ΑπαντησηΙσχύει α+βi = γ +δi α = γκαι β = δ 1πτ

È Ö Ñ Ø ÓÄÙ Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑÙÖÒ Ì Ü Å Ñ Ø Â Ø Ì ÕÒÓÐÓ Ã Ø Ù ÙÒ Ë Ñ Û Â ÛÖ ô º Ò ÑÓÒØ Û ÕÓÙÒ Ó ÙÒØ Ø ØÓÙ Ò Ö Ñ Ù Ò ØÙÕ ÒÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓÙ Ã Ø Ç Ñ ô ÙØ Ò ÕÓÐ ÕÖ ºÅÔÓÖÓ ÒÒ Ò Ô Ö Õ Ó Ò Ò Ò Ñ Ó Ò Ð Ö Ö ½¼ ÔÖ ÐÓÙ¾¼½¾ ËØÓ Õ Ó Ø ÒÑ ØÓLATEXº Ò Ñ Ò ÐÐ Ü ÑÓÖ ØÓÙº ØÓÒÔ Ö ÓÖ Ñ ØÛÒ Ò Ô Ù ØÛÒ Ð ôòùô ÒØ ÙÒ Õ ÓÖ¹ Ò ÝÓÙÒ Ô Ø ÒÕÖ ØÓÙº

ÖÛØ Â ÛÖ Å ÖÓI ½ Ερωτηση1. Πότεδύομιγαδικοίαριθμοί α+βiκαι γ +δiείναιίσοι; ΑπαντησηΙσχύει α+βi = γ +δi α = γκαι β = δ 1πτ Ερωτηση 2. Να αποδείξετε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βiκαι γ +δiείναιτοάθροισματωνδιανυσματικώνακτίνωντους. Απαντηση Αν M 1 (α,β) και M 2 (γ,δ)είναιοιεικόνεςτων α+βiκαι γ+δi αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότετοάθροισμα (α+βi)+(γ +δi) = (α + γ) + (β + δ)iπαριστάνεταιμετο σημείο M(α + γ,β + δ). Επομένως, OM = OM 1 + OM 2. Ερωτηση 3. Να αποδείξετε ότι η διανυσματική ακτίνα διαφοράς των μιγαδικών α+βiκαι γ +δiείναιηδιαφοράτωνδιανυσματικώνακτίνωντους. Απαντηση Η διαφορά (α+βi) (γ+δi) = (α γ)+(β δ)i παριστάνεταιμετοσημείο N(α γ, β δ).επομένως, ON = OM 1 OM 2. Ερωτηση4. Νααποδείξετεότι (α+βi)(γ +δi) = (αγ βδ)+(αδ +βγ)i. Απαντηση Εχουμε: (α+βi)(γ+δi) = α(γ+δi)+βi(γ+δi) = αγ+αδi+βγi+ (βi)(δi) == αγ+αδi+βγi+βδi 2 = αγ+αδi+βγi βδ = (αγ βδ)+(αδ+βγ)i Ερωτηση5. Τιονομάζεταισυζυγήςτου α+βi;

¾ ΑπαντησηΟαριθμός α βiπουσυμβολίζεταιμε α+βi. Ερωτηση 6. Ναεκφράσετετοπηλίκο α+βi γ+δi,όπου γ + δi 0,στημορφή κ+λi. Απαντηση Πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με το συζυγή του παρονομαστή και έχουμε: α+βi γ +δi Δηλαδή = (α+βi)(γ δi) (γ +δi)(γ δi) α+βi γ +δi = (αγ +βδ)+(βγ αδ)i γ 2 +δ 2 αγ +βδ βγ αδ = γ 2 + +δ2 γ 2 +δ 2 i = αγ +βδ βγ αδ γ 2 + +δ2 γ 2 +δ 2 i Ερωτηση7. Ποιεςείναιοιδυνατέςδυνάμειςτου i; Απαντηση Εχουμε: i 0 = 1, i 1 = i, i 2 = 1, i 3 = i 2 i = i καιγενικάαν ν = 4ρ +υ,όπου ρτοπηλίκοκαι υτουπόλοιποτηςευκλείδειας διαίρεσηςτου νμετο4,τότε: 1, αν υ = 0 i ν = i 4ρ+υ = i 4ρ i υ = (i 4 ) ρ i υ = 1 ρ i υ = i υ i, αν υ = 1 = 1, αν υ = 2 i, αν υ = 3 Ερωτηση8. Νααποδείξετεότι z 1 +z 2 = z 1 + z 2 Απαντηση z 1 +z 2 = (α+βi)+(γ +δi) = (α+γ)+(β +δ)i = (α +γ) (β +δ)i = (α βi)+(γ δi) = z 1 + z 2 Ερωτηση9.Ναλύσετετηνεξίσωση αz 2 +βz+γ = 0,με α,β,γ R, α 0 και < 0 Απαντηση Εργαζόμαστε όπως στην αντίστοιχη περίπτωση στο R και τη μετασχηματίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, στη μορφή: ( z + β ) 2 = 2α 4α 2 όπου = β 2 4αγ ηδιακρίνουσατηςεξίσωσης. Επειδή 4α = ( 1)( ) 2 4α = 2 i 2 ( ( ) 2 ) (2α) = ι 2,ηεξίσωσηγράφεται: ( ) 2 ( 2 2α z + β ) 2α = i 2. 2α Άραοι λύσειςτηςείναι: z1,2 = β±i 2α, οι οποίες είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί.

Ερωτηση10. Τιονομάζεταιμέτροτουμιγαδικού z = x+yi; ΑπαντησηΟρίζουμεωςμέτροτου zτηναπόστασητου Mαπότηναρχή O, δηλαδήτοναριθμό z = OM = x 2 +y 2 Ερωτηση11. Νααποδείξετεότι z 1 z 2 = z 1 z 2 Απαντηση Εχουμε: z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 2 = z 1 2 z 2 2 (z 1 z 2 )(z 1 z 2 ) = z 1 z 1 z 2 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 1 z 2 z 2 Ερωτηση12. ΕστωΑέναμηκενόυποσύνολοτου R. Τιονομάζεταιπραγματικήσυνάρτηση fμεπεδίοορισμούτο Aκαιτιτιμήτης fστο x A; ΑπαντησηΜιαδιαδικασία(κανόνα)μετηνοποίακάθεστοιχείο x Aαντιστοιχίζεταισεέναμόνοπραγματικόαριθμό y. Το yονομάζεταιτιμήτης fστο x καισυμβολίζεταιμε f(x). Ερωτηση13. Τιονομάζεταισύνολοτιμώνμίαςσυνάρτησης f : A R; ΑπαντησηΤοσύνολο f(a) = {y y = f(x)γιακάποιο x A}πουέχειγια στοιχείατουτιςτιμέςτης fσεόλατα x A. Ερωτηση14.Τιονομάζεταιγραφικήπαράστασημίαςσυνάρτησης f : A R; ΑπαντησηΤοσύνολο C f τωνσημείων M(x,y)γιαταοποίαισχύει y = f(x), δηλαδήτοσύνολοτωνσημείων M(x,f(x)),x A. Ερωτηση 15. Πότε δύο συναρτήσεις λέγονται ίσες; Απαντηση Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Aκαιγιακάθε x Aισχύει f(x) = g(x). Ερωτηση16.Αν f, g,είναιδύοσυναρτήσειςναορίσετετιςσυναρτήσεις f+g, f g, fgκαι f g. ΑπαντησηΟρίζουμετοάθροισμα f + g,διαφορά f g,γινόμενο fgκαι πηλίκο f g των f, gτιςσυναρτήσειςμετύπουςαντιστοίχωςτους (f +g)(x) = f(x)+g(x),(f g)(x) ( ) = f(x) g(x),(fg)(x) = f(x)g(x), f g (x) = f(x) g(x) Τοπεδίοορισμούτων f +g, f gκαι fgείναιητομή A Bτωνπεδίωνορισμού Aκαι Bτωνσυναρτήσεων fκαι gαντιστοίχως,ενώτοπεδίοορισμούτης f g είναι το A B,εξαιρουμένωντωντιμώντου xπουμηδενίζουντονπαρονομαστή g(x), δηλαδή το σύνολο

