Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΤΡΩΝ - ΤΜΗΜ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΘΗΜ : HΛΕΚΤΡΟΜΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων :Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος Καθηγητής ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ # 1: Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS Ο νόμος του Gauss αποτλί έναν από τους θμλιώδις νόμους του Ηλκτρομαγνητισμού, δδομένου ότι αποτλί μία μορφή σύνδσης του ηλκτρικού πδίου μ τις πηγές του (σημιακά φορτία ή συνχίς κατανομές φορτίου).δηλώνι ότι η ηλκτρική ροή που διαπρνά μία κλιστή πιφάνια που πρικλίι έναν καθορισμένο όγκο ίναι ανάλογη του ολικού καθαρού (μ την έννοια του αλγβρικού αθροίσματος) φορτίου που πρικλίται στον όγκο αυτό.η διαπίστωση αυτή κφράζται μ την πολύ απλή μαθηματική σχέση : i E= [Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κνό ή τον αέρα] κλιστ ή πιϕάνια που αποτλί και την ολοκληρωτική μορφή του νόμου. Στην παραπάνω έκφραση το κλιστό πιφανιακό ολοκλήρωμα του πρώτου μέλους αντιπροσωπύι την ολική καθαρή ροή (διαφορά ξρχόμνης και ισρχόμνης) του ηλκτρικού πδίου διαμέσου της κλιστής πιφάνιας και η ποσότητα το ολικό καθαρό φορτίο (μ την έννοια του αλγβρικού αθροίσματος θτικών και αρνητικών φορτίων) που πρικλίται από την πιφάνια αυτή.στην συνέχια θα παραθέσομ την απόδιξη του νόμου στις πριπτώσις κλιστής πιφάνιας που πρικλίι σημιακό φορτίο, σύνολο σημιακών φορτίων και συνχή κατανομή φορτίου.θα πρέπι όμως πρώτα να διαβαστί το Παράρτημα στο τέλος του φυλλαδίου. (i) Σημιακό φορτίο.θωρούμ μία κλιστή πιφάνια τυχαίου σχήματος που πρικλίι ένα (έστω θτικό) σημιακό φορτίο q,όπως φαίνται στο Σχήμα (α).είναι ήδη γνωστό ότι η ένταση του ηλκτρικού πδίου του συγκκριμένου φορτίου κατυθύνται ακτινικά προς τα έξω, όπως και οι δυναμικές γραμμές του πδίου.το Σχήμα δίχνι ένα στοιχιώδς τμήμα της πιφάνιας που αντιπροσωπύται από το διάνυσμα = n ˆ, όπου ˆn το μοναδιαίο κάθτο στην στοιχιώδη πιφάνια διάνυσμα.στο τμήμα αυτό ικονίζται και το διάνυσμα της έντασης του ηλκτρικού πδίου. Για την ολική ροή που διαπρνά την κλιστή πιφάνια θα έχομ ότι : cos E Ecos q cos q d A θ Φ= i = θ = θ = 4π 4π Ο όρος cosθ αντιπροσωπύι την προβολή της στοιχιώδους πιφάνιας σ πιφάνια κάθτη στην ένταση και τις δυναμικές γραμμές του ηλκτρικού πδίου του φορτίου.η πιφάνια αυτή μπορί κάλιστα να ανήκι σ μία σφαίρα ακτίνας μ κέντρο το φορτίο q.κατά συνέπια η ποσότητα cosθ αντιπροσωπύι τη στρά γωνία που σχηματίζται μ κορυφή το φορτίο q και βάση του αντίστοιχου κώνου της την στοιχιώδη πιφάνια cosθ.