0 = x 0 < x 1 <... < x n = 1, x k = k n, x = 1 0 n. f(x k ) x =
|
|
|
- Σωφρονία Γούναρης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Chpter Odredjen ntegrl Problem Nek je zdn funkcje f : [,b] R, f(x). Kko odredt površnu omedjenu grfom funkcje f(x) x-os? Površn prvokutnk: S = b Površn trokut: S = 1 v Kko defnrt površnu lk čje su strnce zkrvljene? Površnu spod krvulje y = f(x) možemo proksmrt prvokutncm uzet lmes kd broj prvokutnk tež prem beskončnost. Prmjer 3 Odredte površnu spod krvulje y = x, x [, 1]. Rješenje Podjelmo ntervl [, 1] n n jednkh djelov: = x < x 1 <... < x n = 1, x k = k n, x = 1 n = 1 n. (.1) Aproksmcj površne dn je s S n = f(x k ) x = k=1 k=1 ( ) k x. (.) n Što je broj prvokutnk koj proksmrju površnu već, to je proksmcj bolj, p očekujemo d je površn dn lmesom S = lm n S n. (.3) 19
2 CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL Immo p je S n = k=1 ( ) k 1 n n = 1 n 3 = 1 n 3 n(n + 1)(n + 1) 6 S = lm 6 n 1 k=1 k = 1 6 (n + 1)(n + 1) n, (.4) (n + 1)(n + 1) n = 6 = 1 3. (.5) Problem nlženj površne rvnnskog lk omedjenog krvuljom y = f(x) segmentom [, b] n x-os. možemo općento formulrt n sljedeć nčn. Nek je y = f(x) ogrnčen funkcj n ntervlu [, b]. Prtcj ntervl [, b] je skup točk P koj znčvmo s Defnrjmo normu prtcje P s Nek je P : = x < x 1 < x <... < x n < x n = b. (.6) P = mx x gdje je x = x x. (.7) M = defnrjmo gornju donju ntegrlnu sumu s G(f,P) = D(f,P) = mx f(x), m = mn f(x). (.8) x x x x x x M x gornj ntegrln sum, (.9) =1 m x donj ntegrln sum. (.1) =1 Z svk odbr točk z [x,x ] defnrno Remnnovu sumu s Nek je Prmjetmo d vrjed S(f,P) = f(z ) x. (.11) =1 m = mn x b f(x), M = mx x b. (.1) m x m x f(z ) x M x M x. (.13)
3 CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 1 Iz ovog sljed m(b ) D(f,P) S(f,P) G(f,P) M(b ) (.14) z prozvoljnu prtcju P ntervl [,b]. Defncj 5 Ako postoj lmes I = lm G(f,P), (.15) P td I zovemo gornj ntegrl funkcje f n ntervlu [,b]. Slčno defnrmo donj ntegrl s I = lm D(f,P). (.16) P Z gornj donj ntegrl vrjed I I. (.17) Defncj 6 Kžemo d je funkcj f ntegrbln n ntervlu [, b] u Remnnovom smslu ko je I = I. Remnnov ntegrl oznčvmo s Prmjetmo d z nejednkost (.17) sljed Prmjer 33 Pokžte d je lm S(f,P) = P f(x). (.18) Rješenje Nek je P regulrn prtcj ntervl [,]: Norm prtcje dn je s Ndlje, f(x). (.19) x =. (.) P : x k = k x, x =, k =, 1,,... (.1) n P = x k x k = x = n. (.) mn{f(x) x [x k,x k ]} = x k, (.3) mx{f(x) x [x k,x k ]} = x k. (.4)
4 CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL Z ntegrlne sume dobvmo D(f,P) = G(f,P) = k=1 k=1 x k x = n x k x = n k=1 k=1 (k 1) = k = (n 1)(n ) n, (.5) n(n 1) n. (.6) Td je lm D(f,P) = lm G(f,P) = P P, (.7) Može se pokzt d se st rezultt dobje z svku prtcju ntervl [,], stog je Remnnov ntegrl funkcje jednk x =. (.8) Prmjer 34 Pokžte d funkcj f : [, 1] R dn s 1, x je rconln, f(x) =, x je rconln (.9) nje ntegrbln u Remnnovom smslu. Prmjer 35 Pokžte d je funkcj f(x) = c ntegrbln, d je Z odredjen ntegrl vrjed f(x) = Ako je > b, td defnrmo c c c = c(b ). (.3) f(x) + f(x), c (,b). (.31) Tkodjer defnrmo f(x) = f(x). (.3) b f(x) =. (.33)
