Aritmetică. 1 Mulţimea numerelor naturale

Aritmetică. 1 Mulţimea numerelor naturale Calitatea unei propoziţii matematice de a fi adevărată (sau falsă) se demonstrează (numim atunci propoziţia respectivă teoremă, lemă, propoziţie, corolar, etc) sau este acceptată ca atare (în acest caz propoziţia respectivă se numeşte axiomă). De mici ştim că 1 + 1 = 2 este o propoziţie matematică adevărată. Poate fi demonstrată această propoziţie sau trebuie să o considerăm ca pe o axiomă? Alte câteva propoziţii matematice adevărate cu referinţă la numerele naturale: proprietăţile adunării, respectiv înmulţirii numerelor naturale, inducţia matematică. Putem demonstra aceste propoziţii? În cadrul acestui curs vom încerca să răspundem la aceste întrebări. Pentru aceasta este necesară o introducere riguroasă, axiomatică a noţiunii de număr natural. Necesitatea si utilitatea introducerii axiomatice a mulţimii numerelor naturale apare evidentă abia in secolul XIX. La începutul secolului XIX, Carl Friedrich Gauss propune o abordare filozofică numerelor, considerând ca numerele sunt concepte distincte de spaţiu şi timp, în sensul că sunt o creaţie pură a minţii umane. În 1858, Julius Wilhelm Richard Dedekind propune o metodă de construcţie a numerelor reale plecând de la cele raţionale, metodă cunoscută astăzi ca metoda tăieturilor a lui Dedekind. Numerele raţionale la rândul lor pot fi construite plecând de la cele întregi, iar acestea folosind numerele naturale. În acest mod ajungem la întrebări precum: ce este un număr natural? cum poate fi introdusă mulţimea numerelor naturale? În 1860, Hermann Grassmann evidenţiază rolul noţiunii de succesor si a inducţiei în introducerea noţiunii de număr natural şi în demonstrarea unor proprietăţi ale acestora. În 1888, Richard Dedekind propune o colecţie de axiome pentru numerele naturale, iar în 1889 Giuseppe Peano publica o versiune mai riguroasă acestor axiome în Arithmetices principia, nova methodo exposita. 1

În cadrul acestui curs vom introduce noţiune de număr natural cu ajutorul sistemului axiomatic al lui Peano (cunscut si ca Peano-Dedekind). Pentru acest sistem axiomatic noţiunile primare sunt: noţiunea de număr natural (un element al unei mulţimi N) şi numărul natural zero (un element fixat al mulţimii N) iar relaţia primară este cea de succesor. În continuare presupunem cunoscute elemente de teoria mulţimilor, noţiunile de funcţie, funcţie injectivă, surjectivă, bijectivă. Fie N o mulţime nevidă, 0 N un element fixat al său şi o funcţie σ : N N, pentru care sunt satisfăcute următoarele axiome (Axiomele lui Peano): P1: 0 / σ(n) (0 nu este succesorul unui număr natural); P2: σ este aplicaţie injectivă (la elemente distincte ale mulţimii N corespund succesori distincţi); P3: (Axioma inducţiei) dacă M N astfel încât 0 M şi m M = σ(m) M atunci M = N. Convenim să numim tripleta (N, 0, σ) un sistem Peano. În acest context, N se numeşte mulţime a numerelor naturale, elementul fixat 0 N se numeşte elementul zero (sau nul), iar funcţia σ se numeşte funcţie de succesiune. Principiul I al inducţiei matematice. (PI) Fie P (n) o propoziţie ce poate fi asociată cu orice număr natural n. Dacă P (0) este adevărată şi pentru un număr natural arbitrar m avem că P (m) adevărată implică P (σ(m)) adevărată, atunci P (n) este adevărată pentru orice număr natural n. PI al inducţiei matematice este o consecinţă imediată a axiomei inducţiei matematice (P3). Propoziţia 1 Fie (N, 0, σ) un sistem Peano. Orice număr natural nenul este succesorul unui număr natural. Demonstraţie. Notăm M := {0} σ(n). Vom demonstra, folosind axioma inducţie, P3, că M = N. Avem că 0 M. Pentru m M, m 0 se obţine că m σ(n) N. În consecinţă σ(m) σ(n) M. Conform P3 se obţine M = N şi deci orice număr natural nenul este succesorul unui număr natural. În continuare demonstrăm că oricare două sisteme Peano sunt echivalente, ceea ce implică unicitatea (modulo această echivalenţă) mulţimii numerelor naturale. Teorema 1 (Teorema recursiei) Fie (N, 0, σ) un sistem Peano. Pentru orice tripletă (A, θ, λ), există o unică funcţie f : N A astfel încât f(0) = θ şi următoarea diagramă este comutativă: σ N N f f (1) λ A A 2

Demonstraţie. Existenţa funcţiei f: Vom construi funcţia f ca fiind o relaţie particulară, deci o submulţime a produsului cartezian N A. Pentru aceasta vom considera o familie F de submulţimi ale produsuli cartezian N A care satisfac cerinţele teoremei. Funcţia f căutată va fi un element minimal al lui F. Considerăm F = {U N A, (0, θ) U si (n, a) U = (σ(n), λ(a)) U}. Deoarece N A F se obţine că familia F este nevidă. În plus, pentru orice familie {U i, i I}, U i F, i I implică i I U i F. Vom nota f = U F U şi deci f F. Vom arăta mai întâi că f este funcţie, ceea ce înseamnă că satisface următoarele două condiţii: i) n N, a A astfel încât (n, a) f; ii) dacă (n, a) f şi (n, a ) f atunci a = a. Vom demonstra condiţia i) folosind axioma inducţiei. Vom nota M = {n N, a A, a.i.(n, a) f}. Deoarece f F avem că (0, θ) f şi deci 0 M. În plus pentru n M avem că există a A, astfel încât (n, a) f. Folosind din nou condiţia f F se obţine (σ(n), λ(a)) f şi deci σ(n) M. Folosind axioma inducţiei rezultă că M = N. Vom demonstra condiţia ii) folosind din nou axioma inducţiei. Vom nota M = {n N, (n, a) f si (n, a ) f = a = a }. Prin reducere la absurd presupunem că 0 / M. Cum (0, θ) f obţinem că a θ a.î. (0, a) f. Considerăm f 1 = f \ {(0, a)}, deci f 1 f, f 1 f. Arătăm acum că f 1 F. Deoarece (0, θ) f şi θ a rezultă (0, θ) f 1. În plus pentru (n, b) f 1 f, deoarece σ(n) 0, se obţine (σ(n), λ(b)) f 1. În consecinţă f 1 F, ceea ce contrazice minimalitatea lui f. Am demonstrat astfel că (0, θ) f cu θ unic, ceea ce înseamnă că 0 M. Fie n M, deci există un unic b A a.î. (n, b) f. Obţinem mai întâi că (σ(n), λ(b)) f. Prin reducere la absurd vom presupune că σ(n) / M. Există deci c λ(b) a.î. (σ(n), c) f. Vom considera f 2 = f \ {(σ(n), c)}, deci f 2 f, f 2 f. Arătăm acum că f 2 F. Deoarece (0, θ) f şi σ(n) 0 rezultă (0, θ) f 2. Fie acum (m, s) f 2 f, de unde rezultă că (σ(m), λ(s)) f. Avem două posibilităţi. Dacă σ(m) σ(n), se obţine că m n şi deci (σ(m), λ(s)) f 2. Dacă σ(m) = σ(n) atunci m = n, adică (m, s) = (n, s) f şi din unicitatea lui b avem s = b. Prin urmare (σ(m), λ(s)) = (σ(n), λ(b) (σ(n), c) şi deci (σ(m), λ(s)) f 2. În consecinţă f 2 F, ceea ce contrazice minimalitatea lui f. Prin urmare presupunerea 3

