I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 7 Hurt qum rro qu dsěre vult se lro [Crpe vodu stom to žel učt ez jge] LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V I s e d m 7 Redov s prozvoljm človm Redov s človm prozvoljog z) Ne je dt rel red 7) Ao ovj red m smo očo mogo egtvh člov od tv red zovemo poztv red jer odvjem th egtvh člov što o što zmo e utče overgeju red dojemo poztv red u užem smslu tj red čj su sv člov eegtv) Dle u ovom slučju red 7) možemo prmjet e od rterj z overgeju poztvh redov Slčo o red 7) m smo očo mogo poztvh člov od odvjem th poztvh člov možejem s ) što tođe e utče overgeju red dojemo poztv red u užem smslu) p poovo možemo orstt rterje z overgeju poztvh redov Ao p red 7) m esočo mogo poztvh esočo mogo egtvh člov od e možemo r eposredo) prmjet rterje z overgeju poztvh redov te m treju ov rterj z sptvje overgeje tvh redov Nvest ćemo ee od jh l prvo ćemo vest jedu orsu formulu To je tzv Aelov sumo formul prvlo) oj je pogod z zvođeje doz rterj z redove s opštm člom ol pozt je pod zvom prvlo prjlog sumrj gls: Z sv N z sve prozvolje zove ) ) u R vrjed: gdje je B ) Ovj rezultt je log formul prvlu) prjle tegrje B ) B 7) Aelov do formul 7) zvod se sljedeć č: Ne su ) e rojev Stvmo: B B B B B Td je z B - ) - ) B B 7) Posmtrjmo sd sumu N osovu 7) vrjed B B ) Ao u posljedoj sum pšemo umjesto dle umjesto ) dojemo No o je B mmo B B B B B B B tj dol smo formulu 7) B B B ) B

7 Osov rterjum overgeje redov s človm prozvoljog z 7 Prmjeom Aelove sumoe formule dozuje se sljedeć Dededov ) teorem oj se o rede teoreme) odos redove u R) s človm prozvoljog z čj se opšt čl može predstvt u olu ) Teorem 7 Ne je dt red 7) e su zdovolje sljedeć uslov : ) ); ) red je overget; ) z B ) prjlh sum red je ogrče Td je red 7) overget Prmjeom Aelove sumoe formule l Dededove teoreme 7 dozuje se d vrjed sljedeć rterj: Teorem 7 Drhletov rterj) ) Ne je dt red u R) e su zdovolje sljedeć uslov: ) z ) mootoo tež ul; ) z S ) prjlh sum red je ogrče Td je red overget u R) Prmjeom Drhletovog rterj l Aelove sumoe formule 7) doje se Aelov rterj z overgeju redov u R redov s človm prozvoljog z u ojh je opšt čl ol ): Teorem 7 Ne je dt red e su zdovolje sljedeć uslov: ) z ) je mooto ogrče ; ) red je overget Td je red overget t t t e e ) Prmjer 7 Ko je z sv N e mgr jed) t e e t t t t os t) s t s s os ) to se lo dože d je t ) t t t ) t t ost s os ose s t s s ose p je t t os ose s ose t t Sd sljed po Drhletovom rterju d t s ost s t redov s človm promjeljvog z) overgrju u R) z sv t R t π Z) ) Julus Wlhelm) Rhrd Deded 8 96) jemč mtemtčr ) To je eo poseo ogrčeje jer se sv z x ) u R može pst u olu x ) Peter Gustv Lejeue Drhlet 85 859) jemč mtemtčr z N)