5 CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 3 Teorem 4 Ako je funkcj f : [,b] R omedjen, neprekdn n skupu [,b] \ S gdje je S prebrojv skup l S =, td je f ntegrbln n [,b]. Z lustrcju pogledjmo sljedeć prmjer. Prmjer 36 Zdn je funkcj f : [, 1] R, [ 1 1 1, x, ], n =, 1,,... f(x) = n+1 n, nče. (.34) Iko funkcj m prekd u beskončno mnogo točk, njezn ntegrl jednk je f(x) = n= ( ) = 1 n n+1 n= 1 4 n = 3. (.35) Teorem 5 (Newton-Lebntzov formul) Nek je f : [, b] R neprekdn funkcj, nek je F(x) prmtvn funkcj funkcje f(x). Td je Dokz Nek je P prtcj ntervl [,b]: Promtrjmo ntegrlne sume f(x) = F(b) F(). (.36) P : = x < x 1 < x <... < x n = b. (.37) D(f,P) = G(f,P) = m (x x ), m = mn{f(x) x [x,x ]}, (.38) M (x x ), M = mx{f(x) x [x,x ]}. (.39) Nek je F(x) prmtvn funkcj funkcje f(x). Funkcj F(x) je neprekdn n ntervlu [x,x ] dervbln n (x,x ), p prem Lgrngeovom teoremu o srednjoj vrjednost postoj točk c (x,x ) tkv d je Kko je F (x) = f(x), mmo F (c ) = F(x ) F(x ) x x. (.4) F(x ) F(x ) = f(c )(x x ). (.41)
6 CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 4 Iz nejednkost m f(c ) M (.4) dobvmo Medjutm, što povlč m (x x ) (F(x ) F(x ) M (x x ). (.43) =1 =1 =1 (F(x ) F(x ) = F(x n ) F(x ) = F(b) F(), (.44) =1 D(f,P) F(b) F() G(f,P). (.45) Prelzom n grnčnu vrjednost P dobvmo z čeg sljed Korstmo oznku f(x) F(b) F() f(x) (.46) f(x) = F(b) F(). (.47) f(x) = F(x) b (.48). Teorem 6 Ako su funkcje f(x) g(x) ntegrblne n [,b], td odredjen ntegrl m sljedeć svojstv: () (lnernost) () (monotonost) (αf(x) + βg(x)) = α f(x) + β g(x), (.49) f(x) g(x) x [,b] = f(x) g(x), (.5) () (nejednkost trokut) f(x) f(x). (.51)
7 CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 5 Dokz () Nek su F(x) G(x) prmtvne funkcje funkcj f(x) g(x). Td je d (αf(x) + βg(x)) = αf(x) + βg(x), (.5) stog je αf(x) + βg(x) prmtvn funkcj funkcje αf(x) + βg(x). Prem Newton- Lebntzovoj formul vrjed (αf(x) + βg(x)) = (αf(x) + βg(x)) x=b x= = α (F(b) F()) + β (G(b) G()) = α () Nek je P prtcj ntervl [,b]: Nek je f(x) + β g(x). (.53) P : = x < x 1 <... < x n = b. (.54) m (f) = mn {f(x) x [x,x ]}, m (g) = {g(x) x [x,x ]}. (.55) Kko je f(x) g(x) z svk x [,b], mmo m (f) m (g) z čeg sljed L(f,P) = Zbog tog je m (f)(x x ) =1 m (g)(x x ) L(g,P). (.56) =1 f(x) = lm L(f,P) lm L(g,P) = P P g(x). (.57) () Z funkcju f(x) vrjed f(x) f(x) f(x), p svojstvo monotonost povlč f(x) Iz gornje nejednkost zključujemo f(x) f(x) f(x). (.58) f(x). (.59) Teorem 7 (Teorem o srednjoj vrjednost) Nek je f : [,b] R neprekdn funkcj. Td postoj točk c [,b] tkv d je f(x) = f(c)(b ). (.6)