{x x Aκαι x B,με g(x) 0} Ερωτηση17.Αν f, g,είναιδύοσυναρτήσειςναορίσετετησύνθεση g fτης fμετην g. Απαντηση Είναι η συνάρτηση με τύπο (gof)(x) = g(f(x)) καιπεδίοορισμούτοσύνολοπουαποτελείταιαπόόλαταστοιχεία xτουπεδίου ορισμούτης fγιαταοποίατο f(x)ανήκειστοπεδίοορισμούτης g.δηλαδήείναι το σύνολο A 1 = {x A f(x) B} Ερωτηση 18. Εστω f μίασυνάρτησηκαιδέναδιάστηματουπεδίουορισμού της. Πότε η f ονομάζεται γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, αύξουσα, φθίνουσα στο Δ; Απαντηση Η f λέγεται γνησίωςαύξουσαστοδότανγιαοποιαδήποτε x 1,x 2 με x 1 < x 2 ισχύει f(x 1 ) < f(x 2 ) γνησίωςφθίνουσαστοδ,ότανγιαοποιαδήποτε x 1,x 2 με x 1 < x 2 ισχύει f(x 1 ) > f(x 2 ) αύξουσαστο Δ, ότανγιαοποιαδήποτε x 1,x 2 με x 1 < x 2 ισχύει f(x 1 ) f(x 2 ) φθίνουσα στο Δ,όταν γιαοποιαδήποτε x 1,x 2 με x 1 < x 2 ισχύει f(x 1 ) f(x 2 ) Ερωτηση 19. Πότε η συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο στο σημείο x 0 τουπεδίουορισμούτης; ΑπαντησηΜιασυνάρτηση fμεπεδίοορισμού Aθαλέμεότι: Παρουσιάζειστο x 0 A(ολικό)μέγιστο,το f(x 0 ),όταν f(x) f(x 0 )για κάθε x A Παρουσιάζειστο x 0 A(ολικό)ελάχιστο,το f(x 0 ),όταν f(x) f(x 0 ) γιακάθε x A Ερωτηση20. Τιείναιταολικάακρόταταμίαςσυνάρτησης f; Απαντηση Το(ολικό) μέγιστο και το(ολικό) ελάχιστο της f(εφόσον υπάρχουν) λέγονται(ολικά) ακρότατα της f. Ερωτηση 21. Πότε μία συνάρτηση λέγεται 1-1; ΑπαντησηΜιασυνάρτηση f : A Rλέγεταισυνάρτηση 1 1,ότανγια οποιαδήποτε x 1,x 2 Aισχύειησυνεπαγωγή

αν x 1 x 2,τότε f(x 1 ) f(x 2 ) Ερωτηση22.Νααποδείξετεότιησυνάρτηση f(x) = αx+β,με α 0είναι συνάρτηση 1 1. ΑπαντησηΑνυποθέσουμεότι f(x 1 ) = f(x 2 ),τότεέχουμεδιαδοχικά: αx 1 +β = αx 2 +β αx 1 = αx 2 x 1 = x 2 Ερωτηση 23. Πως ορίζεται η αντίστροφη μίας 1-1 συνάρτησης; Απαντηση Εστωμια 1 1συνάρτηση f : A R. Τότεγιακάθεστοιχείο y τουσυνόλουτιμών, f(a),της fυπάρχειμοναδικόστοιχείο xτουπεδίουορισμούτης Aγιατοοποίοισχύει f(x) = yκαιεπομένωςορίζεταιμιασυνάρτηση g : f(a) Rμετηνοποίακάθε y f(a)αντιστοιχίζεταιστομοναδικό x A γιατοοποίοισχύει f(x) = y. Η gλέγεταιαντίστροφησυνάρτησητης f και συμβολίζεταιμε f 1. Ερωτηση 24. Να αποδείξετε ότι για κάθε πολυώνυμο P(x) = α ν x ν +α ν 1 x ν 1 + +α 1 x+α 0 καικάθε x 0 Rισχύει lim P(x) = P(x 0 ). Απαντηση Εφαρμόζοντας τις ιδιότητες των ορίων έχουμε: lim P(x) = lim (α ν x ν +α ν 1 x ν 1 + +α 0 ) = lim (α ν x ν )+ lim (α ν 1 x ν 1 )+ + lim α 0 = α ν lim x ν +α ν 1 lim x ν 1 + + lim α 0 = α ν x ν 0 +α ν 1x ν 1 0 + +α 0 = P(x 0 ) Ερωτηση 25. Νααποδείξετεότιγιακάθερητήσυνάρτηση f(x) = P(x) Q(x) και P(x) κάθε x 0 Rμε Q(x 0 ) 0ισχύει lim Q(x) = P(x0) Q(x. 0) Απαντηση Εστωηρητήσυνάρτησηf(x) = P(x) Q(x),όπουP(x), Q(x)πολυώνυμα P(x) τουxκαιx 0 RμεQ(x 0 ) 0.Τότε lim f(x) = lim x x 0 Απαντηση Οταν ισχύει lim f(x) = f(x 0 ) Q(x) = lim P(x) lim Q(x) = P(x0) Q(x x x 0) 0 Ερωτηση26. Πότεμίασυνάρτηση fθαείναισυνεχήςσεένασημείο x 0 του πεδίου ορισμού της;

Ερωτηση27. Πότεμίασυνάρτηση fδενείναισυνεχήςσεένασημείο x 0 του πεδίου ορισμού της; Απαντηση Οταν: α)δενυπάρχειτοόριότηςστο x 0 ή β)υπάρχειτοόριότηςστο x 0,αλλάείναιδιαφορετικόαπότηντιμήτης, f(x 0 ), στοσημείο x 0. Ερωτηση28.Πότεθαλέμεότιμιασυνάρτηση fείναισυνεχήςσεέναανοικτό διάστημα (α,β); Απαντηση Οτανείναισυνεχήςσεκάθεσημείοτου (α,β) Ερωτηση29.Πότεθαλέμεότιμιασυνάρτηση fείναισυνεχήςσεένακλειστό διάστημα [α,β]; Απαντηση Οτανείναισυνεχήςσεκάθεσημείοτου (α,β)καιεπιπλέον lim x α + f(x) = f(α)και lim x β f(x) = f(β) Ερωτηση 30. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano. Απαντηση Εστωμιασυνάρτηση f,ορισμένησεένακλειστόδιάστημα [α,β].αν: η fείναισυνεχήςστο [α,β]και,επιπλέον,ισχύει f(α) f(β) < 0, τότευπάρχειένα,τουλάχιστον, x 0 (α,β)τέτοιο,ώστε f(x 0 ) = 0 Δηλαδή: Υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0 στο ανοικτό διάστημα (α, β). Ερωτηση 31. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών Απαντηση Διατύπωση: Εστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν: η fείναισυνεχήςστο [α,β]και f(α) f(β) τότε,γιακάθεαριθμόημεταξύτων f(α)και f(β)υπάρχειένας,τουλάχιστον x 0 (α,β)τέτοιος,ώστε f(x 0 ) = η

Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι f(α) < f(β). Τότεθαισχύει f(α) < η < f(β). Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g(x) = f(x) η, x [α,β], παρατηρούμε ότι: η gείναισυνεχήςστο [α,β]και g(α)g(β) < 0, αφού g(α) = f(α) η < 0και g(β) = f(β) η > 0 Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει x 0 (α,β) τέτοιο, ώστε g(x 0 ) = f(x 0 ) η = 0, οπότε f(x 0 ) = η. Ερωτηση 32. Να διατυπώσετε το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής. ΑπαντησηΑνfείναισυνεχήςσυνάρτησηστο[α,β],τότεηfπαίρνειστο[α,β] μιαμέγιστητιμήμκαιμιαελάχιστητιμήμ. Δηλαδή,υπάρχουν x 1,x 2 [α,β] τέτοια,ώστε,αν m = f(x 1 )και M = f(x 2 ),ναισχύει m f(x) M,γιακάθε x [α,β]. Ερωτηση 33. Ποιο είναι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς, όχι σταθερής, συνάρτησης fμεπεδίοορισμούτο [α,β]; ΑπαντησηΤοκλειστόδιάστημα [m,m],όπου mηελάχιστητιμήκαι M η μέγιστη τιμή της. Ερωτηση 34. Ποιο είναι το σύνολο τιμών μίας γνησίως αύξουσας(αντιστοίχως φθίνουσας) και συνεχούς συνάρτησης ορισμένης σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β); ΑπαντησηΤοδιάστημα (A,B)(αντιστοίχως (B,A))όπου A = lim x α + f(x) και B = lim x β f(x). Ερωτηση35. Πωςορίζεταιηεφαπτομένητης C f στοσημείοτηςα; Απαντηση Εστω fμιασυνάρτησηκαι A(x 0,f(x 0 ))ένασημείοτης C f. Αν f(x) f(x υπάρχει το lim 0) x x καιείναιέναςπραγματικόςαριθμόςλ,τότεορίζουμε 0 ωςεφαπτομένητης C f στοσημείοτηςα,τηνευθεία ε: y f(x 0 ) = λ( ) που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. Ερωτηση36. Πότεότιμιασυνάρτηση fείναιπαραγωγίσιμησ ένασημείο x 0 του πεδίου ορισμού της;

f(x) f(x Απαντηση Αν υπάρχει το lim 0) x x καιείναιπραγματικόςαριθμός.το 0 όριο αυτό ονομάζεταιπαράγωγος της f στο x 0 και συμβολίζεταιμε f (x 0 ). Δηλαδή: f f(x) f(x (x 0 ) = lim 0). Ερωτηση37.Τιονομάζεταικλίσητης C f στο A(x 0,f(x 0 ))ήκλίσητης fστο x 0 ; ΑπαντησηΗκλίση f (x 0 )τηςεφαπτομένηςεστο A(x 0,f(x 0 )). Ερωτηση 38. Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο x 0,τότεείναικαισυνεχήςστοσημείοαυτό. ΑπαντησηΓια x x 0 έχουμε f(x) f(x 0 ) = f(x) f(x 0) ( ) οπότε [ ] f(x) f(x0 ) lim [f(x) f(x 0 )] = lim ( ) f(x) f(x 0 ) = lim lim ( ) = f (x 0 ) 0 = 0 αφούηfείναιπαραγωγίσιμηστο x 0. Επομένως, lim f(x) = f(x 0 ),δηλαδήηfείναισυνεχήςστο x 0. Ερωτηση39. Νααποδείξετεότιησυνάρτηση f(x) = x ανκαισυνεχήςστο x 0 = 0,δενείναιπαραγωγίσιμησ αυτό. Απαντηση Εστωησυνάρτηση f(x) = x. Η f είναισυνεχήςστο x 0 = 0, f(x) f(0) x αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ αυτό, αφού lim x 0 + x 0 = lim x 0 x = 1,ενώ f(x) f(0) x lim x 0 x 0 = lim x 0 x = 1. Ερωτηση40.Πότελέμεγιαμίασυνάρτηση fμεπεδίοορισμούένασύνολο A λέμε ότι: 1.Η fείναιπαραγωγίσιμηστο A; 2.Η fείναιπαραγωγίσιμησεέναανοικτόδιάστημα (α,β)τουπεδίουορισμού της; 3.Η fείναιπαραγωγίσιμησεένακλειστόδιάστημα [α,β]τουπεδίουορισμού της;

Απαντηση 1. Η f είναι παραγωγίσιμη στο A όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο x 0 A. 2.Η fείναιπαραγωγίσιμησεέναανοικτόδιάστημα (α,β)τουπεδίουορισμού της,ότανείναιπαραγωγίσιμησεκάθεσημείο x 0 (α,β). 3.Η fείναιπαραγωγίσιμησεένακλειστόδιάστημα [α,β]τουπεδίουορισμού f(x) f(α) της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο(α, β) και επιπλέον ισχύει lim x α + x α f(x) f(β) Rκαι lim x β x β R. Ερωτηση 41. Τι ονομάζεται παράγωγος μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού A; Απαντηση Εστω A 1 τοσύνολοτωνσημείωντου Aσταοποίααυτήείναιπαραγωγίσιμη.Αντιστοιχίζονταςκάθε x A 1 στο f (x),ορίζουμετησυνάρτηση f : A 1 R, x f (x), ηοποίαονομάζεταιπρώτηπαράγωγοςτης fήαπλάπαράγωγοςτης f. Ερωτηση42. Νααποδείξετεότιησταθερήσυνάρτηση f(x) = c,c Rείναι παραγωγίσιμηστο Rκαιισχύει f (x) = 0. ΑπαντησηΑν x 0 είναιένασημείοτου R,τότεγια x x 0 ισχύει: f(x) f(x0) = c c f(x) f(x = 0.Επομένως lim 0) = 0,δηλαδή (c) = 0. Ερωτηση 43. Νααποδείξετεότιησυνάρτηση f(x) = xείναιπαραγωγίσιμη στο Rκαιισχύει f (x) = 1. ΑπαντησηΑν x 0 είναιένασημείοτου R,τότεγια x x 0 ισχύει: f(x) f(x0) f(x) f(x = 1.Επομένως lim 0) = lim 1 = 1,δηλαδή (x) = 1. = Ερωτηση44. Νααποδείξετεότιησυνάρτηση f(x) = x ν είναιπαραγωγίσιμη στο Rκαιισχύει f (x) = νx ν 1. ΑπαντησηΑν x 0 είναιένασημείοτου R,τότεγια x x 0 ισχύει: f(x) f(x 0 ) = xν x ν 0 = ()(x ν 1 +x ν 2 x 0 + +x ν 1 0 ) = x ν 1 +x ν 2 x 0 + +x ν 1 0 x x 0 οπότε f(x) f(x 0 ) lim = lim (x ν 1 +x ν 2 x 0 + +x ν 1 x x 0 ) = x ν 1 0 +x ν 1 0 + +x ν 1 0 = νx0 ν 1 0 δηλαδή (x ν ) = νx ν 1.