κατά συνέπια θα έχομ ότι: q q q Φ= d 4π 4π Ω= = 4π Σϕαί ρα ακτ ίνας (ii) Σύνολο διακριτών σημιακών φορτίων.στην πρίπτωση όπου ένα σύνολο σημιακών φορτίων πρικλίται από μία κλιστή πιφάνια, όπως φαίνται στο Σχήμα (β), σ κάθ στοιχίο πιφανίας η ένταση του συνολικού ηλκτρικού πδίου θα ίναι : E = E1+ E +... En Κατά συνέπια : q1 q qn Φ= ( E1+ E +... En ) i = [ cosθ 1+ cos θ +... + cos θ ] n = 4π 4π 4π 1 n 1 cosθ1 cosθ cosθ n = q1 q... q n 4π + + + 1 = A A n 1 1 q1+ q +... q = q1 dω 1+ q dω +... + q1 dω 4π = ( q14π + q4 π +... qn 4π) = 4π ( ) Στην πρίπτωση αυτή τα φορτία πρέπι να λαμβάνονται μ το πρόσημό τους, δδομένου ότι αυτό καθορίζι το άν η ροή του ηλκτρικού τους πδίου ίναι ξρχόμνη ή ισρχόμνη στην κλιστή πιφάνια.συγκκριμένα στο Σχήμα (β) θα έχομ ότι η ροή μέσω της στοιχιώδους πιφάνιας για τα φορτία q1 και q ίναι θτική n 1
Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) (ξρχόμνη από την κλιστή πιφάνια),νώ για το φορτίο q3 ίναι αρνητική (δηλαδή ισρχόμνη στην κλιστή πιφάνια). (iii)συνχής κατανομή φορτίου. Έστω μία συνχής κατανομή φορτίου όγκου και συνολικού φορτίου που πρικλίται από μία κλιστή πιφάνια τυχαίου σχήματος, όπως φαίνται στο Σχήμα (γ).θωρούμ ότι η συνχής κατανομή φορτίου αποτλέιται από στοιχιώδη φορτία dq.σ ένα σημίο που οριοθτί το κέντρο νός στοιχίου πιφανίας το στοιχιώδς ηλκτρικό πδίο θα ίναι : 1 dq de = ' ' 4π ( ) Η στοιχιώδης ηλκτρική ροή dφ Διαμέσου της πιφάνιας που οφίλται στο φορτίο dq θα ίναι : 1 dq dq cosθ dq dq dq Φ= de i = cosθ d 4π 4π = 4π = Ω= = 4π 4π ϕα ρα ' ' Σ ί ί ' Κατά συνέπια η ολική ροή λόγω της συνολικής συνχούς κατανομής θα ίναι : dq Φ = = κτ νας (α) (β) (γ) ΣΧΗΜ.Για την απόδιξη της ολοκληρωτικής μορφής του νόμου του Gauss.
Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) Ο νόμος του Gauss όπως ξτέθι ίναι μία ολοκληρωτική ξίσωση που ύκολα μπορί να μτατραπί σ διαφορική.θωρούμ μία κλιστή πιφάνια που πρικλίι έναν όγκο μέσα στην οποία βρίσκται μία κατανομή φορτίου όγκου μ (σταθρή ή μταβλητή) πυκνότητα φορτίου ρ, όπως φαίνται στο Σχήμα Β. Μ βάση το νόμο του Gauss θα έχομ ότι: Θώρημα της ποκλίσως Φ = dei = de = ( E) d = i Παράλληλα θα ισχύι και η γνωστή σχέση : = ρd ' = ρd ' όπου πκτίναμ κ του ασφαλούς τον όγκο ολοκλήρωσης από σ δδομένου ότι ο υπόλοιπος όγκος - δν πριέχι φορτίο και δν συνισφέρι στο ολοκλήρωμα. Κατά συνέπια θα έχομ ότι : E d = ( ) Δδομένου ότι η παραπάνω σχέση ξήχθι για τυχαία κλιστή πιφάνια που πρικλίι τυχαίο όγκο θα έχομ ότι γνικά ισχύι: ρ E = ρd [Διαφορική μορφή του νόμου του Gauss στο κνό ή τον αέρα] σχέση που αποτλί και την διαφορική μορφή του νόμου του Gauss. Κατά συνέπια η απόκλιση νός ηλκτρικού πδίου ίναι ανάλογη της πυκνότητας φορτίου που αποτλί την πηγή του. Η απόκλιση του ηλκτρικού πδίου στα βασικά συστήματα συντταγμένων έχι την μορφή: Καρτσιανές (x,y,z): Σφαιρικές (,θ,φ): Κυλινδρικές (,φ,z): E E E E x y z x y = + + z ( E ) ( E sθ ) 1 1 θ 1 Eϕ E = + + sθ θ sθ ϕ ( E ) 1 1 Eϕ E E = + + ϕ z z ΣΧΗΜ Β. Για την απόδιξη της διαφορικής μορφής του νόμου του Gauss. Στο σημίο αυτό μπορούμ να κάνομ μία σιρά παρατηρήσων πάνω σ αυτόν τον πολύ βασικό νόμο. (α) Τι δηλώνι ο νόμος του Gauss.Η ολοκληρωτική μορφή του νόμου δηλώνι ρητά ότι η καθαρή ηλκτρική ροή διαμέσου μίας κλιστής πιφάνιας οφίλται αποκλιστικά στα φορτία που αυτή πρικλίι.κανένα ξωτρικό φορτίο δν συνισφέρι σ καθαρή ροή διαμέσου αυτής. υτό ίναι ένα κ των προτέρων αναμνόμνο 3
Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) αποτέλσμα.στο Σχήμα Γ(α) όπου ικονόζται το ηλκτρικό πδίο νός θτικού σημιακού φορτίου που ίναι ξωτρικό μίας κλιστής πιφάνιας.το πλήθος των δυναμικών γραμμών που ισέρχται σ αυτήν ίναι ίσο μ το πλήθος αυτών που ξέρχονται από αυτήν δημιουργώντας έτσι μηδνική καθαρή ροή διαμέσου αυτής.παράλληλα άν ένα πλήθος κλιστών πιφανιών 1,, 3 διαφορτικού σχήματος γκλωβίζουν το ίδιο φορτίο στο σωτρικό τους [όπως φαίνται στο Σχήμα Γ(β)], η καθαρή ροή του ηλκτρικού του πδίου διαμέσου αυτών θα ίναι η ίδια και ίση μ q/, καθώς το ίδιο πλήθος δυναμικών γραμμών τις διαπρνά όλς. Τέλος στην πρίπτωση του Σχήματος Γ(γ) όπου διακρίνται ένα σωτρικό και ένα ξωτρικό ως προς μία κλιστή πιφάνια φορτίο, η καθαρή ηλκτρική ροή διαμέσου αυτής θα οφίλται αποκλιστικά στο πρικλιόμνο φορτίο.στην έκφραση όμως του νόμου του Gauss κλιστ ή πιϕάνια E i = = η ένταση E αντιπροσωπύι το συνολικό ηλκτρικό πδίο σ κάθ σημίο του χώρου που οφίλται τόσο στο ξωτρικό φορτίο q όσο και στο σωτρικό φορτίο E = E + E q Παράλληλα η διαφορική μορφή του νόμου αναδικνύι πληρέστρα και το φυσικό του πριχόμνο συνδέοντας άμμσα το ηλκτρικό πδίο μ την πηγή του (μην παραβλέπτ ότι για την απόδιξή της πρικλίσαμ την πηγή του πδίου σ μία κλιστή πιφάνια).η απόκλιση του πδίου ίναι ανάλογη της πυκνότητας φορτίου που το παράγι. (α) (β) q (+) E = E + E q A (+) (γ) ΣΧΗΜ Γ. Για την ανάδιξη του φυσικού πριχομένου του Νόμου του Gauss. 4
Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) (β) Χρήση του νόμου του Gauss για τον υπολογισμό ντάσως ηλκτρικών πδίων.ο νόμος του Gauss μ την μαθηματική απλότητα που τον χαρακτηρίζι αποτλί ένα πανίσχυρο ργαλίο για τον ύκολο υπολογισμό ηλκτρικών πδίων που προέρχονται από πηγές που παρουσιάζουν σφαιρική, κυλινδρική ή συμμτρία πιπέδου.στην πρίπτωση αυτή η γνική μθοδολογία που ακολουθίται ίναι η ξής: Θωρούμ μια φανταστική κλιστή πιφάνια που πριβάλλι την πηγή του πδίου και έχι την ίδια συμμτρία μ αυτήν. Η νοητή αυτή πιφάνια ονομάζται πιφάνια Gauss και ίναι: Σφαίρα στην πρίπτωση σφαιρικής συμμτρίας της πηγής Κύλινδρος στην πρίπτωση κυλινδρικής συμμτρίας της πηγής Παραλληλπίπδο ή κύλινδρος που τέμνι το πίπδο στην πρίπτωση συμμτρίας πιπέδου. Οι συνήθις πιφάνις Gauss ικονίζονται στο ακόλουθο Σχήμα Δ. Εφαρμόζομ τον νόμο του Gauss στην υποθτική κλιστή πιφάνια που πριβάλλι την πηγή.λόγω της συμμτρίας της πηγής η ένταση του ηλκτρικού πδίου σ όλα τα σημία της πιφάνιας Gauss θα έχι το ίδιο μέτρο και κατά συνέπια βγαίνι έξω από το αντίστοιχο πιφανιακό ολοκλήρωμα σαν σταθρά που αναζητίται.δηλαδή: κλιστ ή πιϕάνια Gauss i = ± = E E κλιστ ή πιϕάνια Gauss Επιφάνια Gauss Επιφάνια Gauss Επιφάνια Gauss ΣΧΗΜ Δ. Οι συνήθως χρησιμοποιούμνς πιφάνις Gauss. 5
Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) (γ)εξαγωγή του Νόμου του Coulomb από τον νόμο του Gauss.Υπάρχι πλήρης ισοδυναμία μταξύ του νόμου του Gauss και του νόμου του Coulomb.Η απόδιξη του νόμου του Gauss στηρίχθηκ στην ισχύ του νόμου του Coulomb και στην ιδιότητα του να ίναι «νόμος αντιστρόφου ττραγώνου της απόστασης».σ πρίπτωση διαφορτικής ξάρτησης της δύναμης (και κατά συνέπια της έντασης) από την απόσταση,η τυχαία πιφάνια δν θα μπορούσ να προβληθί ισότροπα σ πιφάνια σφαίρας μ κέντρο το σημιακό φορτίο και η συνολική ροή του ηλκτρικού πδίου θα ξαρτώνταν κυρίως από το τυχαίο σχήμα της πιφάνιας και όχι από το συνολικό φορτίο που αυτή πρικλίι. ντίστροφα ο νόμος του Coulomb μπορί να ξαχθί σαν μία φαρμογή του νόμου του Gauss,όπως φαίνται στη συνέχια. Θωρούμ το θτικό σημιακό φορτίο του Σχήματος.Επιθυμούμ να υπολογίσομ την ένταση του ηλκτρικού πδίου του συναρτήσι της απόστασης από αυτό.το πρόβλημα παρουσιάζι προφανή σφαιρική συμμτρία και για τον λόγο αυτό θωρούμ την νοητή σφαιρική πιφάνια Gauss ακτίνας του Σχήματος.Λόγω της συμμτρίας του προβλήματος η ένταση του ηλκτρικού πδίου του φορτίου θα έχι το ίδιο μέτρο σ όλα τα σημία αυτής της πιφάνιας κατυθυνόμνη ακτινικά προς τα έξω. Κατά συνέπια φαρμόζοντας τον νόμο του Gauss θα έχομ ότι : πιϕάνια E i = = = πιϕάνια Ecos = E = πιϕάνια ( Enˆ ) i E( 4π ) = E = 4π πιϕάνια Ή διανυσματικά : E = 4π ˆ Παρατηρούμ ότι καταλήγομ στην γνωστή έκφραση της έντασης του ηλκτρικού πδίου σημιακού φορτίου.