7 Apsolut overgej redov 75 Bez tešoć se dozuje sljedeć stv: Stv 7 Ao red 75) overgr od overgr red 7) tj red u R) Doz: Doz sljed z teoreme 7 ejedost p p Ao red 75) overgr od se že d red 7) psoluto overgr Z red 7) že se d uslovo overgr l d je semoverget o overgr l pr tom e overgr psoluto sje ćemo dt prmjer tvog red) Sd se stv 7 može formulst ovo: Stv 7 Ao je red psoluto overget od je o overget Posmtrjmo sd jedu poseu vrstu redov s osttm človm promjeljvog z Red ) ) ) gdje su rel rojev N sv stog z odoso red s osoom d z sv N vrjed ) zv se ltertvm redom Stv 7 Lezov rterjum) / Altertg seres test / 75) Ao je N) lm od ltertv red -) overgr ) m Osm tog stv l se S m -) ) S od je S S S l- l N) Vrjedost sume S ltertvog red lz se u tervlu zmeđu vrjedost dvje susjede prjle sume tj S m < S < S m l S m < S < S m ) Ostt ovog red m sumu r p po psolutoj vrjedost mju od prvog zostvljeog čl tj p r ) < te sg r -) p p p p Doz: Prjle sume S dtog red pšmo u olu S ) ) ) odle se vd d je z S ) N eopdjuć Iz jedost S ) ) sljed d je z sve N S < tj d je z S ) N ogrče Prem tome postoj lm S S Iz jedost S S sljed d je lm S S Zto je lm S S Ostl zljuč stv 7 sljede z čjee d je ostt overgetog red tođe overget m svojstvo sojtvost p je r p p p ) p p ) p p p ) odle z prve jedost) sljed r p > z druge jedost) r p < p N st č z r p p p ) p p5 ) p p p ) sljed r p < r p > p tj p < p Osm tog z r p S S p sljed d je sg r p -) p QED Prmjer 7 ) Red overgr prem Lezovom rterju p o red dvergr to dt red overgr uslovo ) Z ltertv red ) žemo d je red Lezovog tp o je z ) mootoo opdjuć ul z Altertv red može overgrt o je Lezovog tp

Ko red ) α > ) overgr to red α l l overgr psoluto α 76 7 Svojstv relh redov Asojj omutj) Posmtrjmo prozvolje rele redove Korso je zt d l se e svojstv očh sum preose tve redove U tom smslu dozuje se d vrjede sljedeć stvov: Stv 7 Koverget red m svojstvo sojtvost Prmjetmo d se grupsjem člov eog dvergetog red može dot overget red N prmjer red ) je dverget do red ) ) ) doje od dtog red grupsjem člov m zr jed ul Z red s poztvm človm međutm to ešto je moguće To je posljed čjee d je od tvog red z prjlh sum mooto Stv 75 Drhletov teorem o omuttvost psoluto overgeth redov) Apsoluto overget red m svojstvo omuttvost tj o je red psoluto overget o je s : N N prozvolj jej od je s ) Stv 76 Rem 5) Djev 6) stv) 866/7 ; 868/9) Ao red uslovo overgr od se z sv dt A R može premještjem člov dtog red dot red čj zr 7) zos A tj postoj jed jej s : N N tv d je s ) A 7 Možeje redov Posmtrjmo rele redove 7) Formrjmo esočodmezolu mtru 76) M M j M M j M M j L L L L M M j L L L L M 77) čj su elemet prozvod člov redov 7) 76) Od elemet ove mtre mogu se formrt rz redov D l ovo formr redov mju jede l rzlčte zrove o h uopšte mju)? U tom smslu vodmo odgovore dte sljedećm stvovm: 5) Berhrd Rem 86 866) jemč mtemtčr 6) Ulsse D 85 98) tljs mtemtčr 7) Ovj stv pozuje d od uslovo overgeth redov pored m zčju ulogu d se ov redov e mogu shvtt smo o oč zr svojh člov Koverget redov te vrste se mogu pretvort zgodm poretom člov u dvergete redove U D 868/9)