½¼ Ερωτηση45. Νααποδείξετεότιησυνάρτηση f(x) = xείναιπαραγωγίσιμη στο (0,+ )καιισχύει f (x) = 1 2 x. Ακόμηνααποδείξετεότιανκαισυνεχής στο 0 δεν είναι παραγωγίσιμη σ αυτό. ΑπαντησηΑν x 0 είναιένασημείοτου (0,+ ),τότεγια x x 0 ισχύει: ( ) ( ) f(x) f(x 0 ) x x0 x x0 x+ x0 = = ( ) ( x+ ) x 0 = f(x) f(x οπότε lim 0) = lim Τέλος lim = lim f(x) f(0) x 0 x 0 παραγωγίζεται στο 0. ( ) ( x+ x 0 ) = 1 x+ x0 = 1 x 0 x x = lim x 0 1 x+ x0 2 x 0,δηλαδή ( x) = 1 2 x. 1 x = + καιεπομένωςησυνάρτησηδεν Ερωτηση46.Νααποδείξετεότιησυνάρτηση f(x) = ηµxείναιπαραγωγίσιμη στο Rκαιισχύει f (x) = συνx. ΑπαντησηΓιακάθε x Rκαι 0ισχύει f(x+) f(x) = ηµ(x+) ηµx = ηµx (συν 1) = ηµx συν+συνx ηµ ηµx +συνx ηµ ηµ συν 1 f(x+) f(x) Επειδή lim 0 = 1και lim 0 = 0,έχουμε lim 0 συνx 1 = συνx.δηλαδή, (ηµx) = συνx. = ηµx 0+ Ερωτηση 47. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = συνx είναι παραγωγίσιμη στο Rκαιισχύει f (x) = ηµx. ΑπαντησηΓιακάθε x Rκαι 0ισχύει: f(x+) f(x) = συν(x+) συνx = συνx συν 1 f(x+) f(x) ( οπότε lim 0 = lim συνx συν 1 0 ηµx 1 = ηµx.δηλαδή, (συνx) = ηµx. = συνx συν ηµx ηµ συνx ηµx ηµ ) ( lim 0 ) ηµx ηµ = συνx 0 Ερωτηση 48. Να αποδείξετε ότι αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x 0,τότεησυνάρτηση f +gείναιπαραγωγίσιμηστο x 0 καιισχύει: (f +g) (x 0 ) = f (x 0 )+g (x 0 )

½½ ΑπαντησηΓια x x 0,ισχύει: (f +g)(x) (f +g)(x 0 ) = f(x)+g(x) f(x 0) g(x 0 ) == f(x) f(x 0) + g(x) g(x 0) Επειδήοισυναρτήσεις f,gείναιπαραγωγίσιμεςστο x 0,έχουμε: (f +g)(x) (f +g)(x 0 ) lim = lim δηλαδή (f +g) (x 0 ) = f (x 0 )+g (x 0 ). f(x) f(x 0 ) + lim g(x) g(x 0 ) = f (x 0 )+g (x 0 ) Ερωτηση 49. Νααποδείξετεότιησυνάρτηση f(x) = x ν, ν N είναι παραγωγίσιμηστο R καιισχύει f (x) = νx ν 1. ΑπαντησηΓιακάθε ν N έχουμε: (x ν ) = ( ) 1 x = (1) x ν 1(x ν ) ν = νx ν 1 νx ν 1 x 2ν (x ν ) 2 = Ερωτηση50. Νααποδείξετεότιησυνάρτηση f(x) = εφxείναιπαραγωγίσιμη στο R 1 = R {x συνx = 0}καιισχύει f (x) = 1 συν 2 x. ΑπαντησηΓιακάθε x R 1 έχουμε: (εφx) = ( ηµx ) (ηµx) συνx ηµx(συνx) = συνx συν 2 x = συνxσυνx+ηµxηµx συν 2 x = συν2 x+ηµ 2 x συν 2 x = = 1 συν 2 x Ερωτηση 51. Νααποδείξετεότισυνάρτηση f(x) = x α, α R Zείναι παραγωγίσιμηστο (0,+ )καιισχύει f (x) = αx α 1. ΑπαντησηΑν y = x α = e αlnx καιθέσουμε u = αlnx,τότεέχουμε y = e u. Επομένως, y = (e u ) = e u u = e αlnx α 1 x = xα α x = αxα 1. Ερωτηση52. Νααποδείξετεότιησυνάρτηση f(x) = α x, α > 0είναιπαραγωγίσιμηστο Rκαιισχύει f (x) = α x lnα. ΑπαντησηΑνy = α x = e xlnα καιθέσουμε u = xlnα,τότεέχουμε y = e u. Επομένως y = (e u ) = e u u = e xlnα lnα = α x lnα Ερωτηση 53. Νααποδείξετεότιησυνάρτηση f(x) = ln x,x R είναι παραγωγίσιμηστο R καιισχύει (ln x ) = 1 x.

½¾ ΑπαντησηΠράγματι. ηαν x > 0,τότε (ln x ) = (lnx) = 1 x,ενώηαν x < 0,τότε ln x = ln( x),οπότε,ανθέσουμε y = ln( x)και u = x,έχουμε y = lnu.επομένως, y = (lnu) = 1 u u = 1 x ( 1) = 1 x καιάρα (ln x ) = 1 x. Ερωτηση54. Τιονομάζεταιρυθμόςμεταβολήςτου y = f(x)ωςπρος x; ΑπαντησηΡυθμόςμεταβολήςτουyωςπροςτο xστοσημείο x 0 είναιηπαράγωγος f (x 0 ). Ερωτηση 55. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Rolle και να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του. Απαντηση Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και f(α) = f(β) τότευπάρχειένα,τουλάχιστον, ξ (α,β)τέτοιο,ώστε: f (ξ) = 0 Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ (α, β) τέτοιο, ώστε ηεφαπτομένητης C f στο M(ξ,f(ξ))ναείναιπαράλληληστονάξονατων x. Ερωτηση 56. Να διατυπώσετε το θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού και να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του. Απαντηση Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) τότευπάρχειένα,τουλάχιστον, ξ (α,β)τέτοιο,ώστε: f (ξ) = f(β) f(α) β α. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ (α, β) τέτοιο, ώ- στεηεφαπτομένητηςγραφικήςπαράστασηςτης fστοσημείο M(ξ,f(ξ))ναείναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ. Ερωτηση 57. Νααποδείξετεότιαν f είναιμιασυνάρτησηορισμένησεένα διάστημα Δ και η fείναισυνεχήςστοδκαι f (x) = 0γιακάθεεσωτερικόσημείο xτουδ, τότεηfείναισταθερήσεόλοτοδιάστημαδ.