făcută este falsă şi deci σ(n) M. Folosind axioma inducţiei matematice se obţine M = N şi în acest mod am demonstrat că f este o funcţie. Folosind notaţiile uzuale pentru funcţii, condiţia (0, θ) f se scrie f(0) = θ, iar condiţia (n, a) f = (σ(n), λ(a)) f se scrie f(σ(n)) = λ(f(n)) şi deci diagrama (1) este comutativă. Aceasta inseamnă că funcţia f satisface condiţiile Teoremei. Unicitatea funcţie f: Fie g : N A astfel încât g(0) = θ şi diagrama (1) este comutativă. Vom nota M = {n N, f(n) = g(n)}. Prin definiţie 0 M. Dacă m M atunci f(m) = g(m) ceea ce implică λ(f(m)) = λ(g(m)). Din comutativitatea diagramei (1) pentru ambele funcţii f şi g avem f(σ(m)) = g(σ(m)) şi deci σ(m) M. Conform cu P3 obţinem M = N ceea ce implică g = f. Teorema 2 Fie (N, 0, σ) un sistem Peano. Pentru orice sistem Peano (A, θ, λ), există o unică bijecţie f : N A astfel încât f(0) = θ şi diagrama (1) este comutativă. Demonstraţie. Existenţa şi unicitatea funcţiei f a fost demonstrată în Teorema recursiei. Vom demonstra acum bijectivitatea acestei funcţii. Demontrăm mai întâi surjectivitatea. Notăm B := {a A, n N a.i. a = f(n)}. Deoarece f(0) = θ avem că θ B. Pentru a B există n N astfel încât a = f(n). Obţinem că λ(a) = λ(f(n)) = f(σ(n)) ceea ce înseamnă că λ(a) B. Conform P3, pentru sistemul (A, θ, λ), obţinem B = A ceea ce înseamnă că f este surjectivă. Pentru a demonstra injectivitatea funcţiei f vom nota B = {a A, unic n N a.i. a = f(n)}. Mai întâi arătăm că θ B. Ştim că θ = f(0). Prin reducere la absurd presupunem că există n 0, n N astfel încât θ = f(n). Deoarece n 0, conform Propoziţiei 1, m N astfel încât n = σ(m) şi deci θ = f(σ(m)) = λ(f(m)) ceea ce contrazice P1 pentru sistemul (A, θ, λ). Considerăm a B ceea ce înseamnă că există un unic n N astfel încât a = f(n). Se obţine imediat că λ(a) = λ(f(n)) = f(σ(n)). Vrem să demostrăm că λ(a) B, ceea ce se reduce la a arăta unicitatea lui σ(n). Fie u N astfel ca λ(a) = f(u). Dacă u = 0 atunci λ(a) = f(0) = θ şi se contrazice P1. În consecinţă u 0 şi conform Propoziţiei (1), u = σ(m). Avem deci λ(a) = f(σ(m) = λ(f(m)) = λ(f(n)) şi folosind injectivitatea aplicaţiei λ se obţine a = f(m) = f(n). Folosind unicitatea lui n astfel încât a = f(n) se obţine m = n şi σ(n) = σ(m) = u, deci σ(n) este unic cu proprietatea λ(a) = f(σ(n)). Observaţie. Teorema precedentă afirmă că orice două sisteme Peano sunt echivalente modulo o bijecţie. În consecinţă, până la o bijecţie, mulţimea numerelor naturale este unică. Pentru un sistem Peano (N, 0, σ) vom nota 1 = σ(0), 2 = σ(1), 3 = σ(2),..., ceea ce înseamnă că putem scrie N = {0, 1, 2, 3, 4,...}. Pentru moment 2 este un simbol pentru a desemna succesorul lui 1, care la rândul să este succesorul lui 0, numărul 4

natural fixat iniţial. Vom arăta (demonstra) că putem defini o operaţie + pe N, faţă de care are loc 1 + 1 = 2. Vom nota N := N\{0} = σ(n) mulţimea numerelor naturale nenule. Exerciţiul 1 Să se demonstreze că dacă A este o mulţime finită şi f : A A este o funcţie, atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1) f este injectivă; 2) f este surjectivă; 3) f este bijectivă. Propoziţia 2 Dacă (N, 0, σ) este un sistem Peano, atunci N este o mulţime infinită. Demonstraţie. Să presupunem prin reducere la absurd că mulţimea numerelor naturale este finită. Deoarece funcţia σ : N N este injectivă, conform Exerciţiului 1 se obţine că σ este surjectivă, ceea ce contrazice P1: 0 / σ(n). Exerciţiul 2 Fie (N, 0, σ) un sistem Peano şi m N un element fixat. Notăm N m = {n N, k N, n = (σ} {{ σ} )(m)} = {m, σ(m), σ 2 (m) = (σ σ)(m),...} k ori şi σ m restricţia aplicaţiei σ la submulţimea N m N. Să se demonstreze că (N m, m, σ m ) este un sistem Peano. Observaţie. Principiul I al inducţiei matematice poate fi reformulat corespunzător sistemului Peano (N m, m, σ m ). Fie P (n) o propoziţie matematică ce poate fi asociată cu orice element n N m. Dacă P (m) este adevărată şi dacă pentru k N m avem P (k) adevărată implică P (σ(k)) adevărată atunci P (n) este adevărată pentru orice n N m. 2 Operaţii binare pe N 2.1 Operaţia de adunare a numerelor naturale Teorema 3 Considerăm (N, 0, σ) un sistem Peano. Există o unică lege de compoziţie ϕ : N N N (pentru care vom folosi notaţia ϕ(m, n) =: m + n) care satisface următoarele axiome: A1: ϕ(m, 0) = m (m + 0 = m), m N; 5

A2: ϕ(m, σ(n)) = σ(ϕ(m, n)) (m + σ(n) = σ(m + n)), m, n N. Demonstraţie. Existenţa: Pentru m N fixat, considerăm tripleta (N, m, σ). Conform Teoremei Recursiei, există o unică funcţie ϕ m : N N astfel încât ϕ m (0) = m şi următoarea diagramă este comutativă: N ϕ m N σ σ N ϕ m N (2) Comutativitatea diagramei (2) este echivalentă cu ϕ m (σ(n)) = σ(ϕ m (n)). Funcţia ϕ m este translaţia cu m unităţi, sau compunerea succesivă a lui σ de m ori. Definim ϕ(m, n) = ϕ m (n) =: m+n. Axiomele A1 şi A2 sunt satisfăcute datorită proprietăţilor lui ϕ m. Unicitatea: Presupunem că, pe lângă aplicaţia ϕ definită anterior, mai avem o aplicaţie ϕ : N N N pentru care axiomele A1 şi A2 sunt satisfăcute: ϕ(m, 0) = m şi ϕ(m, σ(n)) = σ( ϕ(m, n)). Pentru m N fixat, definim ϕ m : N N, ϕ m (n) = ϕ(m, n). Avem că ϕ m (0) = m şi ϕ m σ = σ ϕ m. Din unicitatea lui ϕ m se obţine ϕ m = ϕ m, m N şi deci ϕ(m, n) = ϕ(m, n). Observaţie. Folosind notaţiile şi proprietăţile anterioare, avem n + 1 = n + σ(0) = σ(n + 0) = σ(n). Pentru n = 1 obţinem o demonstraţie a propoziţiei matematice 1 + 1 = σ(1) = 2. Exerciţiul 3 Demonstraţi următoarele proprietăţi ale adunării: A3: 0 + n = n, n N; A4: σ(m) + n = σ(m + n) = m + σ(n), m, n N; A5: asociativitate: (m + n) + p = m + (n + p), m, n, p N; A6: comutativitate: m + n = n + m, m, n N; A7: reducere: n + p = m + p = n = m, p + n = p + m = n = m. A8: n + m = 0 = n = 0 şi m = 0; A8: n + m = 1 = (n = 0 şi m = 1) sau (n = 1 şi m = 0). Pentru A7: prin reducere la absurd presupunem că n 0 sau m 0. Dacă n 0 atunci există u N astfel încât n = σ(u). Avem 0 = m + n = σ(u) + n = σ(u + n) ceea ce contrazice P1. 6

