R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR Programa olimpiadei de matematică clasele V VIII A şcolar 008 / 009 Petru fiecare clasă, î programa de olimpiadă sut icluse î mod implicit cońiuturile programelor de olimpiadă di clasele aterioare. CuoştiŃele suplimetare fańă de programa şcolară pot fi folosite î rezolvarea problemelor de olimpiadă. Etapa locală Clasa a V a Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică. Metoda comparańiei. Metoda grafică. Metoda falsei ipotezei. Metoda mersului ivers. Probleme de mişcare. Probleme de perspicacitate şi de umărare. Pricipiul cutiei (Pricipiul lui Dirichlet). Metoda reducerii la absurd. Numere aturale Factorul comu. Teorema împărńirii cu rest. Puteri. Reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Ultima cifră. Pătrate perfecte. Cuburi perfecte. Sisteme de umerańie. Divizibilitatea î N. Etapa judeńeaă (muicipiul Bucureşti)/aŃioală MulŃimi. OperaŃii cu mulńimi. Reuiuea. ItersecŃia. DifereŃa a două mulńimi. Produs cartezia. Numere rańioale pozitive EcuaŃii î Q. FracŃii zecimale. OperaŃii. IecuaŃii î N şi Q. Probleme. Periodicitate. Media aritmetică. Elemete de geometrie şi uităńi de măsură. G-ral Berthelot 8-30, Bucureşti - 010168; Tel: (+40 1) 314 36 65; Fax: (+40 1) 313 55 47 www.edu.ro, dgpre@mec.edu.ro
Etapa locală Clasa a VI a 1. Numere aturale ProprietăŃile divizibilităńii î N. Criteriile de divizibilitate cu: ; 5; 10; ; 5 ; 3; 9; 7; 11; 13. Numere prime şi umere compuse. Teorema fudametală a aritmeticii. C.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. ; [ a; b] ( a; b) = a b. Numere prime ître ele. a / bc şi ( a; b) =1 a / c (teorema lui Gauss). Dacă ( a ; b) = d x, y N astfel îcât ( x ; y) = 1 şi a = xd; b = yd. Dacă [ a ; b] = m x, y N astfel îcât ( x ; y) = 1 şi m = ax; m = by.. Rapoarte şi ProporŃii. Rpoarte. ProporŃii. Procete. Mărimi direct proporńioale. Mărimi ivers proporńioale. Şir de rapoarte egale. ProporŃioalitate directă. ProporŃioalitate iversă. 1. Puct. Dreaptă. Semidreaptă. Segmet (cońiutul programei şcolare).. Ughi (cońiutul programei şcolare şi, î plus, teorema directă şi teorema reciprocă a ughiurilor opuse la vârf). 3. CogrueŃa triughiurilor (cońiutul programei şcolare şi cazul L.U.U.) Etapa judeńeaă (muicipiul Bucureşti)/etapa ańioală 1. Numere îtregi OperaŃii î Z. Modulul uui umăr îtreg. Puterea uui umăr îtreg cu expoet umăr atural. Reguli de calcul cu puteri. ProprietăŃi ale divizibilităńii î Z. 1) a / a, a Z ) a / b şi b / c a / c 3) a / b şi b / a a = b sau a = b 4) 1 / a şi 1/ a, a Z 5) a / 1 sau a / 1 a = 1 6) a / 0, a Z 7) 0 / a a = 0 8) a / b ( a) / b a / ( b) ( a) / ( b) 9) a / b a / b c, c Z 10) a / b1 şi a / b a / ( b1 ± b ) 11) a / b1 şi a / b a / ( b1c1 ± bc ), ude c 1, c Z 1) a / b a c / b c, c Z 13) a c / b c, c 0 a / b 14) a 1 / b1 şi a / b a1a / b1b. Numere rańioale OperaŃii (iclusiv puterea uui umăr rańioal cu expoet umăr atural). EcuaŃii şi iecuańii î N, Z, Q. 3. Rapoarte şi ProporŃii. ProbabilităŃi. Geometrie 1. Perpedicularitate (cońiutul programei şcolare).. Paralelism (cońiutul programei şcolare şi, î plus, teorema directă şi teorema reciprocă a liiei mijlocii a uui triughi). 3. ProprietăŃi ale triughiurilor (cońiutul programei şcolare) şi următoarele teoreme: - Îtr-u triughi dreptughic, lugimea catetei care se opue ughiului de 30 o este jumătate di lugimea ipoteuzei. Teorema reciprocă.
