Prelcrarea emnalelor Facltatea de Electronica i Telecomnicatii, UPT http://hannon.etc.pt.ro/teaching/p/ Tranformarea aplace http://hannon.etc.pt.ro/teaching/p/cap7.pdf Pierre Simon aplace Regim permanent Tranformata Forier Regim tranzitori Tranformata aplace
Tranformarea aplace bilaterala x j t X e d j j t X t, DC t xt X xt e dt; j;, Tranformarea aplace nilaterala j x t X e d x t e dt j t t ; Re j Relatia dintre cele doa: xt xt x t 3 Traformata aplace generalizează tranformata Forier în tot planl complex. Pentr variabila complexă e tilizează notaţia: (.) j, =ct j 4
Pentr = tranformata aplace ete pectrl emnalli adică tranformata Forier. =ct j 5. Răpnl ni item liniar şi invariant în timp la o exponenţială c exponent complex Semnall exponentială complexă, c exponent complex: x t (.) t j t t e e e, e aplică la intrarea ni SIT caracterizat prin răpnl la impl h(t). a ieşirea itemli e obţine emnall: jt y t h t x t h x t d h e d j t j t e h e d e h e d In ipoteza că ete convergentă, e notează c H() integrala: j H he d he e d - depinde nmai de h(), - în anmite condiţii caracterizează complet SIT. (.3) 6 3
Răpnl y(t) al SIT : t y t e H x t H (.4) care ne arată că : - e t ete o fncţie proprie a SIT, - H( ) ete valoarea proprie aociată ei. Daca emnall de intrare ete o combinaţie liniară de forma: rezltă : y t t c e, x (.5) t t c H e, operatorl S care modelează iteml fiind liniar. Se poate vedea că o fncţie H() definită prin expreia (.3) permite calcll răpnli ni SIT la care emnall de intrare poate fi p b forma (.5). (.6) 7. Tranformarea aplace bilaterală Prin definiţie tranformata aplace bilaterală a ni emnal x(t) ete: t xt X xt e dt; j ;, (.7) egătra între tranformarea aplace bilaterala şi tranformarea Forier: t jt t xt j xte e dt Fxte (.8) Tranformata aplace bilaterală a ni emnal x(t) ete tranformata Forier a emnalli x(t)e -t. Daca =, e obţine: xt j X j Fxt X (.9) Tranformata aplace bilaterală evalata pe axa imaginara jω (σ=) ete egala c tranformata Forier a aceliai emnal. 8 4
Notaţii: În loc de a crie x t X x t X şi prin rmare: xt j X j Fxt, e crie (din raţini tipografice). în continare, vom nota c X() tranformata aplace bilaterală, tolerând doă notaţii pentr tranformata Forier şi anme X() când ete definită direct şi X(j) când rezltă prin particlarizarea tranformatei aplace bilaterale: X X j X j (.) 9 Exemple: t.) Coniderăm emnall cazal xt e t. a Forier exită şi ete: Fxt. j Tranformata aplace bilaterală a emnalli x(t) ete: t t jt x t e t e dt e e dt t Tranformata Integrala ete convergentă nmai pentr +>, deci > -, care e mai crie şi Re{}>-. Avem deci: ; Re. j xt. (.) Se poate contata că, dacă - o < atnci dreapta =, axa imaginară, ete în domenil de convergenţă al tranformatei aplace bilaterale şi: xt j Fxt,. j 5
.) Se conideră emnall anticazal din Fig.., având expreia: y Fig.. Semnal anticazal, ce n are tranformată Forier dar are tranformată aplace. yt e t t e t e, yt e t e t t e e t jt dt dt. Pentr ca integrala ă fie convergentă ete necear şi ficient ă avem +< a < -. În acete condiţii: jt t jt e dt t e j (.) 6
yt jt t jt e e e dt t e j 3. Proprietăţile domenili de convergenţă (DC) al tranformatei aplace bilaterale I. DC al tranformatei aplace bilaterale, dacă exită, ete format din benzi ale planli paralele c axa imaginară j. II. DC al tranformatei aplace bilaterale n poate conţine nici n pol al aceteia. III. Dacă x(t) are drată finită şi dacă exită cel pţin o valoare din planl variabilei complexe pentr care tranformata aplace bilaterală converge, atnci domenil de convergenţă ete întreg planl complex. IV. Dacă x(t) ete n emnal c întindere pre dreapta (Fig..) şi dacă dreapta de ecaţie Re{}= ete în domenil de convergenţă, atnci toate pnctele din planl complex ce atifac Re{} nt în domenil de convergenţă. Semnalele c întindere pre dreapta a domenil de convergenţă al tranformatei aplace bilaterale c întindere pre dreapta. 4 7
