w, r, A) = A w L= L( w, r, A) A A > 0, αν η εργασία είναι κανονική εισροή. <0, αν η εργασία είναι κατώτερη εισροή.

Αν η εργασία είναι κανονική εισροή, τότε η αύξηση της τιμής (w) της εργασίας αυξάνει το οριακό κόστος για κάθε επίπεδο προϊόντος δηλαδή η καμπύλη οριακού κόστους μετατοπίζεται προς τα πάνω. Αν η εργασία είναι κατώτερη εισροή, τότε η αύξηση της τιμής (w) της εργασίας μειώνει το οριακό κόστος για κάθε επίπεδο προϊόντος δηλαδή η καμπύλη οριακού κόστους μετατοπίζεται προς τα κάτω. - Όμοια, έχουμε: MC( w, r, A) K( w, r, A) = r A > 0, αν το κεφάλαιο είναι κανονική εισροή. <0, αν το κεφάλαιο είναι κατώτερη εισροή. Αν το κεφάλαιο είναι κανονική εισροή, τότε η αύξηση της τιμής (r) του κεφαλαίου αυξάνει το οριακό κόστος για κάθε επίπεδο προϊόντος δηλαδή η καμπύλη οριακού κόστους μετατοπίζεται προς τα πάνω. 25

Αν το κεφάλαιο είναι κατώτερη εισροή, τότε η αύξηση της τιμής (r) του κεφαλαίου μειώνει το οριακό κόστος για κάθε επίπεδο προϊόντος δηλαδή η καμπύλη οριακού κόστους μετατοπίζεται προς τα κάτω. - Παράδειγμα (συνέχεια). Έστω η συνάρτηση παραγωγής: A = f( K, L) = K L 1/3 1/3 - Έχουμε βρει τη συνάρτηση κόστους: cwra (,, ) = 2w r A 1/2 1/2 3/2 - Υπολογίζουμε τις συναρτήσεις μέσου και οριακού κόστους: ACwr (,, A) = cwr (,, A)/ A= 2w r A 1/2 1/2 1/2 MC( w, r, A) = c( w, r, A)/ A= 3w r A 1/2 1/2 1/2 - Μετατοπίσεις των καμπυλών κόστους: (i) cwra (,, )/ w> 0, cwra (,, )/ r> 0 => Ηαύξησητουw ήτου r μετατοπίζει την καμπύλη συνολικού κόστους προς τα πάνω. 26

(ii) AC( w, r, A)/ w > 0, AC( w, r, A)/ r > 0 => Ηαύξησητουw ήτουr μετατοπίζει την καμπύλη μέσου κόστους προς τα πάνω. MC( w, r, A) L( w, r, A) 3 = = w w A 2 r A > 0 η εργασία είναι κανονική εισροή. (iii) 1/2 1/2 1/2, δηλαδή Ηαύξησητουw μετατοπίζει την καμπύλη οριακού κόστους προς τα πάνω. - Όμοια: MCwr (,, A) K( wr,, A) 3 1/2 1/2 1/2 = = w r A > 0 r A 2 το κεφάλαιο είναι κανονική εισροή., δηλαδή Ηαύξησητουr μετατοπίζει την καμπύλη οριακού κόστους προς τα πάνω. 27

- Για να κατασκευάσουμε τις καμπύλες συνολικού, μέσου και οριακού κόστους υποθέτουμε συγκεκριμένες τιμές για τα w και r. Έστω w=1, r=1. Τότε: ca ( ) = 2A 3/2 AC( A) = 2A MC( A) 3 1/2 (Καμπύλη Συνολικού Κόστους) (Καμπύλη Μέσου Κόστους) 1/2 = A (Καμπύλη Οριακού Κόστους) C ca ( ) = 2A 3/2 AC,ΜC MC( A) = 3A 1/2 AC( A) = 2A 1/2 0 Α A 28