G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea uor exerciţii, î care vom folosi oţiuea de poliom miimal al uei matrice şi teorema lui Frobeius. Petru îceput vom amiti câteva fapte teoretice. Dacă u se specifică altceva, A M K) ude este umăr atural eul şi K poate fi Q, R sau C. Teoremă Hamilto-Cayley). Dacă defiim p A X) = detxi A) = X + a 1 X 1 +... + a 1 X + a poliomul caracteristic al matricei A), atuci p A A) = A + a 1 A 1 +... + a 1 A + a I = O. Defiiţie. Fie A M K) ude K poate fi Q, R sau C. Poliomul moic i.e. avâd coeficietul domiat egal cu 1) de grad miim di K[X] care admite pe A ca rădăciă se umeşte poliomul miimal al lui A şi se otează m A X). Dacă pa) = O 2 petru u poliom oarecare p K[X], atuci p este divizibil cu poliomul miimal al matricei A. Astfel, poliomul miimal divide poliomul caracteristic; î particular, gradul poliomului miimal este mai mic sau egal decât gradul poliomului caracteristic. Aceste fapte sut completate de următoarea teoremă. Teorema lui Frobeius. Polioamele m A şi p A admit aceiaşi divizori ireductibili peste K. De exemplu, dacă = 2, atuci dacă gradm A ) = 1, atuci există a K astfel îcât m A = X a şi p A = X a) 2 ; dacă gradm A ) = 2 atuci m A = p A. De asemeea, dacă =, atuci dacă gradm A ) = 1 atuci există a K astfel îcât m A = X a şi p A = X a) ; dacă gradm A ) = 2 atuci există a, b K u eapărat disticte) astfel îcât m A = X a)x b) şi p A = X a) 2 X b); dacă gradm A ) = atuci m A = p A. Î cotiuare voi prezeta aplicaţii ale acestor proprietăţi. 1) Profesor, Liceul Pedagogic,,D.P. Perpessicius, Brăila
8 Petru cercurile de elevi 1. Olimpiada de matematică, faza aţioală 1988) Fie A M 2 R) cu tra) > 2. Să se arate că, oricare ar fi N, A I 2. Soluţie. Presupuem pri absurd că A = I 2, deci A I 2 = O 2 şi m A X 1). Dacă gradm A ) = 1, atuci m A = X ± 1, deci A ± I 2 = O 2, A = ±I 2, tra) = ±2, fals. Dacă gradm A ) = 2, atuci m A = p A R[X]. Cum X 1 are rădăciile simple x k = cos 2kπ 2kπ + i si, k = 0, 1,..., 1 şi p A are coeficieţi reali, reiese că p A este produsul a doi factori corespuzâd uor rădăcii cojugate: p A X) = X cos 2kπ + i si 2kπ )) X cos 2kπ i si 2kπ deci p A = m A = X 2 2X cos 2kπ + 1. Cum p A = X 2 2trA)X + deta), ar rezulta tra) = 2 cos 2kπ 2, fals. Î cocluzie A I 2, oricare ar fi N. 2. Olimpiada de matematică, faza aţioală 1990) Fie A M R) cu A k = aa, ude a R\{ 1, 1} şi k N. Să se arate că matricea B = A+I este iversabilă. Soluţie. A k aa = O implică m A p = X k ax. Cum p 1) = = 1) k + a 0, rezultă m A 1) 0, deci m A u are rădăcia 1. Î acest caz, coform teoremei lui Frobeius, ici p A u are rădăcia 1. Deoarece p A = 1) deta XI ), deducem 