- Îtr-u triughi dreptughic, lugimea mediaei corespuzătoare ipoteuzei este jumătate di lugimea ipoteuzei. Teorema reciprocă. Clasa a VII a Etapa judeńeaă (muicipiul Bucureşti) 1. MulŃimea umerelor îtregi; MulŃimea umerelor rańioale; MulŃimea umerelor reale;. Modulul uui umăr real. ProprietăŃi: a) x 0, x R; b) x = max( x; x), x R; c) xy = x y, x, y R; x x d) =, x R, y R ; e) x + y x + y, x, y R; y y f) x a ( a > ), a, x h) x = x 0 R a x a, x R. ;g) a ( a > ), a, x x 0 R x a sau x a ; 3. Partea îtreagă şi partea fracńioară a uui umăr real; Reguli de calcul cu radicali (cońiutul programei şcolare). a) Dacă a N şi a Q, atuci a N; b) Dacă a, b N şi a + b Q, atuci a N şi b N; c) Dacă a şi b u sut pătrate ale uor umere rańioale, atuci a + b Q; d) Dacă a, b Q şi α, β Q astfel îcât, atuci α a + β b Q, atuci a Q şi b Q; e) Dacă a, b Q astfel îcât b R\Q, atuci a ± b R\Q şi a b R\Q; f) Dacă a Q şi b R\Q, atuci a + c a c a + b R\Q şi ab R\Q;g) a ± b = +, ude a, b, c R şi c = a b (formula radicalilor dubli). 4. Calcul algebric; Calcule cu umere reale reprezetate pri litere (cońiutul programei şcolare); 1 1 a b = a b a + a b +... + b, a, b R şi N; ( )( ) 1 1 ( a + b)( a a b +... ab + b ) a + b =, a, b R şi N, impar; ( a + b) = M + b, ude a, b Z, şi N ; a ( a b )( c + d ) = ( ac + bd ) + ( ad bc ) + (idetitatea lui Lagrage) 1. Patruletere (cońiutul programei şcolare).. Probleme de coliiaritate. Probleme de cocureńă. 3. Asemăarea triughiurilor Teorema lui Thales. Teorema reciprocă a teoremei lui Thales. Teorema paralelelor echidistate. Teorema paralelelor eechidistate. Liia mijlocie î triughi; proprietăńi. Cetrul de greutate al uui triughi; proprietăńi. Liia mijlocie î trapez; proprietăńi. Teorema fudametală a asemăării. Criterii de asemăare a triughiurilor. Teorema bisectoarei (iterioare, exterioare) şi teorema reciprocă. Teorema lui Meelaos; teorema reciprocă. Teorema lui Ceva; teorema reciprocă.