Exerciţiul 4 Pentru un sistem Peano (N, 0, σ) şi m N considerăm operaţia de adunare ϕ m (n) = m + n definită conform Teoremei 3. Notăm mn = {n N, k N, n = (ϕ m ϕ }{{ m )(0)} = {0, m, m + m, m + (m + m),...}. } k ori Să se demonstreze că dacă m 0 atunci (mn, 0, ϕ m ) este un sistem Peano. Observaţie. Conform proprietăţilor A5, A1, A3, A6 obţinem că (N, +) este un monoid comutativ, al cărui element neutru este 0. 2.2 Operaţia de înmulţire a numerelor naturale Teorema 4 Considerăm (N, 0, σ) un sistem Peano. Există o unică lege de compoziţie ψ : N N N, pentru care vom folosi notaţia ψ(m, n) =: m n şi pe care o numim înmulţirea numerelor naturale, care satisface următoarele axiome: M1: ψ(m, 0) = 0 sau (m 0 = 0), m N; M2: ψ(m, σ(n)) = ψ(m, n) + m sau (m σ(n) = m n + m), m, n N. Demonstraţie. Demonstraţia este asemănătoare cu cea a Teoremei 3. Fie sistemul Peano (N, 0, σ) şi pentru m N fixat considerăm tripleta (mn, 0, ϕ m ). Conform Teoremei Recursiei, există o funcţie unică ψ m : N mn pentru care ψ m (0) = 0 şi următoarea diagramă este comutativă: N ψ m mn σ ϕm N ψ m mn (3) Operaţia de înmulţire se defineşte astfel: ψ : N N N, m n := ψ(m, n) = ψ m (n). Proprietatea M2 este echivalentă cu comutativitatea diagramei (3). Exerciţiul 5 Demonstraţi următoarele proprietăţi ale înmulţirii: M3: 0 n = 0, n N; M4: σ(m) n = m n + n, m, n N; M5: asociativitate: (m n) p = m (n p), m, n, p N; M6: element neutru: m 1 = 1 m = m, m N; 7

M7: comutativitate: m n = n m, m, n N; M8: simplificare: n p = m p (p 0) = n = m, p n = p m (p 0) = n = m; M9: distributivitate: n (m+p) = n m+n p, (m+n) p = m p+n p, m, n, p N. Propoziţia 3 Următoarele proprietăţi sunt adevărate. M10: Dacă n m = 0 atunci n = 0 sau m = 0. M11: Dacă n m = 1 atunci n = 1 şi m = 1. Demonstraţie. M10: Prin reducere la absurd presupunem n 0 şi m 0. Există deci u, v N astfel încât m = σ(u), n = σ(v). Atunci 0 = m n = σ(u) σ(v) = u σ(v) + σ(v) = u v + u + σ(v) = σ(uv + u + v), ceea ce contrazice P1. M11: Deoarece mn = 1 0 obţinem n 0 şi m 0. Există deci u, v N astfel încât m = σ(u), n = σ(v). Atunci 1 = σ(0) = mn = σ(uv + u + v). Folosind injectivitatea funcţiei σ avem uv + u + v = 0. Folosind Propoziţia?? rezultă că u = v = 0 şi deci m = n = 1. 3 Relaţia de ordine pe N Definiţia 1 Pentru două numere naturale m, n N spunem că: 1: m precede n, sau că m este mai mic decât n, şi scriem m < n, dacă u N, u 0 astfel încât m + u = n; mai scriu n > m şi citesc n este mai mare decât m; 2: m precede sau este egal cu n, sau că m este mai mic sau egal decât n, şi scriem m n, dacă u N astfel încât m + u = n; mai scriu n m şi citesc n este mai mare sau egal decât m. Următoarele proprietăţi se obţin imediat din definiţia precedentă: 1) n N avem: n 0 şi σ(n) > n; în plus n N dacă şi numai dacă n > 0. 2) m < n dacă şi numai dacă σ(m) n. Exerciţiul 6 Demonstraţi următoarele proprietăţi ale relaţiei de ordine pe mulţimea numerelor naturale. O1: relaţia < este tranzitivă; 8

O2: relaţia este o relaţie de ordine pe N: este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă. O3: compatibilitatea cu adunarea: m < n dacă şi numai dacă pentru p N avem m + p < n + p; O4: compatibilitatea cu înmulţirea: m < n dacă şi numai dacă pentru p N, p 0 avem m p < n p; O5: (Proprietatea lui Arhimede) n N, m N t N astfel încât m < n t. Principiul II al inducţiei matematice. (PII) Fie P (n) o propoziţie ce poate fi asociată cu orice număr natural. Dacă P (0) este adevărată şi pentru un număr natural arbitrar m avem P (r) adevărată pentru orice r < m implică P (m) adevărată, atunci P (n) este adevărată pentru orice număr natural n. Teorema 5 (Principiul trihotomiei, PT) Pentru două numere naturale m şi n una şi numai una din următoarele relaţii are loc: m < n, m = n sau m > n. Demonstraţie. Se demonstrează mai întâi, prin reducere la absurd, că nu pot avea loc simultan două dintre aceste relaţii. Demonstrăm apoi că are loc cel puţin una dintre aceste relaţii. Fixăm m N şi demonstrăm, prin inducţie după n, că n N are loc una din următoarele relaţii: m < n, m = n sau m > n. Observaţie. Folosind principiul trihotomiei se obţine că pentru orice două numere naturale m şi n una din următoarele relaţii are loc: m n sau n m. Aceasta înseamnă că relaţia este o relaţie de ordine totală pe N, cu alte cuvinte (N, ) este total ordonată. Teorema 6 (Principiul bunei ordonări, PBO) (N, ) este o mulţime bine ordonată. Aceasta înseamnă că orice submulţime nevidă a mulţimii numerelor naturale admite un prim element: A N, A, a A astfel încât a x, x A. Demonstraţie. Vom nota cu M = {n N, n x, x A}, mulţimea minoranţilor mulţimii A. Avem că 0 M. Dacă pentru orice număr natural n din M am obţine că σ(n) M atunci conform axiomei inducţiei am avea că M = N. Nu este însă posibil să avem M = N deoarece pentru un element fixat x A avem că x < σ(x) şi deci σ(x) / M. Există deci a M astfel încât σ(a) / M. În continuare trebuie demonstrat că a A, ceea ce va însemna că a cel mai mic element al mulţimii A. Demonstraţia se face prin reducere la absurd. Presupunem că a / A ceea ce înseamnă că a < x, 9

x A de unde se obţine σ(a) x, x A. Aceasta înseamnă că σ(a) M ceea ce contrazice alegerea lui a. Obervăm că în demostraţie s-a folosit pricipiul I al inducţiei matemtice. Cu alte cuvinte am demostrat că P I = P BO. Vom demonstra imediat că aceste două principii sunt de fapt echivalente. Lema 1 Orice şir descrescător de numere naturale conţine un număr finit de termeni distincţi. Demonstraţie. Fie α : N N un şir descrescător de numere naturale. Notăm A = {α(n), n N}. Deoarece A conform PBO există un cel mai mic element a A. Dacă a = α(m) atunci α(m) α(n), n N. Deoarece şirul este descrescător atunci n m avem α(n) α(m) = a. Se obţine că pentru n m avem α(n) = α(m) = a. Aceasta înseamnă că şirul dat conţine cel mult m + 1 termeni distincţi, α(0), α(1),..., α(m). Teorema 7 Orice mulţime de numere naturale nevidă şi mărginită admite un ultim element. Demonstraţie. Fie M N o mulţime nevidă şi mărginită. Aceasta înseamnă că: b N astfel încât x b, x M. Considerăm mulţimea M = {y N, x y, x M}. Deoarece mulţimea M este nevidă (b M ), conform PBO obţinem că M are un prim element a. Este imediat că a M şi x a, x M, ceea ce înseamnă că a este ultim element pentru M. Teorema 8 (Echivalenţa principiilor inducţiei matematice cu principiul bunei ordonări) Principiile I şi II ale inducţiei matematice sunt echivalente cu principiul bunei ordonări. Demonstraţie. Se demonstrează P I = P BO = P II = P I. Implicaţia P I = P BO a fost făcută în cadrul demonstraţiei PBO. Vom demonstra implicaţia P BO = P II. Considerăm P (n) o propoziţie matematică ce poate fi asociată unui număr natural oarecare n astfel încât: 1) P (0) este adevărată; 2) dacă P (r) este adevărată pentru orice r < m atunci P (m) este adevărată. Trebuie să demonstrăm că P (n) este adevărată n N. Pentru aceasta vom nota A = {n N, P (n) nu este adevarata} şi demonstrăm că A =. Prin reducere la absurd presupunem că A. Conform PBO există un cel mai mic element a A, 10