V. Dacă x(t) ete n emnal c întindere pre tânga (Fig..3) şi dacă dreapta de ecaţie Re{}= ete în domenil de convergenţă, atnci toate pnctele din planl complex ce atifac Re{} nt în domenil de convergenţă al tranformatei aplace bilaterale c întindere pre tânga. Fig.. Semnal de drata infinită c portl nemărginit la dreapta. Fig..3 Semnal de drata infinită c portl nemărginit la tânga. VI. Daca portl emnalli x(t) ete toată axa reală şi dacă dreapta de ecaţie Re{}= ete în domenil de convergenţă al tranformatei aplace bilaterale, atnci DC al aceteia ete o bandă paralelă c axa imaginară, conţinând dreapta Re{}=. 5 Exemple: t.) Semnall de drată finită xt e t t T tranformata aplace bilaterală: H T e t dt e T are Zerorile tranformatei nt z j / T, Z. Tranformata are n ingr pol p =-, compenat de zerol =, z =-. Aşadar, X() are ca DC tot planl complex..) Semnall de drată infinită, c portl confndat c axa reală x x t t e, t t t e t e t, pete tot (c excepţia pnctli t=)., e poate crie b forma: egalitatea fiind valabilă aproape 6 8
Semnall c întindere pre dreapta are tranformata aplace: t e t, Re Semnall c întindere pre tânga are tranformata aplace: t e t, Re În conecinţă: t e, - Re - j Dacă =, rezltă: F t e. j Fig..4 DC pentr tranformata emnalli exp(- t ). 7. Tranformarea aplace inveră Tranformarea aplace bilaterală directă ete o tranformare Forier directă aplicată emnalli x(t)e -t, fixat, deci pe o paralelă la axa j. t jt t xt j xte e dt xte F (.8) Semnall x(t)e -t, fixat, poate fi recperat prin tranformarea Forier inveră: jt t F x t e X j X j e d (.3) Integrala (.3) e efectează pe o paralelă dă în planl la axa j (=contant în raport c, d=d(+j)=jd ), 8 9
a: x x t e t j j X j j e jt d t t X e d X t, DC j j (.4) Integrala e efectează pe o paralelă la axa imaginară conţintă în DC. Relaţiile (.7) şi (.4) definec o pereche aplace (bilaterală): x t t xt X xt e dt; j;, X (.5) (.7) Pentr determinarea tranformării invere e foloeşte mai de metoda decompnerii în fracţii imple şi e cată fncţiile temporale în tabele. 9 Exemple:.) Se cere ă e invereze fncţia X()=/[(+)(+3)]. Dacă DC n ete precizat problema ete nedeterminată, având 3 olţii poibile. În DC n poate intra nici n pol. Se excld aşa cm e arată în Fig..5 dreptele =- şi =-3. Se decompne X() în fracţii imple: Fig..5 Cele 3 DC poibile pentr X()=/[(+)(+3)]. Rezltă: X. (.6) 3 i) Dacă DC ete, >-, atnci fiecare termen al relaţiei (.6) va fi inverat într-n emnal cazal: t : e t; 3t -3 : e t 3 t 3t : e e t. 3 (.7)
ii) Dacă DC ete, <-3, atnci fiecare termen al relaţiei (.6) e inverează prin câte n emnal anticazal: t 3t : e t; -3 : e t 3 Rezltă: t 3t -3 : e e t. 3 iii) Dacă DC ete 3, -3<<- atnci rezltă: emnal anticazal: t - : e t; 3t emnal cazal: -3 : e t; 3 3 t 3t -3<<- : e t e t. Fig..5 (.8) (.9) Conclzii: - Aceiaşi tranformată aplace bilaterală, (.6) poate fi inverată în trei modri ditincte, dpă cm ete ale DC. X 3. (.6) - Nmai în cazl i) jdc şi, prin rmare, nmai pentr emnall (.7) exită tranformata Forier. 3 : t t x t e e t. - Semnalele (.8) şi (.9) deşi a tranformate aplace bilaterale, n a tranformate Forier, axa imaginară nefiind inclă în DC. t 3t -3 : x t e e t. t 3t : x t e e t.