½ Απαντηση Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε x 1,x 2 ισχύει f(x 1 ) = f(x 2 ).Πράγματι Αν x 1 = x 2,τότεπροφανώς f(x 1 ) = f(x 2 ). Αν x 1 < x 2,τότεστοδιάστημα [x 1,x 2 ]ηf ικανοποιείτιςυποθέσειςτου θεωρήματοςμέσηςτιμής.επομένως,υπάρχει ξ (x 1,x 2 )τέτοιο,ώστε f (ξ) = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 (1) ΕπειδήτοξείναιεσωτερικόσημείοτουΔ,ισχύει f (ξ) = 0,οπότε,λόγω της(1),είναι f(x 1 ) = f(x 2 ). Αν x 2 < x 1,τότεομοίωςαποδεικνύεταιότι f(x 1 ) = f(x 2 ). Σεόλες,λοιπόν,τιςπεριπτώσειςείναι f(x 1 ) = f(x 2 ). Ερωτηση 58. Νααποδείξετεότιανδυοσυναρτήσεις f, gορισμένεςσεένα διάστημα Δ και οι f,gείναισυνεχείςστοδκαι f (x) = g (x)γιακάθεεσωτερικόσημείο xτουδ, τότευπάρχεισταθερά cτέτοια,ώστεγιακάθε x ναισχύει: f(x) = g(x)+c ΑπαντησηΗσυνάρτηση f gείναισυνεχήςστοδκαιγιακάθεεσωτερικό σημείο x ισχύει (f g) (x) = f (x) g (x) = 0.Επομένως,σύμφωναμετο παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση f g είναι σταθερή στο Δ. Άρα, υπάρχει σταθερά cτέτοια,ώστεγιακάθε x ναισχύει f(x) g(x) = c,οπότε f(x) = g(x)+c. Ερωτηση59. Εστωμιασυνάρτηση f,ηοποίαείναισυνεχήςσεέναδιάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι Αν f (x) > 0σεκάθεεσωτερικόσημείο xτουδ,τότεηfείναιγνησίως αύξουσασεόλοτοδ. Αν f (x) < 0σεκάθεεσωτερικόσημείο xτουδ,τότεηfείναιγνησίως φθίνουσασεόλοτοδ. ΑπαντησηΑποδεικνύουμετοθεώρημαστηνπερίπτωσηπουείναι f (x) > 0. Εστω x 1,x 2 με x 1 < x 2. Θαδείξουμεότι f(x 1 ) < f(x 2 ). Πράγματι,στο διάστημα [x 1,x 2 ]ηf ικανοποιείτιςπροϋποθέσειςτουθεωρήματοςμέσηςτιμής. Επομένως,υπάρχει ξ (x 1,x 2 )τέτοιο,ώστε f (ξ) = f(x2) f(x1) x 2 x 1 οπότεέχουμε f(x 2 ) f(x 1 ) = f (ξ)(x 2 x 1 ). Επειδή f (ξ) > 0και x 2 x 1 > 0,έχουμε f(x 2 ) f(x 1 ) > 0,οπότε f(x 1 ) < f(x 2 ). Στηνπερίπτωσηπουείναι f (x) < 0εργαζόμαστεαναλόγως.

½ Ερωτηση 60. Πως ορίζεται η θέση τοπικού μεγίστου και τοπικού ελαχίστου μίας συνάρτησης f; ΑπαντησηΜιασυνάρτηση f,μεπεδίοορισμούα,θαλέμεότιπαρουσιάζει στο x 0 Aτοπικόμέγιστο(αντιστοίχως:τοπικόελάχιστο),ότανυπάρχει δ > 0, τέτοιοώστε f(x) f(x 0 )(αντιστοίχως f(x) f(x 0 ))γιακάθε x A (x 0 δ,x 0 +δ).το x 0 λέγεταιθέσηήσημείοτοπικούμεγίστου,ενώτο f(x 0 )τοπικό μέγιστο(αντιστοίχως τοπικό ελάχιστο), της f. Ερωτηση 61. Να αποδείξετε το θεώρημα του Fermat: Εστω μια συνάρτηση f ορισμένησ έναδιάστημαδκαιx 0 έναεσωτερικόσημείοτουδ.ανηfπαρουσιάζει τοπικόακρότατοστο x 0 καιείναιπαραγωγίσιμηστοσημείοαυτό,τότε f (x 0 ) = 0. ΑπαντησηΑςυποθέσουμεότιηfπαρουσιάζειστο x 0 τοπικόμέγιστο.επειδή το x 0 είναιεσωτερικόσημείοτουδκαιηfπαρουσιάζεισ αυτότοπικόμέγιστο, υπάρχει δ > 0τέτοιο,ώστε (x 0 δ,x 0 +δ) και f(x) f(x 0 ),γιακάθε x (x 0 δ,x 0 +δ)(1) Επειδή,επιπλέον,ηfείναιπαραγωγίσιμηστο x 0,ισχύει Επομένως, f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) = lim x x + 0 f(x) f(x 0 ) αν x (x 0 δ,x 0 ),τότε,λόγωτης(1),θαείναι f(x) f(x0) 0,οπότεθα έχουμε f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0) 0 (2) αν x (x 0,x 0 +δ),τότε,λόγωτης(1),θαείναι f(x) f(x0) 0,οπότεθα έχουμε f (x 0 ) = lim x x + 0 f(x) f(x 0) 0 (3) Ετσι,απότις(2)και(3)έχουμε f (x 0 ) = 0.Ηαπόδειξηγιατοπικόελάχιστοείναι ανάλογη. Ερωτηση 62. Εστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεσηίσωςένασημείοτουx 0,στοοποίοόμωςηfείναισυνεχής.Νααποδείξετε ότι: 1.Αν f (x) > 0στο (α,x 0 )και f (x) < 0στο (x 0,β),τότετο f(x 0 )είναι τοπικόμέγιστοτης f.