ceea ce înseamnă că a A, a x, x A. Pentru l < a avem l / A şi deci P (l) este adevărată. Conform ipotezei obţinem P (a) adevărată şi deci a / A ceea ce este fals. Pentru a încheia demonstraţia teoremei rămâne să demonstrăm P II = P I (exerciţiu). 4 Sisteme de numeraţie Teorema 9 (Teorema împărţirii cu rest - TIR) Pentru orice două numere naturale a şi b, b 0, există şi sunt unice numerele naturale q şi r astfel încât a = bq + r, cu r < b. Demonstraţie. Existenţa: Pentru b N, b 0, fixat, demonstrăm prin inducţie matematică după a N. Dacă a = 0, atunci q = 0, r = 0 < b, a = 0 = b 0 + 0. Presupunem că q, r N, r < b astfel încât a = b q + r. Atunci σ(a) = b q + σ(r). Dacă σ(r) < b atunci r = σ(r) şi q = q. Dacă σ(r) = b atunci σ(a) = b q + b = b σ(q). Considerăm q = σ(q) şi r = 0 < b. Unicitatea: Presupunem că avem a = b q + r şi a = b q + r. Dacă presupunem q < q atunci u 0 astfel încât q = q +u, de unde obţinem b (q +u)+r = b q +r. Reducând termenii asemenea r = b u + r b ceea ce este fals. Asemănător se obţine că nu putem avea q < q şi deci q = q ceea ce antrenează imediat r = r. Exerciţiul 7 Fie numerele naturale a şi b, b 0. Notăm M a,b = {y N, x N a.i. y + bx = a}. Să se demonstreze că M a,b şi că r = minm a,b este restul împărţirii lui a la b. Teorema 10 (Algoritmul de scriere a unui număr natural într-o bază) Fie u N, u > 1. Pentru orice număr natural nenul a, există şi sunt unice: numărul natural n, n numere naturale nenule q 0, q 1,..., q n 1, şi n + 1 numere naturale a 0, a 1,..., a n 1, a n cu a i < u, i {0, 1,..., n}, a n 0 astfel încât a = u q 0 + a 0, a 0 < u; q 0 = u q 1 + a 1, a 1 < u; ; q n 2 = u q n 1 + a n 1, a n 1 < u; q n 1 = a n, 1 a n < u. Demonstraţie. Algoritmul constă în împărţiri succesive ale numărului dat şi câturilor obţinute la u până obţinem un cât mai mic decât u. 11

Dacă a < u, atunci n = 0 şi a 0 = a. Dacă a u, conform teoremei împărţirii cu rest a = uq 0 + a 0, a 0 < u, q 0 1. În plus avem a = uq 0 + a 0 uq 0 > q 0. Aplicăm procedeul lui q 0 şi obţinem: q 0 = uq 1 + a 1, a 1 < u, q 1 1, a > q 0 > q 1. Vom nota A = {a, q 0, q 1,... q i 0}. Deoarece A, conform PBO, q n 1 prim element al mulţimii A. Cum q n < q n 1 obţinem în mod necesar q n = 0 şi q n 1 = u q n +a n = a n, cu a n < u. Deoarece q n 1 0 obţinem q n 1 1 şi deci 1 a n < u. Teorema 11 (Scrierea unui număr natural într-o bază) Fie u N, u > 1 şi a N. Atunci există şi sunt unice numerele naturale: n, a 0, a 1,..., a n ; a i < u, i = 0, n, a n 1, astfel încât a = a n u n + a n 1 u n 1 + + a 1 u + a 0. Numărul u se numeşte baza sistemului de numeraţie, numerele a 0, a 1,..., a n se numesc cifrele numărului a în baza u, pentru care folosim scrierea a = a n a n 1 a 1 a 0 (u). Demonstraţie. Existenţa scrierii: Conform Teoremei 10 avem: a = u q 0 + a 0, a 0 < u; u q 0 = u q 1 + a 1, a 1 < u; ; u n 1 q n 2 = u q n 1 + a n 1, a n 1 < u; u n q n 1 = a n, 1 a n < u. Adunând termen cu termen şi efectuând reducerile obţinem a = a n u n + a n 1 u n 1 + + a 1 u + a 0. Unicitatea scrierii: Vom demonstra, mai întâi, prin inducţie că P (n) : a n u n + a n 1 u n 1 + + a 1 u + a 0 < u n+1 este adevărată n N, cu a i < u, i = 0, n. Pentru n = 0, P (0) : a 0 < u este adevărată. Presupunem P (n) adevărată. Atunci n+1 n P (n+1) : a i u i = a n+1 u n+1 + a i u i < a n+1 u n+1 +u n+1 = (a n+1 +1)u n+1 u n+2. i=0 i=0 Pentru ultima egalitate am folosit că a n+1 < u implică a n+1 + 1 u. Conform PI al inducţiei matematice se obţine că P (n) este adevărată pentru n N. Presupunem că pentru numărul a mai avem o scriere a = m j=0 c ju j, c j < u, 1 c m < u. Demonstrăm mai întâi că n = m. Prin reducere la absurd să presupunem că n < m. Aceasta implică n + 1 m şi conform rezultatului demonstrat anterior avem: n m a = a i u i < u n+1 u m c j u j = a i=0 ceea ce este fals. În mod asemănător se arată că nu putem avea m < n. Conform principiului trihotomiei obţinem n = m. 12 j=0

Demonstrăm acum, prin inducţie, că propoziţia: n n P (n) : a i u i = c i u i = a i = b i, i = 1, n i=0 i=0 este adevărată pentru orice n N. Pentru n = 0 se obţine a 0 = b 0 şi deci P (0) este adevărată. Presupunem că P (n) este adevărată pentru un număr natural n. Folosind faptul că a 0 < u, c 0 < u şi unicitatea scrierii pentru Teorema împărţirii cu rest, din egalitatea a 0 + u(a 1 + a 2 u + a n+1 u n ) = c 0 + u(c 1 + c 2 u + + c n+1 u n ) se obţine: a 0 = c 0 şi a 1 +a 2 u+ a n+1 u n = c 1 +c 2 u+ +c n+1 u n. Folosind ipoteza inductivă, din ultima egalitate se obţine: a 1 = c 1,..., a n+1 = c n+1 şi deci P (n + 1) este adevărată. Folosind principiul întâi al inducţiei matematice se obţine că P (n) este adevărată n N. Teorema 12 (Relaţia de ordine pentru două numere scrise într-o bază) Fie a = a n a n 1 a 1 a 0 (u) şi b = b mb m 1 b 1 b 0 (u). Atunci a < b dacă şi numai dacă: sau n < m (b are mai multe cifre decât a) sau n = m şi k {0, 1, 2,..., n} astfel încât a n = b n,..., a k+1 = b k+1, a k < b k. Demonstraţie. Vom demonstra doar implicaţie reciprocă. Dacă n < m atunci n + 1 m şi deci u n+1 u m. Acestea implică a = n i=0 a iu i < u n+1 u m < m j=0 b ju j = b, ceea ce înseamnă că a < b. Să presupunem că n = m şi k {0, 1,..., n} astfel încât a j = b j pentru j {n,..., k + 1} şi a k < b k. Se obţine atunci a k + 1 b k şi deci a 0 +a 1 u+ +a k 1 u k 1 +a k u k < (1+a k )u k b k u k b 0 +b 1 u+ +b k 1 u k 1 +b k u k. Adunând ambilor membri ai inegalităţii precedente a k+1 u k+1 + +a n u n = b k+1 u k+1 + b n u n se obţine a < b. Justificaţi implicaţia directă. 5 Relaţia de divizibilitate pe N Definiţia 2 Date două numere naturale a şi b, spunem că a divide b dacă există numărul natural c astfel încât b = a c. Dacă a divide b vom nota a b sau b. a, mai citesc a este divizor al lui b, b se divide la a sau că b este multiplu de a. Dacă a 0 şi a b avem că restul împărţirii lui b la a este zero. Proprietăţi imediate ale relaţiei de divizibilitate: 13