77 Stv 77 Cuh) Ao redov 7) 76) psoluto overgrju od red formr od elemet mtre 77) uzeth u prozvoljom poretu tođe psoluto overgr Pr tom je sum dojeog red jed prozvodu sum redov 7) 76) U opštem slučju može se dogodt d z prozvod uslovo overgeth redov 7) 76) e vž zljuč stv 77 tj može se dogodt d red e overgr l d jegov p p jp sum zvs od poret člov pr vdrt u Cuhjevom smslu uslovo overgetog red ) je dverget red) Njčešće se pod prozvodom redov podrzumjev red ) ) 78) s opštm člom Dle Z ovvo možeje redov dozuje se d vrjed teorem Ael: " Ne su dv overget red u R s summ A odoso B e je ) jhov prozvod Ao red overgr m sumu C od je C A B " Ovvo možeje redov očo se zv Košjevm možejem rzlog što je oo jčešće u upotre je u vez s jegovom prmjeom stepee redove tj redove ol ) x x R; ) čj je opšt čl fuj ol x x x ) ; x ost R x R vrjl) Stv 78 8) Ao su redov overget o je r jed od jh psoluto overget od vž jedost ) p) red desoj str ove jedost je overget Prmjer 7 Ne je ) rel mooto z lm Požmo d red x s overgr z sv x mπ m Z z x mπ o očgledo overgr) Zst z sv N z sv x R x mπ m Z ) vž x os os ) x sx x x x s s s p je z B ) prjlh sum red gdje je s x ogrče p dt red overgr prem Drhletovom rterju Red π os l π overgr prem Aelovom rterjumu Nme pšmo os u olu 8) Ovj stv o Cuhjevom prozvodu redov pozt je pod zvom Mertesov teorem: Frz Krl Joseph Mertes 8 97) ustrjs mtemtčr v pr [S Mrdešć Mtemtč lz I str 7] Šols jg Zgre 979)

Td dt red doj ol Nz os rterjumu π π π os ) os ) π ) l π os je ogrče mooto red ) l π os 78 overgr prem Lezovom 8 Besoč prozvod Ne je p ) z relh rojev Forml zrz zove se esoč prozvod s opštm člom p Prozvod P p p p prvh člov tog prozvod je -t prjl zvod p p p 8) Prezje logo o od pojm red) uređe pr p ) P )) oj se sstoj od z p ) relh rojev z P ) prozvod P : p zvmo esoč prozvod s ftorm p prjlm prozvodm P ozčvmo s p Ao postoj oč rzlčt od ule lmes P : lm P že se d esoč prozvod 8) overgr ; roj P je vrjedost tog prozvod; pr tom se pše P Ao postoj m N tv d je p m od se tođe že d prozvod p overgr to prem P p p p m p m Ao lm P e postoj l je jed l žemo d prozvod 8) dvergr Prmjer 8 Besoč prozvod dvergr jer je P lm P Z esoč prozvod mmo P lm P p prozvod dvergr Proozvod pšmo u olu odle se doj P lm P Dle ovj prozvod overgr m vrjedost p

Svojstv esočog prozvod 79 Posmtrjmo prozvode čj su člov rzlčt od ule Ao je p dt m fs prrod roj od prjle prozvode esočog prozvod p m ozčmo s P' p m p m p m Očto je P m P m P' gdje su P prjl prozvod esočog prozvod p Zto je lm Pm Pm lm P' Dle vž Stv 8 Izostvljje očo mogo člov esočog prozvod e utče jegovu overgeju Stv 8 Potre uslov d prozvod 8) overgr je d jegov opšt čl p tež jed d Zto se ftor esočog prozvod 8) jčešće pšu u olu p ) Doz: Ne je lm P : P Td je lm p P lm P lm P lm P P P Nvedmo ez doz još Cuhjev rterjum z esoč prozvod Teorem 8 Prozvod 8) overgr o smo o z sv ε > postoj N tv d vž > N p p p < ε Besoč prozvod redov Kovergej esočh prozvod može se dovest u vezu s overgejom redov Imjuć u vdu stvove 8 8 uuduće ćemo posmtrt prozvode čj su člov poztv Teorem 8 Besoč prozvod 8) s poztvm človm overgr o smo o overgr red l p Ao tj red m zr s od prozvod 8) m vrjedost e s Doz: Prjle sume dtog red mju ol s l p prjl prozvod ol P p Očto je l P s odle sljed tvrđeje teoreme podsjećmo d se esoč prozvod e smtr overgetm o je lm P ) ) QED Često se člov prozvod p pšu u olu p > sm prozvod o p ) 8) Stv 8 Ne su rel rojev počev od eog sv stog z tj N : ) ) ) ) ) ) Td prozvod 8) overgr o smo o red overgr ) Vrjed p o smo o je r jed od ftor p jed roju