.3 Definirea tranformatei aplace bilaterale prin contelaţia de poli şi zerori Dacă tranformata aplace bilaterală ete o fracţie raţională: X K M N p, (.) e obervă că ete ficientă cnoaşterea polilor p şi a zerorilor pentr a cnoaşte, c rezerva nei contante mltiplicative K, pe X(). Dacă, în pl, e cnoaşte şi valoarea tranformatei X() într-n pnct DC poate fi determinată şi contanta K. Polii i zerorile pot fi daţi prin valorile lor complexe a printr-o diagramă a contelaţiei de poli şi zerori, CPZ. 3 Exempl de reprezentare a nei CPZ pentr o tranformată aplace bilaterală, X(). X, 5 K j,5 j, 5,5 X K 4 6,5, Fig..6 Contelaţia de poli şi zerori a nei tranformate aplace. Dacă e pecifică faptl că x(t), emnall temporal, ete cazal, atnci DC ete >-, itat la dreapta verticalei ce trece prin poli. Axa j ete inclă în DC exită şi tranformata Forier a emnalli: F xt j j p p p p j j. Tranformarea Forier ete particlarizarea li X() for =jω. Ea poate fi calclata pentr diferite valori ale ω. Pentr fiecare valoare, pnctl A ia o pozitie diferita pe axa imaginara. 4
j j j ZA e, j p P A e, j p A e j P. ZA X j e P A P A j De nde: ZA X j PA PA j ; ArgX Modll şi faza tranformatei Forier, pentr cazl general, e calclează c relaţiile: M (.) Z A M N X j ; N ArgK P 5 A Tranformarea aplace nilaterala Stdil itemelor cazale ce n nt initial in tarea de repa (n a conditii initiale nle) e face tilizand tranformarea definita prin relatia : t xt xt e dt. Ea exita i ete analitica in emiplanl Re{}> daca x(t) atiface conditiile : i) Cazalitate x(t)(t)=x(t); ii) Contine c exceptia evental a nei mltimi nmarabile de pncte in care a dicontinitati de peta intai; iii) xt t Me, M,, 6 3
Tranformarea invera ete definita de: x t ū j j X X e t d, Re j pereche aplace nilaterala: x t X 7 3. Relatia dintre tranformata aplace bilaterala i tranformata aplace nilaterala -Pentr cazl emnalelor cazale, x(t)=x(t)(t), intre cele doa tranformate n exita diferente : t x t x t e dt x t t e dt t t xte dt x t -Pentr emnale c portl plaat i in t< : t t t x t x t e dt x t e dt x t e dt, tt t t x t e dt x t e dt, xt xt x t 8 4
xt xt x t Tranformata aplace bilaterala ete ma dintre tranformata aplace nilaterala a emnalli i tranformata aplace nilaterala reflectata (-) a emnalli reflectat (-t). In cazl tranformarii nilaterale, pecificarea domenili de convergenta n ete neceara. Tranformata nilaterala e refera n mai la partea din dreapta originii a oricari emnal i, deci, domenil de convergenta va fi n emiplan delimitat de o dreapta paralela c axa imaginara, ce trece prin poll plaat in extrema dreapta, intinzand-e pre dreapta. 9 4. Tranformarea aplace a ditribţiilor Tranformata aplace a nei ditribţii fs` poate fi definită tilizând tranformata ei Forier: t f Fe f. (.6) Pentr ditribţia Dirac (t) e aplică definiţia b forma: t F t e. -t Pentr, e t e t t, şi, deci: F t C. (.7) Coniderând ditribţia Dirac deplaată (t-t ) rezltă: t F t t (.8) t t t e e, C. 3 5