D1: 0 b b = 0; a 0, a N; D2: 1 b şi b b, b N ; b 1 b = 1; b N, b 1 admite cel puţin doi divizori; D3: relaţia de divizibilitate este o relaţie de ordine (parţială) pe N: reflexivă: a a, a N; antisimetrică: a b şi b a = a = b; tranzitivă: a b şi b c = a c; nu este totală: a, b N astfel încât a b şi b a. D4: a b = a b, relaţia de divizibilitate este compatibilă cu relaţia de ordine; D5: a b şi a c = a b x + c y, x, y N, relaţia de divizibilitate este compatibilă cu operaţiile de adunare şi înmulţire; D6: a b + c şi a b = a c. Demonstraţie. Vom demonstra doar ultima proprietate pentru cazul a 0. Deoarece: a b + c = u N astfel încât b + c = au a b = v N astfel încât c = av. În mod evident avem b + c b deci au av, a 0, de unde obţinem u v. În consecinţă w N astfel încât u = v + w. Avem b + c = au = a(v + w) = av + aw = av + c. Din ultima egalitate, după reducere, se obţine c = aw cee ce înseamnă că a c. Definiţia 3 1) Un număr natural p se numeşte indecompozabil (sau ireductibil) dacă p 0, p 1 şi singurii săi divizori sunt 1 şi p; 2) Un număr natural se numeşte compus (decompozabil sau reductibil) dacă admite mai mult de doi divizori; 3) Un număr natural p, p 0 şi p 1, se numeşte prim dacă p a b implică p a sau p b. Propoziţia 4 Fie a > 1 un număr natural. 1) Dacă a este decompozabil atunci există b, c N cu 1 < b, c < a astfel încât a = b c. 14

2) Numărul natural a admite un divizor indecompozabil. Demonstraţie. 1) Fie a > 1 un număr natural compus. Aceasta înseamnă, conform definiţiei, că există b / {1, a} astfel încât b a, de unde rezultă 1 1 notăm M = {q N, q > 1, q a}, mulţimea divizorilor lui a. Deoarece a M avem că M şi conform PBO, mulţimea M are un cel mai mic element b. Arătăm că b este indecompozabil. Prin reducere la absurd presupunem că b ar fi decompozabil. Conform primei părţi există numărul natural c, 1 < c 1. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1) p este număr prim; 2) p este număr indecompozabil. Demonstraţie. 1) = 2) Fie p un număr prim despre care presupunem prin reducere la absurd că este decompozabil. Există deci numerele naturale a şi b cu 1 < a, b < p astfel încât p = a b. Aceasta înseamnă că p a b şi cum p este prim obţinem p a sau p b. Dar p = a b şi deci a p şi b p, de unde obţinem p = a sau p = b, ceea ce contrazice faptul că a < p şi b < p. 2) = 1) Fie p un număr indecompozabil despre care presupunem prin reducere la absurd că nu este prim. Folosind PBO, pot presupune că p este cel mai mic număr cu această proprietate. Deoarece p nu este număr prim obţinem că a, b N astfel încât p ab, p a şi p b iar produsul a b este minim cu această proprietate. Vom demonstra acum că a p, conform TIR, a = pq + r, q 1, 0 < r < p. Obţinem ab = pqb + rb de unde rezultă p rb, p b, p r şi rb < ab ceea ce contrazice alegerea perechii (r, b). În consecinţă 1 < a 1 (q 1 deoarece p indecompozabil) astfel încât pq = ab. Deoarece 1 < a < p şi 1 < b < p obţinem pq = ab < pp de unde se obţine q < p. Fie c un divizor indecompozabil al lui q, c q < p. Avem c q ab deci c ab, este indecompozabil şi cum este mai mic decât p, din alegerea lui p (cel mai mic neprim cu proprietaţlie pe care le are şi q) se obţine c număr prim. Deoarece c ab rezultă c a sau c b. Presupunem c a = a = ca 1. Cum ab = pq obţinem ca 1 b = pcq 1 de unde rezultă a 1 b = pq 1, şi deci p a 1 b ceea ce contrazice alegerea perechii (a, b) cu produsul ab minim (a 1 b < ab). 15

În continuare vom folosi doar noţiunea de număr prim pentru a desemna atât numerele prime cât şi pe cele indecompozabile. Teorema 14 (Teorema lui Euclid) Există o infinitate de numere prime. Demonstraţie. Demonstraţia 1 (Euclid) Prin reducere la absurd presupunem că există o mulţime finită de numere prime P = {p 1, p 2,..., p k }. Considerăm numărul N = p 1 p 2 p k + 1. Cum N > 1 există un număr prim p astfel încât p N. Cum p prim rezultă că există i {1, 2,..., k} astfel încât p = p i. Deoarece p N şi p p 1 p 2 p k obţinem că p 1 ceea ce este fals. Demonstraţia 2 Observăm că n N p prim cu p > n (numărul n! + 1 are un divizor prim p şi în mod necesar p > n). Se obţine atunci că pentru orice număr prim p există p prim cu p > p. Ciurul lui Eratostene: O modalitate simplă de a obţine numere prime constă în a scrie numere naturale succesive şi a elimina multiplii numerelor care nu au fost eliminate anterior: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,... Teorema 15 (Teorema Fundamentală a Aritmeticii) Orice număr natural n > 1 admite o scriere unică, până la ordinea factorilor, ca produs finit de numere prime. Demonstraţie. Existenţa scrierii: Notăm M = {n N, n > 1, n nu se poate scrie ca un produs finit de numere indecompozabile}. Dacă prin reducere la absurd presupunem că M, conform PBO, există a un prim element al mulţimii M. Deoarece a nu este prim atunci se poate scrie a = b c, 1 < b, c < a. Rezultă b, c / M şi deci b şi c se pot scrie ca un produs finit de factori primi. Aceasta înseamnă că a are aceeaşi proprietate, ceea ce contrazice a M. Unicitatea scrierii: Presupunem a = p 1 p 2 p n = q 1 q 2 q m. Demonstrăm prin inducţie după n că n = m şi după o eventuală permutare a factorilor p i = q i. Pentru n = 1 avem p 1 = q 1 q 2 q m. Rezultă p 1 q 1 q 2 q m şi deci j {1, 2,..., m} astfel încât p 1 q j. Deoarece q j este indecompozabil rezultă p 1 = q j şi m = n = 1. Presupunem proprietatea adevărată pentru n 1 şi considerăm p 1 p 2 p n = q 1 q 2 q m. Din p n q 1 q 2 q m se obţine p n q m (printr-o eventuală renumerotare). Deoarece q m este indecompozabil obţinem p n = q m şi deci p 1 p 2 p n 1 = q 1 q 2 q m 1. Folosind ipoteza inductivă avem n 1 = m 1 şi după o eventuală renumerotare p i = q i, i {1, 2,..., n 1}. Observaţie. 1) Factorii din descompunerea precedentă pot să coincidă. Vom scrie a = p α 1 1 p α 2 2 p α k, p 1 < p 2 < p k (descompunerea canonica). k 16

2) Fie b = p α 1 1 p α 2 2 p α k k. Atunci a b dacă şi numai dacă a = pβ 1 1 p β 2 2 p β k k, cu 0 β i α i, i {1,..., k}. Criterii de divizibilitate (pentru numere scrise în baza zece) Fie numărul a = a n a 1 a 0(10) = a n 10 n + + a 1 10 + a 0. Atunci numărul a se divide la: CD1) 2, 5 sau 10 dacă şi numai dacă ultima cifră, a 0, are această proprietate; CD2) 2 m, 5 m sau 10 m dacă şi numai dacă numărul format cu ultimele m cifre, a m 1 a 1 a 0, are această proprietate, m 1; CD3) 3 sau 9 dacă şi numai dacă suma cifrelor, n i=0 a i, are această proprietate. Deoarece a = a n (9 + 1) n + + a 1 (9 + 1) + a 0 = 9 m + n i=0 a i atunci 3(9) a 3(9) n i=0 a i. CD4) 11 dacă şi numai dacă 11 n i=0 ( 1)i a i. Deoarece a = a n (11 1) n + + a 1 (11 1) + a 0 = 11 m + n ( 1) i a i i=0 atunci 11 a 11 n i=0 ( 1)i a i. Observaţie Ideile folosite în demonstraţia criteriilor de divizibilitate precedente permit de asemeni să obţinem mai uşor restul împărţirii numărului a = a n a 1 a 0(10) la diverse numere. Astfel, restul împărţirii numărului a la R1) 2 sau 5 este egal cu restul împărţirii ultimei cifre a 0 la 2 sau 5; R2) 2 m sau 5 m este egal cu restul împărţirii numărului format cu ultimele m cifre a m a 1 a 0(10) la 2 m sau 5 m ; R3) 3 sau 9 este egal cu restul împărţirii sumei cifrelor n i=0 a i la 3 sau 9; R4) 11 este egal cu restul împărţirii sumei alternate a cifrelor n i=0 ( 1)i a i la 11. 17