0 p A 1) = 1) deta + I ), adică detb) 0.. Cocursul Iterjudeţea de Matematică,,Gheorghe Lazăr 2008) Să se arate că, dacă A M R) şi A = A + I, atuci deta) > 0. Soluţie. Fucţia f : R R dată de fx) = x x 1 are derivata f x) = x 2 1, cu rădăciile x 1 = 1, x 2 = 1. Aplicăm şirul lui Rolle: f ) < 0, fx 1 ) < 0, fx 2 ) < 0, f ) > 0. Deci, fucţia are o sigură rădăciă reală a, situată î itervalul 1, 2). Rezultă m A X X 1) = X a)x 2 + bx + c), cu ac = 1 şi a > 0, deci c > 0. Astfel m A = X a) s X 2 + bx + c) t şi, coform teoremei lui Frobeius, p A = X a) u X 2 + bx + c) v = 1) deta XI ), cu u + 2v =. Deducem p A 0) = a) u c) v = 1) deta), deci deta) = 1) +u a u c v = 1) 2u+2v a u c v = a u c v > 0. )),
G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 9 4. Cocursul,,Nicolae Coculescu 2005) Fie matricea A M R) cu A = 4I A. Să se arate că deta + I ) = 2. Soluţie. A 4I + A = O şi X + X 4 = X 1)X 2 + X + 4) implică m A = X 1) s X 2 + X + 4) t. Aplicăm teorema lui Frobeius: p A = X 1) u X 2 + X + 4) v = 1) deta XI ), u + 2v =. Deducem p A 1) = 2) u 4 v = 1) deta + I ), deci deta + I ) = 1) +u 2 u 4 v = 1) 2u+2v 2 u+2v = 2. 5. Cocursul,,Nicolae Coculescu 2009) Cosiderăm A M R) cu A = A 2I. Să se calculeze deta 2 + A + I ). Soluţie. A A + 2I = O, m A X X + 2), X X + 2 = = X 1) 2 X + 2), deci m A = X 1) s X + 2) t. Aplicăm teorema lui Frobeius: p A = X 1) u X + 2) v = 1) deta XI ), u + v =. Avem deta 2 +A+I ) = deta εi ) deta ε 2 I ), ude ε este rădăciă cubică a uităţii, ε = 1 şi ε 2 + ε + 1 = 0. Obţiem succesiv p A ε) = ε 1) u ε + 2) v = 1) deta εi ) p A ε 2 ) = ε 2 1) u ε 2 + 2) v = 1) deta ε 2 I ) p A ε)p A ε 2 ) = ε 1) u ε + 2) v ε 2 1) u ε 2 + 2) v = deta 2 + A + I ) deta 2 + A + I ) = ε ε ε 2 + 1) u ε + 2ε + 2ε 2 + 4) v = u v =. 6. prelucrare GMB) Vom spue că o matrice A M 2 R) are proprietatea P ) dacă există N,, petru care A + A 1 + A 2 = = O 2. Arătaţi că, dacă A M 2 R) are proprietatea P 2010 ) şi se otează B = A 2 + A + I 2, atuci matricea I 2 AB este iversabilă. Soluţie. A 2 A 2 + A + I 2 ) = O 2, deci m A X 2 X 2 + X + 1). Dacă gradm A ) = 1, m A = X şi p A = X 2, deci A = O 2, B = I 2, I 2 AB = I 2 este iversabilă. Dacă gradm A ) = 2, sut posibile cazurile p A = m A = X 2 +X +1, deci A 2 +A+I 2 = O 2, B = O 2, I 2 AB = I 2 este iversabilă; p A = m A = X 2, deci A 2 = O 2, B = A+I 2, I 2 AB = I 2 AA+I 2 ) = = I 2 A, de ude deti 2 AB) = deti 2 A) = p A 1) = 1, adică matricea I 2 AB este iversabilă. 7. Cocursul iterjudeţea,,da Barbilia 2011) Fie u umăr atural impar şi A M R). a) Dacă A 2 = O, să se arate că det2011a + 2I ) 0 det2011a 2I ). b) Dacă A 2 = I să se demostreze că deta I ) 0.