½ 2.Ανηf (x)διατηρείπρόσημοστο (α,x 0 ) (x 0,β),τότετο f(x 0 )δενείναι τοπικόακρότατοκαιηfείναιγνησίωςμονότονηστο (α,β). Απαντηση 1.Επειδή f (x) > 0γιακάθε x (α,x 0 )καιηfείναισυνεχήςστο x 0,ηf είναιγνησίωςαύξουσαστο (α,x 0 ]. Ετσιέχουμε f(x) f(x 0 ) γιακάθε x (α,x 0 ] (1) Επειδή f (x) < 0γιακάθε x (x 0,β)καιηfείναισυνεχήςστο x 0,ηf είναιγνησίωςφθίνουσαστο [x 0,β). Ετσιέχουμε: f(x) f(x 0 ) γιακάθε x [x 0,β) (2) Επομένως, λόγω των(1) και(2), ισχύει: f(x) f(x 0 ) γιακάθε x (α,β) πουσημαίνειότιτο f(x 0 )είναιμέγιστοτης f στο (α,β)καιάρατοπικό μέγιστο αυτής. 2. Εστωότι f (x) > 0,γιακάθε x (α,x 0 ) (x 0,β) Επειδήηf είναισυνεχήςστο x 0 θαείναιγνησίωςαύξουσασεκάθεένα απόταδιαστήματα (α,x 0 ]και [x 0,β). Επομένως,για x 1 < x 0 < x 2 ισχύει f(x 1 ) < f(x 0 ) < f(x 2 ).Άρατο f(x 0 )δενείναιτοπικόακρότατοτης f.θα δείξουμε,τώρα,ότιηfείναιγνησίωςαύξουσαστο (α,β).πράγματι,έστω x 1,x 2 (α,β)με x 1 < x 2. Αν x 1,x 2 (α,x 0 ],επειδήηfείναιγνησίωςαύξουσαστο (α,x 0 ],θα ισχύει f(x 1 ) < f(x 2 ). Αν x 1,x 2 [x 0,β),επειδήηfείναιγνησίωςαύξουσαστο [x 0,β),θα ισχύει f(x 1 ) < f(x 2 ). Τέλος,αν x 1 < x 0 < x 2,τότεόπωςείδαμε f(x 1 ) < f(x 0 ) < f(x 2 ). Επομένως,σεόλεςτιςπεριπτώσειςισχύει f(x 1 ) < f(x 2 ),οπότεηf είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β). Ομοίως,αν f (x) < 0γιακάθε x (α,x 0 ) (x 0,β). Ερωτηση 63. Πότε μία συνάρτηση f θα λέγεται κυρτή(αντιστοίχως κοίλη) σε έναδιάστημαδ; ΑπαντησηΑνείναισυνεχήςστοΔκαιπαραγωγίσιμηστοεσωτερικότουΔκαιη f είναιγνησίωςαύξουσα(αντιστοίχως:γνησίωςφθίνουσα)στοεσωτερικότουδ. Ερωτηση 64. Εστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεσηίσωςένασημείοτου x 0.Πότετοσημείο A(x 0,f(x 0 ))ονομάζεταισημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f;

½ ΑπαντησηΤοσημείο A(x 0,f(x 0 ))ονομάζεταισημείοκαμπήςτηςγραφικής παράστασης της f αν ισχύει: η fείναικυρτήστο (α,x 0 )καικοίληστο (x 0,β),ήαντιστρόφως,και η C f έχειεφαπτομένηστοσημείο A(x 0,f(x 0 )). Ερωτηση 65. Πότε η ευθεία x = x 0 λέγεταικατακόρυφηασύμπτωτητης γραφικής παράστασης της f; Απαντηση Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim f(x), lim f(x)είναι + ή x x + 0 x x 0,τότεηευθεία x = x 0 λέγεταικατακόρυφηασύμπτωτητηςγραφικήςπαράστασηςτης f. Ερωτηση66.Πότεηευθεία y = lλέγεταιοριζόντιαασύμπτωτητηςγραφικής παράστασηςτης fστο + (αντιστοίχωςστο ); Απαντηση Αν ισχύει lim f(x) = l(αντιστοίχως lim f(x) = l)) x + x Ερωτηση 67. Πότεηευθεία y = λx + βλέγεταιασύμπτωτητηςγραφικής παράστασης της f στο + (αντιστοίχως στο ); Απαντηση Αν ισχύει lim [f(x) (λx+β)] = 0,(αντιστοίχως lim [f(x) x + x (λx+β)] = 0) Ερωτηση 68. Αν ευθεία y = λx+β είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της fστο +,αντιστοίχωςστο ποιεςσχέσειςμαςδίνουντα λ,β; lim x + lim x Απαντηση f(x) x = λ και lim x + [f(x) λx] = βαντιστοίχως f(x) x = λκαι lim x [f(x) λx] = β Ερωτηση 69. Να διατυπώσετε τους κανόνες του de l Hospital. Απαντηση Μορφή 0 0 Αν lim f(x) = 0, lim g(x) = 0,x 0 R {, + }καιυπάρχει f το lim (x) f(x) g (x)(πεπερασμένοήάπειρο),τότε: lim g(x) = lim f (x) g (x). Μορφή + + Αν lim f(x) = +, lim g(x) = +,x 0 R {, + } f καιυπάρχειτο lim (x) g (x)(πεπερασμένοήάπειρο),τότε: f(x) lim g(x) = lim f (x) g (x). Ερωτηση 70. Εστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζεταιπαράγουσατης fστοδ;

½ Απαντηση Ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει F (x) = f(x),γιακάθε x. Ερωτηση 71. Εστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετεότιαν Fείναιμιαπαράγουσατης fστοδ,τότε όλεςοισυναρτήσειςτηςμορφής G(x) = F(x)+c, c Rείναιπαράγουσες της fστοδκαι κάθεάλληπαράγουσα Gτης fστοδπαίρνειτημορφή G(x) = F(x) +c, c R Απαντηση Κάθεσυνάρτησητηςμορφής G(x) = F(x) + c, όπου c R, είναιμια παράγουσατης f στοδαφού G (x) = (F(x) + c) = F (x) = f(x)για κάθε x. Εστω Gείναιμιαάλληπαράγουσατης f στοδ.τότεγιακάθε x ισχύουν F (x) = f(x)και G (x) = f(x),οπότε G (x) = F (x),γιακάθε x. Άραυπάρχεισταθερά cτέτοια,ώστε G(x) = F(x) + c,γιακάθε x. Ερωτηση 72. Τι ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της f στο Δ; Απαντηση Ονομάζεται το σύνολο όλων των παραγουσών της συνάρτησης f στο διάστημαδκαισυμβολίζεται f(x)dx. Ερωτηση73. Εστω fμιασυνεχήςσυνάρτησησ έναδιάστημα [α,β]και Gμια παράγουσατης fστο [α,β].νααποδείξετεότι: β α f(t)dt = G(β) G(α) ΑπαντησηΗσυνάρτηση F(x) = x α f(t)dtείναιμιαπαράγουσατης f στο [α,β]. ΕπειδήκαιηGείναιμιαπαράγουσατης f στο [α,β],θαυπάρχει c R τέτοιο, ώστε G(x) = F(x)+c (1) Απότην(1),για x = α,έχουμε G(α) = F(α)+c = α α f(t)dt+c = c οπότε c = G(α). Επομένως, G(x) = F(x) + G(α),οπότε,για x = β,έχουμε G(β) = F(β)+G(α) = β α f(t)dt+g(α)καιάρα β f(t)dt = G(β) G(α) α

½ Ερωτηση 74. Εστω δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [α, β] με f(x) g(x) 0γιακάθε x [α,β]καιωτοχωρίοπουπερικλείεταιαπότις γραφικέςπαραστάσειςτων f,gκαιτιςευθείες x = ακαι x = β. Νααποδείξετε ότιγιατοεμβαδόνε(ω)τουωισχύει E(Ω) = β α (f(x) g(x))dx. Απαντηση Παρατηρούμε ότι E(Ω) = E(Ω 1 ) E(Ω 2 ) = β α f(x)dx Επομένως: E(Ω) = β α (f(x) g(x))dx β α g(x)dx = β α (f(x) g(x))dx Ερωτηση75. Εστωδυοσυναρτήσεις fκαι g,συνεχείςστοδιάστημα [α,β]με f (x) g(x)γιακάθε x [α,β]καιωτοχωρίοπουπερικλείεταιαπότιςγραφικές παραστάσειςτων f,gκαιτιςευθείες x = ακαι x = β. Νααποδείξετεότιγιατο εμβαδόνε(ω)τουωισχύει E(Ω) = β α (f(x) g(x))dx. Απαντηση Πράγματι, επειδή οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο [α, β], θα υπάρχειαριθμός c Rτέτοιοςώστε f(x) + c g(x) + c 0,γιακάθε x [α,β].είναιφανερόότιτοχωρίοω(σχ.α)έχειτοίδιοεμβαδόνμετοχωρίο Ω (Σχ. β). Επομένως,έχουμε: E(Ω) = E(Ω ) = β α [(f(x)+c) (g(x)+c)]dx = β α (f(x) g(x))dx. Άρα E(Ω) = β α ((x) g(x))dx.

