BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Contoh Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu berada. (a) 30 (c) 590 (b) 3 π rad. (d) 4 7 π rad. 3 (a) (b) 1
(c) (d) Sinus, Kosinus, dan Tangen c b sin θ = b c kos θ = a c θ a tan θ = sin θ kos θ = b a 2
Contoh Jika tan θ = 12, dengan 180 < θ < 360, tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai sin θ dan 5 kos θ. Sesi 2 Sekan, Kosekan, dan Kotangen θ c a b sek θ = 1 kos θ = c a kosek θ = 1 sin θ = c b kot θ = 1 tan θ = a b 3
Contoh Diberi θ ialah sudut refleks dengan sek θ = 5. Tanpa menggunakan jadual atau kalkulator, 4 nilaikan (a) kot θ (b) kosek θ (c) sin θ + kos θ 4
SUDUT PELENGKAP sin θ = kos(90 θ) kos θ = sin(90 θ) tan θ = kot(90 θ) sek θ = kosek(90 θ) kosek θ = sek(90 θ) kot θ = tan(90 θ) SUDUT NEGATIF sin( θ) = sin θ kos( θ) = kos θ tan( θ) = tan θ SUKUAN SETARA [Sukuan II] sin θ = sin(180 θ) kos θ = kos(180 θ) tan θ = tan(180 θ) [Sukuan IV] sin θ = sin(360 θ) kos θ = kos(360 θ) tan θ = tan(360 θ) [Sukuan III] sin θ = sin(θ 180 ) kos θ = kos(θ 180 ) tan θ = tan(θ 180 ) 5
Sesi 3 Sudut-Sudut Khas 30, 45 dan 60 30 sin 30 = 1 2 sin 60 = ξ3 2 2 ξ3 kos 30 = ξ3 2 kos 30 = 1 2 tan 30 = 1 ξ3 tan 60 = ξ3 60 1 sin 45 = 1 ξ2 ξ2 1 kos 45 = 1 ξ2 tan 45 = 1 45 1 Contoh Tanpa menggunakan buku sifir atau kalkulator, cari nilai bagi (a) sin 225 (b) sek 660 (c) sin 150 + kot( 150 ) 6
(a) (b) (c) 7
Sesi 4 Menyelesaikan persamaan trigonometri Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0 x 360. (a) kos x = 0.9063 (b) sin 2x = 0.6691 (c) ξ2 sin x = 1 (d) kosek x 2 = 2 ξ3 (e) 2 tan ( 1 x + 60 ) + 3 = 1 2 (a) (b) (c) 8
(d) (e) Contoh 2 Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0 θ 360. (a) 3 sin θ kos θ = sin θ (b) 2 kot θ = tan( θ) (c) 4 tan θ kot θ + 3 = 0 (a) 9
(b) (c) 10
Sesi 5 Melakar graf fungsi trigonometri y = sin x y = sin x ialah satu fungsi berkala dengan kala 360 atau 2π radian. Nilai maksimum bagi sin x ialah 1 apabila x =..., 270, 90, 450, Nilai minimum bagi sin x ialah -1 apabila x =..., 450, 90, 270, Amplitud = 1 y = sin x Amplitud Kala y = kos x y = kos x ialah satu fungsi berkala dengan kala 360 atau 2π radian. Nilai maksimum bagi kos x ialah 1 apabila x =..., 360, 0, 360, Nilai minimum bagi sin x ialah -1 apabila x =..., 180, 180, 540, Amplitud = 1 2 1-450 -360-270 -180-90 0 y = kos x -1 0 90 180 270 360 Amplitud 450-2 Kala 11
y = tan x y = tan x ialah satu fungsi berkala dengan kala 180 atau π radian. y = tan x adalah tak tertakrif apabila x =..., 270, 90, 90, 270, Maka, y = tan x tidak mempunyai nilai maksimum atau nilai minimum. Graf bagi y = tan x menghampiri garis-garis menegak x = 270, x = 90, x = 90, x = 270 dan sebagainya. Garis-garis menegak iu dikenali sebagai asimptot. y Asimptot 0 360 180 180 360 y = tan x x Kala Contoh 1 Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri berikut bagi 0 x 2π. (a) y = 3 sin 2x (b) y = 3 kos x + 1 (c) y = kos 2x 12