10 Petru cercurile de elevi Soluţie. a) m A X 2, deci p A = X, impar,, de ude obţiem p A = X = 1) deta XI ) = deta XI ). Relaţia cerută este 2011 det A + 2 ) 2011 I 0 2011 det A 2 ) 2011 I şi rezultă imediat di det A 2 ) 2 ) 2011 I = p A = 2 2011 2011 0, det A + 2 ) 2011 I = p A 2 ) = 2 2011 2011 0. b) A 2 I = O, deci m A X 2 1). Dacă gradm A ) = 1, m A = X 1, A = I, deta I ) 2011 = 0 0, sau m A = X + 1, A = I, deta I ) 2011 = 2 2011 0. Dacă gradm A ) = 2, atuci m A = X 2 1 şi p A = X 1) u X + 1) v = = 1) deta XI ), cu u, v 1, de ude deta I ) = p A 1) = 1 1) u 1 + 1) v = 0. 8. Cocursul cetrelor de exceleţă di Moldova, 2011) Dacă matricea A M 2 R) satisface relaţia A A 2 + 4A = 2I 2, să se arate că tra) = 2. Soluţie. Cum X X 2 + 4X 2 = X 1)X 2 2X + 2), rezultă m A X 1)X 2 2X + 2). Dacă gradm A ) = 1, atuci m A = X 1, A = I 2, tra) = 2. Dacă gradm A ) = 2, atuci m A = X 2 2X + 2 = p A, de ude rezultă A 2 2A + 2I 2 = O 2 = A 2 tra))a + deta)i 2. Dacă tra) 2, atuci deducem A = ki 2, k R, de ude k k 2 + 4k 2 = 0, ecuaţie a cărei sigură soluţie reală este 1, i.e. A = I 2 imposibil î acest caz. 9. Cocursul iterjudeţea,,uirea 2005) Fie A, B M 2 C) astfel îcât AB = BA şi există umerele aturale eule m, astfel îcât A m = O 2 şi B = O 2. Să se arate că AB = O 2. Soluţie. A m = O 2 şi B = O 2, deci m A X m şi m B X. Dacă gradm A ) = 1 atuci m A = X, A = O 2 deci AB = O 2 ; aalog dacă gradm B ) = 1. Dacă gradm A ) = 2 şi gradm B ) = 2 atuci m A = X 2 = p A, deci A 2 = O 2 ; aalog B 2 = O 2. Rezultă A + B) 4 = A 4 + 4A B + 6A 2 B 2 + 4AB + B 4 = O 2, deci m A+B X 4. Dacă gradm A+B ) = 1 atuci m A+B = X, A + B = O 2, A = B, deci AB = A 2 = O 2. Dacă gradm A+B ) = 2, atuci m A+B = X 2 = p A+B, deci A+B) 2 =O 2. Dar A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 = 2AB = O 2, deci AB = O 2. 10. Cocursul iterjudeţea,,uirea 2009) Arătaţi că, dacă matricea A M 2 Z) satisface A 4 = I 2, atuci A 2 = I 2 sau A 2 = I 2.