ÉÖ Ñ ÈÖÓØ Å ÖÓII ½ Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21) Προταση 1. Ενας μιγαδικός είναι πραγματικός αν και μόνο αν είναι ίσος με τον συζυγή του. Αποδειξη:Αν z = α+βi, α,β Rτότε z z = 2βiκαιεπομένως z R β = 0 z z = 0 z = z Προταση 2. Αν μία συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ένα ανοικτό διάστημα (σ 1,σ 2 )έχειτηνιδιότητα lim f (x) =, lim f (x) = + τότετοσύνολο x σ 1 x σ 2 τιμώντηςείναιτο R. Αποδειξη: Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε πραγματικός αριθμός y είναι τιμή της f.αφού lim f (x) = ηfθαπαίρνεικαιτιμέςμικρότερεςτου yδηλαδήθα x σ 1 υπάρχει x 1 (σ 1,σ 2 )ώστε f (x 1 ) < y. Αφού lim f (x) = + ηfθαπαίρνει x σ 2 καιτιμέςμεγαλύτερεςτου yδηλαδήθαυπάρχει x 2 (σ 1,σ 2 )ώστε y < f (x 2 ). Προφανώς x 1 x 2 καιαπότοθεώρημαενδιαμέσωντιμώνθαυπάρχει xστο διάστημαμεάκρατα x 1,x 2 τέτοιοώστε f (x) = y.επομένωςοyείναιτιμήτης f. Προταση3. Γιακάθε x > 0είναι καιτο«=»ισχύειμόνογια x = 1. lnx x 1 Αποδειξη: Εφαρμογή του σχολικού βιβλίου. Προταση4. Γιακάθε xείναι καιτο«=»ισχύειμόνογια x = 0. e x x+1 Αποδειξη: Για όλους τους θετικούς αριθμούς x ισχύει lnx x 1 καιτο«=»ισχύειμόνογια x = 1. Επομένως καιγιατονθετικό e x ισχύει lne x e x 1καιτοτο«=»ισχύειμόνογια e x = 1δηλαδή x = 0. Επομένως x e x 1καιτο«=»ισχύειμόνογια x = 0. Άρα e x x+1καιτο«=»ισχύει μόνογια x = 0.

¾¼ Προταση5.Ανοισυναρτήσεις f,gείναιορισμένεςστοδιάστημα καιισχύει g(x) < mγιαόλατα x και lim f (x) = 0τότε lim f (x)g(x) = 0. x σ x σ Αποδειξη: Είναι: Άραγιαόλατα xισχύει και επομένως f (x)g(x) = f (x) g(x) f (x) m f (x)g(x) f (x) m f (x) m f (x)g(x) f (x) m Αλλά αφού lim x σ f (x) = 0είναικαι lim x σ f (x) = 0επομένως lim m f (x) = lim ( m f (x) ) = 0 (1) x σ x σ Από την(1) και το κριτήριο της παρεμβολής συνάγουμε ότι lim f (x)g(x) = 0 x σ Προταση6. Ησυνάρτηση x έχειγια x 0παράγωγο x x = x x ενώστο 0 δεν παραγωγίζεται. Αποδειξη:Τοότιδενπαραγωγίζεταιστο0είναιγνωστό. Επίσηςγια x > 0 είναι ( x ) = (x) = 1 = x x = x x. Ακόμηγια x < 0είναι ( x ) = ( x) = 1 = x x = x x. Άραγια x 0είναι ( x ) = x x x και προφανώς ισχύει x = x x διότι x 2 = x 2. Προταση7. Αν f : [α,β] Rσυνεχήςκαι f (α)f (β) 0τότεηfέχειμία τουλάχιστον ρίζα στο [α, β]. Αποδειξη: Αφού ισχύει f (α)f (β) 0 ή θα είναι f (α)f (β) < 0 είτε f (α)f (β) = 0. Αν f (α)f (β) < 0τότεαπότοθεώρηματου Bolzanoηfέχειμίατουλάχιστονρίζαστο (α,β)καιεπομένωςστο [α,β]. Αν f (α)f (β) = 0τότεήf (α) = 0είτε f (β) = 0. Άραηf έχειμία τουλάχιστονρίζαστο {α,β}καιεπομένωςστο [α,β]σεκάθεπερίπτωσηη fέχειμίατουλάχιστονρίζαστο [α,β]. Προταση8.Ανηfείναιγνησίωςαύξουσατότετακοινάσημείατωνγραφικών παραστάσεωντης f καιτηςαντίστροφήςτης f 1,εφ όσονυπάρχουν,ανήκουν στηνευθεία y = x. Αποδειξη: Εστω M (α,β)ένασημείοπουανήκεικαιστην C f και C f 1. Θα ισχύει f (α) = βκαι f (β) = α. Θαδείξουμεότιτο Mανήκεικαιστην y = x δηλαδήότι α = β. Ανείναι α βτότεήθαείναι α < βείτε β < α. Στηνπρώτηπερίπτωση θαέχουμε f (α) < f (β)δηλαδή β < α(άτοπο).στηδεύτερηπερίπτωσηέχουμε ότι f (β) < f (α)δηλαδή α < β(άτοπο). Άρααποκλείεταιναείναι α βκαι απομένειότι α = β.

¾½ Προταση9. Εστω f : [ α,α] Rσυνεχής. 1.Ανηfείναιάρτιατότε α α f (x)dx = 2 α 0 f (x)dx 2.Ανηfείναιπεριττήτότε α α f (x)dx = 0 Αποδειξη: Είναι α α f (x)dx = 0 α f (x)dx+ α 0 f (x)dx = u= x 0 α f ( u)du+ α 0 f (x)dx = α 0 f ( x)dx+ α 0 f (x)dx Οτανηfείναιάρτιατότετότε f ( x) = f (x)και α 0 f ( x)dx+ α 0 f (x)dx = α 0 f (x)dx+ α 0 f (x)dx = 2 α 0 f (x)dx. Οτανηfείναιπεριττήτότε f ( x) = f (x)και α 0 f ( x)dx + α α 0 f (x)dx+ α 0 f (x)dx = 0 Προταση10. Ησυνάρτηση xlnx xείναιμίαπαράγουσατης lnx. 0 f (x)dx = Αποδειξη: Προφανώςισχύει (xlnx x) = (xlnx) (x) = (x) lnx + x(lnx) (x) = lnx+x 1 x 1 = lnx Προταση11. (εϕx) = 1+εϕ 2 x Αποδειξη: Είναι (εϕx) = 1 συν 2 x καιαπόγνωστήσχέσητηςτριγωνομετρίας 1 είναι συν 2 x = 1+εϕ2 x. Προταση12. Με z Cισχύει z 2 = z 2 ανκαιμόνοαν z R. Αποδειξη: Εστω z = α + βi. Είναι z 2 = z 2 α 2 + β 2 = (α+βi) 2 α 2 +β 2 = α 2 β 2 +2αβi (α 2 +β 2 = α 2 β 2 και 2αβ = 0) (2β 2 = 0και αβ = 0) β = 0 z R Προταση13. Εστωότιισχύειf (x) g(x)κοντάστοσ.ισχύουνταεπόμενα: lim f (x) = + lim g(x) = + x σ x σ lim g(x) = lim f (x) = x σ x σ Αιτιολογηση: Πρόκειται για άμεση συνέπεια του ορισμού του ορίου. Ισχύει κατ αναλογία με τις ιδιότητες των πεπερασμένων ορίων½ Προταση 14. Ανγιατιςσυναρτήσεις f, gπουείναιορισμένεςκαισυνεχείς στοδιάστημα [α,β]ισχύει f (x) g(x)γιαόλατα xκαι f gτότε β α f (x)dx > β α g(x)dx. Αποδειξη: Γιατηνσυνάρτηση = f gισχύει (x) 0γιαόλατα xκαι ½ к ÕÓÐ ÐÓ ÖÕ Ø Ð ½ 0.Επομένως β α (x)dx > 0απότηνοποίαέχουμε β α (f (x) g(x))dx > 0 άρακαι β α f (x)dx β α g(x)dx > 0απότηνοποίαπροκύπτειότι β α f (x)dx > β α g(x)dx.