εάν τώρα σ απόσταση από αυτό φέρομ ένα σημιακό φορτίο q, η δύναμη που θα δχθί από την πηγή του πδίου θα ίναι: q F = qe = ˆ 4π που ίναι η γνωστή έκφραση του νόμου του Coulomb. Σημίωση: Εάν το φορτίο ήταν αρνητικό η ένταση θα ίχ φορά προς αυτό και πομένως : E= = En = E = E = i ( iˆ) cos18 πιϕάνια πιϕάνια πιϕάνια πιϕάνια E( 4π ) = E = 4π Ή διανυσματικά : E = 4π Παρά την ισοδυναμία των νόμων Gauss και Coulomb, η ισχύς του πρώτου πκτίνται και πέραν των ορίων της ηλκτροστατικής.ισχύι δηλαδή και για την πρίπτωση χρονοξαρτημένων ηλκτρικών πδίων Ε(,t).Για τον λόγο αυτό ο νόμος του Gauss θωρίται πιό γνικός από αυτόν του Coulomb αποτλώντας ένα από τα θμέλια του Ηλκτρομαγνητισμού. ˆ 6
Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) (δ) ντίστοιχη έκφραση που ονομάζται «Νόμος του Gauss στο βαρυτικό πδίο» ίναι δυνατόν να ξαχθί και στην πρίπτωση της βαρυτικής αλληλπίδρασης όντας ισοδύναμος στην πρίπτωση αυτή μ τον νόμο της παγκοσμίου έλξως.κατά συνέπια ένας «νόμος Gauss» μπορί να ξαχθί για κάθ πδίο δυνάμων που η δύναμη ακολουθί έναν νόμο αντιστρόφου ττραγώνου σ σχέση μ την απόσταση από την πηγή του πδίου. () Εφαρμογή του νόμου του Gauss σ κοιλότητς που δν πριέχουν φορτίο.θωρούμ έναν πολύ λπτό θτικά φορτισμένο αγώγιμο φλοιό ακτίνας α και αμλητέου πάχους.εάν ζητηθί ο υπολογισμός του ηλκτρικού πδίου στο σωτρικό του, όπου δν υπάρχι φορτίο, η συμμτρία του προβλήματος υπαγορύι την φαρμογή του νόμου του Gauss θωρώντας στο σωτρικό της σχηματιζόμνης κοιλότητας μία φανταστική σφαιρική πιφάνια Gauss ακτίνας <α [Σχήμα Ε(α)].Θα έχομ πομένως ότι: πιϕάνια E i = = Ε= Η αυστηρότητα της παραπάνω προσέγγισης μπορί να αμφισβητηθί, δδομένου ότι ο λπτός φλοιός φαίνται κ πρώτης όψως ότι δημιουργί ηλκτρικό πδίο στην σωτρική αυτή κοιλότητα μ φορά μάλιστα προς το σωτρικό της.μια πιό λπτομρής ανάλυση οδηγί στο ίδιο αποτέλσμα,ακολουθώντας την προσέγγιση του Σχήματος Ε(β). Θωρούμ ένα σωτρικό σημίο της κοιλότητας που δέχται την πίδραση δύο αντιδιαμτρικών στοιχιωδών πιφανιών του φλοιού 1 και που τα κέντρα τους απέχουν απόστάσις 1 και αντίστοιχα από το σημίο.οι στοιχιώδις ντάσις από κάθ τμήμα στο σημίο αυτό θα ίναι συγγραμμικές και αντίρροπς μ μέτρα: d σ dε = = = dω 1 1 1 1 4π 1 4π 1 4π d σ dε = = = σ σ dω 4π 4π 4π όπου σ η πιφανιακή πυκνότητα φορτίου του φλοιού και dω1,dω οι αντίστοιχς σχηματιζόμνς στρές γωνίς μ κορυφή το ν λόγω σημίο.οι γωνίς αυτές ίναι ίσς ως κατά κορυφήν και κατά συνέπια τα μέτρα των ντάσων ίναι ίσα.