G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 11 Soluţie. Vom arăta că această proprietate are loc petru A M 2 R). Di A 4 I 2 = O 2 reiese m A X 1)X + 1)X 2 + 1). Dacă gradm A ) = 1, atuci m A = X 1, A = I 2, sau m A = X + 1, A = I 2 ; î ambele cazuri, A 2 = I 2. Dacă gradm A ) = 2, atuci m A = X 2 1 = p A, deci A 2 = I 2, sau m A = X 2 + 1 = p A, deci A 2 = I 2. 11. Să se arate că, dacă există matrice A M Q) iversabile astfel ca A 1 = A 2 + A, atuci este divizibil cu. Soluţie. Di A 1 = A 2 + A rezultă, pri îmulţire cu A, A + A 2 I = = O, deci m A X + X 2 1). Deoarece X + X 2 1 este ireductibil î Q[X], m A = X + X 2 1. Coform teoremei lui Frobeius, p A are aceiaşi factori ireductibili ca m A, deci p A = X + X 2 1) u, ude u =, adică este divizibil cu. 12. Cocursul iterjudeţea,,cezar Ivăescu 2006) Fie A M R) petru care există λ 0, 4) astfel îcât A = λa + I. Demostraţi că matricea A este iversabilă şi deta) > 0. Soluţie. A λa I = O, deci m A X λx 1). Fie fucţia f : R R dată de fx) = x λx 1. Derivata f x) = x 2 λ are λ λ rădăciile x 1 =, x 2 =. Avem fx 1) = 2λ λ < 0 deoarece 2λ λ <, 4λ < 27 şi 4λ < 4 4 < 27, iar fx 2 ) = 2λ λ < 0. Deci f ) < 0, fx 1 ) < 0, fx 2 ) < 0, f ) > 0, ceea ce arată că ecuaţia x λx 1 = 0 are o sigură soluţie reală pozitivă a x 2, ). Astfel, X λx 1 = X a)x 2 + bx + c), b 2 4c < 0. Dacă gradm A ) = 1, atuci m A = X a, A = ai şi deta) = a > 0. Cazul gradm A ) = 2 este imposibil, deoarece î această situaţie m A ar fi ireductibil de grad 2, iar p A ar fi o putere a lui m A. Dacă gradm A ) =, m A = p A. Obţiem A λa I = O = A tra)a 2 + tra )A deta)i, de ude tra) = 0 altfel poliomul miimal al lui A ar avea grad cel mult 2), apoi tra ) = λ acelaşi argumet) şi, î fial, deta) = 1. 1. Cocursul iterjudeţea,,uirea 2006) Fie o matrice B M 2 R) petru care există k N astfel îcât B k = O 2. Arătaţi că, dacă A M 2 R) este astfel îcât AB = BA, atuci det A + B) = det A. Soluţie. B k = O 2, deci m B X k. Dacă gradm B ) = 1, m B = X, B = O 2 şi det A + B) = det A. Dacă gradm B ) = 2, m B = X 2 = p B, deci B 2 = O 2. Fie P X) = deta + XB) = X 2 detb) + ax + deta) = ax + deta).
12 Petru cercurile de elevi Atuci P 1) = deta + B) = a + det A, P 1) = deta B) = a + det A, deta + B) + deta B) = 2 det A, de ude ) deta + B) + deta B) 2 det A) 2 = 2 deta + B) deta B) = deta 2 B 2 ) = det A) 2. Egalitatea are loc petru det A + B) = det A B), de ude a = 0, adică det A + B) = det A. 14. Cocursul iterjudeţea,,traia Lalescu 201) Arătaţi că, dacă A M 201 R), atuci A 2 + I 201 ) O 201 petru orice N. Soluţie. Presupuem pri absurd că există N cu A 2 + I 201 ) m = = O 201. Atuci m A X 2 + 1), deci m A = X 2 + 1) r şi p A = X 2 + 1) u. Aceasta ar implica gradp A ) = 201 = 2u fals ceea ce arată că presupuerea făcută este falsă. 15. Cocursul iterjudeţea,,maria Ţariă 201) Fie A M R), 2, astfel îcât A 201 + A 2014 = O. Dacă B = A + I, demostraţi că matricea I AB este iversabilă. Soluţie. A 201 A+I ) = O, deci m A X 201 X +1), m A = X s X +1) t, t {0, 1}. Rezultă că p A = X u X + 1) v = 1) deta XI ), u + v =. Apoi I AB = I A A 2 şi deti A A 2 ) = 1) deta 2 + A I ) = = 1) deta x 1 I ) deta x 2 I ), ude x 1 şi x 2 sut soluţiile ecuaţiei x 2 + x 1 = 0, deci x 1 + x 2 = 1 = x 1 x 2. Obţiem deti A A 2 ) = p A x 1 )p A x 2 ) 1) = x u 1x 1 + 1) v x u 2x 2 + 1) v 1) = = x 1 x 2 ) u 1 + x 1 + x 2 + x 1 x 2 ) v 1) = 1) 1) = 1. Deci, matricea I AB este iversabilă. Î îcheiere, propuem ca temă următoarele exerciţii: 1. Cocursul,,Nicolae Coculescu 2009) Fie A M 2 R), r > 0 u umăr real fixat şi tra) > 2r. Să se arate că A r I 2, oricare ar fi N. 2. Olimpiada de matematică, faza locală, Brăila 2010) Cosiderăm A M R), 2 astfel îcât A k A k+1 + A k+2 = O, ude k N impar şi B = I A + A 2. Arătaţi că matricele I AB şi I BA sut iversabile.. Olimpiada de matematică, faza locală, Braşov, 2010) Spuem că o matrice X M 2 C) este ilpotetă dacă există N astfel îcât X = O 2. Fie A, B M 2 C) două matrice eule, ilpotete. Să se demostreze că matricea A + B este ilpotetă dacă şi umai dacă matricele AB şi BA sut ilpotete.