8 CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 6 Geometrjsk nterpretcj: postoj točk c [,b] tkv d je površn f(x) jednk površn prvokutnk s osnovcom b vsnom f(c). Dokz Nek je F(x) prmtvn funkcj funkcj f(x). Funkcj F(x) je neprekdn n [, b] dervbln n (, b), p prem Lgrngeovom teoremu o srednjoj vrjednost postoj točk c (,b) tkv d je F (c) = Prmjenom Newton-Lebntzove formule zključujemo F(b) F(). (.61) b F(b) F() = f(x) = F (c)(b ) = f(c)(b ). (.6) Prmjer 37 Zdn je funkcj f : [, ] R, f(x) = x. Odredte točku c koj zdovoljv prethodn teorem grfčk lustrrjte rezultt. Teorem 8 (Osovn teorem ntegrlnog rčun) Ako je f : [, b] R neprekdn funkcj, td z svku točku x [,b] vrjed odnosno x d x f(t)dt je prmtvn funkcj funkcje f(x). Dokz Nek je x (,b). Promtrjmo rzlku F(x + h) F(x ) = x +h f(t)dt = f(x), (.63) f(t)dt x f(t)dt = x +h x f(t)dt. (.64) Kko je f(x) neprekdn funkcj n [, b], po teoremu o srednjoj vrjednost postoj točk c (x,x + h) tkv d je x +h Iz ovog sljed d je x f(t)dt = f(c)h. (.65) F(x + h) F(x ) lm h h jer je funkcj f(x) neprekdn u točk x. = lm h f(c) = f(x ) (.66)
9 CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 7.1 Neprv ntegrl Defncj odredjenog ntegrl može se prošrt n slučj kd su grnce ntegrcje beskončne l kd funkcj nje omedjen u području ntegrcje. Ako je gornj l donj grnc ntegrcje beskončn funkcj je neprekdn n R, td ntegrl defnrmo pomoću lmes f(x) = lm f(x) = lm b f(x), (.67) f(x). (.68) Ako nveden lmes postoj td kzžemo d ntegrl konvergr. U protvnom kžemo d ntegrl dvergr. Ako su obje grnce ntegrcje beskončne, td defnrmo Cuchyevu glvnu vrjednost ntegrl v.p. R f(x) = lm f(x). (.69) R R Prmjer: v.p. e x = 1, (kovergr) (.7) sn(x) =?, (dvergr) (.71) 1 = π, (konvergr) (.7) 1 + x (.73) Ako funkcj m sngulrtet u točk c =, odnosno neprekdn n otvorenom ntervlu (,b), td defnrmo Slčno, ko je c = b td defnormo lm f(x) = ±, (.74) x c ± f(x) = lm f(x). (.75) ε + +ε f(x) = lm ε + ε f(x). (.76)
10 CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 8 U slucju d se točk sngulrtet nlz unutr ntervl [,b], c (,b), td je ntegrl potrebno rstvt n zbroj dvju ntegrl f(x) = c f(x) + c f(x) (.77) gdje se svk ntegrl rčun pomoću lmes ko u prethodnm slučjevm. Ako nveden lmes postoje kzžemo d ntegrl kovergr. U protvnom kžemo d ntegrl dvergr. Prmjer 38 Izrčunjte I = Rješenje Funkcj m sngulrtet u x =, stog je I = = lm [ = 3 ε + Prmjer 39 Izrčunjte x ε 3 x 3 x + lm ε + ε 3 x. (.78) 3 x ( lm 3 ε 3 ) ( + lm ε + ε + I = Rješenje Funkcj m sngulrtet u x =, stog je I = x + 3 ) ] 1 3 ε = 6. (.79) x. (.8) x. (.81) Medjutm, ntegrl dvergrju, p cjel ntegrl tkodjer dvergr. x x x Prmjetmo d u rčunnju ovog ntegrl nje dozovljeno zrvno korstt Newton- Lebntzovu formulu jer funkcj f(x) = 1 x m prekd u točk x =. Dost, što je pogrešn rezultt. x = x x=1 x= =, (.8) Prmjer 4 Pokžte d je ln(x) =. (.83)