6 Cel mai mare divizor comun Definiţia 4 Spunem că numărul natural d este cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b (scriu d = c.m.m.d.c{a, b} sau d = (a, b)) dacă: 1: d a şi d b; 2: pentru d N avem d a şi d b atunci d d. Teorema 16 (Teorema de existenţă şi unicitate a celui mai mare divizor comun). Pentru orice două numere naturale a şi b există şi este unic cel mai mare divizor comun al lor. Demonstraţie. Existenţa: (Algoritmul lui Euclid) Dacă a = 0 sau b = 0 atunci d = b sau d = a. Presupunem a 0 şi b 0. Aplicăm TIR, există q 0, r 0 a = bq 0 + r 0, 0 r 0 < b. Dacă r 0 = 0 atunci a = bq 0 şi d = (a, b) = b. Dacă r 0 0 aplic din nou TIR pentru b şi r 0. Continuăm procedeul până obţinem un rest nul. b = r 0 q 1 + r 1, 0 < r 1 < r 0 ; ; r n 2 = r n 1 q n + r n, 0 < r n < r n 1 ; r n 1 = r n q n+1. (4) Algoritmul prezentat are un număr finit de paşi deoarece şirul de numere naturale b > r 0 > > r n este strict descrescător. Vom demonstra că r n = (a, b). Deoarece r n r n 1 se obţine r n r i, i şi r n b, r n a. Dacă d a şi d b se obţine d r 0,..., d r n. În consecinţă r n = (a, b). Unicitatea: Fie d şi d numere naturale care satisfac condiţiile 1) şi 2) din Definiţia 4. Obţinem că d d şi apoi d d de unde rezultă d = d. Observaţie 1) Fie numerele a şi b şi r 0, r 1,..., r n obţinute conform algoritmului lui Euclid (4). Atunci (a, b) = (b, r 0 ) = (r 0, r 1 ) = = (r n 1, r n ) = r n. 2) Fie a = p α 1 1 p αn n şi b = p β 1 1 p βn n. Atunci cel mai mare divizor al numerelor a şi b este numărul d = (a, b) = p min{α 1,β 1 } 1 pn min{αn,βn}. Definiţia 5 Spunem că două numere a şi b sunt prime între ele dacă (a, b) = 1. 18

Fie a = p α 1 1 p αn n şi b = p β 1 1 p βn n. Conform observaţiei precedente se obţine că a şi b sunt prime între ele dacă şi numai dacă min{α i, β i } = 0, i {1, 2,..., n}. Proprietăţi: 1) (a, a) = a (idempotenţa); (a, b) = (b, a) (simetria); 2) (a, b) = d = (ac, bc) = dc, a, b, c N; 3) (a, (b, c)) = ((a, b), c), (asociativitatea, permite să definim c.m.m.d.c. pentru mai mult de două numere, astfel putem defini (a, b, c) := (a, (b, c)) a, b, c N); 4) (a, b) = 1 şi (a, c) = 1 (a, bc) = 1; 5) a c, b c, (a, b) = 1 = ab c; 6) (a, b) = d = a = a 1 d, b = b 1 d astfel încât (a 1, b 1 ) = 1; 7) a b c şi (a, b) = 1 = a c. Demonstraţie. 3) Notăm d 1 = (b, c), d 2 = (a, (b, c)) = (a, d 1 ), d 3 = (a, b) şi d 4 = ((a, b), c) = (d 3, c). Pentru a demonstra d 2 = d 4 vom arăta d 2 d 4 şi d 4 d 2. Deoarece d 2 = (a, d 1 ) rezultă d 2 a şi d 2 d 1. Cum d 1 = (a, b) se obţine d 1 a şi d 1 b ceea ce implică d 2 b şi d 2 c. Din d 2 a, d 2 b şi d 3 = (a, b) obţinem d 2 d 3. Folosind d 2 d 3, d 2 c şi d 4 = (d 3, c) se obţine d 2 d 4. În mod asemănător se demonstrează d 4 d 2. 4) Folosind proprietăţile anterioare avem 1 = (a, b) = (a, b(a, c)) = (a, (ab, bc)) = ((a, ab), bc) = (a, bc). 5) Vom arăta că ab c, arătând că (ab, c) = ab. Pentru aceasta avem (ab, c) = (ab, c(a, b)) = (ab, (ac, bc)) = ((ab, ac), bc) = (a(b, c), cb) = (ab, bc) = b(a, c) = ba. Exerciţiul 8 Pentru un număr natural nenul n vom nota cu τ(n) numărul divizorilor naturali ai lui n. 1) Dacă p este un număr prim atunci τ(p k ) = k + 1, k 1. 2) Dacă b şi c sunt numere prime între ele atunci τ(b c) = τ(b) τ(c) (funcţia τ este multiplicativă). 3) Dacă n = p α 1 1 p α k k atunci τ(n) = (α 1 + 1) (α k + 1). Exerciţiul 9 Pentru două numere a, b N, mulţimea D = {d N, d a, d b} este mărginită (de min{a, b}) şi este nevidă (1 D). Există şi este unic un cel mai mare (ultim) element d al mulţimii D. Să se demonstreze că d este cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b. 19

7 Cel mai mic multiplu comun Definiţia 6 Spunem că numărul natural m este cel mai mic multiplu comun al numerelor a şi b (scriu m = c.m.m.m.c{a, b} sau m = [a, b]) dacă: 1) a m, b m; 2) dacă pentru m N avem a m şi b m atunci m m. Teorema 17 (Teorema de existenţă şi unicitate a celui mai mic multiplu comun) Pentru orice două numere naturale a şi b există şi este unic cel mai mic multiplu comun al lor. Demonstraţie. Existenţa: Date numerele naturale a şi b considerăm d = (a, b). Aceasta înseamnă că a = da 1 şi b = db 1, cu (a 1, b 1 ) = 1. Considerăm m = ab 1 = a 1 b = a 1 b 1 d. Este evident că m satisface prima condiţie din Definiţia 6. Pentru a doua condiţie considerăm m astfel încât a m şi b m. Aceasta înseamnă că m = a 1 dx = b 1 dy, deci a 1 x = b 1 y. Din a 1 b 1 y şi (a 1, b 1 ) = 1 rezultă a 1 y şi deci y = a 1 z. Se obţine m = b 1 da 1 z = mz ceea ce implică m m. Demonstraţi unicitatea. Observaţie Fie a = p α 1 1 p αn n şi b = p β 1 1 p βn n. Atunci cel mai mic multiplu comun al numerelor a şi b este numărul m = [a, b] = p max{α 1,β 1 } 1 p max{αn,βn} n. Exerciţiul 10 Pentru două numere a, b N, mulţimea M = {m N, a m, b m} este nevidă (ab M). Există şi este unic un cel mai mic element m al mulţimii M. Să se demonstreze că m este cel mai mic multiplu comun al numerelor a şi b. Proprietăţi: 1) [a, a] = a (idempotenţa); [a, b] = [b, a] (simetria); 2) [a, b] = m = [ac, bc] = mc, a, b, c N; 3) [a, [b, c]] = [[a, b], c], (asociativitatea, permite să definim c.m.m.m.c. pentru mai mult de două numere, astfel putem defini [a, b, c] := [a, [b, c]] a, b, c N); 4) (a, [a, b]) = a şi [a, (a, b)] = a, a, b N (absorbţie); 5) (a, b) [a, b] = a b, a, b N; 6) (a, [b, c]) = [(a, b), (a, c)] şi [a, (b, c)] = ([a, b], [a, c]), a, b, c N (distributivitate); 7) a c şi b c = [a, b] c. 20