¾¾ Προταση 15. Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα τότε μεταξύ δύο οποιωνδήποτε διαφορετικών ριζών της f βρίσκεται μία τουλάχιστον ρίζατηςπαραγώγουτης f. Αποδειξη: Εστω ρ 1 < ρ 2 δύορίζεςτης fστο. Η fείναιπαραγωγίσιμη στοδιάστημα [ρ 1,ρ 2 ]καιισχύει f (ρ 1 ) = f (ρ 2 ) = 0.Ικανοποιούνταιεπομένωςοι προϋποθέσειςτουθεωρήματοςτου Rolleάραθαυπάρχει ξμε ρ 1 < ξ < ρ 2 τέτοιο ώστε f (ξ) = 0. Προταση 16. Ανηf είναιγνησίωςαύξουσακαι f (x 1 ) < f (x 2 )τότεείναι x 1 < x 2. Αποδειξη: Γιατους x 1,x 2 υπάρχουνταενδεχόμενα: x 1 = x 2, x 1 > x 2 και x 1 < x 2. Τοπρώτομαςοδηγείστοάτοποσυμπέρασμα f (x 1 ) = f (x 2 ). Το δεύτερο,σεσυνδυασμόμετοότιηfείναιγνησίωςαύξουσαμαςοδηγείστοεπίσης άτοποσυμπέρασμα f (x 1 ) > f (x 2 ). Άρααναγκαστικάθαισχύει x 1 < x 2. Προταση 17. Μία γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μία ρίζα. Αποδειξη: Εστω f μία γνησίως μονότονη συνάρτηση. Τότε η f είναι γνησίως αύξουσαήγνησίωςφθίνουσακαισεκάθεπερίπτωσηείναι1-1.αν ρ 1,ρ 2 είναιρίζες της fτότε f (ρ 1 ) = f (ρ 2 ) = 0καιαπότηνσχέση f (ρ 1 ) = f (ρ 2 )συνάγουμεότι ρ 1 = ρ 2.Επομένωςηfέχειτοπολύμίαρίζα. Προταση 18. Ανηf είναιγνησίωςαύξουσατότεκαιηf 1 είναιγνησίως αύξουσα. Αποδειξη: Εστω y 1,y 2 D f 1 τέτοιαώστε y 1 < y 2. Θαδείξουμεότι f 1 (y 1 ) < f 1 (y 2 ). Θαυπάρχουν x 1,x 2 D f έτοιαώστε f (x 1 ) = y 1 και f (x 2 ) = y 2 θαείναιδε f 1 (y 1 ) = x 1 και f 1 (y 2 ) = x 2. Ξέρουμεότι f (x 1 ) < f (x 2 )καιθέλουμε x 1 < x 2. Ηαπόδειξησυμπληρώνεταιεπιχειρηματολογώντας όπως ακριβώς στην πρόταση(16.). Προταση19. Αν z = ρ 0τότε z = ρ2 z. Αποδειξη: Αφού z = 0είναικαι z 0. Εχουμετώρα: z = ρ z 2 = ρ 2 z z = ρ 2 z = ρ2 z. Προταση20. Αν z Cμε z / Rτότε z 3 = 1 z 2 +z +1 = 0 z = 1 2 ± i 3 2 Αποδειξη: z 3 = 1 z 3 1 = 0 z 3 1 3 = 0 (z 1) ( z 2 +z +1 ) = 0 z/ R z 2 +z +1 = 0 (EΠIΛYOYME) z = 1 2 ± i 3 2 Προταση21.Οιπαραγωγίσιμεςσυναρτήσειςf : R Rμετηνιδιότηταf = f είναιακριβώςεκείνεςτηςμορφής f (x) = ce x όπου c Rσταθερά. Αποδειξη: Εφαρμογή του σχολικού βιβλίου.

¾ Προταση22. Αν lim x σ f (x) = 0τότε lim x σ f (x) = 0. Αποδειξη:Απότηνανισότητα A A A έχουμεότιγιακάθε xισχύει f (x) f (x) f (x) Είναι lim f (x) = lim ( f (x) ) = 0καιαπότοκριτήριοτηςπαρεμβολήςέχουμε x σ x σ ότι lim f (x) = 0. x σ Προταση 23. Ανγιαμίαπαραγωγίσιμησυνάρτηση f ισχύει f (x) 0για κάθεεσωτερικόσημείο xτου τότεηfείναιαύξουσαστο Αποδειξη: Είναι όμοια με την ανάλογη απόδειξη του σχολικού βιβλίου για την περίπτωση όπου η παράγωγος είναι θετική. Το μόνο που αλλάζει είναι η τελευταία γραμμή: «Επειδή f (ξ) 0και x 2 x 1 > 0,έχουμε f (x 2 ) f(x 1 ) 0οπότε f (x 1 ) f (x 2 )» Προταση 24. Μία γνησίως μονότονη συνάρτηση f ορισμένη σε ένα ανοικτό διάστημα δεν έχει ακρότατα. Αποδειξη: Ας υποθέσουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα (η περίπτωση όπου η f είναι γνησίως φθίνουσα αντιμετωπίζεται αναλόγως). Αν πάρουμε ένα οποιοδήποτεσημείο x 0. Γιακάθε δ > 0τοσύνολο (x 0 δ,x 0 +δ) περιέχειένατουλάχιστον x 1 < x 0 καιένατουλάχιστον x 2 > x 0. Λόγωτης μονοτονίαςθαείναι f (x 1 ) < f (x 0 ) < f (x 2 ). Άραδενυπάρχει δ > 0ώστε γιαόλατα x (x 0 δ,x 0 +δ)ναισχύει f (x) f (x 0 )είτεγιαόλατα x (x 0 δ,x 0 +δ)ναισχύει f (x) f (x 0 ). Άρακανένα x 0 δεμπορείνα είναι θέση τοπικού ακροτάτου.