Pentr treapta nitară (t) e poate aplica direct definiţia (.7): t xt X xt e dt; j ;, Integrala ete convergentă nmai dacă Re{}>, caz în care: t t t t e dt e dt. t, Re. Dacă treapta nitară ete reflectată x(t)=(-t), atnci: şi, deci: (.7) (.9) e. t t t te dt e dt, R, Re. t, t t, t (.3) (.3) 3 5. Proprietati ale celor doa tipri de tranformate aplace Se noteaza: x t X DC x ; t Y ; x t X y DC y y t Y. iniaritatea: ax t by t ax by DC ax x t byt ax by.. Tranlatia in timp: Teorema intarzierii: 3. Modlarea in timp: t t t t e X t. x DC cel ptin y x t t e X DC, t, x t e x t X DC deplaat c e t X. t x (.3) (.33) (.34) 3 6
4. Scalarea variabilei timp: 5. Teorema convoltiei: * xat X, a, DC. a a a xat X, a. a a DCx xt yt X Y. x t y t X Y 6. Derivarare in timp: dx t dt X dx( t) X ( ) - x( + ). dt DC cel ptin. y DC cel ptin. (.35) (.36) (.37) 33 7. Derivarare in domenil variabilei : dx tx t DC. d dx txt. d 8. Integrarea emnalli in domenil timp: Fie y(t): t y t x d x t t. Se dedce: Y X. Cm (/) are DC Re{}> rezlta: t X xd DC Re cel ptin t t X X x x d x d a daca exita n impl in origine. x (-) ( + ) - valorarea integralei in origine. (.38) (.39) 34 7
9. Teorema valorii initiale a ni emnal cazal: Pentr emnall cazal x(t)=x(t)(t), cele doa tranformate nt identice X()X (). lim lim (.4) x X X. Teorema valorii finale a ni emnal cazal: Semnall x(t) fiind cazal: x(t)=x(t)(t), avem: X()X (). lim lim lim x x t X X (.4) t 35 6. Stdil itemelor liniare i invariante in timp prin intermedil tranformarii aplace 6. Fnctia de tranfer a ni SIT Pentr n SIT: y(t)=h(t)x(t). Aplicand tranformarea aplace bilaterala rezlta: Y H X ; H ht. (.4) x(t) h(t) y(t)=x(t)*h(t) X() H() Y()=X()H() Fig..7a SIT caracterizat de rapnl la impl h(t). Fig..7b SIT caracterizat de fnctia de item H(). Rapnl la impl caracterizeaza complet comportarea ni SIT in domenil timp, iar fnctia H(), caracterizeaza complet comportarea a in domenil complex. Denmiri pentr H(): - fnctie (de) item a fnctie de tranfer. 36 8
Conideram n item SIT tabil. Atnci exita tranformata a Forier F{h(t)}()={h(t)}(j) i axa imaginara ete incla in domenil de convergenta al fnctiei item H(). Exempl: n item anticazal Conditia de convergenta: Re{}<- F{h(t)}=H()=-/( +j) Rapnl la impl h(t) al ni item necazal i fnctia item H() imprena c domenil de convergenta. 37 Exempl: n item cazal Conditia de convergenta: Re{}>- Rapnl la impl h(t) al ni item cazal i fnctia item H() imprena c domenil de convergenta. F{h(t)}=/( +j) 38 9
6.3 Siteme liniare i invariante in timp caracterizate prin ecatii diferentiale liniare c coeficienti contanti Fie SIT caracterizat prin ecatia diferentiala: c conditii initiale nenle. N d yt M d xt a, b a (.5) dt Aplicand tranformata aplace bilaterala, rezlta: dt N M a Y b Fnctia de tranfer H()=Y()/X(): H X M b N N D a.. (.53) (.54) 39 Radacinile ecatiei: da polii itemli, p, in nmar de N, inclzand i ordinele de mltiplicitate: Radacinile ecatiei: N D a, (.55) M (.56) N b, da zerorile itemli,, in nmar de M, inclzand i ordinele de mltiplicitate: Se prepne ca iteml ete cazal (h(t)(t)= h(t)), aadar: H ()=H()= {h(t)}={h(t)}. Teorema valorii initiale a ni emnal cazal, aplicata rapnli la impl (i el cazal), condce la: N h lim H lim H lim. (.57) D 4