κατά τον ίδιο τρόπο αλληλοαναιρούνται και οι συνισφορές των άλλων αντιδιαμτρικών τμημάτων του φλοιού.κατά συνέπια η ολική ένταση στο συγκκριμμένο τυχαίο σημίο ίναι μηδέν. Η απόδιξη αυτή ίναι γνικότρη και μπορί να φαρμοσθί και στην πρίπτωση κοιλοτήτων ακαθόριστου σχήματος όπου η έλλιψη συμμτρίας δν υνοί την φαρμογή του νόμου του Gauss. Κατά συνέπια το ηλκτρικό πδίο σ μία κοιλότητα τυχαίου σχήματος που δν πριέχι φορτίο ίναι μηδέν. Επιφάνια Gauss de 1 dω 1 de dω 1 1 (α) (β) ΣΧΗΜ E. 7
Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΠΡΡΤΗΜ : Η ΕΝΝΟΙ ΤΗΣ ΣΤΕΡΕΣ ΓΩΝΙΣ Για την κατανόηση της έννοιας της στράς γωνίας ίναι χρήσιμο να ξκινήσομ από το ακόλουθο διδιάστατο πρόβλημα που ικονίζται στο Σχήμα.Έστω ότι πιθυμούμ να προβάλομ ένα στοιχιώδς μήκος Δ σ πριφέρια κύκλου ακτίνας.η προβολή του θα ίναι ένα στοιχιώδς τόξο για το οποίο θα ισχύι ότι: Δs=Δθ Κατά συνέπια η προβολή του στην πριφέρια κύκλου καθορίζται αποκλιστικά από την γωνία Δθ=Δs/, η οποία μτράται σ ακτίνια [Εάν το στοιχιώδς μήκος και το αντίστοιχο τόξο ίναι απιροστά μικρά μπορούμ κ του ασφαλούς να θωρήσομ το τρίγωνο ΒΓ ως ορθογώνιο και κατά συνέπια θα έχομ ότι:ds=dθ=dcosψ] Y Δθ Δs Β Δ ψ Γ 9 X Η έννοια της στράς γωνίας υπισέρχται όταν θέλομ να πκτίνομ το πρόβλημα στην προβολή μίας στοιχιώδους πιφάνιας σ πιφάνια σφαίρας ακτίνας, όπως ικονίζται στο ακόλουθο Σχήμα. ˆn γ ˆ ˆn Z d d θ ˆ O φ dω Επιφάνια Σφαίρας κτίνας d Y Επιφάνια Σφαίρας κτίνας X 8
Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) Η πιφάνια d αναπαριστάται από ένα κάθτο σ αυτή διάνυσμα μ μέτρο όσο το μβαδόν της σύμφωνα μ τη σχέση: d = dnˆ όπου ˆn το μοναδιαίο κάθτο στην πιφάνια διάνυσμα. Η προβολή της πιφάνιας d στην πιφάνια σφαίρας ακτίνας θα ίναι: d= ' d ˆ= d ( nˆ ˆ) = d cosγ = sθdθdϕ Η προβολή της πιφάνιας d στην πιφάνια ομόκντρης σφαίρας ακτίνας θα ίναι κατά τον ίδιο τρόπο: d '' = ' sθdθdϕ Παρατηρούμ ότι και οι δύο προβολές αποτλούν βάσις κώνων μ κορυφή την αρχή των αξόνων και συνυθιακά ύψη. Η στοιχιώδης στρά γωνία ορίζται ως το αδιάστατο μέγθος ' d'' dω= = = sθdθdϕ ' και αντιπροσωπύι την βάση του κώνου που αντιστοιχί στην προβολή της πιφάνιας σ σφαίρα μ ακτίνα το μοναδιαίο διάνυσμα ˆ μέσα από την οποία «φαίνονται» και οι προβολές και. Ισχύι δ ότι : dω= sθdθdϕ = 4π Επιϕάνια Σϕαίρας Επιϕάνια Σϕαίρας Γνικώτρα η στρά γωνία ορίζται ως ΔA ΔΩ = όπου Δ το τμήμα πιφανίας μίας σφαιρικής πιφάνιας ακτίνας και ίναι ένα αδιάστατο μέγθος που μτράται σ στρακτίνια (steadians ή συντομογραφικά steads). 9