Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 8. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8. klase 8.. Vai eksistē tāda kvadrātfukcija y = ax + bx + c, kurai vielaikus ir spēkā šādi trīs osacījumi: ja x =, tad y = 7; ja x = 5, tad y = 8; ja x = 9, tad y = 9? 8.. Dotas 4 aritmētiskās progresijas. To difereces ir attiecīgi, 4, 5 u 6. Pierādīt, ka var atrast tādu aturālu skaitli, kas epieder evieai o šīm progresijām. 8.. a) Vai var atrast tādu aturālu skaitli, kas vieāds ar sešu dažādu savu dalītāju summu? b) Vai var atrast tādu aturālu skaitli, kas vieāds ar 988 dažādu savu dalītāju summu? (Apskatām tikai pozitīvus dalītājus; puktos a) u b) rua iet par dažādiem skaitļiem.) 8.4. Sauksim divus trijstūru par gadrīz vieādiem, ja viea trijstūra divas malas u leņķis pret pirmo o tām attiecīgi vieādi ar trjstūra divām malām u leņķi pret pirmo o tām. Doti trijstūri. Ziāms, ka pirmais gadrīz vieāds ar otru, otrais gadrīz vieāds ar trešo,, ( - )-ais gadrīz vieāds ar -to. Bez tam ziāms, ka pirmais trijstūris līdzīgs -tajam. Vai pirmais trijstūris oteikti vieāds ar -to? 8.5. Divi spēlētāji pēc kārtas iekrāso rūtiņas kvadrātā, kas sastāv o 8 8rūtiņām. Pirmais spēlētājs ar katru savu gājieu okrāso melā krāsā divas rūtiņas ar kopēju malu, bet otrais ar katru savu gājieu okrāso baltā krāsā vieu rūtiņu (vieu u to pašu rūtiņu spēles gaitā var okrāsot vairākas reizes). Sākumā visas rūtiņas ir baltas. Vai otrais spēlētājs var paākt, lai pēc katra viņa gājiea katrā kvadrātā ar izmēriem 5 5 rūtiņas vismaz viea stūra rūtiņa būtu balta? 9. klase
8.6. Skaitļu virkē a, a, a, K pastāv sakarība a + = a a ( =,, 4, ). Ziāms, ka tās pirmie m locekļi ir pozitīvi. Kāda ir lielākā iespējamā m vērtība? 8.7. Dots, ka ABCD ir izliekts četrstūris. Paralelograma divas virsotes atrodas malu AB u CD viduspuktos, bet divas citas virsotes uz malām BC u AD. Pierādīt, ka paralelograma laukums ir divas reizes mazāks par ABCD laukumu. 8.8. Skaitļu virkes x x ; ; K u y y ; ; K tiek veidotas šādi: ; x ; y 4 x ; ; ; = y = x+ = x y y+ = y, ja = ; ; ; 5 5 Pierādīt, ka evies o šo virkņu locekļiem av lielāks par. 8.9. Dots, ka aturāls skaitlis. Pierādīt, ka kvadrātu var sadalīt kvadrātos tā, lai eviea taise, kas paralēla kvadrāta malām, ekrustotu vairāk ekā dalījumā iegūtos kvadrātus. (Saka, ka taise krusto kvadrātu, ja tā iet caur šī kvadrāta iekšēju puktu.) 8.0. Nuļļu u vieiieku virki sauc par k-uiversālu, ja tā satur kā fragmetus visas iespējamās uļļu u vieiieku virkes garumā k (varbūt dažas o tām vairākas reizes). Piemēram, virke 000 ir -uiversāla, jo tā satur fragmetus 00, 0, 0,. a) Kāds ir mazākais iespējamais 4-uiversālas virkes garums? b) Kāds ir mazākais iespējamais k-uiversālas virkes garums? (Virkes garums ir tajā ietilpstošo ciparu skaits.) 0. klase 8.. a) Vai var atrast tādus x u y, ka vielaikus ir spēkā evieādības si x > si y u cos x > cos y? b) Vai var atrast tādus x u y, ka vielaikus ir spēkā evieādības si x > si y u cos x > cos y? 8.. Pierādīt, ka 0 5 dalās ar 9. 8.. Izliektā četrstūrī ABCD pukts O ir diagoāļu krustpukts. Dots, ka ( AO + BO + CO ) AB BC + CD + DA = + + DO. Pierādīt, ka vai u ABCD
diagoāles ir savstarpēji perpedikulāras, vai arī vismaz viea o tām puktā O dalās uz pusēm. 8.4. Doti 0 skaitļi. Neviea skaitļa modulis av mazāks par visu 9 pārējo skaitļu summas moduli. Pierādīt, ka visu 0 skaitļu summa ir 0. 8.5. Dots, ka 0 < x < π u 0 < < y. Pierādīt, ka ( si x) y < si( xy).. klase + m m m + 8.6. Vai tiesa, ka katrā platleņķa trijstūrī pastāv evieādība m + m + m p, kur m, m, m -- mediāu garumi, bet p pusperimetrs? 8.7. Pierādīt evieādību cos( + y) + cos x + cos y + 0 x. 8.8. Dots, ka u 5 sākas ar vieu u to pašu ciparu ( aturāls skaitlis). Kas tas var būt par ciparu? 8.9. Aprēķiāt x lim a dx log x, ja a >, a aturāls skaitlis. (Paskaidrojums: ar y apzīmē lielāko veselo skaitli, kas epārsiedz y; ar y apzīmē mazāko veselo skaitli, kas av mazāks par y.) 8.0. Dots, ka x a + y b + z c + y a = z b = x c = a + b + c =. Pierādīt, ka vieādojumu sistēmai eksistē atrisiājums. PAPILDSACENSĪBAS PAR VIETU REPUBLIKAS IZLASĒ 8. u 9. Klases
