Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere Domeniul major de intervenţie 1.2 Calitateînînvăţământulsuperior Numărulde identificareal contractului:posdru/156/1.2/g/138821 Beneficiar:UniversitateaPOLITEHNICA din Bucureşti Titlulproiectului: Calitate, inovare, comunicare-instrumenteeficienteutilizatepentrucreştereaaccesuluişipromovabilităţiiînînvăţământulsuperior tehnic Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale MODUL DE INSTRUIRE: MATEMATICA Curs: 4 Grupele: G4, G7 Formator: As. Univ. Dr. Bejenaru Andreea 1POSDRU/156/1.2/G/138821 Octombrie/ 2015
Forma generala a sistemelor liniare 2POSDRU/156/1.2/G/138821
Metode de rezolvare a sistemelor liniare Metoda 1: elementar, prin reduceri si substitutii Metoda 2 (doar pentru sisteme patratice cu determinant nenul): regula lui Cramer: unde Δ desemneaza determinantul matricei sistemului, Δ i este determinantul obtinut prin inlocuirea cooanei i cu coloana termenilor liberi. Metoda 3 (doar pentru sisteme patratice cu determinant nenul): matriceal. AX = B X = A 1 B Metoda 4: pe baza unui minor principal. Stabilim, folosind Teorema Kronecker Capelli daca sistemul este compatibil (rang(a)=rang( A)=r). Selectam un minor principal; ecuatiile care nu intervin in minorul principal se elimina; necunoscutele care nu intervin in minorul principal sunt coonsiderate secundare si se trec in membrul drept. Rezultatul este un sistem patratic cu determinant nenul care se poate rezolva cu oricare din metodele anterioare. Metoda 5: Gauss sau Gauss-Jordan 3POSDRU/156/1.2/G/138821
Forma generala Sisteme liniare omogene Observatie: Sistemele liniare omogene sunt intotdeauna compatibile. Metode de rezolvare recomandate: Regula lui Cramer (pentru cele patratice, cu determinant nenul); Pe baza de minor principal sau cu metoda Gauss (pentru restul); Elementar (substitutii si reduceri), pentru sisteme de dimensiuni mici (2 sau 3 ecuatii sau necunoscute). 4POSDRU/156/1.2/G/138821
Metoda Gauss de rezolvare a sistemelor liniare Pasul 1. Se creeaza un tablou care include matricea sistemului si coloana termenilor liberi Pasul 2. Se alege ca pivot primul element al diagonalei principale; daca acesta este nul, se schimba intre ele doua linii astfel incat primul element al diagonalei principale sa fie nenul si apoi se fixeaza pivotul. Pasul 3. Pe coloana pivotului se identifica elementele care vor fi transformate in zerouri. Pasul 4. Se fac transformari pe linii dupa regula: L i a i1 a 11 L 1 L i Pasul 5. Se repeta rationamentul, selectand ca pivoti celelalte elemente ale diagonalei principale, pana ce matricea capata forma trapezoidala. Pasul 6. Se considera sistemul asociat matricei rezultate si se rezolva. 5POSDRU/156/1.2/G/138821
Probleme rezolvate 1. Stabiliti daca sistemul de ecuatii de mai jos este compatibil, apoi calculati valorile necunoscutelor utilizand urmatoarele metode de rezolvare: reducere, substitutie, metoda matriceala si metoda Cramer. Solutie. Matricea sistemului este. Determinantul ei sistemul are solutie si aceasta este unica. Rezolvam sistemul prin metodele cerute: 6POSDRU/156/1.2/G/138821
Metoda reducerii: Grupam ecuatiile doua cate doua si reducem necunoscuta z: Din prima ecuatie a sistemului dat, obtinem. Metoda substitutiei: Exprimam necunoscuta z din prima ecuatie si o inlocuim in ecuatiile doi si trei: Metoda matriceala: Cu notatiile: - matricea sistemului, - vectorul termenilor liberi, - vectorul necunoscutelor, sistemul dat capata scrierea matriceala: 7POSDRU/156/1.2/G/138821
Astfel, Metoda Cramer: Daca notam, atunci calculam necunoscutele x, z, z din formulele: unde este determinantul care se obtine inlocuind in coloana corespunzatoare lui x cu termenul liber etc. deci,,, ; ;,,. 8POSDRU/156/1.2/G/138821
2) Rezolvati urmatoarele sisteme de ecuatii liniare: a) b) Solutie. a) Sistemul are patru necunoscute si doar trei ecuatii. Matricea A atasata sistemului, matricea extinsa si vectorul termenilor liberi sunt: ; ; Conditia ca sistemul sa admita solutie este: doua matrice:. Calculam, deci, rangurile celor 9POSDRU/156/1.2/G/138821
POSDRU/156/1.2/G/138821 Pentru : Analog, obtinem, deci din egalitatea rangurilor celor doua matrici deducem ca sistemul este compatibil. Deoarece elementele minorului principal, care da rangul matricii A, corespund necunoscutelor x, z si z din sistem, necunoscuta t este necunoscuta secundara si o notam. aplicam metoda Cramer: Deci, ; ;,,. 10
POSDRU/156/1.2/G/138821 Matricea A atasata sistemului si matricea extinsa sunt: Calculam, rangurile celor doua matrici: Pentru : ; ; Pentru : minorii se mentin identici. Apare in plus: In consecinta, sistemul este incompatibil, deoarece. 11
POSDRU/156/1.2/G/138821 3. Rezovati sistemele urmatoare utilizand metoda eliminarii complete (metoda Gauss-Jordan) a) b) Solutie. a) Matricea sistemului este, pentru care. Deci, sistemul de ecuatii este compatibil determinat. 12
POSDRU/156/1.2/G/138821 b) Matricea sistemului si matricea extinsa sunt: Pentru a stabili daca sistemul este sau nu compatibil, calculam si. Pentru calculul : Printr-un calcul similar Deci sistemul este compatibil. Notam scrie:, necunoscuta secundara. Sistemul se 13
POSDRU/156/1.2/G/138821 este matricea noului sistem, pentru care. Deci, acest nou sistem are solutie pe care o putem determina cu metoda eliminarii complete. 14