11 CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 9. Prmjene odredjenog ntegrl..1 Površn rvnnskog lk Lko možemo odredt površnu rvnnskog lk koj me omedjen s dvje krvulje, l s jednom krvuljom x-os. Promtrt ćemo krvulje u rvnn zdne n sljedeć nčn: 1. eksplctno zdne krvulje y = f(x), x [,b], (.84). mplctno zdne krvulje x = x(t), y = y(t), t [t 1,t ], (.85) 3. krvulje zdne u polrnom sustvu r = r(ϕ), ϕ [ϕ 1,ϕ ]. (.86) Eksplctno zdn krvulj Nek su f,g: [,b] R neprekdne funkcje, f(x) g(x) z svk x [,b]. Element površne: dp = (g(x ) f(x )). (.87) Ukupn površn lk omedjenog krvuljm y = f(x) y = g(x), x [, b]: P = lm P = x (g(x) f(x)). (.88) Prmjer 41 Izrčunjte površnu lk omedjenog krvuljm y = 1 1+x y = x. Rješenje Presjecšte krvulj y = 1 y = x 1+x dno je jedndžbom x = x. (.89) Supsttucj t = x dje t(t + 1) =, odnosno t =, 1. Td je x = 1, p se krvulje sjeku u točkm x = ±1. Prmjetmo d je n ntervlu [, 1] x x, x [, 1]. (.9)
12 CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 3 Stog je površn d s P = ( ) x x = π 1 3. (.91) Prmetrsk zdn krvulj Nek su vrjble x y funkcje prmetr t [t 1,t ]. Element površne: dp = y(t ) x (t ) dt. (.9) Ukupn površn lke omedjenog krvuljom x = x(t), y = y(t) x-os: P = lm t P = t Prmjer 4 Odredte površnu omedjenu jednm lukom cklode x-os. t 1 y(t) x (t) dt. (.93) x(t) = R(t sn(t)), y(t) = R(1 cos(t)), (.94) Rješenje D b točk opsl jedn luk cklode prmetr t se mor promjent od t = do t = π. Dkle, P = y(t)x (t)dt = R(1 cos(t)) R(1 cos(t))dt = R (1 cos(t)) ( dt = R 1 cos(t) + cos (t) ) dt ] = R [π 1 + (1 + cos(t)) dt = 3πR. Krvulj zdn u polrnom sustvu Površn kružnom sječk rdjus r koj ztvr kut ϕ je Element površne: (.95) P = 1 r ϕ. (.96) dp = 1 r (ϕ )dϕ. (.97) Ukupn površn lk omedjenog krvuljom r = r(ϕ) zrkm ϕ = ϕ 1, ϕ = ϕ : ϕ 1 P = lm P = ϕ ϕ 1 r (ϕ)dϕ. (.98)
13 CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 31 Prmjer 43 Izrčunjte površnu krdode r(ϕ) = R(1 + cos(ϕ)). (.99) Rješenje Nek je P 1 površn gornjeg djel krdode. Zbog smetrje ukupn površn je P = P 1. P 1 je omedjen zrkm ϕ = ϕ = π. Stog je P 1 = π 1 r (ϕ)dϕ = R Td je ukupn površn dn s π (1 + cos(ϕ)) dϕ = 3π 4 R. (.1) P = 3π R. (.11).. Duljn krvulje Eksplctno zdn krvulj Nek je f : [, b] R dervbln funkcj. Duljn segment odredjenog točkm (x,f(x )) (x + x,f(x + x)): ( ) f(x + x) f(x ) S = 1 + x. (.1) x Element duljne luk krvulje: L = Ukupn duljn krvulje y = f(x), x [,b]: L = lm L = x 1 + (f (x )) x. (.13) 1 + (f (x)). (.14) Prmjer 44 Odredte duljnu luk lnčnce f(x) = ch(x) n ntervlu [, 1]. Rješenje L = = = sh(x) 1 + ( ch (x) ) 1 + sh (x) = x=1 x= ch(x) = sh(1) = e + 1 e 3.8. (.15)
14 CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 3 Prmetersk zdn krvulj Nek su x = x(t) y = y(t) dervblne funkcje n ntervlu [t 1,t ]. Duljn segment odredjenog točkm (x(t ),y(t )) (x(t + t),y(t + t)): (x(t ) ( ) + t) x(t ) y(t + t) y(t ) S = + t. (.16) t t Element duljne luk krvulje: Ukupn duljn krvulje: L = lm L = t (x (t )) + (y (t )) t. (.17) L = t Prmjer 45 Odredte duljnu jednog luk cklode t 1 (x (t)) + (y (t)) dt. (.18) x(t) = R (t sn(t)), y(t) = R (1 cos(t)). (.19) Rješenje L = = R R (1 cos(t)) + R sn (t)dt (1 cos(t)) dt = R sn ( ) t dt = 8R. (.11) Krvulj zdn u polrnom sustvu Nek je r = r(ϕ) dferencjbln funkcj n ntervlu [ϕ 1,ϕ ]. Duljn segment odredjenog točkm (r(ϕ ),ϕ ) (r(ϕ + ϕ),ϕ + ϕ): ( ) r(ϕ + ϕ S = r ) r(ϕ ) (ϕ ) + ϕ. (.111) ϕ Element duljne luk krvulje: L = Ukupn duljn krvulje: L = lm L = ϕ r (ϕ ) + (r (ϕ )) ϕ. (.11) ϕ ϕ 1 r (ϕ) + (r (ϕ)) dϕ. (.113)