Daca h( + ) ete finit, deci n exita implri Dirac in origine, atnci e poate dedce ca M+N. Tinand eama de forma expreie(.54), avem: M M M M N N an an a a b b b b h lim. Daca M+>N, atnci limita n poate fi finita. Ramane, in conecinta: h( + )<, M+N, MN-. Gradl nmaratorli nei fnctii item ce n are implri Dirac in origine ete c cel ptin o nitate mai mic decat al nmitorli. Daca M+>N expreia li h(t) prezinta implri Dirac in origine. Exempl: H t t. h t e t 4 In mod normal nmarl polilor nei fnctii item intrece c cel ptin o nitate nmarl zerorilor ei. Polii ni item tabil nt plaati doar in emiplanl tang, iar zerorile ale pot fi plaate orinde. Sitemele ce a atat polii cat i zerorile plaate in emiplanl tang e nmec iteme de faza minima. Exempl. Fie: h Rapnl in frecventa al aceti item ete: t t e t H. H / j, H /, arctg. i fie iteml c rapnl in frecventa: j t t H h t e e t, j j 4
Se poate oberva ca rapnl in frecventa al celi de al doilea item are acelai modl ca i iteml caracterizat de H(). Fnctia a faza-frecventa ete: arctg arctg arctg. Fig.. Fnctie item i domenil ei de convergenta, DC. Fnctia item corepnzatoare li h (t): H. H. H H, min { ( ) } > min{ ( ) } Prin rmare H ()=/(+) neavand nici n zero in emiplanl drept, corepnde ni item ce introdce n defazaj minim in comparatie c alte iteme (cazale) ce a aceai caracteritica H(). 43 Contribtia polilor ni item cazal la rapnl la impl al acetia Fnctia de item H () (.54) pentr n item cazal, H M N b a N D poate fi decompa in fractii imple i pa b forma: N A ; A H p p H, p daca toti polii nt impli. Forma li h(t) ete atnci: h N. (.54) (.58) t t p A e t. (.59) Deoebim doa cazri: i) poli reali p i ii) compleci p. Cm coeficientii a i b in ecatia (.54) nt reali, rezlta ca polii compleci n pot aparea decat in perechi complex conjgate. 44
Poli impli N N A pt H ; ht Ae t. p i) Poli reali, p = : contribtia ete o exponentiala Ae t ii) Poli complex conjgati : p = j. B e t in t Poli mltipli de ordinl doi A B C D E F H...... r r i i* i i* p p p p p p i) Poli reali de ordinl doi: ii) t r p p Me Mte Perechea de poli complex conjgati : p p i i* t t p p 45 t j, j: N e in t N te in t Pentr n item cazal, tabilitatea tricta ete intodeana aigrata daca polii nt in emiplanl tang. Poli impli pe axa imaginara = item tabil la limita. Pentr o ingra pereche de poli complex conjgati plaati pe axa imaginara e obtine n ocilator inoidal. Plaarea ni pol al ni item cazal in emiplanl drept, chiar daca ete impl da natere ni item intabil. Polii plaati in emiplanl tang da o componenta tranzitorie ce e amortizeaza. Rapnl permanent, ce e mentine c aceleai caracteritici in timp ete contribtia excliva a polilor impli itati pe axa imaginara. 46 3