8 Doz: Bez ogrčej opštost može se pretpostvt d je > N Prem teorem 8 prozvod ) overgr o smo o overgr red l ) Iz teoreme 6 sljed d red l ) overgr o smo o red overgr jer l ) je lm QED Prmjer 8 Prozvod α > overgr z α > dvergr z α Nme dt prozvod α overgr o smo o overgr red odle osovu prmjer 8 sljed zljuč α U opštem slučju d su rojev promjeljvog z) tvrđeje stv 8 e vž ) redom overgr red od se lo vd d overgr prozvod 8) Međutm o zjedo s Z prozvod 8) že se d psoluto overgr o overgr prozvod ) Stv 8 Ao prozvod 8) psoluto overgr od o overgr Doz: Sljed z Cuhjevog rterjum z esoče prozvode ejedost ) ) ) ) ) ) QED 9 Rješe zd o zovm esočm redovm Zdt 9 Isptjte overgeju z ) zdog opštm člom Rješeje: Što je već to su roj zv rzlom sve već p se tu jvlj tzv eodređe ol Djeljejem roj zv s jvećm stepeom od tj s dojemo odle se vd d je roj sve lž zv roju o rste Nslućujemo d je lm Dožmo tu pretpostvu U tom smslu e je ε > prozvolj rel roj Odredmo prrod roj tv d je < ε z sv > Ko je < ε < ε < ε > > ) ε ε ) Npr esoč prozvod ) psoluto overgr z sv x > uslovo overgr z x < x dvergr z ) < x md u tom slučju overgr red x )

8 Z trže roj ε)) možemo uzet lo oj prrod roj već od ε Njmj tv roj je uprvo gdje ε x ozčv jveć jel roj oj je već od x Npr z ε ) zv te ε - oole roj lze se smo prv dv čl dtog z do su sv ostl uutr te ε - oole v telr prz dtog z u Tl 9 jegov grf sl 9) Tl 9 Sl 9 Zdt 9 Isptjte overgeju red l s ) Rješeje: Ko je s > N) to vrjed l s ) < l π ) Otud je π > > O * ) π π l s ) l ) πl l β ) π π l α ) jer je lm lm R \ {} β ) π l α ) Zdt 9 Isptjte overgeju red : ) ) ) ) p dt red dvergr uduć d red l ) l os ; ) ; os dvergr) Rješeje: ) Ko je lm < red 9 ) ) ) je overget prem Cuhjevom rterjumu) l / 6 5/ 5 / 5/ 8 /9 5 7/7 6 / 8 5 /7 5 / 8 6 7/7 6 / 5 l os ) Ko je lm lm < to prem poopšteom / u jjčoj form) os 5 5 Cuhjevom orjeom rterjumu dt red overgr ) Prmjetmo d je lm ' lm z dt red do red očto overgr o zr dv overget geometrjs red)

8 Npome: Ovj prmjer red pozuje d o red overgr e sljed općeto d je lm < q Zdt 9 Dožte eposredo overgeju sljedećeg red ć mu sumu: ) ; ) ; os π ) x Rješeje: ) Ko opšt čl red m ol ) ) : N z mootoo tež ul to prem Lezovom rterju dt red overgr Nđmo S Immo ) l l l C S ε ε ε ε gdje je ε γ ) Eulerov ostt ε z Buduć d je zog ustovljee overgeje dtog red) lm S lm S gdje je S ) z prjlh sum dtog red očo dojemo l ) Ko je s os N π π redov overgrju to osovu svojstv operj s overgetm redovm tj o redov overgrju u eom vetorsom prostoru V od vrjed ) ) V µ λ µ λ gdje su λ µ prozvolj rel rojev) mmo 9 8 7 6 5 7 os π ) N osovu trog prvl u ) mmo ) ) ) ) x x x x x x x x x jer geometrjs red q z q x < overgr q Zdt 95 Odredte! )! Doz: Ao jed od redov overgr drug overgr psoluto od vrjed ) Ov formul vrjed u slučju d sv tr red overgrju Ko red! overgr to prem vedeom Cuhjevom prvlu možej redov) mmo: )! ) )!