15 CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 33 Prmjer 46 Odredte opseg krdode r(ϕ) = R(1 + cos(ϕ)). (.114) Rješenje L = R (1 + cos(ϕ)) + R sn (ϕ)dϕ = ( ϕ ) R 1 + cos(ϕ)dϕ = R cos dϕ ( ϕ ) π ( ϕ ) = R cos dϕ = 4R cos dϕ = 8R. (.115)..3 Volumen rotconog tjel Rotcono tjelo nstje rotcjom krvulje oko neke fksne os. Tkvo tjelo je očgledno smetrčno u odnosu n os rotcje. Eksplctno zdn krvulj Nek je zdn krvulj y = f(x), x [, b]. Element volumen: V = π (f(x )) x. (.116) Ukupn volumen: V = lm x V = π (f(x)). (.117) Prmjer 47 Odredte volumen stošc vsne h rdjus bze R. Rješenje Stožc nstje rotcjom krvulje y = R h x, x [,h], (.118) oko x-os. Stog je V = h πy (x) = π h ( ) R x = π h 3 R h. (.119)
16 CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 34 Prmetrsk zdn krvulj Nek je zdn krvulj x = x(t), y = y(t), t [t 1,t ]. Element volumen: V = π y (t ) x (t ) t. (.1) Ukupn volumen: V = t t 1 πy(t) x (t) dt. (.11) Prmjer 48 Odredte volumen kugle rdjus R. Rješenje Kuglu nstje rotcjom polukružnce oko x-os. Polukružncu možemo prmetrzrt jedndžbm x(t) = R cos(t), y(t) = R sn(t), t [,π]. (.1) Td je π π V = π R sn (t)r( sn(t)) dt = πr 3 sn 3 (t)dt π = πr 3 (1 cos (t)) sn(t)dt = 4π 3 R3. (.13)..4 Oplošje rotconog tjel Bez dokz nvodmo formule z oplošje A rotconog tjel u slučju eksplctne prmetrsk zdne krvulje. Eksplctno zdn krvulj Nek je y = f(x) dferencjbln krvulj n ntervlu [,b]. Oplošje tjel: A = π f(x) 1 + (f (x)). (.14) Prmetrsk zdn krvulj Nek su x = x(t) y = y(t) dferencjblne funkcj n ntervlu [t 1,t ]. Oplošje tjel: A = t t 1 π y(t) (x (t)) + (y (t)) dt. (.15)
17 CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 35 Prmjer 49 Izrčunjte oplošje kugle rdjus R. Rješenje Uzmjuć prmetrzcju gornje polukružnce x(t) = R cos(t), y(t) = R sn(t), t [,π], (.16) dobvmo A = π π R sn(t) (R sn(t)) + (R cos(t)) dt π = πr sn(t)dt = 4πR. (.17)
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Popis zadataka. 1. Odredi Re
Pops zdtk. Odred Re. Odred, ko vrjed: (-) +(-b) = (-b). Zbroj znmenk dvoznmenkstog broj jednk je, umnožk. Koj je to broj?. U koordntnom sustvu prkž grf funkcje f() = -(+)(-). Izrčunj vrjednost ostlh funkcj
Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n
Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
n n su realni brojevi, a n, koji mora biti cjelobrojna
Aproksmrnje podtk Aproksmrnje podtk krvuljom Aproksmrnje podtk krvuljom (engl. curve ttng), nzv se još regresjsk nlz (engl. regresson nlss), je postupk uklpnj unkcje u skup točk koje predstvljju određene