Calcll rapnli ni i item caracterizat printr-o ecatie diferentiala t N d y M d x a b a, dt dt Exempl: Se conidera n item de tip cazal, caracterizat de ecatia diferentiala: d yt dyt 3 yt xt, dt dt t Avand conditiile initiale y( + )= ; y ( + )=-. Fie x(t)=4(t). Se conidera tranformata nilaterala: y t Y ; y' t Y y. Prin derivare y y Y y y. 47 Tranformarea aplace a emnalli de intrare ete: 4 4t t t d y dy 3 yt xt, dt dt 4 Y 3Y Y. Se determina tranformarea aplace nilaterala a emnalli de ieire: 4 4 Y. 3 Se determina rapnl itemli: y t t t t t t e t e t e e t 48 4
y t t t t t t e t e t e e t Se pot verifica conditiile initiale: lim t y y t t t e e. lim t Derivata de ordinl intai a rapnli: t t t e 4e, t lim t y t t t e 4e 4. lim t 49 dy dt H Fig..3. CPZ pentr n item de ordinl intai. Siteme de ordinl intai t yt K xt H. (.66) K Re Siteml:- ete tabil, are rapnl la impl de tip exponential, poll fiind real. Frecventa ete definita de pozitia pnctli A pe axa imaginara. H ;. PA, PA H Caracteritica de modl ete o fnctie para: PA PA. Caracteritica de faza ete o fnctie impara. ( - /)., ( /) (.67) (.68) 5 5
Caracteritici de frecventa K= i ω = =, A, PA = =, = K ( ) H = j+ PA, / H ( ) = PA, PA H( ) ( ) = -., ( /) ( ) ( ( ) -/). = = OA = =, PA =, = / 4 5 =, A, PA = =, = Hodograf = PA, -/ = = = OA = =, PA =, = / 4 5 6
d y dt Siteme de ordinl doi (Stdi individal) t dyt K yt K xt, H H dt,,. Fig..4 a) ξ<, CPZ pentr n item de ordinl doi avand o pereche de poli complex conjgati. Fig..4 b) CPZ pentr n item de ordinl doi avand poli reali. a) Frecventa de ocilatie: OP H ; P A P A Pnctl A definete o frecventa: ; i b) >, cei doi poli nt plaati pe axa reala. Daca =, cei doi poli e confnda, in pnctl - de pe axa reala., P A i P A H 53 Cazl polilor complex conjgati. Caracteritici de frecventa / i H ; P A P A = P A = P A =, H( ) =, = -/4, = / 4, ( ) = P A, P A, H( ) =, = /, = /, ( ) = - = P A = -, P A = +, H( ) =/, tg = -, tg = +, + 54 = / 7
Hodograf P A, P A, H( ) =, = /, = /, ( ) = - = = P A = P A =, H( ) =, = -/4, = / 4, ( ) = = = P A = -, P A = +, H( ) = /, tg = -, tg = +, + = / 55 Cazl polilor reali. Caracteritici de frecventa Daca =, apare n pol dbl in - pe axa reala. Pentr Tema de cr 56 8
Siteml trece tot H. H. j j H O inoida de orice frecventa, aplicata ni atfel de item trece fara ca amplitdinea ei a fie afectata trece-tot. PZC pentr n item trece-tot. H ZA, PA 57 OA tg tg OZ arctg Caracteritica de faza () a ni item trece-tot Cand =, deci A, = defazajl introd de circit ete. Cand OA=, =/4 ( )=-/4=/. Daca aplicam o inoida ni atfel de item n ii modifica amplitdinea, ci doar faza conform caracteriticii (). 58 9
Fnctia item echivalenta nor iteme conectate in erie i paralel a) Doa iteme conectate in erie i iteml echivalent. t h t h t H H. h e H e b) Doa iteme conectate in paralel i iteml echivalent. H e t h t h t H H. h e 59 3