8.. Vai piecu pēc kārtas ņemtu aturālu skaitļu reiziājums var būt aturāla skaitļa kvadrāts? 8.. Izliekta -stūra D perimetrs ir P. Savieojot pēc kārtas D malu viduspuktus, iegūstam izliektu daudzstūri D ar perimetru P. Kādas vērtības var pieņemt attiecība P? P 8.. Dots reālu skaitļu komplekts < a, a, K, a >. Ar vieu gājieu atļauts izvēlēties patvaļīgu skaitli α u o dotā komplekta iegūt komplektu < α a, α a, K, α a >. Kāds ir mazākais gājieu skaits, ar kuru o jebkura komplekta oteikti var iegūt komplektu < 0, 0, K, 0 >? 8.4. Riņķa līijas iekšpusē atrodas piecstūris ABCDE, kura visu malu garumi ir vieādi. Malas pagariātas līdz krustpuktiem ar riņķa līiju. Malas AB pagariājums aiz B, BC pagariājums aiz C, CD pagariājums aiz D, DE pagariājums aiz E, EA pagariājums aiz A okrāsoti zili; pieci pārējie pagariājumi sarkai. Pierādīt, ka zilo pagariājumu summa vieāda ar sarkao pagariājumu summu. 8.5. Katrs o aturālu skaitļu komplektiem < a a, K, a >, < b, b, K, b ;, 50 50 > c, c, K, c > ; < d, d, K d > pa reizei satur katru o skaitļiem,,,, 50. < 50, 50 Vai var pastāvēt vieādība a b + ab + L + a50b50 = ( cd + cd + L+ c50d50 )? 0. klase 8.6. Kuram o aturāliem skaitļiem o līdz 988 ir vislielākais dalītāju skaits? 8.7. Dots, ka, aturāls skaitlis. Pierādīt, ka var kostruēt slēgtu lauztu līiju ar posmiem, kuras virsotes sakrīt ar regulāra -stūra virsotēm u starp kuras posmiem var atrast tieši vieu pāri savstarpēji paralēlu posmu. 8.8. Tiek aplūkotas burtu a u b virkītes a, b, ab, bab, abbab, bababbab, (katru ākamo virkīti, sākot ar trešo, iegūst, uzrakstot abas iepriekšējās vieu otrai blakus). Pierādīt, ka evieu o šīm virkītēm evar iegūt, uzrakstot blakus vieu otrai kādu citu virkīti dažas (vairāk ekā vieu) reizes. 4
8.9. Caur puktu O riņķa līijas iekšpusē ovilkts epāra skaits hordu. Tās sadala pilo leņķi pie O vieādās daļās. Šo hordu ogriežņi o O līdz riņķa līijai pamīšus okrāsoti sarkaā u zilā krāsā. Pierādīt, ka visu zilo ogriežņu summa vieāda ar visu sarkao ogriežņu summu. 8.0. Skaitļu virke defiēta šādi: a = k, k aturāls skaitlis, a = k a + + k + a + k k + a a, ja. Pierādīt, ka visi šīs virkes ( ) ( ) ( ) ( ) + + locekļi ir aturāli skaitļi.. klase 8.. Atrisiāt aturālos skaitļos vieādojumu 5 = x y z 7 + 4. 8.. Doti 49 aturāli skaitļi. Tie kaut ka sadalīti grupās. Pierādīt, ka vieā o tām var atrast divus dažādus skaitļus, kuru summa arī pieder pie šīs pašas grupas. 8.. Atrisiāt vieādojumu si x si x L si x + cos x cos x L cos x =. 8.4. Uz riņķa līijas atzīmēti 6 pukti. Izvēlamies o tiem u atrodam to veidotā trijstūra mediāu krustpuktu u pārējo puktu veidotā trijstūra augstumu krustpuktu. Pieņemot, ka šie krustpukti ir dažādi, ovelkam caur tiem taisi. Pierādīt, ka visas 0 šādi ovilktās taises iet caur vieu puktu. 8.5. Ap galdu sēž desmit spēlētāji. Katram priekšā ir krūze, kurā ieliets litrs piea. Visi spēlētāji pēc kārtas met pa 5 spēļu kauliņiem. Ja spēlētāja uzmesto skaitļu summa ir s, tad viņš katram citam spēlētājam ielej o savas krūzes s tā piea daudzuma, kas šim spēlētājam krūzē jau ir. Ziāms, ka pēc tam, kad visi spēlētāji pa reizei metuši kauliņus u lējuši pieu, visiem atkal krūzēs bija pa vieam litram. Pēdējais spēlētājs uzmeta summa. Kādas summas uzmeta pārējie spēlētāji? 5