c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
![c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]](/thumbs/92/108578155.jpg "c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]")
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc
MATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija
MATEMATIKA seminri studij: Prehrmben tehnologij i Biotehnologij Sdržj Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod................................. Odredeni (Riemnnov) integrl. Problem površine........
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo
![7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo](/thumbs/89/98520281.jpg "7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo")
7 Odreženi integrli 63 7 Odreženi integrli Nek je funkcij f(x) definisn n intervlu [, ]. Ako ovj intervl podeo n n delov tčkm = x < x < x
KUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a p e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A P r e d v j z p e t u s e d m c u s t v e (u demsoj 009/00 god) 7 Redov s prozvoljm človm (Redov s človm prozvoljog z) Hurt qum crbro, qu dscěre vult selbro [Crpe
VEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje
sklr VEKTORI (m h) velčn ko e potpuno određen relnm roem (sklrom) Prmer ms, energ, tempertur, rd, sng, oum tel vektor dužn kod koe e određeno ko e nen run točk početn, ko vršn nv se usmeren dužn l vektor
VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov
Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e
γ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2
Zdtk (Slvi, gimnzij) Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Koliki je opseg trokut? Rješenje inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom,
γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 7 Hurt qum rro qu dsěre vult se lro [Crpe vodu stom to žel učt ez jge] LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V I s e d m 7 Redov s prozvoljm človm Redov s človm prozvoljog
C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler
Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk
4. Relacije. Teorijski uvod
VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:
F (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK
OGLEDNI PRIMJER ZADAAK Odredte dnamčke karakterstke odzv armranobetonskog okvra C-C prkazanog na slc s prpadajućom tlorsnom površnom, na zadanu uzbudu tjekom prve tr sekunde, ako je konstrukcja prje djelovanja
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Glv IX : INTEGRAL PO FIGURI U R OJNI TROJNI I IŠESTRUKI INTEGRALI KRIOLINIJSKI I PORŠINSKI INTEGRALI 90 Osov pojmov o tegrlm relh ukcj vše relh promjeljvh U Ižejerskoj
Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120
Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno
Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.
Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu
4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
4. Perspektiviteti i perspektivne figure. Desarguesov teorem
4 Persektvtet ersektvne fgure Desarguesov teorem Promatrajmo rojektvnu ravnnu kao oeratvn rostor u njoj nz točaka ramen ravaca ( ) s vrhom, r čemu točka ne lež na ravcu ( ) na nosocu Jednoznačno obostrano
Polinomijalna aproksimacija
1 Polinomijln proksimcij 1.1 Problem njbolje proksimcije Rzmotrimo ponovo problem u kojem je zdn tblic brojev x x 0 x 1 x x 3 x 4 x n y y 0 y 1 y y 3 y 4 y n (1.1) z koju treb nći funkciju f koju t tblic
α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA
FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA Vrijednoti inu i koinu π π π π ϕ 6 4 3 in ϕ 3 co ϕ 3 Trigonometrijke funkcije polovičnih rgument in x = co x co x = + co x Trigonometrijke
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Vektori u ravnini. - Nije bitan redoslijed AB ili BA
Vektor u rnn. Osnon pomo o ektorm Skup sh tok prc p zmeu ukluuu nh sme ne dužnu Ne tn redosled l e poetn tok e zršn tok odsek n prcu p Defnc: Usmeren odsek od toke ko poetne toke do toke ko zršne toke
R A D N I M A T E R I J A L I
Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE
Dinamika krutog tijela. 14. dio
Dnaka kutog tjela 14. do 1 Pojov: 1. Vekto sle F (tanslacja). Moent sle (otacja) 3. Moent toost asa 4. Rad kutog tjela A 5. Knetka enegja E k 6. Moent kolna gbanja 7. u oenta kolne gbanja oenta sle M (
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti b + c a a + c b a + b c.
Zdtk 4 (4, TUŠ) Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu kojemu su strnie duljin 7 m, 8 m i 9 m? Rješenje 4 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Nsuprot većoj strnii u trokutu
PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Kinematika materijalne toke. 3. dio a) Zadavanje krivocrtnog gibanja b) Brzina v i ubrzanje a
Kinemik meijlne oke 3. dio ) Zdnje kiocnog gibnj b) Bzin i ubznje 1 Kiocno gibnje meijlne oke Položj meijlne oke u skom enuku emen možemo definii n slijedee nine: 1. Vekoski nin defininj gibnj (). Piodni
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Moguća i virtuelna pomjeranja
Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +
PRIMENA INTEGRALA
www.mtmtinj.com PRIMENA INTEGRALA P ngo što knmo s izčunvnjm povšin, dužin luk, zpmin ili povšin otcion povši momo odditi: - pomoću p tčk ispitmo tok i nctmo kivu kivko j to nophodno - gnic intgl nđmo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. ANALITIČA GEOMETRIJA PROSTORA II. DIO (Pv).. Min Roić Linović 9./. Pv u otou Jenž v Nek je: T (,, ) n točk oto {,, } ni vekto mje Znom točkom oto oli mo v leln nim vektoom. T (,,) - oivoljn točk v
Budući da je u jednakokračnom pravokutnom trokutu visina osnovice jednaka polovini osnovice, vrijedi: a 2
Zdtk (Romn, gimnzij) Sdnji jdnkokčnog tpz im duljinu 5 ko su dijgonl mđusono okomit, kolik j njgo pošin? Rjšnj udući d j u jdnkokčnom pokutnom tokutu isin osnoi jdnk poloini osnoi, ijdi: x = + = x + y
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.