gdje je Ko je! ) )! )!! )! ) ) )! )! )! ) )! ) N) to je ) N)! )! p je 8 Zdt 96 Ne je N) Td su redov evoverget Cuhjev odezo rterjum) Dozt! Doz: Ko je to zog mootoost z S ) S prem teorem o mootom ogrčem zovm z overgeje red sljed overgej red Osm tog z ejedost ) zljučujemo d overgej red povlč overgeju red Tme je doz ovog orsog / vrlo prtčog) svojstv zvrše Zdt 97 Zmjeom z x ) odgovrjućm redom sptt overgeju z x ) dtog formulom x : Rješeje: Ko je x x ) x x to to mmo lm x ) No doje red overgr jer je ) ) red hperhrmojs) overgr p overgr dt z x ) ) Redov omplesh rojev Z sv omples roj z C z x x R) vrjed z x Otud eposredo sljed d je s z z r ) dt jedč ruže S z r) rdjus r >) s etrom u tč z : x x R ) Nme o je z x z x od je z z x x ) ) p je ) evvleto s x x ) ) r što je jedč ruže S z r)

8 Prem tome sup S z r) je dt zrzom S z r) : { z C : z z r } Alogo je s K z r) : { z C : z z < r } ) defr otvore rug rdjus r s sredštem u tč z do je s K z r) : { z C : z z r } ) defr ztvore rug rdjus r s sredštem u tč z Dle K z r) K z r) S z r) Defj Z sup A C žemo d je ogrče omeđe) o je o sdrž u eom rugu u C tj o postoje z C r R tv d je A K z r) Defj Z sup Ω C žemo d je otvore o oo sve tče z Ω može d se opše otvore rug oj je sdrž u Ω do z sup F C žemo d je ztvore o je jegov omplemet F : C \ F otvore sup Lo se vd d fmlj U svh otvoreh podsupov od C m ov svojstv: T ) Ø C U T ) Uj od lo olo člov z U je čl z U T ) Presje očo člov z U je čl z U Npomemo d se uređe pr X U ) prozvoljog sup X fmlje U podsupov od X z oje vrjed T ) T ) T ) d umjesto sup C mmo prozvolj sup X ) zove topološ prostor Pr tome se fmlj U zove topološ strutur l topologj prostor X U ) je člov otvore supov topološog prostor X U ) Ao je z test jso o ojoj se topologj U rd od se često umjesto o topološom prostoru X U ) rće govor o prostoru X Otud sljed d je C topološ prostor tj C je prostor omplesh rojev Npomemo d d žemo d je C prostor od smtrmo d je u C uvede pojm otvoreog sup prem defj Alogo vž z prostor R relh rojev s tm što umjesto otvoreog rug u C mmo otvore tervl u R) Defj Ool tče z C u prostoru C je sv sup U C s svojstvom d postoj r R tv d je K z r) U v sl ) Prmjetmo d je U otvore sup o je U ool sve svoje tče Z z omplesh rojev overgej lmes se defrju logo o z z relh rojev Defj Z sv z z ) omplesh rojev žemo d je overget u C o postoj omples roj z C) tv d z sv rel roj ε > postoj prrod roj tv d N) > z z < ε ) Td roj z zvmo grč vrjedost l lmes l gr) z z ) pšemo lm z ) z l lm z z l rće lm z z ) Tođe td još žemo d z z ) overgr z l d tež z d pšemo z z ) Z z u C oj je overget u C žemo d je dverget l d dvergr Iz ) vdmo d su sv člov z z ) osm možd e od prvh člov sdrž u rugu Kz ε) v sl )