8 Mulţimea numerelor întregi Fie N mulţimea numerelor naturale. Pe mulţimea N N definim relaţia prin (m, n) (p, q) dacă m+q = n+p (gândiţi m n = p q, chiar dacă nu am introdus - ). Exerciţiul 11 Să se demonstreze că este o relaţie de echivalenţă pe mulţimea N N. Clasa de echivalenţă corespunzătoare perechii (m, n) se notează (m, n) = {(p, q) N N, (m, n) (p, q)} şi se numeşte număr întreg. Mulţimea claselor de echivalenţă se numeşte mulţimea numerelor întregi şi se notează cu Z. Avem deci Z = N N/. 8.1 Adunarea numerelor întregi Pe mulţimea numerelor întregi se defineşte operaţia binară + : Z Z Z astfel: pentru două numere întregi (m, n) şi (p, q) suma lor este dată de: (m, n) + (p, q) := (m + p, n + q) (gândiţi (m n) + (p q) = (m + p) (n + q)). Trebuie demonstrat mai întâi că această operaţie nu depinde de reprezentanţii cu ajutorul cărora a fost definită. Fie (m, n ) = (m, n) şi (p, q ) = (p, q) ceea ce înseamnă că m + n = n + m şi p + q = q + p. Adunând membru cu membru aceste egalităţi obţinem m + p + n + q = m + p + n + q şi deci (m + p, n + q) = (m + p, n + q ). Exerciţiul 12 Să se demonstreze următoarele proprietăţi ale adunării numerelor întregi: 1) asociativitatea: x + (y + z) = (x + y) + z, x, y, z Z; 2) comutativitatea: x + y = y + x, x, y Z; 3) element neutru: (0, 0) = {(n, n), n N} astfel încât (0, 0)+(m, n) = (m, n), (m, n) Z; 4) element simetrizabil: (m, n) Z, (n, m) Z astfel încât (m, n)+(n, m) = (0, 0). Vom folosi notaţia (m, n) := (n, m). Conform acestor proprietăţi se obţine că (Z, +) este un grup abelian. 21

8.2 Înmulţirea numerelor întregi Pe mulţimea numerelor întregi se defineşte operaţia binară : Z Z Z astfel: pentru două numere întregi (m, n) şi (p, q) produsul lor este dată de: (m, n) (p, q) := (mp + nq, mq + np) (gândiţi (m n) ((p q) = (mp + nq) (np + mq)). La fel ca în cazul operaţiei de adunare se demonstrează că operaţia de înmulţire este bine definită (nu depinde de reprezentanţi). Proprietăţi ale operaţiei de înmulţire: 1) asociativitatea: x (y z) = (x y) z, x, y, z Z; 2) comutativitatea: x y = y x, x, y Z; 3) element neutru: (1, 0) = {(n + 1, n), n N} astfel încât (1, 0) (m, n) = (m, n), (m, n) Z; 4) înmulţirea este distributivă la dreapta şi la stânga faţă de adunare: x (y+z) = x y + x z şi (x + y) z = x z + y z, x, y, z Z; 5) fără divizori ai lui zero: (m, n) (p, q) = (0, 0) = (m, n) = (0, 0) sau (p, q) = (0, 0). Observaţie Conform acestor proprietăţi se obţine că (Z, +, ) este un domeniu de integritate. Dintre proprietăţile enunţate anterior o vom demonstra pe ultima: fie (m, n) şi (p, q) Z astfel încât (m, n) (p, q) = (0, 0). Conform Principiului Trihotomiei avem una şi numai una din următoarele situaţii: m = n, m < n sau n < m. Vom demonstra că oricare din ultimele două posibilităţi implică p = q. Să presupunem m < n, există atunci u N astfel încât m + u = n, ceea ce înseamnă că (m, n) = (0, u). Obţinem atunci (0, u) (p, q) = (0, 0) ceea ce este echivalent cu (uq, up) = (0, 0). În consecinţă up = uq şi cum u 0 obţinem p = q. Cazul n < m se analizează asemănător. 8.3 Relaţia de ordine pe Z Definiţia 7 Fie (m, n) şi (p, q) două numere întregi. Vom spune că (m, n) este mai mic sau egal (mai mic strict) decât (p, q) şi scriem (m, n) (<)(p, q) dacă m + q (<)n + p. Trebuie demontrat mai întâi că relaţia ( < ) nu depinde de reprezentanţi. Proprietăţi ale relaţiei de ordine: 22

1) (m, n) (0, 0) m n u N astfel încât m + u = n (m, n) = (0, u) (0, 0); 2) (m, n) (0, 0) m n v N astfel încât n + v = m (m, n) = (v, 0) (0, 0); 3) este o relaţie de ordine totală (este reflexivă, antinsimetrică, tranzitivă şi totală), faţă de relaţia de ordine pe N pierdem buna ordonare; 4) este compatibilă cu operaţia de adunare: x, y, z Z avem x y x+z y + z; x y şi x y = x + x y + y ; 5) este compatibilă cu operaţia de înmulţire: x, y, z Z pentru z > (0, 0) avem x < y x z < y z; pentru z < (0, 0) avem x < y x z > y z. Vom demonstra ultima proprietate. Fie x = (m, n), y = (p, q) şi z = (r, s). Dacă z = (r, s) < (0, 0) atunci r < s, există u N astfel încât r + u = s şi z = (0, u). Avem următorul şir de echivalenţe x < y m+q < n+p mu+qu < nu+pu (nu, mu) > (qu, pu) x z > y z. Teorema 18 (Principiul trihotomiei pentru numere întregi) Pentru oricare două numere întregi x şi y una şi numai una din următoarele relaţii este adevărată: x < y, x = y sau y < x. Teorema 19 (Teorema de scufundare a mulţimii numerelor naturale în mulţimea numerelor întregi) Funcţia ϕ : N Z, definită prin ϕ(n) = (n, 0) are următoarele proprietăţi: 1) este injectivă; 2) este aditivă (compatibilă cu operaţiile corespunzătoare de adunare): ϕ(m+n) = ϕ(m) + ϕ(n), m, n N; 3) este multiplicativă (compatibilă cu operaţiile corespunzătoare de înmulţire): ϕ(m n) = ϕ(m) ϕ(n), m, n N; 4) este monotonă (compatibilă cu relaţiile corespunzătoare de ordine): m n ϕ(m) ϕ(n). 23

Deoarece ϕ : N ϕ(n) este o bijecţie, în continuare, vom identifica N cu ϕ(n) (spunem că am scufundat mulţimea numerelor naturale în mulţimea numerelor întregi). Aceasta înseamnă că vom identifica numărul natural n cu numărul întreg (n, 0) 0 = (0, 0). Deoarece simetricul la adunare (opusul) numărului întreg (m, n) este (m, n) := (n, m), identificarea n = (n, 0) ne permite să identificăm de asemenea n := (n, 0) = (0, n) 0. Pe baza acestor identificări vom putea descrie elementele mulţimii numerelor întregi astfel: Z = {, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, { }. n, daca n 0, Funcţia modul. Definim : Z N prin n = Următoarele n, daca n 0. proprietăţi ale funcţiei modul sunt imediate: m n = m n ; m + n m + n, m, n Z. Teorema 20 (Teorema împărţirii cu rest în Z) Pentru orice două numere întregi a şi b, b 0, există şi sunt unice numerele întregi q şi r astfel încât a = bq + r şi 0 r < b. Demonstraţie. Existenţa: Pentru numerele naturale a şi b există numerele naturale q şi r astfel încât a = b q + r, cu 0 r < b. Trebuiesc analizate patru cazuri, după cum numerele întregi a şi b sunt pozitive sau nu. Dacă a, b > 0 atunci considerăm q = q şi r = r. Dacă a < 0 şi b > 0 atunci a = bq + r. Avem a = b ( q ) + ( r ). Dacă r = 0 atunci q = q şi r = r = 0. Dacă r 0 avem a = b( q 1) + b r. Considerăm q = q 1 şi r = b r. Deoarece 0 < r 0, b < 0 se analizează în mod asemănător. Unicitatea: Să presupunem că a = bq + r = bq + r, cu 0 r, r < b. Obţinem că r r < b. Deoarece b(q q ) = r r, folosind proprietăţile modulului avem b q q = r r. Dacă prin reducere la absurd presupunem q q atunci q q 1 şi deci r r b, ceea ce contrazice principiul trihotomiei. Exerciţiul 13 Să se demonstreze că singurele subgrupuri ale lui (Z, +) sunt de forma nz. 8.4 Aritmetică pe Z Definiţia 8 Pentru două numere întregi a şi b spunem că a b dacă există c Z astfel încât b = a c (a se numeşte divizor al lui b, b se numeşte multiplu al lui a). Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate. 1) a Z = ±1 a şi a 0; 0 b b = 0; a 1 a = ±1; 24