(a) (b) 13
(c) Contoh 2 Lakarkan graf bagi y = 2 tan x bagi 0 x 360. 14
Contoh 3 Lakarkan graf bagi y = 2 sin 3 x bagi 0 x π. 2 Sesi 6 Bilangan penyelesaian persamaan trigonometri dengan menggunakan lakaran graf Contoh (SPM 2011) (a) Lakarkan graf bagi y = 3 sin 3 x untuk 0 x 2π [4 markah] 2 (b) Seterusnya< dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi π + 3 sin 3 x = 0 untuk 0 x 2π. Nyatakan bilangan x 2 penyelesaian itu. [3 markah] 15
(a) (b) 16
Identiti Asas sin 2 A + kos 2 A = 1 1 + kot 2 A = kosek 2 A b c 1+tan 2 A = sek 2 A θ a Pembuktian Contoh Buktikan (a) tan x sin x = sek x (b) sin y kos y tan y = 1 kos 2 y (c) tan θ + kot θ = sek θ kosek θ (a) 17
(b) (c) Sesi 7 Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua sudut antara 0 dan 360. (a) tan 2 x + sek 2 x = 3 tan x (b) 2kosek 2 y = kot y + 3 (c) 3 sin 2 θ + 5kos θ + 5 = 0 (a) 18
(b) (c) Contoh 2 Tunjukkan bahawa 2sek 2 A = 1 + 1. 1 sin A 1+sin A Seterusnya, tanpa menggunakan jadual matematik atau kalkulator, selesaiakan persamaan 1 trigonometri + 1 = 4, untuk 0 < A < 2π. 1 sin A 1+sin A 19
Rumus penambahan sin(a + B) = sin A kos B + sin B kos A sin(a B) = sin A kos B sin B kos A kos(a + B) = kos A kos B sin A sin B kos(a B) = kos A kos B + sin A sin B tan A + tan B tan(a + B) = 1 tan A tan B tan(a B) = tan A tan B 1 + tan A tan B 20
Contoh Tanpa menggunakan sifir matematik atau kalkulator, tunjukkan (a) sin 255 = ξ2(ξ3+1) 4 (b) (b)tan 15 = ξ3 1 ξ3+1 (c) sin(x 60 ) + kos(x + 60 ) = 1 ξ3 (sin x + kos x) 2 (a) (b) 21
(c) Sesi 8 Rumus Sudut Berganda sin 2A = 2 sin A kos A kos 2A = kos 2 A sin 2 A = 2kos 2 A 1 = 1 2 sin 2 A tan 2A = 2 tan A 1 tan 2 A Rumus Sudut Separuh sin A = 2 sin 1 2 A kos 1 2 A kos A = kos 2 1 2 A sin2 1 2 A = 2kos 2 1 2 A 1 = 1 2 sin 2 1 2 A tan A = 2 tan 1 2 A 1 tan 2 1 2 A 22
Contoh 1 Diberi kos θ = 4 dan θ ialah sudut cakah. Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator,cari nilai 5 (a) sin 2θ (c) tan 2θ (e)kos 1 2 θ (b) kos 2θ (d)kos 4θ (a) (b) (c) 23
(d) (e) 24
Contoh 2 Diberi tan x = p dan x ialah sudut tirus. Cari kos 2x. Contoh 3 Tunjukkan bahawa sin 2A 1+kos 2A = tan A. 25
Contoh 4 Buktikan sin θ+kos θ+1 sin θ kos θ+1 = kot 1 2 θ. Sesi 9 Menyelesaikan persamaan trigonometri Contoh 1 Selesaikan setiap yang berikut untuk semua sudut diantara 0 dan 360, termasuk kedua-duanya (a) 5 sin x kos x + 2 = 0 (b) kos 2y sin y = 0 (c) tan 2θ = 3 tan θ 26
(a) (b) (c) 27
Contoh 2 Diberi sin(b A) = 1 2 dan sin(a + B) = 1 4, tunjukkan bahawa sin A kos B = 1 8 dan kos A sin B = 3. Seterusnya, buktikan bahawa 3 tan A kot B + 1 = 0. 8 28