85 Sl Sl Kovergej u prostoru C može se svest overgeju u prostoru R tj overgeju zov relh rojev Nme e je z x z x x x R) Td vrjed teorem: Teorem Nz z ) omplesh rojev overgr omplesom roju z o z x ) x Re z ) overgr x Re z ) z ) Im z ) overgr Im z ) Doz: Ko je x x Re z Re z Re z z ) z z Im z Im z Im z z ) z z to lm z z povlč lm x x lm S druge stre o je lm x x lm od z sv ε > postoj N tv d vž N) > ε ε x x < < Odvde sljed d z sv > vrjed ε ε z z x x ) ) x x < ε to zč d je lm z z QED Prmjetmo d se pojmov overgetog z u C jegovog lmes uvede defjom mogu evvleto uvest pomoću ool tč u C logo o z zove u R) Broj red z : ) 5) čj su člov z : R N)) omples rojev zvmo roj red s omplesm človm l omples roj red l red omplesh rojev) Prjl sum S des -t prjl sum) ovog red dt je s S : z N) 6) Pojmov grče vrjedost overgeje red omplesh rojev dt su rje vedem defjm th pojmov u opštm ormrm prostorm jer se C može shvtt o ormr prostor u odosu ormu dtu s z z Re z) Im z)

Otud vdmo d vrjed: 86 Grč vrjedost lm S : S postoj o postoj lm A A : lm : postoj lm : lm B : B U tom slučju je S A B tj red 5) overgr m sumu S : A B o overgrju redov redom A B U tom slučju se pše pr tome red 5) ) 8) zovemo rel do red 5) red zovemo mgr do red Dle pr sptvju overgeje redov omplesh rojev mogu se prmjet rterj z overgeju redov relh rojev prezje rele mgre djelove redov omplesh rojev) No z redove omplesh rojev vže logo Cuhjevog rterj overgeje z red relh rojev Bolzo Weerstrssove teoreme z zove supove dr pr vž d sv ogrče z z ) omplesh rojev m overget podz; d sv Cuhjev z z ) u C je overget u C)) Često je od teres posmtrt redove omplesh rojev ol α β ; α β R) 9) Z red 9) žemo d overgr o overgr sv od redov ) U tom slučju je sum S red 9) dt s S A B gdje je A sum prvog B sum drugog red u ) Lo se vd d red 9) overgr m sumu S o z sv roj tv d z sve m N vrjed: m m ε S ε > postoj prrod Ne je sd z C e su N) omples rojev Z z C rzmotrmo red z z ) ) Red ol ) zove se Luretov ) Lorov) red Proučt ćemo sje jegovo područje overgeje vdjet ćemo d o defr tzv ltču fuju otvoreom ružom prsteu K z ; R R ) : {z C : R < z z < R } Z red z u C žemo d psoluto overgr u C) o red z overgr u R) Z tve redove vrjed sljedeć teorem o dovoljom uslovu z overgeju red 5)): Teorem Ao overgr red z od overgr red 5) Doz: Iz z sljed z ) z z sv N Otud prem poredeom rterju poztvh redov relh rojev zljučujemo d z overgeje red z sljed overgej svog od redov tj sv od redov je psoluto overget p dle overget Zto overgr red ) : z QED ) Perre Alphose Luret 8 85) frus mtemtčr

Prmjer Isptjmo overgeju red 87 / Rješeje: Rzmotrmo red Ko je lm red / overgr to zljučujemo d red overgr u R) Zto prem teorem overgr polz red omplesh rojev u C) Zdt Isptjte overgeju red Uput: Ko je z N) o red red omplesh rojev) dvergr dvergr to polz Alogo o u supu R uvode se pojmov esočog produt omplesh rojev jegove overgeje u supu C)