Pojmo:. Vektor se F (transacja). oment se (rotacja) Dnamka krutog tjea. do. oment tromost masa. Rad krutog tjea A 5. Knetka energja k 6. oment kona gbanja 7. u momenta kone gbanja momenta se f ( ) Gbanje
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije
Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki
Popis zadataka. a. Računski pronađi nultočke tih dviju funkcija. b. Koja od zadanih funkcija raste brže? 4.,,, 5. Pojednostavi izraz:
Pops zadataka. Kolko su u koordnantnom sustavu udaljene točke A(, ) B(-, -)?. Izračunaj sve za koje vrjed jednadžba:. Zadane su funkcje. a. Računsk pronađ nultočke th dvju funkcja. b. Koja od zadanh funkcja
Metode rješavanja izmjeničnih krugova
Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk
Hamilton-Jacobijeva jednadžba
Klasčna mehanka 2 p. 1/26 Hamlton-Jacobjeva jednadžba - faznm portretom u blo kojem vremenskom trenutku odre den je fazn portret u svm ranjm kasnjm vremenma - svaka točka faznog portreta prpada odre denoj
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:
tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene
Metoda najmanjih kvadrata
Metoda ajmajh kvadrata Moday, May 30, 011 Metoda ajmajh kvadrata (MNK) MNK smo već uvel u proučavaju leare korelacje; gdje smo tražl da suma kvadrata odstupaja ekspermetalh točaka od pravca koj h a ajbolj
1. NEODREÐENI INTEGRAL
. NEODREÐENI INTEGRAL Pitnj: Je li dn reln funkcij f : A! R, A R, derivcij neke relne funkcije g : A! R? Riješiti jedndbu g = f, pri cemu se z dni f tri g. T jedndb ili nem rješenj ili ih im beskoncno
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Zadatak 1
PISMENI ISPIT IZ KLASIČNE MEHANIKE I 3.. 9. Zdtk Čestic mse m izbčen je s površine Zemlje pod kutem α brzinom v. Ako je otpor zrk proporcionln trenutnoj brzini konstnt proporcionlnosti je ), izrčunjte
Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ
Izvodi i integrali necelog reda
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ntš Durković Izvodi i integrli necelog red -mster rd- Mentor: Docent dr Snj Konjik Novi Sd, 2. Predgovor Frkcioni
x y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka?
MATEMATIKA Zdci s držvne mture viš rzin Brojevi i lgebr Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij Trigonometrij LINEARNA FUNKCIJA 1. Uz koji uvjet jedndžb A+By+C=0 predstvlj prvc?. Koje je znčenje broj
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Ako je f neprekinuta funkcija, definirana na intervalu [a,b], tad postoji barem jedna točka ξ [a,b] za koju je
![Ako je f neprekinuta funkcija, definirana na intervalu [a,b], tad postoji barem jedna točka ξ [a,b] za koju je](/thumbs/80/80496402.jpg "Ako je f neprekinuta funkcija, definirana na intervalu [a,b], tad postoji barem jedna točka ξ [a,b] za koju je")
Jednostvno, ili ne? Trpezn formul Neven Elezović, Zgreb Problem površine Teorem srednje vrijednosti Površin ispod grf pozitivne funkcije f jednk je odredenom - integrlu te funkcije, rčun se obično Newton-Leibnitzovom
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
pismeni br : Odrediti interval konvergencije reda = 11.2: Metodom varijacije konstante odrediti opće rješenje jednadžbe ( x
Piedio D.Joičić pismei b..: Odediti itel koegecije ed..: Metodom ijcije kostte odediti opće ješeje jeddžbe e.: Ičuti d, gdje je K goj poloic elipse peđe od K b točke A, do B,..: Ičuti pom okttu. I d, gdje
transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije
promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (
Primjene odreženog integrala
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Krivolinijski integral
Poglvlje 4 Krivolinijski integrl 4.1 Vektorsko polje U ovom i nrednom poglvlju, osim sklrnih, rdićemo i s vektorskim funkcijm više promenljivih, F : R n R m, F = (F1,...,F m ), F i : R n R, i = 1,...,m,
Opsezi i površine - DZ
Opsezi i površine - DZ Iko učenici u 4. rzredu uče vrste trokut, uče o prvokutniku i kvdrtu, upoznju se s pojmom opseg i površine, s kvdrtnim mjernim jedinicm, s pojmom formule i kko u formulu uvrštvmo