DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G = A M 3(R) A = a 0 0 b a 0. Pe G se defineşte legea dată prin c b a unde α, β R. Se consideră ipotezele: (P 1 ) a 2, α = 0, β = 2; (P 2 ) α = 1, β = 0 şi concluziile: (Q 1 ) legea este neasociativă şi comutativă; (Q 2 ) (G, ) este grup; (Q 3 ) elementul neutru faţă de legea dată este E = 1 2 I 3; A B = A B +α B A+β(A+B +I 3 ), (Q 4 ) aplicaţia f : G R, f(a) = det(a+2i 3 ) este un morfism surjectiv al grupului (G, ) pe grupul multiplicativ al numerelor reale. Se cere să se stabilească valoarea de adevăr pentru implicaţiile (P i )= (Q j ), i {1,2}, j {1,2,3,4}. 3. În planul euclidian, într-un sistem de axe ortogonale xoy, se consideră punctele A(2, 0), B(0, 1) şi P Oy arbitrar. a) FieB simetriculluib faţădeorigineşipunctelea (OA), Q (AP)mijloace; senoteazăbq Ox = {R}. Să se arate că paralela prin R la Oy, OQ şi A B sunt concurente. b) Cercul C care trece prin origine şi este tangent dreptei AP în A, intersectează a doua oară axa Oy în S. Să se determine locul geometric al intersecţiei tangentei în O la cercul C cu o paralelă prin S la Ox. 1. Să se arate că x = 3 3a+4+(a+4) a+1 3a 4+(a+4) 3 a+1 este un număr natural pentru orice a ( 1, ). 2. Fie S = {x R log a (log 1 b Se consideră ipotezele: (P 1 ) a, b (0,1); (P 2 ) a, b (1, ); (P 3 ) a (0,1) şi b (1, ) şi concluziile: (Q 1 ) S = [b, ); ) 1 log 1 x (log a bx)}, unde a, b (0, )\{1}. 1
(Q 2 ) S = ; (Q 3 ) S = (0,b]; (Q 4 ) S = (1,b]; (Q 5 ) S = [b,1). Se cere să se stabilească valoarea de adevăr pentru implicaţiile (P i )= (Q j ), i {1,2,3}, j {1,2,3,4,5}. 3. Două dreptunghiuri situate în plane diferite au o latură comună AB. a) Demonstraţi că există o sferă S(O,R) care conţine toate cele şase vârfuri ale celor două dreptunghiuri. b) FieABCD unuldintredreptunghiurişicercul C (O,R ) = S (ABCD). Stabiliţi relaţiaoo 2 = R 2 R 2. c) Fie AT tangenta în A la cercul C. Demonstraţi că AT este situată în planul tangent în A la sfera S. 4. Metodica rezolvării ecuaţiilor algebrice cu coeficienţi reali, de grad mai mic sau egal cu 3. 2
BUCUREŞTI 1. Să se rezolve ecuaţia în cazurile b = 1 şi b = 2. 2. Pentru ce valori ale lui n Z fracţia 3n+1 n+2 3. Arătaţi că în triunghiul ABC are loc: 2x 3 3ax 2 +(a 2 +b)x a = 0, a R, este reductibilă? m(â) = 2 m( B) a 2 = b(b+c). 4. Perpendicularitate în spaţiu (drepte perpendiculare, dreaptă perpendiculară pe plan, plane perpendiculare). 5. Tratarea noţiunii de funcţie în şcoala generală şi în liceu. 3
BRAŞOV 1. Fie funcţia f : R R, f(x) = x2 +ax+1 x 2 x 1 a) Să se determine a R astfel încât Im(f) [ 3,2]. b) Pentru ce valori ale lui a R ecuaţia f(x) = 2 are două rădăcini reale negative. 2. Demonstraţi că: a) n 1 k! 2n 1, n N. n k=1 b) 3 5 2n+1 +2 3n+1..17, n N. 3. Asemănarea triunghiurilor. Linii importante în triunghi. Să se arate că triunghiul în care înălţimea şi mediana împart un unghi în trei unghiuri congruente este dreptunghic. 4
CRAIOVA 1. Cel mai mare divizor comun şi cel mai mic multiplu comun în mulţimea numerelor întregi. Definiţii. Exemple. Proprietăţi. Metode de calcul. Aspecte metodice. 2. Fie a, b R, f : R R, f(x) = x 2 3x+2 + x a + x b, x R. a) Să se determine valorile lui a şi b pentru care {f(x) x R} = [0, ). b) Pentru a = b = c să se reprezinte graficul funcţiei f. 3. Fie A, B, C picioarele înălţimilor unui triunghi oarecare ABC şi H ortocentrul triunghiului. a) Să se arate că AA, BB, CC sunt bisectoarele triunghiului A B C. b) Să se arate că HA HA = HB HB = HC HC. c) Dacă punctele B şi C sunt fixe iar A este variabil astfel încât BAC are măsura constantă, să se determine poziţiile punctului A pentru care triunghiul ABC are perimetrul maxim. 5
CLUJ 1. Unei sfere de rază r i se circumscrie un con circular drept. O secţiune axială a conului are unghiul la vârf de măsură 2θ. Pentru ce valoare a lui θ volumul conului este minim? Cât este valoarea acestui volum minim? 2. Se consideră ecuaţia x 2 +px+q = 0, unde p, q Z. Fie x 1, x 2 rădăcinile ei. a) Să se arate că dacă x 1 şi x 2 sunt raţionale, atunci ele sunt întregi. b) Fie A = {a+bx 1 a,b Z}, B = {a+bx 2 a,b Z}. Să se arate că A = B. c) Să se demonstreze că (A,+, ) este un inel comutativ cu element unitate. d) Fie n : A Z funcţia definită prin n(a+bx 1 ) = (a+bx 1 )(a+bx 2 ). Să se arate că n((a+bx 1 )(c+dx 1 )) = n(a+bx 1 ) n(c+dx 1 ). e) Să se arate că a+bx 1 este inversabil în inelul (A,+, ) dacă şi numai dacă n(a+bx 1 ) = 1. 3. Teorema directă şi teorema reciprocă (definiţie). Exemplificaţi şi demonstraţi teorema celor trei perpendiculare. 6