2) reflexivă: a Z = a a; 3) tranzitivă a b şi b c = a c; 4) a b şi b a = a = ±b (spunem că a şi b sunt asociate în divizibilitate); 5) d a şi d b = d ax + by, x, y Z. Definiţia 9 Un număr a Z \ {±1, 0} se numeşte 1) indecompozabil (ireductibil) dacă singurii divizori ai lui a sunt {±1, ±a}; 2) prim dacă p a b implică p a sau p b. La fel ca şi în cazul mulţimii numerelor naturale avem următoarea teoremă. Teorema 21 Un număr întreg p este indecompozabil dacă şi numai dacă este prim. Cel mai mare divizor comun a două numere întregi Definiţia 10 Pentru două numere întregi a şi b spunem că numărul întreg d este cel mai mare divizor comun al lor (scriu d = cmmdc{a, b} sau d = (a, b)) dacă: 1) d a şi d b; 2) d a şi d b = d d. Observaţie Dacă d şi d sunt cmmdc a două numere întregi a şi b atunci d şi d sunt asociate în divizibilitate (se obţine unicitate dacă cerem ca cmmdc să fie un număr natural). Teorema 22 (Algoritmul lui Euclid de existenţă a cmmdc) Pentru orice numere întregi a şi b există cel mai mare divizor comun. Demonstraţie. Considerăm a, b Z. Dacă b = 0 atunci (a, 0) = a. Dacă b 0 q 0, q 1,..., q n, q n+1, r 0, r 1,..., r n Z astfel încât: a = bq 0 + r 0, 0 < r 0 < b ; b = r 0 q 1 + r 1, 0 < r 1 < r 0 ; r 0 = r 1 q 2 + r 2, 0 < r 2 < r 1 ; ; r n 2 = r n 1 q n + r n, 0 < r n < r n 1 ; r n 1 = r n q n+1. La fel ca şi în cazul numerelor naturale se obţine imediat că d = r n = (a, b). Proprietăţi: 25

1) d = (a, b) dacă şi numai dacă există u, v Z astfel încât d = au + bv şi d este cel mai mic număr nenul cu această proprietate; 2) (a, b i ) = 1, i = 1, n = (a, b 1 b n ) = 1; 3) (a, b) = d = (ac, bc) = dc, c Z; 4) a bc şi (a, c) = 1 = a b; 5) a i b, i = 1, n şi (a i, a j ) = 1, i j = a 1 a n b; 6) (a, b) = d = a = da 1, b = db 1, (a 1, b 1 ) = 1; 7) a b = a b. Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi Definiţia 11 Pentru două numere întregi a şi b spunem că numărul întreg m este cel mai mic multiplu comun al lor (scriu m = cmmmc{a, b} sau m = [a, b]) dacă: 1) a m şi b m; 2) a m şi b m = m m. Observaţie Dacă m şi m sunt cmmmc a două numere întregi a şi b atunci m şi m sunt asociate în divizibilitate (se obţine unicitate dacă cerem ca cmmmc să fie un număr natural). Teorema 23 (De existenţă a cmmmc a două numere întregi) Date două numere întregi a şi b există cel mai mic multiplu comun al lor şi este unic până la asocierea in divizibilitate. 9 Congruenţe Definiţia 12 Fie n un număr natural. Pentru a, b numere întregi spunem că a este congruent cu b modulo n (scriu a b mod n) dacă n a b. Observaţie. Pentru n = 0 relaţia de congruenţă mod 0 este relaţia de egalitate. Pentru n = 1 relaţia de congruenţă mod 1 este relaţia universală. În continuare vom presupune n 2. Proprietăţi ale relaţiei de congruenţă mod n. 1) Congruenţa mod n este o relaţie de echivalenţă pe Z (este reflexivă, simetrică şi tranzitivă). 26

2) Congruenţa mod n este compatibilă cu operaţiile { de adunare şi înmulţire pe x + x Z: dacă x x şi y y (mod n) atunci y + y (mod n) x x y y (mod n). 3) a b (mod n) a c b c (mod n), c Z. 4) a b (mod n) = a m b m (mod n), m N. 5) a b (mod n) şi m n = a b (mod m). 6) a c b c (mod n), (c, n) = 1 = a b (mod n). 7) a c b c (mod n), (c, n) = d = a b (mod n/d). 8) a b (mod m i ), i = 1, k = a b (mod m), m = [m 1, m 2,..., m k ]. Demonstraţie. Vom demonstra proprietăţile 7) şi 8). 7) Deoarece (c, n) = d exisă c 1, n 1 Z astfel încât (c 1, n 1 ) = 1, c = c 1 d şi n = n 1 d. Dacă a c b c (mod n) atunci n c (a b). Aceasta înseamnă că n 1 d c 1 d (a b) = n 1 c 1 (a b). Deoarece (n 1, c 1 ) = 1 din ultima relaţie de divizibilitate se obţine n 1 a b ceea ce implică a b (mod n 1 = n/d). 8) Demonstraţia se face prin inducţie după k. Pentru k = 2 presupunem m 1 a b şi m 2 a b, ceea ce înseamnă că a b = m 1 x = m 2 y. Dacă d = (m 1, m 2 ) atunci există u, v Z astfel încât d = um 1 + vm 2. Înmulţind cu a b avem d(a b) = um 1 m 2 y +vm 2 m 1 x = m 1 m 2 (uy +vx) = [m 1, m 2 ]d(uy +vx). Simplificând cu d se oţine că [m 1, m 2 ] a b. Pentru etapa inductivă se foloseşte un raţionament asemănător. Propoziţia 5 (Criteriu de congruenţă mod n) Două numere întregi a şi b sunt congruente mod n dacă şi numai dacă au acelaşi rest la împărţirea cu n. Demonstraţie. Fie a = nq 1 + r 1 şi b = nq 2 + r 2 cu 0 r 1 < n şi 0 r 2 < n de unde obţinem 0 r 1 r 2 < n. Avem echivalenţele a b (mod n) n a b n r 1 r 2. Folosind inegalitatea 0 r 1 r 2 < n, ultima relaţie de divizibilitate este echivalentă cu r 1 r 2 = 0. Observaţie Singurele subgrupuri ale grupului aditiv (Z, +) sunt de forma nz, n N. Clasele de echivalenţă modulo n sunt clasele relativ la aceste subgrupuri, ceea ce înseamnă că â = a + nz. 27

9.1 Inelul claselor de resturi modulo n Definiţia 13 Clasa de echivalenţă modulo n a numărului întreg a se notează â = {b Z, a b} = a + nz. Vom folosi notaţia Z n := Z/ = Z/nZ pentru mulţimea factor, pe care o numim mulţimea claselor de resturi modulo n. Conform Propoziţiei 5 obţinem că mulţimea claselor de resturi modulo n poate fi explicit scrisă astfel: Z n = {ˆ0, ˆ1,..., n 1}. Definiţia 14 Numerele întregi a 1, a 2,..., a n formează un sistem complet de resturi (scr) modulo n dacă Z n = {â 1, â 2,..., â n }. Teorema 24 (Sisteme complete de resturi modulo n) Fie r 1,..., r n un sistem complet de resturi modulo n şi a, b Z astfel încât (a, n) = 1. Atunci ar 1 +b,..., ar n +b formează un sistem complet de resturi modulo n. Demonstraţie. Trebuie demonstrat că cele n numere ar i + b, i = 1, n nu sunt, două câte două, congruente mod n. Prin reducere la absurd presupunem că există i, j {1, 2,..., n}, i j astfel încât ar i + b ar j + b (mod n), de unde obţinem ar i ar j (mod n). Deoarece (a, n) = 1, conform Proprietăţii 6), se obţine r i r j (mod n), ceea ce este fals. Pe mulţimea claselor de resturi modulo n, Z n se definesc operaţiile de adunare şi înmulţire astfel: â + ˆb := â + b, â ˆb := â b. (5) Conform Proprietăţii 2, operaţiile astfel definite nu depind de alegerea reprezentanţilor. Teorema 25 Mulţimea Z n = {ˆ0, ˆ1,..., n 1} a claselor de resturi modulo n, înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire a claselor de resturi modulo n, definite prin relaţiile (5), formează un inel comutativ şi unitar. Demonstraţie. Se demonstrează, folosind proprietăţile adunării şi înmulţirii în inelul Z al numerelor întregi, următoarele proprietăţi ale adunării şi înmulţirii modulo n: 1) (â + ˆb) + ĉ = â + (ˆb + ĉ), â, ˆb, ĉ Z n ; 2) â + ˆb = ˆb + â, â, ˆb Z n ; 3) â + ˆ0 = ˆ0 + â = â, â Z n ; 4) â + a = a + â = ˆ0, â Z n ; 28