Cocursul,,Argumet, Baia Mare, 201 1 4. Cocursul iterjudeţea,,cristia Calude 2005) Arătaţi că, dacă A M R), A 2 = I şi este impar, atuci deta + I ) deta I ). 5. Olimpiada de matematică, faza aţioală, 199) Există matrice A, B M C) cu AB BA) 199 = I? 6. Cocursul,,Nicolae Coculescu, 2004) Să se rezolve ecuaţia X + X + 2I 2 = O 2, X M 2 R). Bibliografie [1] Io D. Io, O demostraţie elemetară petru o teoremă a lui Frobeius, Gazeta Matematică Seria B, r 11-12/1987. EXAMENE ŞI CONCURSURI CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ,,ARGUMENT Ediţia a V-a, Baia Mare, 9 Noiembrie 201 prezetare de Vasile Pop 1) şi Nicolae Muşuroia 2) Î perioada 8-9 oiembrie 201 s-a desfăşurat la Baia Mare cea de-a cicea ediţie a Cocursului Iterjudeţea de Matematică,,Argumet. Orgaizatorii acestuia au fost membrii catedrei de matematică a Colegiului Naţioal,,Gheorghe Şicai di localitate, î parteeriat cu Ispectoratul Şcolar Judeţea Maramureş. Cu această ocazie a fost lasat cel de-al cicisprezecelea umăr al revistei,,argumet, editat de catedra de matematică a liceului gazdă. Preşeditele cocursului a fost şi de această dată, domul cofereţiar Vasile Pop, de la Uiversitatea Tehică di Cluj Napoca. La cocurs au participat loturile colegiilor aţioale:,,adrei Mureşau Dej,,,Mihai Emiescu Satu Mare,,,Alexadru Papiu Ilaria Târgu Mureş,,,Silvaia Zalău,,,Liviu Rebreau Bistriţa,,,Dragoş Vodă Sighetu Marmaţiei,,,Vasile Lucaciu Baia Mare,,,Gheorghe Şicai Baia Mare, precum şi elevi de gimaziu de la şcolile reprezetative di judeţ. Prezetăm î cotiuare euţurile problemelor de la liceu, o selecţie di cele de la gimaziu şi lista premiaţilor. Clasa a IX-a 1. Se cosideră î pla puctele A 1, A 2,..., A şi puctul M. Se otează cu B 1 simetricul lui M faţă de cetrul de greutate al sistemului de pucte {A 2, A,..., A }. Aalog se defiesc puctele B 2, B,..., B. a) Arătaţi că dreptele A 1 B 1, A 2 B 2,..., A B sut cocurete îtr-u puct I. 1) Cof. uiv. dr., Uiversitatea Tehică Cluj Napoca 2) Profesor, Colegiul Naţioal,,Gheorghe Şicai, Baia Mare