Etapa ańioală 1. IegalităŃi. Sume. Probleme de maxim şi de miim. a. a + b ab, a, b R ; b. a, b R + ; a b a + b + c ab + ac + bc, a, b, c R ; c. + ; b a a + + + + + + d. 1 a... a a1 a... a a1 a... a, ai R +, 1 1 1 + +... + a a a 1 şi N (iegalitatea mediilor); f. ( a )( ) ( ) 1 + a +... + a b1 + b +... + b a1b1 + ab +... + ab, ai, bi R, i = 1, şi N (iegalitatea Cauchy Buiakovski Schwarz).. EcuaŃii. Probleme. i = 1, 1. RelaŃii metrice î triughi. Î triughiul dreptughic: teorema îălńimii; teorema catetei; teorema lui Pitagora; teoreme reciproce. Rapoarte costate î triughiul dreptughic: si, cos, tg, ctg. Teorema lui Pitagora geeralizată. Teorema cosiusului. Teorema siusurilor. Teorema mediaei: ( b + c ) a ab si C abc m a =. Arii. A = p( p a)( p b)( p c) ; A = ; A = p r ; A = ; 4 4S d1 d si[ ( d1, d )] Apatrulat. covex =. Clasa a VIII a Etapa judeńeaă(muicipiul Bucureşti) 1. Numere reale Partea îtreagă şi partea fracńioară a uui umăr real. EcuaŃii. Modulul uui umăr real. EcuaŃii. Itervale. ItersecŃia şi reuiuea itervalelor. RaŃioalizarea umitorului de forma a b şi a ± b, a,b N. Formulele de calcul prescurtat: a ± b = a ± ab + b ; ( a + b)( a b) = a b ; ( a + b + c) = a + b + c + ab + ac + bc. ( ) ± m +. Rapoarte de umere reale 3 3 3 3 3 ( a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b ; ( a b) a ab b = a ± b reprezetate pri litere. OperaŃii. 1. Cercul DefiiŃie. Elemete î cerc. Ughi la cetru. Măsura arcelor. Coarde şi arce; proprietăńi. Teorema ughiului îscris î cerc. Cerc îscris, cerc circumscris uui triughi. Patrulater ortodiagoal. Patrulater iscriptibil. Patrulater circumscriptibil. CodiŃii de iscriptibilitate, codińii de
circumscriptibilitate. Cercul lui Euler. PoziŃiile relative ale uei drepte fańă de u cerc. PoziŃiile relative a două cercuri.teorema arcului capabil de u ughi dat. Poligoae regulate. Lugimea cercului şi a arcului de cerc. Aria discului şi a sectorului de cerc.. IegalităŃi geometrice. Probleme de maxim şi de miim. Iegalitatea triughiului. Îtr-u triughi, la latura mai mare se opue ughiul mai mare, şi reciproc. Teorema perpedicularelor şi a oblicelor. 3. CostrucŃii simple cu rigla egradată şi cu compasul. 4. Probleme elemetare de loc geometric. 5. Pucte, drepte, plae. Paralelism. La cońiutul programei şcolare se adaugă: teoreme de paralelism; teorema lui Meelaos î spańiu; teorema reciprocă teoremei lui Meelaos; teorema lui Thales î spańiu; axe de simetrie ale paralelipipedului dreptughic; axa de simetrie a piramidei patrulatere regulate; simetria fańă de u pla; secńiui axiale î corpurile care admit axe de simetrie. 6. ProiecŃii ortogoale pe u pla La cońiutul programei şcolare se adaugă: perpediculara comuă a două drepte; reciprocele teoremei celor trei perpediculare; pla mediator; pla bisector. Etapa ańioală ALGEBRA 1. FucŃii- cońiutul programei şcolare. 1. Calcul de arii şi volume ( prisma, piramida, truchiul de piramidă )-cońiutul programei şcolare Notă: 1. La toate etapele olimpiadei de matematică (locală, judeńeaă, ańioală), autorul problemelor di cocurs va utiliza cońiutul prezetei programe petru olimpiadă.. Temele propuse vor cupride atât cońiuturile obligatorii petru tońi elevii, cât şi cońiuturile suplimetare. 3. Folosirea corectă de către elevi, î redactarea soluńiei, a uor teoreme (fără demostrańie): teorema lui Steier, teorema lui Ptolemeu, teorema lui Fermat şi pricipiul iducńiei matematice etc. coduce la acordarea puctajului maxim prevăzut î baremele de corectare. DirecŃia Geerală Maagemet Preşeditele Comisiei Cosiliul NaŃioal ÎvăŃămât Preuversitar Cetrale de Evaluare petru Curriculum şi Evaluare î ÎvăŃămâtul Preuiversitar Director Geeral, Preşedite, Diector Geeral, Liliaa Preoteasa Radu Nicolae Gologa Cristia Mirescu Ispector geeral, Cristia Alexadrescu Cosilier, Florica Bau